三角形的证明知识点汇总
三角形的证明知识点
三角形的证明知识点三角形是几何学中的基本图形之一，在证明三角形的相关性质时，需要掌握一些重要的知识点。
下面将介绍三角形的一些基本性质和常用的证明方法。
一、三角形的定义和分类1. 三角形的定义：三角形是由三条线段所组成的图形，其中任意两条线段之和大于第三条线段。
2. 三角形的分类：根据三条边的长度关系，三角形可以分为三类：(1) 等边三角形：三条边长度相等的三角形。
(2) 等腰三角形：两条边长度相等的三角形。
(3) 普通三角形：三边长度各不相等的三角形。
二、三角形的性质和证明方法1. 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180度。
证明方法：可以利用平行线性质、相交线性质等进行证明。
2. 三角形的外角和定理：三角形的外角等于其两个不相邻内角的和。
证明方法：可以利用三角形的内角和定理进行证明。
3. 三角形的角平分线定理：三角形的内角的平分线相交于一个点，该点到各边的距离相等。
证明方法：可以利用相似三角形、角度相等等进行证明。
4. 三角形的中线定理：三角形的三条中线交于一个点，并且该点到三个顶点的距离等于该点到对边中点的距离的两倍。
证明方法：可以利用平行四边形的性质、向量等进行证明。
5. 三角形的高线定理：三角形的三条高线交于一个点，并且该点到三个顶点的距离相等。
证明方法：可以利用相似三角形、向量等进行证明。
6. 三角形的外心、内心、垂心和重心：三角形的外心、内心、垂心和重心四点共线，构成欧拉线。
证明方法：可以利用向量、性质推导等进行证明。
7. 三角形的相似性：具有相等内角的三角形称为相似三角形，相似三角形的对应边长成比例。
证明方法：可以利用对应角相等、对应边成比例等进行证明。
8. 三角形的全等性：具有相等边长和相等夹角的三角形称为全等三角形。
证明方法：可以利用SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）、ASA （角-边-角）等进行证明。
三、总结以上是关于三角形的一些重要的证明知识点。
学好这些知识点，能够帮助我们更好地理解和证明三角形的性质，为解决相关题目提供帮助。
(完整版)三角形的证明-知识点汇总
知识点2 等腰三角形的性质定理及推论
内容
几何语言
条件与结论
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两底角相等。简述为:等边对等角
在△ABC中，若AB=AC，则∠B=∠C
条件:边相等，即AB=AC
结论：角相等,即∠B=∠C
推论
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相垂直，简述为：三线合一
在△ABC，AB=AC，AD⊥BC，则AD是BC边上的中线，且AD平分∠BAC
条件：等腰三角形中已知顶点的平分线,底边上的中线、底边上的高线之一
结论：该线也是其他两线
等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等;4、底边的中点到两腰的距离相等
知识点3 等边三角形的性质定理
内容
性质定理
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度
解读
(1）等边三角形是特殊的等腰三角形。它具有等腰三角形的一切性质
(2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一"
【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形
知识点6等边三角形的判定定理
内容
判定定理1
三个角都相等的三角形是等边三角形
判定定理2
有一角是60度的等腰三角形是等边三角形
解读
应用判定定理2时，证三角形是等腰三角形,且三角形中有一角为60°
拓展
判定一个三角形是等边三角形的方法有三个：（1）三边都相等的三角形是等边三角形；（2)三个角都相等的三角形是等边三角形;（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。注意要更根据条件和特征灵活选择判定方法
三角形的证明知识点汇总
三角形的证明知识点汇总三角形是几何学中重要的一个概念，其性质和证明方法有着广泛的应用。
以下是关于三角形的一些常见性质和证明的知识点汇总。
1.三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形。
2.三角形的内角和：三角形的内角和等于180度。
这一性质可以通过任意一个三角形的角平面角度等于平面内角度和来证明。
3.三角形的中位线：三角形的三条中线相交于一点，这一点叫做三角形的重心。
重心将三角形分成六个小三角形，每个小三角形的面积都是整个三角形面积的1/64.三角形的高线：三角形的三条高线相交于一点，这一点叫做三角形的垂心。
垂心将三角形分成三个小三角形，每个小三角形的面积都是整个三角形面积的1/35.三角形的角平分线：三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫做三角形的内心。
内心到三角形三边的距离都相等，且内心到三边的连线与该边所对的角平分线垂直。
6.三角形的中线与角平分线的关系：在任意一条边上，三角形的中线长等于该边所对的角平分线长度的一半。
7.三角形的外角和：三角形的外角和等于360度。
这一性质可以通过任意一个三角形的一个外角与其它两个内角相加为180度来证明。
8.三角形的三边关系：在任意一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
9.等边三角形的性质：等边三角形的三条边相等，三个内角都是60度。
10.等腰三角形的性质：等腰三角形的两条边相等，两个底角相等。
11.直角三角形的性质：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
12.三角形的面积公式：三角形的面积等于底边乘以高的一半。
另外，可以使用海伦公式来计算非直角三角形的面积。
13.三角形的相似性：若两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
相似三角形的对应边成比例。
14.三角形的全等性：若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
全等三角形的对应角相等。
15.角平分线定理：三角形一边上的角的平分线与对边的延长线相交于一点，这一点将这条边所对的角平分为相等的两个角。
（完整版）三角形的证明详细知识点、例题、习题）,推荐文档
（完整版）三⾓形的证明详细知识点、例题、习题）,推荐⽂档第⼀章三⾓形的证明⼀、全等三⾓形（1）定义：能够完全相等的三⾓形是全等三⾓形。
（2）性质：全等三⾓形的对应边、对应⾓相等。
（3）判定：SAS、SSS、ASA、AAS、HL注：SSA,AAA不能作为判定三⾓形全等的⽅法，判定两个三⾓形全等时，必须有边的参与，若有两边⼀⾓相等时，⾓必须是两边的夹⾓证题的思路：）找任意⼀边（）找两⾓的夹边（已知两⾓）找夹已知边的另⼀⾓（）找已知边的对⾓（）找已知⾓的另⼀边（边为⾓的邻边任意⾓（若边为⾓的对边，则找已知⼀边⼀⾓）找第三边（）找直⾓（）找夹⾓（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS例题解析：⼆、等腰三⾓形1. 性质：等腰三⾓形的两个底⾓相等（等边对等⾓）.2. 判定：有两个⾓相等的三⾓形是等腰三⾓形（等⾓对等边）．3. 推论：等腰三⾓形顶⾓的平分线、底边上的中线、底边上的⾼互相重合（即“三线合⼀”）．4. 等边三⾓形的性质及判定定理性质定理：等边三⾓形的三个⾓都相等，并且每个⾓都等于60°；等边三⾓形是轴对称图形，有3条对称轴.判定定理：有⼀个⾓是60°的等腰三⾓形是等边三⾓形；三个⾓都相等的三⾓形是等边三⾓形.5. 含30°的直⾓三⾓形的边的性质定理：在直⾓三⾓形中，如果⼀个锐⾓等于30°，那么它所对的直⾓边等于斜边的⼀半.例题解析：三、.直⾓三⾓形1. 