平面直角坐标系中三角形面积的求法(提高题)
专题在平面直角坐标系中求图形的面积(四大题型)(原卷版)
1.上面题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答．
2.由于点的位置不明确，因此在解题时要注意分情况讨论.
【变式41】已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴的负半轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标为（ ）
A．（0，﹣4）B．（0，﹣8）C．（﹣4，0）D．（6，0）
（2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【例题3】（2022春•长安区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2），则四边形ABCO的面积为（ ）
A．9B．10C．11D．12
解题技巧提炼
1、当四边形的其中有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以用分割法；
【变式45】（2022秋•渭滨区期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知A（0，1）、B（2，0）、C（4，3）．
（1）在平面直角坐标系中画出△ABC，则△ABC的面积是；
（2）若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为；
（3）已知P为x轴上一点，若△ABP的面积为1，求点P的坐标．
【变式46】（2022•天津模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足|a+1|+（b﹣3）2＝0．
【变式24】（2022春•雷州市期末）如图，△ABC在直角坐标系中，
（1）请写出△ABC各点的坐标；
（2）求出S△ABC．
【变式25】在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A、C的坐标分别为（﹣4，5）、（﹣1，3）．
（1）请在如图所示的网格平面内画出平面直角坐标系；
微专题三 平面直角坐标系中的三角形面积问题(学案)
微专题三 平面直角坐标系中的三角形面积问题一、学习目标（1）掌握一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算；（2）掌握三边都不平行于坐标轴或不在坐标轴上的三角形面积的计算；（3）会对由平行线产生的等积变换的面积问题进行求解.二、模型探究类型一 一边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形面积的计算模型分析：S=_____________.典例探究例1 如图，一次函数m x y +=33与反比例函数xy 3=的图象在第一象限的交点为点A （1，n).（1）求m 与n 的值；（2）设一次函数的图象与x 轴交于点B ，连接OA ，求AOB ∆的面积.类型二 三边都不平行于坐标轴或不在坐标轴上的三角形面积的计算模型分析方法一：铅垂高、水平宽法=∆ABC S _________________________方法二：补全图形法=∆ABC S _________________ =∆ABC S ________________=∆ABP S _________________典例探究例2 如图，直线35+=kx y 经过点A(-2,m),B(1,3),则AOB ∆的面积为_____.例3 如图，已知抛物线c bx x y ++-=2与一直线相交于A （-1，0），C （2，3）两点，与y 轴交于点N.（1）求抛物线及直线AC 的函数解析式；（2）若P 是抛物线上位于直线AC 上方（不与点N 重合）的一个动点，设点P 的横坐标为t ，当ACN ACP S S ∆∆=时，求点P 的坐标.类型三 由平行线产生的等积变换的面积计算模型分析：_______=∆CAB S __________________典例探究例4 如图，抛物线c bx x y ++=2交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于点C （0，5），连接BC ，其中OC=5OA.（1）求抛物线的解析式.（2）如图，将直线BC 沿y 轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D 、E 两点，交y 轴于点G.若P 是抛物线上位于直线BC 下方（不与点A,B 重合）的一个动点，连接PE ，交直线BC 于点F ，连接PD,DF,PB,PC.若EDF PBC S S ∆∆=2110，求点P 的坐标.三、小结.1、你在知识上有哪些收获？2、你在数学思想方法方面有何体会？3、你还有哪些困惑？。
在平面直角坐标系中三角形面积的求法
在平面直角坐标系中三角形面积的求法在平面直角坐标系中，三角形面积的求法是一种基本的几何计算方法。
本文将介绍两种常用的计算三角形面积的方法：海伦公式和向量法。
