透过不确定性原理看物理世界

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题目：透过不确定性原理看物理世界

姓名：任丽行

学号：0103

专业：物理学

年级： 2008级

指导老师：宗福建

山东大学物理学院

二零一零年十二月

透过不确定性原理看物理世界

物理学院 2008级任丽行学号：0103

【摘要】不确定性原理由海森堡提出，表述了一个粒子的位置和动量不能被同时确定的最小程度。当粒子的位置非常确定时，其动量将会非常不确定。由此可以推广到许多对共轭物理量之间。不确定性原理是量子力学几率解释和波粒二象性的必然结果。在量子力学的发展史上，不确定性原理起到了极为重要的推动作用，尤其是玻尔与爱因斯坦两位物理学大师关于海森堡关系的争论，更是为相对论量子力学的发展奠定了基础。

【关键词】不确定性；海森堡；波粒二象性；理想实验

1.引言

本文主要研究了海森堡不确定性原理提出的背景、推理过程、后续的讨论与发展，以及它对量子力学与整个物理学的发展所起的推动作用。文中主要涉及三位物理学大师：海森堡、玻尔和爱因斯坦。由海森堡提出并论证的不确定性关系是玻尔互补原理的最好证明。爱因斯坦通过设计一系列的理想实验企图反驳不确定性原理，没想到反过来证明了不确定性原理的正确性。本文就是以不确定性原理为主线，把它与互补原理及波粒二象性联系在一起，简单地讨论了它的涵义以及量子力学的一些基本问题，从而透过不确定性原理来瞻仰近代物理学的发展历程。

2.理论背景

不确定性原理又名“测不准原理”,英文名为“Uncertainty principle”，是量子力学的一个基本原理，由德国物理学家海森堡于1927年提出。不确定性原理是指在一个量子力学系统中，一个粒子的位置和它的动量不可被同时确定。位置和动量满足如下关系：

其中是约化普朗克常数。类似的不确定性关系也存在于能量和时间，角动量和角度等许多对共轭物理量之间：

上式中的与是一对共轭物理量，此式表明与不能同时为零，表明具有确定值，此时一定不为零，即不能被同时确定，这就是不确定性原理的基本表述。

不确定性原理是海森堡为了分析云雾室径迹而提出的。海森堡认为，只有在实验里能够观测到的物理量才有物理意义，才可以用理论描述其物理行为，即物理理论只能以可被观测的量为前提。海森堡据此，从不连续性出发创立了矩阵力学。他不考虑原子内部是否有电子轨道的存在，毅然离开在空间时间上的客观过程，只用和光谱线相关的频率与振幅这两个直接可观测的量来组成原子内部电子运动的力学量表示，从而找到了能综合原子光谱线的经验事实、确定原子稳定态的量子条件，弥补了玻尔模型的不足。他计算出代表位置与动量的无限矩阵。玻恩与约尔当研究了海森堡的位置与动量矩阵的性质后，得出下面的结论：

由于把物理量看成是具有不连续性结构的矩阵，把量子跃迁过程看成不能用传统概念来描写的不连续性过程。因此，矩阵力学在形式上强调了原子可观测的不连续性和粒子性的一面。但是，如果以不连续性为前提，就无法解释云雾室里电子的连续轨迹问题。这个问题使海森堡陷入困境。他反复考虑，意识到关键在于电子轨道的提法本身有问题。人们看到的径迹并不是电子的真正轨道，而是水滴形成的雾迹，水滴远比电子大，所以人们也许只能观察到一系列电子的不确定的位置，而不是电子的准确轨道。因此，在量子力学中，一个电子只能以一定的不确定性处于某一位置，同时也只能以一定的不确定性具有某一速度。可以把这些不确定性限制在最小的范围内，但不能等于零。这就是海森堡对不确定性原理的最初的思考。值得一提的是，爱因斯坦的

一句箴言“理论决定我们能够观测什么”，对海森堡以后提出不确定性原理影响较大。

3.海森堡的推理

在分析威尔逊云室时，海森堡所面临的问题包括两方面。一是在数学推理上，一个粒子的位置和速度在给定时刻只能以有限的精确度被确定吗？二是如果理论承认这样的不确定性，那么它同实验测量中可以获得的最佳精确度是等价的吗？

为了回答第一个问题，假设一个粒子的波函数是高斯函数：

位置坐标的平均值为：；由于高期函数是偶函数，则积分函数是奇函数，其在全坐标积分为零，即。

位置坐标的均方差为：

即。

接下来，通过傅里叶变换，将高斯函数变换至动量空间的波函数：

令，则

=

由于积分函数是奇函数，故。

动量的标准差为

=

即。

因此，。这就是位置与动量的测不准关系。

对于问题二的回答，海森堡设想了一个理想实验，即“射线显微镜实验”。我们可以对电子进行照明并在显微镜下观察它。根据有关分辨率的光学定律，辐射的波长越短，则显微镜的精度越高，因而射线显微镜可以得到确定位置的最高精度。在电子位置被确定的那一刻，即光子被电子偏转时，电子的动量会发生一个不连续的变化。光的波长越短，电子位置测定得越精确；但是，说明光子的动量很大，电子会被散射至随机方向，光子转移了一大部分不确定的动量给电子，导致电子的动量具有不确定性。反之，波长很长的光子动量很小，散射不会大大地改变电子的动量。可是，我们也只能大约地知道电子的位置，即电子的位置就有了极大的不确定性。

海森伯的不确定原理得到了波尔的支持，但玻尔不同意他的推理方式，认为他建立不确定原理所用的基本概念有问题。实际上，海森堡在解释不确定原理时，仅以单个粒子为例，而没有考虑到一个粒子系统各成员的位置和动量的统计分布。他在分析射线显微镜时，把问题的原因归于康普顿效应所引起的电子动量的不连续性变化，没有考虑到显微镜的有限孔径。事实上，对射线显微镜的圆满分析，应从阿贝光学衍射理论的定理出发：

显微镜的分辨本领的表示式为其中为所用光的波长，为透镜的

直径在物点所张的角，如图1。

在位置测量时，包含有一个不确定量

一个波长为，动量为的光子沿方向射到一个

动量为电子上，则碰撞前的总动量为。对于

用显微镜能观察到的电子，光子必须被散射到角度内的某个方向，即PA 、PB分别为两个散射极端，对应的康普顿散射的波长分别为与。因此,

被散射的光子的动量的分量处于与之间。用、

分别表示在这两种极端的散射情况下电子动量的分量，由动量守恒得：

我们只考虑数量级，可用代替与，则

由于显微镜孔径的影响，我们无法精密判断光子究竟被散射到内的哪

个角度，使得不能对碰撞后的粒子轨道作任何确定的预言，这是事情的关

键所在。显然，。

4.不确定性原理的例证

4.1单缝衍射实验

图2中AB为一个有狭缝的屏，狭缝

宽为，CD是荧光屏。动量为的粒子沿

y方向穿过狭缝，打在CD上。粒子在此

过程中，坐标的不确定程度为。

P

A B

图1 射线显微镜实验

y

A

B

C

D

x

图2 单缝衍射实验