《近世代数之群论》PPT课件
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近世代数课件--第二章群论§2元素的阶
(ak )n1 akn1 ank1 (an )k1 e
设 (ak )mห้องสมุดไป่ตู้ e ，则
akm e n | km n1 | k1m n1 | m
ak
n1
n. (n, k)
2020/2/8
两个推论：
推论1 在群中，若 | a | st ,则 | a s | t
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(2)a
1 0
0 1
,
b
0 1
1 1
Q
ab
0 1
1 1
,
ba
1 1
0 1
,
| a | 4,| b | 3,| ab |
2020/2/8
思考题： 设G是群，且|G|>1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数.
定理1
有限群 G 中每个元素的阶均有限.
证明：设 G n
a G ，在 a,a2, ,an ,an1 G
中必有相等的. 设
as at ,1 t s n 1,
则 a st e ，从而阶有限.
2020/2/8
注： 无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，
甚至可能都有限.
(am )n amn
，其中 m, n 为任意整数.
2020/2/8
定义1
设 a 为群 G 的一个元素，使 an e
的最小正整数 n 叫做元素 a 的阶，记作
a n ；若不存在这样的 n ，则称 a 的阶
设 (ak )mห้องสมุดไป่ตู้ e ，则
akm e n | km n1 | k1m n1 | m
ak
n1
n. (n, k)
2020/2/8
两个推论：
推论1 在群中，若 | a | st ,则 | a s | t
GL2(Q) 是有理数域Q上的全体二阶满秩
方阵关于矩阵乘法做成的群.
(2)a
1 0
0 1
,
b
0 1
1 1
Q
ab
0 1
1 1
,
ba
1 1
0 1
,
| a | 4,| b | 3,| ab |
2020/2/8
思考题： 设G是群，且|G|>1. 证明：若G中除e外其 余元素的阶都相同，则这个相同的阶不是无 限，就是素数.
定理1
有限群 G 中每个元素的阶均有限.
证明：设 G n
a G ，在 a,a2, ,an ,an1 G
中必有相等的. 设
as at ,1 t s n 1,
则 a st e ，从而阶有限.
2020/2/8
注： 无限群中元素的阶可能无限，也可能有限，
甚至可能都有限.
(am )n amn
，其中 m, n 为任意整数.
2020/2/8
定义1
设 a 为群 G 的一个元素，使 an e
的最小正整数 n 叫做元素 a 的阶，记作
a n ；若不存在这样的 n ，则称 a 的阶
近世代数课件(全)--2-4 循环群
2012-9-19
定理6 n 阶循环群 G ( a ) 有且只有 n 的正因数 T(n)个子群. 证：（1）( a ), ( a ), , ( a ) ，则
(a ) (a )
k d
是 ( a ) 的全部子群; （2）对于每个 1 k n，若 ( k , n ) d
1 2 n
G { , a
2
；且
2
,a
1
, a , a , a ,}
0
2.G是n阶循环群 a n ；且
G {a , a , , a }
1 2 n
3.G是n阶循环群， k k a 是G的生成元 a n
推论 若循环群 a ，则 G a 1 . G
2012-9-19
;
d
（3）若 d | n ，则 ( a ) 是唯一一个 阶为n/d的子群.
2012-9-19
G ( a ) ，则 ( a k ) G .
km
证： a km , a kn ( a k )
(a
kn
)
1
a
k(mn)
(a )
k
定理5 证：
无限循环群 G ( a ) 有无限多个子群.
( a ), ( a ), ( a ), 是 ( a ) 的全部
m n
0
1
2
不同的子群（若 ( a ) ( a ) ，则 m | n , n | m ，于是 m n .）
三、数量 定理2 循环群 G a ，则
(1) 若G是无限阶循环群，则G与整数加群同构. (2) 若G是n阶循环群，则G与模n的剩余类加群 同构.
证明： （1） : a k , k Z
定理6 n 阶循环群 G ( a ) 有且只有 n 的正因数 T(n)个子群. 证：（1）( a ), ( a ), , ( a ) ，则
(a ) (a )
k d
是 ( a ) 的全部子群; （2）对于每个 1 k n，若 ( k , n ) d
1 2 n
G { , a
2
；且
2
,a
1
, a , a , a ,}
0
2.G是n阶循环群 a n ；且
G {a , a , , a }
1 2 n
3.G是n阶循环群， k k a 是G的生成元 a n
推论 若循环群 a ，则 G a 1 . G
2012-9-19
;
d
（3）若 d | n ，则 ( a ) 是唯一一个 阶为n/d的子群.
2012-9-19
G ( a ) ，则 ( a k ) G .
km
证： a km , a kn ( a k )
(a
kn
)
1
a
k(mn)
(a )
k
定理5 证：
无限循环群 G ( a ) 有无限多个子群.