一、海伦公式海伦公式是一种通过三角形的三条边长来计算其面积的方法。
假设三角形的三条边长分别为a、b、c，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = √(s(s-a)(s-b)(s-c))其中，s为三角形的半周长，可以通过以下公式求得：s = (a + b + c) / 2通过海伦公式，我们可以很方便地计算任意三角形的面积。
下面通过一个具体的例子来演示海伦公式的应用。
例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。
计算三条边的长度：AB = √((2-1)^2 + (3-1)^2) = √5BC = √((4-2)^2 + (1-3)^2) = 2√2AC = √((4-1)^2 + (1-1)^2) = 3然后，计算半周长s：s = (AB + BC + AC) / 2 = (√5 + 2√2 + 3) / 2代入海伦公式求得三角形的面积：S = √(s(s-AB)(s-BC)(s-AC))将计算得到的数值代入公式，即可得到三角形的面积。
二、向量法向量法是另一种计算三角形面积的常用方法。
我们知道，三角形的面积可以通过任意两边的向量叉乘来计算。
假设三角形的两条边的向量分别为a和b，则三角形的面积S可以通过以下公式来计算：S = 1/2 * |a × b|其中，|a × b|表示向量a和向量b的叉乘的模。
通过向量法，我们可以将三角形的面积转化为向量的计算问题，进而简化计算过程。
下面通过一个具体的例子来演示向量法的应用。
例：已知三角形的三个顶点坐标分别为A(1, 1)，B(2, 3)，C(4, 1)，求该三角形的面积。
计算两条边的向量：AB = (2-1, 3-1) = (1, 2)AC = (4-1, 1-1) = (3, 0)然后，计算向量的叉乘：a ×b = AB × AC = (1 * 0 - 3 * 2) = -6代入向量法公式求得三角形的面积：S = 1/2 * |a × b| = 1/2 * |-6| = 3通过以上计算，我们可以得到三角形的面积为3。
平面直角坐标系中三角形面积的求法
平面直角坐标系中三角形面积的求法大家好，今天我们来聊聊一个看似复杂但其实挺简单的数学问题：如何在平面直角坐标系中求三角形的面积。
听起来有点儿抽象？没关系，我们一步步来，保证让你觉得简单又有趣。
1. 理解坐标系中的三角形1.1 三角形的基本概念首先，啥是三角形呢？说白了，三角形就是由三条线段围成的形状。
这个形状在平面直角坐标系中，大家都知道坐标系嘛，就是有一条横轴和一条纵轴交汇的那种图。
三角形的三个角，两个角在坐标轴上，一个角在坐标轴的另一边。
1.2 坐标系中的点我们得知道三角形的三个点在坐标系中的位置。
这些点通常是这样的格式：(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，(x_3, y_3)。
每个点的坐标就像是它在地图上的位置，告诉你它在“横向”和“纵向”的位置。
2. 计算三角形面积的方法2.1 使用坐标公式那么，如何计算这些点围成的三角形的面积呢？其实有个特别简单的公式，你只需要记住。
假设三角形的三个顶点分别是(x_1, y_1)，(x_2, y_2)，和(x_3, y_3)。
面积的公式是：[ text{面积} = frac{1}{2} left| x_1(y_2 y_3) + x_2(y_3 y_1) + x_3(y_1 y_2) right| ]。
听起来有点绕，其实不难！这个公式就像是一个“秘密武器”，帮助你轻松找到三角形的面积。
2.2 公式的由来这公式的由来其实跟几何学的基础知识有关。
它通过计算三角形的三个顶点之间的距离，间接地得出三角形的实际面积。
想象一下，我们是在一个“棋盘”上，用这个公式去找出“三角形”占据的“格子”的数量。
明白了吧？3. 举个例子3.1 实际计算我们来做个实际的例子吧。
假设你有一个三角形，它的三个顶点坐标分别是(1, 1)，(4, 1)，和(2, 5)。
按照刚才的公式，你可以代入这些数值来计算：[text{面积} = frac{1}{2} left| 1(1 5) + 4(5 1) + 2(1 1) right|。
平面直角坐标系三角形面积割补法
平面直角坐标系三角形面积割补法
平面直角坐标系三角形的面积可以使用割补法来计算。
割补法是一种计算几何图形面积的方法，特别适用于计算不规则图形的面积。
在平面直角坐标系中，我们可以利用坐标点的位置关系来计算三角形的面积。
首先，我们假设三角形的顶点分别为A(x1, y1), B(x2, y2)和C(x3, y3)。
然后，我们可以利用以下公式来计算三角形的面积：
S = |(x1(y2 y3) + x2(y3 y1) + x3(y1 y2))/2|。
其中，S表示三角形的面积，|...|表示取绝对值。
这个公式实际上是利用向量叉乘的方法来计算三角形的面积，具体推导过程可以参考向量的叉乘定义和性质。
另外，割补法还可以通过将三角形划分为多个简单形状的组合来计算面积。
例如，我们可以将三角形划分为一个矩形和两个三角形，然后分别计算这些简单形状的面积，最后将它们相加即可得到原三角形的面积。