勾股定理及其逆定理定理：直⾓三⾓形的两条直⾓边的平⽅和等于斜边的平⽅．逆定理：如果三⾓形两边的平⽅和等于第三边的平⽅，那么这个三⾓形是直⾓三⾓形．2. 命题与逆命题命题包括题设和结论两部分；逆命题是将原命题的题设和结论交换位置得到的；3. 直⾓三⾓形全等的判定定理定理：斜边和⼀条直⾓边对应相等的两个直⾓三⾓形全等要点诠释：①勾股定理的逆定理在语⾔叙述的时候⼀定要注意，不能说成“两条边的平⽅和等于斜边的平⽅”，应该说成“三⾓形两边的平⽅和等于第三边的平⽅”例题解析四、线段的垂直平分线1. 线段垂直平分线的性质及判定性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.判定：到⼀条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 2.三⾓形三边的垂直平分线的性质三⾓形三条边的垂直平分线相交于⼀点，并且这⼀点到三个顶点的距离相等3. 如何⽤尺规作图法作线段的垂直平分线分别以线段的两个端点A、B为圆⼼，以⼤于1/2AB的长为半径作弧，两弧交于点M、N；作直线MN，则直线MN就是线段AB的垂直平分线.要点诠释：①注意区分线段的垂直平分线性质定理和判定定理,注意⼆者的应⽤范围；②利⽤线段的垂直平分线定理可解决两条线段的和距离最短问题.例题解析五、.⾓平分线1. ⾓平分线的性质及判定定理性质：⾓平分线上的点到这个⾓的两边的距离相等；判定：在⼀个⾓的内部，且到⾓的两边的距离相等的点，在这个⾓的平分线上2. 三⾓形三条⾓平分线的性质定理性质：三⾓形的三条⾓平分线相交于⼀点，并且这⼀点到三条边的距离相等.3. 如何⽤尺规作图法作出⾓平分线要点诠释：①注意区分⾓平分线性质定理和判定定理,注意⼆者的应⽤范围；③⼏何语⾔的表述，这也是证明线段相等的⼀种重要的⽅法.遇到⾓平分线时，要构造全等三⾓形例题解析：【课堂练习】1、△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，最⼩边BC=4 cm，最长边AB的长是（）A.5 cmB.6 cmC.5cmD.8 cm2、如图，已知∠1＝∠2，则不⼀定．．．能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．BD＝CDC．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA3 、如上图，点,,,B C F E 在同⼀直线上, 12∠=∠,BC FE =,1∠（填“是”或“不是”） 2∠的对顶⾓，要使ABC DEF ，还需添加⼀个条件，这个条件可以是（只需写出⼀个）． 4、已知实数x ，y 满⾜，则以x ，y 的值为两边长的等腰三⾓形的周长是（）A ． 20或16B ． 20C ． 16D ．以上答案均不对5、如图所⽰的正⽅形⽹格中，⽹格线的交点称为格点．已知A 、B 是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得ABC ?为等腰三⾓形．．．．．，则点C 的个数是 A ．6 B ．7C ．8D ．96、⼀个等腰三⾓形静的两边长分别为5或6，则这个等腰三⾓形的周长是．7、等腰三⾓形的周长为16，其⼀边长为6，则另两边为_______________。
三角形的证明知识点
第一章三角形的证明1全等知识点定义：两个图形可以完全重合，或者说两个物体形状相同、大小相等，那么这两个图形全等。
性质：对应角相等、对应边相等。
判定（1）有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等“边角边”简称“SAS”；（2）有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等“角边角”简称“ASA”；（3）三组对应边分别相等的两个三角形全等“边边边”简称“SSS”；（4）有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等“角角边”简称“AAS”；（5）斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等“斜边、直角边”简称“HL”（直角三角形）；2等腰三角形知识点定义：至少有两边相等的三角形叫等腰三角形。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
性质1.等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
2.等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合（“三线合一”）。
3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。
4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。
5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。
6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。
7.一般的等腰三角形是轴对称图形,只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。
但等边三角形（特殊的等腰三角形）有三条对称轴。
每个角的角平分线所在的直线，三条中线所在的直线，和高所在的直线就是等边三角形的对称轴。
8.等腰三角形中腰长的平方等于底边上高的平方加底的一半的平方（勾股定理）。
判定方法1.在同一三角形中，有两条边相等的三角形是等腰三角形。
2.在同一三角形中，如果两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
3.在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
三角形的证明知识点
三角形的证明知识点一、三角形的概念三角形是由三条线段首尾顺次相接组成的图形，通常用符号“△”表示。
在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
二、三角形的性质1、三角形的两边之和大于第三边。
2、三角形的内角和等于180°。
3、三角形的面积公式为：面积=底×高÷2。
4、三角形的稳定性：在几何学中，三角形是一种非常稳定的图形，因为它的三条边之间存在一个固定的角度。
这种稳定性在现实生活中也有很多应用，如桥梁、建筑和机械等。
三、三角形的证明1、定义法：根据三角形的定义，通过证明三条线段首尾顺次相接组成的图形是三角形。
2、平行线法：通过证明两条平行线之间的距离相等来证明它们之间的线段组成的图形是三角形。
3、反证法：通过假设反面命题成立，然后推导出矛盾的结论，从而证明原命题成立。
4、角平分线法：通过证明两个角平分线的交点是三角形的一个顶点，然后证明这个交点到另外两个顶点的距离相等，从而证明这是一个等腰三角形。
5、中位线法：通过证明两条中位线的长度相等来证明三角形是等腰三角形。
6、勾股定理法：通过证明三角形的三条边满足勾股定理来证明这是一个直角三角形。
7、相似三角形法：通过证明两个三角形相似来证明它们对应边之间的比例相等，从而证明这是一个等腰三角形或等边三角形。
8、圆内接四边形法：通过证明一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，从而证明这是一个圆内接四边形，也就是一个等腰梯形。
三角形的证明知识点汇总一、三角形三条边的关系定理：三角形两边之和大于第三边推论：三角形两边之差小于第三边二、三角形内角和定理定理：三角形三个内角和等于180°推论1：直角三角形的两个锐角互余推论2：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和推论3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角三、三角形中线的性质性质：三角形中线平分三角形三条边；三条中线能将三角形分成面积相等的六个部分；三条中线连成的三条线段都大于第三条边的一半。
