2021中考总复习第十九章数学知识点归纳
河北省廊坊市廊坊四中2021年九年级中考复习全等三角形综合(含知识点、练习题、答案、作业)
三角形综合讲义全等综合知识精讲一．全等三角形的断定方法：边角边定理()SAS：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等．角边角定理()ASA：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等．边边边定理()SSS：三边对应相等的两个三角形全等．角角边定理()AAS：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．斜边、直角边定理()HL：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．二．全等三角形的应用：1．运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在证明的过程中，注意有时会添加辅助线；2．能通过断定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系．而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证明的根底．1.三．全等三角形辅助线的作法2.1．中点类辅助线作法见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线或者是与中点有关的一条线段，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见，常见添加方法如以下图〔AD是∆底边的中线)．ABC2．角平分线类辅助线作法有以下三种作辅助线的方式：〔1〕由角平分线上的一点向角的两边作垂线；〔2〕过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形；〔3〕OA OB=，这种对称的图形应用得也较为普遍．3．截长补短类辅助线作法截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法，也是把几何题化难为易的一种思想．所谓“截长〞，就是将三者中最长的那条线段一分为二，使其中的一条线段等于的两条较短线段中的一条，然后证明其中的另一段与的另一条线段相等；所谓“补短〞，就是将一个的较短的线段延长至与另一个的较短的长度相等，然后求出延长后的线段与最长的线段的关系．有的是采取截长补短后，使之构成某种特定的三角形进展求解．三点剖析 一．考点：1．全等三角形的断定2．全等三角形辅助线的作法 二．重难点：1．全等三角形的断定2．全等三角形辅助线的作法 三．易错点：1．在使用断定定理证明两个三角形全等时要注意条件的顺序必须和断定定理要求的一样，对应顶点要对应．2．辅助线只是一个指导方法，出现相关条件或结论时不一定要作辅助线或者是按照模型作辅助线，关键是如何分析题目；3．辅助线不是随意都可以作的，比方“作一条线段等于另外一条线段且与某条线段夹角是多少度〞这种辅助线就不一定能作出来． 1．全等三角形的断定2．全等三角形辅助线的作法 例题讲解一：全等与三角形综合例1.1.1把两个全等的Rt ABC ∆和Rt EFG ∆〔其直角边长均为4〕叠放在一起〔如图①〕，且使三角板EFG 的直角顶点G 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，现将三角板EFG 绕O 点顺时针旋转〔旋转角α满足条件：090α︒<<︒〕，四边形CHGK 是旋转过程中两三角板的重叠局部〔如图②〕〔1〕在上述旋转过程中，BH 与CK 有怎样的数量关系，四边形CHGK 的面积有何变化？证明你发现的结论；〔2〕连接HK ，在上述旋转过程中，设BH=X ，GKH ∆的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；〔3〕在〔2〕的前提下，是否存在某一位置，使GKH ∆的面积恰好等于ABC ∆面积的516？假设存在，求出此时x 的值；假设不存在，说明理由．【答案】〔1〕面积是4，是一个定值，在旋转中没有变化；理由见解析；〔2〕04x <<；〔3〕存在．【解析】〔1〕在上述旋转过程中，BH =CK ，四边形CHGK 的面积不变证明：连接CG 、KH ，ABC ∆为等腰直角三角形，()O G 为其斜边中点，CG BG ∴=，CG AB ⊥45ACG B ∴∠=∠=︒ BGH ∠与CGK ∠均为旋转角，BGH CGK ∴∠=∠在BGH ∆与CGK ∆中，B KCG BG CG BGH CGK ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()BGH CGK ASA ∴∆∆≌ BH CK ∴=，BGH CGK S S ∆∆∴=111444222CHG CGK CHG BGH ABC CHGK S S S S S S ∆∆∆∆∆∴=+=+==⨯⨯⨯=四边形〔2〕4AC BC ==，x BH =，4CH x ∴=-，CH x = 由GHK CHK CHGK S S S ∆∆=-四边形得()1442y x x =-- 21242y x x ∴=-+ 由090α︒<<︒，得到max 4BH BC == 04x ∴<<．〔3〕存在；根据题意，得215248216x x -+=⨯ 解这个方程，得11x =，23x =即当11x =或23x =时，GHK ∆的面积均等于ABC ∆的面积的516． 例1.1.2如图1所示，点E 、F 在线段AC 上，过E ，F 分别作DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，垂足分别为点E ，F ；DE ，BF 分别在线段AC 的两侧，且AE=CF ，AB=CD ，BD 与AC 相交于点G ． 〔1〕求证：EG=GF ；〔2〕假设点E 在F 的右边，如图2时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．〔3〕假设点E 、F 分别在线段CA 的延长线与反向延长线上，其余条件不变，〔1〕中结论是否成立？〔要求：在备用图中画出图形，直接判断，不必说明理由〕 【答案】〔1〕见解析〔2〕成立，见解析〔3〕成立 【解析】〔1〕∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠DEG=∠BFE=90°． ∵AE=CF ，∴AE+EF=CF+EF ． ∴AF=CE ．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中， ∴Rt △ABF ≌Rt △CDE 〔HL 〕， ∴BF=DE ．在△BFG 和△DEG 中BFG DEG BGF DGE BF DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFG ≌△DGE 〔AAS 〕． ∴EG=FG ．〔2〕〔1〕中结论仍然成立． 理由如下：∵AE=CF ， ∴AE ﹣EF=CF ﹣EF ． ∴AF=CE ．∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠DEG=∠BFE=90°．在Rt △ABF 和Rt △CDE 中AB CD AF CE =⎧⎨=⎩，∴Rt△ABF≌Rt△CDE〔HL〕．∴BF=DE．在△BFG和△DEG中BFG DEGBGF DGE BF DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFG≌△DGE〔AAS〕．∴EG=FG．〔3〕〔1〕中结论仍然成立．如下图：理由如下：∵AE=CF，∴AE+ACEF=CF+AC．∴AF=CE．∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEG=∠BFE=90°．在Rt△ABF和Rt△CDE中AB CD AF CE=⎧⎨=⎩，∴Rt△ABF≌Rt△CDE〔HL〕．∴BF=DE．在△BFG和△DEG中BFG DEGBGF DGE BF DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BFG≌△DGE〔AAS〕．∴EG=FG．例1.1.3等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，F为AB上一点，连接CF，过点B作BH⊥CF交CF 于G，交AC于H．〔1〕如图〔1〕，延长BH到点E，连接AE，当∠EAB=90°，AE=1，F为AB的三等分点，且BF＜AF 时，求BE的长；〔2〕如图〔2〕，假设F为AB中点，连接FH，求证：BH+FH=CF；【答案】见解析【解析】〔1〕∵BH⊥CF，∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CFB=∠CFB+∠BCF=90°，∴∠ABE=∠BCF，在△ABE与△BCF中，90EAB FBCAB BABE BCFC︒∠=∠⎧∠=∠=⎪=⎨⎪⎩，∴△ABE∽△BCF，∴BF=AE=1，∵F为AB的三等分点，且BF＜AF，∴AB=3BF=3，∴〔2〕证明：过点A 作AD ⊥AB 交BH 的延长线于点D ． ∴∠BAD=∠CBF=90°，∴∠D+∠ABD=∠CFB+∠ABD=90°， ∴∠ABD=∠BCF ，在△ABD 与△BCF 中，DAB FBC D CFBAB BC ∠=∠⎧⎪⎨⎪=∠=⎩∠，∴Rt △BAD ≌Rt △CBF ， ∴AD=BF ，BD=CF ． ∵F 为AB 的中点， ∴AF=BF ， ∴AD=AF ，在△ADH 与△AFH 中，45AD AF AH DAH HAF AH ︒∠=∠==⎧⎪⎨⎪=⎩，∴△AHD ≌△AHF ， ∴DH=FH ．∵BD=BH+DH=BH+FH ， ∴BH+FH=CF ；例：等边ABC ∆中，点O 是边AC ，BC 的垂直平分线的交点，M ，N 分别在直线AC ，BC 上，且60MON ∠=︒．〔1〕如图1，当CM CN =时，M ，N 分别在边AC ，BC 上时，请写出AM 、CN 、MN 三者之间的数量关系；〔2〕如图2，当CM CN ≠时，M ，N 分别在边AC ，BC 上时，〔1〕中的结论是否仍然成 立？假设成立，请你加以证明；假设不成立，请说明理由；【答案】〔1〕AM CN MN =+〔2〕AM CN MN =+〔3〕MN AM CN =+ 【解析】该题考察的是等边三角形的性质和全等三角形的性质和断定． 〔1〕如图1，在AM 上截取AN CN '=，连接ON '，OC ，OA ， ∵O 是边AC 和BC 垂直平分线的交点，ABC ∆是等边三角形， ∴OC OA =，O 也是等边三角形三个角的平分线交点， ∵在OCN ∆和OAN ∆'中 OCN OAN ∆∆'≌〔SAS 〕，∴60AON COM ∠'+∠=︒，即NOM N OM ∠=∠'， ∵在NOM ∆和'N OM ∆中∴'NOM N OM ∆∆≌〔SAS 〕，∴AM CN MN =+……2分〔2〕如图2，过点O 作OD AC ⊥，OE BC ⊥易得OD OE =，120DOE ∠=︒， 在边AC 上截取'DN NE =，连接'ON ， ∴'DON EON ∆∆≌， ……4分 易证'MON MON ∆∆≌……4分 课后作业1ABC ∆，90BAC ∠=︒，等腰直角BDE ∆，90BDE ∠=︒，BD=DE ，点D 在线段AC 上．〔1〕如图1，当30ACB ∠=︒，点E 在BC 上时，试判断AD 与CE 的数量关系，并加以证明；〔2〕如图2，当45ACB ∠=︒，点E 在BC 外时，连接EC\、BD 并延长交于点F ，设ED 与BC 交于点N ，图中是否存在与BN 相等的线段？假设存在，请加以证明．假设不存在，请说明理由． 【答案】见解析．【解析】解：〔1〕2ED AD =．理由是：BDE ∆是等腰直角三角形 ∴45DBE DEB ∠=∠=︒ 又Rt ABC ∆中，30ACB ∠=︒，60ABC ∴∠=︒ 604515ABD ABC DBE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒ 同理60CEP ∠=︒，180180604515PED CEP DEB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒PDE ABD ∴∠=∠ ∴在ABD ∆和PDE ∆中，90DPE A PDE ABD DE BD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()ABD PDE AAS ∴∆∆≌AD PE ∴= 又∵Rt PCE ∆中，30C ∠=︒，2CE PE ∴= 2CE AD ∴=． 〔2〕BN EF =，理由是：如图2，过E 作EG AC ⊥，交AC 的延长线于G在ABD ∆和GDE ∆中，90GDE ABD G A DE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，()ABD GDB AAS ∴∆∆≌ AD GE ∴=，DG AB =AB AC =，AC DG ∴= AD DG GE ∴== CGE ∴∆是等腰直角三角形 45GCE ∴∠=︒F DNB ∴∠=∠ 在FDE ∆和NDB ∆中，F DNB FDE NDB DE BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩2如图1，在ABC ∆中，ACB ∠是锐角，点D 为射线BC 上的一点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．〔1〕假如AB=AC ，90BAC ∠=︒，①当点D 在线段BC 上时〔与点B 不重合〕，如图2，线段CF 、BD 所在直线的位置关系为 ，线段CF 、BD 的数量关系为 ；②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；〔2〕假如AB=AC ，BAC ∠是锐角，点D 在线段BC 上，当ACB ∠满足什么条件时，CF BC ⊥〔点C 、F 不重合〕，并说明理由． 【答案】见解析．【解析】证明：〔1〕①正方形ADEF 中，AD=AF ，90BAC DAF ∠=∠=︒ BAD CAF ∴∠=∠ 又AB AC = DAB FAC ∴∆∆≌ CF BD ∴=，B ACF ∠=∠ 90ACB ACF ∴∠+∠=︒ 即CF BD ⊥．②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．由正方形ADEF 得AD=AF ，90DAF ∠=︒ 90BAC ∠=︒ DAF BAC ∴∠=∠ DAB FAC ∴∠=∠ 又AB AC = DAB FAC ∴∆∆≌90BCF ACB ACF ∴∠=∠+∠=︒ 即CF BD ⊥．〔2〕当45ACB ∠=︒时，CF BD ⊥〔如图〕．理由：过点A 作AG AC ⊥交CB 的延长线于点G ，那么90GAC ∠=︒，45ACB ∠=︒，90AGC ACB ∠=︒-∠，904545AGC ∴∠=︒-︒=︒ 45ACB AGC ∴∠=∠=︒，AC AG ∴= DAG FAC ∠=∠〔同角的余角相等〕，AD=AF 即CF BC ⊥．3如图1，将两个完全一样的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置，其中90C ∠=︒，30B E ∠=∠=︒． 〔1〕操作发现如图2，固定ABC ∆，使DEC ∆绕点C 旋转，当点D 恰好落在AB 边上时，填空： ①线段DE 与AC 的位置关系是 ；②设BDC ∆的面积为1S ，AEC ∆的面积为2S ，那么1S 与2S 的数量关系是 ．〔2〕猜测论证当DEC ∆绕点C 旋转到如图3所示的位置时，小明猜测〔1〕中1S 与2S 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC ∆和AEC ∆中BC 、CE 边上的高，请你证明小明的猜测． 〔3〕拓展探究60ABC ∠=︒，点D 是角平分线上一点，BD=CD=4，DE//ABA 交BC 于点E 〔如图4〕．假设在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S ∆∆=，请直接写出相应的BF 的长．【答案】见解析．【解析】解：〔1〕①∵DEC ∆绕点C 旋转点D 恰好落在AB 边上，AC CD ∴= 90903060BAC B ∠=︒-∠=︒-︒=︒，ACD ∴∆是等边三角形，60ACD ∴∠=︒ 又60CDE BAC ∠=∠=︒ ACD CDE ∴∠=∠ //DE AC ∴．②30B ∠=︒，90C ∠=︒ 12CD AC AB ∴==BD AD AC ∴== 根据等边三角形的性质，ACD ∆的边AC 、AD 上的高相等 ∴BCD ∆的面积和AEC ∆的面积相等〔等底等高的三角形的面积相等〕，即12S S =〔2〕如图，DEC ∆是由ABC ∆绕点C 旋转得到，BC CE ∴=，AC CD =在ACN ∆和DCM ∆中，90ACN DCM CMD N AC CD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩()ACN DCM AAS ∴∆∆≌ AN DM ∴=BDC ∴∆的面积和AEC ∆的面积相等〔等底等高的三角形的面积相等〕即12S S =；〔3〕如图，过点D 作DF 1//BE ，易求四边形BE DF 1是菱形，所以BE= DF 1，且BE 、DF 1上的高相等，此时1DCF BDE S S ∆∆=；过点D 作2DF BD ⊥，60ABC ∠=︒，DF 1//BE ，2160F F D ABC ∴∠=∠=︒，∵B F 1=D F 1，11302F BD ABC ∠=∠=︒，290F DB ∠=︒，1260F DF ABC ∴∠=∠=︒ 12DF F ∴∆是等边三角形，12DF DF ∴=BD CD =，60ABC ∠=︒，点D 是角平分线上一点，160302DBC DCB ∴∠=∠=⨯︒=︒12CDF CDF ∴∠=∠ 在1CDF ∆和2CDF ∆中，1212DF DF CDF CDF CD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()12CDF CDF SAS ∴∆∆≌∴点F 2也是所求的点，60ABC ∠=︒，点D 是角平分线上的一点，DE //AB 160302DBC BDE ABD ∴∠=∠=∠=⨯︒=︒ 又4BD =故BF．。
2020～2021学年中考数学《数轴》专题知识点归纳
《数轴》专题知识点归纳知识点一、认识数轴、画数轴1. 数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.（1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；（2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可；（3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变；（4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小.2. 数轴的画法（1）画一条直线（通常画成水平位置）；（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；（3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头；（4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…例：下列能正确表示数轴的是（）【解答】D【解析】A选项不是直线，所以不是数轴；B选项单位长度不统一，也不是数轴；C选项没有正方向，也不是数轴；D选项正确.知识点二、数轴与有理数、无理数的关系1. 有理数和无理数都可以用数轴上的点表示.（1）正数可以用数轴上原点右边的点表示；（2）负数可以用数轴上原点左边的点表示；（3）0用原点表示.2. 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数.3. 数轴上的点与有理数、无理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础.例：画一个数轴，并在数轴上将下列各数在数轴上表示出来：－3、－5.3、0、、【解答】见解析【解析】如图所示：知识点三、利用数轴比较有理数的大小1. 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；2. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数.例：在数轴上表示出2.5、0、、－2、2、，并用“＜”号将它们连接起来.【解答】见解析【解析】如图所示：由上图可得.巩固练习一．选择题1．在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若CO＝2BO，则a的值为（）A．﹣1 B．﹣7 C．1或﹣7 D．7或﹣12．数轴上点C是A、B两点间的中点，A、C分别表示数﹣1和2，则点B表示的数（）A．2 B．3 C．4 D．53．数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A、B，C，D分别表示整数a，b，c，d，且a+b+c+d＝6，则点D表示的数为（）A．﹣2 B．0 C．3 D．54．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB＝3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）．经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？（）A．2秒B．10秒C．2秒或10秒D．以上答案都不对5．数轴上到点﹣2的距离为5的点表示的数为（）A．﹣3 B．﹣7 C．3或﹣7 D．5或﹣36．如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC＝2，OA＝2OB，若C点所表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（）A．﹣2（m+2）B．C．D．7．已知三个数a+b+c＝0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（）A．B．C．D．二．填空题8．在数轴上点A对应的数为﹣2，点B是数轴上的一个动点，当动点B到原点的距离与到点A的距离之和为6时，则点B 对应的数为．9．点A、B在数轴上对应的数分别为﹣2和5，则线段AB的长度为．10．数轴上表示﹣4.5与2.5之间的所有整数之和是．11．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当P到点A，B的距离之和为8时，则对应的数x的值为．12．在数轴上，点A表示的数是3+x，点B表示的数是2﹣x，且A，B两点的距离为8，则x＝．13．利用数轴解答：有一座三层楼房不幸起火，一位消防队员搭梯子爬往三楼去救人，当他爬到梯子正中一级时，二楼窗口喷出火来，他就往下退了3级，等到火过去了，他又爬了7级，这时屋顶有砖掉下，他又往后退了2级，幸好没事，他又爬了8级，这时他距离梯子最高层还有一级，问这个梯子共有级．14．如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过秒后，M、N 两点间的距离为12个单位长度．15．一个点从数轴上的原点开始，先向右移动一个单位长度，再向左移动4个单位长度，从图中可以看出，终点表示的数是﹣3．请参照图，完成填空：（1）如果点A表示的数是﹣5，向左移动4个单位长度，那么终点表示的数是．（2）如果点B表示的数是4，将点B向右移动6个单位长度，再向左移动5个单位长度，那么终点表示的数是．三．解答题16．某巡警骑摩托车在一条东西大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在A处，规定向东方向为正，向西方向为负，当天行驶情况记录如下（单位：千米）：+10，﹣8，+6，﹣14，+4，﹣2．（1）A处在岗亭何方？距离岗亭多远？（2）若摩托车每行驶1千米耗油0.5升，这一天共耗油多少升？17．2019年2月，市城区公交车施行全程免费乘坐政策，标志着我市公共交通建设迈进了一个新的时代．如图为某一条东西方向直线上的公交线路，东起职教园区站，西至富士康站，途中共设12个上下车站点，如图所示：某天，小王从电业局站出发，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：+5，﹣2，+6，﹣11，+8，+1，﹣3，﹣2，﹣4，+7；（1）请通过计算说明A站是哪一站？（2）若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？18．如图，在数轴上点A所表示的数是﹣5，点B在点A的右侧，AB＝6；点C在AB之间，AC＝2BC．（1）在数轴上描出点B；（2）求点C所表示的数，并在数轴上描出点C；（3）已知在数轴上存在点P，使PA+PC＝PB，求点P所表示的数．19．如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．（1）AB＝，BC＝，AC＝；（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．①设运动时间为t，请用含有t的算式分别表示出AB，BC，AC；②在①的条件下，请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值．20．小明、小兵、小英三人的家和学校在同一条东西走向的大街上，星期天班主任到这三位学生家进行家访，班主任从学校出发先向东走0.5千米到小明家，后又向东走1.5千米到小兵家，再向西走5千米到小英家，最后回到学校．（1）以学校为原点，画出数轴并在数轴上分别表示出小明、小兵小英三人家的位置．（2）小明家距离小英家多远？（3）这次家访，班主任共走了多少千米路程？21．出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午先向东走了15千米，又向西走了13千米，然后又向东走了14千米，又向西走了11千米，又向东走了10千米，最后向西走了8千米．（1）请你用正负数表示小张向东或向西运动的路程；（2）将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？（3）离开下午出发点最远时是多少千米？（4）若汽车的耗油量为0.06升/千米，油价为4.5元/升，这天下午共需支付多少油钱？22．一辆出租车从甲地出发，在一条东西走向的街道上行驶，每次行驶的路程记录如下表（规定向东为正，其中x是小于5的正数，单位：km）：第1次第2次第3次第4次x x﹣6 2（8﹣x）（1）通过计算，求出这辆出租车每次行驶的方向；（2）如果出租车行驶每千米耗油0.1升，当x＝2时，求这辆出租车在这四次的行驶中总共耗油多少升？23．已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点；（1）直接写出点N所对应的数；（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P所对应的数是多少？（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？24．已知数轴上A，B两点对应数分别为﹣2和5，P为数轴上一点，对应数为x．（1）若P为线段AB的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求P点对应的数．（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点，B点距离和为10？若存在，求出x值；若不存在，请说明理由．（3）若点A，点B和点P（P点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，6，3个长度单位/分，则第几分钟时，A，B，P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？参考答案一．选择题1．在数轴上，点A、B在原点O的两侧，分别表示数a、2，将点A向右平移3个单位长度，得到点C．若CO＝2BO，则a的值为（）A．﹣1 B．﹣7 C．1或﹣7 D．7或﹣1【解答】B【解析】∵B表示数2，∴CO＝2BO＝4，由题意得：|a+3|＝4，∴a+3＝±4，∴a＝1或﹣7，∵点A、B在原点O的两侧，∴a＝﹣7，故选B．2．数轴上点C是A、B两点间的中点，A、C分别表示数﹣1和2，则点B表示的数（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】D【解析】设点B所表示的数为b，∵点C是AB的中点，∴2，解得，b＝5，故选D．3．数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位长度，点A、B，C，D分别表示整数a，b，c，d，且a+b+c+d＝6，则点D表示的数为（）A．﹣2 B．0 C．3 D．5【解答】D【解析】设点D表示的数为x，则点C表示的数为x﹣3，点B表示的数为x﹣4，点A表示的数为x﹣7，由题意得，x+（x﹣3）+（x﹣4）+（x﹣7）＝6，解得，x＝5，故选D．4．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB＝3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动（点M、点N同时出发）．经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？（）A．2秒B．10秒C．2秒或10秒D．以上答案都不对【解答】C【解析】∵点A表示的数为﹣10，OB＝3OA，∴OB＝3OA＝30．则B对应的数是30，设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，①点M、点N在点O两侧，则10﹣3x＝2x，解得x＝2；②点M、点N重合，则3x﹣10＝2x，解得x＝10．所以经过2秒或10秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．故选C．5．数轴上到点﹣2的距离为5的点表示的数为（）A．﹣3 B．﹣7 C．3或﹣7 D．5或﹣3【解答】C【解析】设这个数为x，由题意得，|x﹣（﹣2）|＝5，x+2＝5或x+2＝﹣5，解得，x＝3或x＝﹣7．故选C．6．如图，O，A，B，C四点在数轴上，其中O为原点，且AC＝2，OA＝2OB，若C点所表示的数为m，则B点所表示的数正确的是（）A．﹣2（m+2）B．C．D．【解答】D【解析】由点A、B、C在数轴上的位置，AC＝2，若C点所表示的数为m，∴点A表示的数为m﹣2，∴OA＝|m﹣2|＝2﹣m∵OA＝2OB，∴OB OA，故选D．7．已知三个数a+b+c＝0，则这三个数在数轴上表示的位置不可能是（）A．B．C．D．【解答】D【解析】已知a+b+c＝0，A．由数轴可知，a＞0＞b＞c，当|a|＝|b|+|c|时，满足条件．B．由数轴可知，a＞b＞0＞c，当|c|＝|a|+|b|时，满足条件．C．由数轴可知，a＞c＞0＞b，当|b|＝|a|+|c|时，满足条件．D．由数轴可知，a＞0＞b＞c，且|a|＜|b|+|c|时，所以不可能满足条件．故选D．二．填空题8．在数轴上点A对应的数为﹣2，点B是数轴上的一个动点，当动点B到原点的距离与到点A的距离之和为6时，则点B 对应的数为．【解答】﹣4或2【解析】设点B表示的数为b，①当点B在点A的左侧时，则有﹣2﹣b﹣b＝6，解得，b＝﹣4，②当点B在OA之间时，AB+AO＝2≠6，因此此时不存在，③当点B在原点的右侧时，则有b+2+b＝6，解得，b＝2，故答案为﹣4或2．9．点A、B在数轴上对应的数分别为﹣2和5，则线段AB的长度为．【解答】7【解析】AB＝|﹣2﹣5|＝7，故答案为7．10．数轴上表示﹣4.5与2.5之间的所有整数之和是．【解答】﹣7【解析】如图所示：，数轴上表示﹣4.5与2.5之间的所有整数为：﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，故符合题意的所有整数之和是：﹣4﹣3﹣2﹣1+0+1+2＝﹣7．故答案为﹣7．11．已知数轴上两点A，B对应的数分别为﹣1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当P到点A，B的距离之和为8时，则对应的数x的值为．【解答】﹣3或5【解析】由题意得，|x+1|+|x﹣3|＝8，①当点P在点A的左侧时，即x＜﹣1时，方程可变为：﹣x﹣1﹣x﹣3＝8，解得，x＝﹣3，②当点P在点A、B之间，即﹣1＜x＜3时，方程可变为：﹣x﹣1+x﹣3＝8，此方程无解，③当点P在点B的右侧时，即x＞3时，方程可变为：x+1+x﹣3＝8，解得，x＝5，因此x的值为﹣3或5，故答案为﹣3或5．