粱昆淼第四版数学物理方法第3和4章
数学物理方法第一章
(或微商)，以 f '(z) 或 df/dz 表示
讨论：
1、从形式上看，复变函数导数的定义与实变函数的定义相同，
因而实变函数论中关于导数的规则和公式往往可以适用于实变 函数。
则
x cos y sin
z (cos i sin )
z e
i
指数式
讨论：i)复数的辐角不能唯一地确定。如果 0 是其中一个辐角， 则
0 2k (k 0,1,2,) 也是其辐角，把属于 [0,2 ) 的辐角称为主值辐角，记为arg z .
存在，且连续，并
且满足柯西-黎曼条件。 证明：由于这些偏导数连续，二元函数 u 和 v 的增量可分别写为
各 个
，于是有
根据柯西-黎曼条件，上式即
这一极限是与 z 0 无关的有限值。证毕。
讨论：复变函数与实变函数的导数有本质上的差别，复变函数 可微，不但要求复变函数的实部与虚部可微，而且还要求其实 部与虚部满足柯西-黎曼条件。
单连通区域：在区域 B 做任何简单的闭曲线，曲线包围 的点全属于 B。否则为多连通区域。
三、复变函数例
多项式
a0 a1 z a2 z an z
2
n
n 为正整数
有理分式
a0 a1 z a2 z 2 an z n b0 b1 z b2 z 2 bm z m
ii)当 1时，z cos i sin ei 称为单位复数。
iii)复数 z 的共轭复数
z x iy (cos isin ) e
精选数学物理方法第四版梁昆淼期末总结讲义
设函数 f(z)在回路 l 所围区域 B上除有限个孤
立奇点b1，b2，…，bn外解析，在闭区域 B 上除b1，
b2，…，bn外连续，则f(z)沿l正向积分 l f (z)dz 之值
等于f(z)在l所围区域内各奇点的留数和的2 i倍.
n
l
f
( z )dz
2 i
Re sf
j 1
1 cos 2 2
u v 1 sin sin
2 2
22
第14页，共84页。
u 1 cos 2 2
u sin 2 2
将上面第二式对 积分， 视作参数，有
u
u
d
R(
)
sin d R()
22
2
sin
2
d
R(
)
2 cos R()
2
其中 R() 为 的任意函数。 将上式两边对 求导，
0 arg z 2 ,
辐角：Argz arg z 2k (k 0,1,2,)
共轭复数: z x iy z* x iy
第2页，共84页。
2、复数的运算: 加、减、乘、除、乘方、开方 (1)、加法和减法
z1 x1 iy1 z2 x2 iy2
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 ) (2)、乘法和除法
2kπ n
i sin
2kπ n
i 2k
n e n
( k 0, 1, 2, , n 1 )
复数的乘、除、乘方和开方运算，采用三角式
或指数式往往比代数式来得方便。
第5页，共84页。
二、六种初等复变函数：
1. 幂函数 w z n
2 .指数函数 w e z
数学物理方法 教学大纲
《数学物理方法》教学大纲Methods of Mathematical Physics课程编码：17A03090 学分：4.5 课程类别：专业基础课（必修课）计划学时：72 其中讲课: 72 实验或实践：0 上机：0适用专业：通信工程推荐教材：梁昆淼编，《数学物理方法》（第四版），高等教育出版社，2010。
参考书目：1. 吴崇试编著，《数学物理方法》（第二版），北京大学出版社，2003。
2. 管平，计国君，黄骏，《数学物理方法》，高等教育出版社，2006。
课程的教学目的与任务该课程分为复变函数论与数学物理方程两篇。
复变函数部分是介绍复变函数和积分变换的基础知识，数学物理方程部分是介绍物理学中常遇到的三种典型偏微分的基本求解方法和求解偏微分方程中遇到的常微分方程的求解方法。
通过该课程的学习，使得学生能够掌握复变函数的基本性质和复变函数的微分、积分方法，以及复变函数积分变换方法。
更重要是的掌握常见偏微分方程的基本解法，目的是为理论物理课程所遇到的偏微分方程的求解奠定数学基础，同时培养学生数学建模思维方式和解决数理问题的基本能力。
课程的基本要求1.定期完成教师布置的作业和积极参加讨论活动；2.熟练掌握复数的基本性质、定理和傅里叶变换规律；3.领会三类典型数理方程的推导方法，学写方程的初始条件、边界条件和衔接条件；4.掌握求解三种典型数学物理方程的基本方法；5.掌握特殊函数方程的级数求解方法。
各章节授课内容、教学方法及学时分配建议（含课内实验）第一章：解析函数建议学时：6 [教学目的与要求]1.熟练掌握复数的各种表示方法及六则运算；2.掌握复变函数及其极限、连续、可导的概念；3.掌握邻域等概念，理解复变函数的几何意义；4.正确理解解析性定义，掌握并熟练运用C-R条件；5.掌握由解析函数实部求虚部，或由虚部函数求实部的方法，以及关复势的概念。
