阿氏圆最值问题
5最值系列之阿氏圆问题
P
A
B
O
下给出证明 法一：首先了解两个定理 （1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则 AB = DB ．
AC DC
A
E F
B
D
C
证明： S ABD = BD ， S ABD = AB DE = AB ，即 AB = DB
(k2 −1)( x2 + y2 ) − (2m + ) 2k2m x + (k2 −1)m2 = 0
x2 + y2 − 2m + 2k2m x + m2 = 0 k2 −1
解析式满足圆的一般方程，故 P 点所构成的图形是圆，且圆心与 AB 共线．
2
那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：
A
D
A
D
P
BM
C
BM
C
P
6
A
D
P
B
C
【分析】当 P 点运动到 BC 边上时，此时 PC=2，根据题意要求构造 1 PC ，在 BC 上取 M 2
使得此时 PM=1，则在点 P 运动的任意时刻，均有 PM= 1 PC ，从而将问题转化为求 PD-PM 2
的最大值．
A
D
A
D
P
BM
C
P
BM
C
连接 PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当 D、M、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值．
不同，如下，提供两种思路．
法一：构造相似三角形 注意到圆 C 半径为 2，CA=4，连接 CP，构造包含线段 AP 的△CPA，在 CA 边上取点 M 使 得 CM=2，连接 PM，可得△CPA∽△CMP，故 PA：PM=2:1，即 PM= 1 PA ．
中考数学最值—阿氏圆问题(解析+例题)
中考数学最值——阿氏圆问题（点在圆上运动）（PA+k·PB型最值）【问题背景】与两个定点距离之比为一个不为0的常数的点的轨迹是一个圆，这个圆为阿氏圆。
这个定理叫阿波罗尼斯定理。
【知识储备】①三角形三边关系：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边。
②两点之间线段最短。
③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
【模型分析】①条件：已知A、B为定点，P为 O上一动点，OPOB=k（0＜k＜1）。
②问题：P在何处时，PA+k·PB的值最小。
③方法：连接OP，OB，在OB上取点C，使OCOP =k，可得△POC∽△BOP，所以CPPB=OPOB=k，所以得CP=k·PB。
所以PA+k·PB=PA+CP≥AC，当P为AC与 O的交点时，PA+k·PB的最小值为AC。
总结：构造母子三角形相似若能直接构造△相似计算的，直接计算，不能直接构造△相似计算的，先把k提到括号外边，将其中一条线段的系数化成，再构造△相似进行计算。
【经典例题】已知∠ACB=90°，CB=4,CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点.（1）求12AP BP+的最小值为。
（2）求13AP BP+的最小值为。
【巩固训练】练习1：如图，点A、B在⊙O 上，且OA=OB=6，且OA⊥OB，点C是OA的中点，点D在OB 上，且OD=4，动点P在⊙O 上，则2PC+PD的最小值为；练习2：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC的中点，M为BD的中点，将线段AD绕A点任意旋转（旋转过程中始终保持点M为BD的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM长度的取值范围是__________。
练习3：Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.练习4：如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.练习5：如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+21PC 的最小值为_________.练习6：如图，等边△ABC 的边长为6，内切圆记为⊙O ，P 是圆上动点，求2PB+PC 的最小值.值。
专题05 阿氏圆最值问题(学生版)
专题05 阿氏圆最值问题一．定点在圆外——向圆内找点构造相似1．如图，在中，，，，以为圆心、3为半径作，为上一动点，连接、，则的最小值为2．如图，在中，，，则的最大值为 ．3．【新知探究】新定义：平面内两定点，，所有满足为定值）的点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在中，，，则面积的最大值为 ．4．如图，已知菱形的边长为8，，圆的半径为4，点是圆上的一个动点，则的最大值为 ．90ACB ∠=︒7CB=9AC =C C e P C e AP BP 13AP BP +ABC ∆6BC =60BAC ∠=︒2AB AC +A B (PAk k PB=P ABC ∆4CB =2AB AC =ABC ∆ABCD 60B ∠=︒B P B 12PD PC -Rt ABC ∆5．如图，正方形的边长为4，为的中点，以为圆心，为半径作，点是上一动点，连接、，则的最小值为 ．6．如图所示的平面直角坐标系中，，，是第一象限内一动点，，连接、，则的最小值是 ．7．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆，为圆的最小值为 ．8．已知：等腰中，，，是上一点，以为圆心的半圆与、均相切，为半圆上一动点，连、，如图，则的最小值是 ．ABCD E BC B BE B e P Be PD PC 12PD PC +(0,4)A (4,0)B P 2OP =AP BP 12BP AP +O P O PB +Rt ABC ∆90ACB ∠=︒8AC BC ==O AB O AC BC P PC PB PC9．如图，在中，，，，的半径为1，为上一动点，求的最小值 ．10．如图，在中，，，，圆的半径为2，点为圆上一动点，连接，．求①；②；③；④的最小值．11．如图，在平面直角坐标系中，、、、，是外部的第一象限内一动点，且，则的最小值是 ．12．如图，在平面直角坐标系中，，，以为圆心，为原点，是上一动点，则的最小值为 ．Rt AOB ∆90AOB ∠=︒3OA =2OB =O e M O e 12AM BM +Rt ABC ∆90ACB ∠=︒4CB =6CA =C P AP BP 12AP BP +2AP BP +13AP BP +3AP BP +(2,0)A (0,2)B (4,0)C (3,2)D P AOB ∆135BPA ∠=︒2PD PC +xOy (6,1)A -(4,4)M M O P M e 2PO PA +二．定点在圆内——向外找点构造相似13．如图，与轴、轴的正半轴分别相交于点、点，半径为3，点，点，点在弧上移动，连接，，则的最小值为 ．14．如图，在中，点、点在上，，，点在上，且，点是的中点，点是劣弧上的动点，则的最小值为 ．15．如图，扇形中，，，是的中点，是上一点，，是上一动点，则的最小值为 ．O e y x M N O e (0,1)A (2,0)B P MN PA PB 3PA PB+O e A B O e 90AOB ∠=︒6OA =C OA 2OC AC =D OB M AB 2CM DM+AOB 90AOB ∠=︒6OA =C OA D OB 5OD =P ¶AB 12PC PD+16．问题提出：如图1，在等边中，，半径为6，为圆上一动点，连接，，求的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接，在上取点，使，则有，又，，，，．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为．（2）自主探索：如图3，矩形中，，，为矩形内部一点，且，的最小值为．（3）拓展延伸：如图4，扇形中，为圆心，，，，，点是上一点，求的最小值，画出示意图并写出求解过程．17．半径为2，，为两条直线．作于，且为中点，为圆上一个动点．求的最小值．ABC ∆12AB =C e P APBP 12AP BP +CP CB D 3CD =12CD CP CP CB ==PCD BCP ∠=∠ PCD BCP ∴∆∆∽∴12PD BP =12PD BP ∴=12AP BP AP PD ∴+=+12AP BP +ABCD 7BC =9AB =P 3PB =13AP PC +COD O 120COD ∠=︒4OC =2OA =3OB =P ¶CD2PA PB +O e AB DE DC AB ⊥C C AO P 2PC PE +18．问题提出：如图1，在中，，，，半径为2，为圆上一动点，连接、，求的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接，在上取点，使，则有，又，．，，．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，的最小值为 ．（3）拓展延伸：已知扇形中，，，，，点是弧CD 上一点，求的最小值．三．一内一外提系数19．如图，在中，，，，在以为圆心3为半径的圆上，则的最小值为 ．20．如图，正方形边长为4，是的中点，在上，的最大值是 ，则的最小值是 Rt ABC ∆90ACB ∠=︒4CB =6CA =C e P APBP 12AP BP +CP CB D 1CD =12CD CP CP CB ==PCD BCP ∠=∠ PCD BCP ∴∆∆∽∴12PD BP =12PD BP ∴=12AP BP AP PD ∴+=+12AP BP +13AP BP +COD 90COD ∠=︒6OC =3OA =5OB =P 2PA PB +ABC ∆90ABC ∠=︒26AB BC ==1BD =P B 6AP PD +ABCD L CD Y C e ||YA -YA +四．真题演练21．如图，是的直径，为上一点，作于点，，延长至点，使得，是弧（异于，上一个动点，连接、．（1）若，求的长度；（2）求证：是的切线；（3）点在运动的过程中是否存在常数，使得，如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．22．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴分别交于、两点，与轴交于点，抛物线的顶点坐标为，连结、、．（1）求抛物线的表达式；（2）判断的形状，并说明理由；（3）如图2，以为半径作，在上是否存在点，使得的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．AB O e C O e CEAB ⊥E 2BE OE =AB D BD AB =P AB A )B AC PE 3AO =AC CD O e P k PE k PD =g k x A B y (0,6)C (2,8)E BC BE CE BCE ∆C C e C e P 12BP EP +23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴的另一交点为．（1）求抛物线解析式及点坐标；（2）如图，若点是半径为2的上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．24．如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点．（1）求的值和直线的函数表达式；（2）设的周长为，的周长为，若，求的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值．55y x =-+x y A C 2y x bx c =++A Cx B B P B e PC PA P 12PC PA +2(3)3(0)y ax a x a =+++≠x (4,0)A y B x (E m 0)(04)m <<E x AB N P P PM AB ⊥M a AB PMN ∆1C AEN ∆2C 1265C C =m OE O OE '(090)αα︒<<︒E A 'E B '23E A E B '+'25．如图1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，⊙M 交轴于、两点，交轴于、两点，且为弧AE 的中点，交轴于点，若点的坐标为，．（1）求点的坐标；（2）连接、，求证：；（3）如图2，过点作⊙M 的切线，交轴于点．动点在⊙M的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点和，交轴于点，抛物线的对称轴交轴于点．（1）求抛物线的解析式；（2）将线段绕着点沿顺时针方向旋转得到线段，旋转角为，连接，，求的最小值；xOy M x x A B y C D C AE y G A (2,0)-8AE =C MG BC //MG BC D x P F OFPF2y x bx c =-++x A (1,0)C y (0,3)B x E F OE O OE '(090)αα︒<<︒AE 'BE '13BE AE '+'27．如图，抛物线与直线交于，两点，直线交轴于点．点是直线上的动点，过点作轴交于点，交抛物线于点．（1）求抛物线的表达式；（2）连接，，当四边形是平行四边形时，求点的坐标；（3）①在轴上存在一点，连接，，当点运动到什么位置时，以，，，为顶点的四边形是矩形？求出此时点，的坐标；②在①的前提下，以点为圆心，长为半径作圆，点为上一动点，求它的最小值．2y xbx c =-++AB (4,4)A --(0,4)B 1:62AC y x =--y C E AB E EF x ⊥AC F G 2y x bx c =-++GB EO GEOB G y H EH HF E A E F H E H E EH M E e 12AM CM +。