除了割补法，我们还可以使用海伦公式或者行列式的方法来计算三角形的面积。
海伦公式适用于已知三边长度的情况，而行列式的方法则可以通过顶点坐标直接计算面积。
总之，平面直角坐标系三角形的面积割补法是一种简单而有效的计算方法，通过合理的划分和计算可以得到准确的结果。
希望这些信息能够帮助你理解如何使用割补法来计算三角形的面积。
如何求平面直角坐标系中三角形的面积
如何求平面直角坐标系中三角形的面积平面直角坐标系中的三角形，根据其位置的不同，我们可以将其分为两大类：第一类，三角形有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行；第二类，三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
下面，我们就这两种情况来分析平面直角坐标系中三角形面积求法。
先看第一种情况：①三角形有边在坐标轴上如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-2,0),B(4,0),C(3,4),求△ABC 的面积。
很明显，可以直接利用三角形面积公式求解：S △ABC =h AB ••21=4621⨯⨯=12②三角形的一边与一条坐标轴平行如图，△ABC 三个顶点坐标分别为A(-1,2),B(-1,-1),C(2,4),求△ABC 的面积。
这种情形，与①相比，只需利用顶点坐标求出底边AB 长及AB 边上的高h 的值，再代入三角形面积公式求解即可：S △ABC =h AB ••21=293321=⨯⨯以上①与②是坐标系中求三角形面积问题的基础。
位置无此特殊性的三角形可转化为该情况后再求解。
再看第二种情况：三角形中没有边在坐标轴上或与一条坐标轴平行。
例1：已知△ABC 三个顶点的坐标分别为：A(1,2)，B(4,6)，C(2,21)，求这个三角形的面积。
分析：如果用三角形面积公式进行求解，知道点的坐标，容易求得线段的长度，底的问题解决了，但底边上的高呢？有点麻烦。
我们不妨试试下面的方法。
分别过点A 、B 、C 作x 轴、y 轴的平行线，则所求三角形的面积S △ABC =S 矩形BDEF -S △ADB -S △AEC -S △BCF =4172112212312143212113=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯过点C 作y 轴的平行线交AB 边于点M ，将原三角形化作有边与一条坐标轴平行的问题来解决。
易知所求三角形面积S △ABC =S △AMC +S △BMC =)(2121212121h h MC h MC h MC +••=••+••=PQ MC ••21 其中，线段PQ 的长度可由A 、B 两点的横坐标求得，线段MC 的长度需知道点M 与点C 的纵坐标，所以，接下来主要是求得点M 的坐标的问题。
平面直角坐标系中三角形面积的求法(例题及对应练习)
例析平面直角坐标系中面积的求法我们常常会遇到在平面直角坐标系中求三角形面积的问题.解题时我们要注意其中的解题方法和解题技巧.现举例说明如下.一、有一边在坐标轴上例1 如图1，平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：根据三个顶点的坐标特征可以看出，△ABC的边BC在y轴上，由图形可得BC＝4，点A到BC边的距离就是A点到y轴的距离，也就是A点横坐标的绝对值3，然后根据三角形的面积公式求解.解：因为B(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因为A(-3,0),所以A点到y轴的距离，即BC边上的高为3，二、有一边与坐标轴平行例2 如图2，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面积.分析：由A（4，1），B（4，5）两点的横坐标相同，可知边AB与y 轴平行，因而AB的长度易求.作AB边上的高CD，则D点的横坐标与A点的横坐标相同，也是4，这样就可求得线段CD的长，进而可求得三角形ABC的面积.解：因为A，B两点的横坐标相同，所以边AB∥y轴，所以AB=5-1=4. 作AB边上的高CD，则D点的横坐标为4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.三、三边均不与坐标轴平行例3 如图2,平面直角坐标系中，已知点A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面积吗？分析：由于三边均不平行于坐标轴，所以我们无法直接求边长，也无法求高，因此得另想办法.根据平面直角坐标系的特点，可以将三角形围在一个梯形或长方形中，这个梯形（长方形）的上下底（长）与其中一坐标轴平行，高（宽）与另一坐标轴平行.这样，梯形（长方形）的面积容易求出，再减去围在梯形（长方形）内边缘部分的直角三角形的面积，即可求得原三角形的面积.解：如图，过点A、C分别作平行于y轴的直线，与过点B平行于x 轴的直线交于点D、E，则四边形ADEC为梯形.因为A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.平面直角坐标系中的面积问题（提高篇）“割补法”的应用一、已知点的坐标，求图形的面积。