( a ), ( a ), ( a ), 是 ( a ) 的全部
m n
0
1
2
不同的子群（若 ( a ) ( a ) ，则 m | n , n | m ，于是 m n .）
三、数量 定理2 循环群 G a ，则
(1) 若G是无限阶循环群，则G与整数加群同构. (2) 若G是n阶循环群，则G与模n的剩余类加群 同构.
证明： （1） : a k , k Z
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
近世代数引论PPT课件
域是近世代数中的一个基本概念，它是一个加法群和 一个乘法半群的组合，具有一些重要的性质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
THANKS
感谢观看
环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
详细描述
域是一个非空集合，其中定义了两种运算：加法和乘法 ，满足一定的性质。在域中，加法和乘法都是可逆的， 即每个元素都有唯一的加法逆元和乘法逆元。此外，域 中的乘法满足结合律，且每个元素都有乘法单位元。
子域与扩域
环论在几何学中的应用
环论也是近世代数的一个重要分支，它在几何学中也有着广泛的应用。例如，在代数几 何中，环论被用于描述多项式环的结构；在解析几何中，环论也被用于描述函数的性质。
数论中的应用
域论在数论中的应用
域论是近世代数中一个重要的分支，它在数论中有着广泛的应用。例如，在代数数论中，域论被用于描述代数数 的性质；在数论中，域论也被用于研究整数的性质和结构。
分式域与函数域
总结词
分式域和函数域是两种特殊的域，它们在数学和物理 中有广泛的应用。分式域是由其整环的分式组成的域 ，而函数域则是基于函数的定义域和值域形成的域。
详细描述
分式域是由一个整环的分式组成的域。整环是一个只含 有限除数的环，也就是说，如果一个元素在整环中不能 被其他元素整除，则该元素被称为不可约元素。分式环 是由整环中所有分式组成的集合，它构成一个域。函数 域是基于函数的定义域和值域形成的域。具体来说，给 定一个函数f和一个集合D，函数域是由集合D中所有可 能的函数值组成的集合，它也构成一个域。
交叉学科的研究
近世代数与其他学科的交叉研究也是未来的一个重要方向，如 代数几何、代数数论、计算机科学等学科的交叉研究，可以促
进近世代数的发展和应用。
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环论
环的定义和性质
要点一
总结词
环是具有加法和乘法两种运算的代数系统，满足一定的性 质。
近世代数课件--1.3子群
iI
设 G 是一个群.若 S 是 G 的一个子集,则存 在 G 的子群 H ,使得 S H ,例如, H G 就是 这样的子群.此外,容易验证,若 H1 与 H2 是群 G 的两个子群,并且集合 H1 与集合 H2 互不包含, 则 H1 H2 不是群 G 的子群.
2020/9/
数学与计算科学学院Company Logo
§3 子 群
命题 3.5 设 G 是一个群, S 是 G 的一个 子集.令 {Hi}iI 表示 G 的包含 S 的所有子群. 则 Hi 是 G 的包含 S 的最小子群,也就是
iI
说, Hi 是 G 的包含 S 的子群,并且,对于G iI
的包含 S 的任何子群 H 都有 Hi H .□ iI
ae ea a ; aa1 a1a e . 所以 H 关于 H 上的代数运算“ ”构成一个群.□
2020/9/
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§3 子 群
例 1 (R , ) 是 (C, ) 的子群, (Q , ) 是 (R , ) 的 子 群 , (Z, ) 是 (Q , ) 的 子 群 ; (R \{0}, ) 是 (C \{0}, ) 的子群, (Q \{0}, ) 是 (R \{0}, ) 的子群.
例 2 设 P 是一个数域, nN .于是, SLn (P ) 是 GLn (P ) 的子群.(参看§2 的例 2).若令 H 表示数域 P 上全体 n 级可逆的上三角形矩阵构成的集合, K 表示 数域 P 上全体 n 级可逆的对角形矩阵构成的集合,则 H 是 GLn (P ) 的子群, K 是 H 的子群.
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§3 子 群
定理 3.3 设 G 是一个群, H 是 G 的一个 非空子集.那么, H 为 G 的子群的充分必要条件 是:
设 G 是一个群.若 S 是 G 的一个子集,则存 在 G 的子群 H ,使得 S H ,例如, H G 就是 这样的子群.此外,容易验证,若 H1 与 H2 是群 G 的两个子群,并且集合 H1 与集合 H2 互不包含, 则 H1 H2 不是群 G 的子群.
