最新北师大版高中数学必修3必修4课后习题答案

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高中数学必修4习题和复习参考题对应答案

高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案A 组1、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角：（1）－265°；（2）－1000°；（3）－843°10′；（4）3900°．答案：（1）95°，第二象限；（2）80°，第一象限；（3）236°50′，第三象限；（4）300°，第四象限．说明：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角．2、写出终边在x 轴上的角的集合．答案：S={α|α=k ·180°，k ∈Z }．说明：将终边相同的角用集合表示．3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β＜360°的元素β写出来：（1）60°；（2）－75°；（3）－824°30′；（4）475°；（5）90°；（6）270°；（7）180°；（8）0°．答案：（1）{β|β=60°＋k ·360°，k ∈Z }，－300°，60°；（2）{β|β=－75°＋k ·360°，k ∈Z }，－75°，285°；（3）{β|β=－824°30′＋k ·360°，k ∈Z }，－104°30′，255°30′；（4）{β|β=475°＋k ·360°，k ∈Z }，－245°，115°；（5）{β|β=90°＋k ·360°，k ∈Z }，－270°，90°；（6）{β|β=270°＋k ·360°，k ∈Z }，－90°，270°；（7）{β|β=180°＋k ·360°，k ∈Z }，－180°，180°；（8）{β|β=k ·360°，k ∈Z }，－360°，0°．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合．答案：象限角度制弧度制一 {β|k ·360°＜β＜90°＋k ·360°，k ∈Z } {|22,}2k k k πβπβπ<<+∈Z二 {β|90°＋k ·360°＜β＜180°＋k ·360°，k ∈Z }{|22,}2k k k πβπβππ+<<+∈Z三 {β|180°＋k ·360°＜β＜270°＋k ·360°，k ∈Z }3{|22,}2k k k πβππβπ+<<+∈Z 四{β|270°＋k ·360°＜β＜360°＋k ·360°，k ∈Z }3{|222,}2k k k πβπβππ+<<+∈Z 说明：用角度制和弧度制写出各象限角的集合．5、选择题：（1）已知α是锐角，那么2α是（） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．小于180°的正角 D ．第一或第二象限角（2）已知α是第一象限角，那么2α是（）、 A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角答案：（1）C 说明：因为0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°．（2）D说明：因为k ·360°＜α＜90°＋k ·360°，k ∈Z ，所以180451802k k α︒<<︒+︒，k ∈Z ．当k 为奇数时，2α是第三象限角；当k 为偶数时，2α是第一象限角．6、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？答案：不等于1弧度．这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长．说明：了解弧度的概念．7、把下列各角度化成弧度：（1）36°；（2）－150°；（3）1095°；（4）1440°．答案：（1）5π；（2）56π；（3）7312π-；（4）8π．说明：能进行度与弧度的换算．8、把下列各弧度化成度：（1）76π-；（2）103π-；（3）1.4；（4）23．答案：（1）－210°；（2）－600°；（3）80.21°；（4）38.2°．说明：能进行弧度与度的换算．9、要在半径OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，求圆心角∠AOB 是多少度（可用计算器，精确到1°）．答案：64°说明：可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为度，也可以直接运用角度制下的弧长公式．10、已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到1cm ）．答案：14cm ．说明：可以先将度换算为弧度，再运用弧度制下的弧长公式，也可以直接运用角度制下的弧长公式．B 组1、每人准备一把扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算器算出它的面积S 1．（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S 2，求S 1与S 2的比值；（2）要使S 1与S 2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到10°）？答案：（1）（略）（2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-，可得θ=0.618（2π－θ），则θ=0.764π≈140°．说明：本题是一个数学实践活动．题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足：120.618S S =（黄金分割比）的道理．2、（1）时间经过4 h （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次、你认为这种说法是否正确？请说明理由．（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合n 次，建立t 关于n 的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．）答案：（1）时针转了－120°，等于23π-弧度；分针转了－1440°，等于－8π弧度（2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数．因为分针旋转的角速度为2(rad /min)6030ππ=，时针旋转的角速度为2(rad/min)1260360ππ=⨯，所以()230360t n πππ-=，即72011t n =．用计算机或计算器作出函数72011t n =的图象（如下页图）或表格，从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间．n u1 15． 981.82 16． 1047.3 17． 1112.7 18． 1178.2 19． 1243.6 20． 1309.1 21． 1374.5 22．1440.因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440（min ），所以720144011n ≤，于是n ≤22．故时针与分针一天内只会重合22次．说明：通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念，并将问题引向深入，用函数思想进行分析．在研究时针与分针一天的重合次数时，可利用计算器或计算机，从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度，不难得到正确的结论．3、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是__________度，即__________rad ．如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10.5cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是__________．答案：864°，245π，151.2π cm ．说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式．当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864rad.205π⨯︒=︒= 由于大齿轮的转速为3r/s ，所以小齿轮周上一点每1s 转过的弧长是483210.5151.2(cm)20ππ⨯⨯⨯=． P20习题1.2A 组1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值：（1）173π-；（2）214π；（3）236π-；（4）1500°．答案：（1）31sin ,cos ,tan 322ααα===；（2）22sin ,cos ,tan 122ααα=-=-=；（3）133sin ,cos ,tan 223ααα===；（4）31sin ,cos ,tan 322ααα===．说明：先利用公式一变形，再根据定义求值，非特殊角的三角函数值用计算器求．2、已知角α的终边上有一点的坐标是P （3a ，4a ），其中a ≠0，求sin α，cos α，tan α的三角函数值．答案：当a ＞0时，434s i n ,c o s,t a n 553ααα===；当a ＜0时，434s i n ,c o s ,t a n 553ααα=-=-=-．说明：根据定义求三角函数值．3、计算：（1）6sin （－90°）＋3sin0°－8sin270°＋12cos180°；（2）10cos270°＋4sin0°＋9tan0°＋15cos360°；（3）22322costantan sin cos sin2446663ππππππ-+-++；（4）2423sin cos tan 323πππ+-．答案：（1）－10；（2）15；（3）32-；（4）94-．说明：求特殊角的三角函数值．4、化简：（1）asin0°＋bcos90°＋ctan180°；（2）－p 2cos180°＋q 2sin90°－2pqcos0°；（3）223cos 2sincos sin 22a b ab ab ππππ-+-；（4）13tan 0cos sin cos sin 222m n p q r ππππ+---．答案：（1）0；（2）（p －q ）2；（3）（a －b ）2；（4）0．说明：利用特殊角的三角函数值化简．5、根据下列条件求函数3()sin()2sin()4cos 23cos()444f x x x x x πππ=++--++的值．（1）4x π=；（2）34x π=．答案：（1）－2；（2）2．说明：转化为特殊角的三角函数的求值问题．6、确定下列三角函数值的符号：（1）sin186°；（2）tan505°；（3）sin7.6π；（4）23tan()4π-；（5）cos940°；（6）59cos()17π-．答案：（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．7、确定下列式子的符号：（1）tan125°·sin273°；（2）tan108cos305︒︒；（3）5411sin cos tan 456πππ；（4）511cos tan 662sin 3πππ．答案：（1）正；（2）负；（3）负；（4）正．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号．8、求下列三角函数值（可用计算器）：（1）67sin()12π-；（2）15tan()4π-；（3）cos398°13′；（4）tan766°15′．答案：（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045．说明：可先运用公式一转化成锐角三角函数，然后再求出三角函数值．9、求证：（1）角θ为第二或第三象限角当且仅当sin θ·tan θ＜0；（2）角θ为第三或第四象限角当且仅当cos θ·tan θ＜0；（3）角θ为第一或第四象限角当且仅当sin 0tan θθ>；（4）角θ为第一或第三象限角当且仅当sinθ·cosθ＞0．答案：（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．当角θ为第二象限角时，sinθ＞0，tanθ＜0，则sinθ·tanθ＜0；当角θ为第三象限角时，sinθ＜0，tanθ＞0，则sinθ·tanθ＜0，所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．再证如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．因为sinθ·tanθ＜0，即sinθ＞0且tanθ＜0，或sinθ＜0且tanθ＞0，当sinθ＞0且tanθ＜0时，角θ为第二象限角；当sinθ＜0且tanθ＞0时，角θ为第三象限角，所以如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．综上所述，原命题成立．（其他小题略）说明：以证明命题的形式，认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号．10、（1）已知3sin2α=-，且α为第四象限角，求cosα，tanα的值；（2）已知5cos13α=-，且α为第二象限角，求sinα，tanα的值；（3）已知3tan4α=-，求sinα，cosα的值；（4）已知cosα=0.68，求sinα，tanα的值（计算结果保留两个有效数字）．答案：（1）1,3 2-；（2）1212,135-；（3）当α为第二象限角时，34 sin,cos55αα==-，当α为第四象限角时，34 sin,cos55αα=-=；（4）当α为第一象限角时，sinα=0.73，tanα=1.1，当α为第四象限角时，sinα=－0.73，tanα=－1.1．说明：要注意角α是第几象限角．11、已知1sin3x=-，求cosx，tanx的值．答案：当x为第三象限角时，222 cos,tan34x x=-=；当x为第四象限角时，222 cos,tan34x x==-.说明：要分别对x是第三象限角和第四象限角进行讨论．12、已知3tan 3,2απαπ=<<，求cos α－sin α的值．答案：1(31)2- 说明：角α是特殊角．13、求证：（1）2212sin cos 1tan 1tan cos sin x x xxx x--=+-；（2）tan 2α－sin 2α=tan 2α·sin 2α；（3）（cos β－1）2＋sin 2β=2－2cos β；（4）sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2xcos 2x ．答案：（1）2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---===+-++左边；（2）222222222211cos sin sin (1)sin sin sin tan cos cos cos x x x xxx x xxx-=-===左边；（3）左边=1－2cos β＋cos 2β＋sin 2β=2－2cos β；（4）左边=（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x ·cos 2x=1－2sin 2x ·cos 2x ．说明：还可以从右边变为左边，或对左右同时变形．可提倡一题多解，然后逐渐学会选择较为简单的方法．B 组1、化简（1＋tan 2α）cos 2α．答案：1说明：根据同角三角函数的基本关系，将原三角函数式转化为正余弦函数式．2、化简1sin 1sin 1sin 1sin αααα+---+，其中α为第二象限角．答案：－2tan α说明：先变形，再根据同角三角函数的基本关系进行化简．3、已知tan α=2，求sin cos sin cos αααα+-的值．答案：3说明：先转化为正切函数式．4、从本节的例7可以看出，cos 1sin 1sin cos x x x x+=-就是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形．你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？答案：又如sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2x ·cos 2x 也是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形；2211tan cos x x=+是sin 2x ＋cos 2x=1和sin tan cos xx x=的变形；等等．说明：本题要求学生至少能写出每个同角关系式的一个变形．P29习题1.3A 组1、将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上：（1）cos210°=__________；（2）sin263°42′=__________；（3）cos()6π-=__________；（4）5sin()3π-=__________；（5）11cos()9π-=__________；（6）cos （－104°26′）=__________；（7）tan632°24′=__________；（8）17tan6π=__________．答案：（1）－cos30°；（2）－sin83°42′ （3）cos 6π；（4）sin3π；（5）2cos9π-；（6）－cos75°34′；（7）－tan87°36′；（8）tan6π-．说明：利用诱导公式转化为锐角三角函数．2、用诱导公式求下列三角函数值：（1）17cos()4π-；（2）sin （－1574°）；（3）sin （－2160°52′）；（4）cos （－1751°36′）；（5）cos1615°8′；（6）26sin()3π-．答案：（1）22；（2）－0.7193；（3）－0.0151；（4）0.6639；（5）－0.9964；（6）32 -说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．3、化简：（1）sin（－1071°）·sin99°＋sin（－171°）·sin（－261°）；（2）1＋sin（α－2π）·sin（π＋α）－2cos2（－α）．答案：（1）0；（2）－cos2α说明：先利用诱导公式转化为角α的三角函数，再进一步化简．4、求证：（1）sin（360°－α）=－sinα；（2）cos（360°－α）=cosα；（3）tan（360°－α）=－tanα．答案：（1）sin（360°－α）=sin（－α）=－sinα；（2）略；（3）略．说明：有的书也将这组恒等式列入诱导公式，但根据公式一可知，它和公式三等价，所以本教科书未将其列入诱导公式．B组1、计算：（1）sin420°·cos750°＋sin（－330°）·cos（－660°）；（2）tan675°＋tan765°－tan（－330°）＋tan（－690°）；（3）252525sin cos tan() 634πππ++-．答案：（1）1；（2）0；（3）0．说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值．2、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）sin（5π－α）；（2）sin()2πα+；（3）3cos()2πα-；（4）tan()2πα-．答案：（1）12；（2）3,,23,;2αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角（3）12-；（4）3,,3,αα⎧⎪⎨-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角.说明：先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系得解． P46习题1.4A 组1、画出下列函数的简图：（1）y=1－sinx ，x ∈[0，2π]；（2）y=3cosx ＋1，x ∈[0，2π]．答案：（1）（2）说明：可以直接用“五点法”作出两个函数的图象；也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象，再通过变换得到这两个函数的图象．2、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．（1）11cos ,23y x x π=-∈R ；（2）3sin(2),4y x x π=+∈R ；（3）31cos(),226y x x π=--∈R ；（4）11sin(),223y x x π=+∈R ．答案：（1）使y 取得最大值的集合是{x|x=6k ＋3，k ∈Z }，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{x|x=6k ，k ∈Z }，最大值是12；（2）使y 取得最大值的集合是{|,}8x x k k ππ=+∈Z ，最大值是3；使y 取得最小值的集合是3{|,}8x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是－3；（3）使y 取得最大值的集合是{|2(21),}3x x k k ππ=++∈Z ，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最小值是32-；（4）使y 取得最大值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最大值是12；使y 取得最小值的集合是5{|4,}3x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是12-．说明：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，研究所给函数的最大值、最小值性质．3、求下列函数的周期：（1）2sin 3y x =，x ∈R ；（2）1cos 42y x =，x ∈R ．答案：（1）3π；（2）2π说明：可直接由函数y=Asin （ωx ＋φ）和函数y=Acos （ωx ＋φ）的周期2T πω=得解．4、利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小：（1）sin103°15′与sin164°30′；（2）4744cos()cos()109ππ--与；（3）sin508°与sin144°；（4）cos760°与cos （－770°）．答案：（1）sin103°15′＞sin164°130′；（2）4744cos()cos()109ππ->-；（3）sin508°＜sin144°；（4）cos760°＞cos （－770°）．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．5、求下列函数的单调区间：（1）y=1＋sinx ，x ∈R ；（2）y=－cosx ，x ∈R ．答案：（1）当[2,2]22x k k ππππ∈-++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是增函数；当3[2,2]22x k k ππππ∈++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是减函数．（2）当x ∈[（2k －1）π，2k π]，k ∈Z 时，y=－cosx 是减函数；当x ∈[2k π，（2k ＋1）π]，k ∈Z 时，y=－cosx 是增函数．说明：利用正弦、余弦函数的单调性研究所给函数的单调性．6、求函数tan()26y x π=-++的定义域．答案：{|,}3x x k k ππ≠+∈Z ．说明：可用换元法．7、求函数5tan(2),()3122k y x x k πππ=-≠+∈Z 的周期．答案：2π．说明：可直接由函数y=Atan （ωx ＋φ）的周期T πω=得解．8、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）13tan()tan()57ππ--与；（2）tan1519°与tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ-与；（4）7tan tan 86ππ与．答案：（1）13tan()tan()57ππ->-；（2）tan1519°＞tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ>-；（4）7tan tan 86ππ<．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．9、根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合：（1）1＋tanx ≥0；（2）tan 30x -≥．答案：（1）{|,}42x k x k k ππππ-+<+∈Z ≤；（2）{|,}32x k x k k ππππ+<+∈Z ≤．说明：只需根据正切曲线写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．10、设函数f （x ）（x ∈R ）是以 2为最小正周期的周期函数，且x ∈[0，2]时f （x ）=（x －1）2．求f （3），7()2f 的值．答案：由于f （x ）以2为最小正周期，所以对任意x ∈R ，有f （x ＋2）=f （x ）．于是：f （3）=f （1＋2）=f （1）=（1－1）2=0；273331()(2)()(1)22224f f f =+==-=．说明：利用周期函数的性质，将其他区间上的求值问题转化到区间[0，2]上的求值问题．11、容易知道，正弦函数y=sinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．答案：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为（k π，0），k ∈Z ．正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2x k k ππ=+∈Z ．由余弦函数和正切的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0)2k ππ+，k ∈Z ，对称轴的方程是x=k π，k ∈Z ；正切曲线的对称中心坐标为(,0)2k π，k ∈Z ，正切曲线不是轴对称图形．说明：利用三角函数的图象和周期性研究其对称性．B 组1、根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合：（1）3sin ()2x x ∈R ≥；（2）22cos 0()x x +∈R ≥．答案：（1）2{|22,}33x k x k k ππππ++∈Z ≤≤；（2）33{|22,}44x k x k k ππππ-++∈Z ≤≤．说明：变形后直接根据正弦函数、余弦函数的图象写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．2、求函数3tan(2)4y x π=--的单调区间．答案：单调递减区间5(,),2828k k k ππππ++∈Z ．说明：利用正切函数的单调区间求所给函数的单调区间．3、已知函数y=f （x ）的图象如图所示，试回答下列问题：（1）求函数的周期；（2）画出函数y=f （x ＋1）的图象；（3）你能写出函数y=f （x ）的解析式吗？答案：（1）2；（2）y=f （x ＋1）的图象如下；（3）y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．说明：可直接由函数y=f （x ）的图象得到其周期．将函数y=f （x ）的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=f （x ＋1）的图象．求函数y=f （x ）的解析式难度较高，需要较强的抽象思维能力．可先求出定义域为一个周期的函数y=f （x ），x ∈[－1，1]的解析式为y=|x|，x ∈[－1，1]，再根据函数y=f （x ）的图象和周期性，得到函数y=f （x ）的解析式为y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ． P57习题1.5A 组1、选择题：（1）为了得到函数1cos()3y x =+，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（）A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动13个单位长度D ．向右平行移动13个单位长度（2）为了得到函数cos 5xy =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（）、A ．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的15倍，横坐标不变（3）为了得到函数1cos 4y x =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（）．A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变答案：（1）C ；（2）A ；（3）D ．2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（有条件的可用计算器或计算机作图检验）：（1）14sin 2y x =，x ∈R ；（2）1cos32y x =，x ∈R ；（3）3sin(2)6y x π=+，x ∈R ；（4）112cos()24y x π=-，x ∈R ．答案：（1）（2）（3）（4）说明：研究了参数A、ω、φ对函数图象的影响．3、不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）：（1）8sin()48x y π=-，x ∈[0,＋∞）；（2）1sin(3)37y x π=+，x ∈[0,＋∞）．答案：（1）振幅是8，周期是8π，初相是8π-．先把正弦曲线向右平行移动8π个单位长度，得到函数1sin()8y x π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数2sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到函数38sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数8sin()48x y π=-，x ∈[0，＋∞）的图象．（2）振幅是13，周期是23π，初相是7π．先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度，得到函数1sin()7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到函数2sin(3)7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍（横坐标不变），得到函数31sin(3)37y x π=+，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数1sin(3)37y x π=+，x ∈[0，＋∞）的图象．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=Asin （ωx ＋φ）的图象与正弦曲线的关系．4、图 1.5－1的电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是5sin(100),[0,)3i t t ππ=+∈+∞．（1）求电流i 变化的周期、频率、振幅及其初相；（2）当t=0，1171,,,(:s)60015060060单位时，求电流i ．答案：（1）周期为150，频率为50，振幅为5，初相为3π．（2）t=0时，532i =；1600t =时，i=5；1150t =时，i=0；7600t =时，i=－5；160t =时，i=0．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并求函数值．5、一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球．小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是3cos(),[0,)3g s t t l π=+∈+∞．（1）求小球摆动的周期；（2）已知g ≈980cm/s 2，要使小球摆动的周期是1s ，线的长度l 应当是多少？（精确到0.1cm ）答案：（1）2lgπ；（2）约24.8cm ．说明：了解简谐振的周期．B 组1、弹簧振子的振动是简谐运动．下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t 与位移s 之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动函数解析式．t 0 t 0 2t 0 3t 04t 05t 0 6t 0 7t 0 8t 0 9t 010t 0 11t 0 12t 0s－20.0－17.8－10.10.110.317.720.017.710.30.1 －10.1－17.8－20.0答案：根据已知数据作出散点图（如图）．由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin()62x y t ππ=-，x ∈[0，＋∞）．说明：作出已知数据的散点图，然后选择一个函数模型来描述，并根据已知数据求出该函数模型．2、弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：2sin()4h t π=+．以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在一个剧期的闭区间上的图象，并回答下列问题：（1）小球在开始振动时（即t=0）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？（3）经过多少时问小球往复运动一次？（4）每秒钟小球能往复振动多少次？答案：函数2sin()4h t π=+在[0，2π]上的图象为（1）小球在开始振动时的位置在(0,2)；（2）最高点和最低点与平衡位置的距离都是2；（3）经过2π秒小球往复运动一次；（4）每秒钟小球能往复振动12π次．说明：结合具体问题，了解解析式中各常数的实际意义．3、如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动．求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求点P 的运动周期和频率．答案：点P的纵坐标关于时间t的函数关系式为y=rsin（ωt＋φ），t∈[0，＋∞）；点P的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ．说明：应用函数模型y=rsin（ωt＋φ）解决实际问题．P65习题1.61、根据下列条件，求△ABC的内角A：（1）1sin2A=；（2）2cos2A=-；（3）tanA=1；（4）3 tan3A=-．答案：（1）30°或150°；（2）135°；（3）45°；（4）150°．说明：由角A是△ABC的内角，可知A∈（0°，180°）．2、根据下列条件，求（0，2π）内的角x：（1）3sin2x=-；（2）sinx=－1；（3）cosx=0；（4）tanx=1．答案：（1）4533ππ或；（2）32π；（3）322ππ或；（4）544ππ或．说明：可让学生再变换角x的取值范围求解．3、天上有些恒星的亮度是会变化的．其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化、下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图、此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？答案：5.5天；约3.7等星；约4.4等星．说明：每个周期的图象不一定完全相同，表示视星等的坐标是由大到小．4、夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上．为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业拉闸限电，而到了0时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请你调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案．答案：先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案．说明：建立周期变化的模型解决实际问题．B组1、北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗、请根据年鉴或其他的参考资料，统计过去一年不同时期的日出和日落时间．（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？答案：略．说明：建立周期变化的函数模型，根据模型解决实际问题．2、一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关的数据并提供理论证据支持你的结论．答案：略．说明：收集数据，建立周期变化的函数模型，根据模型提出个人意见．然后采取上网、查阅资料或走访专业人士的形式，获取这方面的信息，以此来说明自己的结论．P69复习参考题A 组1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并且把S 中适合不等式－2π≤β≤4π的元素β写出来：（1）4π；（2）23π-；（3）125π；（4）0．答案：（1）79{|2,},,,4444k k ππππββπ=+∈-Z ；（2）22410{|2,},,,3333k k ββπππππ=-+∈-Z ；（3）128212{|2,},,,5555k k ββπππππ=+∈-Z ；（4）{β|β=2k π，k ∈Z }，－2π，0，2π．说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．2、在半径为15cm 的圆中，一扇形的弧含有54°，求这个扇形的周长与面积（π取3.14，计算结果保留两个有效数字）．答案：周长约44cm ，面积约1.1×102cm 2．说明：可先将角度转化为弧度，再利用弧度制下的弧长和面积公式求解．3、确定下列三角函数值的符号：（1）sin4；（2）cos5；（3）tan8；（4）tan （－3）．答案：（1）负；（2）正；（3）负；（4）正．说明：将角的弧度数转化为含π的形式或度，再进行判断．4、已知1cos 4ϕ=，求sin φ，tan φ．答案：当φ为第一象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ==；当φ为第四象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ=-=-．说明：先求sin φ的值，再求tan φ的值．5、已知sinx=2cosx ，求角x 的三个三角函数值．答案：当x 为第一象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x ==；当x 为第三象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x =-=-．说明：先求tanx 的值，再求另外两个函数的值．6、用cos α表示sin 4α－sin 2α＋cos 2α．答案：cos 4α．说明：先将原式变形为sin 2α（sin 2α－1）＋cos 2α，再用同角三角函数的基本关系变形．7、求证：（1）2（1－sin α）（1＋cos α）=（1－sin α＋cos α）2；（2）sin 2α＋sin 2β－sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β=1．答案：（1）左边=2－2sin α＋2cos α－2sin αcos α=1＋sin 2α＋cos 2α－2sin α＋2cos α－2sin αcos α =右边．（2）左边=sin 2α（1－sin 2β）＋sin 2β＋cos 2αcos 2β=cos 2β（sin 2α＋cos 2α）＋sin 2β =1=右边．说明：第（1）题可先将左右两边展开，再用同角三角函数的基本关系变形．8、已知tan α=3，计算：（1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）sin αcos α；（3）（sin α＋cos α）2．答案：（1）57；（2）310；（3）85．说明：第（2）题可由222sin tan 9cos ααα==，得21c o s 10α=，所以23sin cos tan cos 10αααα==．或222s incs i n c10sin cos tan 131αααααααα====+++．9、先估计结果的符号，再进行计算．（1）252525sincos tan()634πππ++-；（2）sin2＋cos3＋tan4（可用计算器）．答案：（1）0；（2）1.0771．说明：先根据各个角的位置比较它们的三角函数值的大小，再估计结果的符号．10、已知1sin()2πα+=-，计算：（1）cos（2π－α）；（2）tan（α－7π）．答案：（1）当α为第一象限角时，3 cos(2)2πα-=，当α为第二象限角时，3 cos(2)2πα-=-；（2）当α为第一象限角时，3 tan(7)3απ-=，当α为第二象限角时，3 tan(7)3απ-=-．说明：先用诱导公式转化为α的三角函数，再用同角三角函数的基本关系计算．11、先比较大小，再用计算器求值：（1）sin378°21′，tan1111°，cos642.5°；（2）sin（－879°），313t a n(),c o s()810ππ--；（3）sin3，cos（sin2）．答案：（1）tan1111°=0.601，sin378°21′=0.315，cos642.5°=0.216；（2）sin（－879°）=－0.358，3313tan()0.414,cos()0.588 810ππ-=--=-；（3）sin3=0.141，cos（sin2）=0.614．说明：本题的要求是先估计各三角函数值的大小，再求值验证．12、设π＜x＜2π，填表：x 76π74πsinx －1cosx22-32tanx 3答案：x 76π54π43π32π74π116πsinx12-22-32-－122-12-cosx32-22-12- 02232tanx3313不存在－133-说明：熟悉各特殊角的三角函数值．13、下列各式能否成立，说明理由：（1）cos 2x=1.5；（2）3sin 4x π=-．答案：（1）因为cos 1.5x =，或cos 1.5x =-，而 1.51, 1.51>-<-，所以原式不能成立；（2）因为3sin 4x π=-，而3||14π-<，所以原式有可能成立．说明：利用正弦和余弦函数的最大值和最小值性质进行判断．14、求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大、最小值的x 的集合：（1）sin 2xy π=+，x ∈R ；（2）y=3－2cosx ，x ∈R ．答案：（1）最大值为12π+，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=+∈Z ；最小值为12π-，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=-+∈Z ；（2）最大值为5，此时x 的集合为{x|x=（2k ＋1）π，k ∈Z }；最小值为1，此时x 的集合为{x|x=2k π，k ∈Z }．说明：利用正弦、余弦函数的最大值和最小值性质，研究所给函数的最大值和最小值性质．15、已知0≤x ≤2π，求适合下列条件的角x 的集合：（1）y=sinx 和y=cosx 都是增函数；（2）y=sinx 和y=cosx 都是减函数；（3）y=sinx 是增函数，而y=cosx 是减函数；（4）y=sinx 是减函数，而y=cosx 是增函数．答案：（1）3{|2}2x x ππ≤≤；（2）{|}2x x ππ≤≤；（3）{|0}2x x π≤≤；（4）3{|}2x x ππ≤≤．说明：利用函数图象分析．16、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：（1）1sin(3),;23y x x π=-∈R （2）2sin(),;4y x x π=-+∈R （3）1sin(2),;5y x x π=--∈R（4）3sin(),.63xy x π=-∈R 答案：（1）（2）（3）（4）说明：可要求学生在作出图象后，用计算机或计算器验证．17、（1）用描点法画出函数y=sinx ，[0,]2x π∈的图象．（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得出函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象？（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象？（其中φ，k 都是常数）答案：（1）x 0 18π9π 6π 29π 518π 3π 718π 49π 2π sinx0.17 0.34 0.50 0.64 0.77 0.87 0.94 0.981（2）由sin （π－x ）=sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，π]的图象关于直线2x π=对称，据此可得函数y=sinx ，[,]2x ππ∈的图象；又由sin （2π－x ）=－sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象关于点（π，0）对称，据此可得出函数y=sinx ，x ∈[π，2π]的图象．（3）先把y 轴向右（当φ＞0时）或向左（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度，再把x 轴向下（当k ＞0时）或向上（当k ＜0时）平行移动|k|个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0，2π]之外的部分，便得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象．说明：学会用不同的方法作函数图象．18、不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它们的图象：（1）sin(5),;6y x x π=+∈R（2）12sin,.6y x x =∈R 答案：（1）振幅是1，周期是25π，初相是6π．把正弦曲线向左平行移动6π个单位长度，可以得函数sin()6y x π=+，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的15倍（纵坐标不变），就可得出函数sin(5)6y x π=+，x ∈R 的图象．（2）振幅是2，周期是2π，初相是0．把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数1sin6y x =，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得到函数12sin()6y x =，x ∈R 的图象．说明：会根据解析式求各物理量，并理解如何由正弦曲线通过变换得到正弦函数的图象．。

