高中各种函数图像画法与函数性质
函数图像画法知识点总结
函数图像是一种在平面上表示函数关系的方法，通过画出函数图像，可以直观地看出函数的性质和特点。
在数学教学中，函数图像的绘制是非常重要的一部分，它帮助学生理解函数的变化规律，并且可以帮助学生更好地理解函数的性质。
在本文中，将对函数图像的画法进行详细的介绍和总结，包括常见的一些函数图像的特点和绘制方法。
一、基本函数图像的特点及绘制方法1. 直线函数 y=ax+b直线函数是最基本的函数之一，其图像在平面直角坐标系中呈直线状。
直线函数的一般形式为y=ax+b，其中a和b分别是函数的斜率和截距。
当a大于0时，函数图像呈现为向上倾斜的直线；当a小于0时，函数图像呈现为向下倾斜的直线。
绘制直线函数的方法非常简单，只需取两个点就可以确定一条直线。
首先确定直线的截距b，然后再找到直线的斜率a，通过这两个参数就可以确定直线的图像了。
2. 平方函数 y=x^2平方函数是一种非常常见的二次函数，其图像呈现为抛物线形状。
平方函数的一般形式为y=x^2。
平方函数的图像对称于y轴，开口向上。
绘制平方函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=-2，-1，0，1，2等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出平方函数的图像。
3. 开方函数 y=sqrt(x)开方函数是平方函数的反函数，其图像为抛物线的一条分支。
开方函数的一般形式为y=sqrt(x)。
开方函数的图像对称于x轴，开口向右。
绘制开方函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=0，1，4，9等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出开方函数的图像。
4. 绝对值函数 y=|x|绝对值函数的图像呈现为一条V形状的曲线。
绝对值函数的一般形式为y=|x|。
绘制绝对值函数的方法可以通过选取多个点来确定函数的图像，一般情况下可以通过选取x=-2，-1，0，1，2等一些常用点，然后根据这些点的坐标值来画出绝对值函数的图像。
以上是一些常见的基本函数的图像特点及绘制方法，通过这些例子可以看出，绘制函数图像的方法主要是通过选取一些关键点来确定函数的图像，然后再通过连接这些点来得到完整的函数图像。
高中数学的所有重要函数图像及其性质图像特点单调性定义域值域
数函数对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。
因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x 的对称图形，因为它们互为反函数。
（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2）对数函数的值域为全部实数集合。
（3）函数总是通过（1，0）这点。
（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
（5）显然对数函数无界。
指数函数指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到：（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3）函数图形都是下凹的。
（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点。
（8）显然指数函数无界。
奇偶性注图：（1）为奇函数（2）为偶函数1．定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
(完整版)高中各种函数图像及其性质(精编版)
高中各种函数图像及其性质一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数1、一次函数的定义一般地，形如y kx b（k，b是常数，且k 0 ）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当b 0时，一次函数y kx，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当 b 0，k 0时，y kx仍是一次函数．⑶当 b 0，k 0时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx （k 不为零）① k 不为零② x 指数为 1 ③ b 取零当k>0 时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0 时，?直线y=kx经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小．（1）解析式：y=kx （k 是常数，k≠ 0）（2）必过点：（0，0）、（1，k）（3）走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，?图像经过二、四象限（4）增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小（5）倾斜度：|k| 越大，越接近y 轴；|k| 越小，越接近x 轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b（k,b 是常数，k≠0），那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b （k 不为零） ① k 不为零 ②x 指数为 1 ③ b 取任意实 数一次函数 y=kx+b 的图象是经过（ 0，b ）和（- b ， 0）两点的一条直线，我们称它为直k线 y=kx+b, 它可以看作由直线 y=kx 平移 |b| 个单位长度得到 . （当 b>0 时，向上平移； 当 b<0 时，向下平移）1）解析式： y=kx+b （k 、 b 是常数， k 0）2） 必过点：（0，b ）和（ - b ，0） k3） 走向： k>0 ，图象经过第一、三象限； k<0，图象经过第二、四象限b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限k 0 直线经过第一、二、三象限k 0 直线经过第一、三、四象限b 0b 0k 0 直线经过第一、二、四象限k 0 直线经过第二、三、四象限b 0b 04）增减性： k>0 ， y 随 x 的增大而增大； k<0，y 随 x 增大而减小 . 