浙江省嘉兴市数学高二上学期理数期末考试试卷
2020-2021学年嘉兴市高二上学期期末数学试卷(含答案解析)
2020-2021学年嘉兴市高二上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 过抛物线C ：y 2=4x 焦点F 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，|AB|=8，过线段AB 的中点作y 轴的垂线，垂足为P ，则|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=( ) A. 36B. 40C. 50D. 52 2. 过点P(3,4)且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有( )A. 4条B. 5条C. 6条D. 7条 3. 已知函数y =f(x)满足下列条件：(1)对∀x ∈R ，函数y =f(x)的导数f′(x)<0恒成立；(2)函数y =f(x +2)的图象关于点(−2,0)对称；对∀x 、y ∈R 有f(x 2−8x +21)+f(y 2−6y)>0恒成立．则当0<x <4时，x 2+y 2的取值范围为( )A. (3,7)B. (9,25)C. [9,41)D. (9,49) 4. 设函数f(x)的定义域为R ，则下列命题中真命题的个数为( )①函数y =f(x +1)与函数y =f(1−x)的图象关于直线x =1对称；②若函数f(x +2)为奇函数，则f(1)+f(2)+f(3)=0；③若函数f(x)的图象关于直线x =1对称，且对任意x 都有f(x +2)=−f(x)，则f(x)的图象关于点(−2,0)对称；④若对任意x 1，x 2都有f(x 1+x 2)=f(x 1)+f(x 2)+1，则函数f(x)+1为奇函数．A. 1B. 2C. 3D. 4 5. 直线l 与已知直线x +y −1=0垂直，则直线l 的倾斜角为( )A. 45°B. 135°C. 60°D. 30° 6. △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设p ⃗ =(a +c,b)，q ⃗ =(b −a,c −a)，若p ⃗ //q ⃗ ，则角C 的大小为( )A. 2π3B. π2C. π6D. π3 7. 已知圆x 2+y 2−2mx −(4m +2)y +4m 2+4m +1=0的圆心在直线x +y −7=0上，则该圆的面积为( )A. 4πB. 2πC. πD. π2 8. 已知集合A ={x ∈Z|x 2−4x −5≤0}，B ={x|0<lnx <2}，则A ∩B 的元素的个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 79. 已知函数f(x)=x 2+2x ,g(x)=(12)x −m ，若任意的x 1∈[1,2]，存在x 2∈[−1,1]使得f(x 1)≥g(x 2)，则实数m 的取值范围是( ) A. [−52,+∞) B. [−1,+∞) C. [−4,+∞) D. [12−2√2,+∞) 10. 下列命题中，错误的命题是( )A. 平行于同一直线的两个平面平行B. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交C. 平行于同一平面的两个平面平行D. 一条直线与两个平行平面所成的角相等二、单空题（本大题共4小题，共12.0分）11. 过抛物线y 2=2px(p >0)的焦点F 作直线与抛物线交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆与直线x =−1相切，则抛物线的方程为______ ．12. 已知向量a ⃗ =(1,2,1),b ⃗ =(1,2,2)，且(k a ⃗ +b ⃗ )//(a ⃗ −2b ⃗ )，则实数k 的值为______ ．13. 设直线l ：x −2y +2=0过椭圆的左焦点F 和一个顶点B(如右图)，则这个椭圆的离心率e = ______ ．14. 已知△ABC ，点O 满足OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，过点O 的直线与线段AB 及AC 的延长线分别相交于点E ，F ，设AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则8λ+μ的最小值是______ ． 三、多空题（本大题共3小题，共9.0分）15. 双曲线x 24−y 2=1的实轴长为 (1) ，渐近线的方程为 (2) ．16. 如图，在空间直角坐标系O −xyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,0)，(0,0,1)，(0,1,1)，(1,1,0)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体在yOz 平面内的正投影是(填相应编号) (1) ；该四面体的体积是 (2) ．17.已知圆C1：x2+y2+2x+2y−2=0，圆C2：x2+y2−4x−2y+1=0，则两圆的位置关系为(1)(填“内含”、“内切”、“相交”、“外切”或“外离”)，它们的公切线条数为(2)．四、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.从圆C：x2+y2−4x−6y+12=0外一点P(a,b)向圆作切线PT，T为切点，且|PT|=|PO|(O为原点)，求|PT|的最小值以及此刻点P的坐标．19.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2．(1)求证：DE//平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,√32)且离心率为√32．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C上一点P向圆O：x2+y2=r2，(r>0)引两条切线，切点分别为A，B(Ⅰ)若存在点P使∠APB=60°，求r的最大值；(Ⅱ)在Ⅰ的条件下，过x轴上一点(m,0)做圆O的切线l，交椭圆C于M，N两点，求|MN|的最小值．21.如图，已知三棱锥P−ABC，∠ACB=90°，CB=4，AB=20，D为AB中点，M为PB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC．(Ⅰ)求证：DM//平面PAC；(Ⅱ)求证：平面PAC⊥平面ABC；(Ⅲ)求三棱锥M−BCD的体积．22.已知M(2,2√2)为抛物线C：y2=2px(p>0)上一点．(1)求抛物线C的标准方程；(2)设A、B抛物线C上异于原点O的两点且∠AOB=90°，求证：直线AB恒过定点，并求出该定点坐标；(3)在(2)的条件下，若过原点O向直线AB作垂线，求垂足P(x,y)的轨迹方程．参考答案及解析1.答案：C解析：解：抛物线C ：y 2=4x 焦点(1,0)，设AB 的中点C ，由抛物线的焦点弦公式可知丨AB 丨=2丨CP 丨+2p ，则丨CP 丨=3，由余弦定理可知：丨PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2=丨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2+丨PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2−2丨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨丨PC⃗⃗⃗⃗⃗ 丨cos∠ACP ， 即丨PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2=42+丨PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2−2×4丨PC⃗⃗⃗⃗⃗ 丨cos∠ACP ， 同理可得：丨PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2=42+丨PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2−2×4丨PC⃗⃗⃗⃗⃗ 丨cos∠BCP ， 由∠ACP +∠BCP =π，则cos∠BCP =−cos∠ACP ，∴丨PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2+丨PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2=32+2丨PC⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2=50， ∴丨PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2+丨PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2=50，故选C ．由抛物线焦点弦公式可知丨CP 丨=3，利用余弦定理，分别求得丨PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2和丨PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2，则丨PA⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2+丨PB⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2=32+2丨PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 丨 2=50． 本题考查抛物线的焦点弦公式，考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．2.答案：D解析：本题考查了直线的截距式、整数的性质，考查了推理能力，属于基础题．当直线经过原点时满足条件，直线方程为：y =43x.当直线不经过原点时，设直线方程为x a +y b =1，把点P(3,4)代入可得：3a +4b =1，对a ，b 取正整数即可得出．解：当直线经过原点时，满足条件，此时直线方程为：y=43x，此时在两坐标轴上的截距都为0，符合题意;当直线不经过原点时，设直线方程为xa +yb=1，把点P(3,4)代入可得：3a +4b=1，满足条件的a，b有(4,16)，(5,10)，(6,8)，(7,7)，(9,6)，(15,5)．综上可得：满足条件的直线共有7条．故选：D．3.答案：C解析：解：由(1)对∀x∈R，函数y=f(x)的导数f′(x)<0恒成立，可得函数f(x)在R上单调递减；由(2)函数y=f(x+2)的图象关于点(−2,0)对称，∴函数f(x)为奇函数；∴对∀x、y∈R有f(x2−8x+21)+f(y2−6y)>0恒成立，化为f(x2−8x+21)>−f(y2−6y)= f(6y−y2).∴x2−8x+21<6y−y2，化为(x−4)2+(y−3)2<4.圆心C(4,3)，半径R=2．∴x2+y2⩾(|OC|−R)2=9．直线x=4与圆(x−4)2+(y−3)2=4相交于点P(4,1)，Q(4,5)．∴x2+y2<|OQ|2=41．∴则当0<x<4时，x2+y2的取值范围为[9,41)．故选：C．由(1)可得函数f(x)在R上单调递减；由(2)可得函数f(x)为减函数；已知对∀x、y∈R有f(x2−8x+ 21)+f(y2−6y)>0恒成立，化为f(x2−8x+21)>−f(y2−6y)=f(6y−y2).可得x2−8x+ 21<6y−y2，化为(x−4)2+(y−3)2<4.圆心C(4,3)，半径R=2.可得x2+y2≥(|OC|−R)2=9.直线x=4与圆(x−4)2+(y−3)2=4相交于点P(4,1)，Q(4,5).x2+y2<|OQ|2=41.即可得出．本题综合考查了函数的奇偶性、单调性、点与圆的位置关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．4.答案：C解析：解：①若函数y=f(x+1)与函数y=f(1−x)的图象关于直线x=0对称；所以原判断正确；②若函数f(x+2)为奇函数，f(2)=0，f(1)=−f(3)，则f(1)+f(2)+f(3)=0；正确；③若函数f(x)的图象关于直线x=1对称可得f(2−x)=f(−x)，且任意x都有f(x+2)=−f(x)可知f(x+4)=f(x)函数的周期为4，f(x+2)=−f(x)，可得f(−x)=−f(x)，f(−x−4)=f(−x)=−f(x)，则f(x)的图象关于点(−2,0)对称；所以③正确；④定义在R上的函数f(x)对任意的x1，x2∈R，都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1成立，令x1=x2=0，则f(0+0)=f(0)+f(0)+1⇒f(0)=−1，令x1=x，x2=−x，则f(x−x)=f(x)+f(−x)+1，∴[f(x)+1]+[f(−x)+1]=0，∴f(x)+1为奇函数．若对任意x1，x2都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则函数f(x)+1为奇函数．正确．故选：C．利用函数的对称性判断①的正误；利用函数的奇函数的性质判断②的正误；利用函数的对称性以及函数的周期性判断③的正误；利用已知条件以及函数的奇偶性判断④的正误；本题以命题的真假判断与应用为载体考查了函数的周期性，奇偶性，对称性及对称变换，是函数图象和性质的综合应用．5.答案：A解析：解：易得直线x+y−1=0的斜率为−1，由垂直关系可得直线l的斜率为1，即直线l的倾斜角α满足tanα=1，解得α=45°故选：A由垂直关系可得直线的斜率，进而可得其倾斜角．本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．6.答案：D解析：解：∵p⃗=(a+c,b)，q⃗=(b−a,c−a)，p⃗//q⃗，∴(a+c)(c−a)=b(b−a)，即a2+b2−c2=ab，根据余弦定理，cosC=a2+b2−c22ab =12，∵△ABC的三个内角A，B，C，∴C=π3，故选：D．先根据向量平行得到a2+b2−c2=ab，再根据余弦定理，即可求出角C．本题考查了向量平行的坐标运算和余弦定理，属于基础题．7.答案：A解析：解：圆x2+y2−2mx−(4m+2)y+4m2+4m+1=0的圆心(m,2m+1)，圆心在直线x+y−7=0上，可得m+2m+1−7=0，解得m=2，圆的半径为：2，所以圆的面积为：4π．故选：A．求出圆的圆心，代入直线方程，求出m，然后求解圆的半径，即可求解圆的面积．本题考查直线与圆的位置关系的综合应用，圆的面积的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．8.答案：C解析：可以求出集合A，B，然后进行交集的运算求出A∩B，从而得出A∩B的元素的个数．本题考查了集合的交集运算，以及一元二次不等式的解法，对数函数的性质，属于基础题．解：A={x∈Z|−1≤x≤5}={−1,0,1,2,3,4,5}，B={x|1<x<e2}，∴A∩B={2,3,4,5}，∴A∩B的元素的个数为4．故选：C．9.答案：A解析：解：任意的x1∈[1,2]，存在x2∈[−1,1]使得f(x1)≥g(x2)，则f(x)min≥g(x)min，函数f(x)=x2+2x ,g(x)=(12)x−m，则f′(x)=2x−2x2≥0在[1,2]上恒成立，所以f(x)在[1,2]上单调递增，则f(x)min=f(1)=3，g(x)在[−1,1]上单调递减，所以g(x)min=g(1)=12−m，故3≥12−m，解得m≥−52，所以实数m的取值范围是[−52,+∞)．故选：A．将问题转化为f(x)min≥g(x)min，利用导数研究函数f(x)的单调性，求解f(x)的最小值，利用指数函数的单调性，求出g(x)的最小值，得到关于m的不等式，求解即可．本题考查了不等式恒成立问题，利用导数研究函数的单调性、函数的最值，指数函数性质的应用，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．10.答案：A解析：解：对于A，平行于同一直线的两个平面平行，不正确，如两相交平面，使直线与交线平行；对于B，一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交，满足直线与平面相交的性质，正确．对于C，平行于同一平面的两个平面平行，根据面面平行的性质可知正确；对于D，一条直线与两个平行平面所成的角相等，因为直线在两个平面内的射影平行，所以所成的角相等，正确．故选：A．根据面面平行的判定定理、以及性质进行逐一进行判定，对不正确的进行列举反例即可．本题主要考查了平面与平面平行的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．11.答案：y2=4x解析：本题考查直线与抛物线的位置关系、直线圆的位置关系，考查抛物线的定义，考查数形结合思想，属中档题．判断以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，由已知得准线方程为x=−1，即可求抛物线的标准方程．解：取AB的中点M，分别过A、B、M作准线的垂线AP、BQ、MN，垂足分别为P、Q、N，如图所示：由抛物线的定义可知，|AP|=|AF|，|BQ|=|BF|，在直角梯形APQB 中，|MN|=12(|AP|+|BQ|)=12(|AF|+|BF|)=12|AB|， 故圆心M 到准线的距离等于半径，∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切由已知得准线方程为x =−1，∴p 2=1，∴p =2，故所求的抛物线方程为y 2=4x ．