[教学重点与难点] 重点：解析函数的概念与性质，以及C-R条件；难点：对C-R条件的理解和应用。
王成优_“数学物理方法”(第4版)勘误表
1 d d 1 dx d d (sin ) ( sin 2 ) sin d d sin d dx dx d d (1 x 2 ) dx dx
d m2 2 d (1 x ) [ l ( l 1) ] 0 dx d 1 x2
2π
[ei x f ( x)] f ( 0 )
0
f (t ) f ( ) (t )d
r
[ei x f ( x)] F ( 0 )
0
f (t ) f ( ) (t )d
( x a) ( x a)
2a
( x a) ( x a)
2x
( x a) ( x a)
2a
删去
，下式符号 δ 函数 1 lim π 2 x 2
，下式符合 δ 函数 1 lim 0 π 2 x 2
2 x lim arctan 0 π 0
G ( )
(1 2rx r 2 ) lr l 1Pl ( x)
l 0
(1 2rx r 2 ) lr l 1Pl ( x)
王成优©山东大学(威海) 数学物理方法
2
WangChengyou © Shandong University, Weihai
梁昆淼 编, 刘法 缪国庆 修订. 数学物理方法(第 4 版)[M]. 高等教育出版社, 2010.01.
F ( )
1
2
[ xJ1 ( x) x] 0
F ( )
1
2
[ xJ1 ( x)] 0
渐进
渐近
a k cos a, b k sin a eikp cos( a )
数学物理方法第4章
1
1
Re sf ( z)
k 1
n
z 1
表示f(z)在单位圆内所 有奇点的留数和
证明： 令:
ze
i
则:
dz ie d izd
i
0 2
cos (e e sin (e e
1 1 Re sf () Re s[ ,0] 10 2 (1 / z i ) (1 / z 1)(1 / z 3) z z10 Re sf () Re s[ ,0] 0 10 (1 iz ) (1 z )(1 3z )
得：
1 I 10 2(3 i )
§4.2 利用留数定理计算实变函数定积分
1 2 1 i f ( i ) i d 2i 0 re re
1 2 1 i i f ( i ) i 2 d ( re ) 2i 0 re ( re ) 1 1 i f ( ) 2 d Re s() 2i 1
f(z)在ρ<|z|<+∞解析，从而f(1/ξ)在0<|ξ|<1/ρ内解析， 除ξ=0外没有其它奇点，由留数定理得：
( z z0 ) f ( z ) a1 a0 ( z z0 ) a1 ( z z0 )
2
lim ( z z0 ) f ( z ) a1
z z0
非零的有限值
Re sf ( z0 )
若
P( z ) f ( z) Q( z ) P( z ) z z0 Re sf ( z ) lim ( z z0 ) lim P( z ) z z0 Q ( z ) z z0 Q ( z ) P ( z0 ) Q ' ( z0 )
第四章 留数定理 习题梁昆淼数学物理方法
第四章 留数定理1. 函数z ze z f /1)(=在0=z 的奇点类型为 本性奇点 ，其留数为 1/2 。
2. 设n m ,为整数,则=⋅⎰-dx nx mx )cos (sin ππ0 。
3.函数23)(22+++=z z z z z f 有____1___个极点，为_____1____阶极点，在极点处的留数为____________－2____________。
4.为的单极点，则为__________________。
5.函数sin /()z z f z e =在0=z 的奇点类型为 可去奇点 ，其留为 06.函数43)(22-+-=z z zz z f 有________个极点，为__________阶极点；在极点处的留数 为________________________。
7.为的 。
A) 单极点 B) 二阶极点C) 三阶极点 D) 四阶极点8.已知函数，试判断是的几阶极点，然后计算、和在的留数，再利用所得结果给出在的邻域上洛朗展开级数的前三项。
(注意：此题亦可用的泰勒展开直接求出的洛朗展开的前几项，然后利用所得结果求出留数。
)9.求函数的奇点所在的位置，然后计算积分。
10.用留数定理计算复积分⎰=-+=2/3||22)2)(1(z z z dzI 。
