质点系动量定理

讨论 ①
应用动量守恒定律要注意以下几点： 应用动量守恒定律要注意以下几点： 要注意以下几点
r r d ∑ pi = ∑ Fi dt
将上式写成分量式，其中 方向的分量式为： 将上式写成分量式，其中x 方向的分量式为： r r d ∑ pix = ∑ Fix dt r 若： ∑ Fix = 0 则有： 则有：
m1 m2
子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为 子弹穿过第二木块后，第二木块速度变为v2
F ∆t 2 = m2v2 − m2v1
F ∆t1 = ( m1 + m2 ) v1 − 0
F ∆t1 v1 = m1 + m2
F ∆t 2 = m2v2 − m2v1 F ∆t1 F ∆t 2 v2 = + m1 + m2 m2
dp ′= = − ρ ′v′2 − ρ v 2 F dt
F 为墙壁给予水柱的作用力
若水流碰到墙壁不再弹回 则 若水流完全反射 因而
v′ = 0
F = ρv
2
′v′2 = ρ v 2 ρ
F = 2ρ v
2
实际的情况介于这两个极 端情况之间。 端情况之间。工业上的水力采 煤技术就是基于这个原理。 煤技术就是基于这个原理。
④
⑤ ⑥ ⑦
动量守恒是自然界普遍适用的物理定律， 动量守恒是自然界普遍适用的物理定律， 它比牛顿定律更为基本。 它比牛顿定律更为基本。 定律更为基本 动量守恒定律只适用于惯性系。 动量守恒定律只适用于惯性系。 在微观世界中牛顿定律不再适用， 在微观世界中牛顿定律不再适用， 但动量守恒定律仍然正确 仍然正确。 但动量守恒定律仍然正确。
考虑到动量定理的意义，冲量仅决定于始末两 考虑到动量定理的意义， 个状态。 个状态。 F ∆t1 + ∆t 2 = m2v2 + m1v1 0 （ ） － 可得结果。 再结合 F ∆t1 式，可得结果。
例题3：
普通物理学教案
如图示，悬绳突然断开， 如图示，悬绳突然断开，猴子以多大的 加速度相对杆上爬，才能看上去不下落? 加速度相对杆上爬，才能看上去不下落 解： 建坐标 受力分析 用牛顿定律
r r I / ∆t = F
r r r I = p2 − p1
逆风行舟
r r F′ = F
例题2 ：
普通物理学教案
一粒子弹水平地穿过并排静止放置在光 滑平面上的木块，穿行时间各为∆ 滑平面上的木块，穿行时间各为∆ t1、∆ t2， 设子弹在木块中受到恒阻力F 设子弹在木块中受到恒阻力 。求：子弹穿 过后， 两木块各以多大速度运动？ 过后， 两木块各以多大速度运动？ 子弹穿过第一木块时， 子弹穿过第一木块时， 解： 两木块速度相同均为v 两木块速度相同均为 1 F ∆t1 = ( m1 + m2 ) v1 − 0
例题1* (自学用)
普通物理学教案
矿砂从传送带A落入 其速度4m/s ， 矿砂从传送带 落入B ，其速度 落入 方向与竖直方向成 30º角，而B 与水平方向 角 其速度2m/s。传送带的运送量为 成15º角，其速度 º 。 20kg/s 。 求：落到 B上的矿砂所受到的力。 上的矿砂所受到的力。 上的矿砂所受到的力 解： 作矢量图 r mv2 v1
ρ v2 入射水流在单位时间里对墙壁传递的动量为
ρ ′v′2 反射水流单位时间内带走的动量为
由于速度值的变化，必定引起流体的密度变化） （由于速度值的变化，必定引起流体的密度变化） 因为墙壁表面没有水的质量积聚， 因为墙壁表面没有水的质量积聚，必有 ρ ′v′2 ρ v 2 ＝ 因而墙壁表面对水柱的作用力一般为 dp F′ = = − ρ ′v′2 − ρ v 2 dt
r dv = 0+ M dt
f
f′
Mg
得
r m+M r a= g M
mg
y
例题4 ：
普通物理学教案Fra Baidu bibliotek
一根均质链条， 质量m 一根均质链条，长 l ，质量 ，竖直提 一端刚刚触地。由静止状态释放， 起 ，一端刚刚触地。由静止状态释放，求其 对地面的作用力。 对地面的作用力。 解： 建坐标 取链条整体为系统 无论何时链条整体受到外力作用
r F1
r f12
m1
r f 21
r F2
m2
对质点1 对质点 对质点2 对质点
∫
t
t0