12．在数轴上，点A表示的数是3+x，点B表示的数是2﹣x，且A，B两点的距离为8，则x＝．【解答】3.5或﹣4.5【解析】①当点A在点B左侧时，2﹣x﹣（3+x）＝8，解得：x＝﹣4.5；②当点A在点B右侧时，3+x﹣（2﹣x）＝8，解得：x＝3.5．故答案为3.5或﹣4.513．利用数轴解答：有一座三层楼房不幸起火，一位消防队员搭梯子爬往三楼去救人，当他爬到梯子正中一级时，二楼窗口喷出火来，他就往下退了3级，等到火过去了，他又爬了7级，这时屋顶有砖掉下，他又往后退了2级，幸好没事，他又爬了8级，这时他距离梯子最高层还有一级，问这个梯子共有级．【解答】23【解析】设中间一级为第x级，则全梯共有2x﹣1级，根据题意得：x﹣3+7﹣2+8+1＝2x﹣1．∴x＝12．∴2x﹣1＝23．故答案为23．14．如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过秒后，M、N两点间的距离为12个单位长度．【解答】2或18【解析】分两种情况，①当点N沿着数轴向右移动，则点M表示的数为（﹣2+5t），点N表示的数为（4+4t），由MN＝12得，|（﹣2+5t）﹣（4+4t）|＝12，解得，t＝﹣6（舍去），或t＝18；①当点N沿着数轴向左移动，则点M表示的数为（﹣2+5t），点N表示的数为（4﹣4t），由MN＝12得，|（﹣2+5t）﹣（4﹣4t）|＝12，解得，t（舍去），或t＝2；故答案为2或18．15．一个点从数轴上的原点开始，先向右移动一个单位长度，再向左移动4个单位长度，从图中可以看出，终点表示的数是﹣3．请参照图，完成填空：（1）如果点A表示的数是﹣5，向左移动4个单位长度，那么终点表示的数是．（2）如果点B表示的数是4，将点B向右移动6个单位长度，再向左移动5个单位长度，那么终点表示的数是．【解答】（1）﹣9；（2）5【解析】（1）﹣5﹣4＝﹣9．故终点表示的数是﹣9；（2）4+6﹣5＝5；故终点表示的数是5．故答案为﹣9；5．三．解答题16．某巡警骑摩托车在一条东西大道上巡逻，某天他从岗亭出发，晚上停留在A处，规定向东方向为正，向西方向为负，当天行驶情况记录如下（单位：千米）：+10，﹣8，+6，﹣14，+4，﹣2．（1）A处在岗亭何方？距离岗亭多远？（2）若摩托车每行驶1千米耗油0.5升，这一天共耗油多少升？【解答】（1）A处在岗亭西方，距离岗亭4千米；（2）22升【解析】（1）+10﹣8+6﹣14+4﹣2＝﹣4（千米），答：A处在岗亭西方，距离岗亭4千米；（2）|+10|+|﹣8|+|+6|+|﹣14|+|﹣2|＝10+8+6+14+4+2＝44（千米）44×0.5＝22（升）答：这一天共耗油22升．17．2019年2月，市城区公交车施行全程免费乘坐政策，标志着我市公共交通建设迈进了一个新的时代．如图为某一条东西方向直线上的公交线路，东起职教园区站，西至富士康站，途中共设12个上下车站点，如图所示：某天，小王从电业局站出发，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下（单位：站）：+5，﹣2，+6，﹣11，+8，+1，﹣3，﹣2，﹣4，+7；（1）请通过计算说明A站是哪一站？（2）若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米？【解答】（1）A站是市政府站；（2）58.8（千米）【解析】（1）由题意得：+5﹣2+6﹣11+8+1﹣3﹣2﹣4+7＝+5+6+8+1+7﹣2﹣11﹣3﹣2﹣4＝27﹣22＝5，在电业局东第5站是市政府，答：A站是市政府站；（2）由题意得：（|+5|+|﹣2|+|+6|+|﹣11|+|+8|+|+1|+|﹣3|+|﹣2|+|﹣4|+|+7|）×1.2＝（5+2+6+11+8+1+3+2+4+7）×1.2＝49×1.2＝58.8（千米）答：小王志愿服务期间乘坐公交车行进的路程是58.8千米．18．如图，在数轴上点A所表示的数是﹣5，点B在点A的右侧，AB＝6；点C在AB之间，AC＝2BC．（1）在数轴上描出点B；（2）求点C所表示的数，并在数轴上描出点C；（3）已知在数轴上存在点P，使PA+PC＝PB，求点P所表示的数．【解答】（1）见解析；（2）﹣1，图见解析；（3）点P所表示的数是﹣3或﹣7 【解析】（1）点B在数轴上的位置如图1所示．（2）解法一：因为AC＝2BC，点C在AB之间，所以AB＝AC+BC＝3BC．因为AB＝1﹣（﹣5）＝6，所以BC＝2．因为点B所表示的数是1，1﹣2＝﹣1所以点C所表示的数是﹣1．解法二：设BC＝x，则AC＝2x．因为AB＝1﹣（﹣5）＝6，所以x+2x＝6．解得x＝2．因为点B所表示的数是1，1﹣2＝﹣1，所以点C所表示的数是﹣1．解法三：设点C所表示的数为x．因为点C在AB之间，所以BC＝1﹣x，AC＝x﹣（﹣5）＝x+5．因为AC＝2BC，所以x+5＝2（1﹣x）．解得x＝﹣1，点C在数轴上的位置，如图2所示．（3）解法一：因为PA+PC＝PB，所以点P在点C左侧．因为点A表示的数是﹣5，点B表示的数是1，点C表示的数是﹣1，所以AC＝﹣1﹣（﹣5）＝4，AB＝1﹣（﹣5）＝6．①当点P在AC之间时，设PA＝x，则PC＝AC﹣PA＝4﹣x．所以PB＝PC+BC＝4﹣x+2＝6﹣x．因为PA+PC＝PB，所以x+4﹣x＝6﹣x．解得x＝2．因为点A所表示的数是﹣5，﹣5+2＝﹣3，此时点P所表示的数是﹣3．②当点P在点A左侧时，设PA＝x，则PC＝PA+AC＝4+x，PB＝PA+AB＝x+6，因为PA+PC＝PB，所以x+4+x＝6+x．解得x＝2．因为点A所表示的数是﹣5，﹣5﹣2＝﹣7，此时点P所表示的数是﹣7．所以点P所表示的数是﹣3或﹣7．解法二：因为PA+PC＝PB，所以点P在点C左侧．所以PA＝PB﹣PC＝BC＝2．因为点A所表示的数是﹣5，所以点P所表示的数是﹣3或﹣7．19．如图所示，在数轴上点A，B，C表示的数分别为﹣2，0，6．点A与点B之间的距离表示为AB，点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点C之间的距离表示为AC．（1）AB＝，BC＝，AC＝；（2）点A，B，C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．①设运动时间为t，请用含有t的算式分别表示出AB，BC，AC；②在①的条件下，请问：BC﹣AB的值是否随着运动时间t的变化而变化？若变化，请说明理由：若不变，请求其值．【解答】（1）2，6，8；（2）①（﹣2﹣t），2t，（6+5t）；②4【解析】（1）AB＝|﹣2﹣0|＝2，BC＝|0﹣6|＝6，AC＝|﹣2﹣6|＝8，故答案为2，6，8．（2）①移动t秒后，点A所表示的数为（﹣2﹣t），点B所表示的数为2t，点C所表示的数为（6+5t），因此，AB＝2t﹣（﹣2﹣t）＝3t+2，BC＝（6+5t）﹣2t＝3t+6，AC＝6+5t﹣（﹣2﹣t）＝6t+8，②BC﹣AB＝3t+6﹣（3t+2）＝4，答：BC﹣AB的值不会随着运动时间t的变化而变化，其值为4．20．小明、小兵、小英三人的家和学校在同一条东西走向的大街上，星期天班主任到这三位学生家进行家访，班主任从学校出发先向东走0.5千米到小明家，后又向东走1.5千米到小兵家，再向西走5千米到小英家，最后回到学校．（1）以学校为原点，画出数轴并在数轴上分别表示出小明、小兵小英三人家的位置．（2）小明家距离小英家多远？（3）这次家访，班主任共走了多少千米路程？【解答】（1）见解析；（2）小明家距小英家3.5千米；（3）10千米【解析】（1）规定向东为正，则向西为负，学校为原点，表示的数为0，小明家表示的数为0.5，小兵家表示的数为2，小英家所表示的数为﹣3，数轴如图所示：（2）0.5﹣（﹣3）＝3.5千米，答：小明家距小英家3.5千米；（3）0.5+1.5+5+3＝10千米，答：这次家访，班主任共走10千米的路程．21．出租车司机小张某天下午的运营是在一条东西走向的大道上．如果规定向东为正，他这天下午先向东走了15千米，又向西走了13千米，然后又向东走了14千米，又向西走了11千米，又向东走了10千米，最后向西走了8千米．（1）请你用正负数表示小张向东或向西运动的路程；（2）将最后一名乘客送到目的地时，小张离下午出车点的距离是多少？（3）离开下午出发点最远时是多少千米？（4）若汽车的耗油量为0.06升/千米，油价为4.5元/升，这天下午共需支付多少油钱？【解答】（1）+15，﹣13，+14，﹣11，+10，﹣8；（2）出车点东7千米；（3）最远为16千米；（4）19.17元【解析】（1）用正负数表示小张向东或向西运动的路程（单位：千米）为：+15，﹣13，+14，﹣11，+10，﹣8，（2）（+15）+（﹣13）+14+（﹣11）+10+（﹣8）＝7千米，答：将最后一名乘客送到目的地时，小张在下午出车点东7千米的地方，（3）将每一位顾客送到目的地，离出发点的距离为，15千米，2千米，16千米，5千米，15千米，7千米，因此最远为16千米，答：离开下午出发点最远时是16千米．（4）0.06×4.5×（15+13+14+11+10+8）＝19.17元，答：这天下午共需支付19.17元的油钱．22．一辆出租车从甲地出发，在一条东西走向的街道上行驶，每次行驶的路程记录如下表（规定向东为正，其中x是小于5的正数，单位：km）：第1次第2次第3次第4次x x﹣6 2（8﹣x）（1）通过计算，求出这辆出租车每次行驶的方向；（2）如果出租车行驶每千米耗油0.1升，当x＝2时，求这辆出租车在这四次的行驶中总共耗油多少升？【解答】（1）见解析；（2）1.9升【解析】（1）第1次，向东行驶x千米，第2次，向西行驶x千米，第3次，向西行驶（6﹣x）千米，第4次，向东行驶2（8﹣x）千米；（2）行驶的总路程为：x x+6﹣x+2（8﹣x）＝22x，当x＝2时，原式＝22﹣3＝19，0.1×19＝1.9升，答：这辆出租车在这四次的行驶中总共耗油1.9升．23．已知M、N在数轴上，M对应的数是﹣3，点N在M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点；（1）直接写出点N所对应的数；（2）当点P到点M、N的距离之和是5个单位时，点P所对应的数是多少？（3）如果P、Q分别从点M、N出发，均沿数轴向左运动，点P每秒走2个单位长度，先出发5秒钟，点Q每秒走3个单位长度，当P、Q两点相距2个单位长度时，点P、Q对应的数各是多少？【解答】（1）1；（2）﹣3.5或1.5；（3）P﹣45，Q﹣47【解析】（1）﹣3+4＝1．故点N所对应的数是1；（2）（5﹣4）÷2＝0.5，①﹣3﹣0.5＝﹣3.5，②1+0.5＝1.5．故点P所对应的数是﹣3.5或1.5．（3）①（4+2×5﹣2）÷（3﹣2）＝12÷1＝12（秒），点P对应的数是﹣3﹣5×2﹣12×2＝﹣37，点Q对应的数是﹣37+2＝﹣35；②（4+2×5+2）÷（3﹣2）＝16÷1＝16（秒）；点P对应的数是﹣3﹣5×2﹣16×2＝﹣45，点Q对应的数是﹣45﹣2＝﹣47．24．已知数轴上A，B两点对应数分别为﹣2和5，P为数轴上一点，对应数为x．（1）若P为线段AB的三等分点（把一条线段平均分成相等的三部分的两个点），求P点对应的数．（2）数轴上是否存在点P，使P点到A点，B点距离和为10？若存在，求出x值；若不存在，请说明理由．（3）若点A，点B和点P（P点在原点）同时向左运动，它们的速度分别为1，6，3个长度单位/分，则第几分钟时，A，B，P三点中，其中一点是另外两点连成的线段的中点？【解答】（1）P点对应的数为或；（2）x；（3）第分钟时，A为BP的中点；第分钟时，B为AP的中点；第3分钟时，P为AB的中点【解析】（1）因数轴上A、B两点对应的数分别是﹣2和5，所以AB＝7，又因P为线段AB的三等分点，所以AP＝7÷3或AP＝7÷3×2，所以P点对应的数为或；（2）若P在A点左侧，则﹣2﹣x+5﹣x＝10，解得：x；若P在A点、B中间，∵AB＝7，∴不存在这样的点P；若P在B点右侧，则x﹣5+x+2＝10，解得：x；（3）设第x分钟时，点A的位置为：﹣2﹣x，点B的位置为：5﹣6x，点P的位置为：﹣3x，①当P为AB的中点，则5﹣6x+（﹣2﹣x）＝2×（﹣3x），解得：x＝3；②当A为BP中点时，则2×（﹣2﹣x）＝5﹣6x﹣3x，解得：x，③当B为AP中点时，则2×（5﹣6x）＝﹣2﹣x﹣3x，解得：x，答：第分钟时，A为BP的中点；第分钟时，B为AP的中点；第3分钟时，P为AB的中点．。
(2021年整理)初中数学知识点大全(完整版)
初中数学知识点大全(完整版)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初中数学知识点大全(完整版)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第一册第一章有理数1。
1正数和负数以前学过的0以外的数前面加上负号“－"的书叫做负数.以前学过的０以外的数叫做正数。
数０既不是正数也不是负数，０是正数与负数的分界。
在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义1。
2有理数1。
2.1有理数正整数、0、负整数统称整数，正分数和负分数统称分数。
整数和分数统称有理数。
1.2。
2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达。
注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素，缺一不可。
⑵同一根数轴，单位长度不能改变。
一般地，设是一个正数，则数轴上表示a的点在原点的右边,与原点的距离是a 个单位长度；表示数－a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度.1.2。
3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
数轴上表示相反数的两个点关于原点对称。
在任意一个数前面添上“－”号，新的数就表示原数的相反数.一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。
在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。
比较有理数的大小：⑴正数大于0，0大于负数，正数大于负数。
⑵两个负数,绝对值大的反而小。
1.3有理数的加减法1。
3.1有理数的加法有理数的加法法则：⑴同号两数相加，取相同的符号,并把绝对值相加.⑵绝对值不相等的饿异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0。
2021年中考数学重难点专项突破专题29 图形折叠中的直角三角形存在性问题(解析版)
①当∠CEB′=90°时，如图例 4-2 所示.
由折叠性质得：AB=AB′，四边形 ABE B′是矩形.
2
所以四边形 ABE B′是正方形.
此时，BE=AB=3.
②当∠CB′E=90°时，如图例 4-3 所示.
由折叠性质知，∠AB′C=90°，所以∠AB′C+∠CB′E=180°.
∴点 A、B′、C 共线
4
图例 6-1
图例 6-2
【答案】4 或 4 3
【解析】分两种情况讨论. ①当∠A’FE=90°时，如图例 6-2 所示. ∵D、E 分别为 AC、BC 的中点 ∴DE 是三角形 ABC 的中位线 即 DE∥BA ∴∠A’BA=90° ∴四边形 AB A’C 为矩形 由折叠得 AC=A’C ∴四边形 AB A’C 为正方形 即 AB=AC=4. ②当∠A’EF=90°时，如图例 6-3 所示. ∵∠A’EF= ∠ CDE=90° ∴A’E∥CD ∴∠DCE= ∠ CEA’ 由折叠知：∠DCE= ∠ A’CE
图例 5-3
3
2 +1
【答案】
或 1.
2
【解析】通过观察及分析可知，C 点不可能为直角顶点，分两种情况讨论.
①当∠CM B′=90°时，如图例 5-2 所示.
由折叠知：∠BMN= ∠ B′MB=45°，又因为∠B=45°，所以∠BNM=90°，∠MNB′=90°
即∠BNM+ ∠ MN B′=180°，所以 B、N、B′三点共线，此时 B′与点 A 重合.
3、如图例 5-1，在 Rt∆ABC 中，∠A = 90° ， AB = AC ， B=C 2 +1 ，点 M ， N 分别是边 BC ， AB 上
的动点，沿 MN 所在的直线折叠 ∠B ，使点 B 的对应点 B' 始终落在边 AC 上.若 ∆MB'C 为直角三角形，则
八年级数学十九章的知识点
八年级数学十九章的知识点八年级数学的十九章是整个年级里面的一大难点，需要同学们投入大量的时间和精力去学习，才能够真正地掌握其中的知识点，并且在实际应用过程中得心应手。
本文将对八年级数学的十九章进行详细的讲解，让同学们更好地理解和掌握其中的知识点。
一、角平分线定理在本章节中，我们首先要学习的是角平分线定理。
角平分线定理指的是：如果一条直线相交于一个角，并且把这个角分成了两个小角，那么这条直线就被称作这个角的平分线。
当然，反过来也成立。
如果一条直线是一个角的平分线，那么它就把这个角分成了两个小角，这两个小角的度数相等。
二、相似三角形接下来我们要学习的是相似三角形。
相似三角形指的是，如果两个三角形的对应角度相等，对应边长成比例，那么这两个三角形就是相似三角形。
在学习相似三角形的过程中，我们还需要掌握三角形内角和定理、三角形外角和定理、三角形的中线定理等相关知识点。
三、勾股定理勾股定理是我们数学学习中的一大重点，也是在本章节中需要重点掌握的知识点之一。
勾股定理指的是：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
也就是说，a²+b²=c²。
在应用勾股定理的时候，我们还需要学习到勾股定理的逆定理，以及在三角形中应用勾股定理解决问题的具体步骤。
四、三角函数另一个需要在本章节中学习的重点就是三角函数。
三角函数指的是角度的函数，其中包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在三角函数的学习中，我们还需要掌握单位圆、三角函数的定义和性质、三角函数的图像等相关知识点。
五、圆的相关知识除了以上几个知识点之外，在本章节中还有一些关于圆的相关知识点需要我们进行学习和掌握。
这些知识点包括圆的周长和面积、扇形和弓形的面积、圆锥、圆台等等。
综上所述，八年级数学的十九章中有许多重要的知识点需要我们认真学习和掌握。
通过反复练习，融会贯通，相信同学们一定能够在本章节中取得不错的成绩，顺利通过学业考验。
专题19 二次函数与实际问题：销售问题(解析版)2021年中考数学二轮复习之难点突破热点解题方法
专题19 二次函数与实际问题：销售问题一、单选题1．某商品的进价为每件40元，现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映；如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x （单位：元）之间的函数关系式是（ ）A ．30010y x =-B ．()3006040y x =--C ．()()300106040y x x =+--D ．()()300106040y x x =--+【答案】D【分析】由每件涨价x 元，可得出销售每件的利润为（60﹣40+x ）元，每星期的销售量为（300﹣10x ），再利用每星期售出商品的利润＝销售每件的利润×每星期的销售量，即可得出结论．【详解】解：∵每涨价1元，每星期要少卖出10件，每件涨价x 元，∵销售每件的利润为（60﹣40+x ）元，每星期的销售量为（300﹣10x ），∵每星期售出商品的利润y ＝（300﹣10x ）（60﹣40+x ）．故选：D ．【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出y 与x 之间的函数关系式．二、解答题2．在2020年新冠肺炎抗疫期间，小明决定在淘宝上销售一批口罩．经市场调研：某类型口罩进价每袋为20元，当售价为每袋25元时，销售量为250袋，若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋．（1）直接写出小明销售该类型口罩销售量y （袋）与销售单价x （元）之间的函数关系式 ；每天所得销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式 ．（2）若小明想每天获得该类型口罩的销售利润2000元时，则销售单价应定为多少元？（3）若每天销售量不少于100袋，且每袋口罩的销售利润至少为17元，则销售单价定位多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）210500,1070010000y x w x x =-+=-+-； （2）30元或40元； （3）销售单价定位37元时，此时利润最大，最大利润是2210元．【分析】（1）根据“若销售单价每提高1元，销售量就会减少10袋，当销售单价为x 元时，销售量为()2501025x --⎡⎤⎣⎦袋”，即可得出y 关于x 的函数关系式，然后再根据销售利润w （元）等于销售数量乘以每袋利润可得销售利润w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）代入w=2000，建立一元二次方程，解方程求出x 的值，由此即可得出结论；（3）根据题意先求解销售单价x 的范围，利用配方法将w 关于x 的函数关系式变形为：()210352250w x =--+，根据二次函数的性质即可解决最值问题．【详解】解：（1）根据题意得，()250102510500y x x =--=-+； 则()()220105001070010000w x x x x =--+=-+-，故答案为：210500,1070010000.y x w x x =-+=-+-（2）∵w=2000，∵210700100002000x x -+-=，27012000,x x ∴-+=()()30400,x x ∴--=解得：1230,40,x x ==答：销售单价应定为30元或40元，小明每天获得该类型口罩的销售利润2000元；（3）根据题意得，105001002017x x -+≥⎧⎨-≥⎩， ∵x 的取值范围为：3740x ≤≤，∵函数()22107001000010352250x x x w -+-=--+=， ∴ 对称轴为x=35，10a =-＜0,∴ 当3740x ≤≤，y 随x 的增大而减小，∵当x=37时，w 最大值=2210．答：销售单价定位每袋37元时，此时利润最大，最大利润是2210元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一元二次方程的解法，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，掌握利用二次函数的性质求最值是解题的关键．3．工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利45元；按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等．（1）该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？（2）若每件工艺品按（1）中求得的进价进货，标价售出，工艺商场每天可售出该工艺品100件．若每件工艺品降价1元，则每天可多售出该工艺品4件．问每件工艺品降价多少元出售，每天获得的利润为最大？【答案】（1）标价为200元，进价为155元；（2）10元【分析】（1）设工艺品每件的标价为x元，则根据题意可知进价为（x-45）元，按标价的八五折销售该工艺品8件与将标价降低35元销售该工艺品12件所获利润相等，列一元一次方程求解即可；（2）设每件应降价x元出售，每天获得的利润为y元，根据题意可得y和x的函数关系，利用函数的性质求解即可．【详解】解：（1）设工艺品每件的标价为x元，则进价为x－45 ，8[0.85x－（x－45）]＝12[x－35－（x－45）] ，整理得360－1.2x＝120，即1.2x＝240，解得x＝200，则每件进价为：200－45＝155（元）,∵改商品的每件标价为200元，进价为155元．（2）设利润为y，工艺品降价x元，则y＝（45－x）（100＋4x）＝－4x2＋80x＋4500＝－4（x－10）2＋4900，∵a＝－4＜0，函数有最大值，∵当降价10元，每天获得的利润最大，最大利润4900元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，吃透题意，确定变量，建立函数模型是解题的关键．4．某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆．如果设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y 万元．（销售利润=销售价﹣进货价）（1）求y 与x 的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范围；（2）当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？（3）要使该汽车城平均每周的销售利润不低于48万元，那么销售价应定在哪个范围？【答案】（1）()404y x x =-+≤≤；（2）每辆汽车的定价为27.5万元时，利润最大，最大利润为50万元；（3）27万元至28万元【分析】（1）根据利润等于（29﹣进货价﹣降价）可得出y 关于x 的函数关系式，化简即可；（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为S 万元，根据平均每周的销售利润等于每辆汽车的销售利润乘以销售量，可得出S 关于x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案；（3）当S=48时，可得关于x 的一元二次方程，求得方程的解，再根据二次函数的性质可得出符合题意的x 值，再由实际售价等于（29﹣x ）万元，可得出销售价的范围．【详解】（1）由题意得：2925y x =--，∵4y x =-+（04x ≤≤）；（2）假设这种汽车平均每周的销售利润为S 万元，则()()0.5484S x x =÷⨯+-+282432x x =-++()28 1.550x =--+，∵ 1.5x =时，S 最大为50．∵29 1.527.5-=（万元），∵每辆汽车的定价为27.5万元时，利润最大，最大利润为50万元；（3）当S=48时，28243248x x -++=，解得：1212x x ==，，∵()28 1.550S x =--+，二次项系数为﹣8＜0，∵S 为开口向下的二次函数，∵对称轴为直线 1.5x =，∵当1 1.5x ≤≤时，S 随x 的增大而增大；当1.52x <≤时，S 随x 的增大而减小，∵当12x ≤≤时，48S ≥．∵实际售价等于（29x -）万元，∵272928x ≤-≤时，48S ≥．∵销售价格在27万元至28万元之间时（含27万、28万元）该汽车城平均每周的利润不低于48万元．【点评】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元，平均每天可以多售出20箱．（1）若要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价多少元？（2）每箱降价多少元超市每天获利最大？最大利润是多少？【答案】（1）2元或5元；（2）每箱降价3.5元时获利最大，最大利润是1445元【分析】（1）设每箱应降价x 元，列方程解答；（2）设每天获利W 元，由题意得到(12)(10020)W x x =-+，化为顶点式即可得到答案．【详解】解：（1）要使每天销售饮料获利1400元，设每箱应降价x 元，依据题意列方程得，(12)(10020)1400x x -+=，整理得27100x x -+=，解得12x =，25x =；答：要使每天销售该饮料获利1400元，则每箱应降价2元或5元．（2）设每天获利W 元，则(12)(10020)W x x =-+，2201401200x x =-++，220( 3.5)1445x =--+，∴每箱降价3.5元时获利最大，最大利润是1445元．【点睛】此题考查一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键． 6．我市某超市销售一种文具，进价为5元/件，售价为6元/件时，当天的销售量为100件．在销售过程中发现：售价每上涨0.5元，当天的销售量就减少5件．设当天销售单价统一为x 元/件（6x ≥，且x 是按0.5元的倍数上涨），当天销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）若每件文具的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每件文具售价为多少元？并求出最大利润．【答案】（1）210210800=-+-y x x ；（2）每件文具售价为9元，最大利润为280元．【分析】（1）根据总利润＝每件利润×销售量，列出函数关系式，（2）由题意可知，利润不超过80%即：利润率＝（售价－进价）÷进价∵80%，即可求得售价的范围．再结合二次函数的性质，问题可解．【详解】解：由题意（1）26(5)1005102108000.5x y x x x -⎛⎫=--⨯=-+- ⎪⎝⎭故y 与x 的函数关系式为：210210800=-+-y x x（2）∵每件文具利润不超过80% ∵50.85x -≤，得9x ≤ 结合题意得文具的销售单价x 的取值范围为69x ≤≤，由（1）得()22102108001010.5302.5y x x x =-+-=--+∵对称轴为10.5x =∵69x ≤≤在对称轴的左侧，且y 随着x 的增大而增大∵当9x =时，取得最大值，此时()210910.5302.5280y =-⨯-+=即每件文具售价为9元时，利润最大；最大利润为280元．【点睛】考查二次函数的应用．把实际问题转化为函数问题是关键，要注意自变量取值范围．7．某商店购进了一种小商品，每件进价为2元．经市场预测，销售定价为3元时，可售出200件；现为了减少库存，商店决定采取适当降价措施．经调查发现，销售定价每降低0.1元时，销售量将增多40件．（1）商店若希望获利224元，则应该降价多少元？（2）商店若要获得最大利润，应降价多少元？最大利润是多少？【答案】（1）降价0.3元；（2）降价0.25元，最大利润是225元【分析】（1）设每件小商品降价x 元，则可售出（200＋400x ）件，根据总利润＝每件的利润×销售量，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；（2）根据题意可以得到利润与降价之间的函数关系式，从而可以解答本题．【详解】（1）设每件小商品应该降价x 元，则可售出200+400.1x =（200+400x ）件， 依题意，得：（3﹣2﹣x ）（200+400x ）＝224，整理，得：2x 2﹣x +0.12＝0，解得：x 1＝0.3，x 2＝0.2，∵为了减少库存，∵x ＝0.3，答：商店若希望获利224元，则应该降价0.3元；（2）设每件应降价y 元，利润为w 元，w ＝（3﹣2﹣y ）（200+400y ）＝﹣400y 2+200y +200＝﹣400（y ﹣0.25）2+225，∵当y ＝0.25时，w 取得最大值，此时w ＝225，即商店若要获得最大利润，应降价0.25元，最大利润是225元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）确定w 与y 的函数关系式，配方可得最值．8．某超市购进一种商品，进货单价为每件10元在销售过程中超市按相关规定．销售单价不低于1元且不高于19元如果该商品的销售单价x （单位：元/件）与日销售量y （单位：件）满足一次函数关系240y x =-+，设该商品的日销售利润为w 元，那么当该商品的销售单价x （元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？【答案】当甲商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元【分析】根据利润等于每件的利润乘以销售量，可列出w 关于x 的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案．【详解】解：根据题意得：w=（-2x+40）（x -10）=-2x 2+60x -400=-2（x -15）2+50，∵当x=15时，w 取得最大值，最大值为50．∵1＜15＜19，∵x=15符合题意．∵当该商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，明确题意并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 9．某水果店批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售将减少20千克．（1）现要保证每天盈利5520元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）要使每天获利不少于6000元，求涨价x 的范围．