2023年中考数学常见几何模型之最值模型阿氏圆问题
专题11 最值模型-阿氏圆问题最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB（k≠1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图 1 所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·P A+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
例1．（2022·安徽·九年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP ＋BP 的最小值为（ ）A ．7B ．C．4D．例2．（2020·广西中考真题）如图，在Rt 中，AB ＝AC ＝4，点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 是扇形AEF 的上任意一点，连接BP ，CP ，则BP +CP 的最小值是_____．ABC V »EF12．【分析】在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A ，CT ．证明，推出＝＝，推出PT ＝PB ，推出PB +CP ＝CP +PT ，根据PC +PT ≥TC ，求出CT即可解决问题．【详解】解：在AB 上取一点T ，使得AT ＝1，连接PT ，P A，CT ．∵P A ＝2．AT ＝1，AB ＝4，∴P A 2＝AT •AB ，∴＝， ∵∠P AT＝∠P AB ，∴，∴＝＝，∴PT ＝PB ，∴PB +CP＝CP +PT ，∵PC +PT ≥TC ，在Rt 中，∵∠CAT ＝90°，AT ＝1，AC ＝4， ∴CT PB +PC ，∴PB +PC ．故答．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的三边关系，圆的基本性质，掌握以上知识是解题的关键．例3．（2022·四川成都·模拟预测）如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC −的最大值为_______．PAT BAP V V ∽PT PB AP AB 1212124=PA ATABPA PAT BAP V V ∽PT PB AP AB 121212ACT V 1212例4．（2022·浙江·舟山九年级期末）如图，矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，以B 为圆心，以BC 为半径画圆交边AB 于点E ，点P 是弧CE 上的一个动点，连结,PD PA ，则12AP DP +的最小值为（ ）A BC D【点睛】本题考查矩形和圆的基本性质，相似三角形的性质和判定，解题的关键是构造相例5．（2022·广东·广州市第二中学九年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A (2，0)，B (0，2)，C (4，0)，D (5，3)，点P 是第一象限内一动点，且135APB ∠=︒，则4PD +2PC 的最小值为_______．例6．（2021·浙江金华·一模）问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+13BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD＝1，则有13== CD CP CP CB又∵∠PCD＝∠△∽△∴13=PDBP∴PD＝13BP∴AP+13BP＝AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+13BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝6，AB＝8，P为矩形内部一点，且PB＝4，则1AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)2(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4．OA＝2，OB＝3，点P是»CD上一点，求2P A+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．例7．（2022·广东·二模）（1）初步研究：如图1，在△P AB中，已知P A=2，AB=4，Q为AB 上一点且AQ=1，证明：PB=2PQ；（2）结论运用：如图2，已知正方形ABCD的边长为4，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC+PB的最小值；（3）拓展推广：如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠A=60°，⊙A的半径为2，点P是⊙A上的一个动点，求2PC−PB的最大值．（3）如图，在AB 上取一点，使得AQ =1，连接AP ，PQ ，P ′，过点C 作CH 垂直AB 的延长线于点H ．易得AP =2，AB 由（1）得PB =2PQ ，∴2=2PC −2PQ =2(PC −PQ ) ，∵PC −PQ ≤QC ，∴当点P 交⊙A 的点P ′时，PC −PQ 的值最大．例8．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.已知平面上两点AB 、，则所有符合0(PAk k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆. 阿氏圆基本解法：构造三角形相似.【问题】如图1，在平面直角坐标中，在x 轴，y 轴上分别有点()(),0,0,C m D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OPk OD=，求PC kPD +的最小值.阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值. 下面是该题的解答过程(部分)：解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==， 又,POD MOP POMDOP ∠=∠∴.任务：()1将以上解答过程补充完整.()2如图2，在Rt ABC V 中，90,4,3,ACB AC BC D ∠=︒==为ABC V 内一动点，满足2CD =，利用()1中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值.课后专项训练1．（2022·福建南平九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C为圆心、3为半径作⊙C，P为⊙C上一动点，连接AP、BP，则13AP+BP的最小值为（）B．C．D．A．【点睛】本题考查相似三角形，解直角三角形；懂得依题意作辅助线构造相似三角形是解题的关键．2．（2022·江苏·无锡市九年级期中）如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A（0，1），点B（2，0），点P在弧MN上移动，连接P A，PB，则3P A+PB的最小值为___．3．（2022·陕西·三模）如图，在四边形ABCD中，AB=，，设•=∠=∠=︒260AC BAC ACD=，则k的最小值为___________．AD k BD1##1−在Rt ACJ V 中，260AC CAJ =∠=︒，，∴∴AB CD ∥，∵BM CD CJ AB ⊥⊥，，∴四边形BJCM4．（2022·湖北武汉·模拟预测）【新知探究】新定义：平面内两定点A, B ，所有满足PA PB=k ( k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”，【问题解决】如图，在△ABC 中，CB = 4 ，AB= 2AC ，则△ABC 面积的最大值为_____．5．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E 分别是边BC、AC上的两个动点，且DE＝4，P是DE的中点，连接P A，PB，则P A+PB 的最小值为．【解答】解：如图，在CB上取一点F，使得CF＝，连接PF，AF．∵∠DCE＝90°，DE＝4，DP＝PE，∴PC＝DE＝2，∵＝，＝，∴＝，∵∠PCF＝∠BCP，∴△PCF∽△BCP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴P A+PB＝P A+PF，∵P A+PF≥AF，AF＝＝＝，∴P A+PB≥，∴P A+PB的最小值为，故答案为．6．（2022·江苏·苏州九年级阶段练习）如图，正方形ABCD的边长为4，点E为边AD上一个动点，点F在边CD上，且线段EF＝4，点G为线段EF的中点，连接BG、CG，则BG +12CG 的最小值为 _____．7．（2022·山西·九年级专题练习）如图，在ABC V 中，90,2B AB CB ∠=︒==，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则PA PC 的最小值是___________．8．（2022·湖北·九年级专题练习）如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，PC的最大值为_____．点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣129．（2022·北京·九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上A＋PB的最小值为________．OP＝r＝12BC＝2，OB＝∵222OPOI==，OBOP=∴22PI OIPB OP==，∴PI10．（2022·山东·九年级专题练习）如图，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，4CB =，6CA =，圆C 半径为2，P 为圆上一动点，连接,2,1A A P P P P B B +最小值__________．13BP AP +最小值__________．11．（2022·重庆·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋23PC的最小值为__，PD﹣23PC的最大值为__．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD＋12PC的最小值为__，PD﹣12PC的最大值为__．