故答案为：y 2=4x ．12.答案：−12解析：解：∵a ⃗ =(1,2,1),b ⃗ =(1,2,2)∴k a ⃗ +b ⃗ =(k +1,2k +2,k +2)，a ⃗ −2b ⃗ =(−1,−2,−3) 又∵(k a ⃗ +b ⃗ )//(a ⃗ −2b ⃗ )，∴k+1−1=2k+2−2=k+2−3， 解得k =−12故答案为：−12由向量的线性运算可得k a ⃗ +b ⃗ 和a ⃗ −2b ⃗ 的坐标，由平行可得关于k 的方程，解方程可得． 本题考查空间向量的平行的判定，涉及向量的线性运算，属基础题．13.答案：2√55 解析：解：B(0,1)，F(−2,0)故c =2，b =1，a =√b 2+c 2=√5，e =c a =2√55． 答案：2√55由题设条件可知B(0,1)，F(−2,0)，故c =2，b =1，a =√5，由此可以求出这个椭圆的离心率． 数形结合，事半功倍．14.答案：253解析：解：∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗=AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由E 、O 、F 三点共线，得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =mλAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{mλ=23(1−m)μ=13，消掉m 得，23λ+13μ=1①，(0<λ<1,μ>1)， ∴8λ+μ=(8λ+μ)⋅(23λ+13μ)=173+(2μ3λ+8λ3μ)≥173+2√2μ3λ⋅8λ3μ=253，当且仅当2μ3λ=8λ3μ②时取等号，由①②可解得μ=53，λ=56， 故答案为：253．由三角形法则可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由E 、O 、F 三点共线，得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =mλAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由{mλ=23(1−m)μ=13消掉m 得，23λ+13μ=1，从而8λ+μ=(8λ+μ)⋅(23λ+13μ)，利用基本不等式可求答案．本题考查向量加法的三角形法则、三点共线的条件及基本不等式求最值，考查学生综合运用知识解决问题的能力，属中档题．15.答案：4y =±12x解析： 解：双曲线x 24−y 2=1知，a =2，b =1，可得双曲线的实轴长为2a =4， 渐近线方程y =±12x. 故答案为：4，y =±12x.求得双曲线的a =2，b =1，即可得到双曲线的实轴长2a ，渐近线方程y =±ba x.本题考查双曲线的方程和性质，主要是实轴长和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题．16.答案：②16解析：解：满足条件的四面体如图所示：D(0,0,0)，D1(0,0,1)，B1(0,1,1)，B(1,1,0)，其在yOz平面内的正投影如图②所示：该四面体的体积V=13×(12×1×1)×1=16，故答案为：②，16借助正方体，画出满足条件的四个顶点，进而可得答案．本题考查三视图的画法，做到心中有图形，考查空间想象能力，是基础题17.答案：相交2解析：解：圆C1：x2+y2+2x+2y−2=0，可化为(x+1)2+(y+1)2=4，其圆心坐标C1(−1,−1)，半径为2，圆C2：x2+y2−4x−2y+1=0，可化为(x−2)2+(y−1)2=4，其圆心坐标C2(2,1)，半径为2，又|C1C2|=√(2+1)2+(1+1)2=√13<2+2=4，．则两圆的位置关系为：相交，故它们的公切线有2条．故答案为：相交；2．依题意可求得圆C1与圆C2的圆心坐标与半径，计算两圆心之间的距离即可得到答案．本题考查圆与圆的位置关系的判定，分别求得两圆的圆心坐标与半径是判断的关键，属于中档题．18.答案：解：圆C 的方程可化为：(x −2)2+(y −3)2=1， 即圆心C(2,3)，半径r =1， 如图，PT 切圆C 于T ，在直角三角形PTC 中，PC 2=PT 2+CT 2， 结合PT =OP ，得(a −2)2+(y −3)2=a 2+b 2+1， 化简得2a +3b −6=0，即点P 在直线l ：2x +3y −6=0上移动， 作OM 垂直l 于M ，易得直线OM 的方程为：3x −2y =0， 由{2x +3y −6=03x −2y =0解得{x =1213y =1813， 即M(1213,1813)， |OM|=√13=6√1313，故当P 与M 重合时，|OP|最小也即|PT|取得最小值6√1313， 此时P 点坐标为(1213,1813).解析：利用圆C 的方程确定其圆心和半径，作出图形，利用切线，半径所在直角三角形结合OP =PT 列出关于a ，b 的方程，得到P 点所在直线，利用垂线段最短可得最小值，联立直线方程可得点的坐标．此题考查了圆的方程，直线与圆的关系，点到直线的距离等，难度适中．19.答案：解：(1)∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE//BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE//平面A1CB．(2)由已知得AC⊥BC且DE//BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ//BC．∵DE//BC，∴DE//PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由(Ⅱ)知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．解析：(1)D，E分别为AC，AB的中点，易证DE//平面A1CB；(2)由题意可证DE⊥平面A1DC，从而有DE⊥A1F，又A1F⊥CD，可证A1F⊥平面BCDE，问题解决；(3)取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ//BC，平面DEQ即为平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA1C 底边A1C的中点，可证A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ．本题考查直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定与性质，考查学生的分析推理证明与逻辑思维能力，综合性强，属于难题．20.答案：解：(1)∵椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1,√32)且离心率为√32．∴{ 1a 2+34b 2=1ca =√32a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =1，c =√3． ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1．(2)(I)设P(2cosθ,sinθ)． 如图所示，连接OA ，OB ，OP ． ∵OA ⊥AP ，OB ⊥BP.∠APB =60°， ∴∠AOP =60°，∠APO =30°．∴r =12|OP|=12√4cos 2θ+sin 2θ=12√3cos 2θ+1≤12√3+1=1， ∴r 的最大值是1．(II)当直线l 的斜率不存在时，切线l 的方程为：x =±1.代入椭圆方程可得y =±√32，此时|MN|=√3．当直线l 的斜率存在时，设切线l 的方程为：y =k(x −m)，(k ≠0,|m|>1)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2). 则r =√1+k 2=1.可得1+k 2=k 2m 2． 联立{y =k(x −m)x 2+4y 2=4，化为(1+4k 2)x 2−8k 2mx +4k 2m 2−4=0．△=64k 4m 2−4(1+4k 2)(4k 2m 2−4)=16(1+4k 2−k 2m 2)>0． ∴x 1+x 2=8k 2m1+4k 2，x 1x 2=4k 2m 2−41+4k 2．∴|MN|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=√(1+k 2)[64k 4m 2(1+4k 2)2−4(4k 2m 2−4)1+4k 2]=4√(1+k 2)(1+4k 2−k 2m 2)1+4k 2=4√3⋅√k 2(1+k 2)(1+4k 2)2=4√3√116−8k 2−1k 4+k 2．设k 2=t >0，令f(t)=8t−1t 2+t，f′(t)=8(t 2+t)−(8t−1)(2t+1)(t 2+t)2=−(4t+1)(2t−1)(t 2+t)2，可知：当t =12时，f(t)取得最大值4，∴|MN|取得最大值2．当t →+∞时，f(t)→0，|MN|→√3． 综上可得：|MN|的最小值为√3．解析：(1)由于椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(1,√32)且离心率为√32.可得{ 1a 2+34b 2=1c a =√32a 2=b 2+c 2，解得即可．(2)(I)设P(2cosθ,sinθ).如图所示，连接OA ，OB ，OP.由于OA ⊥AP ，OB ⊥BP.∠APB =60°，可得r =12|OP|=12√4cos 2θ+sin 2θ=12√3cos 2θ+1，即可得出．(II)当直线l 的斜率不存在时，切线l 的方程为：x =±1.代入椭圆方程可得|MN|=√3．当直线l 的斜率存在时，设切线l 的方程为：y =k(x −m)，(k ≠0,|m|>1)，M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2).利用直线与圆的相切性质可得r =|km|√1+k 2=1.1+k 2=k 2m 2．直线方程与椭圆方程联立可得(1+4k 2)x 2−8k 2mx +4k 2m 2−4=0.△=16(1+4k 2−k 2m 2)>0.利用根与系数的关系可得|MN|=√(1+k 2)[(x 1+x 2)2−4x 1x 2]=4√3√116−8k 2−1k 4+k 2.设k 2=t >0，令f(t)=8t−1t 2+t，利用导数研究其单调性可得：当t =12时，f(t)取得最大值4，|MN|取得最大值2.当t →+∞时，f(t)→0，|MN|→√3.即可得出．本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆相交相切转化为方程联立可得△≥0及根与系数的关系、弦长公式、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：(1)∵△PAB 中，D 为AB 中点，M 为PB 中点， ∴DM//PA∵DM ⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， ∴DM//平面PAC …(4分)(2)∵D 是AB 的中点，△PDB 是正三角形，AB =20，∴PD =DB =AD =12AB =10.…(5分) ∴△PAB 是直角三角形，且AP ⊥PB ，…(6分) 又∵AP ⊥PC ，PB ∩PC =P ，PB 、PC ⊂平面PBC ∴AP ⊥平面PBC. …(8分) ∵BC ⊂平面PBC∴AP ⊥BC. …(10分)又∵AC ⊥BC ，AP ∩AC =A ，AP 、AC ⊂平面PAC ． ∴BC ⊥平面PAC.…(12分) ∵BC ⊂平面ABC ．∴平面PAC ⊥平面ABC.…(14分)(3)由(1)知DM//PA ，由(2)知PA ⊥平面PBC ， ∴DM ⊥平面PBC.…(15分)∵正三角形PDB 中易求得DM =5√3，…(16分)且S △BCM =12S △PBC =12⋅12BC ⋅PC =14⋅4⋅√102−42=2√21.…(17分) ∴V M−BCD =V D−BCM =13×5√3×2√21=10√7.…(18分)解析：(1)在三角形PAB 中，利用中位线定理可得DM//PA ，再用线面平等的判定定理可以证出DM//平面PAC ；(2)在三角形PAB 中，根据中线PD =12AB ，证出PA ⊥PB.再结合PA ⊥PC ，利用线面垂直的判定定理证出AP ⊥平面PBC ，从而得到AP ⊥BC.同理，证出BC ⊥平面PAC ，最后用面面垂直的判定定理可以得到平面PAC ⊥平面ABC ；(3)根据前面的证明，不难得到DM ⊥平面BCM ，则DM 是三棱锥D −BCM 的高，根据题中所给的数据，求出DM =12PA =5√3，S △BCM =12S △PBC =2⋅√21，从而得到V M−BCD =V D−BCM =13×5√3×2√21=10√7．本题给出一个特殊的三棱锥，通过求证线面平行、面面垂直和求体积，着重考查了空间的线面平行判定定理和直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定和性质，属于中档题．22.答案：(1)解：∵M(2,2√2)为抛物线C ：y 2=2px(p >0)上一点，∴(2√2)2=2p ⋅2， 解得p =2，∴抛物线C 的标准方程为y 2=4x ; (2)证明：当直线的斜率存在时，设直线l ：y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立y 2=4x ，得k 2x 2+(2km −4)x +m 2=0， 依题意有k ≠0，x 1+x 2=−2km−4k 2，且x 1x 2=m 2k 2，则∠AOB =90°，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2 =x 1x 2+(kx 1+m)(kx 2+m)=(1+k 2)x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2=0， (1+k 2)m 2k2+km(−2km−4k 2)+m 2=0，化简得m 2+4km =0，∴m =−4k ，此时直线l ：y =kx −4k =(x −4)k ，恒过点N(4,0) 当直线l 的斜率不存在时， 设l ：x =t ，解得t =4， ∴直线恒过定点N(4,0) ;(3)解：过原点O 向直线AB ：y =k(x −4)作垂线，垂中为P ， 则P 点在以ON 为直径的圆周上(除去原点)， ∵O(0,0)，N(4,0)，∴点P 的轨迹方程为：(x −2)2+y 2=4(x ≠0)．解析：(1)由M(2,2√2)为抛物线C ：y 2=2px(p >0)上一点，能求出p =2，由此能求出抛物线C 的标准方程;(2)设直线l ：y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立y 2=4x ，得k 2x 2+(2km −4)x +m 2=0，由此利用韦达定理、向量知识结合已知条件能证明直线恒过定点N(4,0);(3)由已知条件推导出P 点在以ON 为直径的圆周上(除去原点)，由此能求出点P 的轨迹方程． 本题考查抛物线的标准方程的求法，考查直线过定点的证明，考查垂足的轨迹方程的求法，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．。
浙江省嘉兴市高二数学上学期期末考试试题(含解析)
浙江省嘉兴市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析）一､选择题1.抛物线24x y =的焦点坐标是（ )A. ()1,0 B 。
()0,1 C 。
()2,0D 。
()0,2 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义,可直接得焦点坐标.【详解】24x y =是焦点位于y 轴上的抛物线所以2p =即焦点坐标为()0,1故选：B【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及焦点求法,属于基础题。
2.直线l ：320x y +-=在x 轴上的截距为（ )A 。
23 B 。
23- C. 2D 。
—2【答案】C【解析】【分析】根据直线方程截距的定义，令0y =即可求得直线在x 轴上的截距.详解】直线l ：320x y +-=由直线方程截距的定义可知，令0y =，解得2x =即直线与x 轴的交点坐标为()2,0,所以直线l :320x y +-=在x 轴上的截距为2故选：C.【点睛】本题考查了截距的定义，直线在坐标轴上截距的求法，属于基础题.3.已知点1,0A ､()1,2B 与圆O ：224x y +=,则（ ）A. 点A 与点B 都圆O 外 B 。
点A 在圆O 外，点B 在圆O 内C. 点A 在圆O 内，点B 在圆O 外D. 点A 与点B 都在圆O 内 【答案】C【解析】【分析】将点代入圆的方程，根据点与圆位置关系的判断方法，即可得解。
【详解】因为点1,0A ､()1,2B将1,0A 的坐标代入圆224x y +=的方程,可得22104+<,所以点A 在圆224x y +=内 将()1,2B 的坐标代入圆224x y +=的方程，可得22124+>,所以点B 在圆O 外 故选：C【点睛】本题考查了点与圆位置关系的判断方法，属于基础题.4。
空间中,,,αβγ是三个互不重合的平面，l 是一条直线,则下列命题中正确的是（ ） A 。
若//l α，l β//,则//αβB 。
若αβ⊥，l β⊥，则//l αC 。
浙江省嘉兴市-度高二数学第一学期期末检测试题卷(理科)