【答案】（1）每千克水果应涨价2元；（2）510x ≤≤【分析】（1）设每千克应涨价x 元，由题意列出方程，解方程即可求解；（2）根据题意表示出每天的利润，然后利用每天的获利等于6000元，解出两个x 的值，然后根据二次函数的性质即可得出答案．【详解】（1）设每千克应涨价x 元，由题意列方程得：（10+x ）（500﹣20x ）＝5520，解得：x ＝2或x ＝13，为了使顾客得到实惠，那么每千克应涨价2元；答：每千克水果应涨价2元．（2）根据题意得，每天的获利为()()21050020203005000w x x x x =+-=-++ 令6000w =，即22030050006000x x -++=，解得125,10x x ==，20a =-<，∵要使每天获利不少于6000元，涨价x 的范围为510x ≤≤，答：每千克水果涨价x 的范围是510x ≤≤．【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，根据题意列出方程及二次函数是解题的关键．10．某商店经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）在前50天销售过程中，为了给顾客发放福利，每售出一件商品就返还2a元给顾客，且要求售价不低于80元，但是前50天的销售中，仍可以获得最大利润5850元，求出a的值．【答案】（1）y()()22x180x20001x50120x1200050x90⎧-++≤⎪=⎨-+≤≤⎪⎩＜；（2）该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）a的值为55﹣【分析】（1）根据单价乘以数量，可得利润，分段列出函数关系式可得答案；（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；（3）在确定函数表达式的基础上，确定函数的对称轴，进而求解．【详解】（1）当1≤x＜50时，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30）＝﹣2x2+180x+2000，当50≤x≤90时，y＝（200﹣2x）（90﹣30）＝﹣120x+12000，综上所述：y()()22x180x20001x50120x1200050x90⎧-++≤⎪=⎨-+≤≤⎪⎩＜；（2）当1≤x＜50时，y＝﹣2x2+180x+2000，y＝﹣2（x﹣45）2+6050．∵a＝﹣2＜0，∵二次函数开口下，二次函数对称轴为x＝45，当x＝45时，y最大＝6050，当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，当x＝50时，y最大＝6000，综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；（3）根据题意得，y＝（200﹣2x）（x+40﹣30﹣2a）＝﹣2x2+（180+4a）x+2000﹣400a，x+40≥80，则x≥40，即40≤x＜50，函数的对称轴x＝45+a，在40≤x＜50内（a＜5时），当x＝45+a时，函数取得最大值，即y＝（200﹣2x）（x+40﹣30﹣2a）＝（200﹣90﹣2a）（45+a+10﹣2a）＝2（55﹣a）（55﹣a）＝5850，即（55﹣a）＝=解得：a＝55﹣；故a的值为55﹣【点睛】本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值，解答时求出函数的解析式是关键．11．一网店经营一种玩具，购进时的单价是30元．根据市场调查表明：当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该玩具的销售单价为x 元（40x >），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该玩具获得利润w 元，并把结果填写在表格中：（2）若该网店要获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x 应定为多少元？（3）若该网店要完成不少于550件的销售任务，求网店销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？【答案】（1）101000x -+，210130030000x x -+-；（2）销售单价x 应定为50元或80元；（3）最大利润为8250元．【分析】（1）根据题意可直接进行列式求解即可；（2）由（1）可得210x 1300x 3000010000-+-=，然后求解即可；（3）由题意易得101000550x -+≥，然后可得4045x <≤，最后由二次函数的性质可进行求解．【详解】解：（1）由题意得：销售量()6001040101000y x x =--=-+；销售玩具获得利润()()23010100010130030000w x x x x =--+=-+-； 故答案为101000x -+，210130030000x x -+-；（2）由（1）及题意得：210x 1300x 3000010000-+-=，213040000x x -+=，解得：1250,80x x ==，∵40x >，∵1250,80x x ==；答：销售单价x 应定为50元或80元．（3）由题意得：101000550x -+≥，解得：45x ≤，∵40x >，∵4045x <≤，∵()2210130030000106512250w x x x =-+-=--+，∵100a =-<，对称轴为直线65x =，∵当4045x <≤时，w 随x 的增大而增大，∵当x=45时，w 有最大值，即为()2104565122508250w =-⨯-+=；答：销售该玩具所获最大利润为8250元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，会根据题意正确列式并明确二次函数的相关性质是解题的关键．12．进入冬季，我市空气质量下降，多次出现雾霾天气．商场根据市民健康需要，代理销售一种防尘口罩，进货价为20元/包，经市场销售发现：销售单价为30元/包时，每周可售出200包，每涨价1元，就少售出5包．若供货厂家规定市场价不得低于30元/包，且商场每周完成不少于150包的销售任务．（1）试确定周销售量y（包）与售价x（元/包）之间的函数关系式；（2）试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）与售价x（元/包）之间的函数关系式，并直接写出售价x的范围；（3）当售价x（元/包）定为多少元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣5x+350；（2）w=﹣5x2+450x﹣7000（30≤x≤40）；（3）当售价x定为40元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w（元）最大，最大利润是3000元．【分析】（1）由题意直接写出y与x之间的函数关系式即可；（2）先由题意直接写出w与x之间的函数关系式，由供货厂家规定市场价不得低于30元/包且商场每周完成不少于150包的销售任务列出方程组确定x的取值范围即可；（3）根据第（2）问中的函数解析式和x的取值范围运用二次函数的性质求最值即可．【详解】解：（1）由题意可得：y=200﹣（x﹣30）×5=﹣5x+350即周销售量y（包）与售价x（元/包）之间的函数关系式是：y=﹣5x+350；（2）由题意可得：w=（x﹣20）×（﹣5x+350）=﹣5x2+450x﹣7000且305350150x x ≥⎧⎨-+≥⎩ 解得：30≤x ≤40 即商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w （元）与售价x （元/包）之间的函数关系式是：w =﹣5x 2+450x ﹣7000（30≤x ≤40）；（3）∵w =﹣5x 2+450x ﹣7000的二次项系数﹣5＜0，∵抛物线对称轴为x =﹣4502(5)⨯-=45， ∵30≤x ≤40，∵当x ＜45时，w 随x 的增大而增大，∵当x =40时，w 取得最大值，w =﹣5×402+450×40﹣7000=3000，即当售价x （元/包）定为40元时，商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润w （元）最大，最大利润是3000元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，明确题意、列出相应的函数解析式并确定自变量的取值范围是解答本题的关键．13．绿水青山，就是金山银山，为了保护环境，凉山州某公司生产了A 、B 两种型号的垃圾处理设备．已知生产4件甲设备和3件乙设备，共需成本62万元；生产3件甲设备和2件乙设备，共需成本44万元． （1）求生产每件甲、乙设备的成本分别是多少万元?（2）设甲设备的销售单价为x （单位：万元/件），该公司在销售过程中发现：甲设备的月销售量y （单位：件）与销售单价x 之间存在一次函数关系，x 、y 之间的部分数值对应关系如表：()1119x ≤≤请求出当1119x ≤≤时，y 与x 之间的函数关系式．（3）在（2）的条件下，设甲设备的月销售利润为w 万元，当甲设备的销售单价x （万元/件）定为多少时，月销售利润最大?最大利润是多少?【答案】（1）生产每件甲、乙设备的成本分别是8万元，10万元；（2）当1119x ≤≤时，函数关系式为240y x =-+；（3）当甲设备的销售单价定为14（万元/件）时，月销售利润最大是72万元．【分析】（1）设甲、乙的成本分别为a ，b 万元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；（2）设一次函数解析式，再代入（11，18），（19，2）利用待定系数法求解即可；（3）利用（2）的结论，列出w 与x 之间的关系式，利用函数的性质求解即可．【详解】（1）设生产每件甲、乙设备的成本分别是a 万元、b 万元，由题意可得：43623244a b a b +=⎧⎨+=⎩解得：810a b =⎧⎨=⎩答：生产每件甲、乙设备的成本分别是8万元，10万元．（2）设()0y kx b k =+≠， 把()11,18，()19,2代入得1811219k b k b =+⎧⎨=+⎩解得：240k b =-⎧⎨=⎩ ∵当1119x ≤≤时，函数关系式为240y x =-+．（3）由题意得：()()8240w x x =--+256320x x =-+-()221472x =--+∵当14x =时，利润最大为72万元答：当甲设备的销售单价定为14（万元/件）时，月销售利润最大是72万元．【点睛】本题考查二元一次方程组，一次函数，二次函数的实际应用，能够准确根据题意列出方程或表达式是解题关键．14．新冠肺炎期间，某超市将购进一批口罩进行销售，已知购进4盒甲口罩和6盒乙口罩需260元，购进5盒甲口罩和4盒乙口罩需220元．两种口罩以相同的售价销售，甲口罩的销售量1y （盒）与售价x （元）之间的关系为14008y x =-；当售价为40元时，乙口罩可销售100盒，售价每提高1元，少销售5盒． （1）求甲、乙两种口罩每盒的进价分别为多少元？（2）当乙口罩的售价为多少元时，乙口罩的销售总利润最大？此时甲乙两种口罩的销售利润总和为多少？ （3）当甲口罩的销售量不低于乙口罩的销售量的1415，若使两种口罩的总利润最高，求此时的定价为多少？ 【答案】（1）20元、30元；（2）45元，2125元；（3）36元．【分析】（1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x 元、y 元，由题意列方程组，求解即可．（2）设乙口罩的销售利润为w 元，由题意可列出关于x 的二次函数，将其改写成顶点式，即可知道乙口罩的售价及此时乙口罩的最大利润，继而求出甲口罩利润，即可求解．（3）根据题意可列出不等式，解得x 的取值范围，在得出两种口罩的利润总和关于x 的二次函数，根据二次函数的性质可得其对称轴，即得到答案．【详解】（1）设甲、乙两种口罩每盒的进价分别为x 元、y 元，由题意得：4626054220x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：2030x y =⎧⎨=⎩， ∵甲、乙两种口罩每盒的进价分别为20元、30元．（2）设乙口罩的销售利润为w 元，由题意得：()()30100540w x x =---⎡⎤⎣⎦254509000x x =-+-()25451125x =--+，∵当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，为1125元，当售价为45元时，1400840084540y x =-=-⨯=（盒）；∵甲口罩的销售利润为：()4520401000-⨯=（元）， ∵此时两种口罩的销售利润总和为：112510002125+=（元），∵当乙口罩的售价为45元时，乙口罩的销售总利润最大，此时两种口罩的销售利润总和为2125元． （3）由题意得：()14400810054015x x -≥--⎡⎤⎣⎦， 解得：36x ≤，∵两种口罩的利润总和()()()240082054509000w x x x x =--+-+-213101017000x x =-+-，∵对称轴为：5053613x =>， ∵当36x =时，两种口罩的利润总和最高，∵若使两种口罩的利润总和最高，此时的定价应为36元．【点睛】本题考查一次函数、二元一次方程组、二次函数及一元一次不等式在实际问题中的应用．根据题干理清它们的数量关系是解题的关键，综合性较强．15．某厂生产一种玩具，成本价是8元∕件，经过调查发现，每天的销售量y （件）与销售单价x （元）存在一次函数关系10600 y x =-+．（1）销售单价定为多少时，该厂每天获得的利润最大？最大利润是多少？（2）若物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，那么销售单价如何定位才能获得最大利润？【答案】（1）34，6760元；（2）当销售单价定为30元时，才能获得最大利润．【分析】（1）根据题意，可以写出利润与销售单价之间的函数关系式，然后根据二次函数的性质，即可得到销售单价定为多少时，该厂每天获取的利润最大，最大利润为多少；（2）根据（1）中利润与单价之间的函数关系式和物价部门规定，该产品的最高销售单价不得超过30元，可以得到当单价为30时，才能获得最大利润．【详解】解：（1）设该厂每天获得的利润为w 元，2810600106804800W x x x x210x346760=时，W有最大值6760元当x34因此，当销售单价定为34元时，该厂每天获得的利润最大，最大利润是6760元．（2）由（1）可知2W x10346760x=，∵函数图像开口向下，对称轴为34∵最高销售单价不得超过30元，∵当x＝30时，w取得最大值，此时2W，10303467606600因此，当销售单价定为30元时，才能获得最大利润是6600元．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．16．一个批发商销售成本为20元/千克的某产品，根据物价部门规定：该产品每千克售价不得超过90元，在销售过程中发现的售量y (千克)与售价x (元/千克)满足一次函数关系，对应关系如下表：(1)求y与x的函数关系式；(2)该产品每千克售价为多少元时，批发商获得的利润w (元)最大?此时的最大利润为多少元?【答案】（1）y＝﹣x+150（0＜x≤90）；（2）85，4225．【分析】（1）根据图表中的各数可得出y与x成一次函数关系，从而结合图表的数可得出y与x的关系式．（2）根据题意列出w 与x 的函数关系式，然后配方()221703000854225w x x x =-+-=--+即可求出【详解】（1）设y 与x 的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0），根据题意得 501006090k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得k 1b 150=-⎧⎨=⎩． 故y 与x 的函数关系式为y ＝﹣x +150（0＜x ≤90）；（2）根据题意得()()()20+15020w y x x x =-=--()221703000854225w x x x =-+-=--+当=85x 时批发商获得的利润w (元)最大，最大利润4225w =【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的应用问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，利用待定系数法求出一次函数的解析式与列出二次函数解析式，会配方变为顶点式．17．某超市销售一种牛奶，进价为每箱36元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱60元，每月可销售100箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x 元（x 为正整数），每月的销量为y 箱．（1）写出y 与x 之间的函数关系式和自变量x 的取值范围；（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？【答案】（1）10010y x =+，1≤x ≤24，且x 为整数；（2）超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元．【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每月多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式；（2）由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，求出最大值．【详解】解：（1）根据题意，得：y＝100+10x，由60﹣x≥36得x≤24，∵1≤x≤24，且x为整数；（2）设所获利润为W，则W＝（60﹣x﹣36）（10x+100）＝﹣10x2+140x+2400＝﹣10（x﹣7）2+2890，∵此二次函数的二次项系数小于0，∵函数开口向下，有最大值，∵当x＝7时，W取得最大值，最大值为2890，此时售价为60-7=53（元），答：超市定价为53元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是2890元．【点睛】本题主要考查二次函数应用，由利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式求最值，用二次函数解决实际问题是解题的关键．18．某企业设计了一款工艺品，每件成本50元，为了合理定价，现投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，若销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）销售单价为多少元时，每天的销售利润可达4000元？。
2022年最新中考数学知识点梳理 考点19 图形的轴对称、平移与旋转(教师版)
2022年最新中考数学知识点梳理考点总结+真题演练涵盖近年来的中考真题和中考模拟考点19 图形的轴对称、平移与旋转考点总结一、轴对称图形与轴对称如果一个图形沿着某条直线对折如果两个图形对折后，这两个图形1．常见的轴对称图形: 等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆．2．折叠的性质:折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等．【注意】凡是在几何图形中出现“折叠”这个字眼时，第一反应即存在一组全等图形，其次找出与要求几何量相关的条件量．解决折叠问题时，首先清楚折叠和轴对称能够提供我们隐含的且可利用的条件，分析角之间、线段之间的关系，借助勾股定理建立关系式求出答案，所求问题具有不确定性时，常常采用分类讨论的数学思想方法．3．作某点关于某直线的对称点的一般步骤1）过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足；2）在这条直线另一侧从垂足除法截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点．4．作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤1）作出图形的关键点关于这条直线的对称点；2）把这些对称点顺次连接起来，就形成了一个符合条件的对称图形．二、图形的平移1．定义：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小．2．三大要素：一是平移的起点，二是平移的方向，三是平移的距离．3．性质：1）平移前后，对应线段平行且相等、对应角相等；2）各对应点所连接的线段平行(或在同一条直线上)且相等；3）平移前后的图形全等．4．作图步骤：1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离；2）找出原图形的关键点；3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形．三、图形的旋转1．定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角．2．三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度．3．性质：1）对应点到旋转中心的距离相等；2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3）旋转前后的图形全等．4．作图步骤：1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角；2）找出原图形的关键点；3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形．【注意】旋转是一种全等变换，旋转改变的是图形的位置，图形的大小关系不发生改变，所以在解答有关旋转的问题时，要注意挖掘相等线段、角，因此特殊三角形性质的运用、锐角三角函数建立的边角关系起着关键的作用．四、中心对称图形与中心对称如果一个图形绕某一点旋转180°后能与如果一个图形绕某点旋转180°后平行四边形、矩形、菱形、正方形、正六边形、圆等．注意：图形的“对称”“平移”“旋转”这些变化,是图形运动及延伸的重要途径,研究这些变换中的图形的“不变性”或“变化规律”.真题演练一．选择题（共10小题）1．（2021•保定模拟）如图，将平行四边形ABCD折叠，使点D与点B重合，折痕为EF．若平行四边形ABCD周长为20，则△ABE周长为（）A．1 B．5 C．10 D．20【分析】由平行四边形ABCD是周长为20，推出AB+AD＝10，利用翻折变换的性质，推出△ABE的周长等于AB+AD，即可解决问题．【解答】解：∵平行四边形ABCD是周长为20，∴AB+AD＝10，由翻折可知：EB＝DE，∴△ABE的周长＝AB+AE+EB＝AB+AE+ED＝AB+AD＝10，故选：C．2．（2021•河北模拟）点D、点E分别是△ABC边AB、AC（AB＞AC）的中点，沿直线DE将△ABC折叠若点A的对应点为A'，则（）A．A'点落在△ABC内B．A'点落在△ABC外C．A'点落在BC边上，且A'B＞A'CD．A'点落在BC边所在的直线上，且A'B＞A'C【分析】由三角形中位线定理可得DE∥BC，AD=12AB，可证△ADE∽△ABC，可得点A到BC的距离点A到DE的距离=ABAD=2，由折叠的性质可得点A到DE的距离＝点A'到DE的距离，A'B'＝AB，A'C'＝AC，即可求解．【解答】解：∵点D、点E分别是△ABC边AB、AC（AB＞AC）的中点，∴DE∥BC，AD=12AB，∴△ADE∽△ABC，∴点A到BC的距离点A到DE的距离=ABAD=2，∵沿直线DE将△ABC折叠若点A的对应点为A'，∴点A到DE的距离＝点A'到DE的距离，A'B'＝AB，A'C'＝AC∴点A'在直线BC上，A'B'＞A'C'，故选：D．3．（2021•海港区模拟）图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是轴对称图形，并且只有一条对称轴，这个位置是（）A．①B．②C．③D．④【分析】根据轴对称图形的概念对各图形分析判断即可得解．【解答】解：A．是轴对称图形，但有两条对称轴，故本选项不合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．是轴对称图形，并且只有一条对称轴，故本选项符合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：C．4．（2021•路南区二模）如图为大众汽车的图标，是轴对称图形，则下列关于对称轴条数的说法中，正确的是（）A．有无数条B．有4条C．有2条D．有1条【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．【解答】解：该图案只有1条纵向的对称轴．故选：D．5．（2021•河北模拟）如图，用平移三角尺的方法可以检验出图中平行线共有（）A．3对B．4对C．5对D．6对【分析】根据平移的性质：对应点所连的线段平行且相等．【解答】解：如图，由平移的性质得，AD∥BE，AD∥CF，BE∥CF，AB∥DE，BC∥EF，AC∥DF，共六对．故选：D．6．（2020•台州）如图，把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，则顶点C（0，﹣1）对应点的坐标为（）A．（0，0）B．（1，2）C．（1，3）D．（3，1）【分析】利用平移规律进而得出答案．【解答】解：∵把△ABC先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得到△DEF，顶点C （0，﹣1），∴F（0+3，﹣1+2），即F（3，1），故选：D．7．（2013•宽甸县二模）已知点A（﹣1，0）和点B（1，2），将线段AB平移至A′B′，点A′与点A对应．若点A′的坐标为（1，﹣3），则点B′的坐标为（）A．（3，0）B．（3，﹣1）C．（﹣3，0）D．（﹣1，3）【分析】根据平移的性质，结合已知点A，B的坐标，知点A的横坐标加上了4，纵坐标减小了1，所以A点的平移方法是：先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，则B的平移方法与A点相同，即可得到答案．【解答】解：∵A（﹣1，0）平移后对应点A′的坐标为（1，﹣3），∴A点的平移方法是：先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，∴B点的平移方法与A点的平移方法是相同的，∴B（1，2）平移后B′的坐标是：（3，﹣1）．故选：B．（2021•石家庄模拟）如图，一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，8．当B，C，A'在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为（）A．150°B．120°C．60°D．30°【分析】直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案．【解答】解：∵将一块含30°角的直角三角板ABC绕点C顺时针旋转到△A'B'C，∴BC与B'C是对应边，∴旋转角∠BCB'＝180°﹣30°＝150°．故选：A．9．（2021•开平区一模）如图，正方形ABCD的边长为2cm，正方形CEFG的边长为1cm，若正方形CEFG绕点C旋转，则点F到点A的距离最小值为（）A．3 B．2√2C．3√2D．√2【分析】首先根据题意找到点F到点A的距离最小值时点F的位置，然后利用正方形的性质求解即可．【解答】解：当点F在正方形的对角线AC上时，由三角形三边关系可知AF＝AC﹣CF，当点F不在正方形的对角线AC上时，由三角形三边关系可知AC﹣CF＜AF＜AC+CF，∴当点F在正方形的对角线AC上时，点F到点A距离最小值，∵正方形ABCD的边长为2cm，正方形CEFG的边长为1cm，∴AC＝2√2cm，CF=√2cm，∴AF＝AC﹣CF=√2cm，故选：D．10．（2021•河北模拟）如图，正方形ABCD在平面直角坐标系中．点A的坐标为（﹣6，4），点B，C在x轴上．将正方形ABCD平移后，点O成为新正方形的对称中心，则正方形ABCD 的平移过程可能是（）A．向右平移6个单位长度，再向下平移4个单位长度B．向右平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度C．向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度D．向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度【分析】根据要求作出图形，判断即可．【解答】解：如图，观察图象可知，向右平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度后点O成为新正方形的对称中心．故选：D．二．填空题（共5小题）11．（2021•南皮县一模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，P是AC边上一点，连接PB，将△PBC绕点B顺时针旋转，得到△DBE，点C，P的对应点分别是点E，D，点E在AB边上．（1）若P是AC的中点，则DB＝√7；（2）若PC＝1，则点D到AC的距离为√32+1 ．【分析】（1）利用勾股定理求出PB，可得结论．（2）过点D作DH⊥AC于H，交AB于点F．分别求出FH，DF，可得结论．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝2BC＝4，AC=√3BC＝2√3，∵P是AC的中点，∴CP=12AC=√3，∴BP=√BC2+CP2=√22+(√3)2=√7，由旋转的性质可知，BD＝BP=√7，故答案为：√7．（2）如图，过点D作DH⊥AC于H，交AB于点F．∵∠EDF＝∠A＝30°，DE＝PC＝1，∴EF＝DE•tan30°=√33，DF＝2EF=2√3 3，∴AF＝AB﹣BE﹣EF＝4﹣2−√33=2−√33，∵DH∥BC，∴HF BC=AF AB ， ∴HF 2=2−√334， ∴HF ＝1−√36．∴DH ＝HF +DF =√32+1，故答案为：√32+1． 12．（2021•路北区二模）如图，△ABC 中，∠A ＝30°，∠ACB ＝90°，BC ＝2，D 是AB 上的动点，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，连接BE ．（1）点C 到AB 的最短距离是 √3 ；（2）BE 的最小值是 √3−1 ．【分析】（1）如图，过点C 作CK ⊥AB 于K ，解直角三角形求出CK ，可得结论．（2）将线段CK 绕点C 逆时针旋转90°得到CH ，连接HE ，延长HE 交AB 的延长线于J ．首先证明四边形CKJH 是正方形，推出点E 在直线HJ 上运动，求出BJ ，根据垂线段最短解决问题即可．【解答】解：（1）过点C 作CK ⊥AB 于K ，在Rt △CBK 中，∵BC ＝2，∠ABC ＝60°，∴CK ＝BC •sin60°=√3，∴点C 到AB 的最短距离是√3．故答案为：√3．（2）如图，将线段CK 绕点C 逆时针旋转90°得到CH ，连接HE ，延长HE 交AB 的延长线于J ．∵∠DCE ＝∠KCH ＝90°，∴∠DCK ＝∠ECH ，∵CD ＝CE ，CK ＝CH ，∴△CKD≌△CHE（SAS），∴∠CKD＝∠H＝90°，∵∠CKJ＝∠KCH＝∠H＝90°，∴四边形CKJH是矩形，∵CK＝CH，∴四边形CKJH是正方形，∴点E在直线HJ上运动，当点E与J重合时，BE的值最小，∵BK＝BC•cos60°＝1，∴KJ＝CK=√3，∴BJ＝KJ﹣BK=√3−1，∴BE的最小值为√3−1，故答案为：√3−1．13．（2021•路北区一模）如图，边长为1的正方形ABCD在等边长的正六边形外部做顺时针滚动，滚动一周回到初始位置时停止．第一次滚动时正方形旋转了150 °，点A在滚动过程中到出发点的最大距离是√3+√2．【分析】如图，点A的运动轨迹是图中红线．延长AE交红线于H，线段AH的长，即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离．【解答】解：第一次滚动正方形旋转了240°﹣90°＝150°．如图，点A的运动轨迹是图中红线．延长AE交红线于H，线段AH的长，即为点A在滚动过程中到出发点的最大距离．易知EH＝EA2=√12+12=√2，在△AEF中，∵AF＝EF＝1，∠AFE＝120°，∴AE=√3，∴AH＝AE+EH=√3+√2．∴点A在滚动过程中到出发点的最大距离为√3+√2．