三角形的证明
第一章三角形的证明第一讲：1.等腰三角形(1)——等腰三角形的性质(知识回顾)知识点一三角形全等的证明方法：1、 2、 3、 4、例1如图所示,分别过点C,B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线,垂足分别为E,F.求证:BF=CE1.如图,AC与BD交于点O,AB∥CD,若用“ASA”或“AAS”判定△AOB≌△COD,还需要添加的一个条件是.2、两块完全相同的三角形纸板ABC和DEF,按如图所示的方式叠放,阴影部分为重叠部分,点O 为边AC和DF的交点.求证:OF=OC.知识点二等腰三角形的性质定理定理:等腰三角形的两底角相等.这个定理简称为等边对等角.例2如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,且BD=AD,DC=AC,求∠B的度数3、若等腰三角形底边上的高与底边的比为1∶2,则它的顶角等于（）A.90°B.60°C.120°D.150°4.已知等腰三角形的一个内角为50°,则这个等腰三角形顶角的度数是( )A.50°B.80C.50°或80°D.40°或65°知识点三等腰三角形性质定理的推论等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合.这条性质通常称为等腰三角形的“三线合一”.是证明那三条线证明: 等腰三角形两底角的平分线相等，高线相等已知：如图，在△ABC中， AB=AC， BD、CE是△ABC的角平分线．求证：BD=CE．拓展点一等腰三角形特殊性质的证明例1求证:等腰三角形两腰上的高的交点到底边两端的距离相等.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,CE⊥AB于点E,BD⊥AC于点D,CE,BD交于点O,求证:OB=OC.知识点四等边三角形的性质定理定理:等边三角形的三个内角都相等,并且每个角都等于60°.例4 如图,点P,Q是△ABC的边BC上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,求∠BAC的度数.拓展点二等边三角形与三角形全等的综合题5、如图,已知△ABC和△ADE都是等边三角形,连接CD,BE.求证:CD=BE习题1、下列各组几何图形中，一定全等的是（）A、各有一个角是550的两个等腰三角形；B、两个等边三角形；C、腰长相等的两个等腰直角三角形；D、各有一个角是500，腰长都为6cm的两个等腰三角形.2、如图，已知：AB∥CD，AB=CD，若要使△ABE≌△CDF,仍需添加一个条件，下列条件中，哪一个不能使△ABE≌△CDF的是（）A、∠A=∠B ;B、BF=CE;C、AE∥DF;D、AE=DF.3、如果等腰三角形的一个内角等于50°，则其余两角的度数为。
三角形的证明详细
三角形的证明1．你能证明它们吗一、主要知识点1、证明三角形全等的判定方法(SSS,SAS,ASA,AAS,证直角三角形全等除上述外还有HL)及全等三角形的性质是对应边相等，对应角相等。
2、等腰三角形的有关知识点。
等边对等角；等角对等边；等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（三线合一）3、等边三角形的有关知识点。
判定：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形；三条边都相等的三角形是等边三角形；三个角都是60°的三角形是等边三角形；有两个叫是60°的三角形是等边三角形。
性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60°。
4、反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
这种证明方法称为反证法二、重点例题分析例1:如下图，在△ABC中，∠B=90°，M是AC上任意一点（M与A不重合）MD⊥BC，交∠ABC的平分线于点D，求证：MD=MA.例2 如右图，已知△ABC和△BDE都是等边三角形，求证：AE=CD.例3：如图：已知AB=AE，BC＝ED，∠B＝∠E，AF⊥CD，F为垂足,求证: ① AC＝AD；②CF＝DF。
1例4 如图，在△ABC 中，AB=AC 、D 是AB 上一点，E 是AC 延长线上一点，且CE=BD ，连结DE 交BC 于F 。
（1）猜想DF 与EF 的大小关系；（2）请证明你的猜想。
2．直角三角形一、主要知识点1、直角三角形的有关知识。
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
2、互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理. 二、典型例题分析例1 ：说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补； （3）如果ab=0,那么a=0,b=0；（4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 例2：如图，ABC ∆中，3590,12,,22C CD BD ∠=︒∠=∠==， 求AC 的长。
三角形的证明知识点
三角形的证明知识点三角形作为几何学中的基本形状之一，具有丰富的性质和定理。
在学习三角形的相关知识时，我们需要了解并掌握一些重要的证明方法和相关定理。
本文将介绍几个常见的三角形证明知识点。
一、等腰三角形的性质证明等腰三角形是指两边相等的三角形。
证明等腰三角形的性质时，常用到的方法是通过辅助线的引入，将原有的问题转化为易于证明的几何图形。
例如，我们要证明等腰三角形的顶角相等。
我们可以通过在等腰三角形的底边上引入一个中垂线，将等腰三角形分成两个全等的直角三角形。
由此可以得到等腰三角形的顶角相等的结论。
二、全等三角形的证明方法全等三角形是指具有相同边长和角度的三角形。
证明两个三角形全等时，可以通过使用SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）或者ASA （角-边-角）的证明方法。
以证明两个三角形全等为例，我们可以利用两个三角形的对应边和对应角相等的关系来进行证明。
通过给定的条件，分别对应地找到两个三角形的对应边和对应角，并证明它们相等，从而得出两个三角形全等的结论。
三、三角形的内角和定理的证明三角形的内角和定理是指三角形内角的和等于180°。
我们一般通过引入平行线、相似三角形等方法来证明这个定理。
例如，我们可以通过在三角形的两个角上分别引入平行线，将三角形分成一个小三角形和一个四边形。
通过推理和运用平行线的性质，可以证明四边形的内角和等于360°，进而利用三角形的三个小角和四边形的内角和等于360°的关系，得到三角形内角和定理。
四、三角形的中线性质证明三角形的中线是连接一个顶点与对边中点的线段。
证明三角形中线性质时，一种常见的方法是通过分析各个线段之间的关系，运用面积相等的性质来进行证明。
以证明三角形中线平行于底边的性质为例，我们可以通过利用面积相等的性质来进行证明。
通过连接三角形的两个顶点和中点，我们可以得到两个全等的三角形。
然后利用这两个全等的三角形的面积相等，我们可以证明中线平行于底边的结论。
第一章三角形的证明知识点
第一章三角形的证明知识点在几何学中，三角形是最基本的图形之一，其性质和证明方法在数学中有着重要的地位。
本章将介绍一些与三角形相关的证明知识点，帮助我们更好地理解三角形的性质和特点。
一、三角形的性质：1. 三角形的定义：三角形是由三条线段组成的图形，这三条线段称为三角形的边，而由这三条边所确定的三个内角则称为三角形的内角。
2. 三角形的分类：根据三角形的边长和角度大小，三角形可以分为三种不同类型：等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
- 等边三角形的三条边的长度相等。
- 等腰三角形的两条边的长度相等。