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§3 子 群
命题 3.5 设 G 是一个群, S 是 G 的一个 子集.令 {Hi}iI 表示 G 的包含 S 的所有子群. 则 Hi 是 G 的包含 S 的最小子群,也就是
iI
说, Hi 是 G 的包含 S 的子群,并且,对于G iI
的包含 S 的任何子群 H 都有 Hi H .□ iI
ae ea a ; aa1 a1a e . 所以 H 关于 H 上的代数运算“ ”构成一个群.□
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§3 子 群
例 1 (R , ) 是 (C, ) 的子群, (Q , ) 是 (R , ) 的 子 群 , (Z, ) 是 (Q , ) 的 子 群 ; (R \{0}, ) 是 (C \{0}, ) 的子群, (Q \{0}, ) 是 (R \{0}, ) 的子群.
例 2 设 P 是一个数域, nN .于是, SLn (P ) 是 GLn (P ) 的子群.(参看§2 的例 2).若令 H 表示数域 P 上全体 n 级可逆的上三角形矩阵构成的集合, K 表示 数域 P 上全体 n 级可逆的对角形矩阵构成的集合,则 H 是 GLn (P ) 的子群, K 是 H 的子群.
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§3 子 群
定理 3.3 设 G 是一个群, H 是 G 的一个 非空子集.那么, H 为 G 的子群的充分必要条件 是:
近世代数主要知识点PPT课件
• 假如运算1和1‘来说，有一个A到A’的满射的同态映射存在，同态满射 • 同构映射 一一映射的同态映射就是一个同构映射 • 自同构
第8页/共27页
等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
第22页/共27页
除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
第21页/共27页
交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
第5页/共27页
代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：
第8页/共27页
等价关系与等价类
• 集合的等价关系 。Ⅱ，
对称律:a～b＝>b～a Ⅲ，推移律：a～b，b～c=>a～c 同余关系
第22页/共27页
除环、域
• 除环 1， R至少包含一个而不等于零的元
的每一个不等于零的元有一个逆元
2，R有单位元
3，R
• 域 一个交换除环叫做一个域
• 在一个没有零因子的环里所有不等于零的元对于加法来说的阶都一样的
• 一个无零因子的环里的非零元的相同的阶叫做环的特征
• 整环 除环 域 的特征或是无限大 或是一个素数
（b+c）a=ba+ca
第21页/共27页
交换律、单位元、零因子、整环
• 交换环 一个环 假如 ab=ba不管a b是环的哪两个元 • 单位元 ea=ae=a 一个环未必有单位元 • 零因子 若环里a≠0，b≠0但 ab=0 那么 a是左零因子 b 右零因子 • 整环 一个环叫做整环 如果 1.乘法适合交换律：ab=ba 2 .R有单位元1：1a=a1=a 3 R没有零因子ab=0=>a=0或b=0
合D的一个映射
像 逆象，
• 映射的相同 效果相同就行
第5页/共27页
代数运算
• 定义一个A×B到D的映射叫做一个A×B到D的代数运算 • 代数运算是一种特殊的映射 描写它的符号，也可以特殊一点，一个代数运算我们用。来
表示 • 二元运算 假如。是一个A×A到A的代数运算，我们说集合A是闭的 二元运算
换群 • 定理2 一个集合的所有一一变换做成一个变换群 • 定理3 任何一个群都同一个变换群同构 证明，假定G是一个群，G的元是a，b，c ·······我们在G里任意取出一个元x来，那么גx：
近世代数课件群的概念
ae ea , a G ; (3)对于任意的 a G ,存在 bG ,使得
ab ba e , 则称 (G, ) 是一个群;不致混淆时,简称 G 是一个群.
§2 群的概念
当 (G, ) 是一个群时,我们就称 G 关于“ ”构成一 个群.
设 (G, ) 是一个群. 若“ ”适合交换律,则称 (G, ) 是交换群或 Abel 群. 若 G 是有限集,则称 (G, ) 是有限群.若 G 是无限集,则 称 (G, ) 是无限群.当 (G, ) 是有限群时,如 G 是由 n 个不同的 元素构成集合,我们就说群 (G, ) 的阶为 n ,记作 | G | n .当 (G, ) 是 无限 群时,我们就说群 (G, ) 的 阶为无 限 大,记作 |G|.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
上述的幂的性质应改称为倍元的性质:对于任 意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
Ⅰ. (na) (n)a ; Ⅱ. ma na (m n)a ; Ⅲ. n(ma) (mn)a ; Ⅳ. n(a b) na nb .
§2 群的概念
定义 2.4 设 A 是一个非空集合. A 到 A 的映射又称为 A 的变换.特别地, A 到 A 的双射又称为 A 的一一变换; A 到 A 的单位映射又称 为 A 的单位变换. A 的一个一一变换 f 作为映射时的 逆映射 f 1 称为变换 f 的逆变换. 令 X 表示 A 的所有变换构成的集合.我们定义 X 上的乘法“ ”如下:对于任意的 f , g X ,
ab ba e , 则称 (G, ) 是一个群;不致混淆时,简称 G 是一个群.
§2 群的概念
当 (G, ) 是一个群时,我们就称 G 关于“ ”构成一 个群.