故答案为：150，√3+√214．（2021•迁西县模拟）如图，将长为6cm，宽为4cm的长方形ABCD先向右平移2cm，再向下平移1cm，得到长方形A′B′C′D′，则阴影部分的面积为24 cm2．【分析】利用平移的性质求出空白部分矩形的长，宽即可解决问题．【解答】解：由题意，空白部分是矩形，长为（6﹣2）cm，宽为（4﹣1）cm，∴阴影部分的面积＝6×4×2﹣2×（6﹣2）（4﹣1）＝24（cm2），故答案为：24．15．（2021•保定模拟）对平面上任意一点（a，b），定义f，g两种变换：f（a，b）＝（﹣a，b），如f（1，2）＝（﹣1，2）；g（a，b）＝（b，a），如g（1，2）＝（2，1），据此得g[f（5，﹣9）]＝（﹣9，﹣5）．【分析】根据f，g两种变换的定义解答即可．【解答】解：由题意得，f（5，﹣9）]＝（﹣5，﹣9），∴g[f（5，﹣9）]＝g（﹣5，﹣9）＝（﹣9，﹣5），故答案为：（﹣9，﹣5）．三．解答题（共3小题）16．（2021•河北模拟）已知在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝120°绕点A旋转一定的角度a （0°＜a＜180°）得到△AB′C′．（1）如图1，边B′C′交边AC于点D．①求证：BB′＝CC′；②当B′C′恰好垂直AC时，点B走过的路径长为43π；（2）如图2，边B′C′与边BC交于点P，AB′与BC交于点E，B′，C′与AC交于点F．若a＝90°，求∠APB的度数．【分析】（1）①由旋转的性质可得AB＝AB'，AC＝AC'，∠BAC＝∠B'AC'＝120°，可得∠BAB'＝∠CAC'，由“SAS”可证△ABB'≌△ACC'，可得BB'＝CC'；②由等腰三角形的性质可求∠B'AD＝∠C'AD＝60°，由弧长公式可求解；（2）由“AAS”可证△ABE≌△AC'F，△B'EP≌△CFP，可得AE＝AF，EP＝PF，由“SAS”可证△APE≌△APF，可得∠APF＝∠APB＝45°．【解答】（1）①证明：∵△ABC绕点A旋转一定的角度a（0°＜a＜180°）得到△AB′C′，∴AB＝AB'，AC＝AC'，∠BAC＝∠B'AC'＝120°，∴∠BAB'＝∠CAC'，∵AB＝AC，∴AB＝AB'＝AC＝AC'，∴△ABB '≌△ACC '（SAS ），∴BB '＝CC '；②∵B ′C ′垂直AC ，AB '＝AC '，∴∠B 'AD ＝∠C 'AD ＝60°，∴∠BAB '＝60°，∴点B 走过的路径长=60×π×4180=43π， 故答案为43π． （2）∵AB ＝AB '＝AC ＝AC '，∴∠B ＝∠B '＝∠C ＝∠C '＝30°，∵a ＝90°，∴∠BAE ＝∠C 'AF ＝90°，∴∠AEB ＝∠AFC ＝60°，∴△ABE ≌△AC 'F （AAS ），∴AE ＝AF ，∴B 'E ＝CF ，∵∠B 'EP ＝∠AEB ＝∠AFC '＝∠CFP ＝60°，∴∠B 'PE ＝∠CPF ＝90°＝∠BPC '，∠AEP ＝∠AFP ＝120°，∵∠C ＝∠B '，∠B 'PE ＝∠CPF ＝90°，B 'E ＝CF ，∴△B 'EP ≌△CFP （AAS ），∴EP ＝PF ，又∵∠AEP ＝∠AFP ＝120°，AE ＝AF ，∴△APE ≌△APF （SAS ），∴∠APF ＝∠APB ＝45°．17．（2021•海港区模拟）如图，C 、D 、E 三点在线段AB 上，且AC ＝CE ＝ED ＝DB ＝1，将线段AC 绕点C 按顺时针方向旋转α度（0＜α＜180），点A 的对应点为点A 1.同时将线段DB 绕点D 按逆时针方向旋转β度（0＜β＜360），点B 的对应点为点B 1，连接A 1D 和B 1C ．（1）若β＝α（如图1），A 1D 和B 1C 的交点为F ．①求证：△A 1CD ≌△B 1DC ．②求证：△FCD 为等腰三角形．（2）若β＝2α，当△A 1CD ≌△B 1DC 时，α＝ 120° ．【分析】（1）①通过SAS 即可证明△A 1CD ≌△B 1DC ；②由△A 1CD ≌△B 1DC ，得∠A 1DC ＝∠B 1CD ，从而△FCD 为等腰三角形；（2）由全等可知∠A 1CD ＝∠B 1DC ，得180°﹣α＝β﹣180°，再由β＝2α，代入即可．【解答】（1）证明：①∵β＝α即∠ACA 1＝∠BDB 1，∵∠ACA 1+∠A 1CD ＝∠BDB 1+∠B 1DC ＝180°，∴∠A 1CD ＝∠B 1DC ，在△A 1CD 和△B 1DC 中，{A 1C =B 1D∠A 1CD =∠B 1DC CD =DC，∴△A 1CD ≌△B 1DC （SAS ）；②∵△A 1CD ≌△B 1DC ，∴∠A 1DC ＝∠B 1CD ，∴FC ＝FD ，∴△FCD 为等腰三角形；（2）解：根据题意，若β＝2α，当△A 1CD ≌△B 1DC 时，如图，∴∠A1CD＝∠B1DC，∴180°﹣α＝β﹣180°，∵β＝2α，∴180°﹣α＝2α﹣180°，∴α＝120°，故答案为：120°．18．（2021•桥东区二模）如图，在等边△ABC中，AC＝6，将AC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜120°）到线段AM的位置，连接BM，BM与AC交于点N，点P为BM上一点，且BP：MP＝1：2，连接PC．（1）若α＝40°，则∠ABM＝40 °；（2）当α＝60°时，请判断△AMN与△CBN是否全等，并求此时PN的长度；（3）在AC绕点A逆时针旋转的过程中，PC的长是否存在最小值？若存在，则直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由旋转的性质和等边三角形的性质可知∠BAM＝100°，AB＝AM，从而得出∠ABM的度数；（2）通过AAS可证△AMN≌△CBN，得BN＝MN，从而证明AN⊥BM，可求出BM＝6√3，由BP：MP＝1：2，即可求出PN的长；（3）在AB上取一点O，使BO＝2，连接OP，OC，过点O作OH⊥BC于H，通过△OBP∽△ABM，得OP=13AM＝2，求出OC的长，利用三角形的三边关系即可解决问题．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC ＝60°，AC ＝AB ，∵∠MAN ＝α＝40°，∴∠BAM ＝∠BAC +∠MAN ＝60°+40°＝100°，∵AM ＝AC ，∴AM ＝AB ，∴∠ABM =12×(180°−100°)=40°， 故答案为：40；（2）∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°，AC ＝BC ＝AB ＝6，∵α＝∠NAM ＝60°，∴∠NAM ＝∠NCB ，∵AM ＝AC ，∴AM ＝BC ，在△AMN 和△CBN 中，{∠ANM =∠CNB∠NAM =∠NCB AM =CB，∴△AMN ≌△CBN （AAS ），∴BN ＝MN ，∴AN ⊥BM ，∵∠BAC ＝60°，∴∠ABN ＝90°﹣60°＝30°，∴AN =12AB =12×6=3，在Rt △ANB 中，BN =√AB 2−AN 2=√6−32=3√3，∴BM ＝2BN ＝6√3，∵BP MP =12，∴BP BM =13，∴BP =13BM =6√3×13=2√3，∴PN ＝BN ﹣BP ＝3√3−2√3=√3；（3）如图，在AB 上取一点O ，使BO ＝2，连接OP ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于H ，∵BO AB =BP BM =13，∠OBP ＝∠ABM ， ∴△OBP ∽△ABM ，∴OP =13AM ＝2，在Rt △OBH 中，BH ＝1，OH =√3，∴CH ＝5，由勾股定理得OC =√OH 2+CH 2=2√7，∵PC ≥OC ﹣OP ，∴PC 的最小值为2√7−2，∴PC 的长存在最小值，最小值为2√7−2．。
第十九章一次函数章节复习-2021-2022学年八年级数学下册教材配套教学课件(人教版)
②
①②③
增大而减小的是_____；图象在第一、二、三象限的是______.
④
③
4.已知一次函数y=-2x+3，当-2＜x≤3时，y的取值范围是________.
-3≤x＜7
5.点 P1 ( x1 ， y1 )， P2 ( x2 ， y2 )是一次函数y＝－2x－5图象上的两个点，
A
A.y随x的增大而减小
B.y随x的增大而增大
C.当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小
D.无论x如何变化，y不变
1
2.函数y=2x，y=-3x，y=- x的共同特点是（
2
D
）
A.图象位于同样的象限
B.y随x的增大而减小
C.y随x的增大而增大
D.图象都过原点
）
考点三 一次函数的图象与性质
D.图象必经过点（0，5）
【点睛】本题考查了正比例函数的性质：它是经过原点的一条直
线．当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k
＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小．
考点二 正比例函数的图象与性质
【例3】如图，三个正比例函数的图象对应的解析式为①y=ax，②y=bx，③
y=cx，则a、b、c的大小关系是（
表达式.
解：设一次函数的解析式是y=kx+b(k≠0)，
把A(-2，-3)，B(1,3)两点代入y=kx+b中得，
−2k+b=−3
ቊ
k+b=3
k=2
解得ቊ
b=1
则这个一次函数的解析式是y=2x+1.
2021年初三上册最新数学知识点归纳
初三上册最新数学知识点归纳想要学好数学的同学们，如果做好了知识点的归纳，会让你们有所收获呦。
初三上册数学知识点归纳(一)不等式的概念1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5、用数轴表示不等式的方法。
不等式基本性质1、不等式两边都加上或减去同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。
一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、解一元一次不等式的一般步骤：1去分母2去括号3移项4合并同类项5将x项的系数化为1.一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
2、几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
5、一元一次不等式组的解法1分别求出不等式组中各个不等式的解集。
2利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
6、不等式与不等式组不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。
人教版九年级数学下册全册中考知识点梳理(共27讲)
第一部分教材知识梳理·系统复习第一单元数与式第1讲实数第3讲分式第4讲二次根式第二单元方程(组)与不等式(组)第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程第8讲 一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例 1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子. （2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a 与b 的差不大于1”用不等式表示为a －b≤1. 2.不等式的基本性质 性质1：若a ＞b,则 a ±c >b ±c ；性质2：若a ＞b,c >0，则ac >bc ，a c >b c ；性质3：若a ＞b,c <0，则ac <bc ，a c <b c. 牢记不等式性质3，注意变号. 如：在不等式－2x ＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x ＜2.知识点二 ：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230m mx ++>是关于x 的一元一次不等式，则m 的值为-1. 4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x ≥a x ＞a x ≤a x ＜a知识点三 ：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示． （2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x ＜1-a的解集是x ＞-1，则a 的取值范围是a ＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a ＜b 解集 数轴表示 口诀x a x b ≥⎧⎨≥⎩ x ≥b 大大取大 x a x b≤⎧⎨≤⎩ x ≤a 小小取小 x a x b≥⎧⎨≤⎩ a ≤x ≤b 大小，小大中间找 x a x b≤⎧⎨≥⎩ 无解 大大，小小取不了 知识点四 ：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等； b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.第9讲 平面直角坐标系与函数知识点一：平面直角坐标系关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系． （2）几何意义：坐标平面内任意一点M 与有序实数对(x ，y )的关系是一一对应． 点的坐标先读横坐标(x 轴)，再读纵坐标(y 轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）： 点P (x,y)在第一象限⇔x ＞0，y ＞0； 点P (x,y)在第二象限⇔x ＜0，y ＞0； 点P （x,y ）在第三象限⇔x ＜0，y ＜0； 点P （x,y ）在第四象限⇔x ＞0，y ＜0.（2）坐标轴上点的坐标特征： ①在横轴上⇔y ＝0；②在纵轴上⇔x ＝0；③原点⇔x＝0，y ＝0.（3）各象限角平分线上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P （a ,b ）的对称点的坐标特征：①关于x 轴对称的点P 1的坐标为(a ，－b )；②关于y 轴对称的点P 2的坐标为(－a ，b )； ③关于原点对称的点P 3的坐标为(－a ，－b )．（5）点M （x,y ）平移的坐标特征：M （x,y ） M 1(x+a ,y ) M 2(x+a ,y+b )（1）坐标轴上的点不属于任何象限. （2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同. （3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x 轴、y 轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决. 3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x 轴，y 轴的距离：到x 轴的距离为|b |；)到y 轴的距离为|a |．（2）平行于x 轴，y 轴直线上的两点间的距离：点M 1(x 1,0)，M 2(x 2,0)之间的距离为|x 1－x 2|，点M 1(x 1，y )，M 2(x 2，y )间的距离为|x 1－x 2|；点M 1(0，y 1)，M 2(0，y 2)间的距离为|y 1－y 2|，点M 1(x ，y 1)，M 2(x ，y 2)间的距离为|y 1－y 2|．平行于x 轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y 轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函 数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就称x 是自变量，y 是x 的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=35x x +-中自变量的取值范围是x ≥-3且x ≠5. 5.函数的图象 （1）分析实际问题判断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点； ②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法： ①设时间为t （或线段长为x ），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y 随x 的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y 值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x 轴的线段.第10讲 一次函数知识点一 ：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念 （1）概念：一般来说，形如y ＝kx ＋b (k ≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数．（2）图象形状：一次函数y ＝kx ＋b 是一条经过点（0,b ）和（-b/k ,0）的直线.特别地，正比例函数y ＝kx 的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k ＝1时，函数y ＝kx ＋k －1是正比例函数,2.一次函数k ，b K ＞0， K ＞0， K ＞0，b=0 k <0， k <0， k <0，（1）一次函数y=kx+b 中，k 确定xy第四象限(＋，－)第三象限 (－，－)第二象限 (－，＋)第一象限 (＋，＋)–1–2–3123–1–2–3123O的性质 符号 b ＞0 b ＜0b >0b <0 b ＝0了倾斜方向和倾斜程度，b 确定了与y 轴交点的位置.（2）比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法. 例：已知函数y =－2x ＋b ，函数值y 随x 的增大而减小(填“增大”或“减小”)．大致 图象经过象限 一、二、三 一、三、四 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四 图象性质y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 3.一次函数与坐标轴交点坐标(1)交点坐标：求一次函数与x 轴的交点，只需令y=0,解出x 即可；求与y 轴的交点，只需令x=0,求出y 即可.故一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴的交点是⎝⎛⎭⎫－b k ，0，与y 轴的交点是(0，b )；(2)正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象恒过点(0，0)．例：一次函数y ＝x ＋2与x 轴交点的坐标是（-2,0），与y 轴交点的坐标是（0,2）. 知识点二 ：确定一次函数的表达式4.确定一次函数表达式的条件（1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为： ①设：设函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)； ②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； ③解：求出k 与b 的值，得到函数表达式． （2）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x 平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可.(1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可. (2)只要给出一次函数与y 轴交点坐标即可得出b 的值,b 值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2. 5.一次函数图象的平移 规律：①一次函数图象平移前后k 不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k 值相同.②若向上平移h 单位，则b 值增大h ；若向下平移h 单位，则b 值减小h. 例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2．知识点三 ：一次函数与方程（组）、不等式的关系6.一次函数与方程一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标.例：（1）已知关于x 的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b 与x 轴的交点坐标为（1,0）. （2）一次函数y=-3x+12中，当x＞4时，y 的值为负数．7.一次函数与方程组二元一次方程组 的解⇔两个一次函数y=k 1x+b 和y=k 2x+b 图象的交点坐标. 8.一次函数与不等式 （1）函数y=kx+b 的函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx+b ＞0的解集（2）函数y=kx+b 的函数值y ＜0时，自变量x 的取值范围就是不等式kx+b ＜0的解集知识点四 ：一次函数的实际应用9.一般步骤 （1）设出实际问题中的变量；（2）建立一次函数关系式； （3）利用待定系数法求出一次函数关系式； （4）确定自变量的取值范围； （5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义； （6）做答.一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.10.常见题型（1）求一次函数的解析式.（2）利用一次函数的性质解决方案问题.第11讲 反比例函数的图象和性质知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例y=k 2x+by=k 1x+b1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3x m+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．例：若(a，b)在反比例函数kyx=的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用7.一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲二次函数的图象与性质知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例13讲二次函数的应用第第四单元图形的初步认识与三角形第14讲平面图形与相交线、平行线第15讲一般三角形及其性质5. 三角形中内、外角与角平分线的规律总结如图①，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，则∠α=12∠BAC-∠CAE=12(180°-∠B-∠C ）-（90°-∠C ）=12(∠C-∠B ）； 如图②，BO 、CO 分别是∠ABC 、∠ACB 的平分线，则有∠O=12∠A+90°；如图③，BO 、CO 分别为∠ABC 、∠ACD 、∠OCD 的平分线，则∠O=12∠A ，∠O ’=12∠O ；如图④，BO 、CO 分别为∠CBD 、∠BCE 的平分线，则∠O=90°-12∠A.对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，会起到事半功倍的效果.知识点二 ：三角形全等的性质与判定6.全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角相等．(2)全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高相等．(3)全等三角形的周长等、面积等． 失分点警示：运用全等三角形的性质时，要注意找准对应边与对应角.7.三角形全等的判定一般三角形全等SSS （三边对应相等）SAS （两边和它们的夹角对应相等）ASA （两角和它们的夹角对应相等）AAS （两角和其中一个角的对边对应相等）失分点警示如图，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.直角三角形全等(1)斜边和一条直角边对应相等（HL ）(2)证明两个直角三角形全等同样可以用 SAS,ASA 和AAS.8.全等三角形的运用（1）利用全等证明角、边相等或求线段长、求角度：将特征的边或角放到两个全等的三角形中，通过证明全等得到结论.在寻求全等的条件时，注意公共角、公共边、对顶角等银行条件. （2）全等三角形中的辅助线的作法：①直接连接法：如图①，连接公共边，构造全等.②倍长中线法：用于证明线段的不等关系，如图②，由SAS 可得△ACD ≌△EBD ，则AC=BE.在△ABE 中，AB+BE ＞AE ，即AB+AC ＞2AD. ③截长补短法：适合证明线段的和差关系，如图③、④.例：如图，在△ABC 中，已知∠1=∠2，BE=CD ，AB=5，AE=2，则CE=3.第16讲 等腰、等边及直角三角形知识点一：等腰和等边三角形关键点拨与对应举例1.等腰三角形（1）性质①等边对等角：两腰相等，底角相等，即AB ＝AC ∠B ＝∠C ； ②三线合一：顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合;③对称性：等腰三角形是轴对称图形，直线AD 是对称轴. （2）判定①定义：有两边相等的三角形是等腰三角形；②等角对等边：即若∠B ＝∠C ，则△ABC 是等腰三角形.（1）三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成立. 如：如左图，已知AD ⊥BC,D 为BC 的中点，则三角形的形状是等腰三角形.失分点警示：当等腰三角形的腰和底不明确时，需分类讨论. 如若等腰三角形ABC 的一个内角为30°，则另外两个角的度数为30°、120°或75°、75°.2.等边三角形 （1）性质①边角关系：三边相等，三角都相等且都等于60°. 即AB ＝BC ＝AC ，∠BAC ＝∠B ＝∠C ＝60°； ②对称性：等边三角形是轴对称图形，三条高线(或角平分线或中线)所在的直线是对称轴. （2）判定①定义：三边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等（均为60°）的三角形是等边三角形；③任一内角为60°的等腰三角形是等边三角形.即若AB ＝AC ，且∠B ＝60°，则△ABC 是等边三角形. （1）等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（2）等边三角形有一个特殊的角60°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即BD=1/2AB.例：△ABC 中，∠B=60°，AB=AC ，BC=3，则△ABC 的周长为9.知识点二 ：角平分线和垂直平分线3.角平分线 （1）性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．即若∠1 ＝∠2，PA ⊥OA ，PB ⊥OB ，则PA ＝PB. （2）判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的角平分线上．例：如图，△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB 的垂直平分线交AC 于D ，交AB 于E ，CD=2，则AC=6.4.垂直平分线图形 （1）性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两端点距离相等．即若OP 垂直且平分AB ，则PA ＝PB.（2）判定：到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 知识点三：直角三角形的判定与性质5.直角三角形的性质(1)两锐角互余.即∠A ＋∠B ＝90°； (2) 30°角所对的直角边等于斜边的一半.即若∠B ＝30°则AC ＝12AB ；(3)斜边上的中线长等于斜边长的一半．即若CD 是中线，则CD ＝12AB. (4)勾股定理：两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方．即 a 2＋b 2＝c 2 .（1）直角三角形的面积S=1/2ch=1/2ab(其中a,b 为直角边，c 为斜边，h 是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题.（2）已知两边，利用勾股定理求长度，若斜边不明确，应分类讨论.（3）在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决.6.直角三角形的判定 (1) 有一个角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C ＝90°，则△ABC 是Rt △； (2) 如果三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形．即若AD ＝BD ＝CD ，则△ABC 是Rt △(3) 勾股定理的逆定理：若a 2＋b 2＝c 2，则△ABC 是Rt △.第17讲 相似三角形十六、 知识清单梳理知识点一：比例线段关键点拨与对应举例21P COBAPC OBAD ABCa bc DABCa bc1. 比例线段 在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a cb d=，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段．列比例等式时，注意四条线段的大小顺序，防止出现比例混乱.2.比例的基本性质(1)基本性质：a cb d=⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0）(2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c dd ±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a cb d =＝…＝mn＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔ ......a c mb d n++++++＝k .（b 、d 、···、n ≠0）已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中 的一个表示出其他的字母，再代入求解.如下题可设a=3k,b=5k ,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=3/5b 代入求解. 例：若35a b =，则a b b+=85.3.平行线分线段成比例定理（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DEBC EF=. 利用平行线所截线段成比例求线段长或线段比时，注意根据图形列出比例等式，灵活运用比例基本性质求解. 例：如图，已知D ，E 分别是△ABC 的边BC 和AC 上的点，AE=2，CE=3，要使DE ∥AB ，那么BC ：CD 应等于53.（2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例.即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OBOD OC =. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似．如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC.4.黄金分割点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果ACAB＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．例：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为5(5－1)cm ．知识点二 ：相似三角形的性质与判定5.