(北师大版)高中数学必修四：3.3逆用倍角公式降幂(含答案)

逆用倍角公式降幂在化简、求值或证明三角问题时，逆用二倍角的正弦、余弦公式，可以达到降幂、化简等目的.一、含x x cos sin ⋅项时，用x x x 2sin 21cos sin =降幂例1 化简：x x x 2cos cos sin .解 x x x x x x x x 4sin 41)2cos 2sin 2(412cos )2sin 21(2cos cos sin ===. 点评：通过连续几次逆用二倍角的正弦公式进行降幂化简.二、含x x 22sin cos -项时，用x x x 2cos sin cos 22=-降幂例2 求值：8sin 8cos 22ππ-.解 224cos )82cos(8sin 8cos 22==⨯=-ππππ. 点评：通过逆用二倍角的余弦公式转化为求特殊角的余弦值问题.三、含x 2sin 或x 2cos 项时，用x x 2cos 1sin 22-=或x x 2cos 1cos 22+=降幂例3 已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=，求)(x f 的最小正周期和最大值.解 x x x x x x x x x f 2sin )2cos 1(cos sin 2sin 2)cos (sin sin 2)(2+-=+=+= 1)42sin(21)4sin 2cos 4cos 2(sin 2+-=+-=πππx x x . ∴)(x f 的最小正周期ππ==22T ，最大值12+. 点评：通过降幂转化为一个角的一个三角函数的形式后，即可解决与三角函数性质有关的任何问题.四、含x x 44cos sin +项时，用配方法和x x x 2sin 21cos sin =等降幂例4 已知532cos =θ，求θθ44cos sin +的值. 解 θθθθθθθ2sin 211cos sin 2)cos (sin cos sin 22222244-=-+=+ 2517])53(1[211)2cos 1(21122=--=--=θ. 点评：先用配方法转化为积的四次幂，再逆用二倍角的正弦公式降为二次型.五、含x x 44cos sin -项时，用因式分解法和x x x 2cos sin cos 22=-降幂例5 已知函数x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=.(1)求)(x f 的最小正周期；(2)当]2,0[π∈x 时，求)(x f 的最小值以及取得最小值时x 的集合.解 x x x x x f 44sin cos sin 2cos )(--=x x x x x 2sin )sin )(cos sin (cos 2222--+=)42cos(22sin 2cos π+=-=x x x . (1))(x f 的最小正周期是ππ==22T ； (2)当]2,0[π∈x 时，]22,1[)42cos(-∈+πx ，则]1,2[)(-∈x f ，故)(x f 的最小值为2-，这时x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧83π. 点评：先用因式分解法转化为二次幂，再逆用二倍角的余弦公式降为一次型.六、含x 4sin 或x 4cos 项时，用x x 2cos 1sin 22-=或x x 2cos 1cos 22+=降幂例6 求证：ααα4sin 82cos 44cos 3=-+.证明 ααααα2cos 22cos 42)2cos 1(2)sin 2(2sin 822224+-=-== αααα2cos 44cos 3)4cos 1(2cos 42-+=++-=.∴原等式成立.点评：通过变用二倍角公式将四次幂降为一次型，即可从右边证到左边.。