- 普通三角形的三条边的长度各不相等。
3. 三角形的角度和边长关系：- 三角形的内角和等于180度（即∠A + ∠B + ∠C = 180°）。
- 三角形的任意两边之和大于第三边（即 AB + BC > AC，AC+ BC > AB，AB + AC > BC）。
二、三角形的证明知识点：1. 等腰三角形的性质：- 等腰三角形的底角相等，顶角相等。
- 等腰三角形的腰上的高线相等。
证明：设ΔABC 是一个等腰三角形，其中 AB = AC。
连接 A 到三角形的底边 BC，构造垂直于 BC 的高线 AD。
由于 AB = AC，所以∠ABC = ∠ACB。
同时，AD 为高线，所以 AD ⊥ BC，故∠BAC = ∠CAD。
因此，我们可以得出等腰三角形的底角相等并且顶角相等的结论。
同样，由于 AB = AC，所以 AD = AD，即等腰三角形的腰上的高线相等。
2. 直角三角形的性质：- 直角三角形的两条边之间满足勾股定理：c^2 = a^2 + b^2。
- 直角三角形的两条直角边之间满足勾股定理。
证明：设ΔABC 是一个直角三角形，其中∠ABC = 90°。
根据勾股定理，我们可以得出 c^2 = a^2 + b^2。
同时，直角三角形的两条直角边是相互垂直的，即∠ABC = 90°。
(完整版)三角形的性质及判定归纳
(完整版)三角形的性质及判定归纳1. 三角形的定义三角形是由三条线段连接而成的图形，其中每条线段称为三角形的边，相邻的两条边之间的交点称为三角形的顶点。
根据三角形的边的长度，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
2. 三角形的性质2.1. 三角形的内角和对于任意一个三角形，三个内角的和始终为180度。
根据角度的大小，可以将三角形分为钝角三角形、直角三角形和锐角三角形。
2.2. 等边三角形等边三角形是指三条边的长度相等的三角形。
等边三角形的三个内角的度数都为60度。
由于边长相等，所以等边三角形的三条高度、三条中线和三条角平分线也相等。
2.3. 等腰三角形等腰三角形是指两条边的长度相等的三角形。
等腰三角形的两个底角（非顶角）的度数相等。
等腰三角形的两条高度、两条中线和两条角平分线相等。
2.4. 直角三角形直角三角形是指其中一个内角为90度的三角形。
直角三角形的边的长度满足勾股定理：a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为两条边的长度，c为斜边的长度。
2.5. 锐角三角形和钝角三角形除了等边三角形、等腰三角形和直角三角形之外，剩下的三角形都属于锐角三角形和钝角三角形。
锐角三角形指的是三个内角的度数都小于90度的三角形，钝角三角形指的是至少有一个内角大于90度的三角形。
3. 三角形的判定3.1. 等边三角形的判定当三个边的长度都相等时，该三角形为等边三角形。
3.2. 等腰三角形的判定当两个边的长度相等或两个底角（非顶角）的度数相等时，该三角形为等腰三角形。
3.3. 直角三角形的判定当三条边的长度满足勾股定理时，该三角形为直角三角形。
3.4. 锐角三角形和钝角三角形的判定当三个内角的度数都小于90度时，该三角形为锐角三角形；当至少有一个内角的度数大于90度时，该三角形为钝角三角形。
结论通过对三角形的性质及判定的归纳，我们可以更好地理解和解决三角形相关的问题，而且可以辅助我们进行三角形的分类和运用。
完整版)解三角形知识点归纳总结
完整版)解三角形知识点归纳总结第一章解三角形一、正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 sinA/a = sinB/b = sinC/c = 2R （其中R是三角形外接圆的半径）。
变形：1) sinA/sinB/sinC = (a/b/c)/(2R)，化边为角；2) a:b:c = = sinA/sinB，化角为边；3) a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC，化边为角；4) sinA = a/2R，sinB = b/2R，sinC = c/2R，化角为边。
利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题：①已知两个角及任意一边，求其他两边和另一角；例：已知角B,C,a，求解：由A+B+C=180°，求角A，由正弦定理求出b与c。
②已知两边和其中一个角的对角，求其他两个角及另一边。
例：已知边a,b,A，求解：由正弦定理求出角B，由A+B+C=180°求出角C，再使用正弦定理求出c边。
4.在△ABC中，已知锐角A，边b，则①a<bsinA时，B无解；②a=bsinA或a≥b时，B有一个解；③bsinA<a<b时，B有两个解。
二、三角形面积1.SΔABC = absinC = bcsinA = acsinB；2.SΔABC = (a+b+c)r，其中r是三角形内切圆半径；3.SΔABC = p(p-a)(p-b)(p-c)，其中p=(a+b+c)/2；4.SΔABC = abc/4R，R为外接圆半径；5.SΔABC = 2R²sinAsinBsinC，R为外接圆半径。
三、余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即 a² = b² + c² -2bccosA，b² = a² + c² - 2accosB。
三角形的证明知识点
三角形的证明知识点三角形是几何学中的基础概念之一，它具有重要的性质和特点。
在数学中，我们经常需要证明关于三角形的各种定理和命题，这些证明过程中的关键知识点将在本文中被详细介绍。
以下是有关三角形的证明知识点。
1. 三角形的内角和定理：在任意三角形中，三个内角的和等于180度。
这个定理可以通过角度的基本性质来证明。
假设三角形的三个内角分别为A、B和C，那么根据角度的定义，有A + B + C = 180度。
2. 三角形的外角和定理：在任意三角形中，三个外角的和等于360度。
证明这一定理可以使用与相关角的性质以及内角和定理。
根据内角和定理，三个内角的和等于180度。
由于内角和外角的关系是180度，所以三个外角的和应该是360度。
3. 等边三角形的性质：等边三角形是指三个边的长度都相等的三角形。
等边三角形的内角都是60度。
证明这一定理可以通过分析每个角的大小和等边三角形的对称性质。
4. 等腰三角形的性质：等腰三角形是指两边的长度相等的三角形。
等腰三角形的两个底角（底边的两个对角）是相等的。
证明这一定理可以使用等边三角形的性质，或者通过对称性质和三角形内角和的知识点。
5. 直角三角形的性质：直角三角形是指其中一个角是直角的三角形。
直角三角形的两个锐角（小于90度的角）是互补角，即两个角的和等于90度。
这一性质可以通过直角三角形的定义以及角度的基本性质进行证明。
6. 同位角定理和同旁内角定理：同位角定理指的是在平行线被一条截断时，同位角是相等的。
同旁内角定理指的是在两条平行线被一条截断时，同旁内角是补角。
这些定理可以用于证明平行线和三角形之间的各种性质。
7. 正弦定理和余弦定理：正弦定理用于计算任意三角形的边长与角度之间的关系。
余弦定理则用于计算三角形的边长与角度之间的关系。
这些定理的证明涉及到三角函数和向量的概念，并且在解决实际问题时非常有用。
以上是关于三角形的证明知识点的简要介绍。
通过理解和应用这些知识点，我们可以更好地理解和分析三角形的性质和关系。
七年级三角形的证明知识点
七年级三角形的证明知识点三角形是初中数学中一个非常重要的概念，三角形的性质和证明也是初中数学教育的重难点。
本文将介绍七年级三角形的证明知识点，包括三角形的基本概念、两条边和它们夹角的关系、三角形内角和的性质等。
一、三角形的基本概念三角形是由三条线段组成的图形，三条线段对应的点叫做三角形的顶点，三条线段叫做三角形的边。
三角形的分类有很多种，按照边长分类可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形；按照角度分类可以分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。