在平面直角坐标系中,求三角形面积的求法
在平面直角坐标系中，求三角形面积的求法在平面直角坐标系中, 求三角形面积的求法1. 引言在平面直角坐标系中，我们经常需要计算三角形的面积。
三角形的面积是一个基本的几何概念，它用于很多实际应用中，比如计算土地面积、建筑物的面积或者计算图形的面积等。
在这篇文章中，我们将学习在平面直角坐标系中求解三角形面积的几种不同方法。
2. 方法一：行列式法使用行列式法求解三角形的面积是最常见的方法之一。
该方法基于行列式的性质，通过计算三个点的坐标来求解。
在平面直角坐标系中，设三角形的三个顶点分别为A（x1，y1）、B （x2，y2）和C（x3，y3）。
那么，三角形的面积可通过以下公式来计算：S = |(1/2) * (x1 * (y2-y3) + x2 * (y3-y1) + x3 * (y1-y2))|其中，竖线表示计算行列式的值。
3. 方法二：海伦公式海伦公式也是求解三角形面积的另一种常用方法。
该方法是基于三角形的三条边长来计算的。
假设三角形的三边长分别为a、b和c，半周长为s = (a+b+c)/2，那么三角形的面积可以用以下公式计算：S = √(s * (s-a) * (s-b) * (s-c))海伦公式的优点是在不知道三角形顶点坐标的情况下，只需知道边长即可计算三角形面积。
4. 方法三：向量法向量法是一种通过向量的运算来求解三角形面积的方法。
设三角形的两边向量为a和b，则三角形的面积S可以通过如下公式计算：S = (1/2) * |a × b|其中，× 表示向量的叉积。
叉积的结果是一个向量，其模表示平行四边形的面积，所以需要除以2来得到三角形的面积。
5. 总结和回顾在平面直角坐标系中，我们可以使用行列式法、海伦公式和向量法来求解三角形的面积。
根据不同的情况和已知条件，我们可以选择最合适的方法来计算。
行列式法基于三角形的顶点坐标，适用于已知三个顶点坐标的情况；海伦公式基于三角形的边长，适用于只知道边长的情况；向量法适用于已知两条边的向量的情况。
平面直角坐标系中三角形面积的计算
平面直角坐标系中三角形面积的计算设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)。
我们可以利用向量的性质和行列式的方法求出三角形的面积。
首先，我们计算向量AB和向量AC的坐标分量分别为(u,v)和(w,z)。
则有：u=x2-x1v=y2-y1w=x3-x1z=y3-y1然后，根据向量的性质，可以计算向量AB与向量AC的叉积的大小，即面积的两倍：2*面积=，u*z-v*w最后，我们可以通过取绝对值并除以2来得到三角形的面积，即：面积=，u*z-v*w，/2这就是通过向量的方法计算三角形面积的基本公式。
下面我们通过一个具体的例子来演示一下计算三角形面积的过程。
设直角坐标系中的三角形的三个顶点分别为A(2,3)，B(5,6)，C(8,1)。
我们将依次计算向量AB和向量AC的坐标分量：u=5-2=3v=6-3=3w=8-2=6z=1-3=-2然后，根据公式面积=，u*z-v*w，/2，我们计算：面积=，3*(-2)-3*6，/2=，-6-18，/2=24/2=12所以，三角形ABC的面积为12平方单位。
除了向量方法，我们还可以使用行列式的方式来计算三角形的面积。
具体步骤如下：1.将三个顶点的坐标按照行列式的顺序排列，构成一个3×3的矩阵：x1y1x2y2x3y32.计算矩阵的行列式的值。
3.取行列式的绝对值并除以2，即为三角形的面积。
以上就是使用行列式方法计算三角形面积的基本步骤。
总结起来，平面直角坐标系中三角形的面积可以通过向量或行列式的方法进行计算。
这些方法都是基于向量叉积的性质和行列式的性质进行推导和计算的。
无论是哪一种方法，核心思想都是通过计算向量叉积的大小来获得三角形的面积。
如何求平面直角坐标系中三角形的面积
如何求平面直角坐标系中三角形的面积在平面直角坐标系中，求解三角形的面积是几何学中的基本问题之一。
下面将介绍两种求解平面直角坐标系中三角形面积的方法。
方法一：行列式法行列式法是一种常用的求解三角形面积的方法。
设三角形的顶点为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
首先将三个顶点的坐标依次排列成行：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)然后将A点的坐标复制到下方形成两行：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)接下来按照主对角线往右上方的方向连线，并将相乘的结果写在对应的线上：A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)A(x1, y1) B(x2, y2) C(x3, y3)计算两条斜线上的乘积之和，再减去两条副对角线上的乘积之和，最后除以2即可得到三角形的面积。
行列式法的计算较为繁琐，但是适用于所有类型的三角形。
方法二：海伦公式海伦公式是通过三角形的边长来求解三角形面积的一种方法。
假设三角形的三边长度分别为a、b、c，半周长为p。