解： 回路内有两个一阶极点.,21i z i z -== （2分）其留数为分）（350/)34(])2(2/[1])2)(/[(1lim )]()[(lim )(Re 22221i i i z i z z f i z z sf iz iz -=-=-+=-=→→分）（350/)34(])2(2/[1])2)(/[(1lim )]()[(lim )(Re 22222i i i z i z z f i z z sf iz iz +=---=--=+=→-→25/8))(Re )((Re 221i z sf z sf i I ππ=+= （2分）。
数学物理方法基础(复变函数)
1.2 复变函数
为了更好的理解这个定义，我们需要 了解以下概念：区域、邻域、内点、外点 、境界线、闭区域、开区域等。
邻域：以Zo为圆心，以任意小正数ε 为 半径作一圆，则圆内所有点的集 合称为Zo的邻域。
内点： Zo及其邻域均属于点集E，则该 点叫作E的内点。 外点： Zo及其邻域均不属于点集E，则 该点叫作E的外点。
1
2)
z n n cos n i sin n n ein
n
n z cos i sin e n n n
n i
1-1 课堂练习
1、下列各式在复平面上表示什么？ （1）|z-a|=|z-b| （2）Rez>1/2
答案
再看Δz沿虚轴逼近于0的情形：
f ( z z ) f ( z ) lim z 0 z u ( x, y y ) iv( x, y y ) u ( x, y ) iv( x, y ) lim y 0 iy v( x, y ) u ( x, y ) i y y
上篇
复变函数论
主要内容: 复变函数和解析函数 复变函数的积分 复变函数的级数 拉普拉斯变换与傅立叶变换 线性常微分方程的级数解法及特殊函数等。
第一章 复变函数
1—1 复数及复数运算 1.复数的基本概念 2.复数及其表示形式 3.无穷远点 4.复数的基本运算
1、什么是复数
一个复数可表示为 z=x + i y, 其中x, y为实数，分别为复数z的实部与虚部，记 为:x=ReZ, y=ImZ;(i即虚单位)。复数的上述表示 称为复数的代数式. 1)实部为零的复数称为纯虚数,虚部为零的复数z=x 称为实数。全体实数只是全体复数的一部分. 2)若实部x=0 ,虚部y=0 ,则z=0——复数零. 3)如果把x，y看做是平面上的点，那么复数Z就与 平面上的 点一一对应起来，这个平面称作复平面。
梁昆淼 数学物理方法教学大纲
《数学物理方法》教学大纲（供物理专业试用）前言一、课程概述1．《数学物理方法》是物理教育专业本科的一门重要的基础课，它是前导课程《高等数学》的延伸，为后继开设的《电动力学》、《量子力学》和《电子技术》等课程提供必需的数学理论知识和计算工具。
本课程在本科物理教育专业中占有重要的地位，本专业学生必须掌握它们的基本内容，否则对后继课的学习将会带来很大困难。
在物理教育专业的所有课程中，本课程是相对难学的一门课，学生应以认真的态度来学好本课程。
2．本课程的主要内容包括复变函数、傅立叶级数、数学物理方程、特殊函数等。
理论力学中常用的变分法，量子力学中用到的群论以及现代物理中用到的非线性微分方程理论等，虽然也属于《数学物理方法》的内容，但在本大纲中不作要求。
可以在后续的选修课中加以介绍。
3．本课程的内容为数学课程，注重逻辑推理和具有一定的系统性和严谨性。
但是，它与其它的数学课有所不同。
本课程内容有很深广的物理背景，实用性很强。
因此，在这门课的教学过程中，不能单纯地追求理论上的完美、严谨，而忽视其应用。
学生在学习时，不必过分地追求一些定理的严格证明、复杂公式的精确推导，更不能死记硬背，而应重视其应用技巧和处理方法。
4．本课程的内容是几代数学家与物理学家进行长期创造性研究的成果，几乎处处都闪耀创新精神的光芒。
教师应当提示学生注意在概念建立、定理提出的过程中所用的创新思维方法，在课堂教学中应尽可能地体现历史上的创造过程，提高学生的创造性思维能力。
二、目的要求1．本课程要求学生对规定的内容有一个总体了解。
掌握其中的基本概念，熟悉一些重要的理论及公式，并使所学到的知识在头脑中形成合理的结构。
2．本课程要求学生能运用学到的基本数学方法解决一类常见的物理问题，能较顺利地学习本专业后继的物理课程。
3．本课程要求学生能熟悉在数学物理方法的创立过程中用过的创新思维方法，如类比、推广、猜想及模型化等，为写出有特色的学年论文和/或毕业论文创造条件。
数学物理方法的ppt
方根 n z n e i e 1/ n i / n
e 1/ n i ( 2 k ) / n
( k 0,1,2,3 ) 故k取不同值，n z 取不同值
k 0 k 1 k2
kn
x Re( z) y Im( z)
几何表示：
y
复平面
z x yi
A(x, y)
r
x
z r x 2 y 2 为复数的模
arctg ( y / x) 为复数的辐角 x cos y sin
特权福利
特权说明
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y Argz