浙江省嘉兴市2008-2009学年度高二数学第一学期期末检测试题卷（理科）【考生须知】1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答； 2．本科考试时间为120分钟，满分为100分．一.选择题（本大题有12小题，每小题3分,共36分,请从A,B,C,D 四个选项中,选出一个符合题意的正确选项,填入答题卷，不选，多选，错选均得零分.） 1．若复数iiz +=12，则=z （ ▲ ） （A ）i +1（B ）i -1（C ）i +-1（D ）i --12．右面一段程序执行后输出结果是（ ▲ ） （A ）3，1（B ）4，1（C ）4，2（D ）4，33．某校高三有18个班级，每个班有56名学生，把每个班级的学生都从1到56号编号．为了交流学习经验，要求每班编号为14的学生留下进行交流．这里运用的是（ ▲ ） （A ）分层抽样（B ）抽签法（C ）系统抽样（D ）随机数表法4．下列说法正确的是（ ▲ ）（A ）某厂一批产品的次品率为5﹪，则任意抽取其中20件产品一定会发现一件次品 （B ）气象部门预报明天下雨的概率是90﹪，说明明天该地区90﹪的地方要下雨，其余10﹪的地方不会下雨（C ）某医院治疗一种疾病的治愈率为10﹪，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈（D ）掷一枚均匀硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为50﹪5．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数a ，设事件A =“a 为1”，B =“a 为2”，C =“a 为偶数” ，则下列结论正确是（ ▲ ） （A ）A 与B 为对立事件 （B ）A 与B 为互斥事件 （C ）A 与C 为对立事件（D ）B 与C 为互斥事件6．把下列在平面内成立的结论类比地推广到空间，仍然正确的是（ ▲ ）（A ）如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则必与另一条相交 （B ）如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则必与另一条垂直 （C ）如果两条直线与第三条直线都不相交，则这两条直线不相交 （D ）如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行7．某同学从6门选修课中选学2门，其中有2门课上课时间有冲突，另有2门不允许同时选学，则该同学可选学的方法总数有（ ▲ ） （A ）13种（B ）12种（C ）9种（D ）8种8．用数学归纳法证明)12(3212)()3)(2)(1(-⋅⋅⋅⋅⋅=++++n n n n n n n *)(N n ∈，从n =k 到n =k +1，左边的式子之比是 （ ▲ ） （A ）121+k （B ）)12(21+k（C ）112++k k（D ）132++k k9．若右面框图表示的程序所输出的结果是1320，则？处应填 （ ▲ ） （A ）10<k （B ） 10≤k （C ）9≥k（D ）9>k10．某次考试成绩X 服从正态分布),70(2σN ，84.0)80(=≤X P ，则=≤)60(X P （ ▲ ）（A ）0.16（B ）0.32（C ）0.68（D ）0.8411．根据气象资料记载，一年中下雨天数的比例，嘉兴为20﹪，北京为15﹪，两地同时下雨为6﹪，则在嘉兴下雨时北京也下雨的概率为（ ▲ ） （A ）6﹪（B ）15﹪（C ）30﹪（D ）40﹪12．将1，2，3，4，5，6六个数按如图形式排列，其中1a =2，记第二行、第三行中的最大数分别为a 、b ，则满足1a a b >>的所有排法的总数是（ ▲ ） （A ）36 （B ）60（C ）72（D ）120二．填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分，请将答案写在答题卷上）13．比较大小：12（6） ▲ 101（2）（填“<”或“>”）． 14．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则出现一个正面朝上另一个反面朝上的概率为 ▲ ．15．为了了解汽车通过某一段公路时的时速，统计了200辆汽车通过该路段时的时速，频率分布 直方图如右图所示，则以此估计汽车通过该路 段时的时速大约是 ▲ km ．16．若某随机变量ξ服从二项分布：ξ～),(p n B ，2=ξE ，1=ξD ，则)1(=ξP 的值为▲ ．17若从散点图分析，y 与x 线性相关，且a x y+=95.0ˆ，则a = ▲ ． 18．在某一次有奖竞猜活动中，有一辆汽车藏在A 、B 、C 三扇门中的某一扇门之后.主持人宣布，谁若猜中汽车在哪一扇门的后面，汽车就归谁.观众甲猜汽车在A 门后面，接着主持人按照规则将B 、C 两门中无车的C 门打开，此时，你认为B 门后面有车的概率是 ▲ ．1a 2a 3a 4a 5a 6a 第三行第二行第一行 ）三．解答题（本大题有6小题, 共46分，请将解答过程写在答题卷上） 19．（本题6分）已知z 1，z 2为共轭复数，且i i z z z z 24)(2121-=++.求复数z 1及它的模| z 2|． 20．（本题6分）在83)12(xx -的展开式中 （1）求展开式的第四项；（2）求展开式的常数项；（3）求展开式的各项系数的和． 21．（本题8分）用五个数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的自然数，问： （1）四位数有几个？ （2）比3 000大的偶数有几个？ 22．（本题8分）阿亮与阿敏相约在19时至20时之间在某肯德基店见面，早到者到达后应等20分钟方可离去，假设两人到达的时刻是互不影响的，且在19时至20时之间的任何时刻到达相约地点都是等可能的，问他们两人见面的可能性有多大？ 23．（本题8分）现有若干个大小相同的小球，其中m 个小球上标有数字1，3个小球上标有数字3，2个小球上标有数字5，现摇出2个小球，规定所得奖金（元）为这2个小球上的数字之和.（1）若m =4，求此次摇奖获得奖金为6元的概率； （2）若此次摇奖获得奖金为8元的概率是152，求m ； （3）在（2）的条件下，列出此次摇奖获得奖金数额X 的分布列，并求X 的均值． 24．（本题10分）如图，将圆分成n 个区域，用3种不同颜色给每个区域染色，要求相邻区域颜色互异，把不同的染色方法种数记为a n ．（1）求1a ，2a ，3a ，4a ；（2）求证：n a +1+n a =)2(23≥⨯n n ； （3）求数列{n a }的通项公式.参考答案一．选择题 （每小题3分，共36分） 1．A 2．D 3．C 4．D 5．B 6．B 7．A8．B9．D10．A11．C12．C二．填空题（每小题3分，共18分） 13．> 14．2115．62 16．41 17．2.6 18．32 三．解答题（共46分） 19．（6分）设bi a z +=1，则bi a z -=2． （2分）∵i i z z z z 24)(2121-=++，∴i ai b a 242)(22-=++，∴⎩⎨⎧-==+22422a b a ，解得⎩⎨⎧±=-=31b a ，故，i z 311±-= （2分）从而，| z 2|=2 （2分） 20．（6分）（1）∵通项r r r r xx C T )1()2(3881-=-+， ∴=-=335384)1()2(xx C T 447x - （2分）（2）令038=--rr ，得6=r ， ∴常数项为7)1()21(62687=-=C T （2分）（3）令83)12()(xx x f -=， 则展开式的各项系数的和为=-=8)21()1(f 2561（2分）21．（8分）（1）首位数字不能是0，其他三位数字可以任意，∴四位数有=3414A C 96个； （3分）（2）比3 000大的必是四位数或五位数 A 、若是四位数，则首位数字必是3或4．①若4在首位，则个位数字必是0或2，有2312A C 个数， ②若3在首位，则个位数字必是0或2或4，有2313A C 个数 ∴比3 000大的偶数且是四位数的有2423132312=+A C A C 个 （2分）B 、若是五位数，则首位数字不能是0，个位数字必是0或2或4，①若0在个位，则有44A 个数， ②若0不在个位，则有331312A C C 个数∴比3 000大的偶数且是五位数的有6033131244=+A C C A （2分）故，比3 000大的偶数共有84个 （1分）22．（8分）设阿亮与阿敏到达的时间分别为（x +19）时、（y +19）时，则10≤≤x ，10≤≤y （2分）若两人见面，则31||≤-y x ， （2分）如图， （2分） 正方形的面积为1， 落在两直线之间部分的面积为95 ∴两人见面的概率为95（2分）23．（8分）（1）∵33516+=+=， ∴奖金为6元的概率=+=29231214C C C C P 3611（3分）； （2）∵538+=， ∴奖金为8元的概率152251213==+m C C C P ，解得5=m （3分）； （3）524=EX （2分）24．（10分）（1） 3， 6，6，18 （4分）（2）证一：依次对扇形区域1，2，3，…，n ，n +1染色，不同的染色方法种数为)2(23≥⨯n n31-x 31+其中扇形区域1与n +1不同色的有1+n a 种，扇形区域1与n +1同色的有n a 种。
浙江省嘉兴市高二上学期期末数学试卷(理科)
浙江省嘉兴市高二上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）已知命题p、q，则“p且q为假”是“p或q为真”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件2. （2分）直线x+ay+3=0与直线ax+4y+6=0平行的充要条件是（）A . a=2B . a=﹣2C . a=2或a=﹣2D . a=﹣2或a=03. （2分）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A . “至少有一个黑球”与“都是黑球”B . “至少有一个黑球”与“都是红球”C . “至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D . “恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”4. （2分）执行如图的序框图，如果输入p=5，则输出的S=（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一下·郑州期末) 已知数据x1 ， x2 ， x3 ，…，xn是上海普通职工n（n≥3，n∈N*）个人的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1 ，则这n+1个数据中，下列说法正确的是（）A . 年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变B . 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C . 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D . 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变6. （2分）如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图均为矩形，俯视图由半圆和直角三角形组成，则该几何体的表面积为（）A . 6π+12B . 10π+36C . 5π+36D . 6π+187. （2分）已知正四棱锥P—ABCD的四条侧棱，底面四条边及两条对角线共10条线段，现有一只蚂蚁沿着这10条线段从一个顶点爬行到另一个顶点，规定： (1)从一个顶点爬行到另一个顶点视为一次爬行；(2)从任一顶点向另4个顶点爬行是等可能的（若蚂蚁爬行在底面对角线上时仍按原方向直行）. 则蚂蚁从顶点P开始爬行4次后恰好回到顶点P的概率是（）A .B .C .D .8. （2分）若4个人报名参加3项体育比赛，每个人限报一项，则不同的报名方法的种数有（）A .B .C .D .9. （2分）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，一个焦点的坐标是，则椭圆的标准方程为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高二上·临汾月考) 直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值为（）A . 0B . 1C .D . 211. （2分）下列命题中，正确的命题有（）①用相关系数r来判断两个变量的相关性时，r越接近0，说明两个变量有较强的相关性；②将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变；③设随机变量服从正态分布N（0，1），若,则；④回归直线一定过样本点的中心A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个12. （2分） (2017高一上·青浦期末) 设x∈R，“x＞1“的一个充分条件是（）A . x＞﹣1B . x≥0C . x≥1D . x＞2二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）过点P（﹣2，2）作直线l，使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形的面积为S，且这样的直线l有且仅有一条，则直线l的方程是________14. （1分） (2018高一下·四川期末) 过长方体的一个顶点的三条棱长分别是1、2、，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是________．15. （1分） (2017高二下·蚌埠期末) 若二项式（x﹣）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则展开式中含x2项的系数为________．16. （1分） (2017高一上·长春期末) 已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1，点A（0，﹣1），B（0，1），设P 是圆C上的动点，令d=|PA|2+|PB|2 ，则d的取值范围是________．三、解答题： (共6题；共45分)17. （5分）已知函数f（x）=．（1）求f（1），f[f（﹣2）]的值；（2）若f（a）=10，求实数a的值．18. （5分）(2017高一下·瓦房店期末) 的内角的对边分别为，已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求的最大值．19. （5分）(2017·沈阳模拟) 为了探究某市高中理科生在高考志愿中报考“经济类”专业是否与性别有关，现从该市高三理科生中随机抽取50各学生进行调查，得到如下2×2列联表：（单位：人）．报考“经济类”不报“经济类”合计男62430女14620合计203050（Ⅰ）据此样本，能否有99%的把握认为理科生报考“经济类”专业与性别有关？（Ⅱ）若以样本中各事件的频率作为概率估计全市总体考生的报考情况，现从该市的全体考生（人数众多）中随机抽取3人，设3人中报考“经济类”专业的人数为随机变量X，求随机变量X的概率分布及数学期望．附：参考数据：P（X2≥k）0.050.010k 3.841 6.635（参考公式：X2= ）20. （15分） (2017高一上·长沙月考) 在如图所示的几何体中，平面平面，四边形为平行四边形，，，， .（1）求证：平面；（2）求到平面的距离；（3）求三棱锥的体积.21. （10分） (2016高二上·常州期中) 解答题（1）设p：实数x满足（x﹣3a）（x﹣a）＜0，其中a＞0，q：实数x满足，若p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围；（2）设命题p：“函数无极值”；命题q：“方程表示焦点在y轴上的椭圆”，若p或q为真命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．22. （5分）已知圆O：x2+y2=25和圆C：x2+y2﹣4x﹣2y﹣20=0相交于A、B两点，求公共弦AB的长．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共6题；共45分) 17-1、18-1、19-1、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
19-20学年浙江省嘉兴市高二上学期期末数学试卷 (含答案解析)