二、两条边和它们夹角的关系1.余弦定理当已知三角形中两条边和夹角时，可以用余弦定理求第三边的长度。
余弦定理的公式为：c²=a²+b²-2abcosC其中，a、b为两条已知边的长度，c为第三边的长度，C为已知的夹角。
2.正弦定理当已知三角形中一条边和两个角时，可以用正弦定理求出另外两条边的长度。
正弦定理的公式为：a/sinA=b/sinB=c/sinC其中，a、b、c为三条边的长度，A、B、C为三个对应的角。
根据正弦定理，可以进一步推导出三角形的面积公式为S=1/2absinC。
三、三角形内角和的性质三角形内角和是指三角形内部三个角度的总和，对于任意三角形来说，内角和总是等于180度。
这个结论可以通过以下两种方法证明：1.直角三角形的情况在直角三角形中，直角一定是其中一个角，另外两个角的和为90度。
因此，三角形内角和为180度。
2.任意三角形的情况先将任意三角形切成若干个小三角形，每个小三角形的内角和都等于180度。
因为小三角形可以拼成任意形状的大三角形，所以大三角形内角和也等于180度。
结语：本文介绍了七年级三角形的证明知识点，包括三角形的基本概念、余弦定理、正弦定理和三角形内角和的性质。
对于初学者来说，这些知识点是非常重要的，希望本文对初中数学的学习有所帮助。
三角形的证明-知识点汇总
三角形的证明-知识点汇总三角形是几何学中基础且重要的图形之一。
在证明三角形问题时，我们需要运用一系列几何知识和定理。
本文旨在汇总三角形的证明中常用的知识点，并以清晰、美观的排版方式进行说明。
I. 性质和定义三角形是由三条边和三个角组成的闭合平面图形。
它具有以下一些性质和定义：1. 三角形的内角和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180度。
2. 三角形的外角等于其对应内角的和，即∠A' = ∠B + ∠C、∠B' = ∠A + ∠C、∠C' = ∠A + ∠B。
3. 三边中任意两边之和大于第三边，即a + b > c、a + c > b、b + c > a。
II. 三角形分类根据三条边的长短和角的大小，三角形可以分为不同的类型，常见的包括：1. 等边三角形：三条边长度相等，三个内角均为60度。
2. 等腰三角形：两条边长度相等，两个内角相等。
3. 直角三角形：一个内角为90度的三角形，满足勾股定理，即a^2 + b^2 = c^2。
4. 钝角三角形：一个内角大于90度的三角形。
5. 锐角三角形：三个内角均小于90度的三角形。
6. 斜三角形：三条边中至少有一条边长度为非零实数，既不是等边三角形也不是等腰三角形。
III. 三角形的证明常用定理在证明三角形问题时，我们经常会用到以下一些几何定理：1. 直角三角形的性质：a) 两直角三角形全等，若它们的两条直角边分别相等。
b) 两个直角三角形相似，若它们的内角相等。
2. 等腰三角形的性质：a) 等腰三角形的底边上的高线、中线、角平分线相等。
b) 等腰三角形的底边上的高线、中线互相垂直。
c) 等腰三角形的底边上的高线、中线上的高线、中线、角平分线依次相等。
3. 同位角定理：若两条平行线被一条截线切割，则同位角相等。
4. 弧长定理：一个弧所对的圆心角与该弧所占的圆周角等长。
IV. 三角形的证明示例下面通过一些实际证明的示例，展示如何运用这些知识点和定理证明三角形问题：1. 证明三角形ABC为直角三角形：给定直角三角形ABC，若满足AB^2 + BC^2 = AC^2，则可以证明ABC为直角三角形。
三角形的证明知识点超详细
三角形的证明知识点超详细一、全等三角形的证明。
1. 全等三角形的性质。
- 全等三角形的对应边相等。
例如，若ABC≅ DEF，则AB = DE，BC=EF，AC = DF。
- 全等三角形的对应角相等。
即∠ A=∠ D，∠ B=∠ E，∠ C=∠ F。
2. 全等三角形的判定方法。
- SSS（边边边）- 内容：三边对应相等的两个三角形全等。
- 示例：在ABC和DEF中，若AB = DE，BC = EF，AC=DF，则ABC≅DEF。
- SAS（边角边）- 内容：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
- 示例：在ABC和DEF中，若AB = DE，∠ B=∠ E，BC = EF，则ABC≅DEF。
- ASA（角边角）- 内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
- 示例：在ABC和DEF中，若∠ A=∠ D，AB = DE，∠ B=∠ E，则ABC≅ DEF。
- AAS（角角边）- 内容：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
- 示例：在ABC和DEF中，若∠ A=∠ D，∠ B=∠ E，BC = EF，则ABC≅ DEF。
- HL（斜边、直角边）（适用于直角三角形）- 内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
- 示例：在Rt ABC和Rt DEF中，若AB = DE（斜边），AC = DF（直角边），则Rt ABC≅ Rt DEF。
二、等腰三角形的证明与性质。
1. 等腰三角形的性质。
- 等腰三角形的两腰相等。
例如，在ABC中，若AB = AC，则ABC是等腰三角形。
- 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）。
即若AB = AC，则∠ B=∠ C。
- 等腰三角形三线合一：等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合。
例如，在等腰ABC（AB = AC）中，AD是底边BC上的高，则AD也是BC边上的中线和∠ BAC的平分线。
2. 等腰三角形的判定。
- 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。
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三角形的证明1、等腰三角形（1）定义：有两条的三角形是等腰三角形。
（2）性质：①等腰三角形的相等。
（“等边对等角”）②等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。
（3）判定：①定义②“”2、等边三角形（1）定义：的三角形是等边三角形。
（2）性质：①三角都等于②具有等腰三角形的一切性质。
（3）判定：①定义②三个角都相等的三角形是等边三角形③有一个角是等边三角形。
3、直角三角形(1)定理：在直角三角形中，如果一个锐角是30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
(2)勾股定理及其逆定理直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形（3）“斜边、直角边”或“HL”直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等定理的作用：判定两个直角三角形全等全等三角形的判断及性质：1）三边分别相等的两个三角形全等（SSS）2）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（SAS）3）两角及其夹边分别相等的两个三角形全等（ASA）4）两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）5）全等三角形的对应边相等，对应角相等证明得到与等腰三角形、等边三角形、直角三角形有关的结论1）等腰三角形的两底角相等2）等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合3）等边三角形的三个角都相等，并且每个角都等于60°4）有两角相等的三角形是等腰三角形5）三个角都相等的三角形是等边三角形6）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形7）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半证明的一般步骤：根据题意画出图形；根据条件、结论，结合图形写出已知、求证；经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出推理过程，对假命题的判断，只要举出反例来证明即可。