设 (G, ) 是一个群. 若“ ”适合交换律,则称 (G, ) 是交换群或 Abel 群. 若 G 是有限集,则称 (G, ) 是有限群.若 G 是无限集,则 称 (G, ) 是无限群.当 (G, ) 是有限群时,如 G 是由 n 个不同的 元素构成集合,我们就说群 (G, ) 的阶为 n ,记作 | G | n .当 (G, ) 是 无限 群时,我们就说群 (G, ) 的 阶为无 限 大,记作 |G|.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
上述的幂的性质应改称为倍元的性质:对于任 意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
Ⅰ. (na) (n)a ; Ⅱ. ma na (m n)a ; Ⅲ. n(ma) (mn)a ; Ⅳ. n(a b) na nb .
§2 群的概念
定义 2.4 设 A 是一个非空集合. A 到 A 的映射又称为 A 的变换.特别地, A 到 A 的双射又称为 A 的一一变换; A 到 A 的单位映射又称 为 A 的单位变换. A 的一个一一变换 f 作为映射时的 逆映射 f 1 称为变换 f 的逆变换. 令 X 表示 A 的所有变换构成的集合.我们定义 X 上的乘法“ ”如下:对于任意的 f , g X ,
近世代数群的概念课件
反身性
任何元素与自己相乘的结果仍为该元素本身。
可交换性
对于任意$a, b$在群中，有$a cdot b = b cdot a$。
可结合性
对于任意$a, b, c$在群中，有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
子群与商群
子群
一个子群是一个集合在某个二元运算 下构成一个群，且该子集是原群的非 空子集。
05
有限群的结构
有限群的分 类
阿贝尔群和非阿贝尔群
01
根据群中元素的乘法是否满足交换律，可以将有限群分为阿贝
尔群和非阿贝尔群。
循环群和非循环群
02
根据群中是否存在循环子群，可以将有限群分为循环群和非循
环群。
素数阶群和非素数阶群
03
根据群的阶是否为素数，可以将有限群分为素数阶群和非素数
阶群。
有限群的Sylow定理
近世代数群的概念
目 录
• 群的定义与性质 • 群的表示与同态 • 循环群与交换群 • 群的扩张与直积 • 有限群的结构 • 群的应用
contents
01
群的定义与性质
群的定 义
群的定义
一个群是由一个集合和一个 在其上的二元运算所组成， 满足结合律、存在单位元、 存在逆元的代数系统。
结合律
群中的二元运算满足结合律， 即对于任意$a, b, c$在群中， 有$(a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)$。
单位元
群中存在一个元素$e$，使 得对于任意$a$在群中，有 $e cdot a = a cdot e = a$。
逆元
对于任意$a$在群中，存在 一个元素$b$，使得$a cdot b = b cdot a = e$，其中 $e$是单位元。
近世代数课件(全)--2-8 不变子群和商群
r
r
所以
G / N { bN | b G } ( aN )
为循环群.）
2012-9-19
练习： 1. 设G 为整数加群, （1）证明 N 2. G S 3 , （1）证明 N
N 5 g
g G
G ；（2）求 G / N .
N {(1), (1 2 3 ), (1 3 2 )}
，所以 N 是 G 的不变子群.
2012-9-19
三、不变子群的性质 性质1 设 N G ，则 N 是 G 的不变子群
a G ,有 a N N a a G ,有 a N a 1 N a G ， n N ,有 a n a 1 N
性质2 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G 的不变子群. 性质3 不变子群与子群的乘积是子群； 不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
h x x h1 h2
Hx
2012-9-19
1
1
x H H x xH
x
1
H xH H x xH H x
一、引理 H 思考题1： G ， S L { aH | a G } 关于子集乘法做成群吗？ 引理 H G ，则 a , b G , aH bH 仍是左陪集 x G , xH H x 答： H G 且 x G , xH H x ，则 S L { a H | a G } 关于陪集乘法
B4
K4
K4
S4
B 4 不是 S 的不变子群. 4
2012-9-19
性质4
H , H G ，但 N 未必是 G 的不变子群，即无传递性.
N
性质5 N H G ，且 N
r
所以
G / N { bN | b G } ( aN )
为循环群.）
2012-9-19
练习： 1. 设G 为整数加群, （1）证明 N 2. G S 3 , （1）证明 N
N 5 g
g G
G ；（2）求 G / N .
N {(1), (1 2 3 ), (1 3 2 )}
，所以 N 是 G 的不变子群.
