1.1 高等数学---集合的相关知识
高数高等数学1.1映射与函数
说明 (1) 分段函数对应不同的区间，函数有不同的表达式. (2) 分段函数表示一个函数，不是几个函数. (3) 分段函数的定义域是各分区间的定义域的并集.
1 例6 设 f ( x ) 2 1 解 f ( x) 2
0 x1
求 f ( x 2) .
解
2( x 2) 1, 0 x 2 1 f ( x 2) 4 ( x 2), 1 x 2 2
2 x 5, 2 x,
2 x 1 1 x 0
.
几个特殊的函数举例 (1)常函数
开区间
( a , b ) { x a x b}
o
闭区间
a
b
x
[a , b ] { x a x b }
o
a
b
x
半开区间
[a , b ) { x a x b}
( a , b] { x a x b }
无限区间
有限区间
称a, b为区间的端点， 称b－a为这些区间的长度.
1, 当 x > 0 0, 当x = 0
1 ,
1
当x<0
y4
3 2 1
o
-1
x
x sgn x x
(4)取整函数 y x
[x]表示不超过x 的最大整数
-4 -3 -2 -1 o -1 1 -2 -3 -4
2 3 4
x
(5)狄利克雷函数
y
1 1 当x是有理数时 • y D( x ) o• 0 当x是无理数时 无理数点
f (sin x ) (sin x )3 1
高等数学(上册)重要知识点
lim f ( x)
x
x0
0
＝Ａ．如果
是一个在该去心领域取值的数列， xn
0
x （ｎ＝１,2,....)
且
lim x
n
n
则有
lim f ( x ) ＝Ａ．
n
５．如果
lim f ( x) A lim g ( x)
x
x0
，
x
x0
＝Ｂ，并且存在常数δ＞０，
使得当０＜｜ｘ－ x0 ｜＜δ，有 f ( x) g ( x) ，那么Ａ Ｂ。
lim g ( x) u
x
x0
0
，而函数 f 在点 u 0 连续 则有
0
lim f [ g ( x)] f (u )
x
x0
。
6.5 三个等价无穷小(当 x 0 时)
ln( 1 x) ~ x
e
x
-1 ~ x
(1 x)
- 1 ~ x
6.6 基本初等函数在其定义域内是连续的。 一切初等函数在其定义域内都是连续的。 6.7 闭区间上的连续函数在该区间上有界，并且一定能取得最大值与最小 值。 6.8 介值定理 设函数 y f ( x) 在闭区间[a,b]上连续，在该区间的两端点处分别取值 A,B（A≠B,那么,对 A,B 之间的任意一个数 C，在该区间（a,b)内至少存 在一点§使得
f ( x x) f ( x0) x
存在， 称该单侧极限为 y f ( x) 在 x0 点的
f ( x ) ；类似地，称 右导数，记作
0
/
lim
x
f ( x x) f ( x0) x
高等数学1重要知识点总结
高等数学1重要知识点总结•相关推荐高等数学1重要知识点总结在我们的学习时代，说到知识点，大家是不是都习惯性的重视？知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。
掌握知识点有助于大家更好的学习。
下面是小编为大家整理的高等数学1重要知识点总结，希望对大家有所帮助。
高等数学1重要知识点总结11、函数、极限与连续重点考查极限的计算、已知极限确定原式中的未知参数、函数连续性的讨论、间断点类型的判断、无穷小阶的比较、讨论连续函数在给定区间上零点的个数、确定方程在给定区间上有无实根。
2、一元函数微分学重点考查导数与微分的定义、函数导数与微分的计算（包括隐函数求导）、利用洛比达法则求不定式极限、函数极值与最值、方程根的个数、函数不等式的证明、与中值定理相关的证明、在物理和经济等方面的实际应用、曲线渐近线的求法。
3、一元函数积分学重点考查不定积分的计算、定积分的计算、广义积分的计算及判敛、变上限函数的求导和极限、利用积分中值定理和积分性质的证明、定积分的几何应用和物理应用。
4、向量代数与空间解析几何（数一）主要考查向量的运算、平面方程和直线方程及其求法、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等））解决有关问题等，该部分一般不单独考查，主要作为曲线积分和曲面积分的基础。
5、多元函数微分学重点考查多元函数极限存在、连续性、偏导数存在、可微分及偏导连续等问题、多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数求法、有条件极值和无条件极值。
另外，数一还要求掌握方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。
6、多元函数积分学重点考查二重积分在直角坐标和极坐标下的计算、累次积分、积分换序。
此外，数一还要求掌握三重积分的计算、两类曲线积分和两种曲面积分的计算、格林公式、高斯公式及斯托克斯公式。
7、无穷级数（数一、数三）重点考查正项级数的`基本性质和敛散性判别、一般项级数绝对收敛和条件收敛的判别、幂级数收敛半径、收敛域及和函数的求法以及幂级数在特定点的展开问题。
高等数学基本知识点大全
们 论单值函数
函数相等
由函数的定 可知 个函数的构 要素 定 域 对 关系和值域 由于值域是由定 域和对
关系决定的 所 如果 个函数的定 域和对 关系完全
们就 个函数相等
域函数的表示方法