相似三角形的判定(1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA).如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF.判定三角形相似的思路：①条件中若有平行 线，可用平行线找出相等的角而判定；②条 件中若有一对等角，可再找一对等角或再找 夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中 若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件 中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证 明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有 等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等 或找底、腰对应成比例.(2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC ABDF DE=，则△ABC ∽△DEF.(3) 三边对应成比例的两个三角形相似．如图，若AB AC BCDE DF EF==，则△ABC ∽△DEF. 6.相似三角形的性质(1)对应角相等，对应边成比例．(2)周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方． (3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比．例：(1)已知△ABC∽△DEF，△ABC 的周长为3，△DEF 的周长为2，则△ABC 与△DEF 的面积之比为9：4.(2) 如图，DE ∥BC ， AF ⊥BC,已知S △ADE:S △ABC=1:4，则AF:AG =1：2.F E D CBA l 5l 4l 3l 2l 1ODCBAED CBAFE DC BAFE DC B AFE DC B A7.相似三角形的基本模型（1）熟悉利用利用相似求解问题的基本图形，可以迅速找到解题思路，事半功倍.（2）证明等积式或者比例式的一般方法：经常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边.然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果.第18讲解直角三角形知识点一：锐角三角函数的定义关键点拨与对应举例1.锐角三角函数正弦: sin A＝∠A的对边斜边＝ac余弦: cos A＝∠A的邻边斜边＝bc正切: tan A＝∠A的对边∠A的邻边＝ab.根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.2.特殊角的三角函数值度数三角函数30°45°60°sinA122232 cosA322212 tanA331 3知识点二：解直角三角形3.解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则c=10,b=5.4.解直角三角形的常用关系(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2；(2)锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；(3)边角之间的关系：sin A＝=cosB=ac，cos A＝sinB=bc，tan A＝ab.知识点三：解直角三角形的应用5.仰角、俯角、坡度、坡角和方向(1)仰、俯角：视线在水平线上方的角叫做仰角.视线在水平线下方的角叫做俯角．（如图①）(2)坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或者叫做坡比)，用字母i表示．坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用α表示，则有i＝tanα. （如图②）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：（1）叠合式（2）背靠式角(3)方向角：平面上，通过观察点Ο作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从点O 出发的视线与水平线或铅垂线所夹的角，叫做观测的方向角．（如图③）解题方法：这两种模型种都有一条公共的直角边，解题时，往往通过这条边为中介在两个三角形中依次求边，或通过公共边相等，列方程求解.6.解直角三角形实际应用的一般步骤 (1)弄清题中名词、术语，根据题意画出图形，建立数学模型； (2)将条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形问题；(3)选择合适的边角关系式，使运算简便、准确；(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，从而得到问题的解．第五单元 四边形第19讲 多边形与平行四边形知识点一：多边形关键点拨与对应举例 1.多边形的相关概念 （1）定义：在平面内，由一些段线首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形．（2）对角线：从n 边形的一个顶点可以引(n －3)条对角线，并且这些对角线把多边形分成了(n －2)个三角形；n 边形对角线条数为()32n n -． 多边形中求度数时，灵活选择公式求度数，解决多边形内角和问题时，多数列方程求解. 例：(1)若一个多边形的内角和为1440°，则这个多边形的边数为10．(2)从多边形的一个顶点出发引对角线，可以把这个多边形分割成7个三角形，则该多边形为九边形．2.多边形的内角和、外角和 ( 1 ) 内角和：n 边形内角和公式为(n －2)·180°（2）外角和：任意多边形的外角和为360°.3.正多边形（1）定义：各边相等，各角也相等的多边形.（2）正n 边形的每个内角为()2180n n -⋅，每一个外角为360°/n.( 3 ) 正n 边形有n 条对称轴.（4）对于正n 边形，当n 为奇数时，是轴对称图形；当n 为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.知识点二 ：平行四边形的性质4.平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形用“□”表示.利用平行四边形的性质解题时的一些常用到的结论和方法： （1）平行四边形相邻两边之和等于周长的一半. （2）平行四边形中有相等的边、角和平行关系，所以经常需结合三角形全等来解题. （3）过平行四边形对5.平行四边形的性质（1） 边：两组对边分别平行且相等.即AB ∥CD 且AB ＝CD ，BC ∥AD 且AD ＝BC.（2）角：对角相等，邻角互补.即∠BAD ＝∠BCD ，∠ABC ＝∠ADC ， ∠ABC ＋∠BCD ＝180°，∠BAD ＋∠ADC ＝180°.（3）对角线：互相平分.即OA ＝OC ，OB ＝OD（4）对称性：中心对称但不是轴对称.ODCBA。
2021年九年级数学中考复习——几何专题：全等三角形性质与判定(二)
2021年九年级数学中考复习——几何专题：全等三角形性质与判定（二）1．已知：如图，E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D，连接CD．求证：（1）OC＝OD；（2）OE是CD的垂直平分线．2．补充完成下列推理过程：．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，且BD＝CE，连接AD，DE，若∠ADE＝∠B．求证：AD＝DE．证明：∵AB＝AC∴∠B＝∠C（）∵∠ADC＝∠B+∠（）且∠ADE＝∠B∴∠ADC＝∠ADE+∠又∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE∴∠BAD＝∠CDE在△BAD和△CDE中．∠B＝∠C∠BAD＝∠CDE＝∴△BAD≌△CDE（）∴AD＝DE（）3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，过A作AC的垂线交∠BCA的角分线于点D．CD交AB于点F．（1）求证：∠ADF＝∠AFD；（2）如图2，DE⊥AF，若AC+BC＝16，DE＝4，求BC的长．4．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，连接BD，∠ABD＝45°，且∠ADB＝∠CDB，过A点作AE⊥BD于点E，交BC于点F，求证：AD＝BF．5．如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD＝AB，AE∥BC，∠BAD＝∠CAE，连接DE交AC于点F．（1）若∠B＝70°，求∠C的度数；（2）若AE＝AC，AD平分∠BDE是否成立？请说明理由．6．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，（1）求证：AD平分∠BAC；（2）已知AC＝16，DE＝4，求△ADC的面积．7．（1）如图（1），已知CE与AB交于点E，AC＝BC，∠1＝∠2．求证：△ACE≌△BCE．（2）如图（2），已知CD的延长线与AB交于点E，AD＝BC，∠3＝∠4．探究AE与BE的数量关系，并说明理由．8．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD＝CF，AB＝DE，BC＝EF．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠A＝60°，∠B＝80°，求∠F的度数．9．把两个含有45°角的直角三角板如图放置，点D在BC上，连结BE、AD，且AD的延长线交BE于点F．（1）求证：AF⊥BE；（2）若BD＝2，AE＝8，求EC，AC的长．10．阅读材料并完成习题：在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝2cm，求四边形ABCD的面积．解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝2，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC ＝∠BAD ＝90°，得S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ADC ＝S ABC +S ABE ＝S △AEC ，这样，四边形ABCD 的面积就转化为等腰直角三角形EAC 面积．（1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD 的面积为 cm 2．（2）请你用上面学到的方法完成下面的习题．如图2，已知FG ＝FN ＝HM ＝GH +MN ＝2cm ，∠G ＝∠N ＝90°，求五边形FGHMN 的面积．参考答案1．证明：（1）∵OE 平分∠AOB ，∴∠COE ＝∠DOE ，∵EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠OCE ＝∠ODE ＝90°，又∵OE＝OE，∴△OCE≌△ODE（AAS），∴OC＝OD；（2）∵△OCE≌△ODE，∴OC＝OD，CE＝DE，∴OE是CD的垂直平分线．2．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C（等边对等角），∵∠ADC＝∠B+∠BAD（三角形的外角性质），且∠ADE＝∠B，∴∠ADC＝∠ADE+∠BAD，又∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE，∴∠BAD＝∠CDE，在△BAD和△CDE中．，∴△BAD≌△CDE（AAS）∴AD＝DE（全等三角形的对应边相等）；故答案为：等边对等角；BAD，三角形的外角性质；BAD；BE，CE；AAS；全等三角形的对应边相等．3．证明：（1）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCF，∵DA⊥AC，∴∠DAC＝∠B＝90°，∴∠ACD+∠D＝90°，∠BCF+∠CFB＝90°，∴∠D＝∠CFB，∴∠ADF＝∠CFB＝∠AFD；（2）如图，过点D作DH⊥BC，交CB的延长线于H，在△ACD和△HCD中，，∴△ACD≌△HCD（AAS），∴AC＝CH，∵∠ABC＝∠H＝90°，DE⊥AB，∠ABH＝90°，∴AB∥DH，DE∥BH，∴DE＝BH＝4，∵AC+BC＝16，∴CH+BC＝BH+BC+BC＝4+2BC＝16，∴BC＝6．4．证明：∵AE⊥BD，∴∠AEB＝∠AED＝∠BEF＝90°，∵∠ABD＝45°，∴∠BAE＝45°＝∠ABE，∴AE＝BE，∵∠C＝90°，∠BEF＝90°，∴∠BDC+∠DBC＝90°，∠BFE+∠DBC＝90°，∴∠BFE＝∠BDC，∵∠BDC＝∠ADB，∴∠ADB＝∠BFE，即∠ADE＝∠BFE，在△AED和△BEF中，∴△AED≌△BEF（AAS），∴AD＝BF．5．解：（1）∵∠B＝70°，AB＝AD，∴∠ADB＝∠B＝70°，∵∠B+∠BAD+∠ADB＝180°，∴∠BAD＝40°，∵∠CAE＝∠BAD，∴∠CAE＝40°，∵AE∥BC，∴∠C＝∠CAE＝40°；（2）AD平分∠BDE，理由是：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠CAD＝∠CAE+∠CAD，即∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）∴∠B＝∠ADE，∵∠B＝∠ADB，∴∠ADE＝∠ADB，即AD平分∠BDE．6．（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BED和Rt△CFD中∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴DE＝DF，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵DE＝DF，DE＝4，∴DF＝4，∵AC＝16，∴△ADC的面积是＝＝32．7．（1）证明：在△ACE和△BCE中，∵，∴△ACE≌△BCE（SAS）；（2）AE＝BE．理由如下：在CE上截取CF＝DE，在△ADE和△BCF中，∵，∴△ADE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠AED＝∠CFB，∵∠AED+∠BEF＝180°，∠CFB+∠EFB＝180°，∴∠BEF＝∠EFB，∴BE＝BF，∴AE＝BE．8．证明：（1）∵AC＝AD+DC，DF＝DC+CF，且AD＝CF，∴AC＝DF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS）．（2）由（1）可知，∠F＝∠ACB，∵∠A＝60°，∠B＝80°，∴∠ACB＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（60°+80°）＝40°，∴∠F＝∠ACB＝40°．9．证明：（1）∵△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∴∠ECD＝∠BCA＝0°，CE＝CD，BC＝AC，∴在△ECB和△DCA中，，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴∠BEC＝∠ADC，又∠ADC+∠DAC＝90°，∴∠BEC+∠DAC＝90°，∴∠AFE＝90°，即AF⊥BE．（2）解：∵AE＝8，∴EC+AC＝8①，∵DB＝2，∴BC﹣DC＝2．∵BC＝AC，EC＝DC，∴AC﹣EC＝2②，∴由①、②得：EC＝3，AC＝5．10．解：（1）由题意可得，AE＝AC＝2，∠EAC＝90°，则△EAC的面积是：＝2（cm2），即四边形ABCD的面积为2cm2，故答案为：2；（2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH，在△GFH和△NFO中，，∴△GFH≌△NFO（SAS），∴FH＝FO，∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO，∴HM＝OM，在△HFM和△OFM中，。
(2021年整理)中考数学知识点总结(推荐完整)
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中考数学总复习资料代数部分第一章：实数基础知识点:一、实数的分类:⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成qp 的形式,其中p 、q 是互质的整数,这是有理数的重要特征. 2、无理数：初中遇到的无理数有三种:开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1。
101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。
3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。
2021年中考必考数学知识点归纳
中考数学知识点总结第一章 实数考点一、实数概念及分类 （3分）1、实数分类 正有理数有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽数，如32,7等；（2）有特定意义数，如圆周率π，或化简后具有π数，如3π+8等； （3）有特定构造数，如0.…等； （4）某些三角函数，如sin60o 等考点二、实数倒数、相反数和绝对值 （3分）1、相反数实数与它相反数时一对数（只有符号不同两个数叫做互为相反数，零相反数是零），从数轴上看，互为相反数两个数所相应点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。
2、绝对值一种数绝对值就是表达这个数点与原点距离，|a|≥0。
零绝对值时它自身，也可当作它相反数，若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0。
正数不不大于零，负数不大于零，正数不不大于一切负数，两个负数，绝对值大反而小。
3、倒数如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。
倒数等于自身数是1和-1。
零没有倒数。
考点三、平方根、算数平方根和立方根 （3—10分）1、平方根如果一种数平方等于a ，那么这个数就叫做a 平方根（或二次方跟）。
一种数有两个平方根，她们互为相反数；零平方根是零；负数没有平方根。
正数a 平方根记做“a ±”。
2、算术平方根正数a 正平方根叫做a 算术平方根，记作“a ”。
正数和零算术平方根都只有一种，零算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 双重非负性：-a （a <0） a ≥03、立方根如果一种数立方等于a ，那么这个数就叫做a 立方根（或a 三次方根）。
一种正数有一种正立方根；一种负数有一种负立方根；零立方根是零。
注意：33a a -=-，这阐明三次根号内负号可以移到根号外面。
专题19分式方程-2021年中考数学考点总动员系列(原卷版)
中考数学备考之黄金考点聚焦聚焦考点☆温习理解1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
2、分式方程的一般方法解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。
它的一般解法是：（1）去分母，方程两边都乘以最简公分母（2）解所得的整式方程（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。
3、分式方程的特殊解法换元法：换元法是中学数学中的一个重要的数学思想，其应用非常广泛，当分式方程具有某种特殊形式，一般的去分母不易解决时，可考虑用换元法。
名师点睛☆典例分类考点典例一、判断方程为分式方程【例1】下列各式中，是分式方程的是（）A．x+y=5 B．22253x y+-=C．165x=+D．1x【答案】C．【解析】试题分析：根据分式方程的定义：分母里含有字母的方程叫做分式方程进行判断．试题解析：A、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；B、方程分母中不含未知数，故不是分式方程；C、方程分母中含未知数x，故是分式方程．D、不是方程，是分式．考点：分式方程的定义．【点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是依据分式方程的定义，也就是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．【举一反三】 下列各式中为分式方程的是（ ）A ．x+1xB ．11123x x =+- C ．253x += D ．10x π+= 考点典例二、分式方程的解及增根【例2】（2015凉山州）分式方程233x x=-的解是 ． 【答案】9x =．【解析】试题分析：方程的两边同乘(3)x x -，得：23(3)x x =-，解得9x =．检验：把9x =代入(3)540x x -=≠．∴原方程的解为：9x =．故答案为：9x =．考点：解分式方程．【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．【举一反三】1. （2016广东广州第14题）方程12＝2xx －3的解是 . 2.若分式方程211x m x x-=--有增根，则这个增根是 考点典例三、解分式方程【例3】（2016浙江台州第18题）解方程：2717=---xx x ． 【答案】x =15．【解析】试题解析：去分母得：x +1=2x ﹣14，解得：x =15，经检验x =15是分式方程的解．考点：解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．【举一反三】1. （2016海南省第7题）解分式方程1x －1+1=0，正确的结果是（ ） A ．x=0 B ．x=1 C ．x=2 D ．无解2. （2016内蒙古呼伦贝尔市、兴安盟第19题）解方程：233011x x x +-=--． 考点典例四、分式方程的应用【例3】（2016湖南岳阳第20题）我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．【答案】3.【解析】试题分析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米，服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米，根据学校与君山岛距离为24千米，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，可列方程求解．试题解析：设学生步行的平均速度是每小时x 千米．服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x 千米，根据题意：6.35.22424=-xx ， 解得：x=3，经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．答：学生步行的平均速度是每小时3千米．考点：分式方程的应用.【点睛】此题考查分式方程的应用，找出题目蕴含的数量关系，列出方程解决问题．1. （2016山东淄博第16题）某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x 个物件，根据题意列出的方程是 ．2. （2016山东滨州第14题）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲是技术能手每小时比乙多做3个，甲做30个所用的时间与乙做20个所用的时间相等，那么甲每小时做 个零件．课时作业☆能力提升一、选择题1. （2016湖北宜昌第8题）分式方程=1的解为（ ）A ．x=﹣1B ．x=C ．x=1D ．x=2 2. （2016湖北十堰第7题）用换元法解方程x x 122-﹣122-x x =3时，设xx 122-=y ，则原方程可化为（ ） A ．y=y 1﹣3=0 B ．y ﹣y 4﹣3=0 C ．y ﹣y1+3=0 D ．y ﹣y 4+3=0 3. (2016山东潍坊第10题)若关于x 的方程333x m m x x ++--=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ） A ．m ＜92B ．m ＜92且m ≠C ．m ＞﹣D ．m ＞﹣且m ≠﹣344. （2016新疆第9题）两个小组同时从甲地出发，匀速步行到乙地，甲乙两地相距7500米，第一组的步行速度是第二组的1.2倍，并且比第二组早15分钟到达乙地．设第二组的步行速度为x 千米/小时，根据题意可列方程是（ ）A ． 152.175007500=-x xB ．412.175007500=-x xC ．152.15.75.7=-x x D ．412.15.75.7=-x x A ．1m =- B ．0m = C ．3m = D ．0m =或=3m6. （2016青海第18题）穿越青海境内的兰新高铁极大地改善了沿线人民的经济文化生活，该铁路沿线甲，乙两城市相距480km ，乘坐高铁列车比乘坐普通快车能提前4h 到达，已知高铁列车的平均行驶速度比普通列车快160km/h ，设普通列车的平均行驶速度为xkm/h ，依题意，下面所列方程正确的是（ ）A.4804804160x x -=+B.4804804160x x -=+C.4804804160x x -=- 7. （2016辽宁葫芦岛第8题）A ，B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运40千克，A 型机器人搬运1200千克所用时间与B 型机器人搬运800千克所用时间相等．设B 型机器人每小时搬运化工原料x 千克，根据题意可列方程为（ ）A.120080040x x =+B.120080040x x =-C.120080040x x =-D.120080040x x =+二、填空题8. （2016江苏苏州第12题）当x= 时，分式x －22x ＋5的值为0．9. （2016贵州铜仁第13题）方程5302x x-=-的解为 ． 10. （2016江苏盐城第15题）方程21x x -=的正根为 ． 三、解答题11．（2016浙江台州第18题）解方程：2717=---xx x ． 12. （2016福建南平第18题）解分式方程：341x x =+． 13. （2016湖南岳阳第20题）我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．14. （2016山东威海第20题）某校进行期末体育达标测试，甲、乙两班的学生数相同，甲班有48人达标，乙班有45人达标，甲班的达标率比乙班高6%，求乙班的达标率．15.（2016新疆生产建设兵团第17题）某学校为绿化环境，计划种植600棵树，实际劳动中每小时植树的数量比原计划多20%，结果提前2小时完成任务，求原计划每小时种植多少棵树？。
2021年九年级中考数学考点复习专题-【实际问题与一元二次方程】 复习专练
2021中考数学复习专题【实际问题与一元二次方程】复习专练1．某社区“百果园”水果店一直销售的是沙漠蜜瓜，1月份新引进一种金美人蜜瓜，其中金美人蜜瓜的销售单价是沙漠蜜瓜的倍，1月份，沙漠蜜瓜和金美人蜜瓜总计销售400kg，金美人蜜瓜的销售额为8640元，沙漠蜜瓜的销售额为4320元．（1）求金美人蜜瓜，沙漠蜜瓜的销售单价各为多少；（2）受疫情影响，水果销量急剧下降，于是百果园在4月推出“心享会员”活动，充值金额后不仅返还现金券，所有水果还可享受降价a%的折扣，非心享会员则需按原价购买，就金美人蜜瓜而言，4月销量比1月销量增加了a%，其中遇过心享会员购买的销量占4月金美人蜜瓜总销量的，不计会员充值费用以及返还的现金券，4月金美人蜜瓜的销售总额比1月金美人蜜瓜的销售总额提高了a%，求a的值．2．水蜜桃，因其鲜嫩多汁，香甜可口深受广大市民喜爱．近期是水蜜桃大量上市的日子，某水果店以12元每千克购进水蜜桃100千克进行销售．若在运输过程中质量损耗10%，其他费用忽略不计．（1）问每千克水蜜桃售价至少定为多少元，才能使销售完后的利润率不低于20%？（2）因水蜜桃销售情况良好，很快一抢而空，水果店本周又购进了第二批水蜜桃400千克，第二批水蜜桃的购进价格比第一批上涨了a%，由于天气原因，第二批水蜜桃在运输过程中质量损耗提高到a%，所以水果商决定提高售价，比第一批的最低售价提高a元，这样，第二批水蜜桃销售完后比第一批水蜜桃多赚1480元，求a的值．3．为了满足师生的阅读需求，某校图书馆藏书总量由2017年5万册增加到2019年7.2万册．（1）求该校图书馆这两年藏书总量的年均增长率；（2）经统计知：在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书总量的年均增长率，2019年中外古典名著册数占藏书总量的10%，而在2017年中外古典名著册数仅占当年藏书总量的m%，请求出m的值．4．某小区物业一直用洗涤剂和消毒水对小区进行清洁消毒，已知1桶洗涤剂和4桶消毒水的价格为150元，2桶洗涤剂和2桶消毒水的价格为140元，该小区原来一周会消耗2桶洗涤剂和4桶消毒水．（1）求1桶洗涤剂和1桶消毒水的售价各是多少元？（2）新冠疫情期间物业加大了小区清洁消毒力度，现在该小区每周消耗洗涤剂的数量在原来一周的基础上增加了2m%，每周消耗的消毒水数量比原来一周消耗的多桶．疫情期间洗涤剂价格上涨了m%，因异地购买每桶还需另付邮费5元；每桶消毒水的价格上涨了50%，也因异地购买每桶还需另付邮费10元，现在该小区疫情期间每周购买洗涤剂和消毒水的费用（含邮费）比原来每周费用的4倍还少m元，求m的值．5．如图，在长为50米，宽为30米的矩形地面上修建三条同样宽的道路，余下部分种植草坪，草坪总面积为1392平方米．（1）求道路宽多少米；（2）现需要A、B两种类型的步道砖，A种类型的步道砖每平方米原价300元，现打八折出售，B种类型的步道板每平方米价格是200元，若铺路费用不高于23600元，（不考虑步道砖损失的情况下）最多选A种类型步道砖多少平方米？6．“过雨荷花满院香，沉李浮瓜冰雪凉”，炎热的夏季正是各种水果大量上市的季节，香果园大型水果超市的江安李子和山东烟台的红富士苹果很受消费者的欢迎，苹果售价24元/千克，李子售价16元/千克．（1）若第一周苹果的平均销量比李子的平均销量多200千克，且这两种水果的总销售额为12800元，则第一周销售苹果多少千克？（2）该水果超市第一周按照（1）中苹果和李子的销量销售这两种水果，并决定第二周继续销售这两种水果，第二周苹果售价降低了a%，销量比第一周增加了a%，李子的售价保持不变，销量比第一周增加了a%，结果这两种水果第二周的总销售额比第一周增加了a%，求a的值．7．为了开展阳光体育运动，坚持让中小学生“每天锻炼一小时”，体育局做了一个随机调查，调查内容是：每天锻炼是否超过1h及锻炼未超过1h的原因．他们随机调查了340名学生，用所得的数据制成了扇形统计图和频数分布直方图（图1、图2）．根据图示，请回答以下问题：（1）“没时间”的人数是，并补全频数分布直方图；（2）2015年全市中小学生约18万人，按此调查，可以估计2015年全市中小学生每天锻炼超过1h的约有万人；（3）在（2）的条件下，如果计划2017年全市中小学生每天锻炼未超过1h的人数减少到8.64万人，求2015年至2017年锻炼未超过1h人数的年平均降低的百分率．8．有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm，面积为ym2．（1）用含有x的代数式表示y．（2）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？（3）能围成面积为72m2的花圃吗！如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．9．某水果超市第一次花费2200元购进甲、乙两种水果共350千克．已知甲种水果进价每千克5元，售价每千克10元；乙种水果进价每千克8元，售价每千克12元．（1）第一次购进的甲、乙两种水果各多少千克？（2）由于第一次购进的水果很快销售完毕，超市决定再次购进甲、乙两种水果，它们的进价不变．若要本次购进的水果销售完毕后获得利润2090元，甲种水果进货量在第一次进货量的基础上增加了2m%，售价比第一次提高了m%；乙种水果的进货量为100千克，售价不变．求m的值．10．“一带一路”为我们打开了交流、合作的大门，也为沿线各国在商贸等领域提供了更多的便捷，2018年11月5日至10日，首届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）举办，据哈外贸商会发布消息，博览会期间，哈Paseka公司与重庆某国际贸易公司签订了供应蜂蜜合同：哈Paseka 公司于2019年6月前分期分批向重庆某国际贸易公司供给优质蜂蜜共3000万件，该公司顺应新时代购物流，打算分线上和线下两种方式销售．