5）倾斜度： |k| 越大，图象越接近于 y 轴； |k| 越小，图象越接近于 x 轴 .6）图像的平移： 当 b>0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位； 当 b<0 时，将直线y=kx 的图象向下平移 b 个单位 .4、一次函数 y=kx ＋ b 的图象的画法根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可. 一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），或纵坐标为0 的点.. 即横坐标5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx ＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b| 个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0 时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质正比例函数一次函数概念一般地，形如y=kx（k 是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数一般地，形如y=kx＋b（k,b 是常数，k≠0），那么y 叫做x 的一次函数. 当b=0 时，是y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函自变量范围X 为全体实数图象一条直线必过点（0，0）、（1，k）（0，b）和（- b，0）k走向k>0 时，直线经过一、三象限；k<0 时，直线经过二、四象限k>0，b>0, 直线经过第一、二、三象限k>0，b<0 直线经过第一、三、四象限k<0，b>0 直线经过第一、二、四象限k<0，b<0 直线经过第二、三、四象限增减性k>0 ，y 随x 的增大而增大；（从左向右上升）k<0 ，y 随x 的增大而减小。
(完整版)高中的常见函数图像及基本性质
常见函数性质汇总及简单评议对称变换常数函数 f (x ）=b (b ∈R) 1）、y=a 和 x=a 的图像和走势2）、图象及其性质：函数f (x ）的图象是平行于x 轴或与x 轴重合(垂直于y 轴）的直线一次函数 f (x )=kx +b (k ≠0，b ∈R ）1)、两种常用的一次函数形式:斜截式——点斜式——2）、对斜截式而言,k 、b 的正负在直角坐标系中对应的图像走势： 3）、|k ｜越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓 4）、定 义 域:R 值域:R单调性：当k 〉0时 ；当k<0时奇 偶 性：当b =0时，函数f （x )为奇函数;当b ≠0时,函数f (x ）没有奇偶性； 反 函 数:有反函数（特殊情况下：K=±1并且b=0的时候)。
补充：反函数定义：例题:定义在r y=f （x ）； y=g （x ）都有反函数,且f （x-1）和g —1(x ）函数的图像关于y=x 对称，若f （4）=周 期 性:无 5）、一次函数与其它函数之间的练习 1、常用解题方法：xy b Of (x )=bx yOf (x )=kx +b R 2）点关于直线（点）对称，求点的坐标2、与曲线函数的联合运用反比例函数 f (x ）=xk(k ≠0，k 值不相等永不相交；k 越大，离坐标轴越远） 图象及其性质:永不相交，渐趋平行;当k 〉0时，函数f (x ）的图象分别在第一、第三象限；当k<0时，函数f (x ）的图象分别在第二、第四象限； 双曲线型曲线，x 轴与y 轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形定 义 域：),0()0,(+∞-∞ 值 域：),0()0,(+∞-∞ 单 调 性：当k> 0时；当k< 0时 周 期 性:无奇 偶 性：奇函数 反 函 数：原函数本身补充：1、反比例函数的性质2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积)—-入手点常有两个——⑴直接带入,利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此）3、反函数变形（如右图）1）、y=1/（x —2）和y=1/x —2的图像移动比较 2)、y=1/(—x)和y=—（1/x)图像移动比较3）、f （x ）= dcx bax ++ (c ≠0且 d ≠0）（补充一下分离常数）（对比标准反比例函数，总结各项内容)二次函数 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f 顶点式:)0()()(2≠+-=a h k x a x f两根式：)0)()(()(21≠--=a x x x x a x f图象及其性质：①图形为抛物线，对称轴为 ，顶点坐标为 ②当0>a 时，开口向上，有最低点 当0<a 时。
高中数学函数图像的绘制方法和注意事项
高中数学函数图像的绘制方法和注意事项在高中数学中，函数图像的绘制是一个重要的内容，它不仅可以帮助我们更好地理解函数的性质，还可以提高我们解题的能力。
本文将介绍一些常见函数图像的绘制方法和注意事项，并通过具体的例题来说明。
一、一次函数图像的绘制方法和注意事项一次函数是指形如y=ax+b的函数，其中a和b为常数且a不等于零。
要绘制一次函数的图像，我们可以找出函数的截距和斜率，然后根据这些信息确定函数的特征点。
例如，考虑函数y=2x+1。
我们可以通过观察函数的截距和斜率来确定函数的特征点。
截距为1表示函数与y轴的交点为(0,1)，而斜率为2表示函数的斜率为2/1。
根据这些信息，我们可以确定函数的特征点，并将它们连成一条直线，即可得到函数的图像。
在绘制一次函数图像时，还需要注意以下几点：1. 确定函数的定义域和值域，以便在绘制图像时不会出现错误。
2. 注意函数的增减性和奇偶性，这可以帮助我们更好地理解函数的性质。
3. 使用合适的比例和刻度，在绘制图像时要注意横纵坐标的比例关系，以便更准确地表示函数的特征。
二、二次函数图像的绘制方法和注意事项二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c为常数且a不等于零。
要绘制二次函数的图像，我们可以找出函数的顶点和对称轴，然后根据这些信息确定函数的特征点。
例如，考虑函数y=x^2-2x+1。
我们可以通过求导数的方法找出函数的顶点和对称轴。
对函数求导得到y'=2x-2，令y'=0可得x=1，将x=1代入函数中可得y=0。
因此，函数的顶点为(1,0)，对称轴为x=1。
根据这些信息，我们可以确定函数的特征点，并将它们连成一条曲线，即可得到函数的图像。