r
x
复数的三角表示： z cos i sin
复数的指数表示： z (cos i sin ) ei
e 应用： 2 k i 1 1 e i
i e (2k / 2) i (k 0,1,) i e(2k 3 / 2) i
例：求 z 1 3i 的Argz与argz
arg z arctg[( y1 y2 ) /( x1 x2 )]
有三角
关系： z1 z2 z1 z2
z1 z2 z1 z2
2、复数的乘法
z1 z2 ( x1 y1i)( x2 y2i) ( x1x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1)
z1 z2 1e i1 2e i 2 e i (1 2 )
zE
w称为的z复变函数
z称为w的宗量
数学物理方法答案第四版
数学物理方法答案第四版【篇一：大学生有福啦!四年内所有教材课后答案!大学生有福啦!四年内所有教材课后答案!】=txt>/forum.php?mod=viewthreadtid=7083fromuid=461166 新视野大学英语课后习题答案1-4册全集/forum.php?mod=viewthreadtid=6423fromuid=461166 《毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论》有史以来最全面的复习资料！！！ /forum.php?mod=viewthreadtid=5900fromuid=461166 中国近现代史纲要课后题答案/forum.php?mod=viewthreadtid=5310fromuid=461166 新视野大学英语第四册答案（第二版）/forum.php?mod=viewthreadtid=5161fromuid=461166 新视野大学英语视听说第三册答案/forum.php?mod=viewthreadtid=2647fromuid=461166 《物理化学》习题解答(天津大学, 第四版，106张)/forum.php?mod=viewthreadtid=2531fromuid=461166 新视野大学英语听说教程1听力原文及答案下载/forum.php?mod=viewthreadtid=2006fromuid=461166 西方宏观经济高鸿业第四版课后答案/forum.php?mod=viewthreadtid=1282fromuid=461166 大学英语综合教程 1-4册练习答案/forum.php?mod=viewthreadtid=1275fromuid=461166 新视野大学英语课本详解（四册全）/forum.php?mod=viewthreadtid=805fromuid=461166 新视野大学英语读写教程3册的课后习题答案/forum.php?mod=viewthreadtid=514fromuid=461166 毛邓三全部课后思考题答案(高教版)/毛邓三课后答案/forum.php?mod=viewthreadtid=384fromuid=461166/forum.php?mod=viewthreadtid=304fromuid=461166 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《中国近代史纲要》完整课后答案（高教版）/forum.php?mod=viewthreadtid=78fromuid=461166 《全新版大学英语综合教程》（第四册）练习答案及课文译文学英语综合教程》（第三册）练习答案及课文译文/forum.php?mod=viewthreadtid=76fromuid=461166 《全新版大学英语综合教程》（第二册）练习答案及课文译文/forum.php?mod=viewthreadtid=75fromuid=461166 《全新版大学英语综合教程》（第一册）练习答案及课文译文/forum.php?mod=viewthreadtid=74fromuid=461166 《信号和线性系统分析》习题答案及辅导参考（吴大正版）《有机化学》习题答案（汪小兰主编）/forum.php?mod=viewthreadtid=66fromuid=461166 高等数学上下《习题ppt》/forum.php?mod=viewthreadtid=63fromuid=461166 思想道德修养和法律基础课后习题答案/forum.php?mod=viewthreadtid=60fromuid=461166 西方经济学（高鸿业版）教材详细答案/forum.php?mod=viewthreadtid=59fromuid=461166 