对数的换底公式及其推论含答案

对数的换底公式及其推论

含答案

The pony was revised in January 2021

对数的换底公式及其推论

一、复习引入：对数的运算法则

如果a>0，a1，M>0，N>0有：

二、新授内容：

1.对数换底公式：

a

N N m m a log log log =(a>0,a1，m>0,m1,N>0) 证明：设a log N=x,则x a =N

两边取以m 为底的对数：N a x N a m m m x m log log log log =⇒= 从而得：a N x m m log log =

∴a N m m a log log = 2.两个常用的推论:

①1log log =⋅a b b a ，log log log =⋅⋅a c b c b a

②b m

n b a n a m log log =（a,b>0且均不为1）

证：①lg lg lg lg log log =⋅=⋅b

a a

b a b b a ②b m n a m b n a b b a m n n

a m log lg lg lg lg log === 三、讲解范例：

例1已知2log 3=a ，3log 7=b,用a,b 表示42log 56 解：因为2log 3=a ，则

2log 13=a ,又∵3log 7=b, ∴1

312log 7log 2log 37log 42log 56log 56 log 33333342+++=++⋅+==b ab ab 例2计算：①3log 12.05

-②2194log 2log 3log -⋅解：①原式=3

15555531log 3log 52.0===

②原式=2

345412log 452log 213log 21232=+=+⋅ 例3设),0(,,+∞∈z y x 且z y x 643==

1求证z y x 1211=+；2比较z y x 6,4,3的大小

证明1：设k z y x ===643∵),0(,,+∞∈z y x ∴1>k 取对数得：3lg lg k x =，4lg lg k y =，6

lg lg k z = ∴z

k k k k k y x 1lg 6lg lg 22lg 23lg 2lg 24lg 3lg 2lg 24lg lg 3lg 211==+=+=+=+ 2

k y x lg )4lg 43lg 3(43-=-04lg 3lg 8164

lg

lg lg 4lg 3lg 81lg 64lg <=-=k k ∴y x 43< 又：k z y lg )6lg 64lg 4(64-=-06lg 2lg 169

lg

lg lg 6lg 2lg 64lg 36lg <⋅=-=k k ∴z y 64<

∴z y x 643<<

例4已知a log x=a log c+b ，求x

分析：由于x 作为真数，故可直接利用对数定义求解；另外，由于等式右端为两实数和的形式，b 的存在使变形产生困难，故可考虑将a log c 移到等式左端，或者将b 变为对数形式

解法一：

由对数定义可知：b c a a x +=log b c a a a ⋅=log a c ⋅=

解法二：

由已知移项可得b c x a a =-log log ，即b c x a

=log 由对数定义知：

b a

c x =a c x ⋅=∴ 解法三：

四、课堂练习：

①已知18log 9=a,b 18=5,用a,b 表示36log 45

解：∵18log 9=a ∴a =-=2log 1218log 1818

∴18log 2=1a ∵b 18=5∴18log 5=b

∴a

b a -+=++==22log 15log 9log 36log 45log 45log 181818181836

②若8log 3=p,3log 5=q,求lg5

解：∵8log 3=p ∴3log 32＝p ⇒p 33log 2=⇒p 312log 3= 又∵q =5log 3∴5log 2log 5log 10log 5log 5lg 33333+==pq

pq 313+= 三、小结本节课学习了以下内容：换底公式及其推论

四、课后作业：

1．证明：b x

x a ab a log 1log log += 证法1：设p x a =log ，q x ab =log ，r b a =log 则：p a x =q q q b a ab x ==)(r a b =

∴)1()(r q q p a ab a +==从而)1(r q p +=

∵0≠q ∴r q

p +=1即：b x x a ab a log 1log log +=（获证） 证法2：由换底公式左边＝

b ab a ab x x a a x x ab a log 1log log log log log +===＝右边 2．已知λ====n a a a b b b n log log log 2121

求证：λ=)(log 2121n a a a b b b n 证明：由换底公式

λ====n n a b a b a b lg lg lg lg lg lg 2211 由等比定理得： λ=++++++n n a a a b b b lg lg lg lg lg lg 2121 ∴λ=)

lg()lg(2121n n a a a b b b ∴λ==)lg()lg()(log 21212121n n n a a a a a a b b b b b b n