在绘制二次函数图像时，还需要注意以下几点：1. 确定函数的定义域和值域，以便在绘制图像时不会出现错误。
2. 注意函数的开口方向和对称性，这可以帮助我们更好地理解函数的性质。
3. 使用合适的比例和刻度，在绘制图像时要注意横纵坐标的比例关系，以便更准确地表示函数的特征。
高中函数图像及其平移与变换
基本初等函数的图像1.一次函数性质： 一次函数图像是直线，当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减 2.二次函数性质：二次函数图像是抛物线，a决定函数图像的开口方向，判别式b^2-4ac决定了函数图像与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。
3.反比例函数性质：反比例函数图像是双曲线，当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。
要注意表述函数单调性时，不能说在定义域上单调，而应该说在（-∞，0），（0，∞）上单调。
4.指数函数当0<a<b<1<c<d时，指数函数的图像如下图不同底的指数函数图像在同一个坐标系中时，一般可以做直线x=1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的大小，即可比较底数的大小。
5.对数函数当底数不同时，对数函数的图像是这样变换的6.对勾函数对于函数y=x+k/x，当k>0时，才是对勾函数，可以利用均值定理找到函数的最值。
7. 幂函数性质：先看第一象限，即 x>0 时，当 a>1 时，函数越增越快；当0<a<1 时，函数越增越慢；当 a<0 时，函数单调递减；然后当x<0 时，根据函数的定义域与奇偶性判断函数图像即可。
8. 正弦函数、余弦函数、正切函数函数图像的变换 1 平移变换（1）水平平移： 函数 y = f（x + a）的图像可以把函数 y =f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移｜a｜个单位即可得到； （2）竖直平移： 函数 y = f（x） + a 的图像可以把函数 y =f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移｜a｜个单位即可得到。
2 对称变换（1）函数 y = f（-x） 的图像可以将函数 y = f（x）的图像关于y轴对称即可得到； （2）函数 y = - f（x） 的图像可以将函数 y =f（x）的图像关于x轴对称即可得到；（3）函数 y = - f（-x） 的图像可以将函数 y =f（x）的图像关于原点对称即可得到；3 翻折变换（1）函数 y =｜ f（x）｜ 的图像可以将函数 y =f（x）的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉x轴下方部分，并保留 y =f（x）的x轴上方部分即可得到；（2）函数 y = f（｜x｜） 的图像可以将函数 y =f（x）的图像的右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留 y =f（x）在y轴右边部分即可得到。
(完整版)高中各种函数图像画法与函数性质
一次 函数 k ，b 符号
图象
k kx bk 0
k 0
b0
b0
b0
b0
y
y
y
y
O
xO
xO
xO
x
k 0
b0
b0
y
y
O
xO
x
性质
y 随 x 的增大而增大
y 随 x 的增大而减小
b>0
b<0
b=0
经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限
k>0
图象从左到右上升，y 随 x 的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限
y
O
x
非奇非偶函数
y
O
x
y
O数
k<0
图象从左到右下降，y 随 x 的增大而减小
二次函数
f x ax2 bx ca 0
a0
a0
图像
定义域 对称轴 顶点坐标 值域
单调区间
x b 2a
x b 2a
,
x b 2a
b 2a
,
4ac 4a
b2
4ac b2 4a
,
,
4ac 4a
b2
,
b 2a
递减
,
b 2a
递增
b 2a
,
递增
b 2a
,
递减
反比例函数
指数函数
对数函数
a＞1 图
象
a＜1
(1)x＞0
性 (2)当 x=1 时，y=0
质 (3)当 x＞1 时，y＞0
(3)当 x＞1 时，y＜0
《高中数学课件：几种常见函数的图像和性质》
探索几种常见函数的图像和性质，包括一次函数、二次函数、反比例函数、 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和常函数。
一次函数
一次函数是指具有形式y = kx + b的函数，图像为一条直线，斜率k决定了直 线的倾斜程度，纵截距b决定了直线与y轴的交点。
二次函数
Step 3
根据底数a的不同，求解指数函 数的通式。
推导对数函数的通式
1
Step 2
2
代入任意一点的坐标和底数a到对数函数
的通式y = log_a(x)中。
3
Step 1
通过两个点的坐标(x1, y1)和(x2, y2)计算 底数a：a = 10^((y1 - y2) / (x1 - x2))。
Step 3
推导反比例函数的通式
1 Step 1
2 Step 2
通过两个点的坐标(x1, y1)和(x2, y2)计算比例 系数k：k = y1 * x1 = y2 * x2。
代入一个点的坐标(x, y)和比例系数k到反比例 函数的通式y = k/x中，得到反比例函数的通 式。
推导幂函数的通式
Step 1
取幂函数的对数y = log_a(x)， 其中a为底数。
二次函数是指具有形式y = ax^2 + bx + c的函数，图像为一条开口向上或向下 的曲线，顶点坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
反比例函数
反比例函数是指具有形式y = k/x的函数，图像为一条曲线，呈现出一个反比 例的关系，x越大，y越小。
幂函数
幂函数是指具有形式y = kx^n的函数，图像的形态取决于指数n的值，n为正 偶数时，图像在原点右侧上升，n为正奇数时，则图像在全范围上升。
高中数学-函数图像详解
高中数学-函数图像详解基本初等函数的图像1. 一次函数性质：一次函数图像是直线，当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减2. 二次函数性质：二次函数图像是抛物线，a决定函数图像的开口方向，判别式b^2-4ac 决定了函数图像与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。