《c语言程序和设计》习题答案（谭浩强，第三版）/forum.php?mod=viewthreadtid=58fromuid=461166 《数字信号处理》课后答案及详细辅导（丁美玉，第二版）/forum.php?mod=viewthreadtid=57fromuid=461166 《概率论和数理统计》习题答案/forum.php?mod=viewthreadtid=55fromuid=461166 《理论力学》课后习题答案/forum.php?mod=viewthreadtid=52fromuid=461166 《自动控制原理》课后题答案（胡寿松，第四版）习题分析和解答（马文蔚主编，清华大学，第五版）/forum.php?mod=viewthreadtid=48fromuid=461166 《毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系概论》习题答案（2008年修订版的）/forum.php?mod=viewthreadtid=47fromuid=461166 完整的英文原版曼昆宏观、微观经济学答案/forum.php?mod=viewthreadtid=46fromuid=461166 离散数学习题解答（第四版）清华大学出版社/forum.php?mod=viewthreadtid=45fromuid=461166 《电机和拖动基础》课后习题答案（第四版，机械工业出版社，顾绳谷主编）/forum.php?mod=viewthreadtid=44fromuid=461166 《现代通信原理》习题答案（曹志刚版）/forum.php?mod=viewthreadtid=43fromuid=461166 《土力学》习题解答/课后答案【篇二：《高等数学》第四册(数学物理方法】txt>1.计算i)?i(1)?i?i??2i;1?2i2?i(1?2i)(3?4i)(2?i)i?5?10i2i?12???????;?2?.3?4i5i(3?4i)(3?4i)?59?16555551(3).???i;(1?i)(2?i)(3?i)(1?3i)(3?i)?10i2(4).(1?i)4?[(1?i)2]2?(?2i)2??4;?(a?bi)?1212124)]12???isin?)]?(a?b)(cos2??isin);22?3.设解：z1?z1z2?i;试用三角形式表示z1z2及z2。
数学物理方法第(梁昆淼)部分知识点
1.复变函数 .................................................................................................................................................................. 2 1.1 复数与复数运算 ........................................................................................................................................... 2 1.2 复变函数 ....................................................................................................................................................... 2 1.3 导数 ............................................................................................................................................................... 2 1.4 解析函数 ..........................................................................................................................
数学物理方法教学Chapt3
对于与点z0紧邻z而言，Iz-z0I很小，上式中以am最为重要，则
这意味着F1-F2不可能在α上处处为零.这样，在α上处处为零，势必 使得在β上也处处为零，这与原来的假定矛盾！解析延拓唯一得证！
第三章 幂级数展开
3.1 复数项级数 3.2 幂级数 3.3 泰勒级数展开 3.4 解析延拓 3.5 洛朗级数展开 3.6 孤立奇点分类
两个级数和的乘积.