如图3中，在BC 上取一点6342PB BG ==Q，BC PB PBG CBP ∴V :V ，∴221PB BG ==Q，422BC PB ==，PBG CBP ∴V :V ，PG BG PC PB ∴=PD PG DG +≥Q （当且仅当G 12．（2022·江苏淮安·九年级期中）问题提出：如图1，在等边△ABC 中，AB =12，⊙C 半径为6，P 为圆上一动点，连结AP ，BP ，求AP +12BP 的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =3，则有CD CP =CP CB=12，又∵∠PCD =∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP =12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +12BP的最小值为．（2）自主探索：如图1，矩形ABCD中，BC=7，AB=9，P为矩形内部一点，且PB=3，1 3AP+PC的最小值为．（3）拓展延伸：如图2，扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4，OA=2，OB=3，点P是»CD上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．13．（2022·湖北·九年级专题练习）（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +4PC +的最小值，12PD PC −的最大值．（2）如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，求23PD PC +的最小值，23PD PC −的最大值，PC 的最小值．（3）如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B ∠︒，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求12PD PC +的最小值和12PD PC −的最大值．PC 的最小值PB BC2414．（2022·山东聊城·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++经过点()4,4A −−，()0,4B ，直线AC 的解析式为162y x =−−，且与y 轴相交于点C ，若点E 是直线AB 上的一个动点，过点E 作EF x ⊥轴交AC 于点F ．（1）求抛物线2y x bx c =−++的解析式；（2）点H 是y 轴上一动点，连结EH ，HF ，当点E 运动到什么位置时，四边形EAFH 是矩形?求出此时点E ，H 的坐标；（3）在（2）的前提下，以点E 为圆心，EH 长为半径作圆，点M 为E e 上以动点，求12AM CM +的最小值．15．（2022·江苏泰州·一模）如图，已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，9AB =，E 是AB 上的一点，5BE =，点D 是线段BC 上的一个动点，沿AD 折叠ACD ∆，点C 与C '重合，连接BC '．(1)求证：AEC AC B ''∆∆∽；(2)若点F 是BC 上的一点，且BF =，①若BC F '∆与BC E '∆2）中作出折叠后的AC D '∆（保留作图痕迹，不写作法）；②求32BC FC ''+的最小值．②如图，由（1）知：△AEC′∽△AC′B，∴AE ACAC AB'='=6293=，∴EC′=23BC′，∵BC′+32FC′=32(23BC′+FC′)=32(EC′+FC′），当E、C′、F三点共线时，EC′+FC′最短，即EC′+∴BC′+32FC′的最小值为32EF，在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC=22AB AC−过点E作EG⊥CB于G，∴∠C=∠EGB=90°，∴ACBC AB AC16．（2022·广东·九年级专题练习）如图1，已知正方形ABCD，AB＝4，以顶点B为直角顶点的等腰Rt△BEF绕点B旋转，BE＝BF AE，CF．(1)求证：△ABE ≌△CBF ．(2)如图2，连接DE ，当DE ＝BE 时，求S △BCF 的值．（S △BCF 表示△BCF 的面积）(3)如图3，当Rt △BEF 旋转到正方形ABCD 外部，且线段AE 与线段CF 存在交点G 时，若M 是CD 的中点，P 是线段DG+PG 的值最小时，求MP 的值． 【答案】(1)见解析(2)2或【分析】（1）由“SAS ”可证△ABE ≌△CBF ；（2）由“SSS ”可证△ADE ≌△ABE ，可得∠DAE ＝∠BAE ＝45°，可证AH ＝EH ，由勾股定理可求BE 的长，即可求解；（3）先确定点P 的位置，过点B 作BQ ⊥CF 于Q ，由勾股定理可求CE 的长，由平行线分线段成比例可求解．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABC ＝90°， ∵∠EBF ＝90°＝∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBF ， 又∵BE ＝BF ，AB ＝BC ，在△ABE 和△CBF 中，AB CB ABE CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CBF （SAS ）； (2)解：如图2，过点E 作EH ⊥AB 于H ，∵△ABE ≌△CBF ，∴S △ABE ＝S △CBF ，∵AD ＝AB ，AE ＝AE ，DE ＝BE ，∴△ADE ≌△ABE （SSS ）， ∴∠DAE ＝∠BAE ＝45°，∵EH ⊥AB ，∴∠EAB ＝∠AEH ＝45°，∴AH ＝EH ，17．（2022·河北·九年级专题练习）如图1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP，求：①12AP BP+，②2AP BP+，③13AP BP+，④3AP BP+的最小值．【点睛】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理．正确的作出辅助线，并且理解三点共线时线段最短是解答本题的关键．。
九年级数学专题-阿氏圆最值问题
1AB +kCD 求最值之阿氏圆问题几何中求线段之和的最值问题是我们在初中阶段十分常见的一种类型题目，常见类型包含“将军饮马问题”、“阿氏圆问题”、“胡不归问题”。
此类题目一般综合性、灵活性、应用性较强，一般学生做起来会感觉比较困难。
通过总结我们不难发现此类题目一般的解法都是通过转换或构造把线段之和问题转化为点到点的距离最小或点到线的距离最小问题。
“阿波罗尼斯圆”：在平面上给定两点B A ,，设P 点在同一平面上且满足,=λPA PB 当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆。
（1=λ时P 点的轨迹是线段AB 的中垂线）如图：36.0=APBP 为固定值，则此时点P 的运动轨迹为ΘΟ。
证明：设B 点坐标为（0，0）；A 点坐标为（m，0）；P（x,y）.则22+=y x PB ，22+)-(=y m x PA .由λPA PB =得λym x y x =+)-(+2222整理得：0=-2-)+)(-1(222222m λx λm y x λ222222-1(=+-1-(λλm y λλm x 所以当0>λ且1≠λ时，P 点的轨迹是个圆，圆心为)0,-1(22λλm ，半径2-1=λλm r 。
所以此时有λPAPB AO OP OP OB ===所以一定会有△OPB∽△OAP。
在初中阶段我们不要求学生能够证明，只要求学生能够记住这个模型中有这样一对相似三角形，并且能够利用这个固定结论构造这样的相似三角形来解决实际问题就可以了。
2例1：问题提出：如图1，在ABC Rt Δ中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，C Θ的半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求BP AP 21+的最小值。
自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，BP AP +31的最小值为__________；拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P 是弧CD 上一点，求PB AP +2的最小值。
最值问题——阿氏圆
阿波罗尼斯圆
阿氏圆
• 一动点P到两定点A、B的距 离之比等于定比m:n,则P点的 轨迹是以定比m:n内分和外分 定线段AB的两个分点的连线 为直径的圆，称为阿波罗尼 斯圆,简称阿氏圆
• 专门解决（AP+mBP，m≠1）最小值问题
• 与胡不归模型区别： 胡不归（动点在直线上）；阿氏圆（动点在圆上)
内分点：当点P在线段AB上时，P就是AB的内分点 外分点：当点P在线段AB的延长线上时，P就是AB的外 分点
阿氏圆结论与证明
当P在在圆上运动时,PA、PB的的比值始终保持不变 构造子母型相似
P
O
P2
A
P1
B
模型使P1
B
确定模型五步骤：
①圆心
②圆上动点 ③圆外固定点
④以圆心所在角为公共角
2 37 3
∵AC = 4，CD = 3,在CB上取一点M，使得CM = 2 CD = 4
BC
3
3
AD + 2 BD的最小值 42 4 2 4 10
3
3
3
过关检测
学习从来无捷径，循序渐进登高峰
⑤子交点（位置需要自己找）在圆心与圆外固定点连线上
• 确定动点的运动轨迹,以及轨迹的圆心和半径 • 找到比例为k的边,构成母三角形,标出两边的夹角 • 利用标出两边的夹角,构造一个线段,长度比半径成比例k,构造出子三角形，母子
三角形相似 • 得到去除系数k的线段,结合两点之间线段最短进行求解
解析： 连接CP，在CB上取点D使CD=1 则△PCD∽△BCP AP+½BP=AP+PD 当A、P、D三点共线时,AP+PD的值最小 最小值= AC2 CD2 37
中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题
中考数学几何复习---最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA PAkMB PB==，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA PAkNB PB==，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：()()()()()()2222222222222222212210221x m y k x m k yk x y m k m x k mm k mx y x mk++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P点所构成的图形是圆，且圆心与AB共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则12PA PB的最小值为__________．EABCDP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA，此处P点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=12 PA．问题转化为PM+PB最小值，直接连BM即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12 PA？答：因为圆C半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA，也只能构造12PA．（2）如果问题设计为PA+kPB最小值，k应为多少？答：根据圆C半径与CB之比为2:3，k应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值．。
5最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB ”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACD S BD S CD =V V ，ABD ACD S AB DE AB S AC DF AC ⨯==⨯V V ，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