首先计算半周长p：p = (a + b + c) / 2然后套用海伦公式进行计算：面积S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))海伦公式较为简单，适用于已知三边长度的情况。
根据不同的题目要求和数据提供的形式，可以选择适合的方法进行计算。
总之，无论使用哪种方法，都可以准确求解平面直角坐标系中三角形的面积。
三角形的面积计算在实际生活中有着广泛的应用。
例如，在建筑工程中，需要计算地基的面积以确定施工方案；在地理测量学中，需要求解地理图形的面积和边长，以准确描述地理实体特征。
因此，掌握求解三角形面积的方法是十分重要的。
总结起来，通过行列式法和海伦公式，我们可以准确求解平面直角坐标系中的三角形面积。
无论是使用繁琐的行列式法，还是简便的海伦公式，都能满足求解三角形面积的需求。
三角形格点面积求法
三角形格点面积求法在平面直角坐标系中，我们可以用格点来表示点的位置。
一个格点就是一个整数坐标点，例如(1,2)、(3,4)等等。
而一个三角形可以由三个不同的格点组成，我们可以通过这些格点来计算三角形的面积。
我们需要知道如何计算两个格点之间的距离。
假设有两个格点A(x1,y1)和B(x2,y2)，它们之间的距离可以用勾股定理来计算：AB = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)接下来，我们可以用海龙公式来计算三角形的面积。
假设三角形的三个顶点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)和C(x3,y3)，则三角形的半周长可以用以下公式计算：s = (AB + AC + BC) / 2其中，AB、AC和BC分别为三角形的三条边的长度。
接下来，我们可以用以下公式来计算三角形的面积：S = √(s(s-AB)(s-AC)(s-BC))这个公式被称为海龙公式，它可以用来计算任意三角形的面积，不论是由格点组成的三角形还是由实数坐标点组成的三角形。
举个例子，假设有一个三角形，它的三个顶点分别为A(1,1)、B(3,2)和C(2,4)。
我们可以先计算出三条边的长度：AB = √((3-1)² + (2-1)²) = √5AC = √((2-1)² + (4-1)²) = √10BC = √((3-2)² + (2-4)²) = √5然后，我们可以计算出半周长：s = (AB + AC + BC) / 2 = (√5 + √10 + √5) / 2我们可以用海龙公式来计算三角形的面积：S = √(s(s-AB)(s-AC)(s-BC)) = √(s(s-AB)(s-AC)(s-BC)) = √(5/2 * 3/2 * 1/2 * 3/2) = 3/4因此，这个三角形的面积为3/4平方单位。
总结一下，我们可以用格点来表示三角形的顶点，然后用勾股定理来计算三角形的边长，最后用海龙公式来计算三角形的面积。
平面直角坐标系中三角形面积的求法
平面直角坐标系中三角形面积的求法嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个很有趣的话题——平面直角坐标系中三角形面积的求法。
你们知道吗，三角形可是我们生活中无处不在的东西，从房子到衣服再到冰淇淋，都离不开三角形。
而我们要学的就是如何计算这些三角形的面积。
别着急，我会用最简单的语言和你们分享这个知识点，让我们一起来看看吧！我们要知道什么是三角形。
三角形是由三条线段相互连接而成的图形，这三条线段叫做三角形的边。
我们可以用三个顶点来表示一个三角形，这三个顶点分别是A、B和C。
现在我们要用平面直角坐标系来表示这个三角形。
在平面直角坐标系中，每个点都有一个坐标。
比如说，A点的坐标是(x1, y1),B点的坐标是(x2, y2),C点的坐标是(x3, y3)。
我们就可以用这三个坐标来表示这个三角形了。
我们要做的就是计算这个三角形的面积。
说到计算三角形的面积，我们首先要知道一个概念——底和高。
底是指三角形的一条边，而高是指从这条边的对顶点垂直于这条边的线段。
有了底和高，我们就可以用一个公式来计算三角形的面积了。
这个公式叫做“海伦公式”，它的名字来源于古希腊数学家海伦。
海伦公式是这样的：面积 = sqrt(p * (p a) * (p b) * (p c)),其中a、b、c分别是三角形的三条边的长度，p是半周长，即(a + b + c) / 2。
有了这个公式，我们就可以轻松地计算出任何一个三角形的面积了。
我们现在就来试试看吧！假设我们要计算一个三角形的面积，它的三条边的长度分别是3、4和5。
我们要计算半周长p:p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6。
我们把这个值代入海伦公式：面积 = sqrt(6 * (6 3) * (6 4) * (6 5)) = sqrt(6 * 3 * 2 * 1) = 6。
这个三角形的面积就是6平方单位。
我们在实际生活中遇到的三角形可能会更复杂一些，但是只要我们掌握了海伦公式，就可以轻松地计算出它们的面积。
(完整版)平面直角坐标系中的面积问题
陈玲萍
问题1 已知平面直角坐标系中，点A（1，-2）， B（-4，-2），C（1,3）.