19-20学年浙江省嘉兴市高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.已知抛物线方程为y=14x2，则该抛物线的焦点坐标为()A. (0,−1)B. (−116,0) C. (116,0) D. (0,1)2.已知直线l在x轴上的截距为3，在y轴上的截距为−2，则l的方程为()A. 3x−2y−6=0B. 2x−3y+6=0C. 2x−3y−6=0D. 3x−2y+6=03.已知圆的方程为x2+y2=1，则点P(3,2)()A. 是圆心B. 在圆上C. 在圆内D. 在圆外4.已知直线m，n互不重合，平面α，β互不重合，下列命题正确的是()A. m//α，m//n，则n//αB. m⊥α，m⊥n则n//αC. m⊥α，n⊥α，则m//nD. α∩β=m，m//n，则n//α且n//β5.直线3x+2y−3=0与6x+my+1=0互相平行，则m的值为()A. −9B. 3C. 4D. −46.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=3，AA1=AB=4，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值为()A. √25B. 25C. 2√25D. 457.若圆(x−3)2+(y+52)=r2上有且只有两个点到直线4x−3y=17的距离等于1，则半径r的取值范围是()A. (0,2)B. (1,2)C. (1,3)D. (2,3)8.已知不等式ax2+bx−2>0的解集是{x|−2<x<−14}，则a−b的值为()A. 2B. 3C. 4D. 59.已知x>0,y>0，且2x +1y=1，若x+2y>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是()A. −4<m<2B. −2<m<4C.D.10.一正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC是异面直线且夹角为60°；③BD//MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.已知双曲线y24−x23=1，则该双曲线的焦距为______，渐近线方程为______．12.已知某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则此几何体的体积为______，表面积为______．13.已知圆C1：x2+y2−6y+8=0，圆C2：x2+y2−8x+7=0，则两圆C1，C2的位置关系为．14.已知抛物线y2=8x的焦点为F，O为坐标原点，A为抛物线上一点，且|AF|=4|OF|，则△AFO的面积为________．15.若a⃗=(2,3，m)，b⃗ =(2n,6，8)且a⃗，b⃗ 为共线向量，则m+n=______ ．16.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)与直线l1：y=12x，l2：y=−12x，过椭圆上一点P作l1，l2的平行线，分别交l1，l2于M，N两点．若|MN|为定值，则√ab的值是______．17.若向量a⃗=(4,2，4)，b⃗ =(6,3，−2)，则(2a⃗−3b⃗ )⋅(a⃗+2b⃗ )=______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知直线ax−y+1=0与圆C：x2+y2−6x+4y+4=0交于A，B两点，过点P(5,−1)的直线l与圆C交于M，N两点，(Ⅰ)若直线l垂直平分弦AB，求实数a的值；(Ⅱ)若|MN|=4，求直线l的方程．19. 如图所示，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，S ，E ，G 分别是B 1D 1，BC ，SC 的中点．(1)求证：直线EG//平面BDD 1B 1． (2)求直线EG 与AB 1所成角的余弦值．20. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0 )的离心率为23，C 为椭圆E 上位于第一象限内的一点． (1)若点C 的坐标为(2,53)，求椭圆E 的标准方程；(2)设A 为椭圆E 的左顶点，B 为椭圆E 上一点，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求直线AB 的斜率．21.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB=2，F为CD的中点．(Ⅰ)求证：AF//平面BCE；(Ⅱ)求二面角C−BE−D的余弦值．22.已知抛物线C：y2=2px(0<p<4)的焦点为F，准线l与x轴交于点M，过点F的直线交抛物线于A，B两点，点A在第一象限．(1)若AF=4，AM=2√7，求直线AB的方程；(2)若p=2，点Q为准线l上任意一点，求证：直线QA，QF，QB的斜率成等差数列．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．把抛物线方程化成标准方程，根据抛物线的焦点坐标公式得出焦点坐标．解：把抛物线方程化为标准方程为：x2=4y，∴抛物线的焦点在y轴的正半轴，p=2，p2=1．∴抛物线的焦点坐标为(0,1)．故选D．2.答案：C解析：本题考查了截距式，属于基础题．利用截距式即可得出．解：∵直线l在x轴上的截距为3，在y轴上的截距为−2，则l的方程为x3+y−2=1，即2x−3y−6=0．故选：C．3.答案：D解析：解：∵32+22=13>1，∴点P(3,2)在圆外，故选D．利用32+22=13>1，即可得出结论．本题考查点与圆的位置关系，考查计算能力，比较基础．4.答案：C解析：解：A.根据线面垂直的判定定理可知，直线n必须在α内，否则不成立．所以A错误．B.当n⊄α时，结论成立，当n⊂α时，结论不成立，所以B错误．C.根据线面垂直的性质可知，垂直于同一平面的两条直线平行，所以C正确．D.根据线面平行的性质可知，当α∩β=m，m//n时，n//α或n//β或n⊂α或n⊂β，所以D错误．故选C．A.利用线面平行的判定定理判断．B.利用线面垂直的性质判断．C.利用线面垂直的性质判断．D.利用线面平行的性质判断．本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，要熟练掌握线面平行和垂直的性质和判定定理．5.答案：C解析：解：因为直线3x+2y−3=0与6x+my+1=0互相平行，所以3m−2×6=0，解得m=4，故选C由直线平行可得3m−2×6=0，解之可得答案．本题考查直线方程的一般式，和直线的平行关系，属基础题．6.答案：C解析：本题考查异面直线成角，属于基础题．由题意得A1B//CD1，则∠ACD1是异面直线A1B与AC所成角(或其补角)，由余弦定理求余弦值．解：由题意可得AC=AD1=5，A1B=CD1=4√2，∵A1B//CD1，∴∠ACD1是异面直线A1B与AC所成角(或其补角)，记为θ，故cosθ=AC 2+CD12−AD122AC⋅CD1=2×5×4√2=2√25．故选C．7.答案：C解析：本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．设圆心(3,−5)到直线4x −3y =17的距离为d ，则由题意可得r −1<d <r +1，利用点到直线的距离公式求出d 的值，解不等式求得半径r 的取值范围．解：设圆心(3,−5)到直线4x −3y =17的距离为d ， 则由题意可得r −1<d <r +1． 即r −1<|12+15−17|5<r +1，解得1<r <3， 故选C ．8.答案：D解析：解：∵不等式ax 2+bx −2>0的解集是{x|−2<x <−14}， ∴−2，−14是一元二次方程ax 2+bx −2=0的两个实数根， ∴−2−14=−ba ，−2×(−14)=−2a ，解得a =−4，b =−9． ∴a −b =5． 故选：D ．由不等式ax 2+bx −2>0的解集是{x|−2<x <−14}，可得−2，−14是一元二次方程ax 2+bx −2=0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出．本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系，考查了计算能力，属于基础题．9.答案：A解析：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用和不等式的恒成立问题，将恒成立问题转化为x+ 2y的最小值大于m2+2m，由基本不等式求出x+2y的最小值，从而得到关于m的不等式，解出即可．解：∵2x+1y=1，∴x+2y=(x+2y)(2x +1y)=4+4yx+xy≥4+2√4yx·xy=8，当且仅当x=2y时等号成立，∴8>m2+2m，∴−4<m<2，故选A．10.答案：B解析：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、正方体结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．将正方体纸盒展开图还原成正方体，再求出结果．解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，在①中，如图知AF与GC垂直，故①正确；在②中，BD与GC成异面直线，连接EB，ED，则BE//GC，在等边△BDE中，BD与BE所成的60°角就是异面直线BD与GC所成的角，故②正确；在③中，BD与MN异面垂直，故③错误；在④中，GD⊥平面ABCD，所以在Rt△BDG中，∠GBD是BG与平面ABCD所成的角，Rt△BDG不是等腰直角三角形．所以BG与平面ABCD所成的角不是为45°，故④错误．故选B．11.答案：2√7;y=±2√33x解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．直接利用双曲线的方程，求解双曲线的焦距，以及渐近线方程即可．解析：解：因为双曲线方程y24−x23=1，所以双曲线的焦点在y轴上，且a=2，b=√3，则该双曲线的焦距为：2c=2√4+3=2√7；渐近线方程为：y=±ab x=±2√33x.故答案为2√7；y=±2√33x.12.答案：83；6+2√5+2√2解析：由三视图可知该几何体一个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，利用锥体体积公式计算出几何体的体积，由面积公式求出几何体的表面积．本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力和逻辑推理能力．解：根据三视图可知几何体是一个四棱锥，底面是一个边长为2的正方形，PE⊥面ABCD，且PE=2，其中E、F分别是BC、AD的中点，连结EF、PA，∴几何体的体积V=13×2×2×2=83，在△PEB中，PB=√PE2+BE2=√5，同理可得PC=√5，∵PE⊥面ABCD，∴PE⊥CD，∵CD⊥BC，BC∩PE=E，∴CD⊥面PBC，则CD⊥PC，在△PCD中，PD=√PC2+DC2=√5+4=3，同理可得PA=3，则PF⊥AD，在△PDF中，PF=√PD2−DF2=√9−1=2√2，∴此几何体的表面积S=2×2+12×2×2+2×12×2×√5+12×2×2√2=6+2√5+2√2故答案为8；6+2√5+2√2．313.答案：相离解析：本题考查两圆的位置关系，求得圆的圆心和半径，运用圆心距离和半径的和与差的关系是解题关键，属于基础题．分别求得两圆的圆心和半径，以及圆心距离和半径之和、之差的关系，即可判断两圆的位置关系．解：圆C1：x2+y2−6y+8=0，即C1(0,3)，半径r1=1；圆C2：x2+y2−8x+7=0，即C2(4,0)，半径r2=3；可得|C1C2|=√16+9=5，即|C1C2|>r1+r2，可得两圆C1，C2的位置关系为相离．故答案为相离．14.答案：4√3解析：本题考查抛物线的标准方程，考查抛物线的定义，解题的关键是确定A的坐标．根据A为抛物线上一点，且|AF|=4|OF|，可确定A的坐标，即可求得结果．解：抛物线y2=8x的焦点为F(2,0)，O为坐标原点，A为抛物线上一点设坐标为(m,n)，因为|AF|=4|OF|=8，所以A到抛物线准线x=−2的距离为8，则m=6，取n=4√3则△AFO 的面积为12×2×n =4√3．故答案为4√3．15.答案：6解析：本题考查了空间向量共线的判定，属于较易题．a ⃗ ，b ⃗ 为共线向量，则a ⃗ =λb ⃗ ，{2=2λn 3=6λm =8λ，即可求出m 、n ．解：a ⃗ =(2,3，m)，b ⃗ =(2n,6，8)且a ⃗ ，b ⃗ 为共线向量，∴a ⃗ =λb ⃗ ，∴{2=2λn3=6λm =8λ，解得m =4，n =2，∴m +n =6，故答案为：6．16.答案：2解析：取点P 为上下定点，分别求出MN 的长度，两次求出MN 相等，即可得到a 、b 的数量关系． 本题考查了椭圆与直线的位置关系，根据已知采用特例法是解客观题的有效办法，属于中档题， 解：当点P 为(0,b)时，过椭圆上一点P 作l 1，l 2的平行线分别为l 1：y =12x +b ，l 2：y =−12x +b ，联立{y =−12x +b y =12x 可得M(b,b 2)，同理可得N(−b,b 2)，|MN|=2b ． 当点P 为(a,0)时，过椭圆上一点P 作l 1，l 2的平行线分别为l 1：y =12x −12a ，l 2：y =−12x +12a ，联立{y =12x y =−12x +12a可得M(a 2,14a)，同理可得N(a 2,−14a)，)，|MN|=a 2． 若|MN|为定值，则2b =a 2，⇒a b =4，∴则√a b 的值是2． 故答案为：2．17.答案：−200解析：解：∵向量a⃗=(4,2，4)，b⃗ =(6,3，−2)，∴(2a⃗−3b⃗ )⋅(a⃗+2b⃗ )=2a⃗2−3a⃗⋅b⃗ +4a⃗⋅b⃗ −6b⃗ 2=2a⃗2+a⃗⋅b⃗ −6b⃗ 2=2(16+4+16)+24+6−8−6(36+9+4)=−200故答案为：−200．由已知条件利用向量坐标运算公式能求出结果．本题考查向量数量积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量坐标运算公式的合理运用．18.答案：解：(Ⅰ)化圆C：x2+y2−6x+4y+4=0为C：(x−3)2+(y+2)2=9，可得圆心C(3,−2)，半径为3，直线ax−y+1=0，即y=ax+1．由于l垂直平分弦AB，故圆心C(3,−2)必在直线l上，∴直线l过点P(5,−1)和C(3,−2)，，则斜率k PC=12∴k AB=a=−2；(Ⅱ)当直线斜率不存在时，不满足|MN|=4，故直线斜率存在，设直线l的方程是y=k(x−5)−1，∵C到l的距离d=，|MN|=2√9−d2=4，2=4，解得k=−2，∴9−(1−2k)21+k2∴l的方程是：y=−2(x−5)−1，即：2x+y−9=0．解析：本题考查直线与圆位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．(Ⅰ)由圆的方程求出圆心坐标与半径，由于l 垂直平分弦AB ，故圆心C(3,−2)必在直线l 上，求出直线l 的斜率，由两直线垂直与斜率的关系求解a ；(Ⅱ)设直线l 的方程是y =k(x −5)−1，利用垂径定理结合弦长求得k ，则直线l 的方程可求． 19.答案：证明：(1)如图，连接SB ，∵E 、G 分别是BC 、SC 的中点，∴EG//SB ，又SB ⊂平面BDD 1B 1，EG ⊄平面BDD 1B 1，∴直线EG//平面BDD 1B 1．解：(2)以D 为原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴正方向，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为y 轴正方向，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，设正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则E(1,2，0)，C(0,2，0)，S(1,1，2)，G(12,32,1)，A(2,0，0)，B 1(2,2，2)，EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,−12,1)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)， 设直线EG 与AB 1所成角为θ，则cosθ=|cos <EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|EG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||EG ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2⋅√8=√36．∴直线EG 与AB 1所成角的余弦值为√36．解析：本题考查直线与平面平行的证明，考查线线角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．(1)连接SB ，由已知得EG//SB ，由此能证明直线EG//平面BDD 1B 1．(2)以D 为原点，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为x 轴正方向，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 为y 轴正方向，DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线EG 与AB 1所成角的余弦值．20.