证明两个三角形全等时，要认真分析已知条件，仔细观察图形，明确已经具备了哪些条件，一般可按下面的思路进行：已知两边：找夹角→SAS找第三边→SSS已知一边一角：边为角的对边→找任意一角→AAS边为邻边：找夹角的另一边→SAS找夹角的另一角→ASA找边的对角→AAS已知两角：找夹边→ASA 找另一个角的邻边→AAS例1：如图：点A、D、B、E在同一直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF，请从图中找出一个与∠E相等的角，并加以证明．（不再添加其他的字母与线段）例2：如图，已知∠1＝∠2，则不一定．．．能使△ABD≌△ACD的条件是（）A．AB＝AC B．BD＝CDC．∠B＝∠C D．∠BDA＝∠CDA例3：等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是（ ）A ． 20°B ． 50°C ． 60°D ． 80°例4：已知:如图，AB ＝AD ，AC ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE.求证:BC ＝DE.(SAS)例5; 已知：如图，B 、C 、E 三点在同一条直线上，AC ∥DE ，AC ＝CE ，∠ACD ＝∠B求证：△ABC ≌△CDE练习：一、选择题1．已知等腰三角形的两边长分别为5㎝、2㎝，则该等腰三角形的周长是（ ）A ．7㎝B ．9㎝C ．12㎝或者9㎝D ．12㎝2．一个等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（ ）A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°3．已知△ABC 的三边长分别是6cm 、8cm 、10cm ，则△ABC 的面积 是（ ）A.24cm 2B.30cm 2C.40cm 2D.48cm 2二、填空题1.如果等腰三角形的有一个角是80°，那么顶角是 度.2.如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A ＝30° ，BD 平分∠ABC 交AC 于D ，若CD ＝ABD C E2cm，则AC= .三、解答题：1.如图，DC⊥CA，EA⊥CA， CD=AB，CB=AE．求证：△BCD≌△EAB2.已知：如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：OB=OC3.如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC 与BD 交于O，AC=BD．求证：（1）BC=AD；（2）△OAB是等腰三角形．4.如图，△ABC中，∠B=90°，AB=BC，AD是△ABC的角平分线，若BD=1，求DC.A BCDOD EC B ADAC。
三角形的证明主要知识点(一)
三角形的证明主要知识点（一）引言概述：三角形的证明是几何学中的重要内容，在数学学科中具有广泛的应用。
通过证明三角形的性质和定理，可以深入理解和推广三角形的各种特性。
本文将介绍三角形证明的主要知识点，帮助读者掌握三角形证明的方法和技巧。
正文内容：一、角度与边的关系1. 三角形内角和定理：三角形内所有角的和等于180度。
2. 三角形外角定理：三角形的外角等于其余两个内角的和。
3. 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角之和等于90度。
4. 等腰三角形的性质：等腰三角形的底角相等，等腰线段相等。
5. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角均为60度。
二、边的关系与比例1. 直角三角形的勾股定理：直角三角形的斜边平方等于两条直角边的平方和。
2. 正弦定理：在任意三角形中，边长与对应角度的正弦值成比例。
3. 余弦定理：在任意三角形中，边长与对应角度的余弦值成反比例。
4. 正切定理：在任意三角形中，边长与对应角度的正切值成比例。
5. 边分配定理：已知一个三角形中两边的比例和一个角的大小，可以确定另一个角的大小。
三、相似三角形的证明1. AAA相似定理：如果两个三角形的三个内角分别相等，那么这两个三角形相似。
2. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
3. SAS相似定理：如果两个三角形的一边成比例，两边夹角相等，那么这两个三角形相似。
4. SSS相似定理：如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形相似。
5. 已知三角形相似，可以证明其它三角形之间的相似关系。
四、三角形的中线和高线1. 中线的性质：在任意三角形中，三条中线交于一点，且该点到三个顶点的距离相等。
2. 高线的性质：在任意三角形中，三条高线交于一点，且该点到三个顶点的距离都相等。
3. 中线长度关系：在任意三角形中，任意两条中线的长度之和等于第三条中线的两倍。
4. 重心与形心的关系：三角形的重心是三条中线的交点，形心是三条高线的交点。
解三角形最全知识点总结
解三角形最全知识点总结一、基本概念1. 三角形的定义三角形是由三条边和三个角组成的平面几何图形。
它是三边相交于三个顶点而成的基本图形，常用符号Δ表示。
2. 三角形的分类根据三角形的边长和角度大小，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形和锐角三角形等5种类型。
3. 三角形的元素三角形的元素包括三边、三角、三个顶点、三个内角和三个外角等。
4. 三角形的性质三角形中的基本性质有：两边之和大于第三边、两角之和大于第三角、外角等于两个不相邻内角之和等。
二、性质定理1. 三角形内角和定理三角形内角和定理是几何学中的经典定理之一，它指出任意三角形内角的和等于180°。
2. 三角形外角和定理三角形的外角和定理是指三角形外角等于它对应内角的和，即三角形的一个外角等于与它相对的两个内角之和。
3. 直角三角形的性质直角三角形是一个内含有一个直角的三角形，它的两条边相对于直角的边长满足勾股定理。
4. 等腰三角形的性质等腰三角形是指两边边长相等的三角形，它的两条边角度相等，即底角相等。
5. 等边三角形的性质等边三角形是指三条边和三个角都相等的三角形，它是所有内角相等的三角形。
6. 中位线定理在三角形中，连接边上中点的直线称为中位线，中位线定理指出中位线的中点构成的线段等于底边的一半。
7. 外心定理外心定理是指三角形外接圆的圆心，外接圆定理指出外心是三角形三边的平分线的交点。
8. 内切圆定理内切圆定理是指三角形内切圆和三角形三边接触点构成的线段等于三角形的半周长。
9. 海伦公式海伦公式是指用三角形三边的长度来求三角形面积的公式，其中s为半周长。
10. 正弦定理正弦定理是三角形中用角的正弦比例来求边长的公式，可表示为a/sinA=b/sinB=c/sinC。
11. 余弦定理余弦定理是三角形中用边长和角度的余弦比例来求边长的公式，可表示为a²=b²+c²-2bc*cosA。