数学必修四答案及解析北师大版

数学必修四答案及解析北师大版实用文档附解析）套新北师大版高一必修一期末测试卷（共2) 一综合测试题( 分钟．分．考试时间120(非选择题)两部分．满分150本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷)分共60第Ⅰ卷(选择题在每小题给出的四个选项中，分，分，共60本大题共12个小题，每小题5选择题一、()只有一项是符合题目要求的BxABAxxxx －30}4，则＋30}，＝{(*****．·全国卷Ⅰ理，1)设集合＝＝{|2|∩－)(33)3，B．(－A．(－3，－)*****)(，D．，C．(1)22xx65＋－xfx|＋lg 的定义域( ) ＝4－|·湖北高考2．(2015)函数) ( x3－A．(2,3) B．(2,4]D．(－(3,4]C．(2,3)∪1,3)∪(3,6]fxgx)有相同图像的一组是与3．下列各组函数，在同一直角坐标中，(()( )11 xxxxgf)＝，(( ()＝()A．)22x－9fxgxx－3＝，)(B．(＝) x3＋1 gxxxfx ＝((2log)＝()，)C．2xxgfx ＝((＝)lg10，)D．xyx) 6的零点，必定位于如下哪一个区间＝ln＋2( 4．函数－(2,3) ．．(1,2) BA(4,5)．C．(3,4)Dfxfxfxx的取值范)(2上的单调增函数，若)是定义域在(0，＋∞)－(，则5．已知()围是( )xx1 B1 ．A．xx2．2 D0C．111x1＋xx (的值为，则＝．已知6＋5)22 x实用文档A．5 B．23D．27C．25yxcacaa≠1)0)(，，7．(2014·山东高考)已知函数的图像如＝log(为常数，其中＋图，则下列结论成立的是( )caac1 ．1，1,01 BA．caac101，1,01DC．0．xfxg) ，则－3与( (的定义域均为)＝8．若函数3(R)＝3＋3xgfx 均为偶函数)与)A．((xgfx 为奇函数)为偶函数，)B．((xgfx 均为奇函数)与C．)((xgfx 为偶函数)为奇函数，D．)((***** )( ()．( 9))，(的大小关系为，333 ***-********-***** ()(A．)())() B)(．(***** ()())．C(())D ．(()***** ***-*****xxfxf))|＝．已知函数( )＝log|，则方程(的实根个数是)(( 101 2 22 ．1 BA．2006．3DC．xf 1]上是增函数，则下列关系式中，成立的是)在11．若偶函数((－∞，－( )3fff(2)1))(－A．(－23fff(2)B．(－1)(－) 23fff)－C．(2)(1)(－2实用文档3fff1)(－D．)(2)－( 2那么称这个点如果一个点是一个指数函数的图像与一个对数函数的图像的公共点，12．1GQMNP“好点”的个中，(2(2,1)，，为“好点”，在下面的五个点(2,2)(1,1)，，(1,2)，) 2)数为（1 ．．0 BA3．C．2D)分共90第Ⅱ卷(非选择题) 分，把答案填在题中横线上5分，共20二、填空题(本大题共4个小题，每小题AA，则满足上述条件2,0,1,2}{－∪{－2,0,2}13．若已知∩{－1,0,1}＝{0,1}，且＝A 个．共有的集合________ xxx，＋2，0＋2≤aafxff＝，则)＝())若＝(14．(2014·浙江高考)设函数2(?xx0.，－________.xx内，则的一个近似解时，已经将一根锁定在区间615．用二分法求方程(0,1)＋4＝下一步可断定该根所在的区间为________．xxy________)＝log (－3的单调递减区间是16．函数1 3证明过程或演算步70分，解答应写出文字说明，6个小题，满分三、解答题(本大题共) 骤qxxAUxxpxBx，－5＋＝＋12＝0}，{＝本小题满分17．(10分)设全集，为R＋＝{||0}BAABAB. ∪＝＝{2}，{4}∩(?，求)若(?)∩)分．(本小题满分1218 9.8)＋＋lg25＋lg4＋7(－(1)不用计算器计算：27log11xxxff ＋(．，求＋((－)＝1))如果(2) xxmxxxf1. ＋＋2本小题满分12分)已知函数－()＝－3(19．m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(1)当m 的值．(2)若函数恰有一个零点在原点处，求xxf)，＋∞∈)是定义在R上的奇函数，并且当)(20．本小题满分12分已知函数(0(xf. 2)＝时，(1f 的值；求(1))(log 3xf 求(2)()的解析式．实用文档1fxaxa为常数，其中＝)(2015·上海高考)已知函数(＋)21．(本小题满分12分xafx)的奇偶性，并说明理由；的不同取值，判断函数(1)根据(afx)在[1,2]((2)若上的单调性，并说明理由．∈(1,3)，判断函数afxfxx1.－)≥0时，(本小题满分12分)已知＝(()是定义在R上的奇函数，当22．aa1.0且其中≠ff 的值；((1)求－(2)＋2)23．xf (的解析式；(2)求)xfx ，结果用集合或区间表示．解关于－的不等式－11)4((3)一．选择题D] 1.[答案3xxxxxxxxxBA ．＝{3}，＝{[解析] |＝{|2|}－4＝＋30}{－|130} 23xxABD.．故选＝{3}故|∩ 2C答案]2.[xffxy：条件域应数满(足)的由函数定＝义(可)的表达式知，函析[解] x，|0|≥4－? ?xx≤－4≤fx)的定义域为(2,3)∪.即函数(3,4](，故应选C.，解得xx?6＋－5xx3≠2且0 x?3－3.[答案] Dfxgxfx)中，([0，＋∞)(；选项)的定义域为R，(B)中，[解析] 选项A的定义域为1 xxxxfg，＝(中，)(＝)(的定义域为－∞，－3)∪(－3，＋∞，)(；选项)的定义域为RC2xgxxxgx)D中，(∈(0，＋∞，∈[0，＋∞))(，定义域和对应关系都不同；选项)＝2log，xxD.＝＝＝lg10，故选lg10B答案]4.[xxffxx ，)2＝－6，设0令[解析] (()＝ln＋ff ln30＝＝－40，，(3)∵(1)fff ，(3)0－(2)＝ln220，(2)·又x ．∴∈(2,3)D答案5.[]实用文档xx00?xx22－0，[解析] 由已知得?xxx1－2xD. ，故选∈(1,2)∴B答案6.[]x＋11xxx ＝] ＝＋＋[解析xx11 xx)(－2＋＝2223. 2－＝＝5B. 故选D] 7.[答案本题考查对数函数的图像以及图像的平移．[解析]caD. 11个单位长度．故0由单调性知0，∴选1.又图像向左平移，没有超过B] 8.[答案xfxfxfffxx)(，∴)＝(3＋3，∴－[解析] (()＝3＋3且定义域为R，则(－))＝为偶函数．xgxxggB. ())，∴(－)＝－为奇函数．故选同理得(D答案] 9.[221y ，解析] ∵(＝)为减函数，[ ***-***** . )(∴()33 ***** xy ，，＋∞又∵)＝上为增函数，且在(03 ***** ，(∴())33 .故选()∴()()D. 333 *****.[答案] B1yyx|的图像如图所示，及|log＝)在同一平面直角坐标系中作出函数][解析＝(1 2 2易得B.实用文档D] 11.[答案fffx ∵．(()为偶函数，∴－(2)＝2)[解析]3xf －∞，－1)－－1，且上是增函数，()在(又∵－2 23fff ∴－(2)1)(－)．( 2C 答案] 12.[xy ]解析∵指数函数过定点(0,1)，对数函数过定点(1,0)且都与没有交点，＝[PMN可、一定不是好点．、对数函数不过点(1,2)，∴点点，∴指数函数不过(1,1)，(2,1)1GyQyx在指数函＝)log和对数函数(2验证：点(2,2)是指数函数的交点，点＝，(2) 222xyyC. (log上．故选)上，且在对数函数数＝＝2 二．填空题4答案] 13.[A ＝{0,1}∵，∩{－1,0,1}][解析AA.?∴0,1∈且－1A 2,0,1,2}，{－2,0,2}＝{又∵－∪AA. 1∈∈且至多－2,0,2∴AA.0,1∈∈且至多－2,2故A 个．{0,1，－2,2}，共有4只能为：{0,1}，{0,1,2}，{0,1，－2}，∴满足条件的2]14.[答案此题考查分段函数、复合函数，已知函数值求自变量．[解析]tffat2. 令((＝)＝)，则ttt0. ，∴∵0时，－≤0≠2ttt2.＝2，∴或－＝即0＋2＋2atfaaa 00≤时，无解．＋2＝＋2当＝0时，(0)＝，aaa ＝0时，－0无解．＝0，aaat 2＝－2当时，＝－2，≤0无解＋2＋aaa2.0时－＝＝－2，115.[答案] (，1)2实用文档xxfx 6，(＋)＝4－[解析] 设ff ，，显然(1)0(0)0111f ，)＋40＝()－6×又(() 2221 ．(，1)∴下一步可断定方程的根所在的区间为2) ，＋∞] (316. [答案xxxx 0，∴03或[解析] 先求定义域，∵，－3xxyuu.－是减函数，且又∵3＝log ＝1 3u的增区间．∴所求区间为(3，＋∞)．即求三．解答题ABAB)＝{4}，，∩] ∵(?()∩?＝{2}17.[解析B,A,A,B，根据元素与集合的关系，?44∈∴2∈?2 pp，12＝074＋4＝－＋? 可得，解得qq6.＝＝02－10＋?AxxxBxxx＋6＝0}＝＝{{2,3}|，经检验符合题意．＝{|－－75＋12＝0}＝{3,4}，∴AB＝{2,3,4}∴．∪3 2 ＋lg(25×4)＋(1)原式＝log32＋118.[解析] 313＝＋2＋3＝. 2211fxx＋)＝∵(( －)(2) xx111xxx－)＋4＋4＝＝(＋＋2＝(2)＋－xxxxxxfxxfx5.＋2＋1)＋∴4(＝)＝4＋，∴＋((＋1)＝Δxmx 有两个根，＝0易知(1)函数有两个零点，则对应方程－32＋，－0＋1]19.[解析4mmΔ ，可解得即；＝4＋12(1－)0 344mΔΔm.，可解得＝0，可解得；＝0 334m 时，函数有两个零点；故344mm 时，函数有一个零点；时，函数无零点．＝33mm1.0(2)因为是对应方程的根，有，可解得0－1＝＝实用文档xfxxf ，＝(2())为奇函数，且当∈(0，＋∞)20.[解析] (1)因为时，1fff3)＝－(log(－所以log(log)＝3) 3＝－3.＝－2xx∈(0，＋∞)0)，则－，(2)设任意的∈(－∞，xxxff )＝)＝2，所以2(因为当－∈(0，＋∞)时，(，xxfxff 上的奇函数，则)(－()又因为＝－(，)是定义在Rxxff ＝－2(－，所以)(＝－)xxf )＝－(2即当；∈(－∞，0)时，fff 0，所以，又因为(0)(0)＝－＝(0) x0，2x?0＝0，xf.(＝综上可知，)x02，－fxxxx∈R}，关于原点对称，{| ≠21.[解析] (1)0(，)的定义域为11axxfxa－)，＋(－＝)＝(－xx－afxfx)为奇函数，((－当)＝0时，＝－afafafffx)即不是奇函1)≠－(－1)＝(1)－1，知当，故≠0时，由((1)＝1＋，－(数也不是偶函数．xx≤2，则设1≤ (2)111xxaxxafxfxaxx－－＝－())－)[()＝(＋]，＋－( xxxxxxxxxxxx＜4＜0,2＜，≤由1＋≤2，得＜－4,1＞11xxaa ，)(＜＋－12－，又1＜＜＜3，所以2－1 xx41axxfxfx)＞0－，＞)－0，从而(( 得)(＋xxfxfxafx)在[1,2]()，故当上单调递增．∈(1,3)即(时，) (fx)是奇函数，( 解析23.[] (1)∵ffff(－2)，即＝(2)＋∴＝－(－2)0. (2)xx0，(2)当0时，－axf1.)＝∴(－－xfxffx )＝－)由(()是奇函数，有－(，xxffxaa ＝∵(－)－10)1(＝－(，∴)＋．实用文档xa 01－≥xf.)∴所求的解析式为＝(?xa 0＋－1 x10－不等式等价于(3)?a141－＋－x0－1≥，或?a14－－1 xx01－10≥－?.或即aa50－32? xx11≥?a 或当1时，有xx5log1－1log2＋?注意此时log20，log50，可得此时不等式的解集为(1－log2,1＋log5)．a1时，不等式的解集为R同理可得，当0.a1时，综上所述，当不等式的解集为(1－log2,1＋log5)；a1时，不等式的解集为R当0.。

北师大版高中数学必修三四综合测试卷(含答案)

图1乙甲7518736247954368534321高一数学试题一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分。

每题只有一个正确答案） 1．已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．我校高中生共有2700人，其中高一年级900人，高二年级1200人，高三年级600人，现采取分层抽样法抽取容量为135的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取的人数分别为A ．45，75，15B ．45，45，45C ．30，90，15D ．45，60，303．已知a 与b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么|3|a b -等于 ABCD ．44. 图1是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是 A ．62 B ．63 C ．64 D ．65 5．在ABC ∆中，有如下四个命题：①BC AC AB =-；②AB BC CA ++=0 ；③若0)()(=-⋅+，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形．其中正确的命题序号是A ．① ②B ．① ③ ④C ．② ③D ．② ④6. 将函数sin (0)y x ωω=>的图象沿x 轴方向左平移6π个单位，平移后的图象如右图所示.则平移后的图象所对应函数的解析式是A ．sin()6y x π=+B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+D ．sin(2)3y x π=-7．给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“甲射中7环”与“乙射中8环”； ③甲、乙两人各射击1次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”； ④甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，其中属于互斥事件的有（） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 8．200所示，则时速在[60，70)的汽车大约有( ) A ．30辆 B ． 40辆C ． 60辆 D ．80辆9. 函数)cos[2()]y x x ππ-+是 A 周期为4π的奇函数 B 周期为4π的偶函数组距频率C 周期为2π的奇函数 D 周期为2π的偶函数 10.如果下边程序执行后输出的结果是990，那么在程序中 WHILE 后面的“条件”应为A. i>10B. i<8C. i<=9D. i<911.下列各式中，值为12的是 A ．sin15cos15B ． 22cos sin 1212ππ- C ．6cos 2121π+ D ．2tan 22.51tan 22.5- 12.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点，使得该点到此三角形的直角顶点的距离不大于1的概率为 A ．π B ．π C ．π D ．π二、填空题（每题4分，共16分）13．已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是 14. 已知x 与y 之间的一组数据为则y 与x 的回归直线方程a bx y +=必过定点_____15．已知样本9,10,11,,x y 的平均数是10xy = 16．已知tan2α＝2，则αtan 的值为_________；6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值为____________三、解答题17.已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时，(1) ka b + 与3a b - 垂直？(2) ka b + 与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？18.一纸箱中放有除颜色外，其余完全相同的黑球和白球，其中黑球2个，白球3个.（Ⅰ）从中同时摸出两个球，求两球颜色恰好相同的概率；（Ⅱ）从中摸出一个球，放回后再摸出一个球，求两球颜色恰好不同的概率.19.某校从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩（均为整数）分成六组[40，50），[50，60）．．．[90，100]后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（Ⅰ）求成绩落在[70，80）上的频率，并补全这个频率分布直方图； (Ⅱ) 估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；(Ⅲ) 从成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.20．已知,cos )a x m x =+ ，(cos ,cos )b x m x =-+ , 且b a x f∙=)((1) 求函数()f x 的解析式;(2) 当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 的最小值是－4 , 求此时函数()f x 的最大值, 并求出相应的x 的值.第19题图21．已知向量 a =（cos α，sin α），b =（cos β，sin β），|b a-．（Ⅰ）求cos （α－β）的值；（Ⅱ）若０＜α＜2π，－2π＜β＜０，且sin β＝－513，求sin α的值．22．（本小题满分14分）函数f (x)=|sin2x |+|cos2x |(Ⅰ)求f (127π-)的值；(Ⅱ)当x ∈[0，4π]时，求f (x)的取值范围；(Ⅲ)我们知道，函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等，请你探究函数f (x)的性质（本小题只需直接写出结论）高一数学试题第二学期质量检测答案一、BDACC CBDCD DB 二、13.23，48 14.（1.5,4） 15.96 16.—34，76三、17.解：(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-（1）()ka b +⊥ (3)a b -，得()ka b + (3)10(3)4(22)2380,19a b k k k k -=--+=-==（2）()//ka b + (3)a b - ，得14(3)10(22),3k k k --=+=-此时1041(,)(10,4)333ka b +=-=-- ，所以方向相反。