（1）若计划线上销售量不低于线下销售量的25%，求该公司计划在线下销售量最多为多少万件？（2）该公司在12月上旬销售优质蜂蜜共240万件，且线上线下销售单件均为100元/件．12月中旬决定线上销售单价下调m%，线下销售单价不变，在这种情况下，12月中旬销售总量比上旬增加了m%，且中旬线上销售量占中旬总销量的，结果中旬销售总金额比上旬销售总金额提高了m%．求m的值．参考答案1．解：（1）设沙漠蜜瓜的销售单价为x元，则金美人蜜瓜的销售单价为x元，依题意，得：+＝400，解得：x＝27，经检验，x＝27是原方程的解，且符合题意，∴x＝36．答：金美人蜜瓜的销售单价为36元，沙漠蜜瓜的销售单价为27元．（2）1月份金美人蜜瓜的销售数量为8640÷36＝240（千克）．依题意，得：36（1﹣a%）××240（1+a%）+36×（1﹣）×240（1+a%）＝8640（1+a%），整理，得：a2﹣20a＝0，解得：a1＝20，a2＝0（不合题意，舍去）．答：a的值为20．2．解：（1）设每千克水蜜桃售价为x元，依题意，得：100×（1﹣10%）x﹣12×100≥12×100×20%，解得：x≥16．答：每千克水蜜桃售价至少定为16元，才能使销售完后的利润率不低于20%．（2）依题意，得：（16+a）×400（1﹣a%）﹣12（1+a%）×400＝12×100×20%+1480，整理，得：a2﹣80a+1200＝0，解得：a1＝20，a2＝60，又∵a%＞10%，∴a＞40，∴a＝60．答：a的值为60．3．解：（1）设该校图书馆藏书总量从2017年至2019年的年平均增长率为x，由题意得：5（1+x）2＝7.2，解得：x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），∴x＝0.2＝20%，答：该校图书馆这两年藏书总量的年均增长率为20%．（2）由题意知：（7.2﹣5）×20%+5×m%＝7.2×10%，解得：m＝5.6．4．解：（1）设1桶洗涤剂的售价为x元，1桶消毒水的售价为y元，依题意，得：，解得：．答：1桶洗涤剂的售价为元，1桶消毒水的售价为元．（2）依题意，得：[（1+m%）+5]×2（1+2m%）+[（1+50%）+10]×（4+）＝4×（×2+×4）﹣m，整理，得：13m2+6600﹣357500＝0，解得：m1＝，m2＝（不合题意，舍去）．答：m的值为．5．解：（1）设道路宽x米，根据题意得：（50﹣2x）（30﹣x）＝1392，整理得：x2﹣55x+54＝0，解得：x＝1或x＝54（不合题意，舍去），故道路宽1米．（2）设选A种类型步道砖y平方米，根据题意得：300×0.8y+200×[50×1+（30﹣1）×1×2﹣y]≤23600，解得：y≤50．故最多选A种类型步道砖50平方米．6．解：（1）设第一周李子销售量为x千克．则苹果的平均销量为y千克，根据题意得：，解得：，答：第一周销售苹果400千克；（2）根据题意得：24（1﹣a%）×400（1+a%）+16×200（1+a%）＝12800（1+a%），∴a1＝60，a2＝0（舍去）．答：a的值为60．7．解：（1）∵随机调查了340名学生，∴锻炼未超过1h的中小学生有340×＝255人，又∵不喜欢的人数和其他的人数分别是120和20，∴“没时间”的人数为255﹣120﹣20＝115人，频数分布直方图如图所示：（2）根据扇形统计图知道：每天锻炼超过1h的百分比为18×＝4.5万人．故估计2015年全市中小学生每天锻炼超过1h的约有4.5万人；（3）设2015年至2017年锻炼未超过1h人数的年平均降低的百分率为x．由题意得：18×0.75（1﹣x）2＝8.64，解得x＝0.2，x＝1.8（舍去）．答：2015年至2017年锻炼未超过1h人数的年平均降低的百分率为20%．故答案为：115；4.5．8．解：（1）由题意得：y＝x（30﹣3x），即y＝﹣3x2+30x．（2）当y＝63时，﹣3x2+30x＝63．解此方程得x1＝7，x2＝3．当x＝7时，30﹣3x＝9＜10，符合题意；当x＝3时，30﹣3x＝21＞10，不符合题意，舍去；∴当AB的长为7m时，花圃的面积为63m2．（3）不能围成面积为72m2的花圃．理由如下：如果y＝72，那么﹣3x2+30x＝72，整理，得x2﹣10x+24＝0，解此方程得x1＝4，x2＝6，当x＝4时，30﹣3x＝18，不合题意舍去；当x＝6时，30﹣3x＝12，不合题意舍去；故不能围成面积为72m2的花圃．9．解：（1）设第一次购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，依题意，得：，解得：．答：第一次购进甲种水果200千克，购进乙种水果150千克．（2）依题意，得：[10（1+m%）﹣5]×200（1+2m%）+（12﹣8）×100＝2090，整理，得：0.4m2+40m﹣690＝0，解得：m1＝15，m2＝﹣115（不合题意，舍去）．答：m的值为15．10．解：（1）设该公司计划在线下销售量为x万件，则3000﹣x≥25%x解得：x≤2400∴该公司计划在线下销售量最多为2400万件；（2）由题意得：×240（1+m%）×100（1﹣m%）+（1﹣）×240（1+m%）×100＝240×100（1+m%）化简得：m2﹣25m＝0解得：m1＝0（不合题意，舍去），m2＝25∴m的值为25．。
01选择题-2021中考数学真题知识点分类汇编-锐角三角形(含答案,30题)
01选择题-2021中考数学真题知识点分类汇编-锐角三角形（含答案，30题）一．锐角三角函数的定义（共1小题）1．（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sin A＝，则AB的长是（ ）A．B．C．60D．80二．特殊角的三角函数值（共3小题）2．（2021•株洲）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．则上述说法正确的个数为（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个3．（2021•天津）tan30°的值等于（ ）A．B．C．1D．24．（2021•泸州）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（ ）A．B．C．16πD．64π三．计算器—三角函数（共3小题）5．（2021•烟台）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：按键的结果为m；按键的结果为n；按键的结果为k．下列判断正确的是（ ）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k 6．（2021•威海）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．7．（2021•东营）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC 的长，则下列按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．四．解直角三角形（共8小题）8．（2021•玉林）如图，△ABC 底边BC 上的高为h 1，△PQR 底边QR 上的高为h 2，则有（ ）A ．h 1＝h 2B ．h 1＜h 2C ．h 1＞h 2D ．以上都有可能9．（2021•宜昌）如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则cos ∠ABC 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．10．（2021•巴中）如图，点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）A ．sinB ＝B ．sinC ＝C ．tan B ＝D ．sin 2B +sin 2C ＝111．（2021•淄博）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CE 是斜边AB 上的中线，过点E 作EF ⊥AB 交AC 于点F ．若BC ＝4，△AEF 的面积为5，则sin ∠CEF 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．12．（2021•黑龙江）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D 在AB 的延长线上，连接CD ，若AB ＝2BD ，tan ∠BCD ＝，则的值为（ ）A．1B．2C．D．13．（2021•宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）A．B．2C．D．14．（2021•广东）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC 于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（ ）A．B．2C．1D．215．（2021•绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（ ）A．B．C．D．2五．解直角三角形的应用（共5小题）16．（2021•呼和浩特）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面d及π的值都正确的是（ ）A．d＝，π≈8sin22.5°B．d＝，π≈4sin22.5°C．d＝，π≈8sin22.5°D．d＝，π≈4sin22.5°17．（2021•长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）A．30sinα米B．米C．30cosα米D．米18．（2021•十堰）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）A．（15+）m B．5m C．15m D．（5+）m19．（2021•随州）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了（ ）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米20．（2021•温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（ ）A．+1B．sin2α+1C．+1D．cos2α+1六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共4小题）21．（2021•德州）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（ ）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．A．6米B．3米C．2米D．1米22．（2021•潍坊）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°23．（2021•衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（ ）A．7.5米B．8米C．9米D．10米24．（2021•金华）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（ ）A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．米七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题）25．（2021•济南）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（ ）（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）A．188m B．269m C．286m D．312m 26．（2021•日照）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m 到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（ ）A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m 27．（2021•深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（ ）A．15sin32°B．15tan64°C．15sin64°D．15tan32°28．（2021•泰安）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（ ）A．136.6米B．86.7米C．186.7米D．86.6米29．（2021•重庆）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB 为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（参考数据：≈1.41，≈1.73）（ ）A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m 30．（2021•重庆）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（ ）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米参考答案与试题解析一．锐角三角函数的定义（共1小题）1．（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sin A＝，则AB的长是（ ）A．B．C．60D．80【解析】解：∵AC＝100，sin A＝，∴BC＝60，∴AB＝＝80，【答案】D．二．特殊角的三角函数值（共3小题）2．（2021•株洲）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．则上述说法正确的个数为（ ）A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】解：由题知，限高曲臂道路闸口高度为：1.4+2×sinα，①当α＝90°时，h＜（1.4+2）米，即h＜3.4米即可通过该闸口，故①正确；②当α＝45°时，h＜（1.4+2×）米，即h＜1.4+米即可通过该闸口，∵2.9＞1.4+，∴h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确；③当α＝60°时，h＜（1.4+2×）米，即h＜1.4米即可通过该闸口，∵3.1＜1.4+，∴h等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③不正确；【答案】C．3．（2021•天津）tan30°的值等于（ ）A．B．C．1D．2【解析】解：tan30°＝．【答案】A．4．（2021•泸州）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（ ）A．B．C．16πD．64π【解析】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣75°﹣45°＝60°，∵＝2R，∴2R＝＝＝，∴R＝，∴S＝πR2＝π（）2＝π，【答案】A．三．计算器—三角函数（共3小题）5．（2021•烟台）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：按键的结果为m；按键的结果为n；按键的结果为k．下列判断正确的是（ ）A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k【解析】解：m＝23﹣＝8﹣4＝4；n＝﹣22＝4﹣4＝0；k＝﹣cos60°＝﹣＝4；∴m＝k，【答案】C．6．（2021•威海）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．【解析】解：采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是D选项中的顺序，【答案】D．7．（2021•东营）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC 的长，则下列按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．【解析】解：在△ABC中，因为∠C＝90°，所以tan B＝，因为∠B＝42°，BC＝8，所以AC＝BC•tan B＝8×tan42°．【答案】D．四．解直角三角形（共8小题）8．（2021•玉林）如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（ ）A．h1＝h2B．h1＜h2C．h1＞h2D．以上都有可能【解析】解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD即h1，△PQR底边QR上的高为PE 即h2，在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，∴h1＝h2，【答案】A．9．（2021•宜昌）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（ ）A．B．C．D．【解析】解：法一、如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴AB＝＝＝3，∴cos∠ABC＝＝＝．【答案】B．法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴cos∠ABC＝cos45°＝．【答案】B．10．（2021•巴中）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）A．sin B＝B．sin C＝C．tan B＝D．sin2B+sin2C＝1【解析】解：由勾股定理得：AB＝，AC＝，BC＝，∴BC2＝AB2+AC2，∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∴sin B＝，sin C＝，tan B＝，sin2B+sin2C＝，【答案】A．11．（2021•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF ⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）A．B．C．D．【解析】解：连接BF，∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，∴EF是AB的垂直平分线，∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，∴S△AFB＝10＝AF•BC，∵BC＝4，∴AF＝5＝BF，在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，∴CF＝＝3，∵CE＝AE＝BE＝AB，∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，∴∠CEF＝∠FBC，∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，【答案】A．12．（2021•黑龙江）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（ ）A．1B．2C．D．【解析】解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，∴△ABC∽△DBM，∴＝＝，∵AB＝2BD，∴＝＝＝，在Rt△CDM中，由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，又∵＝＝，∴BC＝2k，AC＝4k，∴＝＝2，【答案】B．13．（2021•宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）A．B．2C．D．【解析】解：如图：作OF⊥AB于F，∵AB＝AC，AD平分∠BAC．∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．∴根据勾股定理得：AD＝＝8．∵BE平分∠ABC．∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：（8﹣x）2＝x2+42．∴x＝3．∴OD＝3．在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．法二：在求出AF＝4后∵tan∠BAD＝＝．∴＝．∴OF＝3．∴OD＝OF＝3．∴tan∠OBD＝＝．【答案】A．14．（2021•广东）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC 于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（ ）A．B．2C．1D．2【解析】解：如图，过点D作DT⊥AB于T．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴DC⊥BC，∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA，∴DC＝DT＝1，∵AC＝3，∴AD＝AC﹣CD＝2，∴AD＝2DT，∴∠A＝30°，∴AB＝＝＝2，解法二：AD＝2DT由此处开始，可以在Rt△ADT中用勾股定理得AT＝，再由垂径定理可得AB＝2AT得解．【答案】B．15．（2021•绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cos B＝，点D是边BC的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（ ）A．B．C．D．2【解析】解：设DE交AC于T,过点E作EH⊥CD于H．∵∠BAC＝90°,BD＝DC,∴AD＝DB＝DC,∴∠B＝∠DAB,∵∠B＝∠ADE,∴∠DAB＝∠ADE,∴AB∥DE,∴∠DTC＝∠BAC＝90°,∵DT∥AB,BD＝DC,∴AT＝TC,∴EA＝EC＝ED,∴∠EDC＝∠ECD,∵EH⊥CD,∴CH＝DH,∵DE∥AB,∴∠EDC＝∠B,∴∠ECD＝∠B,∴cos∠ECH＝cos B＝,∴＝,∴＝＝2,【答案】D．五．解直角三角形的应用（共5小题）16．（2021•呼和浩特）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面d及π的值都正确的是（ ）A．d＝，π≈8sin22.5°B．d＝，π≈4sin22.5°C．d＝，π≈8sin22.5°D．d＝，π≈4sin22.5°【解析】解：如图，连接AD，BC交于点O，过点O作OP⊥BC于点P，则CP＝PD，且∠COP＝22.5°，设正八边形的边长为a，则a+2×a＝4，解得a＝4（﹣1），在Rt△OCP中，OC＝＝，∴d＝2OC＝，由πd≈8CD，则π≈32（﹣1），∴π≈8sin22.5°．【答案】C．17．（2021•长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）A．30sinα米B．米C．30cosα米D．米【解析】解：由图可知，在△ABC中，AC⊥BC，∴sinα＝＝，∴BC＝30sinα米．【答案】A．18．（2021•十堰）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）A．（15+）m B．5m C．15m D．（5+）m【解析】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15m，AB＝1.5m，∴BC＝AD＝15m，AB＝CD＝1.5m，在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15m，∴DE＝AD•tan∠EAD＝15×＝5（m），∴CE＝CD+DE＝（5+1.5）（m）．【答案】D．19．（2021•随州）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了（ ）A．1米B．1.5米C．2米D．2.5米【解析】解：如图所示，在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝＝6（米）；在Rt△DEC中，DC＝cosβ×DE＝＝6（米），EC＝＝＝8（米）；∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米）．【答案】C．20．（2021•温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（ ）A．+1B．sin2α+1C．+1D．cos2α+1【解析】解：∵AB＝BC＝1，在Rt△OAB中，sinα＝，∴OB＝，在Rt△OBC中，OB2+BC2＝OC2，∴OC2＝（）2+12＝．【答案】A．六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共4小题）21．（2021•德州）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（ ）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．A．6米B．3米C．2米D．1米【解析】解：在Rt△BAD中，AB＝5米，∠BAD＝37°，则BD＝AB•sin∠BAD≈5×＝3（米），在Rt△BCD中，∠C＝30°，∴BC＝2BD＝6（米），则调整后的楼梯会加长：6﹣5＝1（米），【答案】D．22．（2021•潍坊）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）A．15°B．30°C．45°D．60°【解析】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D．∵EF⊥平面镜，∴CD∥EF，∴∠CDH＝∠EFH＝α，根据题意可知：AG∥DF，∴∠AGC＝∠CDH＝α，∴∠AGC＝α，∵∠AGC＝AGB＝×60°＝30°，∴α＝30°．【答案】B．23．（2021•衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（ ）A．7.5米B．8米C．9米D．10米【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米，∵sin∠BAC＝＝sin37°≈0.6＝，∴AB≈BC＝×6＝10（米），【答案】D．24．（2021•金华）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（ ）A．4cosα米B．4sinα米C．4tanα米D．米【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴cosα＝＝，∴DC＝2cosα（米），∴BC＝2DC＝2×2cosα＝4cosα（米）．【答案】A．七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题）25．（2021•济南）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（ ）（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）A．188m B．269m C．286m D．312m【解析】解：由题意得：∠N＝43°，∠M＝35°，AO＝135m，BO＝AO﹣AB＝95m，在Rt△AON中，tan N＝＝tan43°，∴NO＝≈150m，在Rt△BOM中，tan M＝＝tan35°，∴MO＝≈135.7m，∴MN＝MO+NO＝135.7+150≈286m．【答案】C．26．（2021•日照）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB 的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m 到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（ ）A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m【解析】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，∴DH＝BF，BH＝DF，∵斜坡的斜面坡度i＝1：，∴＝1：，设DF＝xm，CF＝xm，∴CD＝＝2x＝20m，∴x＝10，∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，∴DH＝BF＝（10+30）m，∵∠ADH＝30°，∴AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）m，∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，【答案】A．27．（2021•深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（ ）A．15sin32°B．15tan64°C．15sin64°D．15tan32°【解析】解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，∴∠EDF＝∠F，∴DE＝EF，∵EF＝15米，∴DE＝15米，在Rt△CDE中，∵sin∠CED＝，∴CD＝DE sin∠CED＝15sin64°，【答案】C．28．（2021•泰安）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（ ）A．136.6米B．86.7米C．186.7米D．86.6米【解析】解：如图作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．在Rt△ADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，∴DH＝50（米），∵四边形DHBF是矩形，∴BF＝DH＝50（米），在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，∴EF＝BF＝50（米），在Rt△EFC中，FC＝EF•tan60°，∴CF＝50×≈86.6（米），∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．【答案】A．29．（2021•重庆）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB 为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（参考数据：≈1.41，≈1.73）（ ）A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m【解析】解：在Rt△MCB中，∠MCB＝60°，CB＝30m，tan∠MCB＝，∴MB＝CB•tan∠MCB＝30×≈51.9（m），∵山坡DF的坡度i＝1：1.25，EF＝50m，∴DE＝40（m），∵ND＝DE，∴ND＝25（m），∴两个通信基站顶端M与顶端N的高度差＝40+25﹣51.9＝13.1（m），【答案】C．30．（2021•重庆）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（ ）（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）A．69.2米B．73.1米C．80.0米D．85.7米【解析】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，∴DE：CE＝5：12，∵DE＝50米，∴CE＝120米，∵BC＝150米，∴BE＝150﹣120＝30（米），∴AB＝tan50°×30+50≈85.7（米）．【答案】D．。
2021年八年级数学下册第十九章《一次函数》经典练习(答案解析)