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三角形证明全章热门考点整合应用三个概念概念1反证法1．用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设()A．有一个锐角小于45°B．每一个锐角都小于45°C．有一个锐角大于45°D．每一个锐角都大于45°2．求证：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等．概念2互逆命题3．有下列这些命题：①直角都相等；②内错角相等，两直线平行；③如果a＋b>0，那么a>0，b>0；④相等的角都是直角；⑤如果a>0，b>0，那么ab>0；⑥两直线平行，内错角相等．(1)③和⑤是互逆命题吗？(2)你能说明③和⑤的逆命题各是什么吗？(3)请指出哪几个命题是互逆命题．概念3互逆定理4．下列三个定理中，存在逆定理的有()个．①有两个角相等的三角形是等腰三角形；②全等三角形的周长相等；③同位角相等，两直线平行．A．0B．1C．2D．35．写出下列各命题的逆命题，并判断是不是互逆定理．(1)全等三角形的对应边相等；(2)等角的补角相等．六个性质性质1全等三角形的性质6．如图，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点F.若∠D＝25°，∠AED＝105°，∠DAC＝10°，求∠DFB的度数．(第6题)性质2等腰三角形的性质7．【2017·绍兴】在△ABC中，AB＝AC，D为直线BC上一点，E为直线AC上一点，AD＝AE，设∠BAD＝α，∠CDE＝β.(1)如图，若点D在线段BC上，点E在线段AC上．①如果∠ABC＝60°，∠ADE＝70°，那么α＝________，β＝________.②求α，β之间的关系式．(2)是否存在不同于以上②中的α，β之间的关系式？若存在，求出这个关系式(求出一个即可)；若不存在，请说明理由．(第7题)性质3等边三角形的性质8．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，求证：BD＋CD＝AD.(第8题)性质4直角三角形的性质9．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，AD，BE相交于点P，已知∠EPD＝125°，求∠BAD的度数．(第9题)性质5线段垂直平分线的性质10．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，AB的垂直平分线MN分别交BC，AB于点M，N.求证：CM＝2BM.(第10题)性质6角平分线的性质11．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE是BC的垂直平分线．求证：BC＝2AB.(第11题)四个判定判定1三角形全等的判定12．【中考·武汉】如图，已知点B，C，E，F在同一直线上，BC＝EF，AC⊥BC于点C，DF⊥EF于点F，AC＝DF.求证：(1)△ABC≌△DEF；(2)AB∥DE.(第12题)判定2等腰(边)三角形的判定13．【2017·内江】如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC，求证：△BDE是等腰三角形．(第13题)判定3直角三角形的判定14．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连接PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连接CQ，PQ.(1)观察并猜想AP与CQ之间的数量关系，并证明你的结论；(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，试判断△PQC的形状，并说明理由．(第14题)判定4线段的垂直平分线与角平分线的判定15．【中考·株洲】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是Rt△ABC的一条角平分线，点O，E，F分别在BD，BC，AC上，且四边形OECF是正方形．(1)求证：点O在∠BAC的平分线上；(2)若AC＝5，BC＝12，求OE的长．(第15题)四个技巧技巧1构造全等三角形16．如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE.求证：AB＝CD.(第16题)技巧2构造等腰三角形的“三线合一”17．如图，已知AD＝AE，BD＝CE，试探究AB和AC的数量关系，并说明理由．(第17题)技巧3构造线段垂直平分线上的点到线段两端点的线段18．如图，在△ABC中，∠B＝22.5°，AB的垂直平分线交AB于点Q，交BC于点P，PE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，AD，PE交于点F，求证：DF＝DC.(第18题)技巧4构造角平分线上的点到角两边的垂线段19．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC的中点，AE平分∠BAD.求证：DE平分∠ADC.(第19题)一个应用——最短路线的应用20．如图，A，B两点在直线l的两侧，在直线l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大．(第20题)第一章测评一、选择题(每小题3分,共30分)1.如图,在△ABC中,AB=AC,过点A作AD∥BC.若∠1=70°,则∠BAC的大小为()A.40°B.30°C.70°D.50°2.如图,在△ABC中,AB=AD=DC,∠B=70°,则∠C的度数为()A.35°B.40°C.45°D.50°3.(2017·浙江台州中考)如图,已知在△ABC中,AB=AC.若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是()A.AE=ECB.AE=BEC.∠EBC=∠BACD.∠EBC=∠ABE4.如图,已知∠AOB=30°,P是∠AOB平分线上一点,CP∥OB,交OA于点C,PD⊥OB,垂足为点D,且PC=4,则PD的大小是()A.1B.2C.4D.85.(2017·海南中考)已知△ABC的三边长分别为4,4,6,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC 分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画()A.3条B.4条C.5条D.6条6.用反证法证明“在△ABC中,最多有一个直角或钝角”,第一步应假设()A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角7.如图,△ABC为等边三角形,AD平分∠BAC,△ADE是等边三角形.有下列结论:①AD⊥BC;②EF=FD;③BE=BD;④∠ABE=60°.其中正确结论的个数为()A.4B.3C.2D.18.如图,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为()A.65°B.60°C.55°D.45°9.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,则有下列结论:(1)AD上任意一点到AB,AC的距离相等;(2)∠BDE=∠CDF;(3)BD=CD,AD⊥BC.其中正确的是()A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)10.如图,已知△ABC,求作一点P,使点P到∠A的两边的距离相等,且PA=PB.下列确定点P的方法正确的是()A.点P为∠A,∠B两角的平分线的交点B.点P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点C.点P为AC,AB两边上的高的交点D.点P为AC,AB两边的垂直平分线的交点二、填空题(每小题3分,共18分)11.(2017·江西中考)如图1是一把园林剪刀,把它抽象为图2,其中OA=OB.若剪刀张开的角为30°,则∠A=度.12.已知△ABC是等边三角形,AB=10 cm,则△ABC的面积是cm2.13.如图所示,已知△ABC是等边三角形,点B,C,D,E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E 的度数是.14如图,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,若∠CBA=32°,则∠DFE的度数是.15.