2020-2021高中数北师大必修4课后练习：第三章三角恒等变形测评 Word含解析

第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.cos 5π8cos π8+sin 5π8sin π8=( ) A.1B.0C.-1D.12解析cos 5π8cos π8+sin 5π8sin π8=cos π2=0. ★答案★B2.若sin α=k+1k -3,cos α=k -1k -3,则k 的值为( ) A.-7或1 B.-7C.1D.-7或-1解析由题意知(k+1k -3)2+(k -1k -3)2=1,∴(k+1)2+(k-1)2=(k-3)2, ∴k 2+6k-7=0,∴k=-7或k=1,经检验,符合题意,故选A .★答案★A3.若sin α-4cos α=0,则tan (3π4-α)的值为( ) A.53B.-53C.35D.-35解析由已知得tan α=sinαcosα=4, 于是tan (3π4-α)=-1-tanα1-tanα=53.★答案★A4.若(4tan α+1)(1-4tan β)=17,则tan(α-β)的值为( ) A.14B.12C.4D.12解析由已知得4(tan α-tan β)=16(1+tan αtan β),即tanα-tanβ1+tanαtanβ=4,∴tan(α-β)=4.故选C . ★答案★C5.已知cos ( π4+α)=35,则sin2αsin (π4-α)的值为( )A.715B.-715C.4315D.-4315解析因为cos (π4+α)=35,所以sin 2α=-cos (2α+π2)=1-2cos 2(π4+α)=725,sin (π4-α)=cos (π4+α)=35,所以sin2αsin (π4-α)=72535=715.6.已知tan α=2,则2sin 2α+1cos2(α-π4)的值是( )A .53 B .-134C .135D .1347.已知sin(α-β)cos α-cos(α-β)sin α=45,且β是第三象限角,则cos β2的值等于( ) A .±√55 B .±2√55C .-√55D .-2√55,得sin[(α-β)-α]=sin(-β)=45,∴sin β=-45.∵β是第三象限角,∴cos β=-35. ∴cos β2=±√1+cosβ2=±√15=±√55.8.函数f (x )=2cos 2x-√3sin 2x (x ∈R )的最小正周期和最大值分别是( ) B.2π,1 C.π,3 D.π,1f (x )=cos 2x+1-√3sin 2x=2(12cos2x -√32sin2x)+1=2cos (2x +π3)+1,∴T=π,f (x )max =3.9.若sin 2α=-2425,α∈(-π4,0),则sin α+cos α等于( ) A.-15B.15C.-75D.75(sin α+cos α)2=1+sin 2α=1-2425=125, 又α∈(-π4,0),所以sin α<0,cos α>0,且|sin α|<|cos α|, 于是sin α+cos α=15.10.(2018全国Ⅱ高考)若f (x )=cos x-sin x 在[0,a ]是减函数,则a 的最大值是( )A.πB.πC.3πD.πf (x )=cos x-sin x=√2(√22cosx -√22sinx)=√2cos (x +π4),(方法1)作图如图所示. 易知a max =34π.(方法2)∵f (x )在2k π≤x+π4≤2k π+π,k ∈Z 上为减函数,∴2k π-π4≤x ≤2k π+34π,k ∈Z ,令k=0可知x ∈[-π4,34π],∴a max =34π.11.化简sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°的结果是( ) A.89B.892C.45D.452sin 1°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°=sin 21°+sin 22°+…+sin 245°+cos 244+…+cos 21°=(sin21°+cos 21°)+(sin 22°+cos 22°)+…+(sin 244°+cos 244°)+sin 245°=44+12=892.故选B .12.已知sin 2(α+γ)=n sin 2β,则tan (α+β+γ)tan (α-β+γ)=( )A.n -1n+1 B.nn+1 C.nn -1 D.n+1n -1,记α+γ=δ,则原式变为sin[(δ+β)+(δ-β)]=n sin[(β+δ)+(β-δ)],展开得sin(δ+β)cos(δ-β)+cos(δ+β)sin(δ-β)=n sin(β+δ)cos(β-δ)+n cos(β+δ)sin(β-δ),等式两边同除以cos(δ-β)cos(δ+β)得tan(δ+β)+tan(δ-β)=n tan(β+δ)-n tan(δ-β),于是tan (α+β+γ)tan (α-β+γ)=n+1n -1.(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.如果cos α=15,且α是第四象限的角,那么cos (α+π2)=.sin α=-√1-cos 2α=-√1-125=-2√65,故cos (α+π2)=-sin α=2√65.14.已知tan (x +π)=2,则tanx的值为 .tan (x +π4)=tanx+tan π41-tanxtan π4=2,得tan x=13,所以tan 2x=2tanx 1-tan 2x =34, 故tanxtan2x =13×43=49.15.若A+B=2π3,则cos 2A+cos 2B 的取值范围是 .2A+cos 2B=12(cos 2A+cos 2B )+1.因为A+B=2π3,所以12(cos 2A+cos 2B )+1=12[cos2A +cos (4π3-2A)]+1 =12(12cos2A -√32sin2A)+1=12cos (2A +π3)+1. 所以cos 2A+cos 2B ∈[12,32]. [12,32]16.已知sin (α+π6)=13,π3<α<π,则sin (π12-α)= . 由π3<α<π可知π2<α+π6<7π6, 因为sin (α+π6)=13, 所以cos (α+π6)=-2√23. 所以sin (π12-α)=sin [π4-(α+π6)]=√2cos (α+π)−√2sin (α+π) =-2−√2=-4+√2. -4+√26三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知sin α=√55,α∈(0,π2),tan β=13. (1)求tan α的值; (2)求tan(α+2β)的值.∵sin α=√55,α∈(0,π2),∴cos α=√1-sin 2α=√1-15=2√55. ∴tan α=sinαcosα=√55255=12.(2)(方法一)∵tan β=13,∴tan 2β=2tanβ1-tan 2β=2×131-(13)2=34.∴tan(α+2β)=tanα+tan2β1-tanαtan2β=12+341-12×34=2. (方法二)∵tan β=13,∴tan(α+β)=tanα+tanβ=12+131-12×13=1. ∴tan(α+2β)=tan (α+β)+tanβ1-tan (α+β)tanβ=1+131-1×13=2.18.(12分)在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,点P (12,cos 2θ)在角α的终边上,点Q (sin 2θ,-1)在角β的终边上,且OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12. 求:(1)cos 2θ的值;(2)sin(α+β)的值.∵OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,∴12sin 2θ-cos 2θ=-12, ∴1-cos2θ4−1+cos2θ2=-12, 解得cos 2θ=13. (2)由(1)得cos 2θ=1+cos2θ2=23,sin 2θ=1-cos2θ2=13,∴P (12,23),Q (13,-1).∴sin α=4,cos α=3,sin β=-3√10,cos β=√10,∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=4×√10+35×(-3√1010)=-√1010. 19.(12分)从圆心角为120°,半径为20 cm 的扇形铁片上截出一块矩形OPMN ,如图,让矩形的一边在扇形的一条半径OA 上,点M 在弧AB 上,求此矩形面积的最大值.S cm 2,连接OM ,设∠POM=α(0°<α<90°),易知S=OP ·MP=OM cos α·OM sin α=12OM 2sin 2α=200sin 2α.当sin 2α=1,即α=45°时,矩形的面积S 取得最大值200 cm 2.答:矩形面积的最大值为200 cm 2. 20.(12分)已知函数f (x )=tan (2x +π4). (1)求f (x )的定义域与最小正周期;(2)设α∈(0,π4),若f (α2)=2cos 2α,求α的大小.由2x+π4≠π2+k π,k ∈Z ,得x ≠π8+kπ2,k ∈Z , 所以f (x )的定义域为x ∈R x ≠π8+kπ2,k ∈Z .f (x )的最小正周期为π2.(2)由f (α2)=2cos 2α,得tan (α+π4)=2cos 2α, 即sin (α+π4)cos (α+π4)=2(cos 2α-sin 2α),整理得sinα+cosαcosα-sinα=2(cos α+sin α)(cos α-sin α).因为α∈(0,π4),所以sin α+cos α≠0. 因此(cos α-sin α)2=12,即sin 2α=12. 由α∈(0,π4),得2α∈(0,π2),所以2α=π6,即α=π12.21.导学号93774103(12分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数a.①sin 213°+cos 217°-sin 13°cos 17°; ②sin 215°+cos 215°-sin 15°cos 15°; ③sin 218°+cos 212°-sin 18°cos 12°; ④sin 2(-18°)+cos 248°-sin(-18°)cos 48°; ⑤sin 2(-25°)+cos 255°-sin(-25°)cos 55°. (1)从上述五个式子中选择一个,求出常数a ;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为一个三角恒等式,并证明你的结论.选择②式计算.a=sin 215°+cos 215°-sin 15°·cos 15°=1-12·sin 30°=34.(2)猜想的三角恒等式为sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=34.证明:sin 2α+cos 2(30°-α)-sin αcos(30°-α)=sin 2α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α)2-sin α·(cos 30°·cos α+sin 30°sin α)=sin 2α+34cos 2α+√32sin αcos α+14sin 2α-√32sin αcosα-12sin 2α=34sin 2α+34cos 2α=34. 22.导学号93774104(12分)已知函数f (x )=2√3sin x cos x+2cos 2x-1(x ∈R ).(1)求函数f (x )的最小正周期及在区间[0,π2]上的最大值和最小值; (2)若f (x 0)=65,x 0∈[π4,π2],求cos 2x 0的值.由f (x )=2√3sin x cos x+2cos 2x-1,得f (x )=√3(2sin x cos x )+(2cos 2x-1)=√3sin 2x+cos 2x=2sin (2x +π6).所以函数f (x )的最小正周期为π.因为f (x )=2sin (2x +π6)在区间[0,π6]上为增函数,在区间[π6,π2]上为减函数,又f (0)=1,f (π6)=2,f (π2)=-1,所以函数f (x )在区间[0,π2]上的最大值为2,最小值为-1.(2)由(1)可知f (x 0)=2sin (2x 0+π6). 又因为f (x 0)=65,所以sin (2x 0+π6)=35.由x 0∈[π4,π2],得2x 0+π6∈[2π3,7π6].从而cos (2x 0+π6)=-√1-sin 2(2x 0+π6)=-45. 所以cos 2x 0=cos [(2x 0+π6)-π6]=cos (2x 0+π6)cos π6+sin (2x 0+π6)sin π6 =3-4√3.。