5最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=．ABC DE证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则DB ABDE AE=，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA PAkNB PB==，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y），PA=kPB，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k m x y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线． 那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
模型17 阿氏圆最值问题(解析版)
模型介绍背景故事：“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.模型建立：当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：易证：△BOP∽△POA，∴对于圆上任意一点P都有.对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需+ 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似 【技巧总结】计算PA k PB三角形+ 的值最小，解决步骤具体如下：问题：在圆上找一点P使得PA k PB①如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB②计算出这两条线段的长度比OP k OB=③在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB=，PC k PB = ④则=PA k PB PA PC AC ++≥ ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值例题精讲【例1】．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，则AP +BP 的最小值为________.解：如图1，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，则有＝＝，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，∴＝，∴PD ＝BP ，∴AP +BP ＝AP +PD ．要使AP +BP 最小，只要AP +PD 最小，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP +PD 最小，即：AP +BP 最小值为AD ，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值为变式训练【变式1-1】．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上的动点，则PD+PC 的最小值等于5．解：如图，在BC上截取BE＝1，连接BP，PE，∵正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，∴BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3∵，且∠PBE＝∠PBE∴△PBE∽△CBP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE∴当点D，点P，点E三点共线时，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，∴PD+PC最小值为DE＝＝5故答案为：5【变式1-2】．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，则的最小值为．解：如图，在AB上截取AQ＝1，连接AP，PQ，CQ，∵点E、F分别是边AB、AC的中点，点P是以A为圆心、以AE为半径的圆弧上的动点，∴，∵AP＝2，AQ＝1，∴，∵∠PAQ＝∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ＝PB，∴PB+PC＝PC+PQ≥CQ，在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，∴QC＝＝＝．，∴PB+PC的最小值．，故答案为：．【变式1-3】．如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心作半径为4的圆交x轴正半轴于点A，点M的坐标为（6，3），点N的坐标为（8，0），点P在圆上运动．则PM+PN的最小值是5．解：如图，作MB⊥ON于B，则BM＝3，OB＝6，取OA的中点I，连接OP，PI，IM，∴OI＝2，OP＝4，∴＝＝，＝＝，∴，又∠POI是公共角，∴△POI∽△NOP，∴，∴PI＝PN，∴PM+PN＝PM+PI≥IM，∴当M、P（图中Q点）、I在一条直线上时，PM+PI最小＝MI＝＝＝5，故答案是5．【例2】．如图，在⊙O中，点A、点B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，点C在OA上，且OC＝2AC，点D是OB的中点，点M是劣弧AB上的动点，则CM+2DM的最小值为．解：延长OB到T，使得BT＝OB，连接MT，CT．∵OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12，∴OM2＝OD•OT，∴＝，∵∠MOD＝∠TOM，∴△MOD∽△TOM，∴＝＝，∴MT＝2DM，∵CM+2DM＝CM+MT≥CT，又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°，OC＝4，OT＝12，∴CT＝＝＝4，∴CM+2DM≥4，∴CM+2DM的最小值为4，∴答案为4．变式训练【变式2-1】．⊙O半径为2，AB，DE为两条直线．作DC⊥AB于C，且C为AO中点，P 为圆上一个动点．求2PC+PE的最小值．解：延长OA到K，使AK＝AO＝2．∵C是AO的中点，∴OC＝OA＝1，∴＝．又∵∠COP＝∠POK，∴△COP∽△POK，∴，即PK＝2PC．∴2PC+PE＝PE+PK≥EK．作EH⊥BC于点H．∵在直角△COD中，cos∠DOC＝，∴∠DOC＝60°，∴∠EOH＝∠DOC＝60°，∴HE＝OE•sin60°＝2×，∴EK＝．即最小值是2．故答案是：2．【变式2-2】．如图，在扇形OCD中，∠COD＝90°，OC＝3，点A在OD上，AD＝1，点B为OC的中点，点E是弧CD上的动点，则AE+2EB的最小值是2．解：如图，延长OC至F，使得CF＝OC＝3．连接EF，OE，∵∠EOB为公共角∴△OBE∽△OEF∴∴2BE＝EF∴AE+2BE＝AE+EF即A、E、F三点共线时取得最小值即由勾股定理得AF＝＝故答案为【变式2-3】．如图，等边△ABC的边长6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为3．解：如图，连接OC交⊙O于点D，取OD的中点F，作OE⊥BC于E，FG⊥BC于G，∴＝＝，∵∠FOP＝∠POC，∴△OPF∽△OCP，∴CP＝2PF，∴2PB+PC＝2（PC+PB）＝2（PB+PF），∵PB+PF≥BF，∴PB+PF的最小值为BF，∵BC＝6，∠OCE＝30°，∴CE＝3，OE＝，OC＝2，∴CF＝，∴GF＝，CG＝，∴BG＝BC﹣CG＝，由勾股定理得，BF＝，∴2PB+PC的最小值为2BF＝3．故答案为：3．1．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则PA+PB的最小值为2．解：设⊙O半径为r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中点I，连接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴当A、P、I在一条直线上时，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．2．如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中点，D是OB上一点，OD＝5，P是上一动点，则PC+PD的最小值为．解：如图，延长OA使AE＝OB，连接EC，EP，OP，∵AO＝OB＝6，C分别是OA的中点，∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP∴△OPE∽△OCP∴＝＝，∴EP＝2PC，∴PC+PD＝（2PC+PD）＝（PD+PE），∴当点E，点P，点D三点共线时，PC+PD的值最小，∵DE＝＝＝13，∴PD+PE≥DE＝13，∴PD+PE的最小值为13，∴PC+PD的值最小值为．故答案为：．3．如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为弧AB上一动点，则PC+PD的最小值为．解：∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∴OC＝＝，取OC的中点I，连接PI，DI，∵，，∴，又∠O是公共角，∴△POI∽△COP，∴＝＝，∴PI＝PC，∴PC+PD＝PI+PD，∴当D、P、I在一条直线上时，PC+PD最小＝DI，作IF⊥AB于F，IE⊥BD于E，∵BE＝IF＝AC＝，∴DE＝BD﹣BE＝，IE＝BF＝OB+OF＝，∴DI＝＝，∴PC+PD最小＝DI＝．故答案是：．4．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O为圆心，4为半径作圆O，交两边于点C，D，P为劣弧CD上一动点，则PA+PB最小值为2．解：如图，连接OP，取OC的中点E，∵，∠POE＝∠AOP，∴△POE∽△AOP，∴＝，∴PA+PB＝PE+PB，∵PE+PB≥BE，∴当B、P、E共线时，PE+PB最小，∵OE＝OC＝2，OB＝10，∴BE＝＝＝2，∴PA+PB的最小值是2．5．如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM＝2，N为边BC上一动点，连接MN，点B关于MN对称，对应点为P，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为6．解：∵B、P关于MN对称，BM＝2，∴PM＝2，如图所示，则点P在以M为圆心，BM为半径的圆上，在线段MA上取一个点E，使得ME＝1，又∵MA＝6﹣2＝4，MP＝2，∴，，∴，又∵∠EMP＝∠PMA，∴△EMP∽△PMA，∴，∴，∴PA+2PC＝2（）＝2（PC+PE）≥2CE，如图所示，当且仅当P、C、E三点共线时取得最小值2CE，∵CE＝，∴PA+2PC的最小值为6．6．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M点是BC的中点，A为圆心，AB为半径的圆交AD于点E．点P在上运动，则PM+DP的最小值为．解：取AE的中点K，连接PK，KM，作KH⊥BC于H，则四边形ABHK是矩形．可得AK＝BH＝1，HK＝AB＝2．∵AP＝2，AK＝1，AD＝4，∴PA2＝AK•AD，∴＝，∵∠KAP＝∠PAD，∴△PAK∽△DAP，∴＝＝，∴PK＝PD，∴PM+PD＝PM+PK，∵PM+PK≥KM，KM＝＝，∴PM+PK≥，∴PM+DP的最小值为，故答案为．7．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D为AC的中点，以A为圆心，AD为半径作OA交AB于点E，P为劣弧DE上一动点，连接PB、PC，则PC+PB的最小值为．