一、选择题1．下列图形中，表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx（m，n为常数，且mn≠0）的图象的是（）A ．B ．C ．D ．A解析：A【分析】根据“两数相乘，同号得正，异号得负”分两种情况讨论mn的符号，然后根据m、n同正时，同负时，一正一负或一负一正时，利用一次函数的性质进行判断．【详解】解：①当mn＞0，m，n同号，同正时y＝mx＋n过1，3，2象限，同负时过2，4，3象限；②当mn＜0时，m，n异号，则y＝mx＋n过1，3，4象限或2，4，1象限．故选：A．【点睛】此题主要考查一次函数与正比例函数的图象判断，解题的关键是熟知一次函数的图象与性质．2．若关于x、y的二元一次方程组42313312x y ax y a+=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩的解为非负数，且a使得一次函数(1)3y a x a=++-图象不过第四象限，那么所有符合条件的整数a的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5C解析：C【分析】由题意，先求出二元一次方程组的解，结合解为非负数得到a的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到答案．【详解】解：42313312x y a x y a +=+⎧⎪⎨-=+⎪⎩解方程组，得：521322x a y a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， ∵方程的解是非负数，∴50213022a a ⎧+≥⎪⎪⎨⎪-+≥⎪⎩， 解得：532a -≤≤， ∵一次函数(1)3y a x a =++-图象不过第四象限，∴1030a a +>⎧⎨-≥⎩， ∴13a -<≤，∴a 的取值范围是13a -<≤，∴所有符合条件的整数a 有：0，1，2，3，共4个；故选：C ．【点睛】本题考查了一次函数的性质，解二元一次方程组，解不等式组，解题的关键是掌握运算法则，正确求出a 的取值范围．3．某游泳馆新推出了甲、乙两种消费卡，设游泳次数为x 时两种消费卡所需费用分别为y 甲，y 乙元，y 甲，y 乙与x 的函数图象如图所示，当游泳次数为30次时选择哪种消费卡更合算（ ）A ．甲种更合算B ．乙种更合算C ．两种一样合算D ．无法确定B解析：B【分析】 根据一次函数的图象，哪个函数图象在上面，哪个就大，直接得出答案即可．【详解】解：利用图象，当游泳次数大于10次时，y 甲在y 乙上面，即y 甲＞y 乙，∴当游泳次数为30次时，选择乙种方式省钱．故选：B ．【点睛】此题主要考查了一次函数的应用以及利用函数图象比较函数大小，利用数形结合得出是解题关键．4．已知直线()1:0l y kx b k =+≠与直线()2:30l y mx m =-<在第三象限交于点M ，若直线1l 与x 轴的交点为()10B ,，则k 的取值范围是（ ） A ．33k -<<B ．03k <<C ．04k <<D ．30k -<<B解析：B【分析】 由直线1l 与x 轴的交点为()10B ,可得直线1l 轴的表达式为y ＝kx−k ，则1l 与y 轴交点（0，−k ），再由直线()2:30l y mx m =-<在第三象限交于点M 得出（0，−k ）在原点和点（0，−3）之间，即可求解．【详解】解：∵直线()1:0l y kx b k =+≠与x 轴的交点为B （1，0），∴k ＋b ＝0，则b ＝−k ，∴y ＝kx−k ，直线()2:30l y mx m =-<与y 轴的交点坐标为（0，−3），则1l 与y 轴交点（0，−k ）在原点和点（0，−3）之间，即：−3＜−k ＜0，解得：0＜k ＜3，故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是掌握一次函数的图象与性质并能利用数形结合的思想确定1l 与y 轴交点位置．5．直线y kx b =+经过一、三、四象限，则直线y bx k =-的图象只能是图中的（ ） A ． B ． C ． D ．D 解析：D【分析】先根据直线y kx b =+经过一、三、四象限判断出k 和b 的正负，从而得到直线y bx k =-的图象经过的象限．【详解】解：∵直线y kx b =+经过第一、三、四象限，∴0k >，0b <，∴0k -<，∴直线y bx k =-经过第二、三、四象限．故选：D ．【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握根据系数的正负判断函数图象经过的象限的方法．6．如图，点A 的坐标为(0，1)，点B 是x 轴正半轴上的一动点，以AB 为边作等腰直角ABC ，使∠BAC=90°，如果点B 的横坐标为x ，点C 的纵坐标为y ，那么表示y 与x 的函数关系的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．A解析：A【分析】先作出合适的辅助线，再证明△ADC 和△AOB 的关系，即可建立y 与x 的函数关系，从而确定函数图像．【详解】解：由题意可得：OB=x ，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC ，点C 的纵坐标是y ， 作AD ∥x 轴，作CD ⊥AD 于点D ，如图所示：∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC ，在△OAB 和△DAC 中，AOB ADC OAB DAC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△OAB ≌△DAC （AAS ），∴OB=CD ，∴CD=x ，∵点C 到x 轴的距离为y ，点D 到x 轴的距离等于点A 到x 的距离1，∴y=x+1（x ＞0）．故选A ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，明确题意、建立相应的函数关系式是解答本题的关键． 7．已知：将直线21y x =-向左平移2个单位长度后得到直线y kx b =+，则下列关于直线y kx b =+的说法正确的是（ ）A ．经过第一、二、三象限B ．与x 轴交于()1,0-C ．与y 轴交于()0,1D ．y 随x 的增大而减小A解析：A【分析】 根据图象的平移规则：左加右减、上加下减得出直线解析式，再根据一次函数的性质即可解答．【详解】解：∵将直线21y x =-向左平移2个单位长度后得到直线y kx b =+，∴直线y kx b =+的解析式为2(2)123y x x =+-=+，∵k=2＞0，b=3＞0，∴直线y kx b =+经过第一、二、三象限，故A 正确；当y=0时，由0=2x+3得：x=32-，∴直线y kx b =+与x 轴交于（32-，0），故B 错误； 当x=0时，y=3，即直线y kx b =+与y 轴交于（0，3），故C 错误；∵k=2＞0，∴y 随x 的增大而增大，故D 错误，故选：A ．【点睛】本题考查图象的平移变换、一次函数的图象与性质，熟知图象平移变换规律，掌握一次函数的图象与性质是解答的关键．8．某一次函数的图象经过点()1,2，且y 随x 的增大而增大，则这个函数的表达式可能是（ ）A ．24y x =+B ．31y x =-C ．31y x =-+D ．24y x =-+B 解析：B【分析】设一次函数关系式为y kx b =+，y 随x 增大而增大，则0k >；图象经过点(1,2)，可得k 、b 之间的关系式．综合二者取值即可．【详解】解：设一次函数关系式为y kx b =+，图象经过点(1,2)，2k b ∴+=； y 随x 增大而增大，0k ∴>．即k 取正数，满足2k b +=的k 、b 的取值都可以．故选：B ．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数的性质，为开放性试题，答案不唯一．只要满足条件即可．9．一个一次函数的图象与直线112y x =-平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A ，B ，并且过点(1,5)--，则在线段AB 上（包括端点A ，B ）横、纵坐标都是整数的点有（ ） A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个B 解析：B【分析】 首先根据一次函数的图象与直线112y x =-平行，图象经过点(-1，-5)，用待定系数法求出函数关系式，然后求出A 、B 两点的坐标，最后根据所求点满足在线段AB 上（包括端点A 、B ），且横、纵坐标都是整数，得出结果；【详解】一次函数的图象与直线112y x =-平行，设此直线为12y x b =+， 过点(-1，-5)， ∴把此点代入，得152b -=-+， 解得92b ， ∴此直线为1922y x =-． 当0x =时，92y =-； 0y =时，19022x =-，解得x=9， 故A(9，0)，B(0，92-)． 由直线的解析式可知，只要x 是奇数时，y 即为整数，而从9到0共有5个奇数，即1，3，5，7，9，故在线段AB 上（包括端点A ，B ）横、纵坐标都是整数的点有5个．故选：B ．【点睛】本题考查了一次函数平行的特点，列出方程，求出未知数，再根据题意求解；10．下列命题中，①()1,2A -关于y 轴的对称点为()1,2--；②2±；③2y x =-+与x 轴交于点()2,0；④22x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程23x y +=-的一个解．其中正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4A解析：A【分析】根据关于y 轴对称的坐标特征判断①；根据平方根定义判断②；根据直线与x 轴交点坐标判断③；根据方程的解的定义判断④．【详解】解：①()1,2A -关于y 轴的对称点为（1，2）；②±；③2y x =-+与x 轴交于点（2，0）； ④21x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程23x y +=-的一个解． ∴正确的是：③，1个故选：A【点睛】本题考查关于y 轴对称的坐标特征、平方根定义、直线与x 轴交点坐标、方程的解，考查学生的辨析能力，熟知以上知识点是解答此题的关键．二、填空题11．已知一次函数6y x =-+的图象上有两点()11,A y -，()22,A y ，则1y 与2y 的大小关系是______．【分析】一次函数中k=-1＜0y 将随x 的增大而减小根据-1＜2即可得出答案【详解】解：∵在一次函数中k=-1＜0y 将随x 的增大而减小又∵-1＜2∴y1＞y2故答案为：y1＞y2【点睛】本题考查一次函解析：12y y >【分析】一次函数6y x =-+中，k=-1＜0，y 将随x 的增大而减小，根据-1＜2即可得出答案．【详解】解：∵在一次函数6y x =-+中，k=-1＜0，y 将随x 的增大而减小，又∵-1＜2，∴y 1＞y 2．故答案为：y 1＞y 2．【点睛】本题考查一次函数的图象性质的应用，注意：一次函数y=kx+b （k 、b 为常数，k≠0），当k ＞0，y 随x 增大而增大；当k ＜0时，y 将随x 的增大而减小．12．已知关于x ，y 的二元一次方程组1,mx y y nx -=⎧⎨=⎩的解是1,2x y =⎧⎨=⎩则直线1y mx =-与直线y nx =的交点坐标是______；（12）【分析】根据二元一次方程组的解对应的x 和y 值就是对应函数交点的横纵坐标即可得解【详解】解：由可得它的解为故直线与直线的交点坐标是（12）故答案为：（12）【点睛】本题考查一次函数与二元一次方解析：（1,2）【分析】根据二元一次方程组的解对应的x 和y 值，就是对应函数交点的横纵坐标即可得解．【详解】解：由1mx y y nx -=⎧⎨=⎩可得1y mx y nx =-⎧⎨=⎩，它的解为12x y =⎧⎨=⎩， 故直线1y mx =-与直线y nx =的交点坐标是（1,2），故答案为：（1,2）．【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程组．理解二元一次方程组与一次函数的关系是解题关键．13．某生物小组观察一植物生长，得到植物高度y（位：厘米）与观察时间x（单位：天）的关系，并画出如图所示的图象（AC是线段，直线CD平行x轴）请你算一下，该植物的最大高度是________厘米．16【分析】根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变也就是停止长高设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0）然后利用待定系数法求出直线AC的解析式再把x=50代入进行计算即可得解【详解】设直解析：16【分析】根据平行线间的距离相等可知50天后植物的高度不变，也就是停止长高，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），然后利用待定系数法求出直线AC的解析式，再把x=50代入进行计算即可得解．【详解】设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），∵经过点A（0，6），B（30，12），∴63012 bk b=⎧⎨+=⎩，解得156kb⎧=⎪⎨⎪=⎩．所以，直线AC的解析式为165y x=+（0≤x≤50），当x=50时，15065y=⨯+=16cm．答：该植物最高长16cm．【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，已知自变量求函数值，仔细观察图象，准确获取信息是解题的关键．14．正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2、…，按如图所示的方式放置．点A1、A2、A3、…，和点C1、C2、C3，…，分别在直线y＝kx＋b (k>0)和x轴上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)，则点B2021的坐标是_________________．(22021-122020)【分析】首先利用待定系数法求得直线的解析式然后分别求得B1B2B3…的坐标可以得到规律：Bn（2n-12n-1）据此即可求解【详解】解：∵B1的坐标为（11）点B2的坐标解析：(22021-1，22020)【分析】首先利用待定系数法求得直线的解析式，然后分别求得B1，B2，B3…的坐标，可以得到规律：B n（2n-1，2n-1），据此即可求解．【详解】解：∵B1的坐标为（1，1），点B2的坐标为（3，2），∴正方形A1B1C1O1边长为1，正方形A2B2C2C1边长为2，∴A1的坐标是（0，1），A2的坐标是：（1，2），代入y=kx+b得：12 bk b⎧⎨+⎩＝＝，解得：11 kb⎧⎨⎩＝＝，则直线的解析式是：y=x+1．∵A1B1=1，点B2的坐标为（3，2），∴点A3的坐标为（3，4），∴A3C2=A3B3=B3C3=4，∴点B3的坐标为（7，4），∴B1的纵坐标是：1=20，B1的横坐标是：1=21-1，∴B2的纵坐标是：2=21，B2的横坐标是：3=22-1，∴B3的纵坐标是：4=22，B3的横坐标是：7=23-1，∴B n的纵坐标是：2n-1，横坐标是：2n-1，则B n（2n-1，2n-1）．∴B2021的坐标是：（22021-1，22020），故答案为：（22021-1，22020）．【点睛】此题主要考查了待定系数法求函数解析式和坐标的变化规律．此题难度较大，注意正确得到点的坐标的规律是解题的关键．15．为减少代沟，增强父子感情，父子二人决定在100米跑道上，以“相向而跑”的形式来进行交流．儿子从100米跑道的A端出发，父亲从另一端B出发，两人同时起跑，结果儿子赢得比赛．设父子间的距离S（米）与父亲奔跑的时间（秒）之间的函数关系如图所示，则儿子奔跑的速度是______米/秒．（或625）【分析】根据图像可知爸爸跑完全程用时20秒可计算爸爸的速度其次儿子比爸爸早到20米的时间计算爸爸跑完20米用时从而得到儿子跑完全程的时间计算速度即可【详解】根据图像可知爸爸跑完全程用时2解析：254（或6.25）.【分析】根据图像可知，爸爸跑完全程用时20秒，可计算爸爸的速度，其次，儿子比爸爸早到20米的时间，计算爸爸跑完20米用时，从而得到儿子跑完全程的时间，计算速度即可.【详解】根据图像可知，爸爸跑完全程用时20秒，∴爸爸的速度为10020=5米/秒，∵儿子比爸爸早到20米，∴父子共用时间20-20÷5=16秒，∴儿子的速度为10016=254米/秒，故答案为：25 4.【点睛】本题考查了函数的图像，根据题意，读懂图像，学会把生活问题数学化是解题的关键. 16．如图，已知A(8，0)，点P为y轴上的一动点，线段PA绕着点P按逆时针方向旋转90°至线段PB位置，连接AB、OB，则OB＋BA的最小值是__________．【分析】设点P的坐标为过点B作轴于点C由旋转的性质得到再根据角的和差解得继而证明由全等三角形对应边相等解得进一步得到点的坐标为由此知点在直线上运动设直线与x轴交于点E与y轴交于点F作点O 关于直线的对 解析：85【分析】设点P 的坐标为()0,m ，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，由旋转的性质得到PA PB =，90BPA ∠=︒再根据角的和差解得PBC APO ∠=∠，继而证明(AAS)BPC PAO △≌△，由全等三角形对应边相等解得,BC OP PC AO ==，进一步得到点B 的坐标为(,8)m m +，由此知点B 在直线8y x =+上运动，设直线8y x =+与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ，作点O 关于直线8y x =+的对称点为O '，连接O F '，O E '，O A '，O B '，由三角形三边关系可得O B BA '+的最小值为O A '，继而证明四边形O EOF '为正方形，得到O '的坐标为(8,8)-，再利用勾股定理解得O A '的长，即可解题． 【详解】解：∵点P 为y 轴上一动点， ∴设点P 的坐标为()0,m ，如图所示，过点B 作BC y ⊥轴于点C ，∵线段PA 绕着点P 按逆时针方向旋转90°到PB ，,90PA PB BPA ∴=∠=︒，又BC y ⊥轴，90POA ∠=︒，90BCP POA ∴∠=∠=︒，∴在BCP 中，18090BPC PBC BCP ∠+∠=︒-∠=︒，又18090BPC APO BPA ∠+∠=-∠=︒︒， PBC APO ∴∠=∠，∴在BPC △和PAO 中，BCP POA PBC APO PB AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， (AAS)BPC PAO ∴△≌△，,BC OP PC AO ∴==，又(0,),(8,0)P m A ，,8BC OP m PC AO ∴====，∴点B 的坐标为(,8)m m +， 设,8x m y m ==+，8y x ∴=+，∴点B 在直线8y x =+上运动，如图所示，设直线8y x =+与x 轴交于点E ，与y 轴交于点F ，作点O 关于直线8y x =+的对称点为O '，连接O F '，O E '，O A '，O B '， 则O B OB '=，EF 垂直平分OO '，BO BA O B BA '∴+=+， 又O B BA O A ''+， O B BA '∴+的最小值为O A '，即BO BA +的最小值为O A '， 又8OE OF ==，45FEO ∴∠=︒，∴四边形O EOF '为正方形，∴O '的坐标为(8,8)-，O A '∴===故BOBA ＋的最小值为，故答案为 【点睛】本题考查轴对称—最短路线问题、坐标与图形变化—旋转、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键. 17．在平面直角坐标系中，直线2y x =+和直线2y x b =-+的交点的横坐标为m ．若13m -≤<，则实数b 的取值范围为____．【分析】求出两直线交点的横坐标m 代入求出b 的取值范围即可【详解】解：根据题意得解得∴∵∴∴故答案为：【点睛】此题主要考查了直线交点问题构造方程求交点是解答本题的关键解析：111b -≤<【分析】求出两直线交点的横坐标m ，代入13m -≤<，求出b 的取值范围即可． 【详解】解：根据题意得，22x x b +=-+， 解得，23b x -=， ∴23b m -=∵13m -≤<∴2133b --≤< ∴111b -≤<故答案为：111b -≤< 【点睛】此题主要考查了直线交点问题，构造方程求交点是解答本题的关键．18．在平面直角坐标系中，一次函数4y x =+的图象分别与x 轴，y 轴交于点A ，B ，点P 在一次函数 y x =的图象上，则当ABP ∆为直角三角形时，点P 的坐标是___________．(00)或(22)或(-2-2)【分析】作出图形分别以ABP 为直角顶点三种情况讨论利用勾股定理即可求解【详解】令则令则∴A(0)B(4)∵点P 在一次函数的图象上∴设点的坐标为(xx)==①当∠ABP解析：(0，0)或(2，2)或(-2，-2) 【分析】作出图形，分别以A 、B 、P 为直角顶点三种情况讨论，利用勾股定理即可求解． 【详解】令0x =，则4y =，令0y =，则4x =-， ∴A(4-，0)，B(0，4)，∵点P 在一次函数 y x =的图象上， ∴设点P 的坐标为(x ，x)，2AB =224432+=，()222242816PB x x x x =+-=-+，2PA =()22242816x x x x ++=++，①当∠ABP=90︒时，根据勾股定理得：222AB PB PA +=，即223228162816x x x x +-+=++， 解得：2x =∴点P 的坐标为(2，2)； ②当∠BAP=90︒时，根据勾股定理得：222AB PA PB +=，即223228162816x x x x +++=-+， 解得：2x =-∴点P 的坐标为(-2，-2)；③当∠APB=90︒时，此时点P 与点O 重合，∴点P 的坐标为(0，0)；综上，点P 的坐标为(0，0)或(2，2)或(-2，-2)． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，采用了分类讨论的思想，与方程相结合是解决问题的关键．19．已知直线22y x =-与x 轴交于A ，与y 轴交于B ，若点C 是坐标轴上的一点，且AC AB =，则点C 的坐标为________．【分析】利用待定系数法求出两点坐标利用勾股定理求出根据确定点坐标即可【详解】解：令得到令得到以为圆心长为半径作圆交坐标轴即为点或故答案为：【点睛】本题考查一次函数的应用等腰三角形的判定和性质等知识熟 解析：()15,0+()15,0-()0,2【分析】利用待定系数法求出A 、B 两点坐标，利用勾股定理求出AB ，根据AC AB =，确定点C 坐标即可． 【详解】解：令0x =，得到2y =-， (0,2)B ，令0y =，得到1x =，(1,0)A ∴，1OA ∴=，2OB =，22125AB，以A 为圆心，AB 长为半径作圆，交坐标轴即为C 点， 5AC AB，(15C ，0)，(15，0)或(0,2)，故答案为：()15,0+、()15,0-、()0,2．．【点睛】本题考查一次函数的应用，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握待定系数法确定交点坐标是解题的关键．20．已知一次函数y kx b =+的图象经过点(4,3)A 且与直线2y x =平行，则此函数的表达式为____．【分析】先求出k 再求出b 即可得到解答【详解】解：由题意可得k=2∴有y=2x+b ∵y=2x+b 的图象经过A （43）∴有2×4+b=3解之可得：b=-5∴所求的函数表达式为y=2x-5故答案为y=2x 解析：25y x =-【分析】先求出k ，再求出b ，即可得到解答． 【详解】解：由题意可得k=2， ∴有y=2x+b ，∵y=2x+b 的图象经过A （4，3）， ∴有2×4+b=3， 解之可得：b= -5,∴所求的函数表达式为y=2x-5， 故答案为y=2x-5 ． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数图象的平移是解题关键．三、解答题21．已知直线l 1：y ＝kx+b 经过点A （12，2）和点B （2，5）． （1）求直线l 1的表达式；（2）求直线l 1与坐标轴的交点坐标． 解析：（1）y ＝2x+1；（2）（0，1）和（﹣12，0） 【分析】（1）由待定系数法可求得直线l 1的解析式；（2）令x=0可求得其与y 轴的交点坐标，令y=0，可求得其与x 轴的交点坐标． 【详解】解：（1）∵直线l 1：y=kx+b 经过点A （12，2）和点B （2，5）． ∴12225k b k b ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得21k b =⎧⎨=⎩，即y=2x+1；（2）令x=0，则y=1；令y=0，则x=-12，∴直线l1与坐标轴的交点坐标为（0，1）和（-12，0）．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键．22．已知：正比例函数y＝kx的图象经过点A，点A在第四象限，过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3，S△AOH＝3．（1）求点A坐标及此正比例函数解析式；（2）在x轴上能否找到一点P使S△AOP＝5，若存在，求点P坐标；若不存在，说明理由．解析：（1）A（3，-2），y＝-23x；（2）存在，P点坐标为（5，0）或（-5，0）【分析】（1）结合题意，得3OH=；再结合△AOH的面积为3，通过计算得AH的值以及点A的坐标，将点A坐标代入y＝kx，经计算即可得到答案；（2）设P（t，0），结合S△AOP＝5，列方程并求解，即可得到答案．【详解】（1）如图，∵过A作AH⊥x垂足为H，点A的横坐标为3∴3OH=∵△AOH的面积为3∴13 2OH AH⨯⨯＝∴AH＝2∵点A在第四象限∴A（3，-2），把A（3，-2）代入y＝kx，得3k＝-2解得：23 k=-∴正比例函数解析式为y ＝-23x ； （2）设P （t ，0），即OP t = ∵△AOP 的面积为5∴112522OP AH t ⨯⨯=⨯⨯＝ ∴t ＝5或t ＝-5∴能找到一点P 使S △AOP ＝5，P 点坐标为（5，0）或（-5，0）． 【点睛】本题考查了绝对值、正比例函数、一元一次方程、坐标的知识；解题的关键是熟练掌握正比例函数、一元一次方程的性质，从而完成求解．23．请你用学习“一次函数和二次根式”时积累的经验和方法解决下列问题： （1）在平面直角坐标系中，画出函数|1|y x =-的图象： ①列表填空：x… -2 -1 0 1 2 3 4 … y……②描点、连线，画出|1|y x =-的图象：（2）结合所画函数图象，写出|1|y x =-两条不同类型的性质； （3）结合所画函数图象，当x =________时，|1|1x -=．解析：（1）①3，2，1，0，1，2，3；②画图见解析；（2）①当1x <时，y 随x 增大而减小，当1x >时，y 随x 增大而增大，②图像关于1x =轴对称，③函数的最小值为0；（3）0或2． 【分析】（1）①把x 的值代入解析式计算即可，②分别以自变量及函数值为点的横、纵坐标，描出各点，绘制函数图像．（2）从函数的增减性、对称性、最值等方面进行分析． （3）根据函数图像结合绝对值的意义，计算得出x 的值． 【详解】解：（1）①列表填空：x… -2 -1 0 1 2 3 4 … y…321123…故答案为：3，2，1，0，1，2，3； ②画函数图像如图：（2）①当1x <时，y 随x 增大而减小，当1x >时，y 随x 增大而增大，②图像关于直线1x =轴对称，③函数的最小值为0； （3）|1|1x -=，去绝对值可得： 1111x x -=⎧⎨-=-⎩解得：1202x x =⎧⎨=⎩结合图像，1202x x =⎧⎨=⎩是|1|1x -=的两个解．【点睛】本题重点考查描点法绘制函数图像及根据函数图像描述函数性质，去绝对值符号时结合函数图像是解题关键．24．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，一次函数y kx b =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点(0,4)B ，与正比例函数3y x =-交于点(1,)C m -． （1）求直线AB 的函数表达式．（2）在y 轴上找点P ，使OCP △为等腰三角形，直接写出所有满足条件的P 点坐标． （3）在直线AB 上找点Q ，使得78COQAPBSS =，求点Q 的坐标．解析：（1）4y x =+；（2）1234510),(0,10),(0,6),0,3P P P P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）513,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭或91,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 【分析】（1）由题意易得()1,3C -，然后把点B 、C 的坐标代入y kx b =+求解即可；（2）由题意易得可分①当OC OP =时，②当C 为等腰OCP △的顶点时，则C 在OP 的中垂线上，③当P 为等腰OCP △的顶点时设(0,)P a ，进而根据等腰三角形的性质进行求解即可；（3）过Q 作x 轴平行线交CO 于点D ，设(,4)Q m m +，则4,43m D m +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由题意可得8AOB S =△，进而可得()12COQ c o SQD y y =⋅-，然后可得441433m +=，进而求解即可．【详解】解：（1）由题意得： 3y x =-过 (1,)C m -，3(1)3m ∴=-⨯-=，(1,3)C ∴-，∵直线:AB y kx b =+过(0,4),(1,3)B C -，代入可得43b k b =⎧⎨=-+⎩，解得14k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AB 的解析式为4y x =+；（2）①当O 为等腰OCP △的顶点时，则OC OP =，22(1)310OC =-+=10OP ∴=1210),(0,10)P P ∴-． ②当C 为等腰OCP △的顶点时，则C 在OP 的中垂线上，C ∴的纵坐标为OP 纵坐标的中点，3(0,6)P ∴．③当P 为等腰OCP △的顶点时设(0,)P a ，22CP OP ∴=， ()2222(1)(3)a a ∴-+-=，解得53a =， 综上所述12345(0,10),(0,10),(0,6),0,3P P P P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）4y x =+与x 轴交于点A ，(4,0)A ∴-， 1144822AOB A B S x y ∴=⨯⨯=⨯⨯=， 778COQ AOB S S ==，过Q 作x 轴平行线交CO 于点D ，设(,4)Q m m +，则4,43m D m +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ()12COQ c o S QD y y ∴=⋅-， 14323m m +=⨯+⨯， 143723m m +∴⨯+⨯=， 441433m +∴=， 441433m +∴=或441433m +=-， 解得52m =或92m =-， 513,22Q ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭或91,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．25．某水果生产基地销售苹果，提供以下两种购买方式供客户选择:方式1：若客户缴纳1200元会费加盟为生产基地合作单位，则苹果成交价为3元/千克． 方式2：若客户购买数量达到或超过1500千克，则成交价为3.5元/千克；若客户购买数量不足1500千克，则成交价为4元/千克．设客户购买苹果数量为x (千克)，所需费用为y (元)﹒（1）若客户按方式1购买，请写出y (元)与x (千克）之间的函数表达式．(备注：按方式1购买苹果所需费用=生产基地合作单位会费+苹果成交总价)（2）如果购买数量超过1500千克，请说明客户选择哪种购买方式更省钱．解析：（1）12003y x =+；（2）当15002400x <<时，选择方案二省钱；当 2400x =时，两种方案费用一样；当2400x >时，选择方案一省钱．【分析】（1）根据题意即可得出y （元）与x （千克）之间的函数表达式；（2）设方式2购买时所需费用记作y 2元，求出y 2与x （千克）之间的函数表达式，结合（1）的结论解答即可；【详解】解：（1）根据题意得：12003y x =+．