空间解析几何数学竞赛辅导
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空间解析几何数学竞赛辅导
一. 向量代数
1、已知空间中任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M ，则向量
),,(12121221z z y y x x M M ---=→
2、已知向量),,(321a a a a =→、),,(321b b b b =→
，则 （1）向量→a 的模为232221||a a a a ++=→
（2）),,(332211b a b a b a b a ±±±=±→
→
（3）),,(321a a a a λλλλ=→ 3、向量的内积→
→⋅b a
（1）><⋅⋅=⋅→
→→→→→b a b a b a ,cos |||| （2）332211b a b a b a b a ++=⋅→→
其中><→
→b a ,为向量→
→
b a ,的夹角，且π>≤≤<→
→b a ,0
注意：利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。
4、向量的外积→
→
⨯b a （遵循右手原则，且→
→
→
⊥⨯a b a 、→
→
→
⊥⨯b b a ）
3
2
1
3
21
b b b a a a k j i
b a →
→
→
→
→=⨯ （1）3
3
2211//b a b a b a b a b a ==⇔
=⇔→
→
→
→
λ （2）00332211=++⇔=⋅⇔⊥→
→→
→
b a b a b a b a b a
（3）几何意义： ||a b ⨯代表以,a b 为邻边的平行四边形的面积S ；
平面上三点11(,,0)A x y ,22(,,0)B x y ,33(,,0)C x y 构成的三角形的面积为
212131
3111
|||0|22
ABC
i
j k S
AB AC x x y y x x y y =⨯=---- 21
21
31
3112x x y y x x y y --=--的绝对值
也可以写成1
1223
31
1121
ABC
x y S
x y x y =的绝对值。
5. 混合积：(,,)()a b c a b c =⋅⨯。 (1)注意：(,,)(,,)(,,)a b c b c a c a b ==
(2)坐标表示：1
11
2
223
3
3
(,,)()x y z a b c a b c x y z x y z =⋅⨯=, 其中， ()111,,a x y z =，()222,,b x y z =, ()333,,c x y z =。
(3)几何意义：(,,)a b c 的绝对值表示以,,a b c 为三条邻边的平行六面体
的体积。
,,a b c 共面的充要条件是(,,.)0a b c =。
空间不共面的四点111(,,)A x y z ,222(,,)B x y z ,333(,,)C x y z ,
444(,,)D x y z 构成的四面体的体积为
1
11212121
2
2231
3131
3
3341
41
41
4
4
41
111
166
1
x
y z x x y y z z x y z V x x y y z z x y z x x y y z z x y z ---=
=------的绝对值。 （它实际是以,,AB AC AD 为邻边的平行六面体的体积的六分之一）
例1 设径矢1r OA =, 2r OB =,
3r OC =, 证明 133221r r r r r r R
⨯+⨯+⨯=垂直于平面.
证明 :由于 R AB ⋅=)(12r r -⋅[)()()(133221r r r r r r ⨯+⨯+⨯]
=)()()()()()(131321211132322212r r r r r r r r r r r r r r r r r r ---++ =0)()(321321=-r r r r r r ,
所以 R AB ⊥.同理可证 R AC ⊥.所以 R ⊥平面.
例2．设P 是球内一定点，A ，B ，C 是球面上三个动点.
2/CPA B PC APB π=∠=∠=∠. 以，，为棱作平行六面体，
记与P 相对的顶点为Q ，求Q 点的轨迹.（见北京大学2007考研题）
二．直线与平面方程 (一)、平面
1、平面的点法式方程
已知平面过点),,(000z y x P ，且法向量为),,(C B A n =→
，则平面方程为
0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A
注意：法向量为),,(C B A n =→
垂直于平面
2、平面的一般方程0=+++D Cz By Ax ，其中法向量为),,(C B A n =→
3、求平面方程的主要方法 （1）过直线⎩⎨
⎧=+++=+++00
2222
1111D z C y B x A D z C y B x A 的平面方程可设为
0)()(22221111=+++++++D z C y B x A D z C y B x A λ
如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理 例（1）在过直线⎩
⎨⎧=++=+++020
4z y x z y x 的平面中找出一个平面，使原点到它
的距离最长。
（2）平面过OZ 轴，且与平面0=-z y 的夹角为060，求该平面方程