答案：解：(1)由题意可知：椭圆的离心率e =c a =√1−b 2a 2=23，则b 2a 2=59，① 由点C 在椭圆上，将(2,53)代入椭圆方程，4a 2+259b 2=1，②解得：a 2=9，b 2=5，∴椭圆E 的标准方程为x 29+y 25=1；(2)方法一：由(1)可知：b 2a 2=59，则椭圆方程：5x 2+9y 2=5a 2，设直线OC 的方程为x =my(m >0)，B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，{x =my5x 2+9y 2=5a 2，消去x 整理得：5m 2y 2+9y 2=5a 2，∴y 2=5a 25m 2+9，由y 2>0，则y 2=√5a√5m 2+9，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则AB//OC ，设直线AB 的方程为x =my −a ，则{x =my −a5x 2+9y 2=5a 2，整理得：(5m 2+9)y 2−10amy =0，由y =0，或y 1=10am5m 2+9，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x 1+a,y 1)=(12x 2,12y 2)，则y 2=2y 1， 则√5a √5m 2+9=2×10am5m 2+9，(m >0)，解得：m =√35，则直线AB 的斜率1m =5√33；方法二：由(1)可知：椭圆方程5x 2+9y 2=5a 2，则A(−a,0)，B(x 1,y 1)，C(x 2,y 2)，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则(x 1+a,y 1)=(12x 2,12y 2)，则y 2=2y 1，由B ，C 在椭圆上，∴{5x 22+9y 22=5a 25(12x 2−a)2+9(y 22)2=5a 2， 解得：x 2=a 4，y 2=4√3则直线直线AB 的斜率k =y 2x 2=5√33；直线AB 的斜率=5√33解析：(1)利用抛物线的离心率求得b 2a 2=59，将(2,)代入椭圆方程，即可求得a 和b 的值； (2)方法一：设直线OC 的斜率，代入椭圆方程，求得C 的纵坐标，则直线直线AB 的方程为x =my −a ，代入椭圆方程，求得B 的纵坐标，由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则直线直线AB 的斜率k ； 方法二：由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，y 2=2y 1，将B 和C 代入椭圆方程，即可求得C 点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB 的斜率．本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，向量共线定理，考查计算能力，属于中档题．21.答案：证明：(Ⅰ)证法一：取EC 中点G ，连结BC ，GF ，∵F 是CD 的中点，∴GF//ED ，GF =12ED ，由已知得AB//ED ，AB =12ED ，∴四边形BGFA 是平行四边形，∴BG//AF ，∵BG ⊂平面BCE ，AF ⊄平面BCE ，∴AF//平面BCE ．证法二：以A 为原点，AC 为x 轴，在平面ACD 中过点A 作AC 的垂线为y 轴，AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则A(0,0，0)，C(2,0，0)，B(0,0，1)，D(1,√3,0)，E(1,√3,2)，∵F 为CD 的中点，∴F(32,√32,0)， ∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,√32,0)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,1)，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，−1)，∴AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∵AF ⊄平面BCE ，∴AF//平面BCE ．解：(Ⅱ)设平面BCE 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =x +√3y +z =0BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =2x −z =0，取x =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,−√3,2)， 设平面BDE 的一个法向量n⃗ =(a,b ，c)， ∵BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3,−1)， ∴{BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =a +√3b +c =0BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =a +√3b −c =0，取a =√3，得n ⃗ =(√3,−1,0)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=√64． ∴二面角C −BE −D 的余弦值为√64．解析：(Ⅰ)法一：取EC 中点G ，连结BC ，GF ，推导出四边形BGFA 是平行四边形，从而BG//AF ，由此能证明AF//平面BCE ．法二：以A 为原点，AC 为x 轴，在平面ACD 中过点A 作AC 的垂线为y 轴，AB 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AF//平面BCE ．(Ⅱ)求出平面BCE 的一个法向量和平面BDE 的一个法向量，利用向量法能求出二面角C −BE −D 的余弦值．该题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．22.答案：(1)解：设点A 在准线l 上的射影为N ，由抛物线的定义知|AN|=|AF|=4，设A(x 0,y 0)(y 0>0)，由题意知|AM|2=|AN|2+y 02得(2√7)2=42+y 02,解得y 0=2√3，所以12=2px 0,即px 0=6，①又因为|AF|=x 0+p 2=4，②，①②两式联立解得p =2或p =6，因为0<p <4，所以p =2，则x 0=3，所以抛物线的焦点F(1,0)，A(3,2√3)，直线AB 的斜率为2√33−1=√3，故直线AB 的方程为y =√3(x −1)；(2)证明：若p =2，则抛物线C 的方程为y 2=4x ，F (1,0)，准线l:x =−1，设直线AB 的方程为x =my +1，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，Q(−1,t)，由{x =my +1y 2=4x消去x 可得，y 2−4my −4=0， 则y 1+y 2=4m,y 1y 2=−4，x 1+x 2=m(y 1+y 2)+2=4m 2+2，x 1x 2=y 124×y 224=1，则k QA +k QB =y 1−tx 1+1+y 2−tx 2+1 =y 1−t my 1+2+y 2−t my 2+2=(y 1−t)(my 2+2)+(y 2−t)(my 1+2)(my 1+2)(my 2+2) =2my 1y 2+(2−mt)(y 1+y 2)−4t m 2y 1y 2+2m(y 1+y 2)+4 =−8m+4m(2−mt)−4t−4m 2+8m 2+4=−t ， 因为k QF =−t 2，所以k QA +k QB =2k QF ，故直线QA ，QF ，QB 的斜率成等差数列，解析：本题考查抛物线的几何性质及直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(1)设点A 在准线l 上的射影为N ，由|AM|2=|AN|2+y 02得到y 0=2√3，由px 0=6和|AF|=x 0+p 2=4，即可求得p ，从而求得F ，A 的坐标，即可求解，(2)若p =2，则抛物线C 的方程为y 2=4x ，F (1,0)，准线l:x =−1，设直线AB 的方程为x =my +1，A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，Q(−1,t)，直线方程与抛物线方程联立，求得A ，B 两点纵坐标的关系，代入斜率公式，整理即可得证．。
2022-2023学年浙江省嘉兴市高二上学期期末数学质量检测试题(含解析)
2022-2023学年浙江省嘉兴市高二上册期末数学质量检测试题一、单选题(共0分)1．设直线l 的斜率为k ，且13k ≤<，则直线l 的倾斜角的取值范围为（）A．20ππ3π,,4⎡⎫⎡⎫⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭ B．π5π0,,π46⎡⎫⎛⎫⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ C．π,64π⎡⎫⎪⎢⎣⎭D．π,34π⎡⎫⎪⎢⎣⎭2．已知抛物线2:(0)C y mx m =>上的点(,2)A a 到其准线的距离为4，则m =（）A．14B．8C．18D．43．若直线10ax by +-=与圆22:1C x y +=相离，则过点(),P a b 的直线与圆C 的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不确定4．已知在空间四边形ABCD 中，12CG CD = ，则2BD BC AB ++=（）A．2AGB．2GCC．2BCD．12BC5．数列{}n a 满足111n na a +=-，且12a =，则2020a 的值为（）A．12B．1-C．2D．16．若直线ax 2by 2ab 0(a 0,b 0)--=>>平分圆22(x 2)(y 1)2-++=的周长，则a 2b +的最小值为()A．1B．3+C．D．57．甲､乙两队进行羽毛球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若甲队每局获胜的概率为13，则甲队获得冠军的概率为（）A．49B．59C．23D．798．观察下面数阵，1357913111517192325272921则该数阵中第9行，从左往右数的第20个数是（）A．545B．547C．549D．551二、多选题(共0分)9．（多选）关于频率和概率，下列说法正确的是（）A．某同学投篮3次，命中2次，则该同学投篮命中的频率为23B．费勒抛掷10000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.4979；皮尔逊抛掷24000次硬币，得到硬币正面向上的频率为0.5005．如果某同学抛掷36000次硬币那么得到硬币正面向上的频率可能大于0.5005C．某类种子发芽的概率为0.903，若抽取2000粒种子试种，则一定会有1806粒种子发芽D．将一颗质地均匀的骰子抛掷6000次，则掷出的点数大于2的次数大约为4000次10．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（）A．2,1a c ==B．已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C．12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D．设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21*111,2N n n n a a a n -+==∈，则下列说法正确的是（）A．数列{}n a 的奇数项成等差数列B．数列{}n a 的偶数项成等比数列C．12n na a +=D．312S =12．如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体ABCD EFGH -的侧面ADHE 上的一个动点（含边界），P 是棱上CG 靠近G 点的三等分点，则下列结论正确的有（）A．沿正方体的表面从点A 到点P 的最短路程为2103B．保持PM 与BH 垂直时，M 的运动轨迹是线段C．若保持133PM =，则点M 在侧面ADHE 内运动路径长度为2π9D．当M 在D 点时，三棱锥B MEP -的体积取到最大值三、填空题(共0分)13．已知向量()1,1,a x = ，()1,2,1b =，()1,2,3c = 满足()0c a b -⋅= ，则x =______．1４．在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作.假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则这段时间内线路正常工作的概率为________.1５．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若484,12S S ==，则16S =__________.1６．已知椭圆2222:1(0)x y Cab a b+=>>，C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，离心率为12．过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于D ，E 两点，ADE V 的周长是13，则DE =_____．四、解答题(共0分)１７．n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，2643n n n S a a +=+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．１８．某校高一年级组织学科活动竞赛，现随机抽取了100名学生进行成绩统计，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为：[40,50)、[50,60)、[60,70)、[70,80)、[80,90)、[90,100]．(1)求a 的值及这100名学生成绩的众数；(2)若采用分层抽样的方法，从成绩在[50,60)和[60,70)内的学生中共抽取7人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中随机选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人成绩在[50,60)内的概率．１９．已知抛物线C ：()220x py p =>的焦点到顶点的距离为34.(1)求抛物线C 的方程；(2)已知过点()0,1M 的直线l 交抛物线C 于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，设直线OA ，OB 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k 的值.2０．如图1，在ABC 中，90C ∠=︒，3BC =，3AC =，E 是AB 的中点，D 在AC 上，DE AB ⊥.沿着DE 将ADE V 折起，得到几何体A BCDE -，如图2(1)证明：平面ABE ⊥平面BCDE ；(2)若二面角A DE B --的大小为60︒，求直线AD 与平面ABC 所成角的正弦值.2１．若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*231N n n S a n =-∈，等差数列{}n b 满足113b a =，324b a =+.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设3nn nbc a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .2２．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点为F ，左顶点为()，(1)求E 的方程；(2)若过坐标原点O 且斜率为()0k k ≠的直线l 与E 交于A ，B 两点，直线AF 与E 的另一个交点为C ，ABC，求直线AF 的方程.数学答案一、单选题1．C2．C3．C4．A5．C 6．B7．B8．C二、多选题9．ABD10．ABD11．BC12．BD三、填空题13．．5１４．0.91１５．60１６．6四、解答题1７．解（1）①当1n =时，2111136464a a s a +=+=+，又0n a >，∴14a =，②当2n ≥时，由2643n n n S a a +=+，可得2111643n n n S a a ---+=+两式相减得：2211633n n n n n a a a a a --=-+-，整理得()()1130n n n n a a a a --+--=，∵0n a >，∴13,2n n a a n --=≥，∴{}n a 是以首项为4，公差为3的一个等差数列，∴31n a n =+；（2）由（1）可得()()1111313433134n b n n n n ⎛⎫==- ++++⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和：121111111111113477103134343412912n b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ．1８．解（1）0.050.20.15100.250.051,0.030a a +++++=∴= ，众数为75.（2）设这2人中恰好有1人成绩在[50,60)内为事件M ，由题设可知，成绩在[50,60)和[60,70)内的频率为0.20,0.15，则抽取的7人中，成绩在[50,60)的人数为4，成绩在[60,70)内的学生数为3，记成绩在[50,60)得4位同学分别为a b c d ,,,，成绩在[60,70)得3位同学分别为,,A B C ，则从7人中，任取2人，基本事件有：,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,ab ac ad aA aB aC bc bd bA bB bC cd cA cB cC dA dB dC AB AC BC共21个，其中事件M 包含的基本事件有,,,,,,,,,,,aA aB aC bA bB bC cA cB cC dA dB dC 共12个，所以这2人中恰好有1人成绩在[50,60)内的概率为124217=.1９．解(1)依题意，324p =，解得32p =，∴抛物线C 的方程为23x y =；(2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 与抛物线C 仅有一个交点，不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为1y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，由23,1,x y y kx ⎧=⎨=+⎩消去y 可得2330x kx --=，∵直线l 交抛物线C 于不同的两点，∴2Δ9120k =+>，由韦达定理得123x x =-，∴121212y y k k x x =⋅22121233x x x x =⋅12193x x ==-.