微专题之《圆锥曲线的经典套路》

微专题之《圆锥曲线的经典套路》

祁东二中 邹文海

【前言】圆锥曲线解答题在全国I 卷中作为压轴题考查，虽然近几年难度有所降低，但对绝大部分

学生来说仍然是个难点，对这类题的解答毫无头绪，茫然无措。全国I 卷主要以直线与圆锥曲线的位置关系为中心，合理利用韦达定理解决定点、定值、弦长、面积的取值范围等综合性问题。做这类题的总原则是要化整为零，步步为营，逐步得分。首先第一问求曲线方程必须要解答完美，否则无下文，然后把直线斜率不存在，直线与x 轴平行等特殊情况解答好，绝大部分学生对这一点不重视，嫌一两分太少，不屑一顾，其实这一步有时很重要，有时面积的最值往往在这个特殊位置取得，还会为我们解决定点、定值问题指明方向（即必要条件探路），且能得分，我们又何乐而不为呢？接下来，笔者就直线斜率存在的情况，以直线与圆锥曲线的位置关系为主线如何进行突破作以下探讨。

套路一 直接求点的坐标

此套路一般用来解决动弦过原点或动弦过已知曲线上的定点的问题。直线与曲线方程联立直接解方程或利用韦达定理把动点坐标求出来。

【例题1】设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O

为坐标原点．若|AP|＝|OA|，证明直线OP 的斜率k

满足k >

【分析】先将直线OP 的方程与椭圆方程联立求出P 的坐标，然后利用|AP|＝|OA|减少变元及

1a

b

>建立不等式求解（或建立k 关于

a

b

的函数求解）。 【简析】依题意，直线OP 的方程为y kx =，设点P 的坐标为00(,)x y ．

由条件22

00220

01x y a b y kx

⎧+=⎪⎨⎪=⎩得22

20222

a b x k a b =+① 由|AP |＝|OA |，A (,0)a -及00y kx =，得002

2(0)1

a x x k -=≠+代入①，整理得2222

(1)4()4a k k b +=+，又0a b >>即

1a

b

>，故222(1)44k k +>+

，即k > 【练习】已知椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>， O 为坐标原点，且经过点3

(1,)2,椭圆上任意一点到两个焦点

的距离之和为4.

（1）求椭圆的方程;(2)已知M,N 是椭圆上的两点，且OM ON ⊥,求证：

2

2

11OM

ON

+

为定值。

【评析】直线过原点时，直线方程与曲线方程联立直接求其交点坐标进行突破。

【例题2】如图，已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22

221x y a b

+=(0)a b >>上的三点，其中点

A 是椭

圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC = ，2BC AC =

。

(1)求点C 的坐标及椭圆E 的方程；

(2)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC

关于直线x =对称，求直线PQ 的斜率。

【分析】在（2）中由于点

C 是已知点，此时可利用韦达定理直接求出P,Q 两点坐标，问题也随

之应刃而解。

【简析】 (1)点C

的坐标为，椭圆E 的方程为22

1124

x y +=

(2) 直线PC 与直线QC

关于直线x =

∴设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为k -，从而直线PC 的方程为：

(y k x -=

，即)y kx k =+-

，由22

)

3120

y kx k x y ⎧=-⎪⎨

+-=⎪⎩消y ，整理得：

222(13)(1)91830k x k x k k ++-+--

=x = 是方程的一个根，

22918313P k k x k --∴=+

即2P x =

2Q x =

))P Q P Q y y kx k kx k -=-++

＝()P Q k x x +-

22P Q x x -=-

1

3P Q PQ P Q y y k x x -==- 则直线PQ 的斜率为定值

1

3

。 【练习】己知曲线21:1(0)C y x y =-+≤与x 轴交于A ，B 两点，且点A 在点B 左侧，点P 为x 轴上方的一个动点，D 是线段PB 的中点，直线DO(O 为坐标原点)的斜率与直线PB 的斜率之积为–4.

（1）求动点P 的轨迹2C 的方程；

（2）过点B 的直线l 与1C ，2C 分别交于点M ,Q （均异于点A ，B ），在三角形AMQ 中，，

求直线l 的斜率的范围；(提示：点B 是两曲线的交点，还是已知点，故能求出M,Q 两点的坐标)

【评析】动弦过已知曲线上定点的问题，关键是抓住曲线上的已知点，然后利用韦达定理求出另一个交

点的坐标，接下来根据题意去解决下面的问题就水到渠成了，这一类题很常见。

套路二 设而不求，整体代换

此套路一般用来解决动弦过已知曲线上两动点的问题。直线与曲线方程联立利用韦达定理，把两根之和，两根之积整体代入相应的表达式中进行计算与化简。

【例题3】已知椭圆C ：12222=+b

y a x （a ＞b ＞0）的离心率为,36

短轴一个端点到右焦点的距离为3。

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为

2

3

，求△AOB 面积的最大值 【分析】在（2）中设直线AB 的方程为y kx m =+，利用坐标原点O 到直线l 的距离为

2

3

建立k ，m 的关系，在面积的表达式中减少一个变元，然后把122631km x x k -+=+，2122

3(1)

31

m x x k -=+整体代入，问题就会得到解决，这也是 一类常考题。

【简析】（1）设椭圆的半焦距为c

，依题意c a

a ⎧⎪⎨⎪⎩

1b ∴=，∴所求椭圆方程为2

213

x y +=。

（2）设11()A x y ，，22()B x y ，。（1）当AB x ⊥

轴时，AB =

（2）当AB 与x 轴不垂直时， 设直线AB 的方程为y kx m =+

=2

2

3(1)4

m k =

+。 把y kx m =+代入椭圆方程，整理得22

2

(31)6330k x kmx m +++-=，

122631km x x k -∴+=+，21223(1)31m x x k -=+。22221(1)()AB k x x ∴=+-22

222223612(1)(1)(31)

31k m m k k k ⎡⎤-=+-⎢⎥++⎣⎦ 22222222212(1)(31)3(1)(91)(31)(31)k k m k k k k ++-++==++24222121212

33(0)341961

23696k k k k k k

=+=+≠+=++⨯+++≤。 当且仅当2

2

19k k =

，即3

k =±时等号成立。当0k =

时，AB =max 2AB =。 ∴当AB 最大时，AOB △

面积取最大值max 12S AB =⨯=。