则①线段AB与x轴的位置关系 平行，线段 AB的长度为 5 ； ②线段AC与y轴的位置关系 平行 ，线段 AC的长度为 5 。
平行x轴的直线上的AB两点间的距离为：AB= xA xB 平行y轴的直线上的AC两点间的距离为：AC= yA yC
AD
44 2
8
（2）A（0,5），B（0,3），C（3,1）；
如图，过点C做CD⊥AB
∵A（0,5），B（0,3），C（3,1）
∴CD=3，AB=2
∴
SABC
1 ABCD 1 23 3
2
2
小结
平面直角坐标系中，求三角形的面积， 关键在于找到平行x轴或平行y轴的线 段作为规则图形的底和高。
F
∴BE=3,CF=3
∴ SABC SABD SACD
1 AD• BE 1 AD• CF
E
2
2
1 33 1 33
2
2
9
F
E
补
补
割
问题4
在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点 坐标分别为O(0，0)，A(5，0)，B(3，4)， C(0，3),计算这个四边形的面积。
方法总结
割
割
割
补
补
问题2
• 求下列三角形的面积： • （1）A（1,4），B（0,0），C（4,0）； • （2）A（0,5），B（0,3），C（3,1）；
（1）A（1,4），B（0,0），C（4,0）； 由图，过点A作AD⊥BC
∵A（1,4），B（0,0），C（4,0）
∴AD=4，BC=4
直角坐标系中求三角形面积
直角坐标系中求三角形面积
平面直角坐标系中三角形的面积计算问题一直以来是中考的常考题型，近几年的中考中又演变出了在函数背景下的三角形面积的最大值问题等，这类是初高中数学结合的问题，涉及的知识面广，综合度强.通常有以下两种解决方案：
这两种方法已经运用得相当广泛了，都需要一定的数学技巧，本文考虑直接从坐标的角度出发，探求解决这类问题的一种“通法”.
直角坐标系中求三角形的面积
若在坐标系第一象限有△ABC，其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C (x3 ，y3)，求△ABC的面积.
推导过程：
若△ABC不在第一象限时，可以通过平移变换：
考虑到坐标的正负数关系，若在坐标系第一象限有△ABC，其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C (x3 ，y3)。
则△ABC的面积为：
延伸
若在平面直角坐标系中有凸四边形ABCD，其中A(x1，y1)、B(x2，y2)、C (x3，y3)、D(x4，y4)，求凸四边形ABCD的面积。
可以转化为两个三角形的面积和：
在直角坐标系中求三角形的面积，关键是求点的坐标，掌握点的坐标的定义，利用三角形面积的计算公式以及同底等高，同底不等高，同高不等底，相似等方法进行割补，实质是要提炼出构造和坐标轴平行的矩形减去三个直角三角形的面积的通性通法。
例谈平面直角坐标系内图形面积的求法
象上的任意一点 分别作 轴 ， Ｙ轴 的垂线可得 矩形 ， 矩形 的长 ， 宽为 ， ｌ矩形 面积 为 Ｉ ・Ｉ Ｉ Ｉ Ｉ而 ｌ ， ｙ Ｉ Ｙ ＝ｌ ＝ｌ ｋ， 图象上任 意一点 与原点的连线 ， 和过 点所作 坐标 轴 的垂 线段 与坐标轴 围成的直三角形面积 为
图 ３
Ｒ ＡＡ Ｂ 积 为 Ｓ ， ｔ Ｃ Ｄ面 ｔ Ｏ 面 。Ｒ Ａ Ｏ
Ｊ
三角形 的一 边在 Ｙ轴上时 ，两个顶点纵坐 标差 的绝对值 ， 这边上 的高就 等 于另一个 顶点横坐标 的绝对值．
—√ Ｂ ０
图
例 ３ 如 图 ３ ＡＡ Ｃ 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为 ， Ｂ
Ａ ２２ ， 一 ， ３ ， （ ，） ＡＡ Ｃ的面积． （一 ）日（ ２ 一 ） ｃ ２ １ ， Ｂ
，
积为５， 则
Ａ． Ｓｌ＞Ｓ２
Ｂ． ＜ Ｓ Ｓｌ ２
ｌ Ｖ
）
４
Ｃ． Ｓｌ＝Ｓ ２
３
Ｄ Ｓ 与 ． 的大 小关 系 无 法 确 定 ． ｓ
丁 一 １： 一 ．
当三 角形有一边 在 轴上 时 ， 以 轴 上 的 则
点评