⑷核 解析法 用数学式子表示自 量和因 量之间的对 关系的方法 是解析法 例 直角坐标系中
222
半径 征 圆心在原点的圆的方程是 x 为y =征
的元素完全
因 集合 A 集合 B 相等 记作 A B
真子集 如何集合 A 是集合 B 的子集 但 在 个元素属于 B 但 属于 A 们 集合 A 是集合
B 的真子集 空集
们把
任何元素的集合 做空集 记作 ∅ 并规定 空集是任何集合的子集
由 述集合之间的基本关系 可 得到 面的结论
任何 个集合是它本身的子集
函数的
函数的表达式
函数的 形
函数的性质
⑷核 定 域 光样-∞主为∞核 曲
⑸核 是奇函数
干核 在定 域内是单调增
曲余
曲
们再来看
曲函数 角函数的区 曲函数的性质
s穷x t穷x 是奇函数 干穷x 是偶函数
它们都 是周期函数 曲函数 有和差 式
⑷核 定 域 光样-∞主为∞核
⑸核 是偶函数
干核
像过点样0主1核
B
A B ｛x|x∈A 且 x∈B｝
的集合 的集合
A B 的并集 记作 A A B 的交集 记作 A
补集
全集 通常记作 U
般地 如果 个集合 有 们所研
题中所涉及的所有元素 那 就
个集合 全集
补集 对于 个集合 A 由全集 U 中 属于集合 A 的所有元素
的补集 简 集合 A 的补集 记作 CUA
《高等数学》各章知识点总结——第1章
《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。
集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。
集合中的元素无序，不重复。
2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。
(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。
(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。
(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。
(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。
3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。
(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。
(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。
4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。
(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。
5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。
(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。
(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。
(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。
(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。
总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。
理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。
在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。
高等数学第一章.
记作A
B,即A
B
x
xA或xB.
交集(Intersection): 设A和B是两个集合,由既属
于集合A又属于集合B的元素组成的集合,称为集合A
和集合B的交集, 空集:如果A和B没有公共元素，则称集合A和集合B
集合的表示方法：列举法和描述法。
1.列举法：就是把所有元素都列出来，用大括号括
起来。
s 例如：如果令 表示由2、3、4三个数组成的集合，
用列举法将其写成：s ={2,3,4}
2. 描述法：用语言描述出所有元素的共有特征。
若令 I 表示所有正整数集合,列举便很困难,则我们
可以简单地描述其元素,
写成：
称A是有限集,否则称为无限集(Infinite Set). 我们用N表示全体自然数的集合，即N{1,2,3,L }， 如果存在从A到自然数集合N的双射,则称A是可数无 限集(Countable Infinite Set). 1.2 实数 用Z表示全体整数的集合， 用Q表示全体有理数的集合。
有理数和无理数统称为实数, 用R表示. 把数轴叫做实直线。 上界(Upper Bound):令X是R的一个子集。若存在一 个实数u(不一定属于X), 满足对X中的任意x都有xu, 则称u是X的上界(Upper Bound). 这时称X是有上界的(Bounded Above).类似地，可以
定义下界(Lower Bound).