解：在AB上取F，使AF＝，连接CF与⊙A的交点即是满足条件的点P，连接AP，如图：∵AD＝AC＝2，∴AP＝AD＝2，∵AB＝3，AF＝，∴AP2＝AF•AB，∵∠PAB＝∠FAP，∴△PAB∽△FAP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴PC+PB＝PC+PF＝CF，根据两点之间线段最短，此时PC+PB＝CF最小，∴PC+PB最小值为CF＝＝＝，故答案为：．8．如图，在平面直角坐标系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA＝135°，则2PD+PC的最小值是4．解：如图，取一点T（1，0），连接OP，PT，TD，∵A（2，0）、B（0，2）、C（4，0），∴OA＝OB＝2，OC＝4，以O为圆心OA为半径作⊙O，在优弧AB上取一点Q，连接QB，QA，∵∠Q＝AOB＝45°，∠APB＝135°，∴∠Q+∠APB＝180°，∴A、P、B、Q四点共圆，∴OP＝OA＝2，∵OP＝2，OT＝1，OC＝4，∴OP2＝OC•OT，∴，∵∠POT＝∠POC，∴△POT∽△POC，∴，∴PT＝，∴2PD+PC＝2（PD+PC）＝2（PD+PT），∵PD+PT≥DT，DT＝＝2，∴2PD+PC，∴2PD+PC的最小值是4．故答案为：4．9．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，⊙O的半径为1，M为⊙O上一动点，求AM+BM的最小值．解：如图，连接OM，在OB上取点C，使OC＝，连接MC，AC，∵OB＝2，⊙O的半径为1，∴，∵∠MOC＝∠COM，∴△OMC∽△OBM，∴，∴MC＝，∴AM+BM＝AM+MC，∴AM+BM的最小值即为AM+MC的最小值，∴A、M、C三点共线时，AM+MC最小，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC＝．∴AM+BM的最小值为．10．问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB＝12，⊙C半径为6，P为圆上一动点，连接AP，BP，求AP+BP的最小值．（12，连接CP，在CB 上取点D，使CD＝3，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为3．（2）自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P为矩形内部一点，且PB＝3，AP+PC的最小值为5．（3）拓展延伸：如图4，扇形COD中，O为圆心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，点P是上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．解：（1）解：（1）如图1，连接AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+BP最小值为AD，∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°，∴CF＝6，AF＝6，∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3，∴AD＝＝3，∴AP+BP的最小值为3；（2）如图，在AB上截取BF＝1，连接PF，PC，∵AB＝9，PB＝3，BF＝1，∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝5，∴AP+PC的值最小值为5；（3）如图，延长OC，使CF＝4，连接BF，OP，PF，过点F作FM⊥OD于点M，∵OC＝4，FC＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POF，∴，∴PF＝2AP，∴2PA+PB＝PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，FM⊥OM，∴OM＝4，FM＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7，∴FB＝＝，∴2PA+PB的最小值为．11．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为6，圆B的半径为3，点P是圆B上的一个动点，则PD+PC的最小值为，PD﹣PC的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B 上的一个动点，求PD+PC的最小值，以及PD﹣PC的最大值．解：（1）如图1，在BC上截取BE＝，∴，∵∠PBE＝∠PBC，∴△PBE∽△CBP，∴，∴PE＝PC，∴PD+PC＝PD+PE≥DE，PD﹣PC＝PD﹣PE≤DE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴DE＝＝＝，∴PD+PC的最小值为：，此时点P在P′处，PD﹣PC的最大值为：，此时点P在P″处，故答案为：，；（2）如图2，在BC上截取BE＝1，作DF⊥BC交BC的延长线于F，∴，∵∠PBE＝∠PBC，∴△PBE∽△CBP，∴，∴PE＝PC，∴PD+PC＝PD+PE≥DE，PD﹣PC＝PD﹣PE≤DE，在Rt△DCF中，∠DCF＝∠ABC＝60°，CD＝4，∴CF＝4•cos60°＝2，DF＝4•sin60°＝2，在Rt△DEF中，DF＝2，EF＝CE+CF＝3+2＝5，∴DE＝＝，∴PD+PC的最小值为：，此时点P在P′处PD﹣PC的最大值为：，此时点P在P″处12．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，∴的最小值为．13．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．14．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM+CM它的最小值．解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y＝2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG＝OB＝4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，∴m＝﹣2∴G（﹣2，4）．（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y＝2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y＝﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y＝2x+4，直线AC：y＝﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴EF与AH互相平分，∴（﹣4+0）＝（a+a），（﹣4+p）＝（2a+4﹣a﹣6），∴a＝﹣2，P＝﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH＝，AE＝2，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE＝，连接PC交⊙E于M，连接EM，∴EM＝EH＝，∴＝，∵＝，∴＝，∵∠PEM＝∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴，∴PM＝AM，∴AM+CM的最小值＝PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2＝（p+2）2+（2p+4）2＝5（p+2）2，∵PE＝，∴5（p+2）2＝，∴p＝﹣或p＝﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（﹣，﹣1），∴PC＝＝，即：AM+CM的最小值为．15．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点C（2，﹣3），且与x轴交于原点及点B （8，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）求顶点A的坐标及直线AB的表达式；（3）判断△ABO的形状，试说明理由；（4）若点P为⊙O上的动点，且⊙O的半径为2，一动点E从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AP匀速运动到点P，再以每秒1个单位长度的速度沿线段PB 匀速运动到点B后停止运动，求点E的运动时间t的最小值．解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过C（2，﹣3），且与x轴交于原点∴c＝0，二次函数表达式可设为：y＝ax2+bx（a≠0），将C（2，﹣3），B（8，0）代入y＝ax2+bx得：，解得：，∴二次函数的表达式为；（2）∵＝（x﹣4）2﹣4，∴抛物线的顶点A（4，﹣4），设直线AB的函数表达式为y＝kx+m，将A（4，﹣4），B（8，0）代入，得：，解得：，∴直线AB的函数表达式为y＝x﹣8；（3）△ABO是等腰直角三角形．方法1：如图1，过点A作AF⊥OB于点F，则F（4，0），∴∠AFO＝∠AFB＝90°，OF＝BF＝AF＝4，∴△AFO、△AFB∴OA＝AB＝4，∠OAF＝∠BAF＝45°，∴∠OAB＝90°，∴△ABO是等腰直角三角形．方法2：∵△ABO的三个顶点分别是O（0，0），A（4，﹣4），B（8，0），∴OB＝8，OA＝＝＝，AB＝＝＝，且满足OB2＝OA2+AB2，∴△ABO是等腰直角三角形；（4）如图2，以O为圆心，2为半径作圆，则点P在圆周上，依题意知：动点E的运动时间为t＝AP+PB，在OA上取点D，使OD＝，连接PD，则在△APO和△PDO中，满足：＝＝2，∠AOP＝∠POD，∴△APO∽△PDO，∴＝＝2，从而得：PD＝AP，∴t＝AP+PB＝PD+PB，∴当B、P、D三点共线时，PD+PB取得最小值，过点D作DG⊥OB于点G，由于，且△ABO为等腰直角三角形，则有DG＝1，∠DOG＝45°∴动点E的运动时间t的最小值为：t＝DB＝＝＝5．。
初中数学最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB ”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k ≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
最值模型之阿氏圆模型(解析版)-2024年中考数学常见几何模型
最值模型之阿氏圆模型最值问题在中考数学常以压轴题的形式考查，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，主要考查转化与化归等的数学思想。
在各类考试中都以高档题为主，中考说明中曾多处涉及。
本专题就最值模型中的阿氏圆问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】已知平面上两点A、B，则所有满足PA=k·PB(k≠1)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
【模型解读】如图1所示，⊙O的半径为r，点A、B都在⊙O外，P为⊙O上一动点，已知r=k·OB，连接PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P点的位置如何确定？如图2，在线段OB上截取OC使OC=k·r，则可说明△BPO与△PCO相似，即k·PB=PC。
故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C三点共线时，“PA+PC”值最小。
如图3所示：注意区分胡不归模型和阿氏圆模型：在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“k·PA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．【最值原理】两点之间线段最短及垂线段最短解题。
