1.1 集合及其运算

例如当f ( x)是一个给定的实函数且 a是一个常数时， E[ x; f ( x) a]就是E中那些使f ( x)大于a的x所构成的集合 .
集合的运算
1.集合的子集 设A, B是两个集合，如果属于 A的元素都属于 B， 则说A包含于B或A是B的子集，记为 A B.
2.集合的真子集 如果B A，B A，即B是A的子集，但B还不等于A， 则说B是A的真子集.

特别地，若C B ( ),则C
B .

( A ) ( B ). （4） （A B）

(5)
A ( B ) ( A B ).

A , 证明 （2）由并集的定义，若 x
A (,). 则 R
例3
1 设An {x : 1 1 x 1 n n }, n N ,
( -2
-1-1/n
( -1
]
0
1-1/n
) 1
n 1
An [1,0]

n1
An

(2,1)
练习：
1 若An {x; x 1}, n 1,2,, 则 An n 1 n
A ( B ) ( A B ).

5．差运算
由所有属于A但不属于B的元素组成的集合， 称为A减B的差集，记作A-B。即
A B {x; x A, x B}.
注 6. 余集 若已知 A B 则 A B 称为B 相对于A 的余集，记为 C A B.
第一章 集合及其基数
第一节 集合及其运算 集合论产生于十九世纪七十年代，它是德国 数学家康托尔（Cantor）创立的，不仅是分析学 的基础，同时，它的一般思想已渗入到数学的所 有部门。“集合论观点”与现代数学的发展不可 分割地联系在一起。
集合的定义
集合，指的是具有某种特定性质的对象的全体， 通常用大写英文字母A，B，X，Y…等表示；集 合中的每个对象称为该集合的元素。一般说来， 我们总用小写字母a,b,x,y…表示集合中的元 素。

再由并的定义可知存在 使x B .
于是 x A B .
从而 x ( A B ).

B ) ( A B ). 所以 A ( ( A B ) A ( B ). 再证
略
(6)
则存在 , 使x A .
而 A B , 所以有x B .
B , 从而 x

故

A B .

（5）若 A ( B ) , 任取 x A ( B ),

由交的定义，x A且x B .
n 1 n 1 n 1 n 1 又对任意n N , 恒有 1 , 即1 ( , ), n n n n n 1 n 1 故 ( , ) {1}.综上可知命题成立 . n 1 n n
4. 并运算
A B {x; x A 或 x B}
x A B当且仅当 x A或x B.
集合序列的极限
1.序列的增减性
设{An }n1是一个集合序列 ,
若A1 A2 An , 则称该序列单增； 若A1 A2 An , 则称该序列单减 .
2.序列的并和交
设{An }n1是任意一个集合序列，
称Bn Ak 是集合序列 { Ak }k n 的并； 称Cn Ak 是集合序列 { Ak }k n 的交.
2. 一串指的是可排序.
3.最小的 域F0 {, S}; 最大的 域F1 { 由S的全体子集所构成 }
定理7
若 A 是由S的子集构成的集合,则唯一存 在一个由S的子集构成的最小 域 F ( A), 使 A F ( A).
证明：设F ( )是包含A的，由S的子集构成的 - 域， 即F A， ( ). 由定理知F(A) F A.
A {x; x }, ,
则 A


练习：
n 1 n 1 若An {x; x }, n 1,2,, 则 An n 1 n n
答案： An {1}
n 1

证明：设x {1}, 即x 1.若x 1, 则有
n 1 n 1 n0 1 n0 1 1 n0 N , 使x 1 , 故x ( , ),即x ( 0 , 0 ). n 1 n0 n0 n0 n0 n0
答案： An (0,1)
n 1

1 证明：对任意 n N , 有An ( ,1) (0,1), n 故 An (0,1).
n 1
1 又对x (0,1), 存在n0 N , 使 x 1,即 n0
1 1 1 x ( ,1) An0 , 于是 ( ,1) ( ,1) (0,1). n0 1 n n 1 n n0 0
k n k n

显然， {Bn }n1单减， {Cn }n1单增.
3.上极限和下极限
我们把{Bn }的交集称为 { An }的上极限， 记为limAn lim sup An Bn Ak .
n n n 1 n 1 k n
我们把{Cn }的并集称为 { An }的下极限， 记为lim An lim inf An Cn Ak .
c
3） 当A, B F时，A B F， 则称F是S的一些子集构成的一个域或代数.
把上述定义中的 3）改为 3）当A1，A2 , An , 是F中一串元素时，必有
n 1
An F , 则F称为S的一些子集构成的一个

域或代数
注
1. 域一定域，但域不一定 是 域.
A A A, A A A
定理4 （1） A B A A B.
（2） 若 A B , ( ), 则 A B .

特别地，若A C ( ),则 A C.

（3） 若 A B , ( ), 则 A B .
( A B) B未必等于A.
特别地，若考虑的一切集合都是某一给 定集合S的子集，集合A相对于S的余集 称为A的余集，简记为 CA或Ac .
余：Cs A S A （其中S为全集）,简记为Ac
注：A B A B
定理5
c
（1） S C , C S. （2） A AC S , A AC . (3)
一簇集合 { A } ，可类似定义其并集，即

A {x; 存在 , 使x A }
1 1 例1 若 An {x;1 x 1 }, n 1,2,3,, n n
则 An
n 1

(1,1).
例2 若 A {x; 1 x }, R,
Q lim An lim An Z
n n
(Q Ak , Q Ak )
定理3
（1）交换律 A B B A; A B B A
（2）结合律 A ( B C ) ( A B) C;
A ( B C ) ( A B) C ;
（3）分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C ) （4）幂等律
集合与元素的关系：属于或不属于.
对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x属 于A，如果x不是A的元素，则称x不属于A。 集合的表示方法： 1.列举法； 2.描述法；
例如，A是由具有性质P的元素全体组成时，记为：
A {x | x具有性质P}
其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。
如果E是一个事先给定了的集 合，则E[ x; p( x)]便表示E中所有使 条件p( x)满足的x所构成的集合，即 {x; x E, p( x)}.

故只需证明 F (A)是 - 域即可.
1) 因为 - 域F ( F A)中都含有空集 ， 所以F (A) F中也含有.

2) 如果B F ( A)
F , 则对任意 ，都有B F ,

而F 是 - 域.所以B c F . 由于对任意 ，都有B c F ，故B c F ( A) F .
定理1
AB
的充要条件是 A B 且 B A.
B C ,则 A C . 定理2 若 A B ，
3.集合的交运算 设A, B是两个给定的集合，将 它们所共有的元素 拿来构成一个新的集合 ，则称为A和B的交， 记为A B或AB，因此A B {x; x A且x B}.

3) 若B1，B2 , Bn , 中的每一个都属于 F (A) 则对于任意的 - 域F , 都有B i F , 于是
i 1
F ,

Bi F ,由于 是任意的，从而 Bi F (A)
i 1


F .

可见F ( A)确实是一个 域。
c 对 ，有x A ,
即x S且x A .

因而x S且x A ,即x ( A )c .

c 所以 A ( A ) c .


c 因此( A ) c A .


域或代数
对于一个给定的集合S，若F 是S的一族子集， 它满足下列条件 1） F ; 2） 当A F时，A F ;
( AC )C A.
(4) 若A B, 则AC BC .
定理6
De Morgan 公式

c ( A ) c A
c ( A ) c A