函数项级数收敛：如果函数项级数wk，
在某个区域B(或某根曲线l)上所有的点z都收敛，则称级数在B(或l)上 收敛.
复数项级数
函数项级数一致收敛：如果函数项级数wk在B(或l)上各点z，对于任
一给定的小正数ε，必有N(z)存在，使得n>N(z)时，
式中p为任意正整数.若N跟z无关，则称级数在B(或l)上一致收敛.
解析延拓就是解析函数定义域的扩大!
B F(z) b f(z)
解析延拓
解析延拓的方法
1. 利用泰勒级数展开：选取区域b的任一内点z0， 在z0的邻域上将解析函数f(z)展开为泰勒级数.如果泰勒 级数的收敛圆有一部分超出b之外，解析函数f(z)的定义 域就扩大一步;
2. 利用一些特殊方法.
解析延拓的唯一性证明
一给定的小正数ε，必有N存在，使得n>N时，
式中p为任意正整数.
绝对收敛：若复数项无穷级数wk各项的模组成的级数
收敛，则级数wk绝对收敛.
复数项级数
绝对收敛级数性质：
1.绝对收敛级数必是收敛的； 2.绝对收敛级数各项先后顺序可以任意改变，其和不变；
3.两个绝对收敛级数各项相乘得到的级数也是绝对收敛的，其和等于
数学物理方法梁昆淼编刘法缪国庆修订梁昆淼编刘法缪国庆修订讲演者徐卫青xuwq412mailustceducn数理系物理教研室第三章幂级数展开第三章幂级数展开31复数项级数31复数项级数32幂级数32幂级数33泰勒级数展开34解析延拓35洛朗级数展开36孤立奇点分类33泰勒级数展开34解析延拓35洛朗级数展开36孤立奇点分类第三章幂级数展开第三章幂级数展开31复数项级数31复数项级数32幂级数32幂级数33泰勒级数展开34解析延拓35洛朗级数展开36孤立奇点分类33泰勒级数展开34解析延拓35洛朗级数展开36孤立奇点分类复数项级数表达式设有复数项的无穷级数它的每一项都可分为实部和虚部复数项级数它的每项都可分为实部和虚部它的每项都可分为实部和虚部那么wk的前n1项的和可以写为从而复数项无穷级数wk的收敛性问题归结为两个实数项级数的收敛性问题
数理方法电子教案
数理方法电子教案《数理方法》电子教案一、课程考试试题样卷题型及分值分配本课程考试试题主要参考书目为梁昆淼，《数学物理方法》。
试题样卷题型及其分值分配见下表1：表1：试题样卷题型及其分值分配试题样卷题型分值分配单项选择题共20小题，每题2分，共40分填空题共10小题，每题1分，共10分计算题共8小题，每题5分，共40分综合题共10分二、知识点分布课程知识点分布如下：主要有两部分的内容：第一部分是复变函数论，第二部分是数学物理方程。
复变函数论第一章：复变函数、复数及运算、区域；第二章：复变函数的积分、柯西定理及公式；第三章：幂级数展开，复数项级数和泰勒级数的展开；第四章：留数定理，应用留数定理计算实变函数定积分；第五章：傅里叶积分与傅里叶变换；第六章：拉普拉斯变换；数学物理方程第七章：数学物理定解问题，数学物理方程的导出及分类；第八章：分离变数法，非齐次振动方程和运输方程；第九章：二阶常微分方程级数解法，特殊函数常微分方程，本征值问题；第十章：球函数；第十一章：柱函数，贝塞尔方程；第十二章：格林函数，求解各种格林函数；第十三章：积分变换法；第十四章：保角变换法；第十五章：近似方法简介。
三、课程重难点、要点复变函数论第一章：复变函数、复数及运算；第二章：柯西定理及公式；第三章：幂级数展开；第四章：留数定理，应用留数定理计算实变函数定积分；第五章：傅里叶积分与傅里叶变换；第六章：拉普拉斯变换；数学物理方程第七章：数学物理方程的导出及分类；第八章：分离变数法，非齐次振动方程和运输方程；第九章：二阶常微分方程级数解法，特殊函数常微分方程，本征值问题；第十章：球函数；第十一章：柱函数，贝塞尔方程；第十二章：格林函数，求解各种格林函数；第十三章：积分变换法；四、具体例题及分析一、填空题：1. 复数z=1+i 的指数表达式为（） A ．4πie B ．2??+ππ24i eC ．22πie D ．243ieB2. 关于解析函数的概念，下列四个描述种错误的是（）A ．若函数f(z)在某点0z 及其领域可导，则必在0z 解析。