1(2023·山东·九年级专题练习)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C半径为2，P为圆上一动点，连接AP,BP,AP+12BP最小值．BP+13AP最小值．【答案】 37；2373．【分析】如图，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =1，连结AD ，可证△PCD ∽△BCP ．可得PD =12BP ，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP +12BP 的值最小，在Rt △ACD 中，由CD =1，CA =6，根据勾股定理AD =12+62=37即可；在AC 上取CE =23，△PCE ∽△ACP ．可得PE =13AP ，当点B ，P ，E 在同一条直线时，BP +13AP 的值最小，在Rt △BCE 中，由CE =23，CB =4，根据勾股定理BE =23 2+42=2373即可．【详解】解：如图，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =1，连结AD ，∵CP =2，BC =4，∴CD CP =12,CP BC =24=12，∴CD CP =CP BC=12，又∵∠PCD =∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ．∴PD BP=12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ，当点A ，P ，D 在同一条直线时，AP +12BP 的值最小，在Rt △ACD 中，∵CD =1，CA =6，∴AD =12+62=37，∴AP +12BP 的最小值为37．故答案为：37在AC 上取CE =23，连接CP ，PE∵CE CP =232=13,CP AB =26=13∴CE CP =CP AB=13又∵∠PCE =∠ACP ，∴△PCE ∽△ACP ．∴PE AP=13，∴PE =13AP ，∴BP +13AP =BP +PE ，当点B ，P ，E 在同一条直线时，BP +13AP 的值最小，在Rt △BCE 中，∵CE =23，CB =4，∴BD =23 2+42=2373，∴BP +13AP 的最小值为2373．故答案为：2373．【点睛】本题考查圆的性质，构造相似三角形解决比例问题，勾股定理，掌握圆的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是引辅助线准确作出图形是解题关键．2(2023春·江苏·九年级校考阶段练习)如图，正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2，P 为⊙B 上的动点，则2PC -PD 的最大值是．【答案】2【分析】解法1，如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，连接PM 、DM ，推得2PC -PD =2PC -22PD =2PC -PM ，因为PC -PM ≤MC ，求出MC 即可求出答案．解法2：如图：连接BD 、BP 、PC ，在BD 上做点M ，使BM BP=24，连接MP ，证明△BMP ∼△BPD ，在BC 上做点N ，使BN BP=12，连接NP ，证明△BNP ∼△BPC ，接着推导出2PC -PD =22MN ，最后证明△BMN ∼△BCD ，即可求解．【详解】解法1：如图：以PD 为斜边构造等腰直角三角形△PDM ，连接MC ，BD ，∴∠PDM =45，DM =PM =22PD ，∵四边形ABCD 正方形∴∠BDC =45°，DBDC=2又∵∠PDM =∠PDB +MDB ，∠BDC =∠MDB +MDC ∴∠PDB =∠MDC在△BPD 与△MPC 中∠PDB =∠MDC ，DB DC =DP DM =2∴△BPD ∼△MPC ∴PBMC =2∵BP =2∴MC =2∵2PC -PD =2PC -22PD =2PC -PM ∵PC -PM ≤MC ∴2PC -PD =2PC -PM ≤2MC =2故答案为：2．解法2如图：连接BD 、BP 、PC根据题意正方形ABCD 的边长为4，⊙B 的半径为2∴BP =2，BD =BC 2+CD 2=42+42=42∵BP BD =242=24在BD 上做点M ，使BM BP=24，则BM =22，连接MP在△BMP 与△BPD 中∠MBP =∠PBD ，BP BD =BM BP ∴△BMP ∼△BPD ∴PM PD=24，则PD =22PM ∵BP BC=24=12在BC 上做点N ，使BN BP =12，则BN =1，连接NP在△BNP 与△BPC 中∠NBP =∠PBC ，BN BP =BPPC∴△BNP ∼△BPC∴PN PC=12，则PC =2PN ∴如图所示连接NM ∴2PC -PD =2×2PN -22PM =22PN -PM∵PN -PM ≤NM ∴2PC -PD =22PN -PM ≤22NM在△BMN 与△BCD 中∠NBM =∠DBC ，BM BC =224=28，BN BD =142=28∴BM BC =BN BD ∴△BMN ∼△BCD ∴MN CD=28∵CD =4∴MN =22∴22MN =22×22=2∴2PC -PD ≤22NM =2故答案为：2．【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形，勾股定理等知识，难度较大，熟悉以上知识点运用是解题关键．3(2023·广东·九年级专题练习)如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB +32PD 的最小值为．【答案】372．【分析】在AD 上截取AH =1.5，根据题意可知，AP =3，可得AP AH =ADAP，证△APH ∽△ADP ，可知PH=32PD，当B、P、H共线时，PB+32PD的最小，求BH即可．【详解】解：在AD上截取AH=1.5，连接PH、AE，过点B作BF⊥DA延长线，垂足为F，∵AB=2，∠ABC=60°，∴BE=AF=1，AE=BF=3，∴AP AH =ADAP=233，∵∠PAD=∠PAH，∴△ADP∽△APH，∴DP PH =ADAP=233，∴PH=32PD，当B、P、H共线时，PB+32PD的最小，最小值为BH长，BH=BF2+FH2=(3)2+2.52=372；故答案为：37 2．【点睛】本题考查了阿氏圆，解题关键是构造子母相似，利用两点之间，线段最短解决问题．4(2023·湖北武汉·九年级校考阶段练习)如图，在边长为6的正方形ABCD中，M为AB上一点，且BM= 2，N为边BC上一动点．连接MN，将△BMN沿MN翻折得到△PMN，点P与点B对应，连接PA，PC，则PA+2PC的最小值为．【答案】65【分析】由折叠的性质可得，点P在以M为圆心，以2为半径的圆上，在线段MA上取一点E，使得ME=1，利用相似三角形的性质得到PE=12PA，从而得到PA+2PC=212PA+PC=2PE+PC≥2CE，当且仅当P、C、E三点共线时，取得最小值2CE，即可求解．【详解】解：由题意可得：PM=BM=2∴点P在以M为圆心，以2为半径的圆上，在线段MA上取一点E，使得ME=1，则BE=3∵AM=AB-BM=4，MP=2∴MPAM =MEPM=12又∵∠EMP=∠PMA∴△EMP∽△PMA∴PEPA=MEPM=12∴PE=12PA∴PA+2PC=212PA+PC=2PE+PC≥2CE如下图所示，当且仅当P、C、E三点共线时，取得最小值2CECE=BE2+BC2=35，∴PA+2PC的最小值为：65故答案为：65【点睛】本题考查了最短路径问题，通过转化思想把12PA转化为PE是解决此题的关键．5(2023·浙江·一模)问题提出：如图1，在等边△ABC中，AB=9，⊙C半径为3，P为圆上一动点，连结AP，BP，求AP+13BP的最小值(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路，通过构造一对相似三角形，将13BP转化为某一条线段长，具体方法如下：(请把下面的过程填写完整)如图2，连结CP，在CB上取点D，使CD=1，则有CDCP=CPCB=13又∵∠PCD=∠△∽△∴PD BP =13∴PD=13BP∴AP+13BP=AP+PD∴当A，P，D三点共线时，AP+PD取到最小值请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+13BP的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD中，BC=6，AB=8，P为矩形内部一点，且PB=4，则12AP+PC的最小值为．(请在图3中添加相应的辅助线)(3)拓展延伸：如图4，在扇形COD中，O为圆心，∠COD=120°，OC=4．OA=2，OB=3，点P是CD上一点，求2PA+PB的最小值，画出示意图并写出求解过程．【答案】(1)BCP，PCD，BCP，2592；(2)210；(3)作图与求解过程见解析，2PA+PB的最小值为97．【分析】(1)连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，AP+13BP=AP+PD，要使AP+13BP最小，AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即可求解；(2)在AB上截取BF=2，连接PF，PC，AB=8，PB=4，BF=2，证明△ABP∽△PBF，当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，即可求解；(3)延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，确定OAOP =12=OPOF，且∠AOP=∠AOP，△AOP∽△POF，当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，即可求解．【详解】解：(1)如图1，连结AD，过点A作AF⊥CB于点F，∵AP+13BP=AP+PD，要使AP+13BP最小，∴AP+AD最小，当点A，P，D在同一条直线时，AP+AD最小，即：AP+13BP最小值为AD，∵AC=9，AF⊥BC，∠ACB=60°∴CF=3，AF=932；∴DF=CF-CD=3-1=2，∴AD=AF2+DF2=2592，∴AP+13BP的最小值为2592；故答案为：2592；(2)如图2，在AB上截取BF=2，连接PF，PC，∵AB=8，PB=4，BF=2，∴BP AB =12=BFBP，且∠ABP=∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴FP AP =BPAB=12，∴PF=12AP，∴12AP+PC=PF+PC，∴当点F，点P，点C三点共线时，AP+PC的值最小，∴CF=BF2+BC2=62+22=210，∴12AP+PC的值最小值为210，故答案为：210；(3)如图3，延长OC，使CF=4，连接BF，OP，PF，过点F作FB⊥OD于点M，∵OC=4，FC=4，∴FO=8，且OP=4，OA=2，∴OA OP =12=OPOF，且∠AOP=∠AOP∴△AOP∽△POF∴AP PF =OAOF=12，∴PF=2AP∴2PA+PB=PF+PB，∴当点F，点P，点B三点共线时，2AP+PB的值最小，∵∠COD=120°，∴∠FOM=60°，且FO=8，FM⊥OM∴OM=4，FM=43，∴MB=OM+OB=4+3=7∴FB=FM2+MB2=97，∴2PA+PB的最小值为97．【点睛】本题主要考查了圆的有关知识，勾股定理，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是根据材料中的思路构造出相似三角形..6(2022·湖北·九年级专题练习)(1)如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+12PC的最小值，2PD+4PC的最小值，PD-12PC的最大值．(2)如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，求PD+23PC的最小值，PD-23PC的最大值，PC+23PD的最小值．(3)如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+1 2PC的最小值和PD-12PC的最大值．PC+36PD的最小值【答案】见详解【分析】(1)如图1中，在BC上取一点G，使得BG=1．由△PBG∽△CBP，推出PGPC=BGPB=12，推出PG=12PC，推出PD+12PC=DP+PG，由DP+PG≥DG，当D、G、P共线时，PD+12PC的值最小，最小值为DG=42+32=5．由PD-12PC=PD-PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD-1 2PC的值最大(如图2中)，最大值为DG=5；可以把2PD+4PC转化为424PD+PC，这样只需求出2PD+4PC的最小值，问题即可解决。