3. 反比例函数性质：反比例函数图像是双曲线，当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。
要注意表述函数单调性时，不能说在定义域上单调，而应该说在（-∞，0），（0，∞）上单调。
4.指数函数当0<a<b<1<c<d时，指数函数的图像如下图< span>不同底的指数函数图像在同一个坐标系中时，一般可以做直线x=1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的大小，即可比较底数的大小。
5.对数函数当底数不同时，对数函数的图像是这样变换的6. 幂函数y=x^a性质：先看第一象限，即x>0时，当a>1时，函数越增越快；当0<a<1时，函数越增越慢；当a<0时，函数单调递减；然后当x<0时，根据函数的定义域与奇偶性判断函数图像即可。
< span>7. 对勾函数对于函数y=x+k/x，当k>0时，才是对勾函数，可以利用均值定理找到函数的最值。
函数图形的变换注意：对于函数图像的变换，有的时候，看到解析式，可能会有两种以上的变换，尤其是针对x轴上的，那么此时，一定要根据上面的规则，判断好顺序，否则顺序错了，可能就没办法经过变换得到了！例如：画出函数y=ln|2-x|的图像通过研究这个函数解析式，我们知道此函数是由基本初等函数y=lnx通过变换而来，那么这个函数经过了几步变换呢？变换的顺序又是如何？下面我们一起来看一看。
通过解析式x上附加的东西，我们会发现，会有对称变换，x前面加了负号，还有翻折变换，x上面还有绝对值，还有平移变换，前面加了一个2，既然有3种变换，那么顺序如何呢？牢记住一点：针对x轴上的变换，那就一定要看x这个符号有啥变化。
高中数学函数图像的绘制与分析方法
高中数学函数图像的绘制与分析方法在高中数学的学习中，函数是一个非常重要的概念，而函数图像则是直观理解函数性质的有力工具。
掌握函数图像的绘制与分析方法，对于解决函数相关的问题具有重要意义。
一、函数图像的绘制1、列表取值首先，我们需要选取一些自变量的值，计算出相应的函数值，列出一个表格。
取值时要注意涵盖函数的关键部分，比如零点、极值点等，同时要保证取值有一定的代表性和规律性。
2、描点连线根据列表中的数值，在平面直角坐标系中描出对应的点。
然后，用平滑的曲线将这些点依次连接起来。
需要注意的是，如果函数在某个区间内是连续的，那么连接的曲线应该是连续的；如果函数在某个点处不连续，比如分段函数，那么在不连续点处要分开绘制。
3、考虑函数的性质在绘制函数图像时，要充分考虑函数的性质，比如奇偶性、单调性、周期性等。
如果函数是偶函数，其图像关于y 轴对称；如果是奇函数，图像关于原点对称。
如果函数是单调递增的，图像是上升的；单调递减的，图像是下降的。
周期性函数的图像会在一定的区间内重复出现。
以最简单的一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 为例，我们可以先取 x ＝－2，－1，0，1，2 等值，计算出对应的 y 值，列出表格：｜ x ｜－2 ｜－1 ｜ 0 ｜ 1 ｜ 2 ｜｜｜｜｜｜｜｜｜ y ｜－3 ｜－1 ｜ 1 ｜ 3 ｜ 5 ｜然后在坐标系中描点（－2，－3），（－1，－1），（0，1），（1，3），（2，5），最后用直线连接这些点，就得到了一次函数 y＝ 2x ＋ 1 的图像。
再比如二次函数 y ＝ x² 2x 3，我们可以通过配方法将其化为顶点式 y ＝（x 1)² 4，由此可知其顶点坐标为（1，－4），对称轴为 x ＝1。
然后取一些点，如 x ＝－1，0，2，3 等，计算出对应的 y 值，列表并描点连线，就能得到二次函数的图像。
二、函数图像的分析方法1、观察定义域和值域定义域是函数自变量的取值范围，值域是函数值的取值范围。
高中常用函数性质及图像汇总
函数周期性
• 周期性：若存在一个正数T，使得对于函数定义域内的任意一个 x，都有f(x+T)=f(x)，则称函数为周期函数，T为函数的周期。
函数有界性与无界性
有界性
若存在一个正数M，使得对于函 数定义域内的任意一个x，都有 |f(x)|≤M，则称函数为有界函数 。
无界性
若函数不满足有界性的条件，则 称函数为无界函数。
04
三角函数与反三角函数
三角函数基本概念和性质
01
02
03
04
三角函数定义
正弦、余弦、正切等函数在直 角三角形中的定义及在各象限
的符号规律。
三角函数的周期性
正弦、余弦函数周期为2π， 正切函数周期为π。
三角函数的奇偶性
正弦函数为奇函数，余弦函数 为偶函数，正切函数为奇函数
。
三角函数的增减性
在各象限内，正弦、余弦函数 的增减性及其与角度的关系。
复合函数应用举例
在解决实际问题时，经常会遇到需要通过多个步骤或多个因素共同影响才能得到结果的情况，这时就可以通过建 立复合函数模型来描述这种关系。例如，在经济学中，可以通过建立复合函数模型来描述商品价格与市场需求量 之间的关系。
抽象函数应用举例
抽象函数在数学研究中具有重要地位，许多数学问题都可以转化为抽象函数的问题进行研究。例如，在证明一些 数学定理时，可以通过构造抽象函数并利用其性质进行证明；在解决一些数学问题时，可以通过对抽象函数的性 质进行分析和研究来找到解决问题的方法。
特定的形状和变化趋势。
幂函数和分式函数应用举例
幂函数应用举例
在物理学中，幂函数可以用来描述物体自由落体的速度v 与时间t的关系，即v=gt^2（其中g为重力加速度）。此 外，幂函数还可以用于描述放射性元素的衰变规律等。
高中数学之反比例函数类的图像画法与性质总结
反比例函数类的图像形如ax bycx d+=+的函数，实际上是由最基本的反比例函数1yx=或者1yx=-经过平移变换得来的。
也是比较常考常用的。
下面就将该图像的画图方法以及图像的核心性质总结下来。
1、画图方法步骤：（1）先分离常数（2）确定渐近线的交点（即点（0,0）平移到了哪个点）注意这里的平移口诀是“左加右减，上加下减”（3）画出渐近线，并画出函数图像（注意分子的正负）下面以两道题为例，详细说明画图步骤。
例1 作321xyx+=+的图像解：()2113212111xxyx x x+++===++++分离常数完成后，可以明显看到，原本的反比例函数的中心点（0,0），先向左平移1再向上平移2，变成了点（-1，2）。
因此渐近线的交点就是（-1,2）。
画出渐近线并画图函数图像如下注意到该函数恒过点（0,3），中点为（-1,2）例2 作341xyx-=-的图像解析：()3113413111xxyx x x---===----显然是将（0,0）平移到了（1,3）画出渐近线并作函数图像如下。
这里需要注意，分子为-1，实际上该函数图像是由1y x=-平移得来的。