2012-9-19
三、不变子群的性质 性质1 设 N G ，则 N 是 G 的不变子群
a G ,有 a N N a a G ,有 a N a 1 N a G ， n N ,有 a n a 1 N
性质2 群 G 的任何两个不变子群的交还是 G 的不变子群. 性质3 不变子群与子群的乘积是子群； 不变子群与不变子群的乘积是不变子群.
h x x h1 h2
Hx
2012-9-19
1
1
x H H x xH
x
1
H xH H x xH H x
一、引理 H 思考题1： G ， S L { aH | a G } 关于子集乘法做成群吗？ 引理 H G ，则 a , b G , aH bH 仍是左陪集 x G , xH H x 答： H G 且 x G , xH H x ，则 S L { a H | a G } 关于陪集乘法
B4
K4
K4
S4
B 4 不是 S 的不变子群. 4
2012-9-19
性质4
H , H G ，但 N 未必是 G 的不变子群，即无传递性.
N
性质5 N H G ，且 N
近世代数课件(全)--2-1 群的定义
3.群的乘法适合消去律：
ab ac b c
ba ca b c
ab ac a ab a ac
1
1
eb ec b c
2012-9-19
二、群的性质及等价判定方法 定理1 群中 1.左逆元也是右逆元（逆元）； 2.左单位元也是右单位元（单位元）；
3.群的乘法适合消去律：
G
G
中有解.
证明： " " 半群
1
作成群 a , b G , ax b , ya b 有解
G
x a b G ; a , b G , ax b , ya b 都在 G 中有解. 取定 b G , yb b 有解，设为e： eb b a G , bx a 有解，设为c： bc a e a ebc ( eb ) c b c a 即有左单位元e 1 a G , ya e 有解，即存在左逆元 a 综上G是群.
对于数的普通乘法
做成交换群，称为正有理数乘群. 例3
G {全体整数}，对于运算
1 2
ab a
1
2
b
2 1 2 2
4
2 1 2 2
2
结合律不成立,不做成群.
2012-9-19
注意：
（1）对于考察集合是否作成群： 既要考虑元素，又要考虑代数运算； （2）将群的代数运算叫做乘法，简记
ab ac b c
ba ca b c
4.单位元唯一；逆元唯一；
设
1
e, e '
都是单位元 ee ' e e '
由消去律 a
近世代数课件子群
§3 子 群
事实上,首先,由于 G 上的代数运算“ ”适合 结合律,因此 H 上的代数运算“ ”也适合结合律. 其次任取 a H .由于 H 满足条件(1)和(2),因此 a1 H , e aa1 H .最后,对于任意的 a H , 我们有
ae ea a ; aa1 a1a e . 所以 H 关于 H 上的代数运算“ ”构成一个群.□
§3 子 群
定义 3.1 设 G 是一个群,集合 H 是集合 G 的一个非空子集.我们称 H 是 G 的一个子群,是 指 H 满足如下条件:
Ⅰ. ab H , a, b H ,即 H 关于群 G 的乘 法“ ”封闭;
Ⅱ. H 关于“ ”构成一个群.
§3 子 群
设 G 是一个群. 显然,{e} 和 G 都是 G 的子群.{e} 和 G 都称为 G 的平凡子群. 若 H 是 G 的子群并且集合 H 是集合 G 的真子 集,则称 H 为 G 的真子群.
假设 S 关于代数运算“ ”封闭.于是,将 “ ”限制在 S 上, 我们便可得到 S 上一个代 数运算“ '”.也就是说,我们可以定义 S 上的
§3 子 群
代数运算“ '”如下: a'b ab , a, b S .
我们约定,将“ ”在 S 上的限制“ '”也记作 “ ”.显而易见,当 A 上的代数运算“ ”适 合结合律时, S 上的代数运算“ ”也适合结 合律.
注意 若 G 是一个群, H 和 K 都是 G 的子群, 并且 K H ,则由子群的定义可知, K 也是 H 的 子群.
§3 子 群
命题 3.2 设 G 是一个群, H 是 G 的一个子 群.那么,
(1) H 的单位元就是 G 的单位元; (2)对于任意的 a H , a 在群 H 中的逆元就 是 a 在群 G 中的逆元. 证明 (1)设 e 是群 G 的单位元, e' 是子群 H 的单位元.由于 e 是 G 的单位元,我们有 ee' e' .
近世代数课件(全)--2-10 群对集合的作用、伯恩赛德引理
H { g ( H ) | g G } { gH g { g | g G , gH g
1
1
| g G}
S tabG H { g | g G , g ( H ) H } H}
{ g | g G , gH H g }
2012-9-19
稳定子群和轨道的关系： (1)轨道公式： a [ G : G a ] 证明： a { g ( a ) | g G }
2012-9-19
定义1 设 G 是一个群, 是一个非空集合 （称为目标集），若 g G 对应 上的一个变换 g ( x ) 满足
(1) e ( x ) x , x ;
( 2 ) g 1 g 2 ( x ) g 1 ( g 2 ( x )), x .
g1 ( g 2 H g 2 ) g1 , H .
此作用称为群 G 对其子群集的共轭作用.
