初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第06章-几何基础知识

第六章几何基础知识

第一节线段与角的推理计算

【知识点拨】

掌握七条等量公理：

1、同时等于第三个量的两个量相等。

2、等量加等量，和相等。

3、等量减等量，差相等。

4、等量乘等量，积相等。

5、等量除以等量（0除外），商相等。

6、全量等于它的各部分量的和。

7、在等式中，一个量可以用它的等量来代替（等量代换）。

【赛题精选】

例1、如图，∠AOB＝∠COD，求证：∠AOC＝∠BOD。

例2、C、D为线段AB上的两点，AD＝CB，求证：AC＝DB。

例3、AOB是一条直线，∠AOC＝600，OD、OE分别是∠

AOC和∠BOC的平分线。问图中互为补角关系的角共有多少对？

例4、已知B、C是线段AD上的任意两点，M是AB的中

点，N是CD的中点，若MN＝a，BC＝b，求CD的长。

例5、已知OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，且∠AOC＝800。求∠MON的度数。

例6、已知A、O、B是一条直线上的三个点，∠BOC比∠AOC 大240，求∠BOC、∠AOC的度数。

例7、如图，AE＝8.9CM，BD＝3CM。求以A、B、C、D、

E这5个点为端点的所有线段长度的和是多少？

例8、线段AB上的P、Q两点，已知AB＝26CM，AP＝14CM，

PQ＝11CM。求线段BQ的长。

例9、已知∠AOC＝∠BOD＝1500，∠AOD＝3∠BOC。

求∠BOC的度数。

例10、已知C是AB上的一点，D是CB的中点。若图中线段的长度之和为23CM，线段AC的长度与线段CB 的长度都是正整数。求线段AC的长度是多少厘米？

【针对训练】

第二节相交线与平行线

【知识点拨】

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行。

相交线性质：两直线相交，对顶角相等。

平行线性质定理平行线的判定定理

两直线平行，同位角相等。同位角相等，则两直线平行。

两直线平行，内错角相等。内错角相等，则两直线平行。

两直线平行，内旁内角互补。同旁内角互补，则两直线平行。

【赛题精选】

例1、已知AK∥OL，OM∥BN，∠KAB＝1000，∠ABN＝1100。求∠x的度数。

例2、已知节AB∥CD，EF∥CD，∠ABC＝500，∠CEF＝1500。求∠x的度数。

例3、已知AE平分∠CAD，AE∥BC。求证∠B＝∠C。

例4、证明：同一平面内，若一直线与二平行线中的一条相交，则必与另一条相交。

例5、∠CAB、∠C1A1B1都是锐角，AC∥A1C1，AB∥A1B1。求证∠CAB＝C1A1B1。

例6、已知直线AB、CD相交于O点，∠ACO＝2∠1，∠BOD＝2∠2。求证：AC∥BD。

例7、已知AB∥CD，求证：∠ABE＋∠BED＋∠EDC＝3600。

例8、已知∠C＝1050，∠ABC＝750，P为CD上的一点，∠DAP＝∠BAP。

求证：AP平分∠BAP。

例9、已知∠B＝∠C，∠1＝∠2。求证：AE∥DF。

例10、试证明：平面上两两相交的七条直线相交所得的角中至少有一个角小于260。

第三节通过面积割补练习推理

【知识点拨】

定理：等底等高的两个三角形的面积相等

重要推论：三角形一边的中线平分这个三角形的面积。

【赛题精选】

例1、在四边形ABCD中，AB∥DC，AC、BD相交于O。求证：S△AOD＝S△BOC。

例2、在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，若△AOD与△BOC面积相等。

求证AB∥DC。

例3、在四边形ABCD中，M是AD的中点，N是BC的中点。已知S ABNM＝S DCNM。

求证：AD∥BC。

例4、在五边形A1A2A3A4A5中，A1A3∥A5A4，A2A4∥A1A5，A3A5∥A2A1，A4A1∥A3A2。

求证：A5A2∥A4A3。

练习：在图示边形中，若S△ABC＞S△ABD，则高CC1＞高DD1。

例5、已知A1A2A3A4A5A6是凸六边形，在以六边形任意三个

顶点组成的三角形中，一定存在某个三角形的面积不超过这个六

边形面积的1/6。

例6、四边形ABCD面积为S，E、F为AB的三等分点，M、N为DC的三等分点。求证：四边形EFNM的面积等于S/3。

例7、若△ABC的面积为1，D、E为BC的三等分点，

F、G为CA的三等分点。求四边形PECF的面积。

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