r r r r ( F1 + f12 )dt = m1v1 − m1v10
∫
t
t0
r r r r ( F2 + f 21 )dt = m2 v 2 − m2 v 20
由牛顿第三定律，内力等大小、反方向） 两式相加 （由牛顿第三定律，内力等大小、反方向）
三、系统内质量流动问题 火箭飞行原理
中 国 国 国 国 航 航 航 航 天 天 天 天
建立火箭模型： 建立火箭模型：
视火箭为一系统 经dt 时间后 主体
火箭系统 喷出物
t
时刻： 时刻： 系统动量
t + dt 时刻： 主体动量 时刻： 喷出物动量
r r (m + dm )(v + dv ) r r r −dm (v + dv + u)
得
dy 2 d2 y ( ) = v 2 = 2gy =g 2 dt dt 2 N = ρ v + ρ yg = 2 ρ yg + ρ yg = 3ρ yg
即：下落过程中链条对地面的作用力是已 经落下部分所受重力的 3 倍。
N = ρ v + ρ yg
2
如果把此题改成一股高压水柱对墙壁的冲击 可以理解
0
r r F1 = mg r r r F2 = N ( t ) = N ( y )
y
任意时刻，将链条分为两部分∶ 任意时刻，将链条分为两部分∶ 空中部分的动量为 地面部分的动量为 由动量定理
r r d r mg + N = [ ρ (l − y )v ] dt
r ρ ( l − y )v
0 0
对坐标投影
③
在碰撞、打击、 在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的 过程中， 过程中，由于系统内部相互作用力远大于合 外力，往往可忽略外力， 外力，往往可忽略外力，系统动量守恒近似 成立。 成立。 定律中的速度应是对同一惯性系的速度， 定律中的速度应是对同一惯性系的速度，动 量和应是同一时刻的动量之和。 量和应是同一时刻的动量之和。
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3.2 质点系动量定理
（theorem of mometum of a system of particles） ） 一、质点系及其动量定理 质点系： 质点系：由一群有一定相互关系的质点组成的系统 如果一个复杂物体的运动不能用简化的质点模 型处理，例如自转的球、流体的运动、 型处理，例如自转的球、流体的运动、太阳系的运 动等等。 动等等。这时可以把它们视为由很多质点组成的系 统。 因而在研究方法上可以先弄清楚系统中任意质 点的运动规律， 点的运动规律，再按它们的相互关系推演出系统的 整体规律。 整体规律。
∫
t
t0
r r r r r r ( F1 + F2 )dt = (m1v1 + m2 v 2 ) − (m1v10 + m2 v 20 )
r F1
r f12
m1
r f 21
r F2
m2
由于系统的内力成对出现，系统的内力矢量和为零。 由于系统的内力成对出现，系统的内力矢量和为零。 推广到多质点系统，动量定理表达式为： 推广到多质点系统，动量定理表达式为：
现在，我们要考察的对象是一个系统， 现在，我们要考察的对象是一个系统，系统之 外可称为环境。 外可称为环境。 系统成员间的相互作用称为内力； 系统成员间的相互作用称为内力；系统与环境 内力 间的相互作用称为外力 外力（ 间的相互作用称为外力（当然要由系统内某个或某 些质点直接承担）。 些质点直接承担）。 为简单计， r 为简单计，考虑只有两个质点 m1 、m2 组成的 r 系统， 分别对它们作用， 系统，有外力 F1、F2 分别对它们作用，同时两质点 间还有相互作用。 间还有相互作用。
= 3.98 × m = 3.98q∆t (m/s)
r mv2
15º º
由动量定理： 由动量定理：
r F ∆t = ∆(mv )
r ∆ (mv )
θ
30º º
r mv1
3.98q∆t = 3.98q = 79.6N F= r ∆t r ∆ (mv ) mv2 = θ = 29o sin 75o sin θ
r pix = 常量
方向投影的代数和为零， 如果外力在 x 方向投影的代数和为零，则动量 方向的分量守恒。 在 x 方向的分量守恒。
②