２０．（1）证明：因为在图1中DE AB ⊥，沿着DE 将ADE V 折起，所以在图2中有DE AE ⊥，DE BE ⊥，又AE BE E =I ，所以DE ⊥平面ABE ，又因为DE ⊂平面BCDE ，所以平面ABE ⊥平面BCDE ；（2）解：由（1）知，DE AE ⊥，DE BE ⊥，所以AEB ∠是二面角A DE B --的平面角，所以60AEB ∠=︒，又因为AE BE =，所以ABE 是等边三角形，连接CE ，在图1中，因为90C ∠=︒，3BC =，3AC =所以60EBC ∠=︒，23AB =因为E 是AB 的中点，所以3BE BC ==，所以BCE 是等边三角形.取BE 的中点O ，连接AO ，CO ，则AO BE ⊥，CO BE ⊥，因为平面ABE ⊥平面BCDE ，平面ABE 平面BCDE BE =，所以AO ⊥平面BCDE ，所以OB ，OC ，OA 两两垂直，以O 为原点，OB ，OC ，OA为x ，y ，z 轴建系，如图所示.则30,0,2A ⎛⎫⎪⎝⎭，B ⎫⎪⎪⎝⎭，30,,02C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭所以322AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，330,,22AC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，3,1,22AD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ 设平面ABC 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩即30,2330.22x z y z -=⎨⎪-=⎪⎩取1z =，得平面ABC的一个法向量为)n =，所以31112cos ,5n AD AD n n AD⎛⎛⎫⨯+-⨯ ⎪⋅===-.设直线AD 与平面ABC 所成角为θ，则sin θ=.２１．解（1）()*231N n n S a n =-∈，又()112312n n S a n --=-≥，两式相减得1233n n n a a a -=-，即13nn a a -=，故数列{}n a 是以3为公比的等比数列，又当1n =时，1112231S a a ==-，得11a =，13n n a -∴=，1133b a ==∴，324347b a =+=+=，∴等差数列{}n b 的公差为3142312b b -==-，21n b n ∴=+（2）由（1）可得213+=n nn c ，231357212133333n n n n n T --+∴=+++++ ，(1)234113572121333333n n n n n T +-+∴=+++++ ,(2)(1)-(2)得2311111123222211214243321333333333313n n n n n n n n n T +++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭=++++-=+⨯-=--，223n nn T +∴=-２２.解（1）设椭圆E 的半焦距为()0c c >.因为椭圆E的左顶点为()，所以a =又离心率3c e a ==，所以1c =.所以2222b a c =-=，所以E 的方程为22132x y +=.（2）由（1）可知，设直线AF 的方程为1x ty =-.由221236x ty x y =-⎧⎨+=⎩消去x 并整理得()2223440ty ty +--=.设()11,A x y ，()22,C x y ，则122423t y y t +=+，122423y y t -=+，所以12223t y y t -=+.因此1221122325AOCABCS OF y y S t =-===+△△，解得21t =，即1t =±，所以直线AF 的方程为10x y -+=或10x y ++=.。
浙江省嘉兴市2013-2014学年高二上学期期末测试数学理试题(B卷) 扫描版Word版答案
嘉兴市2013～2014学年第一学期期末检测 高二理科数学（B ） 参考答案 （2014.1）一、选择题（本大题共12小题，每题3分，共36分）1．A ； 2．D ； 3．C ； 4．B ； 5．C ； 6．B ； 7．D ；8．D ；9．C ；10．A ；11．B ．12．B ．二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）13．25； 14．锐角三角形； 15．5； 16．]25,2[；17．),223[+∞+；18．23． 三、解答题（本大题共6小题，第19、20题各6分，21、22、23题各8分，24题10分，共46分）19．（本题满分6分）已知2,1>>b a ，求证：b a ab +>+22． 解：因为)2)(1()2(2--=+-+b a b a ab ， ……………3分 且2,1>>b a ，即02,01>->-b a ．所以b a ab +>+22．………………6分20．（本题满分6分）已知命题p ：对任意实数x ，022≥-+m x x 恒成立，命题q ：函数23)1(2++-=x x m y 的图象是开口向上的抛物线.若“q p ∧”为假，“q p ∨”为真，求实数m 的取值范围．解：由命题p 可得044≤+=∆m ，所以1-≤m ，由命题q 可得m -1>0，即m >1．……………2分又因为“q p ∧”为假，“q p ∨”为真，所以q p ,中一真一假．可得： ⎩⎨⎧≤-≤11m m 或⎩⎨⎧>->11m m ． …………4分解得： 1-≤m 或1>m ． …………6分21．（本题满分8分）已知空间三点)3,0,3(),2,1,1(),2,0,2(---C B A ，设AC b AB a ==,，求 （Ⅰ）><b a ,；（Ⅱ）平面ABC 的一个法向量n ． 解：（Ⅰ）)0,1,1(=a ，)1,0,1(-=b ，所以1-=⋅b a ，2||=a ，2||=b ； ………………2分所以21||||,cos -=>=<b a b a ，所以32,π>=<b a ． …………………4分（Ⅱ）设),,(z y x n =，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0n AC n AB ，可得⎩⎨⎧=+-=+00z x y x ；……………6分取1,1,1=-==z y x ，可得平面ABC 的一个法向量为)1,1,1(-=n ．………………8分22．（本题满分8分）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点，现将△AED ，△DCF ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 重合于点1A ，得到三棱锥DEF A -1． （Ⅰ）求证：EF D A ⊥1；（Ⅱ）求D A 1与平面DEF 所成角大小的正切值．⇒ABEFD C1A EFD（第22题图）解：（Ⅰ）由题意可知，E A D A 11⊥，F A D A 11⊥；所以⊥D A 1平面EF A 1．…2分 又因为⊂EF 平面EF A 1，所以EF D A ⊥1．……………………4分（Ⅱ）如图，取EF 中点G ，连G A 1和DG ， 可得EF DG ⊥，所以⊥EF 平面DG A 1．……………………5分在平面DG A 1，过点1A 作DG M A ⊥1于M ， 可得EF M A ⊥1，所以⊥M A 1平面DEF ．所以DM A 1∠即为所求线面角．……………………………6分 又221=G A ，21=D A ，所以42tan 1=∠DM A ．所以D A 1与平面DEF 所成角大小的正切值为42． ………………………8分23．（本题满分8分） 已知函数||)(a x x x f -=，]6,1[∈x ．（Ⅰ）当1=a 时，求)(x f 的值域；（Ⅱ）若不等式9)(≤x f 在给定定义域]6,1[∈x 恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1=a 时，41)21()1()(22--=-=-=x x x x x x f ，…………………1分又因为]6,1[∈x ，所以30)6()(,0)1()(max min ====f x f f x f ， 故此时)(x f 的值域[0,30] ．…………………3分（Ⅱ）由题意可得，xa x x 99≤-≤-在]6,1[∈x 恒成立……………………4分 （第22题解答图）1A EFDGM所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≥+≤x x a x x a 99，在]6,1[∈x 恒成立………………5分所以⎪⎩⎪⎨⎧≥≤296a a ，故实数a 的取值范围为629≤≤a ． …………………8分 另解：由题意可得，9)6(≤f ，所以21529≤≤a ．…………………4分又因为⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+-=)(,)(,)(22a x ax x a x ax x x f ，（1）若6≤a ，则)(x f 在)2,1(a 上递增，在),2(a a上递减，在)6,(a 上递增，所以只需6)2(≤a f 即242≤a 即可，解得629≤≤a ；………………6分（2）若6>a ，则)(x f 在)2,1(a 上递增，在)6,2(a 上递减，此时只需6)2(≤af ，解得此时不存在这样的a ． 综上，实数a 的取值范围为629≤≤a ． ………………8分24．（本题满分10分）如图，底面为梯形的四棱锥P -ABCD 中，⊥PC 底面ABCD ，BC //DA ，BC AC ⊥， PC =BC =2AC =2，AD =3，M 为PB 中点，N 为线段PA 上一动点．（Ⅰ）在线段PA 上是否存在这样的点N ，使得MN //平面PCD ？若存在，试求PN 长度；若不存在，请说明理由． （Ⅱ）设二面角C -MN -A 的大小为θ，若∈θ]3,4[ππ，试求PN 的取值范围．PM解：（Ⅰ）以点C 为原点，CA ，CB ，CP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，所以)0,0,0(C ，)0,0,1(A ，)0,2,0(B ，)0,3,1(-D ，)2,0,0(P ，)1,1,0(M ．……1分假设存在这样的点N ，使得MN //平面PCD ．设PA PN λ=，则)22,0,(λλ-N ，所以)21,1,(λλ--=MN ．……………………2分设平面CDP 的法向量为),,(0000z y x n =，又因为)2,0,0(=CP ，)0,3,1(-=CD ，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0000n CD n CP 可得⎪⎩⎪⎨⎧=-=0302000y x z ，取)0,1,3(0=n ．…………………4分所以由00=⋅n MN ，解得33=λ．所以此时315||=PN ．…………………5分 （Ⅱ）设平面CMN 的法向量为),,(1111z y x n =，又因为)1,1,0(=CM ，又设PA PN λ=，则)22,0,(λλ-N ，所以)22,0,(λλ-=CN ．由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅011n CN n CM 可得⎩⎨⎧=-+=+0)22(01111z x z y λλ，取)1,1,22(1--=λλn ．……………6分同理，设平面AMN 的法向量为),,(2222z y x n =，可求得)1,1,2(2=n ．…7分所以612922648644cos 22221+--=⨯+--==λλλλλλλλθ， ………………8分又因为]3,4[ππθ∈，所以]22,21[cos ∈θ，解得7301026-≤≤-λ． ……9分所以765510||5230-≤≤-PN ．故PN 的取值范围是]765510,5230[--． …………10分。
浙江省嘉兴市2019_2020学年高二数学上学期期末考试试题含解析
浙江省嘉兴市2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题（含解析） 一､选择题1.抛物线24x y =的焦点坐标是( )A. ()1,0B. ()0,1C. ()2,0D. ()0,2 【答案】B【解析】【分析】根据抛物线定义,可直接得焦点坐标.【详解】24x y =是焦点位于y 轴上的抛物线所以2p =即焦点坐标为()0,1故选:B【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及焦点求法,属于基础题.2.直线l :320x y +-=在x 轴上的截距为( ) A. 23 B. 23- C. 2D. -2【答案】C【解析】【分析】根据直线方程截距的定义,令0y =即可求得直线在x 轴上的截距.详解】直线l :320x y +-=由直线方程截距的定义可知,令0y =,解得2x =即直线与x 轴的交点坐标为()2,0,所以直线l :320x y +-=在x 轴上的截距为2故选:C.【点睛】本题考查了截距的定义,直线在坐标轴上截距的求法,属于基础题.3.已知点1,0A ､()1,2B 与圆O :224x y +=,则( )A. 点A 与点B 都圆O 外B. 点A 在圆O 外,点B 在圆O 内C. 点A 在圆O 内,点B 在圆O 外D. 点A 与点B 都在圆O 内 【答案】C【解析】【分析】将点代入圆的方程,根据点与圆位置关系的判断方法,即可得解.【详解】因为点1,0A ､()1,2B将1,0A 的坐标代入圆224x y +=的方程,可得22104+<,所以点A 在圆224x y +=内将()1,2B 的坐标代入圆224x y +=的方程,可得22124+>,所以点B 在圆O 外 故选:C【点睛】本题考查了点与圆位置关系的判断方法,属于基础题.4.空间中，,,αβγ是三个互不重合的平面，l 是一条直线，则下列命题中正确的是（ ）A. 若//l α，l β//，则//αβB. 若αβ⊥，l β⊥，则//l αC. 若l α⊥，l β//，则αβ⊥D. 若αβ⊥，//l α，则l β⊥【答案】C【解析】若l ∥α，l ∥β，则α与β可能平行也可能相交(此时交线与l 平行)，故A 错误； 若αβ⊥，l β⊥，则l ∥α或l ⊂α，故B 错误；若αβ⊥，//l α，则l 与β可能平行也可能相交，故D 错误；若l ∥β，则存在直线m ⊂β，使得l ∥m ，又由l ⊥α可得m ⊥α，故α⊥β，故C 正确； 本题选择C 选项.5.已知直线1l :70x my ++=和2l :()2320m x y m -++=互相平行,则( )A. 3m =-B. 1m =-C. 1m =或3m =D. 1m =-或3m =【答案】D【解析】 【分析】 根据两条平行直线的斜率相等,且截距不等,解方程即可求得m 的值.【详解】因为直线1l :70x my ++=和2l :()2320m x y m -++=互相平行当0m =时两条直线不平行,即0m ≠则123m m --=-,且723m m -≠- 化简可得2230m m --=解方程可得1m =-或3m =经检验1m =-或3m =都满足题意故选:D【点睛】本题考查了直线平行时的斜率关系,根据平行关系求参数的值,属于基础题.6.已知长方体1111ABCD A B C D -,1AB =,2AD =,11AA =,则异面直线11A B 与1AC 所成角的余弦值为( )A. 23B. 6C. 6D. 13【答案】B【解析】【分析】画出长方体1111ABCD A B C D -,由长方体性质可知AB 与1AC 所成的角即为异面直线11A B 与1AC 所成角,即为1BAC ∠.根据线面垂直关系及线段长度,即可求得1cos BAC ∠.【详解】画出长方体1111ABCD A B C D -如下图所示:在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AB A B ，则AB 与1AC 所成的角即为异面直线11A B 与1AC 所成角,即为1BAC ∠或其补角，因为AB ⊥平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B ，所以1AB BC ⊥，即12ABC π∠=，因为1AC ==1AB =，所以11cos 6AB BAC AC ∠===， 故选:B【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法,长方体的几何性质的应用,属于基础题.7.若圆222(3)(5)x y r -++=上有且只有两个点到直线4320x y --=的距离等于1，则半径r 的取值范围是（ ）A. (4,6)B. [4,6]C. (4,5)D. (4,5]【答案】A【解析】 由圆()()22235x y r -++=，可得圆心的坐标为()35，- 圆心()35，-到直线4320x y --=的距离为：5=由51r -<得46r <<所以r 的取值范围是()46，故答案选A点睛：本题的关键是理解“圆上有且只有两个点到直线4320x y --=的距离等于1”，将其转化为点到直线的距离，结合题意计算求得结果8.已知不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<,0α>,则不等式20cx bx a ++>的解集是( )A. 11,βα⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 11,,βα⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. (),αβD. (](),,αβ-∞+∞【答案】A【解析】【分析】 根据不等式20ax bx c ++>的解集,判断出,,a b c 的符号,利用韦达定理表示出αβ+和αβ⋅与,,a b c 的关系. 