上确界(Supremum): 令X是R 的一个有上界的子集，
若s是X的一个上界，且对于任意的 y s 都存在一个 xX ,使得x y，则称s是X的上确界。 记为s=sup X; 类似地，可以定义X的下确界(Infimum)。 上确界是最小上界，下确界是最大下界 若X是R的一个有上界（下界）的子集，则X有上确界
高等数学第一章第一课-2022年学习资料
空集为任意集合A的子集，即Φ cA-若A与B互为子集，即AcB,且BCA,则称集合-A与B相等，记作A=B或 =A.-五、集合的运算-交集：A∩B={xxeA且xeB}:-→∩
并集：AUB={xx∈A或x∈B；-例5设A={1,2,4,6,B={2,4,7}-则AUB={1,2,3 4,6,7-A∩B={2,4-6设A={x-1≤x≤2，B={xx>0,-则AUB={xx≥-1，AnB= x0<x≤2-例7设A={xx≤1，B={x2≤x≤5}-则AUB={xx≤1，或2x≤5}，AnB=D. →∩
例4设fx=x2+x-1,求f1,fa,fx+1-〔》奶-解f1=1+1-1=1-fa=a2+a-1-fx =x++x+-1-=x2+3x+1-→
f[fx]=[fx]+[fx]-1-=x2+x-1+x2+x--1-=x4+2x3-1-→∩
如果自变量在定义域内任取一个数值时-对应的函数值总是只有一个，叫做单值函数，-否则叫做多值函数.-例如：y ±V2-x2-定义：点集C={x,yy=∫x,x∈D}称为-函数y=fx的图形-→∩
第一章-函数-极限与连续-§1.1-集合-一、概念-具有某种特定性质并且可以彼此区别的事物的-总体，称为集 -集合里的每一个事物称为集合的元素。-例1方程x2-3x+2=0的根.-有限集合-→∩
例2-全体实数.常记为R.-例3-全体正实数.常记为R-例4-全体自然数.常记为N.-无限集合-若某个元素 属于集合A,则记作x∈A;-若某个元素x不属于集合A,则记作xEA.-例如：-2R,4∈N.-二、集合的表 法-1.列举法：按任意顺序列出集合的所有元素-并用花括号括起来，
高一集合的知识点总结
高一集合的知识点总结高一时期是学生迈入高中阶段的第一步，也是各科知识的基础奠定阶段。
集合是数学学科中非常重要的一个概念，不仅在高中的数学学习中扮演着重要角色，还在后续的高等数学学习以及其他学科中有着广泛应用。
下面将从集合的基本概念、集合的运算、集合间的关系以及集合的应用等方面对高一集合的知识点进行总结和探讨。
一、集合的基本概念集合是指具有共同特征的事物的总体。
在数学中，我们用大写字母A，B，C等来表示集合，用小写字母a，b，c等来表示集合中的元素。
集合的元素一般用列举法或描述法确定。
如果一个元素a属于集合A，我们可以表示为：a∈A。
如果一个元素b不属于集合A，我们可以表示为：b∉A。
集合的基本概念还包括空集和全集。
空集是不含有任何元素的集合，用符号∅表示。
全集是指研究对象所在的范围内的一切元素所组成的集合。
二、集合的运算1. 并集：并集运算是指将属于两个或多个集合的所有元素组成的集合。
用符号∪表示两个集合的并集。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则它们的并集A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集：交集运算是指既属于一个集合又属于另一个集合的元素所组成的集合。
用符号∩表示两个集合的交集。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则它们的交集A∩B={3}。
3. 差集：差集运算是指属于一个集合但不属于另一个集合的元素所组成的集合。
用符号-表示两个集合的差集。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则它们的差集A-B={1,2}。
4. 对称差：对称差运算是指属于一个集合但不属于另一个集合的元素以及属于另一个集合但不属于第一个集合的元素所组成的集合。
用符号△表示两个集合的对称差。
例如，如果集合A={1,2,3}，集合B={3,4,5}，则它们的对称差A△B={1,2,4,5}。
三、集合间的关系1. 包含关系：如果一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，我们可以说集合A包含于集合B，记作A⊆B。
高等数学基本知识点大全
高等数学基础知识大全一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A 、B 、C 、……表示集合，用小写拉丁字母a 、b 、c ……表示集合中的元素。