（2）方案一:112003y x =+，方案二:2 3.5y x =，当12y y >，12003 3.5,x x +>2400,x <当12,12003 3.5y y x x =+=，2400,x =当12,12003 3.5y y x x <+>2400,x >∴当15002400x <<时，选择方案二省钱；当2400x =时，两种方案费用一样；当2400x >时，选择方案一省钱．【点睛】此题主要考查一次函数的应用；得到两种方案总付费的等量关系是解决本题的关键． 26．淮北市榴园村，以石榴产业资源及“四季榴园”4A 级旅游风景区为基础，规划面积3.33平方公里，布局为“一区两园一带”．2020年8月26日，榴园村入选第二批全国乡村旅游重点村名单．在坐拥近千亩的塔山明清古石榴园内，有古树587株，平均树龄150岁，是迄今华东地区年代最久远的古代石榴园．榴园村甲农户有20吨石榴，乙农户有30吨石榴，现将这些石榴运到A B 、两个贮藏仓库．已知A 仓库可储存24吨，B 仓库可储存26吨，从甲农户运往A B 、两仓库的费用分别为20元/吨、25元/吨，乙农户运往A B 、两仓库的费用分别为15元/吨、18元/吨．设从甲农户运往A 仓库的石榴为x 吨，甲农户、乙农户的运费分别为y 甲元、y 乙元．（1）请直接写出y 甲，y 乙与x 之间的函数关系式．（不必写出x 的取值范围）． （2）试讨论当x 满足怎样条件时，甲、乙两农户哪户的运费较少?解析：(1) y A =500-5x,，y B =3x+468；（2）当0≤x ＜4时，B 地的费用较少；当x=4时，两地的费用相同；当4＜x≤20时，A 地的费用较少．【分析】（1）甲农户运往A 仓库的石榴为x 吨，则运往B 仓（20-x ）吨，乙农户运往A 仓库的石榴为（24-x ）吨，运往B 仓（x+6）吨，根据费用等于吨数×每吨的费用，即可写出函数解析式；（2）把两个解析式进行比较，解不等式即可．【详解】解：（1）设甲农户运往A 仓库的石榴为x 吨，则运往B 仓（20-x ）吨，乙农户运往A 仓库的石榴为（24-x ）吨，运往B 仓（x+6）吨，则为y A =20x+25（20-x ），即y A =500-5x ；y B =15（24-x ）+18（x+6），即y B =3x+468；（2）根据题意得：020024060x x x x ≥⎧⎪-≥⎪⎨-≥⎪⎪+≥⎩，解得：0≤x≤20， 当y A ＞y B 时，即500-5x ＞3x+468，解得：x ＜4，当y A =y B 时，即500-5x=3x+468，解得：x=4，y A ＜y B 时，即500-5x ＞3x+468，解得：x ＞4．则当0≤x ＜4时，B 地的费用较少；当x=4时，两地的费用相同；当4＜x≤20时，A 地的费用较少．【点睛】本题考查了一次函数的应用，常用的方法就是转化为函数问题，正确表示出从甲农户和乙农户运送到A 和B 各自的吨数是关键．27．为了加强公民的节水意识，某地规定用水收费标准如下：每户每月用水量不超过36m 时，水费按每立方米1.1元收费，超过36m 时，超过部分每立方米按1.6元收费，设每户每月用水量为3m x ，应缴水费为y 元．（1）写出y 与x 之间的函数表达式；（2）如果有两户家庭某月份需缴纳水费为5.5元和9.8元时，求这两户家庭这个月的用水量分别是多少？解析：（1） 1.1(06)1.63(6)x x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩；（2）这两户家庭这个月的用水量分别为35m 和38m 【分析】（1）由题意可分06x ≤≤，x>6两种情况写出y 与x 之间的函数表达式；（2）首先判断消费是否大于1.1×6，若不大于，则采用（1）中06x ≤≤的函数关系式求解，若大于，则采用x>6的函数关系式求解．【详解】解：（1）当06x ≤≤时， 1.1y x =；当6x >， 1.16 1.6(6)y x =⨯+⨯-即 1.63y x =-，所以y 与x 之间的函数表达式为 1.1(06)1.63(6)x x y x x ≤≤⎧=⎨->⎩， （2）因为5.5 1.16<⨯所以用水量不超过6立方米，所以当 5.5y =时，5.5 1.1x =，解得5x =．因为9.8 1.16>⨯所以用水量超过6立方米，所以当9.8y =时，9.8 1.63x =-，解得8x =．答：这两户家庭这个月的用水量分别为35m 和38m【点睛】本题考查一次函数的应用，熟练掌握分段函数的特点和解决方法是解题关键 ． 28．去年我县某学校计划租用6辆客车送240名师生到县学生实训基地参加社会实践活动．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表．设租用甲种客车x 辆，租车总费用为y 元．（2）求出自变量的取值范围；（3）选择怎样的租车方案所需的费用最低？最低费用多少元？解析：（1）y ＝﹣80x +1680；（2）0≤x ≤2且x 为整数；（3）租甲种客车2辆，乙种客车4辆费用最低，最低费用为1520元．【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以得到y （元）与x （辆）之间函数关系式； （2）根据题意和表格中的数据，可以计算出自变量的取值范围；（3）根据一次函数的性质和x 的取值范围，可以得到选择怎样的租车方案所需的费用最。
2021年中考复习数学导学案：行程问题分类讲解
行程问题分类解析1、平均速度平均速度=总路程/总时间1）平均速度不等于速度的平均值。
2〕当以不同速度所行使的多个路程一样时，可以设一样的路程为多个速度的最小公倍数，再用平均速度公式来解。
3〕当以不同的速度行驶多个路程所用的时间一样时，此时求平均速度的值和求速度的平均值是一样的。
2、相遇问题相遇问题是指两物体从两地出发相向而行，经过一段时间后相遇。
相遇时路程、时间以及速度之间有如下的关系：速度和×相遇时间=路程和路程和÷相遇时间=速度和路程和÷速度和=相遇时间3、追及问题追及指速度快的追速度慢的，追及问题中的路程，时间速度这三要素主要表达在路程差〔或追及时间〕、速度差、追及时间上，三者之间的关系如下：速度差×追击时间=路程差路程差÷追及时间=速度差路程差÷速度差=追及时间切记追击问题中追击者速度一定要大于被追者速度，否那么不能追上，反而两人间距会越来越远。
4、环形跑道经典公式：路程＝速度×时间同一地点出发：反向每相遇一次，合走一圈路程和＝速度和×相遇时间同向每追上一次，多走一圈路程差＝速度差×追及时间5、火车过桥火车通过大桥是指从车头上桥算起到车尾离桥为止，全车通过大桥，列车需要运动的总间隔为列车车场与桥长之和。
6、流水行船流水行船问题中速度这一要素具有特殊性，主要表达在顺水速度、船速、水速三者的关系上面：船速+水速=顺水速度船速-水速=逆水速度〔顺水速度+逆水速度〕÷2=船速〔顺水速度-逆水速度〕÷2=水速〔注明：此处船速指的是船在静水中的速度〕注意在不同的运行状态下，相应的量也应该是严格对应的，不可混淆：路程=顺水速度×顺水时间=〔船速+水速〕×顺水时间路程=逆水速度×逆水时间=〔船速-水速〕×逆水时间7、多人行程多人行程问题是常见的行程问题，所适用的公式以及考虑问题的方法都与一般的行程问题类似．多人行程问题题型非常丰富，并没有固定的数量关系，然而因为涉及到三人以上的行程，而使问题显得较为复杂，所以专门作为一种类型进展讲解分类练习一、平均速度平均速度=总路程/总时间拖拉机以每小时20千米的速度行驶一段路程后，立即沿原路以每小时30千米的速度返回原地，这样往返一次的平均速度是每小时多少千米？解析：24千米每小时。
2020—2021学年人教版八下数学第十九章 一次函数 实际应用高频考点复习练习(二 )
人教版八年级下册数学《第十九章一次函数》实际应用高频考点精准复习练习（二）1．根据市卫生防疫部门的要求，游泳池必须定期换水后才能对外开放．在换水时需要经“排水﹣清洗﹣注水”的过程．某游泳馆从早上8：00开始对游泳池进行换水，已知该游泳池的排水速度是注水速度的2倍，其中游泳池内剩余的水量y（m3）与换水时间x（h）之间的函数图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）该游泳池清洗需要小时．（2）求排水过程中的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）求该游泳馆在几点钟换水结束．2．盐城市初级中学为了缓解校门口的交通堵塞，倡导学生步行上学．小丽步行从家去学校，图中的线段表示小丽步行的路程s（米）与所用时间t（分钟）之间的函数关系．试根据函数图象回答下列问题：（1）小丽家离学校米；（2）小丽步行的速度是米/分钟；（3）求出m的值．3．某水果经销商从种植专业户李大爷处购进甲，乙两种水果进行销售．李大爷为了答谢经销商，对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种水果按25元/kg的价格出售．设经销商购进甲种水果x千克，付款y元，y与x之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若该经销商计划一次性购进甲，乙两种水果共200千克，付款总金额为5200元；请问经销商购进甲种水果多少千克？4．某学校、电影院、市体育馆依次在一条东西向的路上．某日，甲同学到距离学校200m的电影院看电影，在电影院内停留60min后，以70m/min的速度步行10min到达市体育馆．甲同学与学校的距离s（单位：m）与时间t（单位：min）的关系如图所示．（1）求甲同学与学校的距离s关于时间t的函数解析式；（2）乙同学在甲到达电影院53min后从学校出发，以50m/min的速度步行去市体育馆，他们会在路上相遇吗？请说明理由．5．为落实学生每天“阳光一小时”校园体育活动，郑州市某学校计划购买一批新的体育用品．经调查了解到甲、乙两个体育用品商店的优惠活动如下：甲商店：所有商品按标价8折出售；乙商店：一次购买商品总额不超过200元的按原价计费，超过200元的部分打6折． 设需要购买体育用品的原价总额为x 元，去甲商店购买应付y 甲元，去乙商店购买应付y 乙元，其函数图象如图所示．（1）分别求y 甲、y 乙与x 的关系式；（2）两图象交于点A ，请求出A 点坐标，并说明点A 的实际意义；（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个商店购买体育用品更合算．6．某天，甲组工人为灾区加工棉衣，工作中有一次停产检修机器，然后继续加工，由于任务紧急，乙组工人加入与甲组工人一起加工棉衣，甲停产前后各保持匀速生产，乙在工作时间内保持匀速生产，两组各自加工棉衣的数量y （件）与甲组工人加工时间x （小时）的函数图象如图所示．（1）求乙组加工棉衣的数量y 与时间x 之间的函数关系式；（2）直接写出甲组加工棉衣总量a 的值．（3）如果要求x ＝8时，加工棉衣的总数量为480件，求乙组工人应提前多长时间加工棉衣．7．某医药研究所开发了一种新药，在实际用药时发现，某人服药后身体内每毫升血液中含药量y（毫克）随时间x（小时）的变化情况如图所示．（1）服药后小时每毫升血液中含药量达到峰值（最大）为毫克．（2）在其身体内每毫升血液含药量由峰值降为零这段时间内，求y与x的函数解析式，并写出定义域．（3）研究表明，身体内每毫升血液中含药量不到2毫克时才能驾驶车辆，如果某人上午9：00服药，那么下午14：30能否驾驶车辆？8．已知A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一公路从A地出发到B地，甲骑摩托车，乙骑电动车，图中DE、OC分别表示甲、乙离开A地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象．（1）乙先出发，甲后出发，相差h；（2）甲骑摩托车的速度为60km/h，直接写出甲离开A地后s（km）与时间t（h）的函数表达式及自变量t的取值范围；（3）当乙出发几小时后，两人相遇．9．甲，乙两地相距480千米，货车和轿车先后从甲地出发驶向乙地，其中货车先出发0.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与货车行驶时间x（小时）之间货（千米）与货车行驶时间x（小时）之的图象关系，折线BCD表示轿车离甲地的距离y轿间的图象关系，根据图象解答下列问题：（1）货车的速度＝千米/小时，y＝（用含x的代数式表示）；货（千米）与货车行驶时间x（小时）的关系式；（2）①当0.5≤x＜5.5时，求y轿②当轿车追上货车时，求x的值．（3）轿车追上货车后，两车继续行驶至乙地，当两辆车相距20千米时，求x的值．10．下面图象所反映的过程是：张强家、早餐店、体育场依次在同一条直线上．张强从家出发匀速跑步去体育场，在那里锻炼了一段时间后，又匀速步行去早餐店吃早餐，然后匀速散步回到家，其中x表示张强离开家的时间，y表示张强离家的距离．请根据相关信息，解答下列问题：（Ⅰ）填表：张强离开家的时间∕min58152040张强离家的距离∕km12（Ⅱ）填空：①张强从家出发到体育场的速度为km/min；②张强在体育场运动的时间为min；③张强从体育场到早餐店的速度为km/min；④当张强离家的距离为0.6千米时，他离开家的时间为min．（Ⅲ）当0≤x≤30时，请直接写出y关于x的函数解析式．11．小明上午8：00从家里出发，骑车去一家超市购物，然后从这家超市回到家中，小明离家的路程s（千米）和所经过的时间t（分）之间的函数关系如图所示，请根据图象回答问题：（1）小明去超市途中的速度是千米/分；回家途中的速度是千米分；小明在超市逗留的时间是分钟；（2）当0≤t≤10时，求路程s（千米）和所经过的时间t（分）之间的函数关系式；（3）小明在来去的途中，当小明离家1km时，则t的值为．12．某人因需要经常去复印资料，甲复印社按A4纸每10页2元计费，乙复印社则按A4纸每10页1元计费，但需按月付一定数额的承包费．两复印社每月收费情况如图所示，根据图中提供的信息解答下列问题：（1）乙复印社要求客户每月支付的承包费是元；（2）乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式是；（3）当每月复印页时，两复印社实际收费相同；（4）如果每月复印200页时，应选择复印社？13．A，B两地相距50km，甲于某日骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车从A地出发驶往B地，在这个变化过程中，甲和乙所行驶的路程用变量S（km）表示，甲所用的时间用变量t（小时）表示，图中折线OPQ和线段MN分别表示甲和乙所行驶的路程S与t的变化关系，请根据图象回答：（1）直接写出：甲出发后小时，乙才开始出发；（2）乙的行驶速度是千米/小时；（3）求乙行驶几小时后追上甲，此时两人相距B地还有多少千米？14．如图，五一期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以上信息，解答下列问题：（1）设租车时间为x（0＜x≤24）小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1，y2关于x的函数解析式；（2）请你帮助小明计算选择哪个出游方案合算．15．小明从甲地匀速步行前往乙地，同时小红从乙地沿同一路线匀速步行前往甲地，两人之间的距离y（m）与步行时间x（min）之间的函数关系如图中折线所示．（1）小明与小红出发min相遇；（2）在步行过程中，若小明先到达乙地．①求小明和小红的步行速度；②求出点C的坐标，并解释点C的实际意义．参考答案1．解：（1）由题意可得，该游泳池清洗需要：2.7﹣1.5＝1.2（小时），故答案为：1.2；（2）设排水过程中的y（m3）与x（h）之间的函数关系式为：y＝kx+b，由题意得，，解得：，∴排水过程中的y与x之间的函数关系式为：y＝﹣800x+1200（0≤x≤1.5）；（3）由题意可得，排水的速度为：1200÷1.5＝800（m3/h），∴灌水的速度为：800÷2＝400（m3/h），∴灌水用的时间为：1200÷400＝3h，∴对外开放的时间为：8+2.7+3＝13.7（h）＝13：42，∴该游泳馆在13点42分换水结束．2．解：（1）根据题意可知，小丽家离学校1000米，故答案为：1000；（2）小丽步行的速度是：1000÷10＝100（米/分钟），故答案为：100；（3）m＝4×100＝400．3．（1）解：当0≤x≤50时，设函数为y＝kx（k≠0），∵图象经过点（50，1500），∴50k＝1500，解得k＝30，∴y＝30x；当x＞50时，设函数为y＝kx+b（k≠0），∵图象经过点（50，1500），（70，1980），∴，解得k＝24，b＝300，∴y＝24x+300．故答案为：y＝．（2）设购进甲x千克，则购进乙（200﹣x）千克，当0≤x≤50时，由（1）可列方程：30x+25（200﹣x）＝5200，30x+5000﹣25x＝5200，x＝40，∴经销商购进甲种水果40千克，乙种水果160千克；当x＞50时，由（1）可列方程得：24x+300+25（200﹣x）＝5200，24x+300+5000﹣25x＝5200，x＝100，∴经销商购进甲种水果100千克，乙种水果100千克．综上所述：经销商购进甲种水果40千克或100千克．4．解：（1）由题可设l AB的解析式为s＝k1t+b1（k1≠0），依题意，体育馆与学校的距离为70×20+200＝900，所以B（200，900）．把A（60，200），B（200，900）分别代入s＝k1t+b，得解得所以l AB的解析式为s＝70t﹣4000（60≤t≤70），所以甲同学与学校的距离s关于时间t的函数解析式为s＝；（2）他们会在路上相遇，理由如下：由题可知，对于乙同学，s 与t 的关系为：s ＝50（t ﹣53）（53≤t ≤71）． 即s ＝50t ﹣2650 （53≤t ≤71）．当53≤t ＜60时，甲在电影院内，乙在路上行走，两人不会相遇． 当60≤t ≤70时，解方程组可得t ＝67.5，因为60≤67.5≤70，即在甲从电影院到体育馆的路上，两人会相遇． 所以他们会在路上相遇．5．解：（1）由题意可得，y 甲＝0.8x ；乙商店：当0≤x ≤200时，y 乙与x 的函数关系式为y 乙＝x ； 当x ＞200时，y 乙＝200+（x ﹣200）×0.6＝0.6x +80， 由上可得，y 乙与x 的函数关系式为y 乙＝；（2）由，解得，点A 的实际意义是当买的体育商品标价为400元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是320元；（3）由点A 的意义，结合图象可知，当x ＜400时，选择甲商店更合算；当x ＝400时，两家商店所需费用相同；当x ＞400时，选择乙商店更合算． 6．解：（1）设y 乙＝kx +b （k ≠0）， 将（4.5，0），（8，252）代入得：，解得，∴y 乙＝72x ﹣324；（2）把x ＝7代入y 乙＝72x ﹣324，得y 乙＝72×7﹣324＝180，当4≤x ≤8时，设甲组加工棉衣的数量y 与时间x 之间的函数关系式为y 甲＝mx +n ， 将（7，180），（4，90）代入得：，解得，＝30x﹣30（4≤x≤8），∴y甲将x＝8代入，得y＝30×8﹣30＝210，甲即a＝210；（3）由图象可知，乙组工人加工252件棉衣所用时间为：8﹣4.5＝3.5（小时），∴乙的加工速度为：252÷3.5＝72（件/小时），∵480﹣210＝270（件），270÷72＝3.75（小时），∴3.75﹣3.5＝0.25（小时），即乙组工人应提前0.25小时加工棉衣．7．解：（1）由题意可知，服药后2小时每毫升血液中含药量达到峰值（最大）为6毫克．故答案为：2；6；（2）设这段时间内，求y与x的函数解析式为y＝kx+b，根据题意，得，解得，∴y＝﹣x+8（2≤x≤8）；（3）当y＝2时，﹣x+8＝2，解得x＝6，上午9：00服药，含量低于2mg时，所用时间为：2+6＝8（h），此时为17：00，因此，14：30不能驾驶车辆．8．解：（1）根据题意，得乙先出发，甲后出发，相差1h；故答案为：1；＝60t+b，（2）由题意，可设甲离开A地后s（km）与时间t（h）的函数表达式为：s甲根据题意，可得点E的横坐标为：1+80÷60＝，＝60t+b经过（，80），∴s甲，解得b＝﹣60，∴s 甲＝60t ﹣60（）；（3）由题意设OC 解析式为s 乙＝kt （k ≠0），将（1，0）代入，得k ＝，∴s 乙＝t （0≤t ≤3），∴60t ﹣60＝，解得t ＝1.8，所以两人出发1.8h 后，两人相遇．9．解：（1）货车的速度为：480÷6＝80（千米/小时）， y 货＝80x （0≤x ≤6）； 故答案为：80；80x ；（1）①当0.5≤x ＜2.5时，设y 轿（千米）与货车行驶时间x （小时）的关系式为设y 轿＝kx +b ， 根据题意，得，解得，所以y 轿＝60x ﹣30（0.5≤x ＜2.5）； 当2.5＜x ＜5.5时，设y 轿＝nx +m ， 根据题意，得，解得，所以y 轿＝120x ﹣180（2.5＜x ＜5.5）， 综上所述，y 轿＝；②由图得，在2.5＜x ＜5.5中相遇，令y 货＝y 轿， 得120x ﹣180＝80x ， 解得x ＝4.5，即x ＝4.5h 时轿车追上货车；（3）当轿车在货车前20千米时，（120x ﹣180）﹣80x ＝20，解得x ＝5； 当轿车到达终点，货车离终点20千米时，80x ＝480﹣20，解得x ＝．答：车追上货车后，两车继续行驶至乙地，当两辆车相距20千米时，x＝5或．10．解：（Ⅰ）张强从家跑步去体育场的速度为：2÷10＝0.2（km/min），所以离家8分钟时，离家距离为：0.2×8＝1.6（km），由图象可知，离家20分钟时，离家距离为2km；离家40分钟时，离家距离为1.2km．张强离开家的时间∕min58152040张强离家的距离∕km1 1.622 1.2故答案为：1.6，2，1.2；（Ⅱ）根据题意，得：①张强从家跑步去体育场的速度为：2÷10＝0.2（km/min）；②张强在体育场运动的时间为：20﹣10＝10（min）；③张强从体育场到早餐店的速度为：（2﹣1.2）÷10＝0.08（km/min）．④当张强离家的距离为0.6千米时，他离开家的时间为：0.6÷0.2＝3（min）或40+（1.2﹣0.6）÷[1.2÷（70﹣40）]＝55（min）；故答案为：①0.2；②10；③0.08；④3或55；（Ⅲ）当0≤x≤10时，y＝0.2x；当10＜x≤20时，y＝2；当20＜x≤30时，设y＝kx+b，由题意得：，解得：，∴y＝﹣0.08x+3.6．综上所述，y＝．11．解：（1）明去超市用10分钟，所走路程为4千米，∴V＝＝0.4（千米/分钟）；去超市途中回家用时：60﹣40＝20（分钟），所走路程为4千米，∴V＝＝0.2（千米/分钟）；回家途中小明在超市逗留的时间是40﹣10＝30（分钟）；故答案为：0.4；0.2；30；（2）当0≤t≤10时，路程s（千米）和所经过的时间t（分）之间的函数关系式为：s＝0.4t；（3）当0≤t≤10时，若s＝1，则0.4t＝1，解得t＝2.5，当40≤t≤60时，路程s（千米）和所经过的时间t（分）之间的函数关系式为：s＝﹣0.2t+12，若s＝1，则﹣0.2t+12＝1，解得t＝55，故答案为：2.5或55．12．解：（1）由图可知，乙复印社要求客户每月支付的承包费是18元，故答案为：18；（2）设乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），∵直线经过点（0，18）和（50，22），∴代入解析式得：，解得：，∴乙复印社收费情况y关于复印页数x的函数解析式为y＝x+18，故答案为：y＝x+18；（3）设甲对应的函数解析式为y＝ax，∴50a＝10，解得，a＝，即甲对应的函数解析式为y＝x，令x＝+18，解得：x＝150（页）．答：当每月复印150页时，两复印社实际收费相同，故答案为：150；（4）当x＝200时，甲复印社的费用为：×200＝40（元），乙复印社的费用为：×200+18＝34（元），∵40＞34，∴当x＝200时，选择乙复印社，故答案为：乙．13．解：（1）t＝1时，S＝0，所以甲出发后1小时，乙才开始出发．故答案为：1；（2）乙的速度为：50÷（3﹣1）＝25（千米/时），甲出发1小时之前的速度为：20÷1＝20（千米/时），甲出发1小时后的速度为：（50﹣20）÷（4﹣1）＝10（千米/时）．故答案为：25．（3）设乙行驶t小时后追上甲，根据题意得：20+10t＝25t，解得t＝，即乙行驶小时后追上甲，此时两人距B地还有（千米）；答：乙行驶小时后追上甲，此时两人距B地还有千米．14．解：（1）设y1＝k1x+80，把点（1，94）代入，可得94＝k1+80，解得k1＝14，∴y1＝14x+80（x≥0）；设y2＝k2x，把（1，30）代入，可得30＝k2，即k2＝30，∴y2＝30x（x≥0）；（2）当y1＝y2时，14x+80＝30x，解得x＝5；当y1＞y2时，14x+80＞30x，解得x＜5，当y1＜y2时，14x+80＜30x，解得x＞5，∴当租车时间为5小时，选择甲乙公司一样；当租车时间小于5小时，选择乙公司合算；当租车时间大于5小时，选择甲公司合算．15．解：（1）由图象可得小明与小红出发30min相遇，故答案为：30；（2）①设小红步行的速度为V1（m/min），小明步行的速度为V2（m/min），且V2＞V1，则，解得，故小红步行的速度为80m/min，小明步行的速度为100m/min；②设点C的坐标为（x，y），则可得方程（100+80）（x﹣30）+80（67.5﹣x）＝5400，解得x＝54，y＝（100+80）（54﹣30）＝4320m，故点C表示：两人出发54min时，小明先到达乙地，此时两人相距4320m．。
新人教版八年级下册数学第十九章一次函数知识点总结(K12教育文档)
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八年级下册数学第十九章一次函数知识点总结一、基本概念:1. 变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。
常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。
2.函数定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y,并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量,y是x 的函数。
如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。
3、定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.4、确定函数定义域的方法：（即:自变量取值范围）（1)关系式为整式时，函数定义域为全体实数；(2）关系式含有分式时,分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5)实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
5、函数解析式用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
（或：用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间关系的式子叫做函数的解析式。
）使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
6、函数图像的性质：一般地,对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像.7、函数的三种表示法及其优缺点（1）解析法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
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2021中考总复习第十九章数学知识点归纳
：
考点一、平面直角坐标系 3分
1、平面直角坐标系
在平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角坐标系。
其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为正方向;铅直的数轴叫做y轴或纵轴，
取向上为正方向;两轴的交点O即公共的原点叫做直角坐标系的原点;建立了直角坐标系的
平面，叫做坐标平面。
为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，
分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x轴和y轴上的点，不属于任何象限。
2、点的坐标的概念
点的坐标用a，b表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。
平面内点的坐标是有序实数对，当时，a，b和b，a是两个不同
点的坐标。
考点二、不同位置的点的坐标的特征 3分
1、各象限内点的坐标的特征
点Px,y在第一象限
点Px,y在第二象限
点Px,y在第三象限
点Px,y在第四象限
2、坐标轴上的点的特征
点Px,y在x轴上，x为任意实数
点Px,y在y轴上，y为任意实数
点Px,y既在x轴上，又在y轴上x，y同时为零，即点P坐标为0，0
3、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征
点Px,y在第一、三象限夹角平分线上x与y相等
点Px,y在第二、四象限夹角平分线上x与y互为相反数
4、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征
位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。
位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。
5、关于x轴、y轴或远点对称的点的坐标的特征
点P与点p’关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数
点P与点p’关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数
点P与点p’关于原点对称横、纵坐标均互为相反数
6、点到坐标轴及原点的距离
点Px,y到坐标轴及原点的距离：
1点Px,y到x轴的距离等于
2点Px,y到y轴的距离等于
3点Px,y到原点的距离等于
考点三、函数及其相关概念 3~8分
1、变量与常量
在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量。
一般地，在某一变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。
2、函数解析式
用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。
使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。
3、函数的三种表示法及其优缺点
1解析法
两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。
2列表法
把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫
做列表法。
3图像法
用图像表示函数关系的方法叫做图像法。
4、由函数解析式画其图像的一般步骤
1列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
2描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
3连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。
考点四、正比例函数和一次函数 3~10分
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，如果k，b是常数，k0，那么y叫做x的一次函数。
特别地，当一次函数中的b为0时，k为常数，k0。
这时，y叫做x的正比例函数。
2、一次函数的图像
所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：
一次函数的图像是经过点0，b的直线;正比例函数的图像是经过原点0，0的直线。
一般地，正比例函数有下列性质：
1当k>0时，图像经过第一、三象限，y随x的增大而增大;
2当k<0时，图像经过第二、四象限，y随x的增大而减小。
5、一次函数的性质
一般地，一次函数有下列性质：
1当k>0时，y随x的增大而增大
2当k<0时，y随x的增大而减小
6、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式k0中的常数k。
确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式k0中的常数k和b。
解这类问题的一般方法是待定系数法。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。