2、核心性质 通过以上作图，很容易观察到ax b y cx d +=+具备如下性质 （1）d x c ≠-（2）a y c≠ （3）恒过点(0,)bd（4）中心对称点为,d a c c ⎛⎫⎪⎝⎭3、习题小练 求值域：（1）32(0)1x y x x+=>+ （2）4[3,6]2y x x =∈- （3）1(1,2]3x y x x -+=∈-+ （4）34[3,5]1x y x x -=∈- （5）42(1,0]1x y x x -+=∈-- 解：画图各个函数的图像，从图像上看即可。
画图略。
答案如下（1）(2,3)y ∈（2）[2,4]y ∈（3）1[,1)5y ∈-（4）511[,]24 y∈（5）(3,2]y∈--。
(完整版)高中各种函数图像画法与函数性质
a>1时，在定义域内单调递增；0<a<1时，在定义域内单 调递减。
06
值域为(0, +∞)。
对数函数图像及性质
对数函数定义：形如y=log_a(x)(a>0且a≠1)的函数称 为对数函数。
对数函数性质
对数函数图像：当a>1时，图像在x轴上方，且随着x的 增大，y值无限增大；当0<a<1时，图像在x轴上方， 且随着x的增大，y值无限减小。
正弦函数、余弦函数图像及性质
图像特点
正弦函数$y = sin x$和余弦函数$y = cos x$的图像都是周期性的波浪形曲线，振幅为1，周期为$2pi$。正弦函 数图像关于原点对称，余弦函数图像关于$y$轴对称。
性质
正弦函数和余弦函数都是周期函数，具有周期性、奇偶性和有界性等性质。其中，正弦函数是奇函数，余弦函数 是偶函数。
变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数。
运算规则
复合函数的运算遵循“由内到外”的原则，即先求出内层函数的值，再代入外层函数中 计算。
复合函数图像变换规律
平移变换
若f(x)的图像向左（右）平移a个单位得到g(x)的图像，则g(x)=f(x+a)（a>0向左，a<0向 右）。
奇偶性
设函数y = f（x）的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f(-x)=f(x)，则这个函数叫做奇函数；如果对D内的任意一个x，都有x∈D，且f(-x)=f(x) ，则这个函数叫做偶函数。
函数周期性
周期函数的定义
对于函数y = f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当 x取定义域内的每一个值时，f（x + T） = f（x）都成立，那 么就把函数y = f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这 个函数的周期。
高中13种函数图像汇总
高中13种函数图像汇总函数图像是数学教学中的重要知识点，在高中阶段，学生要掌握常见的13种函数图像的概念、性质、特征，本文将对13种函数图像进行汇总，为学生深入学习提供参考。
一、直线函数图像直线函数的图像是一条直线，它的函数表达式为y=kx+b，其中k是斜率，b是y轴截距，如果k=0，则表示水平线；如果b=0，则表示垂直线。
二、平方函数图像平方函数的图像是一个U型函数曲线，它的函数表达式为y=x^2。
正定平方函数的图像会向上钝化，而负定平方函数的图像会向下钝化，当x=0时，y取得最大值。
三、立方函数图像立方函数的图像是一条U型函数曲线，它的函数表达式为y=x^3，正定立方函数的图像会向上钝化，而负定立方函数的图像会向下钝化，当x=0时，y取得最大值。
四、正弦函数图像正弦函数的图像是一条具有一定周期的曲线，它的函数表达式为y=A*sin（Bx+C），其中A表示振幅，B表示周期，C表示初相。
五、余弦函数图像余弦函数的图像与正弦函数的图像大致相同，它的函数表达式为y=A*cos（Bx+C），其中A表示振幅，B表示周期，C表示初相。
六、指数函数图像指数函数的图像是一条上升或下降的曲线，它的函数表达式为y=A*B^x，其中A是振幅，B是指数，当B>1时，图像会向上钝化；当B<1时，图像会向下钝化。
七、反指数函数图像反指数函数的图像是一条上升或下降的曲线，它的函数表达式为y=A*B^(-x)，其中A是振幅，B是指数，当B>1时，图像会向上钝化；当B<1时，图像会向下钝化。
八、对数函数图像对数函数的图像是一条上升曲线，它的函数表达式为y=A*ln （x），A表示振幅，此时x的取值范围是大于0的正数。
九、反对数函数图像反对数函数的图像也是一条上升曲线，它的函数表达式为y=A*ln（1/x），A表示振幅，此时x的取值范围是大于0的正数。
十、双曲线函数图像双曲线的图像是一条上升或下降的曲线，它的函数表达式为y=A*sinh（Bx+C），其中A表示振幅，B表示周期，C表示初相。
高中阶段常见函数性质及图像
高中阶段常见函数性质汇总函数名称：常数函数解析式形式：f (x )=b (b ∈R)图象及其性质：函数f (x )的图象是平行于x 轴或与x 轴重合（垂直于y 轴）的直线定义域：R 值域：{b}单调性：没有单调性奇偶性：均为偶函数[当b =0时，函数既是奇函数又是偶函数]反函数：无反函数周期性：无周期性函数名称：一次函数解析式形式：f (x )=kx +b (k ≠0,b ∈R)图象及其性质：定义域：R 值域：R单调性：当k>0时，函数f (x )为R 上的增函数；当k<0时，函数f (x )为R 上的减函数；奇偶性：当b =0时，函数f (x )为奇函数；当b ≠0时，函数f (x )没有奇偶性；反函数：有反函数。
[特殊地，当k =-1或b =0且k =1时，函数f (x )的反函数为原函数f (x )本身] 周期性：无函数名称：反比例函数解析式形式：f (x )=xk (k ≠0)xy bOf(x)=b图象及其性质：定义域：),0()0,(值域：),0()0,(单调性：当k>0时，函数f (x )为)0,(和),0(上的减函数；当k<0时，函数f (x )为)0,(和),0(上的增函数；奇偶性：奇函数反函数：原函数本身周期性：无函数名称：二次函数解析式形式：一般式：)0()(2a c bx axx f 顶点式：)0()()(2ah k x a x f 两根式：)0)()(()(21ax x x xa x f 图象及其性质2f x axbx c a 0a 0a 图像2b xa2b xa定义域：R 值域：当0a 时，值域为),44(2abac ；当0a 时，值域为)44,(2ab ac 单调性：当0a 时，]2,(a b 上为减函数，),2[a b上为增函数；当0a 时，),2[a b 上为减函数，]2,(ab上为增函数；奇偶性：当0b 时，函数为偶函数；当0b 时，函数为非奇非偶函数反函数：定义域范围内无反函数周期性：无函数名称：三次函数解析式形式：32()(0)f x axbxcx d a 图象及其性质：a>0a<0>0>0图象定义域：R 