设不等式20cx bx a ++>的解集为(),m n ,利用韦达定理建立,αβ与,m n 的关系,进而用,αβ表示出,m n ,即可得不等式20cx bx a ++>的解集.【详解】不等式20ax bx c ++>的解集是{}|x x αβ<<所以20ax bx c ++=的两个根分别为12,x x αβ==因为0α>,所以0β>,所以0a < 由韦达定理可知120b x x a αβ+=+=->,120c x x a αβ⋅=⋅=> 由0a <,可知0,0b c ><因为0c <,所以可设20cx bx a ++>的解集为(),m n .由于m n <,所以11n m < 则,ba m n m n c c+=-⋅= 因为b c αβαβ+=-⋅,c aαβ⋅= 所以111m n m n m n αβαβαβαβ+⎧+==+⎪⋅⎪⎪⋅=⎨⋅⎪⎪<⎪⎩解方程组可得11m n βα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以不等式20cx bx a ++>的解集为11,βα⎛⎫ ⎪⎝⎭故选:A【点睛】本题考查了不等式与方程的关系,韦达定理在解方程中的应用,属于中档题.9.设0,0x y >>，且231x y+=，若2322x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. ][,64,-∞⋃+∞（）B. ][,46,（）-∞-⋃+∞ C. 6,4-（）D. 4,6-（） 【答案】C【解析】【分析】 把32x y +转为()233232x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式求得最小值24，然后由22m m +<24得m 的范围． 【详解】解：∵231x y+=∴()23493232121224y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭． 当且仅当46x y =⎧⎨=⎩时取等号， ∴2224,-6<m<4m m +<∴，故选C ．【点睛】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查了学生分析问题和解决问题的能力．10.正方体中1111ABCD A B C D -,过1D 作直线l ,若直线l 与平面ABCD 中的直线所成角的最小值为6π,且直线l 与直线1BC 所成角为4π,则满足条件的直线l 的条数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】B【解析】【分析】根据题意,由l 与平面ABCD 中的直线所成角的最小值可得直线l 的运动轨迹为以1DD 为轴的圆锥母线(母线与1DD 成3π).由直线l 与直线1BC 所成角,可得此时直线l 的运动轨迹为以1D A 为轴的圆锥母线(母线与1D A 成4π).两个圆锥的交线,即为满足条件的直线l 的条数. 【详解】设立方体的棱长为1,过1D 作直线l ,若直线l 与平面ABCD 中的直线所成角的最小值为6π 即l 与平面ABCD 所成角为6π,1DD 为轴的圆锥母线(母线与1DD 成3π)是直线l 的运动轨迹, 连接1D A ,易证11//D A BC ;直线l 与直线1BC 所成角为4π;直线l 与直线1D A 所成角为4π. 此时1D A 为轴的圆锥母线(母线与1D A 成4π)是直线l 的运动轨迹两个圆锥相交得到两条交线,故选:B.【点睛】本题考查了空间中直线与直线、直线与平面的夹角,根据空间位置关系判断直线的数量,对空间想象能力和计算能力要求较高,属于难题.二､填空题11.双曲线22145x y -=的焦距为______,渐近线为______. 【答案】 (1). 6 (2). 5y x =±【解析】【分析】根据双曲的定义及,,a b c关系即可求得焦距和渐近线方程.【详解】双曲线221 45x y-=224,5a b==所以222459c a b=+=+=即3c=所以焦距为26c=渐近线方程为5by x xa=±=±故答案为:6;5 y x =±【点睛】本题考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质,双曲渐近线方程的求法,属于基础题.12.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),该几何体的表面积为______,体积为______.【答案】 (1). 76 (2). 40【解析】【分析】根据三视图,还原空间几何体,即可求得该几何体的表面积和体积.【详解】由三视图,还原空间几何体如下图所示:所以原几何体为直四棱柱,底面是正视图所示的直角梯形,高为4所以表面积()()1144214454762S =⨯+⨯⨯++++⨯= ()11444402V =⨯+⨯⨯= 故答案为:76;40【点睛】本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,棱柱的结构特征及表面积和体积求法,属于基础题.13.已知圆1C :222220x y x y +++-=,圆2C :224210x y x y +--+=,则两圆的位置关系为______(填“内含”､“内切”､“相交”､“外切”或“外离”),它们的公切线条数为______.【答案】 (1). 相交 (2). 2【解析】【分析】 将两个圆化为标准方程,判断两个圆的圆心距与两个半径的关系,即可判断两个圆的位置关系,进而判断出公切线数量.【详解】圆1C :222220x y x y +++-=,圆2C :224210x y x y +--+=化为标准方程为圆1C :()()22114x y +++=,圆2C :()()22214x y -+-=所以两个圆的半径122r r == 由两点间距离公式可得32123213C C =+=因为圆心距满足1212013C C r r <<+所以两圆的位置关系为相交根据圆与圆相交时的公切线情况,可知两个圆的公切线为2条故答案为:相交;2【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系判断,圆与圆公切线数量和圆与圆的位置之间的关系,属于基础题.14.设F 为抛物线212y x =的焦点(O 为坐标原点),(),M x y 为抛物线上一点,若5MF =,则点M 的横坐标x 的值是______,三角形OMF 的面积是______.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】根据抛物线的标准方程,求得p 的值.由抛物线定义即可求得点M 的横坐标.将点M 的横坐标代入抛物线,求得点M 的纵坐标,即可求得三角形OMF 的面积.【详解】因为抛物线212y x =则6p所以抛物线的准线方程3x =- 因为5MF =,由抛物线的定义知M 到准线的距离等于5MF =所以35x +=,即M 的横坐标为2x =代入抛物线方程可得M 的纵坐标为y =±所以11322OMF S OF y ∆=⋅=⨯⨯=故答案为: 2;【点睛】本题考查了抛物线的定义及性质的简单应用,抛物线中三角形面积问题的解法,属于基础题.15.已知向量()1,2,3a =,()2,2,b x x y y =+-,并且a ､b 共线且方向相同,则x y +=______.【答案】4【解析】【分析】根据空间向量共线基本定理,可设()0b a λλ=>.由坐标运算求得λ的值,进而求得,x y .即可求得x y +的值.【详解】根据空间向量共线基本定理,可设()0b a λλ=>由向量的坐标运算可得2223x x y y λλλ=⎧⎪+-=⎨⎪=⎩解方程可得131x y λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以4x y +=. 故答案为:4【点睛】本题考查了空间向量共线基本定理的应用,根据向量的共线定理求参数,属于基础题.16.已知椭圆C :()222210x y a b a b+=>>与直线1l :12y x =,2l :12y x =-,过椭圆上的一点P 作1l ,2l 的平行线,分别交1l ,2l 于M ,N 两点,若MN 为定值,则椭圆C 的离心率为______.【解析】 【分析】方法一:由题意可知, 点P 的位置与椭圆的离心率无关.因而可分别设()0,P b 和(),0P a ,即可表示出交点,M N 的坐标.求得MN 的长,令两种情况下的MN 相等,即可得,a b 的关系,进而求得椭圆的离心率.方法二:根据椭圆的参数方程,可设()cos ,sin P a b θθ,进而表示出直线PN l 与PM l ,由直线交点的求法求得交点,M N 的坐标.即可根据两点间距离公式表示出MN .根据同角三角函数关系式的性质,即可得,a b 的关系,进而求得椭圆的离心率. 【详解】方法一:特殊位置分析法 当()0,P b 时,PN l :12y x b =+,PM l :12y x b =-+由1212y x b y x⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得,2b N b ⎛⎫- ⎪⎝⎭,同理,2b M b ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以2MN b = 当(),0P a 时,PN l :122a y x =-,PM l :122ay x =-+ 由12212a y x y x⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得,24a a N ⎛⎫- ⎪⎝⎭,同理,24a a M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以2a MN =;因为MN 定值,所以22ab =,此时c e a ==== 故答案为方法二:设()cos ,sin P a b θθ,则PM l :()1cos sin 2y x a b θθ=--+ PN l :()1cos sin 2y x a b θθ=-+, 由()1cos sin 212y x a b y x θθ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以11cos sin ,cos sin 242b M a b a θθθθ⎛⎫++⎪⎝⎭同理11cos sin ,cos sin 242b N a b a θθθθ⎛⎫--+⎪⎝⎭所以MN =若MN 定值,则22144b a =所以c e a ====故答案为:15 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系及综合应用,直线交点坐标的求法,两点间距离公式及椭圆的参数方程应用,综合性强,属于难题.17.如图，在三棱锥D ABC -中，已知2AB =，3AC BD ⋅=-，设AD a BC b CD c ===，，，则21c ab +的最小值为 .【答案】2 【解析】试题分析：设AD a =，CB b =，DC c =，∵2AB =，∴2222||4a b c a b c ++=⇒+++2()4a b b c c a ⋅+⋅+⋅=，又∵3AC BD ⋅=-，∴2()()33a c b c a b b c c a c +⋅--=-⇒⋅+⋅+⋅+=，∴22222222(3)=42a b c c c a b +++-⇒=++，∴22222211a b ab ab ab +++≥=++，当且仅当a b =时，等号成立，即21c ab +的最小值是2． 考点：1．空间向量的数量积；2．不等式求最值．【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势． 三､解答题18.过定点()1,1P 的直线l 和圆C :2228x y y +-=相交于A ,B 两点.(1)当直线l 的斜率为1时,求线段AB 的长; (2)当线段AB 最短时,求直线l 的方程.【答案】（1）34（2）1x = 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率与点()1,1P 可得直线方程.由圆的一般方程化为标准方程,可得圆心坐标和半径.结合点到直线距离公式及垂径定理,即可求得弦长AB . （2）当AB 最短时,可知CP l ⊥.由定点()1,1P 即可求得直线l 的方程.【详解】（1）因为()1,1P ,直线l 的斜率为1，所以直线l 的方程为l :y x =，即0x y -=， 由圆的方程2228x y y +-=化为标准方程为()2219x y +-=,可得圆心()0,1，半径3r =所以由点到直线距离公式可得圆心到l 的距离0122d -==， 所以由垂径定理得221229342AB r d =-=-=； （2）当AB 最短时，可知CP l ⊥，因为()1,1P ，所以此时直线l 的方程为1x =.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及弦长求法，直线方程点斜式的写法，属于基础题. 19.如图所示,PA ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,PA AB a ==,E ､F ､G 分别为PA ､PD ､CD 的中点.(1)求证:直线//PB 平面FEG ;(2)求直线PB 与直线EG 所成角余弦值的大小.【答案】（1）见证明（2）3【解析】【分析】（1）取AB中点H,连接EH､HG.可证明//EF GH,即E､F､G､H四点共面.再由中位线定理可证明//EH PB,即可证明直线//PB平面FEG.（2）易知HEG∠即为PB与GE所成角的大小. 可证明HG⊥平面PAB,从而HG EH⊥,求得,EG EH的长,即可求得cos HEG∠,即直线PB与直线EG所成角的余弦值.【详解】（1）证明:取AB中点H,连接EH､HG.如下图所示:∵E､F为PA､PD的中点，∴//EF AD，四边形ABCD为正方形，//AB CD∴且AB CD=，又∵H､G为AB､CD中点，则//AH DG且AH DG=，∴四边形ADGH为平行四边形，∴//GH AD,//EF GH所以E､F､G､H四点共面，又∵在PAB∆中,//EH PB,EH⊂平面EFG,PB⊄平面EFG，∴//PB平面EFG；（2）∵//PB EH，∴PB与GE所成角的大小等于EH与EG所成角的大小,即为HEG∠或其补角，因为PA⊥平面ABCD,所以PA HG⊥，又∵HG AB⊥,PA AB A=，所以HG⊥平面PAB，EH⊂平面PAB，∴HG EH⊥，在Rt EHG∆中,HG a=,1222EH PB a==，∴6EG=，所以由锐角三角函数定义可知232cos6aEHHEGEGa∠===，故直线PB与直线EG所成角的余弦值为3.【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定，异面直线夹角的求法，核心在于辅助线作法，找到线线平行或异面直线的夹角，属于中等题.20.已知椭圆C:()2211xy mm+=>的左､右顶点分别为A,B,O为坐标原点,且4AB=.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点P为直线4x=在第一象限内的一点,连接PA交椭圆于点M,连接PB并延长交椭圆于点N.若直线MN的斜率为1,求P点的坐标.【答案】（1）2214xy+=（2）()4,1P【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何意义,求得a进而求得m,即可得椭圆的标准方程.（2）根据直线MN的斜率为1,可设直线MN的方程,联立椭圆方程,利用直线与椭圆有两个交点可知>0∆得n的范围.由两点求得斜率并表示出直线AM与直线BN,结合韦达定理即可求得n的值.即可得P点的坐标.【详解】（1）根据椭圆的几何意义,可知42AB a==，所以24m a ==，故椭圆C :2214x y +=；（2）因为直线MN 的斜率为1，所以设MN :x y n =+,()11,M x y ,()22,N x y ，与椭圆联立22440x y n x y =+⎧⎨+-=⎩，整理得225240y ny n ++-=，()()22244541650n n n ∆=-⋅-=->， 则1225n y y +=-,21245n y y -=，直线AM :()1122y y x x =++与直线BN :()2222yy x x =--交于点P ，则()()()()211221212122424222y x y y n y y x y y n y ++++==--+-()()()()12111211222225522225n n y y n y n y n n y y n y n n y +⎛⎫⎛⎫++--+-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===++--⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故1n =，点P 在第一象限则()0,1N -，由于点()2,0B ，直线BN 的方程为112y x =-， 联立4112x y x =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得41x y =⎧⎨=⎩，故()4,1P . 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法,直线与椭圆位置关系的综合应用,韦达定理研究圆锥曲线问题的综合方法,计算量较为复杂,属于难题. 21.多面体111ABC A B C -,111////AA BB CC ,14AA =,12BB =,13CC =,4AB =,1AB BB ⊥,1C 在平面11ABB A 上的射影E 是线段11A B 的中点.