如果a 是集合A 中的元素，就说a 属于A ，记作：a ∈A ，否则就说a 不属于A ，记作：a A 。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N +或N +。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z 。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q 。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R 。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A 、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作AB （或B A ）。
⑵相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A ＝B 。
⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A ，我们称集合A 是集合B 的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作 ，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
即AA②、对于集合A 、B 、C ，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
大学数学大一知识点总结
大学数学大一知识点总结在大学数学课程中，大一阶段是数学基础知识的奠基阶段，学习了许多基本的数学概念和方法。
本文将对大学数学大一阶段的知识点进行总结。
一、集合论与逻辑集合论作为数学的基础，是大学数学的重要基石。
在这一部分，我们学习了集合的概念、运算以及集合关系的性质。
同时，逻辑学也是数学推理的基础，我们学习了命题逻辑和谓词逻辑的基本原理和推理方法。
1. 集合的基本概念1.1 集合的定义与表示方法1.2 常见集合的表示1.3 空集与全集的概念2. 集合的运算2.1 交集与并集2.2 差集与补集2.3 集合的运算法则3. 集合关系3.1 子集关系3.2 相等关系3.3 包含关系3.4 互不相交关系4. 命题逻辑4.1 命题的概念4.2 命题的连接词与运算4.3 命题的真值表与主析取范式5. 谓词逻辑5.1 谓词的概念5.2 量词的引入5.3 谓词逻辑的公式与推理法则二、数理统计与概率论数理统计与概率论是大学数学的重要分支，它们研究了随机事件和随机变量的概率规律，以及对数据进行推断和分析的统计方法。
1. 概率的基本概念1.1 随机试验与样本空间1.2 事件与概率1.3 基本概率公式2. 条件概率与独立性2.1 条件概率的定义与计算2.2 乘法定理与贝叶斯定理2.3 事件的独立性与相关性3. 随机变量及其分布3.1 随机变量的定义与分类3.2 离散型随机变量与概率质量函数3.3 连续型随机变量与概率密度函数4. 数理统计基础4.1 样本与总体4.2 参数估计与区间估计4.3 假设检验与显著性水平三、微积分基础微积分是大学数学的核心内容，它研究了函数的极限、导数和积分等基本性质。
微积分的应用广泛，为后续的高等数学打下坚实的基础。
1. 函数与极限1.1 函数的定义与性质1.2 极限的概念与计算2. 导数与微分2.1 导数的定义与计算2.2 函数的微分与微分近似2.3 高阶导数与导数的应用3. 积分与不定积分3.1 积分的定义与性质3.2 不定积分的计算与性质3.3 牛顿-莱布尼兹公式与定积分4. 微积分基本定理与应用4.1 微积分基本定理的概念与表述 4.2 曲线的弧长与旋转体的体积 4.3 微分方程基础通过对大学数学大一阶段的知识点总结，我们可以看到数学的广阔和深邃。
同济大学版高等数学b1教材答案
同济大学版高等数学b1教材答案第1章集合与函数1.1 集合的概念1. 一个集合是由一些确定的对象组成的整体，它们被称为该集合的元素。
2. 集合可以用列举法、描述法、区间表示法等多种方式进行表示。
3. 集合之间的相等关系是通过元素是否相同来确定的。
4. 自然数集、整数集、有理数集等是常见的数学集合。
1.2 常用数集1. 自然数集 N = {0, 1, 2, 3, ...}，其中0一般包含在自然数集中，但有时可不包含。
2. 整数集 Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}。
3. 有理数集 Q = {p/q | p, q ∈ Z, q ≠ 0 }。
4. 实数集 R 是包含有理数集和无理数集的集合。
5. 复数集 C = {a + bi | a, b ∈ R, i^2 = -1 }。
1.3 集合的运算1. 并集：A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}。
2. 交集：A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}。