值域：R 单调性：a>0a<0>0>0单调性在12(,),(,)x x 上,是增函数；在12(,)x x 上,是减函数；在R 上是增函数在12(,)x x 上，是增函数；在12(,),(,)x x 上，是减函数；在R 上是减函数奇偶性：当0b 时，函数为奇函数；当0b 时，函数为非奇非偶函数反函数：定义域范围内无反函数周期性：无函数名称：指数函数xx 1 x 2 x 0xx 1 x 2xx 0x解析式形式：)1,0()(a aa x f x图象及其性质值域：),0(单调性：当0a 时，函数为增函数；当0a时，函数为减函数；奇偶性：无反函数：对数函数)1,0(log )(aax x f a 周期性：无函数名称：对数函数解析式形式：)1,0(log )(a ax x f a 图象及其性质：图象a ＞1a ＜1定义域：R 值域：),0(单调性：当0a 时，函数为增函数；当0a 时，函数为减函数；[与系数函数的单调性类似，因为两函数互为反函数]奇偶性：无反函数：指数函数)1,0()(a aa x f x周期性：无函数名称：对钩函数解析式形式：xxx f 1)(图象及其性质：①函数图象与y 轴及直线x y不相交，只是无限靠近；②当0x 时，函数)(x f y有最低点)2,1(，即当1x 时函数取得最小值2)1(f ；③当0x 时，函数)(x f y有最高点)2,1(，即当1x 时函数取得最大值2)1(f ；定义域：),0()0,(值域：),2[]2,(单调性：在]1,(和),1[上函数为增函数；在)0,1[和]1,0(上函数为减函数；奇偶性：奇函数反函数：定义域内无反函数周期性：无解析式形式：||)(x x f 图象及其性质：定义域：R 值域：),0(单调性：在),0(上函数为增函数；在)0,(上函数为减函数；奇偶性：偶函数反函数：||)(x x f xyOf(x)=xx112周期性：无解析式形式：xx f )(图象及其性质：定义域：),0[值域：),0[单调性：增函数奇偶性：无反函数：2xy 周期性：无注意：幂函数的图像与性质定义域R R R 奇偶性奇奇奇非奇非偶奇在第Ⅰ象限的增减性在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递增在第Ⅰ象限单调递减幂函数y x （xR ，是常数）的图像在第一象限的分布规律是：①所有幂函数yx （xR ，是常数）的图像都过点)1,1(；②当21,3,2,1时函数yx 的图像都过原点)0,0(；③当1时，y x 的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；④当3,2时，y x 的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）⑤当21时，yx 的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）⑥当1时，y x 的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如4c ）当0时，幂函数yx 有下列性质：（1）图象都通过点)1,1(),0,0(；（2）在第一象限内都是增函数；（3）在第一象限内，1时，图象是向下凸的；10时，图象是向上凸的；（4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
(完整版)高中各种函数图像画法与函数性质
一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
一次kkx b k函数k ，bkk符号b 0b 0b 0b 0b 0yyyyy图象OxOxOxOxOxb 0yOx性质 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小二次函数f xax 2 bx c aa 0a 0图像xbb2ax2a定义域, 对称轴xb2a顶点坐标b , 4ac b 22a 4a值域4ac b 2,, 4ac b 24a4a, b递减,b递增2a 2a单调区间b递增b递减, ,2a 2a二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1.关于 x 轴对称y ax2 bx c关于 x 轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h 2y a x h2 k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是k2.关于 y 轴对称y ax2 bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2 bx c；y a x h 2y a x h2；k 关于y轴对称后，得到的解析式是k3.关于原点对称y ax2 bx c关于原点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c ；y a x h 2y a x h2k k 关于原点对称后，得到的解析式是4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°）y ax2 bx c关于顶点对称后，得到的解析式是y ax2 bx c b2 ；2ay a x2k 关于顶点对称后，得到的解析式是y a x h2k ．h5.关于点 m，n 对称2k 关于点m，n 对称后，得到的解析式是y a x hy a x h 2m 2k2n反比例函数1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴 Y轴但不会与坐标轴相交（ K≠0）。
高中数学的所有重要函数图像及其性质 图像特点 单调性 定义域 值域等
高中数学的所有重要函数图像及其性质图像特点单调性定义域值域等对数函数对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。
因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a所表示的函数图形：可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。
（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2）对数函数的值域为全部实数集合。
（3）函数总是通过（1，0）这点。
（4）a大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
（5）显然对数函数无界。
指数函数指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。