如图所示,AB∥CD,O为∠A,∠C的平分线的交点,OE⊥AC于点E.若OE=1,则AB与CD之间的距离是.16.如图所示,∠ABC=60°,AD垂直平分线段BC于点D,∠ABC的平分线BE交AD于点E,连接EC,则∠AEC的度数是.三、解答题(共52分)17.(5分)(2017·湖南郴州中考)已知在△ABC中,∠ABC=∠ACB,点D,E分别为边AB,AC的中点,求证:BE=CD.18.(6分)如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,∠B=30°,∠DAB=45°.(1)求∠DAC的度数;(2)求证:DC=AB.19.(6分)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.20.(6分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是BC边的中点,CE⊥AD于点E,BF ∥AC交CE的延长线于点F.求证:AB垂直平分DF.21.(6分)如图所示,直线OA,OB表示两条相互交叉的公路,点M,N表示两个蔬菜基地.现要建立一个蔬菜批发市场,要求它到两个基地的距离相等,并且到公路OA,OB的距离相等,请你作图说明此批发市场应建在什么地方?22. (7分)如图①,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,点E在AD上.(1)求证:BE=CE;(2)如图②,若BE的延长线交AC于点F,且BF⊥AC,垂足为F,∠BAC=45°,原题设其他条件不变.求证:△AEF≌△BCF.23.(7分)如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,CD,CE三等分∠ACB,且CD⊥AB.求证:(1)AB=2BC;(2)CE=AE=EB.24. (9分)八年级(1)班的同学上数学活动课,利用角尺平分一个角(如图),设计了如下方案:①∠AOB是一个任意角,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.②∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,将角尺的直角顶点P介于射线OA,OB 之间,移动角尺使角尺两边相同的刻度与M,N重合,即PM=PN,过角尺顶点P的射线OP就是∠AOB的平分线.(1)方案①、方案②是否可行?若可行,请证明;若不可行,请说明理由.(2)在方案①PM=PN的情况下,继续移动角尺,同时使PM⊥OA,PN⊥OB.此方案是否可行?请说明理由.。
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三角形的证明知识点汇总
判定定理简称
判定定理的内容
性质
SSS 三角形分别相等的两个三角形全等 全等三角形对应边相等、对应角相等
SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 ASA 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等
AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等
HL （Rt △） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 知识点2 等腰三角形的性质定理及推论
内容
几何语言
条件与结论
等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两底角相等。
简述为：等边对等角 在△ABC 中，若AB=AC ，则∠B=∠C
条件：边相等，即AB=AC 结论：角相等，即∠B=∠C 推论
等腰三角形顶角的平分线、
底边上的中线及底边上的
高线互相垂直，简述为：三
线合一
在△ABC ，AB=AC ，AD ⊥BC ，
则AD 是BC 边上的中线，且
AD 平分∠BAC
条件：等腰三角形中已知顶点的平分线，底边上的中线、底边上的高线之一
结论：该线也是其他两线
等腰三角形中的相等线段：1、等腰三角形两底角的平分线相等；2、等腰三角形两腰上的高相等；3、两腰上的中线相等；4、底边的中点到两腰的距离相等 知识点3 等边三角形的性质定理
内容
性质定理
等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60度
解读
（1）等边三角形是特殊的等腰三角形。
它具有等腰三角形的一切性质
（2）等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的平分线“三线合一”
【易错点】所有的等边三角形都是等腰三角形，但不是所有的等腰三角形都是等边三角形
知识点4 等腰三角形的判定定理
内容
几何语言
条件与结论
等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形，简述为：等校对等边
在△ABC 中，若∠B=∠C 则AC=BC
条件：角相等，即∠B=∠C 结论：边相等，即AB=AC
解读 对“等角对等边”的理解仍然要注意，他的前提是“在同一个三角形中”
拓展
判定一个三角形是等腰三角形有两种方法:1、利用等腰三角形；2、利用等腰三角形的判定定理，即“等角对等边”
知识点5 反证法
概念
证明的一般步骤
反证法在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推
导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件
相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，
这种证明方法称为反证法
（1）假设命题的结论不成立
（2）从这个假设出发，应用正确的推论方
法，得出与定义、基本事实、已有定理或已
知条件相矛盾的结果
（3）由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯
定原命题正确
解读【要点提示】（1）对于一个数学命题，当用直接证法比较困难甚至不能证明时，往往采用间接证法，反证法就是其中一种，当一个命题涉及“一定”“至少”“至多”“无限”“唯一”等情况时，由于结论的反面简单明确，常常用反证法来证明
（2）“推理”必须顺着假设的思路进行，即把假设当作已知条件，“得出矛盾”是指推出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果
知识点6 等边三角形的判定定理
内容
判定定理1 三个角都相等的三角形是等边三角形
判定定理2 有一角是60度的等腰三角形是等边三角形解读应用判定定理2时，证三角形是等腰三角形，且三角形中有一角为60°
拓展判定一个三角形是等边三角形的方法有三个：（1）三边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
注意要更根据条件和特征灵活选择判定方法
巧计乐背三种方法证等边，定义与两个判定，判定2可先证等腰，再找60°角
知识点7 线段的垂直平分线的性质及判定
内容
性质定理线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
判定定理到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上
实例应用：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等（交点是外接圆圆心）
知识点8 角平分线的性质及判定
内容
性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
判定定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
实例应用：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等（交点是内切圆圆心）。