2012-9-19
二、轨道与稳定子群 定义2 设 为目标集，群 G 作用于 a 上， ，则集合 称为 在 G 作用下的一个轨道，a 称为 此轨道的一个代表元. 例4 设 {1, 2, 3, 4 , 5 },
fg
g G
其中
fg
为元素 g 在 上的不动点数目
，求和是对群中每个元素求和.
2012-9-19
例4 设 {1, 2, 3, 4 , 5 },
G {(1), (12 ), ( 345 ), ( 354 ), (12 )( 345 ), (12 )( 354 )}
（3）求 G 的每个元素在 上的不动点数目. （4）求 在 G 作用下的轨道数目. f ( 1 2 ) 3, 解： f ( 1 ) 5 ,
1
1
| g G}
S tabG H { g | g G , g ( H ) H } H}
{ g | g G , gH H g }
2012-9-19
稳定子群和轨道的关系： (1)轨道公式： a [ G : G a ] 证明： a { g ( a ) | g G }
2012-9-19
定义1 设 G 是一个群, 是一个非空集合 （称为目标集），若 g G 对应 上的一个变换 g ( x ) 满足
(1) e ( x ) x , x ;
( 2 ) g 1 g 2 ( x ) g 1 ( g 2 ( x )), x .
g1 ( g 2 H g 2 ) g1 , H .
此作用称为群 G 对其子群集的共轭作用.
2012-9-19
二、轨道与稳定子群 定义2 设 为目标集，群 G 作用于 a 上， ，则集合 称为 在 G 作用下的一个轨道，a 称为 此轨道的一个代表元. 例4 设 {1, 2, 3, 4 , 5 },
fg
g G
其中
fg
为元素 g 在 上的不动点数目
，求和是对群中每个元素求和.
2012-9-19
例4 设 {1, 2, 3, 4 , 5 },
G {(1), (12 ), ( 345 ), ( 354 ), (12 )( 345 ), (12 )( 354 )}
（3）求 G 的每个元素在 上的不动点数目. （4）求 在 G 作用下的轨道数目. f ( 1 2 ) 3, 解： f ( 1 ) 5 ,
近世代数第二章课件
第二章群论 20第二章群论本章讨论具有一个代数运算的代数结构——半群与群，但重点是群的基本知识及典型的两个群-变换群和循环群．群是概括性比较强的一个概念，是近世代数中比较丰富的一个分支，它产生于19世纪初人们对高次方程根号解问题的研究，发展到现在，群论已经应用到数学许多其它分支及一些别的科学领域．如在近世几何中，利用群的观点，把几何加以科学分类；在晶体学中，利用群论的方法，解决了空间晶体的分类问题；在现代通讯理论中，利用群来进行编码，有所谓的群码．我们先从半群开始来研究群．§1 群的定义及基本性质2.1 半群的定义设S是具有一个代数运算的集合，为了方便，将此代数运算叫S的乘法，并且仍用通常的乘法记号“·”来表示，把S的两个元素ba,关于“·”运算结果ba∙简记为ab．当然，这样被叫做乘法不一定就是指数的乘法，还可表示像矩阵、函数、向量的乘法，但一般来说它们都不是数的乘法．定义1如果代数结构（S，·）的乘法适合结合律，即ba∈c∀)有,S,,ab=，则称S关于它的乘法是一个半群，简称Sac(bc()是一个半群．2关于数的乘法是一个半群．关于数的加法也是一例1 偶数集Z个半群．n⨯矩阵作成的集合M n(F)，关于矩阵乘法例2数域F上的所有n是一个半群．例3 A 是一个非空集合，A 的幂集}|{A x x A P ⊆=）（关于∩、∪分别是半群．例4 +Z （正整数）关于数减法不能作成一个半群，因为数的减法不是+Z 的一个代数运算；Z 虽然关于数的减法是Z 的代数运算，但结合律不成立，故),(-Z 不是一个半群．注 由于一个半群),(⋅S 的乘法适合结合律，故可以在半群),(⋅S 中可以引进一个元素a 的正整数次幂的概念，规定：, 个n n a aa a =那么，易见半群里有以下指数运算规律：ba ab b a ab a a a a a n n n nm m n n m n m =⋅===⋅+当,)(,)(,，这里+∈Z n m ,。
近世代数课件(全)--2-1 群的定义
近世代数课件(全)--2-1 群的定义1. 引言在近代代数中，群是一种基础的对象。
它的定义极其简单，但却具有广泛的应用和深刻的理论结构。
本章我们将介绍群的定义及其基本性质。
2. 群的定义群是一种代数结构，具有以下三个性质：(1) 封闭性：对于群G中的任意两个元素a和b，a*b也在G中。
(3) 存在单位元：存在一个称为单位元的元素e，使得对于任意的a∈G，有a*e=e*a=a。
3. 群的注记通常我们称一个群为(G,*)，其中G称为群的集合，*称为群的运算，单位元用1或者e 表示，逆元用(a)^-1或者-a表示。
如果G是一个有限集合，那么称(G,*)为有限群，否则称其为无限群。
4. 群的例子(1) 整数的加法群(Z,+)对于整数集合Z，定义a+b为a加上b，即a+b=a＋b。
易证(Z,+)是一个群，其单位元为0，逆元为相反数。
(2) 非零有理数的乘法群(Q^*,×)(3) 旋转群SO(2)SO(2)表示二维空间中的旋转群，即所有的旋转操作组成的集合。