高中数学必修三课后习题答案

高中数学必修三课后习题答案第一章算法初步 1．1算法与程序框图练习（P5） 1、算法步骤：第一步，给定一个正实数r .第二步，计算以r 为半径的圆的面积2S r π=.第三步，得到圆的面积S .2、算法步骤：第一步，给定一个大于1的正整数n .第二步，令1i =.第三步，用i 除n ，等到余数r .第四步，判断“0r =”是否成立. 若是，则i 是n 的因数；否则，i 不是n 的因数. 第五步，使i 的值增加1，仍用i 表示.第六步，判断“i n >”是否成立. 若是，则结束算法；否则，返回第三步.练习（P19）算法步骤：第一步，给定精确度d ，令1i =.的到小数点后第i 位的不足近似值，赋给a 的到小数点后第i 位的过剩近似值，赋给b . 第三步，计算55b am =-.第四步，若m d <，则得到5a；否则，将i 的值增加1，仍用i 表示.返回第二步. 第五步，输出5a.程序框图：习题1.1 A 组（P20）1、下面是关于城市居民生活用水收费的问题.为了加强居民的节水意识，某市制订了以下生活用水收费标准：每户每月用水未超过7 m 3时，每立方米收费1.0元，并加收0.2元的城市污水处理费；超过7m 3的部分，每立方收费1.5元，并加收0.4元的城市污水处理费.设某户每月用水量为x m 3，应交纳水费y 元，那么y 与x 之间的函数关系为 1.2,071.9 4.9,7x x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩我们设计一个算法来求上述分段函数的值.算法步骤：第一步：输入用户每月用水量x .第二步：判断输入的x 是否不超过7. 若是，则计算 1.2y x =；若不是，则计算 1.9 4.9y x =-.第三步：输出用户应交纳的水费y .程序框图：2、算法步骤：第一步，令i =1，S=0.第二步：若i ≤100成立，则执行第三步；否则输出S. 第三步：计算S=S+i 2.第四步：i = i +1，返回第二步.程序框图：3、算法步骤：第一步，输入人数x ，设收取的卫生费为m 元.第二步：判断x 与3的大小. 若x >3，则费用为5(3) 1.2m x =+-⨯；若x ≤3，则费用为5m =.第三步：输出m .程序框图：B 组 1、算法步骤：第一步，输入111222,,,,,a b c a b c ..第二步：计算21121221b c b c x a b a b -=-.第三步：计算12211221a c a c y ab a b -=-.第四步：输出,x y .程序框图：INPUT “a ，b=”；a ，bsum=a+b diff=a －b pro=a*b quo=a/bPRINT sum ，diff ，pro ，quoEND2、算法步骤：第一步，令n =1第二步：输入一个成绩r ，判断r 与6.8的大小. 若r ≥6.8，则执行下一步；若r<6.8，则输出r ，并执行下一步.第三步：使n 的值增加1，仍用n 表示.第四步：判断n 与成绩个数9的大小. 若n ≤9，则返回第二步；若n >9，则结束算法.程序框图：说明：本题在循环结构的循环体中包含了一个条件结构.1．2基本算法语句练习（P24） 1、程序：2、程序：3、程序：练习（P29） 1、程序：INPUT “a ，b ，c=”；a ，b ，cIF a+b>c AND a+c>b AND b+c>a THEN PRINT “Yes.” ELSEPRINT “No.” END IF INPUT “a ，b ，c=”；a ，b ，cp=(a+b+c)/2 s=SQR(p*(p －a) *(p －b) *(p －c)) PRINT “s=”；s END INPUT “F=”；F C=(F －32)*5/9 PRINT “C=”；C END4、程序： INPUT “a ，b ，c=”；a ，b ，csum=10.4*a+15.6*b+25.2*c PRINT “sum =”；sum END2、本程序的运行过程为：输入整数x . 若x 是满足9<x <100的两位整数，则先取出x 的十位，记作a ，再取出x 的个位，记作b ，把a ，b 调换位置，分别作两位数的个位数与十位数，然后输出新的两位数. 如输入25，则输出52. 34练习（P32） 1 2习题1.2 A 组（P33）1、1(0)0(0)1(0)x x y x x x -+<⎧⎪==⎨⎪+>⎩23、程序：习题1.2 B 组（P33） 1、程序：23 41．3算法案例练习（P45） 1、（1）45；（2）98；（3）24；（4）17. 2、2881.75.3、2200811111011000=（），820083730=（）习题1.3 A 组（P48） 1、（1）57；（2）55. 2、21324.3、（1）104；（2）7212（）（3）1278；（4）6315（）.4、习题1.3 B 组（P48）1、算法步骤：第一步，令45n =，1i =，0a =，0b =，0c =.第二步，输入()a i .第三步，判断是否0()60a i ≤<. 若是，则1a a =+，并执行第六步. 第四步，判断是否60()80a i ≤<. 若是，则1b b =+，并执行第六步. 第五步，判断是否80()100a i ≤≤. 若是，则1c c =+，并执行第六步. 第六步，1i i =+. 判断是否45i ≤. 若是，则返回第二步.2、如“出入相补”——计算面积的方法，“垛积术”——高阶等差数列的求和方法，等等. 第二章复习参考题A组（P50）1、（1）程序框图：程序：1、（2）程序框图：程序：2、见习题1.2 B组第1题解答.INPUT “x=”；x IF x<0 THENy=0ELSEIF x<1 THENy=1ELSEy=xEND IFEND IFPRINT “y=”；y ENDINPUT “x=”；x IF x<0 THENy=（x＋2）＾2 ELSEIF x=0 THENy=4ELSEy=（x－2）＾2 END IFEND IFPRINT “y=”；y END34、程序框图：程序：INPUT “t=0”；t IF t<0 THEN PRINT “Please input again.”ELSE IF t>0 AND t<=180 THENy=0.2ELSEIF （t －180） MOD 60＝0 THENy=0.2＋0.1*（t-180）／60ELSEy=0.2＋0.1*（（t-180）＼60＋1）END IFEND IFPRINT “y=”；yEND IF END INPUT “n=”；n i=1 S=0WHILE i<=n S=S+1／i i=i+1 WENDPRINT “S=”；S END5、（1）向下的运动共经过约199.805 m （2）第10次着地后反弹约0.098 m （3）全程共经过约299.609 m 第二章复习参考题B 组（P35）1、 2、3、算法步骤：第一步，输入一个正整数x 和它的位数n . 第二步，判断n 是不是偶数，如果n 是偶数，令2n m =;如果n 是奇数，令12n m -=. 第三步，令1i =i=100 sum=0 k=1 WHILE k<=10 sum=sum+i i=i ／2 k=k+1 WEND PRINT “（1）”；sum PRINT “（2）”；i PRINT “（3）”；2*sum －100 ENDINPUT “n=”；n IF n MOD 7=0 THEN PRINT “Sunday ” END IF IF n MOD 7=1 THEN PRINT “Monday ” END IF IF n MOD 7=2 THEN PRINT “Tuesday ” END IF IF n MOD 7=3 THEN PRINT “Wednesday ” END IF IF n MOD 7=4 THEN PRINT “Thursday ” END IF IF n MOD 7=5 THEN PRINT “Friday ” END IF IF n MOD 7=6 THEN PRINT “Saturday ” END IF END第四步，判断x 的第i 位与第(1)n i +-位上的数字是否相等. 若是，则使i 的值增加1，仍用i 表示；否则，x 不是回文数，结束算法.第五步，判断“i m >”是否成立. 若是，则n 是回文数，结束算法；否则，返回第四步.第二章统计 2．1随机抽样练习（P57）1、.况之间有误差. 如抽取的部分个体不能很好地代表总体，那么我们分析出的结果就会有偏差. 2、（1）抽签法：对高一年级全体学生450人进行编号，将学生的名字和对应的编号分别写在卡片上，并把450张卡片放入一个容器中，搅拌均匀后，每次不放回地从中抽取一张卡片，连续抽取50次，就得到参加这项活动的50名学生的编号. （2）随机数表法：第一步，先将450名学生编号，可以编为000,001， (449)第二步，在随机数表中任选一个数. 例如选出第7行第5列的数1（为了便于说明，下面摘取了附表的第6～10行）.16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54 57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28第三步，从选定的数1开始向右读，得到一个三位数175，由于175<450，说明号码175在总体内，将它取出；继续向右读，得到331，由于331<450，说明号码331在总体内，将它取出；继续向右读，得到572，由于572>450，将它去掉. 按照这种方法继续向右读，依次下去，直到样本的50个号码全部取出，这样我们就得到了参加这项活动的50名学生. 3、用抽签法抽取样本的例子：为检查某班同学的学习情况，可用抽签法取出容量为5的样本. 用随机数表法抽取样本的例子：部分学生的心理调查等.抽签法能够保证总体中任何个体都以相同的机会被选到样本之中，因此保证了样本的代表性.4、与抽签法相比，随机数表法抽取样本的主要优点是节省人力、物力、财力和时间，缺点是所产生的样本不是真正的简单样本. 练习（P59）1、系统抽样的优点是：（1）简便易行；（2）当对总体结构有一定了解时，充分利用已有信息对总体中的个体进行排队后再抽样，可提高抽样调查；（3）当总体中的个体存在一种自然编号（如生产线上产品的质量控制）时，便于施行系统抽样法.系统抽样的缺点是：在不了解样本总体的情况下，所抽出的样本可能有一定的偏差. 2、（1）对这118名教师进行编号；（2）计算间隔1187.37516k==，由于k不是一个整数，我们从总体中随机剔除6个样本，再来进行系统抽样. 例如我们随机剔除了3,46,59,57,112,93这6名教师，然后再对剩余的112位教师进行编号，计算间隔7k=；（3）在1～7之间随机选取一个数字，例如选5，将5加上间隔7得到第2个个体编号12，再加7得到第3个个体编号19，依次进行下去，直到获取整个样本.3、由于身份证（18位）的倒数第二位表示性别，后三位是632的观众全部都是男性，所以这样获得的调查结果不能代表女性观众的意见，因此缺乏代表性.练习（P62）1、略2、这种说法有道理，因为一个好的抽样方法应该能够保证随着样本容量的增加，抽样调查结果会接近于普查的结果. 因此只要根据误差的要求取相应容量的样本进行调查，就可以节省人力、物力和财力.3、可以用分层抽样的方法进行抽样. 将麦田按照气候、土质、田间管理水平的不同而分成不同的层，然后按照各层麦田的面积比例及样本容量确定各层抽取的面积，再在各层中抽取个体（这里的个体是单位面积的一块地）.习题2.1 A组（P63）1、产生随机样本的困难：（1）很难确定总体中所有个体的数目，例如调查对象是生产线上生产的产品.（2）成本高，要产生真正的简单随机样本，需要利用类似于抽签法中的抽签试验来产生非负整值随机数.（3）耗时多，产生非负整数值随机数和从总体中挑选出随机数所对的个体都需要时间.2、调查的总体是所有可能看电视的人群.学生A的设计方案考虑的人数是：上网而且登录某网址的人群，那些不能上网的人群，或者不登录某网址的人群就被排除在外了. 因此A方案抽取的样本的代表性差.学生B的设计方案考虑的人群是小区内的居民，有一定的片面性. 因此B方案抽取的样本的代表性差.学生C的设计方案考虑的人群是那些有电话的人群，也有一定的片面性. 因此C方案抽取的样本的代表性.所以，这三种调查方案都有一定的片面性，不能得到比较准确的收视率.3、（1）因为各个年级学习任务和学生年龄等因素的不同，影响各年级学生对学生活动的看法，所以按年级分层进行抽样调查，可以得到更有代表性的样本.（2）在抽样的过程中可能遇到的问题如敏感性问题：有些学生担心提出意见对自己不利；又如不响应问题：由于种种原因，有些学生不能发表意见；等等.（3）前面列举的两个问题都可能导致样本的统计推断结果的误差.（4）为解决敏感性问题，可以采用阅读与思考栏目“如何得到敏感性问题的诚实反应”中的方法设计调查问卷；为解决不响应问题，可以事先向全体学生宣传调查的意义，并安排专人负责发放和催收调查问卷，最大程度地回收有效调查问卷.4、将每一天看作一个个体，则总体由365天组成. 假设要抽取50个样本，将一年中的各天按先后次序编号为0～364天用简单随机抽样设计方案：制作365个号签，依次标上0～364. 将号签放到容器内充分搅拌均匀，从容器中任意不放回取出50个号签. 以签上的号码所对应的那些天构成样本，检测样本中所有个体的空气质量.用系统抽样设计抽样方案：先通过简单随机抽样方法从365天中随机抽出15天，再把剩下的350天重新按先后次序编号为0～349. 制作7个分别标有0～7的号签，放在容器中充分搅拌均匀. 从容器中任意取出一个号签，设取出的号签的编号为a，则编号为7(050)a k k +≤<所对应的那些天构成样本，检测样本中所有个体的空气质量.显然，系统抽样方案抽出的样本中个体在一年中排列的次序更规律，因此更好实施，更受方案的实施者欢迎.5、田径队运动员的总人数是564298+=（人），要得到28人的样本，占总体的比例为27.于是，应该在男运动员中随机抽取256167⨯=（人），在女运动员中随机抽取281612-=（人）.这样我们就可以得到一个容量为28的样本.6、以10为分段间隔，首先在1～10的编号中，随机地选取一个编号，如6，那么这个获奖者奖品的编号是：6,16,26,36,46.7、说明：可以按年级分层抽样的方法设计方案. 习题2.1 B 组（P64）1、说明：可以按年级分层抽样的方法设计方案，调查问卷由学生所关心的问题组成. 例如：（1）你最喜欢哪一门课程？（2）你每月的零花钱平均是多少？（3）你最喜欢看《新闻联播》吗？（4）你每天早上几点起床？（5）你每天晚上几点睡觉？要根据统计的结果和具体的情况解释结论,主要从引起结论的可能原因及结论本身含义来解释.2、说明：这是一个开放性的题目，没有一个标准的答案. 2．2用样本估计总体练习（P71） 1、说明：由于样本的极差为364.41362.51 1.90-=，取组距为0.19，将样本分为10组. 可以按照书上的方法制作频率分布表、频率分布直观图和频率折线图. 2、说明：此题目属于应用题，没有标准的答案.3、茎叶图为：由该图可以看出30名工人的日加工零件个数稳定在120件左右. 练习（P74）这里应该采用平均数来表示每一个国家项目的平均金额，因为它能反应所有项目的信息. 但平均数会受到极端数据2000万元的影响，所以大多数项目投资金额都和平均数相差比较大.练习（P79）1、甲乙两种水稻6年平均产量的平均数都是900，但甲的标准差约等于23.8，乙的标准差约等于41.6，所以甲的产量比较稳定.2、（1）平均重量496.86x ≈，标准差 6.55s ≈.（2）重量位于(,)x s x s -+之间有14袋白糖，所占的百分比约为66.67％.3、（1）略. （2）平均分19.25x ≈，中位数为15.2，标准差12.50s ≈.这些数据表明这些国家男性患该病的平均死亡率约为19.25，有一半国家的死亡率不超过15.2，15.2x >说明存在大的异常数据，值得关注. 这些异常数据使标准差增大. 习题2.2 A 组（P81） 1、（1）茎叶图为：（2）汞含量分布偏向于大于1.00 ppm 的方向，即多数鱼的汞含量分布在大于1.00 ppm 的区域. （3）不一定. 因为我们不知道各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同. 即使各批鱼的汞含量分布相同，上面的数据只能为这个分布作出估计，不能保证平均汞含量大于1.00 ppm. （4）样本平均数 1.08x ≈，样本标准差0.45s ≈.（5）有28条鱼的汞含量在平均数与2倍标准差的和（差）的范围内.2比较短，所以在这批棉花中混进了一些次品.3、说明：应该查阅一下这所大学的其他招生信息，例如平均数信息、最低录取分数线信息等. 尽管该校友的分数位于中位数之下，而中位数本身并不能提供更多录取分数分布的信息.在已知最低录取分数线的情况下，很容易做出判断；在已知平均数小于中位数很多，则说明最低录取分数线较低，可以推荐该校友报考这所大学，否则还要获取其他的信息（如标准差的信息）来做出判断. 4、说明：（1）对，从平均数的角度考虑；（2）对，从标准差的角度考虑；（3）对，从标准差的角度考虑；（4）对，从平均数和标准差的角度考虑； 5、（1）不能. 因为平均收入和最高收入相差太多，说明高收入的职工只占极少数. 现在已知知道至少有一个人的收入为50100x =万元，那么其他员工的收入之和为4913.55010075ii x==⨯-=∑（万元）每人平均只有1.53. 如果再有几个收入特别高者，那么初进公司的员工的收入将会很低. （2）不能，要看中位数是多少.（3）能，可以确定有75％的员工工资在1万元以上，其中25％的员工工资在3万元以上.（4）收入的中位数大约是2万. 因为有年收入100万这个极端值的影响，使得年平均收入比中位数高许多.6、甲机床的平均数=1.5x 甲，标准差=1.2845s 甲；乙机床的平均数 1.2z y =，标准差0.8718z s =. 比较发现乙机床的平均数小而且标准差也比较小，说明乙机床生产出的次品比甲机床少，而且更为稳定，所以乙机床的性能较好. 7、（1）总体平均数为199.75，总体标准差为95.26. （2）可以使用抓阄法进行抽样. 样本平均数和标准差的计算结果和抽取到的样本有关. （3）（4）略习题2.2 B 组（P82）1、（1）由于测试1T 的标准差小，所以测试1T 结果更稳定，所以该测试做得更好一些. （2）由于2T 测出的值偏高，有利于增强队员的信心，所以应该选择测试2T .2、说明：此题需要在本节开始的时候就布置，先让学生分头收集数据，汇总所收集的数据才能完成题目.2．3变量间的相关关系练习（P85）1、从已经掌握的知识来看，吸烟会损害身体的健康. 但除了吸烟之外，还有许多其他的随机因素影响身体健康，人体健康是很多因素共同作用的结果. 我们可以找到长寿的吸烟者，也更容易发现由于吸烟而引发的患病者，所以吸烟不一定引起健康问题. 但吸烟引起健康问题的可能性大，因此“健康问题不一定是由吸烟引起的，所以可以吸烟”的说法是不对的.2、从现在我们掌握的知识来看，没有发现根据说明“天鹅能够带来孩子”，完全可能存在既能吸引天鹅和又使婴儿出生率高的第3个因素（例如独特的环境因素），即天鹅与婴儿出生率之间没有直接的关系，因此“天鹅能够带来孩子”的结论不可靠.而要证实此结论是否可靠，可以通过试验来进行. 相同的环境下将居民随机地分为两组，一组居民和天鹅一起生活（比如家中都饲养天鹅），而另一组居民的附近不让天鹅活动，对比两组居民的出生率是否相同. 练习（P92）1、当0x =时，147.767y =，这个值与实际卖出的热饮杯数150不符，原因是：线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差；即使截距和斜率的估计没有误差，也不可能百分之百地保证对应于x ，预报值y 能够等于实际值y . 事实上：y bx a e =++. （这里e 是随机变量，是引起预报值y 与真实值（1）散点图如下： y 之间的误差的原因之一，其大小取决于e 的方差.）2、数据的散点图为：从这个散点图中可以看出，鸟的种类数与海拔高度应该为正相关（事实上相关系数为0.793）. 但是从散点图的分布特点来看，它们之间的线性相关性不强. 习题2.3 A 组（P94）1、教师的水平与学生的学习成绩呈正相关关系. 又如，“水涨船高”“登高望远”等.2、（3）基本成正相关关系，即食品所含热量越高，口味越好.（4）因为当回归直线上方的食品与下方的食品所含热量相同时，其口味更好. 3、（1）散点图如下：（2）回归方程为：0.66954.933y x =+.（2）回归直线如下图所示：（3）加工零件的个数与所花费的时间呈正线性相关关系. 4、（1）散点图为：（2）回归方程为：0.546876.425y x =+.（3）由回归方程知，城镇居民的消费水平和工资收入之间呈正线性相关关系，即工资收入水平越高，城镇居民的消费水平越高. 习题2.3 B 组（P95） 1、（1）散点图如下：（2）回归方程为： 1.44715.843y x =-.（3）如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额为42.037y ≈（万元）. 2、说明：本题是一个讨论题，按照教科书中的方法逐步展开即可.第二章复习参考题A 组（P100）1、A .2、（1）该组的数据个数，该组的频数除以全体数据总数；（2）nmN. 3、（1）这个结果只能说明A 城市中光顾这家服务连锁店的人比其他人较少倾向于选择咖啡色，因为光顾连锁店的人使一种方便样本，不能代表A 城市其他人群的想法. （2）这两种调查的差异是由样本的代表性所引起的. 因为A 城市的调查结果来自于该市光顾这家服装连锁店的人群，这个样本不能很好地代表全国民众的观点.4、说明：这是一个敏感性问题，可以模仿阅读与思考栏目“如何得到敏感性问题的诚实反应”来设计提问方法.5、表略. 可以估计出句子中所含单词的分布，以及与该分布有关的数字特征，如平均数、标准差等.6、（1）可以用样本标准差来度量每一组成员的相似性，样本标准差越小，相似程度越高. （2）A 组的样本标准差为 3.730A S ≈，B 组的样本标准差为11.789B S ≈. 由于专业裁判给分更符合专业规则，相似程度应该高，因此A 组更像是由专业人士组成的.7、（1）中位数为182.5，平均数为217.1875.（2）这两种数字特征不同的主要原因是，430比其他的数据大得多，应该查找430是否由某种错误而产生的. 如果这个大数据的采集正确，用平均数更合适，因为它利用了所有数据的信息；如果这个大数据的采集不正确，用中位数更合适，因为它不受极端值的影响，稳定性好. 8、（1）略.（2）系数0.42是回归直线的斜率，意味着：对于农村考生，每年的入学率平均增长0.42％.（3）城市的大学入学率年增长最快. 说明：（4）可以模仿（1）（2）（3）的方法分析数据.第二章复习参考题B 组（P101）1、频率分布如下表：从表中看出当把指标定为17.46千元时，月65％的推销员经过努力才能完成销售指标.2、（1）数据的散点图如下：（2）用y 表示身高，x 表示年龄，则数据的回归方程为 6.31771.984y x =+. （3）在该例中，斜率6.317表示孩子在一年中增加的高度.（4）每年身高的增长数略. 3～16岁的身高年均增长约为6.323 cm. （5）斜率与每年平均增长的身高之间之间近似相等.第三章概率3．1随机事件的概率练习（P113） 1、（1）试验可能出现的结果有3个，两个均为正面、一个正面一个反面、两个均为反面. （2）通过与其他同学的结果汇总，可以发现出现一个正面一个反面的次数最多，大约在50次左右，两个均为正面的次数和两个均为反面的次数在25次左右. 由此可以估计出现一个正面一个反面的概率为0.50，出现两个均为正面的概率和两个均为反面的概率均为0.25. 2、略 3、（1）例如：北京四月飞雪；某人花两元钱买福利彩票，中了特等奖；同时抛10枚硬币，10枚都正面朝上.（2）例如：在王府井大街问路时，碰到会说中文的人；去烤鸭店吃饭的顾客点烤鸭；在1～1000的自然数任选一个数，选到的数大于1. 练习（P118）1、说明：例如，计算机键盘上各键盘的安排，公交线路及其各站点的安排，抽奖活动中各奖项的安排等，其中都用到了概率. 学生可能举出各种各样的例子，关键是引导他们正确分析例子中蕴涵的概率思想.2、通过掷硬币或抽签的方法，决定谁先发球，这两种方法都是公平的. 而猜拳的方法不太公平，因为出拳有时间差，个人反应也不一样.3、这种说法是错误的. 因为掷骰子一次得到2是一个随机事件，在一次试验中它可能发生也可能不发生. 掷6次骰子就是做6次试验，每次试验的结果都是随机的，可能出现2也可能不出现2，所以6次试验中有可能一次2都不出现，也可能出现1次，2次，…，6次. 练习（P121）1、0.72、0.6153、0.44、D5、B 习题3.1 A 组（P123） 1、D . 2、（1）0；（2）0.2；（3）1.3、（1）430.067645≈；（2）900.140645≈；（3）7010.891645-≈.4、略5、0.136、说明：本题是想通过试验的方法，得到这种摸球游戏对先摸者和后摸者是公平的结论. 最好把全班同学的结果汇总，根据两个事件出现的频率比较近，猜测在第一种情况下摸到红球的概率为110，在第二种下也为110. 第4次摸到红球的频率与第1次摸到红球的频率应该相差不远，因为不论哪种情况，第4次和第1次摸到红球的概率都是1 10.习题3.1 B组（P124）1、D.2、略. 说明：本题是为了学生根据实际数据作出一些推断. 一般我们假定每个人的生日在12个月中哪一个月是等可能的，这个假定是否成立，引导学生通过收集的数据作出初步的推断.3．2古典概率练习（P130）1、110. 2、17. 3、16.练习（P133）1、38，38.2、（1）113；（2）1213；（3）14；（4）313；（5）0；（6）213；（7）12；（8）1.说明：模拟的方法有两种.（1）把1～52个自然数分别与每张牌对应，再用计算机做模拟试验.（2）让计算机分两次产生两个随机数，第一次产生1～4的随机数，代表4个花色；第二次产生1～13的随机数，代表牌号.3、（1）不可能事件，概率为0；（2）随机事件，概率为49；（3）必然事件，概率为1；（4）让计算机产生1～9的随机数，1～4代表白球，5～9代表黑球.4、（1）16；（2）略；（3）应该相差不大，但会有差异. 存在差异的主要原因是随机事件在每次试验中是否发生是随机的，但在200次试验中，该事件发生的次数又是有规律的，所以一般情况下所得的频率与概率相差不大.习题3.2 A组（P133）1、游戏1：取红球与取白球的概率都为12，因此规则是公平的.游戏2：取两球同色的概率为13，异色的概率为23，因此规则是不公平的.游戏3：取两球同色的概率为12，异色的概率为12，因此规则是公平的.2、第一位可以是1～9这9个数字中的一个，第二位可以是0～9这10个数字中的一个，所以（1）190；（2）18919090-=；（3）9919010-=3、（1）0.52；（2）0.18.4、（1）12；（2）16；（3）56；（4）16.5、（1）25；（2）825.6、（1）920；（2）920；（3）12.习题3.2 B组（P134）1、（1）13；（2）14.2、（1）35；（2）310；（3）910.说明：（3）先计算该事件的对立事件发生的概率会比较简单.3、具体步骤如下：①建立概率模型. 首先要模拟每个人的出生月份，可用1,2,…,11,12表示月份，用产生取整数值的随机数的办法，随机产生1～12之间的随机数. 由于模拟的对象是一个有10个人的集体，故把连续产生的10个随机数作为一组模拟结果，可模拟产生100组这样的结果.②进行模拟试验. 可用计算器或计算机进行模拟试验.如使用Excel软件，可参看教科书125页的步骤，下图是模拟的结果：其中，A,B,C,D,E,F,G,H,I,J的每一行表示对一个10人集体的模拟结果. 这样的试验一共做了100次，所以共有100行，表示随机抽取了100个集体.③统计试验的结果. K,L,M,N列表示统计结果. 例如，第一行前十列中至少有两个数相同，表示这个集体中至少有两个人的生日在同一月. 本题的难点是统计每一行前十列中至少有两个数相同的个数. 由于需要判断的条件态度，所以用K,L,M三列分三次完成统计.其中K列的公式为“=IF(OR(A1=B1，A1=C1，A1=D1，A1=E1，A1=F1，A1=G1，A1=H1，A1=I1，A1=J1，B1=C1，B1=D1，B1=E1，B1=F1，B1=G1，B1=H1，B1=I1，B1=J1，C1=D1，C1=E1，C1=F1，C1=G1，C1=H1，C1=I1，C1=J1，D1=E1，D1=F1，D1=G1，D1=H1，D1=I1，D1=J1)，1，0)”，L列的公式为“=IF(OR(E1=F1，E1=G1，E1=H1，E1=I1，E1=J1，F1=G1，F1=H1，F1=I1，F1=J1，G1=H1，G1=I1，G1=J1，H1=I1，H1=J1，I1=J1)，1，0)”，M列的公式为“=IF(OR(K1=1，L1=1)，1，0)”，M列的值为1表示该行所代表的10人集体中至少有两个人的生日在同一个月. N1表示100个10人集体中至少有两个人的生日在同一个月的个数，其公式为“=SUM(M$1：M$100)”. N1除以100所得的结果0.98，就是用模拟方法计算10人集体中至少有两个人的生日在同一个月的概率的估计值. 可以看出，这个估计值很接近1.3．3几何概率。