3. 差集：A - B = {x | x ∈ A 且 x ∉ B}。
4. 补集：A' = {x | x 不属于 A}，其中 U 为全集。
1.4 函数的概念与性质1. 函数是两个集合之间的一种对应关系，每个自变量在函数中有唯一的对应值。
2. 函数可以用映射图、解析式、函数表等方式来表示。
3. 函数可以分为定义域、值域、单调性、奇偶性等多个性质。
第2章三角函数2.1 弧度制与角度制1. 角度制是通过度数来度量角的大小。
2. 弧度制是通过弧长与半径之比来度量角的大小，常用符号为rad。
3. 180° = π rad，1° = π/180 rad。
2.2 任意角与三角函数1. 任意角是指不限于标准位置的角。
2. 边长比可以用来表示三角函数的值。
2.3 三角函数的定义1. 正弦函数：sinθ = y/r。
2. 余弦函数：cosθ = x/r。
高一数学集合的知识点
高一数学集合的知识点数学作为一门学科，无论在学术界还是职场中，都扮演着重要的角色。
高中数学作为学生们接触到的第一门高等数学课程，其中的集合是一个非常重要的概念。
本文将讨论高一数学集合的知识点，帮助学生更好地理解和掌握集合的概念和性质。
1. 集合的概念和表示方法集合是指将一些独立的、相关的事物组合在一起形成的整体。
集合通常使用大写字母表示，元素则用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}，表示A由元素1、2和3组成。
2. 集合的性质集合有许多重要的性质，包括唯一性、无序性、互斥性和全包性。
- 唯一性：集合中的元素唯一，不会重复出现。
例如，集合A={1, 2, 3}，没有重复的元素。
- 无序性：集合中的元素没有特定的顺序。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={3, 2, 1}是相等的。
- 互斥性：集合中的元素之间没有交叉或重叠。
例如，集合A={1, 2}和集合B={3, 4}是互斥的。
- 全包性：一个集合可以包含另一个集合。
例如，集合A={1, 2, 3}包含集合B={1, 2}。
3. 集合的运算集合的运算主要有并集、交集、差集和补集。
- 并集：集合A和集合B的并集，表示为A∪B，包含A和B 中的所有元素。
例如，集合A={1, 2}和集合B={2, 3}的并集为A∪B={1, 2, 3}。
- 交集：集合A和集合B的交集，表示为A∩B，包含A和B中共有的元素。
例如，集合A={1, 2}和集合B={2, 3}的交集为A∩B={2}。
- 差集：集合A和集合B的差集，表示为A-B，包含A中不属于B的元素。
例如，集合A={1, 2, 3}和集合B={2, 3}的差集为A-B={1}。
- 补集：给定一个全集U，集合A相对于U的补集，表示为A'，包含U中不属于A的元素。
例如，如果全集U={1, 2, 3, 4, 5}，集合A={1, 2}的补集为A'={3, 4, 5}。
4. 集合的关系和判断集合之间有包含关系、相等关系和互斥关系。
高等数学 函数 (1.1.1)--实数集
���xn
4 ) Bernoulli 不等式
x ≥ 0 ，属 n 属属属属属属
(1＋x)n 1+ nx
例
n
a
-1
a -1 n
(a 1)
乐经良
1.1.6 实数集的界
上界 设 E 为非空实数集， M R , x E : x M ，称 M 是 E 的一个上界 .( 下 界？ )
集合的运算
并（和）： A∪B ( A+B ) ； 交（积）： A∩B (AB)
1.1.2 实数集
实数集 R ：有理数集 (Q) + 无理数集 有理数集的特性
1 ）有序性 2 ）对加减乘除运算的封闭性 ( 构成数域 ) 3 ）稠密性 通过长度： 有理数 → 数轴上的点；
有理数 ← 数轴上的点 ？( 2 ) □ 实实实实实实实实实实完完完 ( 实完完完 )
a
的去心 δ 邻
域
1.1.4 一些符号
: 属属；
: 属属属
: 任给、任意的； : 存在
乐经良
: 蕴含着，必要条件； : 源于 ，充分条件
: 等价
def
= 定义为
max E E 中最大者； min E E 中最小者
用逻辑符号表达某些数学语言较简洁
例如命题：
对任意一个实数 a ，必定存在实数 b, 使得 b >a
2x - y = 2arctan( y - x) 虽然不能得出表达式， 同样可以确定函数
y =f (x)
乐经良
任意给 x0 , 可以确定唯一 y0
u
3
u = 2arctan ( y - x0)
2x0
参数方程表示的函数
1.1 集合 绝对值 区间
3. 表示所有在直线 上的点的集合为：
二、子集、交集、并集和补集
※ 子集：如果集合A中的每一个元素都属于集合B，
则称A为B的子集，记为
或 读作“A包含于B”或“B包含于A”。 例如：R表示全体实数的集合，Q表示全体有理数 的集合，显然Q中每个元素都属于R，所有集合Q是集