边为底边 ， 长 等 于 轴上 两 个 顶 点 横坐 标 差 的 绝对 其
的 图象 上 任 意 两点 ， Ａ 过
＼
／
ｃ Ｄ
值， 这边上 的 高就等 于另 一个顶 点纵 坐标 的绝对 值 ； 当
一
作 轴 的垂 线 ， 足 为 Ｂ， Ｃ 垂 过 作 Ｙ轴 的 垂 线 ， 足 为 Ｄ， 垂 记
［ ｋ＋ｂ＝ 一３． ２
Ｅ
‘
．
．
Ｙ＝ 一６ ＋９ ．
．
．
平面直角坐标系中三角形面积的求法
平面直角坐标系中三角形面积的求法嘿，伙计们！今天我们来聊聊一个非常有趣的话题——如何在平面直角坐标系中求三角形的面积。
我知道你们可能会觉得这个话题有点儿枯燥，但是别担心，我会用一种轻松幽默的方式来讲解这个问题，让你们在轻松愉快的氛围中学到知识。
我们要明确什么是三角形。
三角形就是由三条线段相互连接的图形，这三条线段叫做三角形的边，而它们相互连接的地方叫做三角形的顶点。
好了，现在我们知道了三角形的基本概念，接下来我们就要开始求三角形的面积了。
那么，三角形的面积到底是怎么求出来的呢？其实，这个问题还有一个更简单的方法，那就是：如果一个三角形的底边长是a,高是h,那么它的面积就是ah/2。
这个公式是不是很简单呢？而且还很好记，因为它的名字叫做“海伦公式”。
那么，我们如何应用这个公式来求解具体的三角形面积呢？其实，只要知道三角形的底边长和高，就可以直接将这两个数值代入公式进行计算了。
比如说，我们有一个三角形，它的底边长是10,高是8,那么它的面积就是10 * 8/2=40。
有时候我们并不知道三角形的具体尺寸，只知道其中两个顶点的坐标。
这时候，我们就需要运用一些几何知识来求解了。
具体来说，我们可以先求出三角形的另外两个顶点的坐标，然后再将这些坐标代入海伦公式进行计算。
这个过程可能会比较复杂一点儿，但是只要你掌握了方法，就一定能够成功求解。
那么，我们如何求出三角形的另外两个顶点的坐标呢？这里就要用到一些基本的几何知识了。
我们要知道三角形的三个顶点是共线的，也就是说它们在同一条直线上。
我们要知道三角形的内角和是180度。
有了这两个条件，我们就可以根据已知的两个顶点的坐标来求出第三个顶点的坐标了。
具体的求法有很多种，这里我就不一一介绍了，你们可以去网上找一些相关的教程学习一下。
求解三角形的面积并不是一件难事儿。
只要你掌握了海伦公式和一些基本的几何知识，就可以轻松地解决这个问题了。
如果你觉得这个问题还是有点儿难度的话，也不要灰心丧气。
平面直角坐标系中三角形面积的计算
（） ２ 分别过 Ａ Ｂ作 轴 的垂线 ， ， 垂足分别是 Ｄ， ， Ｅ 则
ＤＥ ＝６
・
‘ ．
ｃ是直线 Ａ Ｂ与 Ｙ轴的交点 ，
当 ：０时 ，
・ ． ．．．Fra bibliotek：２－ － ＤＥ ×ＯＣ ： １
×６×２ ：６
如 ｓ＝ ａ ， ｌ ａ ｓ Ｃ 海 伦 公 式． 是 这 些 方 法 在 直 ｈ Ｓ＝ ｂｉ ｎ 但
，
２ 在 二次 函数 中的 应 用
ｙ Ｉ Ｉ
角 坐 标 系 中往 往 很难 应 用 ， 文 介 绍 一 种 简 单 的 方 法 并 本 举 例 说 明它 的应 用．
如 图 ｌ 图 ２ 过 ＡＡ Ｃ的 三 个 顶 点 分 别 作 出 与水 平 ， ， Ｂ
Ｃ 莽 Ｉ
Ａ ｜ ｏ
线垂直的三条直线 ， 外侧 两条直线之 间的距离 叫 ＡＡ Ｃ Ｂ 的“ 水平宽 ” ０ ， （ ） 中间 的这条直线 在 Ａ Ｂ Ａ Ｃ内部线段 的 长度叫ＡＡ Ｃ的“ Ｂ 铅垂 高（ ） ． 们可得 出一种计算 三 ｈ ”我
又因为抛物线经过点 Ａ（ ， ） 将其 坐标 代人上式 ， ３０ ，
得 ０＝Ⅱ ３—１ ＋４， 得 ｎ＝ 一１ （ ） 解 ．
‘
标为 （ 一 １ ｍ， ３ ｍ＋ ）
．
。
．
该 抛 物 线 的 表 达 式 为 ）＝ 一（ ， 一１ 十 ， ） ４ 即
Ｙ 一 。＋２ ＋３
．
以点 ｃ为圆心 的圆与直线 Ｂ Ｄ相 切， 判断抛物线 的对 请
称 轴 Ｚ ＯＣ有 怎样 的位 置 关 系 ， 与 并给 出证 明 ；
直角坐标系中求三角形面积的方法