梁昆淼数学物理方法
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u(x) tt0
2h
(l x) [l / 2,l]
l
速度满足 ut (x, y, z,t) tt0 0
二、边界条件
第一类边 界条件
u(x, y, z,t) x0 y0 z0 f (x0,Байду номын сангаасy0, z0,t)
第二类边
(Yu
Copyright
x xa )S
2004-2011
f (t)
AsposuexPxtyaLtdf.Y(St
)
如杆端自由 f(t)=0
ux xa 0
B）、热传导
如细杆热传导端
点有热量流出 0
x a
eaqtexdxwaithCAosppkyorusigen.hSxtl2Eiad0ve0as4luf-o2akrt0i.1oN1nuExAoTnsxpl3yo..a5seCPlitfeyn(Lt)tPdr.ofile 5.2.0
( a )( a )u 0 t x t x
令： x a( )
t
eated with Aspose.tSlEitdveaslufxoarti.oxNnEoTntl3y..5aClxient Profile 5.2.0
( x )
Client Profile 5.2.0
Copyriguht 2f010(x4-2a0t1)1Afs2p(oxseaPtt)y Ltd.
求导有 ut af1'(x at) af2'(x at)
f1(x) f2(x) (x)
af1'(x) af2 '(x) (x)
粱昆淼第四版数学物理方法第3和4章
z1z01z zz00z zz002
k
CR2 z0
R2
1 zz0
k0zzz00
C R1
C
f(z)2 1iC 'R 1f( z)d2 1iC 'R2f( z)d
k
1
z
1 zz0
k0zzz00
R1 z
1 f()d
2i z C'R2
CR2 z0
21i C'R2k0((zzz00))kk1f()d C R 1
ak
f (k) (z0) k!
例：在z0=0邻域上把 f (z) ez 展开
解：
ak
f (k) (z0) k!
1 k!
d k ez dzk
z0
1 k!
公比为
ez 1zz2 zk
2!
k!
z k k0 k!
z
R lim ak lim k
a k k 1
k
例：在z0=0邻域上把 f(z)sinz和 f(z)cozs 展开
CR1为圆CR内包含z且与CR
同心的圆
z0
z z z0 CR1 CR
证：cauch公式 f(z)21i CR1 f(z)d
1
1
1
1
z z0(zz0) z01(zz0)/(z0)
1z01z zz00z zz002
z z0 1 z0
1 z0
k0zzz00
k
z0
z
(z z0)k
zk
1 zn1 lim
1
k0
n 1z 1 z
( z 1)
例：求幂级数 (1)k z2k 的收敛半径
k 0
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发散 绝对收敛
lk imk ak (zz0)k 1
发散
R lim 1 a k k
k
(zz0) R 绝对收敛
(zz0) R 发散
3、收敛圆与收敛半径 以z0为圆心半径为R的圆内级数绝对收敛，这个圆称 为收敛圆。R为收敛半径
例：求幂级数 z k k0
解： ak 1
的收敛半径
R lim ak a k
k 1
1
收敛圆： 以0为圆心 半径为1
z 1
事实上：
如
z 1
n zk
k0
1 z n1 1 z
zk
1 zn1 lim
1
k0
n 1z 1 z
( z 1)
例：求幂级数 (1)k z2k 的收敛半径
k 0
解： ak (1)k
R lim ak a k
k 1
1
公比为 z2
如 z 1
收敛圆： 以0为圆心 半径为1
f '(z) 1
z
f
''
(z)
1! z2
f '(1) 1 f ''(1) 1
f (3)(z) 2! z3
f(k)(z)(1)k
(k1)! zk
f (3)(1)2!