合R的子集。
※ 真子集：如果A是B的子集，并且集合B中至少 有一个元素不属于A。那么集合A叫做集合B的真子
集，记作
例如，所有有理数的集合Q是所有实数的集合R的 真子集，即 由定义可知，任何一个集合A是它自己的子集,即 注：空集可认为是任何集合的子集。 。
※ 集合相等：设两个集合A,B。如果 ，同时 ,
则称集合A与集合B相等。记作
※ 交集： 既属于集合A又属于集合B的所有元 素的集合叫做集合A与集合B的交集，记作
a a (b 0) b b
这两个公式是显然的。
四、区间
定义1 集合x | a x b 称为开区间，记作（a，b）。 它在数轴上表示点a与点b之间的线段，但不包括端点 a及端点b（图1.4）；
定义2 集合x | a x b 称为闭区间，记作[a,b]。它在 数轴上表示点a与点b之间的线段，包括其两个端点 （图1.5）。
Q等等.
习惯上集合用大写字母如A，B，C…等表示，而 元素用小写字母如a，b，c…表示。
含有有限个元素的集合称为有限集。含有无限个元
素的集合称为无限集。如果a是集合A的元素，则记
a A 作 a A , 读作“a属于A”。否则记作
“a不属于A”。 不含任何元素的集合叫做空集，记作
,读作
例如，方程 x 2 y 2 1 的实数解是一个空集。
x | x为任何实数 记作 ，称为无穷区间等。 （ ， ）
(完整版)高等数学基础知识点归纳
(完整版)高等数学基础知识点归纳-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN第一讲函数，极限，连续性1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集，记作N。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集，记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集，记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 的元素，我们就说A、B 有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A ?B。
⑵、相等：如何集合A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，此时集合A 中的元素与集合B 中的元素完全一样，因此集合A 与集合B 相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A 是集合B 的子集，但存在一个元素属于B 但不属于A，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A??。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
②、对于集合A、B、C，如果A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。
③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。
集合的基本运算⑴、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集。
记作A∪B。
（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。
高中数学新课标版目录
高中数学新课标版目录高中数学新课标版目录如下：1. 必修一- 第一章：集合与简易逻辑- 1.1 集合的概念- 1.2 集合的运算- 1.3 简易逻辑- 第二章：函数- 2.1 函数的概念- 2.2 函数的性质- 2.3 函数的图像- 第三章：数列- 3.1 数列的概念- 3.2 等差数列- 3.3 等比数列- 第四章：三角函数- 4.1 三角函数的概念- 4.2 三角函数的图像与性质- 4.3 三角恒等变换2. 必修二- 第一章：立体几何- 1.1 空间几何体- 1.2 空间直线与平面- 第二章：平面解析几何- 2.1 直线与圆- 2.2 椭圆、双曲线、抛物线- 第三章：概率与统计- 3.1 随机事件与概率- 3.2 统计初步3. 必修三- 第一章：平面向量- 1.1 向量的概念- 1.2 向量的运算- 第二章：复数- 2.1 复数的概念- 2.2 复数的运算- 第三章：排列组合与二项式定理 - 3.1 排列与组合- 3.2 二项式定理4. 必修四- 第一章：导数及其应用- 1.1 导数的概念- 1.2 导数的运算- 1.3 导数的应用- 第二章：积分- 2.1 积分的概念- 2.2 积分的运算- 第三章：矩阵与变换- 3.1 矩阵的概念- 3.2 矩阵的运算- 3.3 矩阵的应用5. 