最值问题——阿氏圆
最值之阿氏圆问题一、方法突破在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P构成的图形为圆．“阿氏圆”的一些性质：（1）PA MA NAk PB MB NB===．应用：根据点A、B的位置及k的值可确定M、N及圆心O．（2）△OBP∽△OPA，即OB OPOP OA=，变形为2OP OA OB=⋅．应用：根据圆心及半径和A、B其中一点，可求A、B另外一点位置．（3）OP OB PAk OA OP PB===．应用：已知半径及A、B中的其中一点，即可知道PA：PB的值．N例1：常规（1）如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=4,CA=6,C半径为2,P为圆上一动点,连结AP,BP,则AP+12BP的最小值为______________；13AP+BP的最小值为______________（2）如图2，已知扇形COD中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P是弧CD上一点，则2PA+PB的最小值为_______________（3）如图3,半圆的半径为1,AB为直径,AC、BD为切线,AC=1,BD=2,P为ABˆ上一动点,则√22PC+PD的最小值为_______________图1 图2 图3例2：拓展例3：提升（1）如图，在△ABC 中，∠B ﹦90°，AB ﹦CB ﹦2，以点B 为圆心作圆B 与AC 相切，点P 为圆B 上任一动点，则2PA PC +的最小值是 ．A（2）如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则32PB PD +的最小值为．（3）在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，2），C （4，0），D （3，2），P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA ﹦135°，则2PD ﹢PC 的最小值是 ______ ．例4：正方形ABCD 中，AB=2√2，点M 是BC 中点，点P 是正方形内一点，连接PC ，PM ，当点P 移动时，始终保持∠MPC=45°，连接BP ，点E ，F 分别是AB ，BP 中点，求3BP+2EF 的最小值为_________________CDAPE B例5：如图，在△ABC中，BC=4，AB=2AC，则△ABC的面积的最大值为____________例6：如图，直线l：y=−3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+ a+4(a<0)经过点B，交x轴正半轴于点C．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标；（3）将点A绕原点旋转得点A'，连接CA'、BA'，在旋转过程中，一动点M从点B出发，沿线段BA' 以每秒3个单位的速度运动到A'，再沿线段A'C以每秒1个单位长度的速度运动到C后停止，求点M在整个运动过程中用时最少是多少？例7：如图，抛物线y=ax2+bx+c (a<0,a、b、c为常数)与x轴交于A、C两点，与y轴).交于B点，A (−6,0)，C (1,0)，B (0,163(1)求该抛物线的函数关系式与直线AB的函数关系式；(2)已知点M (m,0)是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l，分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？（3）在（2）问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰二角形时，动点M相应位置记为点M'，将OM' 绕原点O顺时针旋转得到ON（旋转角在0°到90°之间）；i ：探究：线段OB上是否存在定点P（P不与O、B重合），无论ON如何旋转，NP始终保持NB不变，若存在，试求出P点坐标：若不存在，请说明理由；ii ：试求出此旋转过程中，(NA+3NB)的最小值．4二、知识巩固1．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，9AC =，4BC =，以点C 为圆心，3为半径做C ，分别交AC ，BC 于D ，E 两点，点P 是C 上一个动点，则13PA PB +的最小值为 ．2．如图，O 与y 轴、x 轴的正半轴分别相交于点M 、点N ，O 半径为3，点(0,1)A ，点(2,0)B ，点P 在弧MN 上移动，连接PA ，PB ，则3PA PB +的最小值为3．如图，在ABC ∆中，6BC =，60BAC ∠=︒，则2AB AC +的最大值为 ．（3题图） （4题图） 4．【新知探究】新定义：平面内两定点A ，B ，所有满足(PAk k PB=为定值）的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在ABC ∆中，4CB =，2AB AC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．5．如图，已知菱形ABCD的边长为8，60B∠=︒，圆B的半径为4，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC−的最大值为．三、真题演练1．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作B，点P是B上一动点，连接PD、PC，则12PD PC+的最小值为．2．如图，扇形AOB中，90AOB∠=︒，6OA=，C是OA的中点，D是OB上一点，5OD=，P是AB上一动点，则12PC PD+的最小值为．3．如图所示的平面直角坐标系中，(0,4)A，(4,0)B，P是第一象限内一动点，2OP=，连接AP、BP，则12BP AP+的最小值是．4．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务． 已知平面上两点A 、B ，则所有符合(0PAk k PB=>且1)k ≠的点P 会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆． 阿氏圆基本解法：构造三角形相似．【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x 轴，y 轴上分别有点(,0)C m ，(0,)D n ，点P 是平面内一动点，且OP r =，设OPk OD=，求PC kPD +的最小值．阿氏圆的关键解题步骤：第一步：如图1，在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==；第二步：证明kPD PM =；第三步：连接CM ，此时CM 即为所求的最小值． 下面是该题的解答过程（部分）:解：在OD 上取点M ，使得::OM OP OP OD k ==， 又POD MOP ∠=∠，POM DOP ∴∆∆∽． 任务：（1）将以上解答过程补充完整．（2）如图2，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，D 为ABC ∆内一动点，满足2CD =，利用（1）中的结论，请直接写出23AD BD +的最小值．5．如图，在ABC ∆ 与DEF ∆中，90ACB EDF ∠=∠=︒，BC AC =，ED FD =，点D 在AB 上．（1）如图1，若点F 在AC 的延长线上，连接AE ，探究线段AF 、AE 、AD 之间的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，若点D 与点A 重合，且AC =4DE =，将DEF ∆绕点D 旋转，连接BF ，点G 为BF 的中点，连接CG ，在旋转的过程中，求32CG BG +的最小值；（3）如图3，若点D 为AB 的中点，连接BF 、CE 交于点M ，CE 交AB 于点N ，且::7:9:10BC DE ME =，请直接写出NDCN的值．6．在ABC ∆中，90CAB ∠=︒，AC AB =．若点D 为AC 上一点，连接BD ，将BD 绕点B 顺时针旋转90︒得到BE ，连接CE ，交AB 于点F ．（1）如图1，若75ABE ∠=︒，4BD =，求AC 的长；（2）如图2，点G 为BC 的中点，连接FG 交BD 于点H ．若30ABD ∠=︒，猜想线段DC 与线段HG 的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，若4AB =，D 为AC 的中点，将ABD ∆绕点B 旋转得△A BD ''，连接A C '、A D '，当A D C '+'最小时，求A BC S '．7.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于0)，B两点(点B在点A的左侧)，与y轴交于点C，且OB＝3OAOC，∠OAC的平分线AD交y轴于点D，过点A且垂直于AD的直线l交y轴于点E，点P是x轴下方抛物线的一个动点，过点P作PF⊥x轴垂足为F，交直线AD于点H.(1)求抛物线的解析式；(2)设点P的横坐标为m，当FH＝HP时，求m的值；(3)当直线PF为抛物线的对称轴时，以点H为圆心，12HC为半径作⊙H，点Q为⊙H上的一个动点，求1AQ＋EQ的最小值.。
最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P（x ，y ），PA=kPB ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k m x y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线． 那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
阿氏圆最值问题