可以看到：（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3）函数图形都是下凹的。
（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。
其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点。
（8）显然指数函数无界。
奇偶性注图：（1）为奇函数（2）为偶函数1．定义一般地，对于函数f(x)（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f(-x)=-f(x)与f(-x)=f(x)同时成立，那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
高中各种函数图像画法与函数性质
一次函数（一）函数1、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零； （4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
（二）一次函数 1、一次函数的定义一般地，形如y kx b =+（k ，b 是常数，且0k ≠）的函数，叫做一次函数，其中x 是自变量。
当0b =时，一次函数y kx =，又叫做正比例函数。
⑴一次函数的解析式的形式是y kx b =+，要判断一个函数是否是一次函数，就是判断是否能化成以上形式．⑵当0b =，0k ≠时，y kx =仍是一次函数．⑶当0b =，0k =时，它不是一次函数．⑷正比例函数是一次函数的特例，一次函数包括正比例函数．2、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数. 注：正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为1 ③ b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经过二、四象限，从左向右下降，即随x 增大y 反而减小．(1) 解析式：y=kx （k 是常数，k ≠0）(2) 必过点：（0，0）、（1，k ）(3) 走向：k>0时，图像经过一、三象限；k<0时，•图像经过二、四象限(4) 增减性：k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小(5) 倾斜度：|k|越大，越接近y 轴；|k|越小，越接近x 轴3、一次函数及性质一般地，形如y=kx ＋b(k,b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数.当b=0时，y=kx ＋b 即y=kx ，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.注：一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为1 ③ b 取任意实数一次函数y=kx+b 的图象是经过（0，b ）和（-kb，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx 平移|b|个单位长度得到.（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）（1）解析式：y=kx+b(k 、b 是常数，k ≠0) （2）必过点：（0，b ）和（-kb，0） （3）走向： k>0，图象经过第一、三象限；k<0，图象经过第二、四象限 b>0，图象经过第一、二象限；b<0，图象经过第三、四象限⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限 ⇔⎩⎨⎧<<0b k 直线经过第二、三、四象限（4）增减性： k>0，y 随x 的增大而增大；k<0，y 随x 增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y 轴；|k|越小，图象越接近于x 轴.（6）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx 的图象向上平移b 个单位；当b<0时，将直线y=kx 的图象向下平移b 个单位.4、一次函数y=kx ＋b 的图象的画法.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点，再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点：（0，b），.即横坐标或纵坐标为0的点.5、正比例函数与一次函数之间的关系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）6、正比例函数和一次函数及性质6、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠ （2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b = （4）两直线垂直⇔121-=k k7、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（2）将x 、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式.8、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.9、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围.10、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bc x b a +-的图象相同.（2）二元一次方程组⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 的解可以看作是两个一次函数y=1111b cx b a +-和y=2222b cx b a +-的图象交点.二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
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一次函数
二次函数
反比例函数
1、反比例函数图象：反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线
