阿氏圆最值问题

阿氏圆最值问题

阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点A 、B ，则所有满足

PA

k PB

=（0k >且k 不等于1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆

例1、问题提出：如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CB ＝4，CA ＝6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连结AP 、BP ，求AP ＋1

2

BP 的最小值．

尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD ＝1，则有CD CP ＝CP CB ＝1

2，又∵∠PCD ＝∠BCP ，∴△PCD ∽△BCP ，

∴

PD BP ＝1

2，∴PD ＝12BP ，∴AP ＋12

BP ＝AP ＋P D ． 请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP ＋1

2BP 的最小值为 ．

自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下， 1

3

AP ＋BP 的最小值为 ．

拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD ＝90º，OC ＝6，OA ＝3，OB ＝5，点P 是 ⌒

CD 上

一点，求2P A ＋PB 的最小值．

例2、问题背景 如图1，在△ABC 中，BC ＝4，AB ＝2AC

问题初探 请写出任意一对满足条件的AB 和AC 的值：AB ＝__________，AC ＝___________． 问题再探 如图2，在AC 右侧作∠CAD ＝∠B ，交BC 的延长线于点D ，求CD 的长． 问题解决 求△ABC 面积的最大值．

向内构造类型

D

C

B

A

C

B

A 图2

图1

B

D

C

A

2、如图，四边形ABCD 为边长为4的正方形，B 的半径为2，P 是B 上一动点，则

1

2

PD PC +的最小值为_________

+4PC 的最小值为_________．

3、如图，已知菱形ABCD 的边长为4，=60B ο∠，B 的半径为2，P 为B 上一动点，

则1

+2

PD PC 的最小值为________

4、如图，点C 坐标为（2，5），点A 的坐标为（7，0），C

B 在

C 上一动点，

OB AB 的最小值为___________

P D C

B

A

P

D

C

B A

D

C

P B

A

5、如图， AB 为O 的直径，AB ＝2，点C 与点D 在AB 的同侧，且AD ⊥AB ，BC ⊥AB ，AD ＝1，BC ＝3，点P 是O

PC +的最小值为________

6、在ABC ∆中，=9860AB BC ABC ο=∠=，，，

A 的半径为6，P 是A 上的动点，连接P

B P

C 、，则 32PC PB +的最小值为___________

7、如图，边长为4的正方形，内切圆记为O ，P 是O

+PB 的

最小值为_________

B

P

C B

A

8、如图，菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝ 60o ，A 与BC 相切于点E ，点P 是A 上一动点，

PB +

的最小值为_________

9、如图，在Rt ABC 中，30A ∠=︒， 8AC =，以C 为圆心，4为半径作⊙C ． （1）试判断⊙C 与AB 的位置关系，并说明理由;

（2）点F 是⊙C 上一动点，点D 在AC 上且2CD =，试说明FCD ACF ; （3）点E 是AB 边上任意一点，在（2）的情况下，试求出1

2

EF FA +

的最小值．

E D

C

B A

P

F

E

A

D

C

B

10、如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；

（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A＋E′B的最小值．

11、如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y＝﹣x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．

（1）求抛物线y＝﹣x2＋bx＋c的表达式；

（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；

（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H 为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；

②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求AM＋CM 它的最小值．

向外构造类型

1、如图，点A 、B 在O 上，OA ⊥OB ， OA ＝OB ＝12，点C 是OA 的中点，点D 在OB 上， OD ＝10．点P 是O 上一动点，则1

2

PC PD +

的最小值为_________

2、如图，在扇形CAB 中，CA ＝4， 120CAB ∠= ，D 为CA 的中点，P 为BC ˆ上一动点（不与C ，B 重合），则2PD ＋PB 的最小值为（ ）

A

．4+ B

． C ．16 D

．4

3、如图O 的半径为2，AB 为直径。过AO 的中点C 作CD ⊥AB 交O 于点D ，DE 为O 的直径，点P 为O 上动点，则2PC ＋PE 的最小值是__________．

C

P

D B

O

A