数学必修三习题答案

数学必修三习题答案【篇一：高一数学必修3全册各章节课堂同步习题(详解答案)】概念班次姓名[自我认知]:1．下面的结论正确的是( ).a. 一个程序的算法步骤是可逆的b. 一个算法可以无止境地运算下去的 c. 完成一件事情的算法有且只有一种 d. 设计算法要本着简单方便的原则 2．下面对算法描述正确的一项是 ( ). a.算法只能用自然语言来描述 b.算法只能用图形方式来表示 c.同一问题可以有不同的算法d.同一问题的算法不同,结果必然不同3．下面哪个不是算法的特征( ) a.抽象性 b.精确性 c.有穷性 d.唯一性4．算法的有穷性是指( )a.算法必须包含输出b.算法中每个操作步骤都是可执行的c.算法的步骤必须有限d.以上说法均不正确5.早上从起床到出门需要洗脸刷牙(5min)、刷水壶(2min)、烧水(8min)、泡面(3min)、吃饭(10min)、听广播(8min)几个步骤,从下列选项中选最好的一种算法() a.s1洗脸刷牙、s2刷水壶、s3烧水、s4泡面、s5吃饭、s6听广播 b.s1刷水壶、s2烧水同时洗脸刷牙、s3泡面、s4吃饭、s5听广播 c. s1刷水壶、s2烧水同时洗脸刷牙、s3泡面、s4吃饭同时听广播 d.s1吃饭同时听广播、s2泡面；s3烧水同时洗脸刷牙；s4刷水壶6.看下面的四段话,其中不是解决问题的算法是( )a.从济南到北京旅游,先坐火车,再坐飞机抵达b.解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1c.方程x2?1?0有两个实根d.求1+2+3+4+5的值,先计算1+2=3,再计算3+3=6,6+4=10,10+5=15,最终结果为15 7.已知直角三角形两直角边长为a,b,求斜边长c的一个算法分下列三步：①计算c?a,b的值；③输出斜边长c的值,其中正确的顺序是 ( ) a.①②③ b.②③①c.①③②d.②①③[课后练习]:8.若f?x?在区间?a,b?内单调,且f?a??f?b??0,则f?x?在区间?a,b?内( )a.至多有一个根 b.至少有一个根c.恰好有一个根 d.不确定9.已知一个学生的语文成绩为89,数学成绩为96,外语成绩为99.求他的总分和平均成绩的一个算法为：第一步：取a=89 ,b=96 ,c=99；第二步：____①______；第三步：_____②_____；第四步：输出计算的结果.10．写出求1+2+3+4+5+6+?+100的一个算法.可运用公式1+2+3+?+n= 第一步______①_______；第二步_______②________；第三步输出计算的结果.12.写出按从小到大的顺序重新排列x,y,z三个数值的算法.n(n?1)直接计算. 21.1．2程序框图[自我认知]: １．算法的三种基本结构是（）Ａ．顺序结构、条件结构、循环结构Ｂ．顺序结构、流程结构、循环结构Ｃ．顺序结构、分支结构、流程结构Ｄ．流程结构、循环结构、分支结构２．程序框图中表示判断框的是（）Ａ．矩形框Ｂ．菱形框 d.圆形框 d.椭圆形框3.如图(1)、(2),它们都表示的是输出所有立方小于1000的正整数的程序框图,那么应分别补充的条件为( )⑴333⑵3a.⑴n≥1000 ? ⑵n＜1000 ?b. ⑴n≤1000 ?⑵n≥1000 ?c. ⑴n＜1000 ? ⑵n≥1000 ?d. ⑴n＜1000 ?⑵n＜1000 ?4.算法共有三种逻辑结构,即顺序逻辑结构,条件逻辑结构和循环逻辑结构,下列说法正确的是 ( ) a.一个算法只能含有一种逻辑结构 b.一个算法最多可以包含两种逻辑结构 c.一个算法必须含有上述三种逻辑结构d.一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合 [课后练习]:5.给出以下一个算法的程序框图(如下图所示),该程序框图的功能是( ) a.求输出a,b,c三数的最大数 b.求输出a,b,c三数的最小数3333c.将a,b,c按从小到大排列d.将a,b,c按从大到小排列第5题图第6题图6.右边的程序框图(如上图所示),能判断任意输入的数x的奇偶性：其中判断框内的条件是( )a.m?0?b.x?0 ?c.x?1 ?d.m?1?7.在算法的逻辑结构中,要求进行逻辑判断,并根据结果进行不同处理的是哪种结构 ( ) a.顺序结构 b.条件结构和循环结构 c.顺序结构和条件结构 d.没有任何结构?x2?1(x?0)8.已知函数f?x??? ,设计一个求函数值的算法,并画出其程序框图(x?0)?2x?11.1.2程序框图(第二课时)[课后练习]:班次姓名1．如图⑴的算法的功能是____________________________.输出结果i=___,i+2=_____.2．如图⑵程序框图箭头a指向①处时，输出 s=__________. 箭头a指向②处时，输出 s=__________.3.如图⑷所示程序的输出结果为s=132, 则判断中应填a、i≥10？b、i≥11？c、i≤11？ d、i≥12？4.如图(3)程序框图箭头b指向①处时，输出 s=__________. 箭头b指向②处时，输出 s=__________5、如图(5)是为求1~1000的所有偶数的和而设计的一个程序空白框图，将空白处补上。

北师版数学必修三、四(4)

绝密★启用前2013-2014学年度第二学期高一期末测试卷北师版数学注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题一、选择题本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，3，4，5的五张卡片中任取两张，假设每张卡片被取到的概率相等，且每张卡片上只有一个数字，则取到的两张卡片上的数字之和为偶数的概率为( )（A（B （C （D 2．在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为（）A BC D 3．已知非零向量AB 与AC 满足（·BC =0,,则△ABC 为（）A ．等腰非等边三角形B ．等边三角形C ．三边均不相等的三角形D ．直角三角形4．函数()sin 2cos2f x x x =-的最小正周期是（）.B.πC.2πD.4π5．tan700+tan500tan700tan500的等于 A 、、6 ( )A ．0B ．2C ．4 D7．cos300︒= （） 8．现有编号为1—5的5名学生到电脑上查阅学习资料，而机房只有编号为1—4的4台电脑可供使用，因此，有两位学生必须共用同一台电脑，而其他三位学生每人使用一台，则恰有2位学生的编号与其使用的电脑编号相同的概率为（）A 9A C 10．在样本的频率分布直方图中,共有11个小长方形,若中间一个小长立形的面积等于其他10且样本容量为160,则中间一组数的频数为（） A. 32 B. 0.2 C. 40 D. 0.25第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明填空题本大题共5小题，每小题5分，共25分，=12．已知tan2α=，则．13．在ABC∆中，若，则Ccos的值为14．在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的９名增至14名，但只任取其中７名裁判的评分作为有效分，若14名裁判中有2人受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是。

【北师大版】高中数学必修四全册学案(全册共340页附答案)

【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象．答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色．解析周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色．答案红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间．答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________．解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一．答案一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)．答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }，所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析－20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个．答案 C【探究2】写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可．所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．【探究4】已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________．答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________．解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案－252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件．故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确．答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数．答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________．解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上．答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限．解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限．答案一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度．【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________．答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一角度与弧度的互化【例1】将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．【训练1】将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．解设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析－23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错．答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数．解设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________．答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。