反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近X轴Y轴但不会与坐标轴相交（K≠0）。
2、性质：
1.当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
定义域为x≠0；值域为y≠0。
3.因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交。
4. 在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1＝S2=|K|
5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。
指数函数y=a x (a＞0，a≠1)
注意：⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。
⒉指数函数的定义仅是形式定义。
指数函数的图像与性质
规律：1. 当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。
2.当a＞1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；
当0＜a＜1时，底数越小，图像下降的越快，在y轴的左侧，图像越靠近y轴。
在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。
3.四字口诀：“大增小减”。
即：当a＞1时，图像在R上是增函数；
当0＜a＜1时，图像在R上是减函数。
4. 指数函数既不是奇函数也不是偶函数
比较幂式大小的方法：
1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；
2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；
3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；
4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较
底数的平移：
在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
对数函数
1.对数函数的概念
由于指数函数y=a x在定义域(-∞，+∞)上是单调函数，所以它存在反函数，我们把指数函数y=a x(a＞0，a≠1)的反函数称为对数函数，并记为y=log
a
x(a＞0，a≠1).
因为指数函数y=a x的定义域为(-∞，+∞)，值域为(0，+∞)，所以对数函数
y=log
a
x的定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).
2.对数函数的图像与性质
对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线y=x. 据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.
为了研究对数函数y=log
a
x(a＞0，a≠1)的性质，我们在同一直角坐标系中作出函数
y=log
2x，y=log
10
x，y=log
10
x,y=log
2
1
x,y=log
10
1
x的草图
图
象
a＞1 a＜1
性质(1)x＞0
(2)当x=1时，y=0
(3)当x＞1时，y＞0
0＜x＜1时，y＜0
(3)当x＞1时，y＜0
0＜x＜1时，y＞0 (4)在(0，+∞)上是增函数(4)在(0，+∞)上是减函数
比较对数大小的常用方法有：
(1)若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.
(2)若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.
(3)若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.
(4)若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.
幂函数
幂函数n
y x
=随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，图像都过（1,1）点
①
11
,,1,2,3
32
a=时，幂函数图像过原点且在[)
0,+∞上是增函数．
②
1
,1,2
2
a=---时，幂函数图像不过原点且在()
0,+∞上是减函数．
③任何两个幂函数最多有三个公共点．
幂函数y x α
=（x ∈R ，α是常数）的图像
在第一象限的分布规律是：
①所有幂函数y x α
=（x ∈R ，α是常数）
的图像都过点)1,1(；
②当
21
,
3,2,1=α时函数y x α
=的图像都过
原点)0,0(；
③当1=α时，y x α
=的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如2c ）；
④当3,2=α时，y x α
=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ）
④
21
=
α时，y x α
=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c
⑤ 1-=α时，y x α
=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线（如
4c ）
当0>α时，幂函数y x α
=有下列性质： （1）图象都通过点)1,1(),0,0(； （2）在第一象限内都是增函数；
（3）在第一象限内，1>α时，图象是向下凸的；10<<α时，图象是向上凸的； （4）在第一象限内，过点)1,1(后，图象向右上方无限伸展。
当0<α时，幂函数y x α
=有下列性质： （1）图象都通过点)1,1(；
（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；
（3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近；向右无限地与x 轴无限地接近；
（4）在第一象限内，过点)1,1(后，
α
越大，图象下落的速度越快。
无论α取任
何实数，幂函数y x α
=的图象必然经过第一象限，并且一定不经过第四象限。
对号函数
函数x
b
ax y +=（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）的图象似
符号“√”而得名，
函数x
b
ax y +=（a>0,b>0,x ∈R +）的性质:。