对于一个旋转操作R，我们可以用一个旋转矩阵表示，即：R = [cos(θ) -sin(θ)][sin(θ) cos(θ)]其中θ表示旋转角度。
易证，SO(2)是一个群，其运算为旋转操作的复合，单位元为不旋转，逆元为逆时针旋转同样的角度。
5. 群的性质(1) 唯一性：对于群G，单位元和逆元是唯一的。
这意味着，G中只能有一个单位元e，且a的逆元也只能是一个元素a^-1。
(2) 消去律：对于群G中的任意三个元素a、b和c，如果a*b=a*c，那么b=c。
这意味着，我们可以把群的运算看做加法，可以用消去律推导出类似乘法运算中的约分。
(3) 结构稳定性：对于群G中的任意两个元素a和b，它们的运算结果a*b仍然在G中。
这意味着，我们可以在群元素之间不断进行运算，而不用担心运算结果会跑到其他集合中去。
6. 小结群是一种基础的代数结构，其定义非常简单，但却具有广泛的应用和深刻的理论结构。
近世代数课件(全)--2-11 图形的对称变换群、群的应用
2019/1/20
nm
现在考虑二面体群 D m 对集合 的作用： 设
1 2 g i1 i 2
k
ik
m Dm im
1 2 c1 c 2
，其中
ck A
k ck
m
cm
2019/1/20
定义
g
对 的作用为
g m i1 i 2 c m c1 c 2
2019/1/20
容易看出, 正方形的对称变换有两类: 第一类: 绕中心的分别旋转90度，180 度，270度，360度的旋转， 这对应于置换 (1234)， (13)(24)， (1432)，(1). 第二类: 关于正方形的4条对称轴的反射, 这对应于置换 (1 2)(3 4)， (2 4)， (1 4)(2 3)， (2 4)， (1 3). 所以, 正方形的对称变换群有上述 8个元素. 这是四次对称群的一个子群.
2 1
1 是一个 (12345) 5 型置换 1 2 是一个 (12)(34) (12)(34)(5) 1 2 型置换
2019/1/20
二面体群中的置换类型
0 (1), k 123 n , k 1, , n 1 0 2 n (3 n 1) , d n k 的类型是 型，其中 d ( n, k ) d n 1 k 当n是奇数时，都是 112 2 型的
D
C
2019/1/20
B
A
7：
C D
D
A
C
B
2019/1/20
B
A
8：
C D
B
C
A
D
2019/1/20
nm
现在考虑二面体群 D m 对集合 的作用： 设
1 2 g i1 i 2
k
ik
m Dm im
1 2 c1 c 2
，其中
ck A
k ck
m
cm
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定义
g
对 的作用为
g m i1 i 2 c m c1 c 2
2019/1/20
容易看出, 正方形的对称变换有两类: 第一类: 绕中心的分别旋转90度，180 度，270度，360度的旋转， 这对应于置换 (1234)， (13)(24)， (1432)，(1). 第二类: 关于正方形的4条对称轴的反射, 这对应于置换 (1 2)(3 4)， (2 4)， (1 4)(2 3)， (2 4)， (1 3). 所以, 正方形的对称变换群有上述 8个元素. 这是四次对称群的一个子群.
2 1
1 是一个 (12345) 5 型置换 1 2 是一个 (12)(34) (12)(34)(5) 1 2 型置换
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二面体群中的置换类型
0 (1), k 123 n , k 1, , n 1 0 2 n (3 n 1) , d n k 的类型是 型，其中 d ( n, k ) d n 1 k 当n是奇数时，都是 112 2 型的
D
C
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B
A
7：
C D
D
A
C
B
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B
A
8：
C D
B
C
A
D
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近世代数之群的概念PPT49页
近世代数之群的概念
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，
11、不为五斗米折腰。 12、芳菊开林耀，青松冠岩列。怀此 贞秀姿 ，卓为 霜下杰 。
13、归去来兮，田蜀将芜胡不归。 14、酒能祛百虑，菊为制颓龄。 15、春蚕收长丝，秋熟靡王税。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，
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射里,它能传递一些什么呢?
结合律、交换律
思考题：
1. 设 A={所有非零实数 x},A 的代数运算是普通乘法，则以下映射
作成 A 到 A 的一个子集 A 的同态满射的是( B ).