北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》三角函数的积化和差与和差化积

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第三课时习题课
三角函数是中学数学的一个很重要的学习内容，这二章(第三章与第四章)从介绍三角函数的定义、性质、图象开始逐步深入，学习的进程高潮迭起，特别是从和、差、倍、半角
的三角函数直到三角函数的和差化积与积化和差，既充分揭
示了三角函数的内在关系，且每组公式又都有它自身的使用
范围，另外三角函数这块内容又是学习其他数学分支的重要
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以上这四个公式的特征是把三角函数的积的形式转化为三角函数的和、差的形式，我们把上述公式称为三角函数的积化和差公式．积化和差公式的功能可以把三角函数的一种形式(积的形式)转化为另一种形式(和差的形式)，这种转化可以使得一些我们无法解决的问题变成可能解决的问题，它们在三角式的变换中有很重要的作用．现在请同学们先翻开课本P．227，先看看这段课文，特别是注意公式的函数，函数名、角的形式等特征，记好这四个公式(五分钟阅读，让学生记忆)．
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(当然也可以把它们视为二个三角函数的积做积化和差．) 作了如下处理后，即成为三角函数一次式的和差了，自然做和差化积．
若又注意到本题的结构，以下解法也是可以考虑的．原式=(sin20°+sin40°)2-sin20°·cos50° =[2sin30°cos10°]2-sin20°·cos50°
工具，在函数研究、立体几何、代数及解析几何中都有广泛
的应用，学好三角函数是学好其他数学分支的重要基础．由
于三角公式相当多，所以记忆和应用就显得十分重要，安排
两节习题课的目的，就是希望通过练习及比较，使学生能熟
练掌握进行三角恒等变换的一般方法．
(一)复习和差化积与积化和差公式 (二)作业评讲 1．求cos20°+cos100°+cos140°．

高中数学北师大版必修4学案附答案：第三章三角恒等变形3二倍角的三角函数(一)学案.doc

高考数学北师大版必修 4 学案附答案§3 二倍角的三角函数 ( 一)内容要求1. 会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式 ( 重点).2. 能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用( 难点 ) ．知识点 1 二倍角公式1．sin( α＋ β) ＝ sin_ αcos_ β＋ cos_ αsin_ β，令 β＝α，得 sin 2α ＝2sin_ αcos_α. 2． cos( α＋ β) ＝ cos_αcos_β－ sin_ αsin_ β，令 β＝ α，得 cos 2 α＝ cos 2α－ sin 2α＝ 2cos 2α－ 1＝ 1－ 2sin 2α .tan α＋ tanβ2tan α3． tan( α＋ β) ＝1－ tan αtan β，令 β＝ α，得 tan 2α＝1－ tan 2α.【预习评价】1．计算 1－ 2sin 215°的结果为 ()12A.B.223C. 2 D ． 1答案 C2．sin 105 °cos 105 °的值为 ( )11 A. 4B ．－ 43 3C. 4 D ．－ 4答案 B知识点 2 二倍角公式的变形 1．公式的逆用1222tan α2sin αcos α＝ sin 2α， sin αcos α＝ 2s in 2α， cos α－sin α＝ cos_2 α ， 1－ tan 2α＝ t an 2 α.2．二倍角公式的重要变形——升幂公式和降幂公式升幂公式：222α2α1＋ cos 2 α＝ 2cos α，1－ cos 2 α＝ 2sin α， 1＋ cos α＝ 2cos2 ， 1－cos α＝ 2sin2，降幂公式： cos2α＝ 1＋cos 2α， sin 2α＝ 1－ cos 2 α .22【预习评价】31．已知 cos x ＝ 4，则 cos 2 x ＝ ()1 1 A ．－ 4B. 4 11 C ．－ 8D. 8x23 2 1解析 cos 2＝ 2cos－ 1＝2· － 1＝，故选 D.x 4 8答案 Dtan 75 °2. 1－ tan 275°的值是 ( )33A. 6B ．－ 6C ． 2 3D ．－2 3答案 B题型一化简求值【例 1】求下列各式的值．ππ(1)sin12cos 12；(2)1 － 2sin 2750°；2tan150 °(3)1－ tan 2150°；13(4)s in 10 °－cos 10 °.πππ2sin 12cos 12sin 6 1解 (1) 原式＝ 2 ＝2 ＝4.(2) 原式＝ cos(2 ×750°) ＝cos 1 500 °1＝cos(4 ×360°＋ 60°) ＝cos 60 °＝ 2.(3) 原式＝ tan(2 ×150°) ＝tan 300 °＝ t an(360°－ 60°) ＝－ tan 60 °＝－3.(4) cos 10 °－ 3sin 10 °原式＝ °cos 10 °sin 102 1 3＝2cos 10°－ 2 sin 10 ° sin 10 °cos 10 °4 sin 30 °cos 10 °－ cos 30 °sin 10 ° ＝2sin 10 °cos 10 °4sin 20 °＝sin 20 ° ＝4.规律方法在使用二倍角公式化简时，要注意三种应用 (1)正用公式，从题设条件出发，顺着问题的线索，运用已知条件和推算手段逐步达到目的． (2) 公式逆用，要求对公式特点有一个整体感知． (3) 公式的变形应用．【训练 1】求下列各式的值．13(1)cos 72 °cos 36 °； (2) sin 50 ° ＋cos 50 ° .2sin 36 °cos 36 °cos 72 °2sin 72 °cos 72 ° sin 144 °解 (1)cos 72°cos 36°＝2sin 36 °＝4sin 36 ° ＝4sin 36 ° ＝1.413(2)cos 50 °＋ 3sin 50 °2 2cos 50 °＋ 2 sin 50 °2sin 80 °原式＝＝ 1＝＝sin 50 °cos 50 °12×2sin 50 °cos 50 ° 2sin 100 °2sin 80 ° ＝ 4.12sin 80 °24 π【例 2】 (1) 已知 sin 2 α＝－ 25， α∈ － 4 ， 0 ，则 sin α＋ cos α ＝ ()1 1A. 5B ．－ 5 7 7C ．－ 5D. 5 π 3 )(2) 已知 sin－ x ＝，则 sin 2 x 的值为 (4519 16 A. 25 B. 25147C. 25D. 25解析 (1) ∵ α∈ －π， 0 ，∴ sin α＋ cos α＞ 0.4∴sin α＋cosα ＝ 1＋ sin 2 α＝1－ 24＝ 1.故选 A.25 5π2π18 7(2)sin 2 x ＝ cos 2 － 2x ＝ 1－2sin4 － x ＝ 1－ 25＝ 25.答案 (1)A (2)Dππ【迁移 1】若 (1) 中 α∈ － 2，－ 4 ，求 sin α＋ cos α 的值．π π解因为 α∈ －，－，24所以 sin α＋ cos α＜ 021(sin α＋ cos α) ＝ 1＋ sin 2 α＝，1所以 sinα＋ cos α＝－ 5.【迁移 2】在 (1) 中的条件下求 tan α 的值．解因为 sin 2 α＝2sinαcos α2sin αcos α24＝sin 2α ＋ cos 2α＝－25，2tan α24故tan 2α ＋ 1＝－ 25，4 3 解得 tan α＝－或－，34π因为 α∈ － 4 ， 0 ， tanα＞－ 1，3故 tan α＝－ 4.规律方法1. 从角的关系寻找突破口，这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．π2．当遇到 4 ± x 这样的角时可利用互余角的关系和诱导公式，将条件与结论沟通．cos 2 x＝sin π－2x ＝ 2sin πx ·cos π － x . 类似这样的变换还有： cos 2 x ＝ sinπ＋2 2 －4 24 x ＝ππ2sin4 ＋ x cos 4 ＋x ，π2πsin 2 x＝cos 2－ 2x ＝ 2cos 4－ x －1. 题型三三角函数式的化简或证明【例 3】化简： (1) cos 10 °1＋ 3tan 10°；cos 70 ° 1＋cos 40 °(2)2cos 2α－ 1.π2π2tan ＋α－α sin44cos 10 °3sin 10 °1＋cos 10 °解(1) 原式＝2sin 20 °cos 20 °cos 10 °＋3sin 10 °＝22 sin 40 °23 1cos 10 °＋sin 10 °2 2＝22 sin 40 °＝2 2sin 40 °＝2 2. sin40 °(2) 原式＝2cos 2α－ 1π2sin 4－α 2 ππ·cos －αcos44－α＝2cos 2α－ 1ππ2sin 4－αcos 4－α2cos 2α－ 1 cos 2 α＝cos 2 α＝cos 2 α＝1.规律方法被化简的式子中有切函数和弦函数时，常首先将切化弦，然后分析角的关系，看是否有互余或互补的．若有，则应用诱导公式转化；若没有，则利用两角和与差的三角函数公式或二倍角公式化简．【训练 2】化简下列各式：(1) 2sin 2 αcos 2α1＋ cos 2 α×cos 2 α；(2) 1－cos 20 °；cos 80 °1－cos 20 °1 θ－1θ .(3)1－ tan 1＋ tan2sin 2 α cos 2α解 (1) 原式＝ 2cos 2α × cos 2 α ＝ tan 2 α.(2) 原式＝2sin 210°＝ 2sin 210°sin 10 ° 2sin＝ 2.210° 2sin 210°1＋ tan θ－ 1－tan θ 2tan θ(3) 原式＝ 1－ tanθ1＋tan θ＝ 1－ tan 2θ＝ tan 2 θ .课堂达标4π 4π1． sin 12－ cos 12等于()13A ．－ 2B ．－ 21 3 C. 2D. 2解析原式＝ sin2π＋ cos 2π · sin 2π － cos 2π12 12 12122π2ππ3＝－ cos 12－ sin 12 ＝－ cos6＝－2.答案 B2．已知 sin α－ cos4α＝ () α ＝，则 sin 2372A ．－ 9B ．－ 9 27C. 9D. 9（ sin α－ cos α） 2－ 17解析 sin 2 α＝ 2sin αcos α＝－ 1＝－ 9.答案 A3．若 tan α＝ 2，则 tan 2α＝ ________.2tan α 4 4解析 tan 2 α＝1－ tan 2α＝ 1－ 4＝－ 3.答案 4－ 3．已知 cos x － π＝ 2 ，则 sin 2 x ＝ ________.4 4 10π π6π 2 π＝cos 2[( x－4)]＝2cos x－4－1＝2× 224 2－1＝－ .10 2524答案－25sin 50 °1＋ 3tan 10 ° － cos 20 °5．求值：.cos 80 ° 1－cos 20 °解∵sin 50 °(1 ＋ 3tan 10 °)＝sin 50cos 10 °＋3sin 10 °°·cos 10 °2sin 40 °＝s in 50 °·cos 10°＝ 1，cos 80 ° 1－cos 20 °＝ sin 10 ° 2sin 210°＝2sin 210°，∴sin 50 ° 1＋ 3tan 10 °－cos 20 °cos 80 ° 1－cos 20 °1－cos 20 °＝2sin 210°＝2.课堂小结1．对含有三角函数的平方的式子进行处理时，一般要用降幂公式：cos 2α ＝1＋ cos 2 α，2sin 2α＝1－cos 2 α.2π2．对题目中含有的单角、倍角，应将倍角化为单角，同时应注意以下变形式2α，2α－2，πα－等之间关系的应用．43．式中出现1＋ cosα，1＋ sinα时，往往采用倍角公式去掉根号，但要注意去掉根号后的符号 .基础过关1．函数f ( x) ＝ sin x cos x 的最小值是()1A．－ 1B．－21C.2D． 111 1解析 f ( x ) ＝ 2sin 2 x ∈ －2，2 . 答案 B2．已知 x ∈ ( － π， 0) ， cos x ＝ 4，则 tan 2 x 等于 ()2577A. 24 B ．－ 2424 24 C. 7D ．－ 74π3解析 cos x ＝ 5， x ∈( － 2 ，0) ，得 sin x ＝－ 5，所以 tan 3x ＝－，42×3所以 tan 2 2tan x－ 424，故选 D. x ＝2＝＝－1－ tan x1－3 2 7－ 4答案 D22π3．已知 sin 2 α ＝3，则 cosα＋ 4 等于 () 1 1 A. 6 B. 3 1 2 C. 2D. 31＋ cos[2π ]因为 cos 2π α＋ 4 解析 α＋ 4 ＝ 21＋ cos π2α＋ 2 1－ sin 2 α，＝ 2 ＝21－2π1－ sin 23 12α所以 cos α ＋ 4 ＝2＝ 2 ＝6，选 A.答案 A4． 2sin 222.5 °－ 1＝ ________.解析 2原式＝－ cos 45 °＝－.2答案－225．sin 6 °sin 42 °sin 66 °sin 78 °＝________.解析原式＝ sin 6 °cos 48 °cos 24 °cos 12 °sin 6 °cos 6 °cos 12 °cos 24 °cos 48 °＝cos 6 °sin 96 °cos 6 °1＝16cos 6 °＝ 16cos 6 ° ＝16.1答案16π6．已知 sin α＝ cos 2 α， α∈ 0，，求 sin 2 α 的值．2 解 ∵ sin α＝ 1－ 2sin 2α，即 2sin 2α＋ sin α－1＝ 0，∴sin α＝－ 1 或 sin1α＝ .2π 又∵ α∈0，2 ，1π∴ sin α＝， α＝ .263∴cos α＝ 2 .∴sin 2 α＝ 2sin1 3 3αcos α＝2× ×＝ .222π31＋ 2cos2α － 4 7．已知角 α 在第一象限且cos α＝ 5，求sin π的值．α＋23 4解 ∵ cos α＝且 α 在第一象限，∴ sinα＝ .55227∴cos 2 α＝ cos α－ sin α＝－ 25，24sin 2 α＝ 2sinα cos α＝ 25，ππ1＋ 2cos 2αcos 4 ＋ sin 2 αsin 4原式＝cos α1＋ cos 2 α＋ sin 2α 14＝cos α＝ 5 .能力提升28．已知等腰三角形底角的余弦值为3，则顶角的正弦值是 ()4 5 2 5A. 9B. 94 5 2 5C ．－ 9D ．－ 9解析令底角为 α，顶角为 β，则 β＝π－ 2α，2∵cos α＝ 3， 0＜ α＜π，5∴ s in α＝ 3 .∴sin β＝sin( π－ 2α) ＝ sin 2 α＝ 2sin αcos α2 5 4 5＝ 2×3×3＝ 9 .答案 A2sin 2x －1 π29．已知 f ( x ) ＝ 2tan x － x x ，则 f 12 的值为()sin 2cos 2A ． 4 3 8 3B.3C ． 4D ． 82sin x 2cos x解析 ∵ f ( x ) ＝ cos x ＋ sin x2sin 2x ＋ 2cos 2x＝ sin x cos x4＝ sin 2 x ，π 4∴f 12 ＝ π ＝ 8.sin 6答案 Dθ 1－ cos θ＋ sin θ10．已知 tan 2 ＝3，则1＋ cos θ＋ sin θ＝ ______.2θ θ θ1－ cos θ＋ sin θ2sin 2 ＋ 2sin 2 cos 2解析 1＋ cos θ＋ sin θ ＝ 2cos2θθ θ ＋ 2sin cos 2 2 2102sinθ sin θ θ2 ＋ cos θ 2 2 ＝ θ θ θ ＝ tan 2 ＝3. 2cos cos 2 ＋ sin22 答案 32 711．函数 f ( x ) ＝ cos x － sin x －cos 2 x ＋4的最大值是 ______．解析 ∵ f ( x ) ＝ cos x － (1 －cos 2x ) － (2cos 2x － 1) ＋742 7 1 2 ＝－ cos x ＋ cos x ＋＝－ cos x －＋ 2.4 21∴当 cos x ＝ 2时， f ( x ) max ＝ 2.答案 22π 12．已知 sin 2α＋ sin 2 αcos α － cos 2 α＝ 1， α∈ (0 ， ) ，求 α . 解 ∵ sin 22α＋ sin 2 α cos α－ (cos 2 α＋ 1) ＝ 0，∴ 4sin 2αcos 2α＋ 2sin α cos 2α－2cos 2α ＝ 0.∵ α π 2 α >0.∈ (0 ， 2 ) ，∴ 2cos ∴2sin 2α＋ sin α－ 1＝ 0. 1 π ∴sin α＝ 2(sin α＝－ 1 舍) ．∴ α＝ 6 .13． ( 选做题 ) 设函数 f ( x ) ＝ 2 3sincos ＋ 2cos 2 － 1( ω ＞ 0) ，且以 2π 为最小正ωx ωx ωx 周期．π π(1) 求 f ( x ) 的解析式，并求当 x ∈ 6 ， 3 时， f ( x ) 的取值范围；π 6(2) 若 f x － 6 ＝ 5，求 cos x 的值．解 (1) f ( x ) ＝ 3sin 2 ωx ＋cos 2 ωxπ＝ 2sin 2ωx ＋ 62π π∵T ＝ 2ω＝ω＝2π，1∴ω ＝ 2.π∴f ( x ) ＝ 2sin x ＋ 6 ，11πππππ当 x∈6 ，3时， x＋6∈3 ，2 ，f ( x)∈［3，2］.(2) f xπ＝ 2sin xππ 6－6－＋＝5，6 63 2 4sin x＝5，∴cos x＝±1－sin x＝±5.12。