内力的存在只改变系统内动量的分配， 内力的存在只改变系统内动量的分配， 不能改变系统的总动量 统的总动量。 不能改变系统的总动量。 因而，系统动量守恒时， 因而，系统动量守恒时，但每个质点的 动量仍可能变化。 动量仍可能变化。
15º º
r ∆ (mv )
30º º B
v2
30º º 15º º
A
r mv1
内落在传送带B上的矿砂质量为 上的矿砂质量为： 在∆t 内落在传送带 上的矿砂质量为： m = q∆t r r r 这些矿砂的动量增量为： 这些矿砂的动量增量为： ∆(mv ) = mv2 − mv1
r ∆( mv ) = m 42 + 22 − 2 × 4 × cos75o
例题5 ：
普通物理学教案
人与船质量分别为m 船长为L 人与船质量分别为 及M ，船长为 ，若人 从船尾走到船首。试求船相对于岸的位移。 从船尾走到船首。试求船相对于岸的位移。 (初始时刻人与船静止 初始时刻人与船静止) 初始时刻人与船静止 解：设人相对于船的速度为 u 船相对于岸的速度为 v m u 由动量守恒: 由动量守恒: Mv + m(v − u) = 0 v = M +m m ∆x = ∫ vdt = ∫ udt M +m m = L m M +m L 类似的二体问题有同解
0
mg − f = 0
f
Mg + f ′ = Ma
得
m+M a= g M
f′
Mg
mg
y
解法二∶ 解法二∶用质点系动量定理
r r F外 = (m + M ) g
d r r = [( p1 + p2 ] dt r r d = [mu + Mv ] dt
分析∶ 分析∶ 猴─杆系统 杆
0
r r r d (mu) d ( Mv ) (m + M ) g = + dt dt
d dy mg − N = [ ρ (l − y ) ] dt dt
y
d dy mg − N = [ ρ (l − y ) ] dt dt
所以
dy d d2 y N = ρ gl − ρ (l − y ) − ρ (l − y ) 2 dt dt dt dy dy d2 y d2 y = ρ gl − ( − ρ ) − ρ l 2 + ρ y 2 dt dt dt dt
∫
t
t0
r r r (∑ Fi )dt = ∑ mi v i − ∑ mi v i 0
i i i
质点系统动量定理与单质点的动量定理有完全 相同的形式。 相同的形式。 其意为： 质点系总动量的增量 其意为： 等于作用于该系统合外力的冲量 从这里我们看到，一般情况下， 从这里我们看到，一般情况下，只有外力的作 用才能改变质点系的总动量。 用才能改变质点系的总动量。 如果内力的存在使外力发生变化，或外力的产 如果内力的存在使外力发生变化， 生和变化受内力的影响、制约，这种情况下， 生和变化受内力的影响、制约，这种情况下，内力 对质点系的动量、角动量的变化会产生影响。 对质点系的动量、角动量的变化会产生影响。
二、动量守恒定律 由质点系的动量定理的微分形式 r r d ∑ pi = ∑ Fi dt r 特别地 若 F ≡0 则 即
r ∆p = 0
r ∑ pi = 恒量
一个孤立的力学系统（系统不受外力作用） 一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合 外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换。 外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换。 ─此即动量守恒定律
M
无关， 此结果与人的相对速度 u 无关，只要他完成了 船上的这段行走， 船上的这段行走，船对地的移动距离都是 m L M +m 这正符合我们从牛顿定律出发建立理论体系的 目的：避开运动和相互作用的细节，得到一般性的 目的：避开运动和相互作用的细节， 结论。 结论。 这个结果还暗示： 这个结果还暗示：动量守恒定律不受机械能是 否守恒的影响（ 船之间有内耗）， ），即 否守恒的影响（人、船之间有内耗），即 动量传递的守恒性， 动量传递的守恒性，不受运动形式及能量转换 的影响，判断动量是否守恒的标准， 的影响，判断动量是否守恒的标准，是系统是否受 外力作用。 外力作用。