面积问题直角坐标系中求三角形面积的方法：1．如图：已知直线AB:y=-2x+6与x轴、y轴相较于A点、B点；(1)求△AOB的面积；(2)已知D点的横坐标为1、D点的纵坐标为为1，求△COD的面积；(3)已知直线l:y=x-2与AB相交于点E,与y轴交于点F,求两直线与y轴围成的面积；2．如图在平面直角坐标系xOy中，函数y= （x＞0）的图象与一次函数y=kx﹣k的图象的交点为A（m，2）．（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数y=kx﹣k的图象与y轴交于点B，若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，直接写出P点的坐标．3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm 的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．。
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平面直角坐标系中面积的求法
姓名：家长签字：
1、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为：（2，5）、（6，-4）、（-2，0），且边AB与x轴相交于点D，求点D的坐标。
2、在平面直角坐标系中，A（-5，0）、B（3，0），点C在y轴上，且△ABC的面积为12，求点C的坐标。
3、在平面直角坐标系中，P（1，4），点A在坐标轴上，4
PAO
S=，求点P的坐标。
4、已知，点A（-2，0）、B（4，0）、C（2，4）
（1）求△ABC的面积；
（2）设P为x轴上一点，若
1
2
APC PBC
S S
=，试求点P的坐标。
5、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A（1，-1）、B（-1，4）、C（-3，1），（1）求△ABC的面积；
（2）将△ABC先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，求线段AB扫过的面积。
6、在直角坐标系中，A（-4，0）、B（2，0）、点C在y轴正半轴上，18
ABC
S=，（1）求点C的坐标；
（2）是否存在位于坐标轴上的点P，使得
1
2
APC ABC
S S
=。
若存在，请求出P的坐标，若不存在，说
明理由。
7、在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（-1，0）、（3，0），现同时将点A、B分别向上平移2个
单位，再向右平移1个单位，分别得到点A、B的对应点C、D，连接AC、BD。
（1）求点C、D的坐标及四边形ABDC的面积；
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA、PB，使
1
2
APB ABDC
S S
四
，若存在这样的点，求出点P的坐
标，若不存在，试说明理由。
8、如图，已知长方形ABCO中，边AB=8，BC=4。
以O为原点，OAOC所在的直线为y轴和x轴建立直角坐标系。
（1）点A的坐标为（0，4），写出B、C两点的坐标；
（2）若点P从C点出发，以2单位/秒的速度向CO方向移动（不超过点O）,点Q从原点O出发，以1单位/秒的速度向OA方向移动（不超过点A），设P、Q两点同时出发，在他们移动过程中，四边形OPBQ的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求变化的范围。
9、在平面直角坐标系中，已知O是原点，四边形ABCD是长方形，A、B、C的坐标分别是A（-3，1）、B （-3，3）、C（2，3）。
（1）求点D的坐标；
（2）将长方形ABCD以每秒1个单位长度的速度水平向右平移，2秒钟后所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标各是多少？
（3）平移（2）中的长方形A1B1C1D1 ，几秒钟后△OB1D1 的面积等于长方形ABCD的面积？。