高中数学北师大版必修4《第3章3第1课时倍角公式》课件

10°＝2
s2insi4n04°0°＝2
2.
2 sin 40°
24
(2)原式＝2csoisn4π4π2－－coααs2·αc－os21π4－α ＝2sinπ42－cosα2αc－os1π4－α ＝2ccooss2α2－α 1＝ccooss 22αα＝1.
25
1．将例
3(1)变为化简“cos
1－cos 20° 80° 1－cos
2sin 100° 2sin 80°
14
【例 2】已知 sin π4－x＝153，0<x<π4，求cocsosπ4＋2xx的值． [解] ∵0<x<π4，∴π4－x∈0，π4. 又∵sinπ4－x＝153，∴cosπ4－x＝1123. 又 cos 2x＝sinπ2－2x＝2sinπ4－xcosπ4－x
cos 50°·
10°＋ cos
3sin 10°
10°
＝sin
2sin 50°·cos
1400°°＝1，
32
cos 80° 1－cos 20°＝sin 10° 2sin210°＝ 2sin210°，
∴sin
50°1＋ 3tan 10°－cos cos 80° 1－cos 20°
20°
＝1－2scions21200°°＝ 2.
30
3．若 tan α＝2，则 tan 2α＝________. －43 [tan 2α＝1－2tatnanα2α＝1－4 4＝－43.]
31
4．求值：sin
50°1＋ 3tan 10°－cos cos 80° 1－cos 20°
20° .
[解] ∵sin 50°(1＋ 3tan 10°)
＝sin
∴sin

北师大版高中数学必修4-第一章三角函数-4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式-典题题库

北师⼤版⾼中数学必修4-第⼀章三⾓函数-4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式-典题题库第⼀章三⾓函数-4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式⼀、选择题(共26⼩题,每⼩题5.0分,共130分)1.已知sin＝，则sin的值为()A．B．－C．D．－【答案】C【解析】∵sin＝，∴sin）＝sin＝sin＝.2.使函数y＝sin x递减且函数y＝cos x递增的区间是()A．B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】D【解析】y＝sin x的单调递减区间是[＋2kπ，π＋2kπ]，k∈Z，y＝cos x的递增区间是[π＋2kπ，2π＋2kπ]，k∈Z，在区间(k∈Z)上y＝sin x递减，y＝cos x为递增函数，故D符合要求.3.函数f(x)＝|sin x－cos x|＋(sin x＋cos x)的值域为()A． [－，]B． [－，2]C． [－2，]D． [－2,2]【答案】B【解析】由题意得f(x)＝＝当x∈[2kπ＋，2kπ＋]时，f(x)∈[－，2]；当x∈(2kπ－，2kπ＋)时，f(x)∈(－，2).故可求得其值域为[－，2].4.函数f(a)＝cos2θ＋a cosθ－a(a∈[1,2]，θ∈[，])的最⼩值是() A．C． 3＋(－1)aD． cos2θ＋2cosθ－2【答案】D【解析】∵θ∈[，]，∴cosθ－1＜0，∴f(a)＝cos2θ＋a cosθ－a＝(cosθ－1)a＋cos2θ在[1,2]上是减少的，∴f(a)的最⼩值为f(2)＝cos2θ＋2cosθ－2.5.函数y＝sin2x－sin x＋1(x∈R)的值域是()A． [，3]B． [1,2]C． [1,3]D． [，3]【答案】A【解析】令sin x＝t，则y＝t2－t＋1＝(t－)2＋，t∈[－1,1]，由⼆次函数性质，得当t＝时，y取得最⼩值.当t＝－1时，y取得最⼤值3，∴y∈[，3].6.函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为()A． [－1,1]B．C．D．【答案】C【解析】y＝sin2x＋sin x－1＝(sin x＋)2－，当sin x＝－时，y min＝－；当sin x＝1时，y max＝1.7.若f(x)＝a sin x＋b(a，b为常数)的最⼤值是3，最⼩值是－5，则的值为()A．－4B． 4C． ±4D． 2【答案】C【解析】∵f(x)＝a sin x＋b(a，b为常数)的最⼤值是3，最⼩值是－5，∴b＋|a|＝3，且b－|a|＝－5，解得b＝－1，|a|＝4，即b＝－1，a＝±4，∴＝±4.8.已知函数y＝sin x的定义域为，值域为，则b－的值不可能是()B．C．D．【答案】D【解析】∵y＝sin x的定义域为，值域为，⽽sin＝sin＝，sin＝－1，∴≤b≤，∴≤b－≤，∴b－∈[，].∵，，均在区间[，]内，⽽?[，].9.如果≥，那么sin x的取值范围为() A． [－，)B． (，1]C． [－，)∪(，1]D． [－，)【答案】C【解析】若≥，则0＜≤，解得－≤x≤，且x≠，则－≤sin x≤1，且sin x≠，故sin x的取值范围为[－，)∪(，1].10.函数f(x)＝，x∈(0,2π)的定义域是() A． [，]B． [，]C． [，]D． [，]【答案】B【解析】由题意得sin x≥，⼜x∈(0，2π)∴x∈. 11.函数y＝的定义域是()A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】B【解析】∵2sin x－1≥0，∴sin x≥，∴2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z). 12.下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为() A．y＝B．y＝C．y＝x e xD．y＝【解析】∵函数y＝的定义域为{x∈R|x≠0}，∴对于A，其定义域为{x|x≠kπ}(k∈Z)，故A不满⾜；对于B，其定义域为{x|x＞0}，故B不满⾜；对于C，其定义域为{x|x∈R}，故C不满⾜；对于D，其定义域为{x|x≠0}，故D满⾜.13.函数y＝lg(sin x)的定义域为()A．(k∈Z)B． (2kπ，2kπ＋π) (k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】B【解析】由题意得sin x＞0，函数的定义域为(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z.14.函数f(x)的定义域为，则f(sin x)的定义域为()A．B．C．(k∈Z)D．∪(k∈Z)【答案】D【解析】∵函数f(x)的定义域为，∴－≤sin x≤，解得2kπ－≤x≤2kπ＋或2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，∴所求函数的定义域是∪(k∈Z).15.函数y＝的定义域是()A．(k∈Z)B．(k∈Z)C．(k∈Z)D．(k∈Z)【答案】D【解析】由题意得cos x≥－，所以函数的定义域为(k∈Z).16.若⾓α∈(，π)，则点P(sinα，cosα)位于()A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限【解析】∵⾓α∈，∴sinα＞0，cosα＜0.∴点P(sinα，cosα)位于第四象限.17.当α为第⼆象限⾓时，－的值是()A． 1B． 0C． 2D．－2【答案】C【解析】∵α为第⼆象限⾓，∴sinα>0，cosα＜0.∴－18.若三⾓形的两内⾓α，β满⾜：sinα·cosβ＜0，则此三⾓形的形状为()A．锐⾓三⾓形B．钝⾓三⾓形C．直⾓三⾓形D．不能确定【答案】B【解析】因为三⾓形的两内⾓α，β满⾜：sinα·cosβ＜0，⼜sinα＞0，所以cosβ＜0，所以90°＜β＜180°，故β为钝⾓.19.已知sinθcosθ＜0，那么⾓θ是()A．第⼀或第⼆象限⾓B．第⼆或第三象限⾓C．第⼆或第四象限⾓D．第⼀或第四象限⾓【答案】C【解析】由题意知，sinθcosθ＜0，则或，所以⾓θ在第⼆或第四象限.20.函数y＝＋的值域是()A． {2}B． {2，－2}C． {2,0，－2}D． {2,0}【答案】C【解析】当x是第⼀象限⾓时，sin x＞0，cos x＞0，则y＝＋＝1＋1＝2；当x是第⼆象限⾓时，sin x＞0，cos x＜0，当x是第三象限⾓时，sin x＜0，cos x＜0，则y＝＋＝－1－1＝－2；当x是第四象限⾓时，sin x＜0，cos x＞0，则y＝＋＝－1＋1＝0.综上可得函数y＝＋的值域是{2，－2, 0}．21.已知α是第⼆象限⾓，P(x，)为其终边上⼀点，且cosα＝x，则x等于()A．B． ±C．－D．－【答案】D【解析】∵cosα＝＝＝x，∴x＝0(∵α是第⼆象限⾓，舍去)或x＝(舍去)或x＝－.22.已知⾓α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋cosα的值为()A． ±B． ±C．－D．【答案】C【解析】由题意可得x＝3，y＝－4，r＝5，∴sinα＝＝－，cosα＝＝，∴sinα＋cosα＝－.23.已知⾓α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－，则b的值等于()A． 3B．－3C． ±3D． 5【答案】A【解析】∵⾓α的终边经过点P(－b,4)且cosα＝－，∴cosα＝＝－，则b＞0，平⽅得＝，即b2＝9，解得b＝3或b＝－3(舍).24.已知⾓α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cosα＝－，则m的值为() A．－B．C．－D．【答案】B＝－，解得m＝.25.已知⾓α的终边过点P(－4m,3m)(m＜0)，则2sinα＋cosα的值是() A． 1B．C．－D．－1【答案】C【解析】∵⾓α的终边过点P(－4m,3m)(m＜0)，∴r＝|OP|＝＝＝－5m，则2sinα＋cosα＝2×＋＝－＋＝－.26.已知⾓α的终边在射线y＝－3x(x≥0)上，则sinαcosα等于()A．－B．C．D．－【答案】A【解析】∵在⾓α的终边所在的射线y＝－3x(x≥0)上任意取⼀点M(1，－3)，则x＝1，y＝－3，r＝|OM|＝，cosα＝＝，sinα＝＝，则sinαcosα＝·＝.⼆、填空题(共40⼩题,每⼩题5.0分,共200分)27.若函数f(x)满⾜f(＋x)＝sin x(x∈R)，则f(x)等于_____.【答案】－cos x【解析】令＋x＝t，，则x＝t－，∴f(＋x)＝f(t)＝sin x＝sin(t－)，即f(t)＝sin(t－)＝－cos t，∴f(x)＝－cos x.28.已知＝，则cos(3π－θ)＝____.【答案】【解析】由已知得：＝?cosθ＝－，所以cos(3π－θ)＝－cosθ＝.【答案】－【解析】cos(α＋)＝sin(－α－)＝－sin(α＋)＝－.30.已知cos(α＋)＝－，则sin(α－)＝____.【答案】【解析】∵cos(α＋)＝－，∴sin＝sin[(α＋)－]＝－sin[－(α＋)]＝－cos(α＋)＝.31.已知f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋…＋f(100)＝________.。

2021秋新版高中数学北师大版必修4习题：第三章三角恒等变形3.3.2版含解析数学

第2课时半角公式及其应用课时过关·能力提升1.cos α =−35,且π<α<3π2,则cosα2的值等于()A.√55B.−√55C.2√55D.−2√55解析:∵π<α<3π2,∴π2<α2<3π4.∴co sα2=−√1+cosα2=−√55.答案:B2.设5π<θ<6π,co sθ2=a,则sinθ4的值等于()A.−√1+a2B.−√1-a2C.−√2+2a2D.−√2-2a2解析:∵5π<θ<6π,∴5π2<θ2<3π,5π4<θ4<3π2,∴sinθ4=−√1-cosθ22=−√1-a2=−√2-2a2.答案:D3.设α∈(π,2π),则√1-cos(π+α)2=()A.si nα2B.cosα2C. -si nα2D.−cosα2解析:∵α∈(π,2π),∴α2∈(π2,π),∴√1-cos(π+α)2=√1+cosα2=√cos2α2=−cosα2.答案:D4.设a=12cos 6°−√32sin 6°,b=2tan13°1+tan213°,c=√1-cos50°2,则有()A.a>b>cB.a<b<cC.a<c<bD.b<c<a解析:a=12cos 6°−√32sin 6° =sin 24°,b=2tan13°1+tan213°=sin 26°,c=√1-cos50°2=sin 25°.利用正弦函数的性质可知选C.答案:C★5.设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则()A.3α -β=π2B.2α−β=π2C.3α +β=π2D.2α+β=π2解析:tan α=1+sinβcosβ=1+cos(π2-β)sin(π2-β)=2cos2(π4-β2)2sin(π4-β2)cos(π4-β2)=cot(π4-β2)=ta n[π2-(π4-β2)]=tan(π4+β2),∴α =kπ+(π4+β2),k∈Z,∴2α -β =2kπ+π2,k∈Z.当k =0时,满足2α -β=π2,故选B.答案:B6.假设cos α =−45,α是第三象限的角,则1+tanα21-tanα2=.解析:由题意,得sin α =−35,则ta nα2=1-cosαsinα=1+45-35=−3,所以1+tanα21-tanα2=−12.答案:−127.3-sin70°2-cos210°=.解析:3-sin70°2-cos210°=3-sin70°2-1+cos20°2=2(3-cos20°)3-cos20°=2.答案:28.化简sin4x1+cos4x ·cos2x1+cos2x·cosx1+cosx=.解析:原式=2sin2xcos2x2cos22x ·cos2x1+cos2x·cosx1+cosx=sin2x1+cos2x·cosx1+cosx=2sinxcosx2cos2x·cosx1+cosx=sinx1+cosx=tanx2.答案:ta n x29.等腰三角形的顶角的余弦值等于513,求这个三角形底角的正弦、余弦和正切值.解设等腰三角形的顶角为α,底角为θ,那么cos α=513,α+2θ=π,θ∈(0,π2),∴cos 2θ =−513,∴sin θ=√1-cos2θ2=√1+5132=3√1313,cos θ=√1+cos2θ2=√1-5132=2√1313,tan θ=sinθcosθ=32.故这个三角形底角的正弦、余弦和正切值分别为3√1313,2√13 13,32.10.在△ABC中,假设sin A sin B =cos2C2,试判断△ABC的形状.解sin A sin B =cos2C2=1+cosC2=1-cos(A+B)2,即2sin A sin B +cos(A +B) =1,∴2sin A sin B +cos A cos B -sin A sin B=cos A cos B +sin A sin B =cos(A -B) =1.∵ -π<A -B<π,∴A -B =0,即A =B.∴△ABC是等腰三角形.11.在△ABC 中,f (B ) =4cos B ·sin 2(π4+B 2)+√3cos 2B −2cos B.(1)假设f (B ) =2,求角B ;(2)假设f (B ) -m>2恒成立,求实数m 的取值范围.解(1)由题意,得f (B ) =4cos B ·1-cos (π2+B )2+√3cos 2B -2cos B=2cos B (1 +sin B )+√3cos 2B -2cos B=sin 2B +√3cos 2B =2si n (2B +π3).∵f (B ) =2,∴2si n (2B +π3)=2. ∵角B 是△ABC 的内角,∴2B +π3=π2,则B =π12. (2)假设f (B ) -m>2恒成立,即2si n (2B +π3)>2+m 恒成立.∵0<B<π,∴π3<2B +π3<7π3,∴2si n (2B +π3)∈[ -2,2],∴2 +m< -2,∴m< -4.★12.已知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,sin x −1),OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(sin x +sin xcos x,sin x),f(x)=OA⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (x ∈R ).求: (1)函数f (x )的最||大值和最||小正周期;(2)函数f (x )的递增区间.解(1)f (x )=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin x +sin x cos x +sin 2x -sin x =12sin 2x +1-cos2x 2=√22sin (2x -π4)+12,最小正周期为π,令2x −π4=π2+2kπ(k ∈Z ),可得当x =k π+3π8(k ∈Z )时,f (x )取得最||大值1+√22.(2)当2k π−π2≤2x −π4≤2k π+π2(k ∈Z ),即k π−π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z )时,原函数为增加的,∴函数f (x )的递增区间是[kπ-π8,kπ+3π8](k ∈Z ).。

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