必修五- 第一章：不等式- 1.1 不等式的概念- 1.2 不等式的解法- 第二章：推理与证明- 2.1 推理的概念- 2.2 证明的方法- 第三章：算法初步- 3.1 算法的概念- 3.2 算法的实现6. 选修一- 第一章：几何证明选讲- 第二章：坐标系与参数方程 - 第三章：不等式的证明与应用7. 选修二- 第一章：计数原理- 第二章：概率论基础- 第三章：统计案例分析8. 选修三- 第一章：微积分初步- 第二章：线性代数基础- 第三章：数学建模初步9. 选修四- 第一章：数学文化与数学史 - 第二章：数学思维与方法- 第三章：数学应用与实践10. 选修五- 第一章：高等数学预备知识 - 第二章：数学竞赛专题- 第三章：数学软件应用以上是高中数学新课标版的主要目录内容，涵盖了高中数学的主要知识点和学习领域。
高等数学知识点总结
高等数学知识点总结高等数学是大学教育中的重要一门课程，其内容涵盖了微积分、线性代数、数学分析等多个方面。
本文将从绪论、微积分、线性代数和数学分析四个方面进行总结，并列举相关题目进行分析和解答。
一、绪论1. 集合论：集合的概念、包含关系、交集、并集、补集等基本运算。
2. 映射与函数：函数的概念、映射的性质、复合函数、反函数、一一映射等基本概念。
3. 极限与连续：数列极限、函数极限、无穷小与无穷大、连续函数等概念。
4. 导数与微分：导数的定义、求导法则、高阶导数、隐函数及参数方程的导数等。
二、微积分1. 反函数与隐函数：反函数定义、隐函数的导数、求反函数的导数等。
题目：已知函数$f(x)=e^{2x}+x\sin{(\frac{\pi}{2}+x)}$，求其反函数$f^{-1}(x)$的导数表达式。
2. 微分中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理、罗尔中值定理等。
题目：判断函数$f(x)=\frac{x^4}{4}-x^3+2x^2-4x$在闭区间[-2,2]上是否满足罗尔中值定理，并给出证明。
3. 泰勒公式与应用：泰勒展开、泰勒公式、常用泰勒公式推导等。
题目：设$f(x)=\ln{(1+\frac{x}{a})}$，求其在$x=0$处的Talor展开式，并写出其带有佩亚诺余项的n阶展开式。
三、线性代数1. 行列式与矩阵：行列式的定义、行列式运算、矩阵的基本运算、逆矩阵、伴随矩阵等。
题目：已知矩阵$A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\3 & 1 & 2 \end{pmatrix}$，求其逆矩阵$A^{-1}$并验证。
2. 线性方程组与矩阵：线性方程组的解、矩阵运算、矩阵的秩、可逆矩阵、特征值与特征向量等。
题目：已知线性方程组$\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix}$，求其解。
大一高数集合的知识点
大一高数集合的知识点集合是高等数学中的一个基本概念，它是数学中用于描述事物的特征和关系的一种工具。
在大一的高等数学中，集合论是一个重要的内容，学习集合论的基本知识点对于理解后续的数学内容非常重要。
下面，我将介绍一些大一高数集合的基本知识点。
1. 集合的定义在数学中，集合是由一些确定的对象组成的整体。
我们通常用大写字母表示集合，用小写字母表示集合中的元素。
例如，集合A可以表示为A={1,2,3}，表示A包含了元素1、2、3。
2. 集合的运算(1) 并集：集合A和B的并集表示为A∪B，表示A和B中所有的元素的集合。
例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
(2) 交集：集合A和B的交集表示为A∩B，表示A和B中共同的元素的集合。
例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。
(3) 差集：集合A和B的差集表示为A-B，表示属于A但不属于B的元素的集合。
例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A-B={1,2}。
(4) 互斥集：当两个集合A和B的交集为空集时，称A和B为互斥集。
(5) 子集：若集合A的所有元素都属于集合B，则称A为B的子集，表示为A⊆B。
例如，若集合A={1,2}，B={1,2,3}，则A⊆B。
(6) 空集：不包含任何元素的集合称为空集，通常用符号∅表示。
3. 集合的性质(1) 交换律：对于任意两个集合A和B，A∪B = B∪A，A∩B = B∩A。
(2) 结合律：对于任意三个集合A、B和C，(A∪B)∪C =A∪(B∪C)，(A∩B)∩C = A∩(B∩C)。
(3) 分配律：对于任意三个集合A、B和C，A∪(B∩C) =(A∪B)∩(A∪C)，A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)。