A. x→-x C. x→ 1
x
B. x→ 1 x
D. x→5x
2.设<G，·>是一个群，那么，对于 a，b∈G，则 ab∈G 也是 G 中
易知, 是满射,但 能否保运算呢?下面利用 Z , 是交
换的特点,分六个情形来检验:
如果 x 03且 y 03 x y 03,
e是G的单位元。
（ii）须证(a)(a 1) (a 1)(a) e
事实上，(a)(a1) (aa1) (e) e
且
(a1)(a) (a1a) (e) e.
(a1)是(a)的逆元，即 ((a))-1 (a1)
例 设 A a,b,c 且 “ ” 为代数运算,
例 设G 一切奇数，而 “ ”为数的通常乘法, 又令 G e，其中规定 e e e , 作映射
G, G, ,其中 x G,x e, 易验证 是满同态.由于 G 是单元集,易知 G 是个群,但 G
并不是群, 定理 4 的逆命题不成立.
2．在例 3 中，0 a,当然3 - 6 12 a ，
而 0 是 Z中的零元（即单位元）， a 也是 A 中的单位元， 于是“单位元一定对应着单位元”这个结论对吗？
3．在例 3 中，5 c. 5 b. 也可以发现，5 的负元（逆元）
（ii）若a a, a1 (a)1
证明 （i）y G, 须证 ey ye y
事实上， 是满射，x G使x y ，于是我们有
ey (e)(x) (ex) (x) y. ye (x)(e) (xe) (x) y.
的可逆元，而且(ab)－1＝___________。 3.设 A={所有实数 x}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成 A
到 A 的一个子集 A 的同态满射的是( C )。
A.x→10x C.x→|x|
B.x→2x D.x→-x
定理 设Байду номын сангаас 是两个代数体系 A, 到 A，
而运算表为
abc
aa bc
bbca
ccab
问题: A, 可否成群? 通过运算表也许能解决单位元
和逆元问题,但 A, 的结合律的检验,是相当费 事的,怎么办?
处理方案：另取一个群----整数加群 Z , 作映射: : Z A, 其中x a,当 x 03， x b, 当 x 13 x c,当 x 23
ea eae aa a,
同理ea ae a , 由a 的任意性 e 是单位元.
<ii> a A, 为满射,则 a A使 a a，而 A, 是群,
故 a 有逆元 a 1 ,设 a1 a1 ，须证 a1 是 a 的逆元。 事实上, a1a a1 a a1 a e e,
(1) 对同态(构)这种代数现象有透彻,深层的了解. (2) 熟悉一批常用的同态(构)的群的例.
本讲的重点和难点: 群是一个具体的对象,故具有特殊的性质.因此,熟悉群同态中代
数性质 “传递”到同态的有关问题是本讲的重点,掌握其定理的证明 方法是其难点.
一、群同态：
定义 设 G, 和 G， 都是群，如果存在映射
：G G 使a,b G, 都有
a b ab，
则称 是群同态映射；如果 是满射，则称 为群满
同态映射，（注：这是重要的一种同态，要特别关注）
简称 G 与 G 同态,并记为G ~ G ,此时也称G 是
G 的同态像.
说明： “满同态”具有“传递”作用.那么在群的满同态映
第5讲
第二章 群 论
§ 群的同态与群的同构 ( 2课时)
(Homomorphism and Isomorphism of the groups)
本讲的教学目的和要求: 对群进行比较时,采用的主要工具就是同态和同构.通过对群的比较,
从而揭示出两个群的某些共同性质,以至区别二者的异同,这无疑是在群 的研究中具有重要意义的基本观念和基本理论,同时也是实践性很强的 基本方法.这里将具体的在群里讨论同态,同构,要求同学们掌握:
正是 5.而 c 的逆元也是 b . 那么“元素对应元素，逆元对应逆元” 这种定论成立吗？
上述问题归纳成下列的疑问：
如果 : G G 是群同态满射（即 G ~ G ）. 那么：
定理 设 : G G 是群同态满射. 那么
（i）若 e 是 G 的单位元， e e ，必是G 的单位元.
同理 aa1 e,a1 是的逆元,即 a 1 = a1 . 由上可知, A， 是个群.
思考题:
1．定理中,若将 A 与 A 的次序对调后,定理还 能成立吗? 即“ : A A是同态满射,若 A 是群时, A 也是群这样的结论正确吗?（见例 4）
一般的不一定；不能。
的同态满射,若 A, 是群,那么 A， 也一定是群.
证明 对 A， 而言, “ ”满足封闭性是显而易
见的,而由于 A, 中的 “ ” 满足结合律.可证 得 ""也满足结合律.下面须证 A， 有单位 元和 a A,a 有逆元.
<i> A, 是群,设 e 是单位元并设e e ,须证 e 是 A， 的单元.事实上,a A, 是满射 a A，使 a a,那么