阿氏圆最值问题阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A 、B ，则所有满足PAk PB=（0k >且k 不等于1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆例1、问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP ＋12BP 的最小值．尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，则有CD CP ＝CP CB ＝12，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，∴PD BP ＝12，∴PD ＝12BP ，∴AP ＋12BP ＝AP ＋P D ． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP ＋12BP 的最小值为 ．自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， 13AP ＋BP 的最小值为 ．拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90º，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是 ⌒CD 上一点，求2P A ＋PB 的最小值．例2、问题背景 如图1，在△ABC 中，BC ＝4，AB ＝2AC问题初探 请写出任意一对满足条件的AB 和AC 的值：AB ＝__________，AC ＝___________． 问题再探 如图2，在AC 右侧作∠CAD ＝∠B ，交BC 的延长线于点D ，求CD 的长． 问题解决 求△ABC 面积的最大值．向内构造类型DCBACBA 图2图1BDCA2、如图，四边形ABCD 为边长为4的正方形，B 的半径为2，P 是B 上一动点，则12PD PC +的最小值为_________+4PC 的最小值为_________．3、如图，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B ο∠，B 的半径为2，P 为B 上一动点，则1+2PD PC 的最小值为________4、如图，点C 坐标为（2，5），点A 的坐标为（7，0），CB 在C 上一动点，OB AB 的最小值为___________P D CBAPDCB ADCP BA5、如图， AB 为O 的直径，AB ＝2，点C 与点D 在AB 的同侧，且AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝3，点P 是OPC +的最小值为________6、在ABC ∆中，=9860AB BC ABC ο=∠=，，，A 的半径为6，P 是A 上的动点，连接PB PC 、，则 32PC PB +的最小值为___________7、如图，边长为4的正方形，内切圆记为O ，P 是O+PB 的最小值为_________BPC BA8、如图，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝ 60o ，A 与BC 相切于点E ，点P 是A 上一动点，PB +的最小值为_________9、如图，在Rt ABC 中，30A ∠=︒， 8AC =，以C 为圆心，4为半径作⊙C ． （1）试判断⊙C 与AB 的位置关系，并说明理由;（2）点F 是⊙C 上一动点，点D 在AC 上且2CD =，试说明FCD ACF ; （3）点E 是AB 边上任意一点，在（2）的情况下，试求出12EF FA +的最小值．E DCB APFEADCB10、如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．11、如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM＋CM 它的最小值．向外构造类型1、如图，点A 、B 在O 上，OA ⊥OB ， OA ＝OB ＝12，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上， OD ＝10．点P 是O 上一动点，则12PC PD +的最小值为_________2、如图，在扇形CAB 中，CA ＝4， 120CAB ∠= ，D 为CA 的中点，P 为BC ˆ上一动点（不与C ，B 重合），则2PD ＋PB 的最小值为（ ）A．4+ B． C ．16 D．43、如图O 的半径为2，AB 为直径。
最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DB AC DC =．证明：ABD ACD S BD S CD = ，ABD ACD S AB DE AB S AC DF AC⨯==⨯ ，即AB DB AC DC =（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DB AC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB AC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA k MB PB ==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PA k NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k m x y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
5最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题
在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．
所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．
练习：
1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分
别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12
PA PB +的最小值为__________．
2. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分
别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则PA+2/3PB 的最小值为__________．
3.如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．
4.如图，已知正方ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则12
PD PC -的最大值为_______．
5.如图，在RT △ABC 中，∠ABC=90°，BC=4,AB=6,在线段AB 上有一点M,且BM=2，在A B C D A B C
D P
E A B C D P E A
B C D P
线段AC上有一动点N，连接MN,BN,将△BMN沿BN翻折得到△BM1N,连接AM1,CM1，则2CM1+2/3AM1的最小值为。
5最值系列之阿氏圆问题 (2)
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=． ABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
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阿氏圆最值问题
阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A 、B ，则所有满足
PA
k PB
=（0k >且k 不等于1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆
例1、问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP ＋1
2
BP 的最小值．
尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，则有CD CP ＝CP CB ＝1
2，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，
∴
PD BP ＝1
2，∴PD ＝12BP ，∴AP ＋12
BP ＝AP ＋P D ． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP ＋1
2BP 的最小值为 ．
自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， 1
3
AP ＋BP 的最小值为 ．
拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90º，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是 ⌒
CD 上
一点，求2P A ＋PB 的最小值．
例2、问题背景 如图1，在△ABC 中，BC ＝4，AB ＝2AC
问题初探 请写出任意一对满足条件的AB 和AC 的值：AB ＝__________，AC ＝___________． 问题再探 如图2，在AC 右侧作∠CAD ＝∠B ，交BC 的延长线于点D ，求CD 的长． 问题解决 求△ABC 面积的最大值．
向内构造类型
D
C
B
A
C
B
A 图2
图1
B
D
C
A
2、如图，四边形ABCD 为边长为4的正方形，B 的半径为2，P 是B 上一动点，则
1
2
PD PC +的最小值为_________
+4PC 的最小值为_________．
3、如图，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B ο∠，B 的半径为2，P 为B 上一动点，
则1
+2
PD PC 的最小值为________
4、如图，点C 坐标为（2，5），点A 的坐标为（7，0），C
B 在
C 上一动点，
OB AB 的最小值为___________
P D C
B
A
P
D
C
B A
D
C
P B
A
5、如图， AB 为O 的直径，AB ＝2，点C 与点D 在AB 的同侧，且AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝3，点P 是O
PC +的最小值为________
6、在ABC ∆中，=9860AB BC ABC ο=∠=，，，
A 的半径为6，P 是A 上的动点，连接P
B P
C 、，则 32PC PB +的最小值为___________
7、如图，边长为4的正方形，内切圆记为O ，P 是O
+PB 的
最小值为_________
B
P
C B
A
8、如图，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝ 60o ，A 与BC 相切于点E ，点P 是A 上一动点，
PB +
的最小值为_________
9、如图，在Rt ABC 中，30A ∠=︒， 8AC =，以C 为圆心，4为半径作⊙C ． （1）试判断⊙C 与AB 的位置关系，并说明理由;
（2）点F 是⊙C 上一动点，点D 在AC 上且2CD =，试说明FCD ACF ; （3）点E 是AB 边上任意一点，在（2）的情况下，试求出1
2
EF FA +
的最小值．
E D
C
B A
P
F
E
A
D
C
B
10、如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．
（1）求a的值和直线AB的函数表达式；
（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；
（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．
11、如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．
（1）求抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的表达式；
（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；
（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；
②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM＋CM 它的最小值．
向外构造类型
1、如图，点A 、B 在O 上，OA ⊥OB ， OA ＝OB ＝12，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上， OD ＝10．点P 是O 上一动点，则1
2
PC PD +
的最小值为_________
2、如图，在扇形CAB 中，CA ＝4， 120CAB ∠= ，D 为CA 的中点，P 为BC ˆ上一动点（不与C ，B 重合），则2PD ＋PB 的最小值为（ ）
A
．4+ B
． C ．16 D
．4
3、如图O 的半径为2，AB 为直径。
过AO 的中点C 作CD ⊥AB 交O 于点D ，DE 为O 的直径，点P 为O 上动点，则2PC ＋PE 的最小值是__________．
C
P
D B
O
A
5、如图，在平面直角坐标系中，以点C （1，1x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点D 为弧AB 上的动点，则2
BD OD +
的最小值为_________。