(4) De Morgan定律：对于任意两个集合A和B，(A∪B)' =A'∩B'，(A∩B)' = A'∪B'，其中'表示取补集。
高等数学 十六章集合论
例如：
➢设 A={1,2} ， B={a,b,c}, 则 AB={(1,a),
(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)}
；
BA ={(a,1), (a,2),(b,1),(b,2),(c,1),(c,2)}；
直乘积的性质
1. |AB|=A B； 2. 对任意集合A，有A=，A=； 3. 直乘积运算不满足交换律，即ABBA； 4. 直乘积运算不满足结合律，即
设A是一个集合，a是集合A中的元素， 记以aA，读作a属于A；若a不是集合A 中的元素，则记以aA，读作a不属于A。
例如：A是正偶数集合，则2A，8A， 36A；而 3A，9A，17A
有限集 、无限集
➢ 包含有限个元素的集合，称为有限集或 有穷集(finite set)；
➢ 包含无限个元素的集合，称为无限集或 无穷集(infinite set )。
a
E
Vu
集合的特征
➢ 确定性； ➢ 互异性； ➢ 无序性； ➢ 多样性；
确定性
➢ 任何一个对象，或者是这个集合的元 素，或者不是，二者必居其一；
➢ 例如：A={x|x是自然数，且x<100} B={x|x是年轻人} C={x|x是秃子}
互异性
➢ 集合中任何两个元素都是不同的，即 集合中不允许出现重复的元素。
➢ (A)={S|S A} ➢ 例： A={a,b,c} ，则
(A)={,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
幂集的性质
1. 若A为有穷集，|A|=n，则 |2A | = Cn0 + Cn1 + … + Cnn =2n 。
2. x(A)当且仅当xA。 3. 设A、B是两个集合，AB当且仅当
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倍⻆公式 降幂公式
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基本初等函数---五类
5.反三⻆函数
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基本初等函数---五类
5.反三⻆函数
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初等函数
由常数及基本初等函数经过有限次四则运算和复合 所构成并可一一个式一表示的函数 , 称为初等函数 .
一个特殊的函数举例
(1) 符号函数
(2) 绝对值函数
y
1
o
x
-1
y
o
x
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(3) 取整函数 y=[x] [x]表示不超过 的最一整数
y
-4 -3 -2 -1
-1 1 2 3 4 5 x -2 -3
-4
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函数
一 集合的相关概念 一 初等函数
邻域
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实一邻域
左 邻域 :
右 邻域 :
去一邻域
直积（笛卡尔乘积）
将两个元素x和y按前后顺序排列成一个元素
说明 类似地，三元有序数组 设A,B是 两个任意集合，则称集合
为A与B的直积(或笛卡尔乘积)，记作
.
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直积（笛卡尔乘积）
例如
记
为平一上的全体点集
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基本初等函数---五类 1.幂函数
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基本初等函数---五类
2.指数函数
3.对数函数
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基本初等函数---五类
4.三⻆函数 正弦函数
余弦函数
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基本初等函数---五类
4.三⻆函数 正切函数
余切函数
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基本初等函数---五类
4.三⻆函数 正割函数
余割函数
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三⻆函数的定义和关系
倒数关系 商数关系 平一关系