(1)求证:1//C E 平面ABC ;(2)若12C E =,求二面角11C AB C --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）66【解析】 【分析】（1）过E 作1//EO A A 交AB 于O ,连接CO .根据梯形中位线定理及平行四边形性质可证明1//C E EO ,进而证明1//C E 平面ABC .（2）以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标,并分别求得平面ABC 和平面1AB C 的法向量,即可根据向量的数量积求得二面角11C AB C --的余弦值. 【详解】（1）过E 作1//EO A A 交AB 于O ,连接CO ,如下图所示:由梯形中位线知1132BB AA OE +==,所以1OE CC =， 又1//OE CC ，故四边形1OECC 是平行四边形，所以1//C E EO ，又EO⊂平面ABC,1C E⊄平面ABC，所以1//C E平面ABC；（2）由1C E⊥平面11ABB A,则CO⊥平面11ABB A，又CO⊂平面ABC ，所以平面ABC⊥平面11ABB A，以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示：则12CO C E==，()2,0,0A-,()2,2,0B,()10,3,2C,()0,0,2C，()14,2,0AB=,()12,3,2AC=,()2,0,2AC=，设平面ABC的法向量为(),,m a b c=，则11m ABm AC⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即4202320a ba b c+=⎧⎨++=⎩，取1a=,得()1,2,2m=-设平面1AB C的法向量为(),,n x y z=，则1n ABn AC⎧⋅=⎨⋅=⎩，即420220x yx z+=⎧⎨+=⎩，取1x=,得()1,2,1n=--，所以6cos,m nm nm n⋅<>==，6【点睛】本题考查了直线与平面平行的判定, 平面法向量的求法,利用空间向量求二面角的大小,属于基础题.22.已知抛物线1C:()220x py p=>上的点到焦点的距离最小值为1.(1)求p 的值;(2)若点()00,P x y 在曲线2C :2114y x =+上,且在曲线1C 上存在三点A ,B ,C ,使得四边形PABC 为平行四边形.求平行四边形PABC 的面积S 的最小值.【答案】（1）2p =（22. 【解析】 【分析】（1）由抛物线定义,结合抛物线的几何性质可知()0,0到准线2py =-的距离为最小值,即可求得p 的值;（2）方法一:设出直线AC 的方程,并讨论斜率是否存在.联立直线与抛物线方程,结合韦达定理表示出AC 中点D 的坐标.将点()00,P x y 代入曲线2C 可得20044x y -=-.根据平行四边形性质可知B ,P 关于点D 对称,即可表示出B 点坐标,可得方程()()22004442k x k b y -=+-.利用三角形面积公式表示出平行四边形PABC 的面积S ,根据等量关系即可求得面积的最小值.方法二: 设()11,A x y ,()22,C x y ,表示出直线AC 的方程,由点()00,P x y 在曲线2C 上,可得20044x y -=-.由B ,P 关于点D 对称,可得B 点坐标,将B 的坐标代入抛物线方程,可得12,x x 的等量关系.根据三角形面积公式表示出平行四边形PABC 的面积S ,进而由不等式关系即可求得最小值.【详解】（1）根据抛物线的定义可知,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离 抛物线上的点到焦点的距离最小值为1 即()0,0到准线2py =-的距离为1即12p=,所以2p = （2）方法一:设直线AC :y kx b =+,当k 不存在时,此时直线AC 为竖直线,与抛物线只有一个交点,故舍去. 设()11,A x y ,()22,C x y联立方程24y kx bx y=+⎧⎨=⎩,得2440x kx b --=124x x k +=,124x x b =-.故线段AC 中点()22,2D k k b + 而点()00,P x y 在曲线2C :2114y x =+上 故20044x y -=-若要满足四边形PABC 为平行四边形,则B ,P 关于点D 对称.则()2004,42B k x k b y -+-.又点B 在抛物线1C 上,故满足方程()()22004442k x k b y -=+-,即()2000148kx b x y +=+①12PAC S S AC d x ∆==⋅=-00b y =+-,代入①得:2004S x y =-2004x y =-,所以322min004S y =-=所以平行四边形PABC 的面积S . 方法二:设()11,A x y ,()22,C x y ,直线AC :()121240x x x y x x +--=,点()00,P x y 在曲线2C :2114y x =+上, 故2044x y -=-.线段AC 中点221212,28x x x x D ⎛⎫++ ⎪⎝⎭,若要满足四边形PABC 为平行四边形,则B ,P 关于点D 对称,则22121200,4x x B x x x y ⎛⎫++-- ⎪⎝⎭.又点B 在抛物线1C 上故满足方程()22212012044x x y x x x ⎛⎫+-=+-⎪⎝⎭,即()()20121200224x x x x x x y +=++①122PACS S AC d x ∆==⋅=-12220000448x x x y y -=-=-2004y=-322004y ≥-=.所以平行四边形PABC 的面积S .【点睛】本题考查了抛物线的定义及标准方程,过定点的直线与抛物线的位置关系,抛物线中四边形面积问题的综合应用,计算量大,综合性强,属于难题.。
2020-2021学年浙江省嘉兴市城北中学高二数学理上学期期末试卷含解析
2020-2021学年浙江省嘉兴市城北中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1、F2，点A在C上，若|F1A|=2|F2A|，则cos∠AF2F1=（）A．B．C．D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义，以及余弦定理建立方程关系即可得到结论．【解答】解：∵双曲线C的离心率为2，∴e=，即c=2a，点A在双曲线上，则|F1A|﹣|F2A|=2a，又|F1A|=2|F2A|，∴解得|F1A|=4a，|F2A|=2a，||F1F2|=2c，则由余弦定理得cos∠AF2F1===．故选：A．2. 如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D两点处测得塔顶A 的仰角分别为45°，30°，又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（）A．50米B．25米C．25米D．50米参考答案：A【考点】解三角形的实际应用．【分析】设AB=am，则BC=am，BD=am，根据∠CBD=30°，CD=50米，利用余弦定理建立方程，即可得出结论．【解答】解：设AB=am，则BC=am，BD=am，∵∠CBD=30°，CD=50米，∴2500=a2+3a2﹣2a，∴a=50m．故选A．3. 定义在R上的函数导函数为，且对恒成立，则（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】构造函数，再利用导数研究函数的单调性，利用单调性求解.【详解】设，因为，所以，所以函数g(x)在R上是减函数，所以g(2)＜g(1),,故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4. 已知非零向量、满足向量与向量的夹角为，那么下列结论中一定成立的是（）A． B． C． D．参考答案：B5. 如图是一个商场某一个时间制订销售计划时的局部结构图，则“计划”受影响的主要要素有（）A．1个B．2个C．3个D．4个参考答案：C【考点】EJ：结构图．【分析】组织结构图是从上往下画的，故“计划”隶属“政府行为”、“策划部”和“社会需求”的共同下级，受“政府行为”、“策划部”和“社会需求”的影响．【解答】解：组织结构图是从上往下画的，故“计划”隶属“政府行为”、“策划部”和“社会需求”的共同下级，受“政府行为”、“策划部”和“社会需求”的影响．则“计划”受影响的主要要素有3个故选C6. 设,则“”是“”的（）(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既不充分也不必要条件参考答案：A7. 已知复数（为虚数单位），则（）A．B．C． D．参考答案：A复数。
2022-2022年高二上半年数学期末检测(浙江省嘉兴市)
2022-2022年高二上半年数学期末检测（浙江省嘉兴市）选择题下列命题一定正确的是（）A.三点确定一个平面B.依次首尾相接的四条线段必共面C.直线与直线外一点确定一个平面D.两条直线确定一个平面【答案】C【解析】A：不共线的三点确定一个平面，故错误；B：空间四边形，不共面，故错误；C：正确；D：两条异面直线不能确定一个平面，故错误。
故答案为:C.由平面的基本性质对各选项判断,得到C正确.选择题若实数满足，则下列不等式成立的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】不妨设，则只有D成立.所以答案是:D.选择题已知是两条不同直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则【答案】D【解析】A：存在相交或异面；B：存在平行或斜交；C：存在包含在平面内；D正确。
所以答案是:D.【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)，还要掌握直线与平面平行的性质(一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行;简记为：线面平行则线线平行)的相关知识才是答题的关键．选择题设，则“”是“恒成立”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得，，故“”是“恒成立”的充分不必要条件，故答案为：A．先求命题“对任意的正数x，不等式x+≥2成立”的充要条件，再利用集合法判断两命题间的充分必要关系.选择题在三棱锥中，是的中点，且，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】所以答案是:C.选择题在三棱柱中，分别是的中点，则必有（）A.B.C.平面D.平面【答案】C【解析】由图象可知，与异面，A错误；和夹角60°，B错误，D错误；C正确；所以答案是:C.【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．选择题在平行六面体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】由图象可知，，在中，，所以，故答案为:B.由线线平行,得到异面直线所成的角就是角D1AB1,用三角形中的余弦定理求出角的余弦值.选择题已知-2与1是方程的两个根，且，则的最大值为（）A.-2B.-4C.-6D.-8【答案】B【解析】，得，所以，故答案为:B.由韦达定理将b,c用a表示出来,将目标式子表示为a的函数式,用均值不等式求最大值.选择题关于的不等式只有一个整数解，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】，当时，得，不符合题意；当时，且，解得。
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浙江省嘉兴市数学高二上学期理数期末考试试卷
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、单选题 (共12题；共24分)
1. （2分）如图,某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）
A . 1
B .
C . 2
D .
2. （2分）设命题p:非零向量是的充要条件；命题q“x>1”是“x>3”的充要条件，则（）
A . 为真命题
B . 为假命题
C . 为假命题
D . 为真命题
3. （2分）以A(1，3)，B(-5，1)为端点的线段的垂直平分线方程是（）
A . 3x-y+8=0
B . 3x+y+4=0
C . 3x-y+6=0
D . 3x+y+2=0
4. （2分）已知c是双曲线的半焦距，则的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
5. （2分） (2019高二上·鄂州期中) 已知 , 为两个非零向量，则“ ”是“ 与的夹角为钝角”的（）
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分也不必要条件
6. （2分）若a，b是异面直线，P是a，b外的一点，有以下四个命题
①过P点一定存在直线l与a，b都相交；
②过P点一定存在平面与a，b都平行；
③过P点可作直线与a，b都垂直；
④过P点可作直线与a，b所成角都等于50°．
这四个命题中正确命题的序号是（）
A . ①
B . ②
C . ③④
D . ①②③
7. （2分）若直线与圆相切，则的值为（）
A . 0
B . 1
C . 2
D . 0或2
8. （2分） (2019高二上·章丘月考) 设斜率为的直线过抛物线的焦点，与交于两点，且，则（）
A .
B . 1
C . 2
D . 4
9. （2分） (2020高二上·深圳期末) 已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
10. （2分）直线，和交于一点，则的值是（）
A .
B .
C . 2
D . -2
11. （2分）若直线y=kx与曲线y=x3﹣3x2+2x相切，则k的值为（）
A .
B . 0或
C . 2或-
D . 2
12. （2分）椭圆的左、右顶点分别为，点在上且直线的斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共4题；共4分)
13. （1分） (2020高一下·北京期中) 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是________ ．
14. （1分） (2019高二上·金华月考) 平面内一动点到定点的距离比点到轴的距离大1，则动点的轨迹是________，其方程是________.
15. （1分） (2017高二上·常熟期中) 已知点A（1，2），B（﹣3，﹣1），若圆x2+y2=r2（r＞0）上恰有两点M，N，使得△MAB和△NAB的面积均为5，则r的取值范围是________．
16. （1分）(2018·普陀模拟) 抛物线的准线方程为________
三、解答题 (共6题；共57分)
17. （10分） (2019高二上·永济月考) 已知p：，q：．
（Ⅰ）求p对应不等式的解集；
（Ⅱ）若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围．
18. （10分）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，∠ABC=60°，E，F分别为DC，AB的中点，将△DAE沿AE折起，使得∠DEC=120°．
（Ⅰ）求证：平面DCF⊥平面DCE；
（Ⅱ）求点B到平面DCF的距离．
19. （2分） (2019高二上·葫芦岛月考) 已知圆过点，，圆心在直线
上，是直线上任意一点．
（1）求圆的方程；
（2）过点向圆引两条切线，切点分别为，，求四边形的面积的最小值．
20. （10分） (2016高二上·湖南期中) 已知焦点在x正半轴上，顶点为坐标系原点的抛物线过点A（1，﹣2）．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）过抛物线的焦点F的直线l与抛物线交于两点M、N，且△MNO（O为原点）的面积为2 ，求直线l 的方程．
21. （10分）(2019·武威模拟) 如图，在四棱锥P−ABCD中，AB//CD，且 .
（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC ，，求二面角A−PB−C的余弦值.
22. （15分） (2017高二下·黄陵开学考) 已知抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F与椭圆C的一个焦点重合，且抛物线的准线与椭圆C相交于点．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F是否存在直线l与椭圆C交于M，N两点，且以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
参考答案一、单选题 (共12题；共24分)
答案：1-1、
考点：
解析：
答案：2-1、
考点：
解析：
答案：3-1、
考点：
解析：
答案：4-1、考点：
解析：
答案：5-1、考点：
解析：
答案：6-1、考点：
解析：
答案：7-1、考点：
解析：
答案：8-1、
考点：
解析：
答案：9-1、考点：
解析：
答案：10-1、考点：
解析：
答案：11-1、考点：
解析：
答案：12-1、
考点：
解析：
二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、
考点：
解析：
答案：14-1、考点：
解析：
答案：15-1、考点：
解析：
答案：16-1、
考点：
解析：
三、解答题 (共6题；共57分)
答案：17-1、考点：
解析：
答案：18-1、考点：
解析：
答案：19-1、
答案：19-2、考点：
解析：
答案：20-1、答案：20-2、
考点：
解析：
答案：21-1、
答案：21-2、考点：
解析：
答案：22-1、。