f(k)(1)(1)k(k1)
lnzn 2i 1 (z 1 ) 1 !(z 1 )2 ( 1 )k(k 1 )(z ! 1 )k0
k
z0
z
(z z0)k
k0 ( z0)k1
z z0
CR1 CR
f(z)21iCR1 f(z)d
1
2 i
CR 1k0((z zz00 ))kk 1f(
)d
k 0(z z0)k2 1iC R 1(
1 z0)k 1f()d
1 ! 2 !
k !
lnzn 2i 1 (z 1 ) 1 !(z 1 )2 ( 1 )k(k 1 )(z ! 1 )k
1 ! 2 !
k !
n 2 i (z 1 ) 1 (z 1 )2 ( 1 )k(z 1 )k
2
k
( z1 1)
§3.4 解析沿拓
1、解析沿拓概念
比较两个
函数：
cozs1(eizeiz) (1)k z2k
2
k0 (2k)!
z
例：在z0=0邻域上把
f
(z)
1 1
z
展开
解：
1
1
z
1zz2
zk
z 1
k0
例：在z0=0邻域上把
f
(z)
1 1 z2
展开
1
1 z2
z 2k
z 1
k0
例：在z0=1邻域上把 f(z)lnz 展开
解： f(z)lnz
f(1)ln1n2i
第三章 幂级数展开
§3.1 复数项级数 §3.2 幂级数 §3.3 泰勒级数展开 §3.4 解析沿拓 §3.5 洛朗级数展开 §3.6 孤立奇点的分类
§3.1 复数项级数
1、 复数项级数
称级数
w kukikvk0,1,2,
wk
k 1
收敛于F
复数项级数和
wk ukivk
k1
k1
k1
n
这时 ln imk1uk u
z 1
k 0
(1)k
z2k
1
1 z
2
( z 1)
例：求幂级数
(z / 2)2k
解：R lim 1 a k 2k
2k
k 0
的收敛半径
lim 1 k 2k 1/ 22k
2
§3.3 泰勒级数展开
定理：设f(z)在以z0为圆心的
圆CR内解析，则对圆内的任意
f(z) ak(zz0)k
z点，f(z)可展开为
R lim ak lim k
a k k 1
k
z
例：在z0=0邻域上把 f(z)sinz和 f(z)cozs 展开
解： sinz1(eizeiz)
1 (iz)k (iz)k
(
)
2i
2i k0 k! k0 k!
1(
(iz)k
(iz)k)
2i k0 k! k0 k!
z
(1)k z2k1 k0 (2k 1)!
zk 1zz2
z 1
k0
1
和
1 z
除 z=1 以外 两者在较小区域等同
设某个区域b 上的解析函数f(z)，找出另一函数F(z),它在
含有b 的一个较大的区域B上解析，且在区域b上等于f(z)
称F(z)为 f(z)的解析沿拓
bB
2、解析沿拓唯一性概念
设f(z)， F(z)在某个区域B上解析，若在B的任一 子区域b 中f(z) F(z)，则在整个区域B上必有 f(z) F(z)。
k0
其中a ：k2 1i ( C R 1 f( z0) )k 1df(kk )( !z0)
CR1为圆CR内包含z且与CR
同心的圆
z0
z z z0 CR1 CR
证：cauch公式 f(z)21i CR1 f(z)d
1
1
1
1
z z0(zz0) z01(zz0)/(z0)
1z01z zz00z zz002
前n 项和
n
n
n
wk uki vk Fn
k1
k1
k1
n
ln imk1vk v 也收敛
n
若
lim
n k1
wk
F
有限
科西收敛判据： (级数收敛必要条件)
2、复变函数项级数
对于任意 >0,有N，使得n>N时 wk(z)w1(z)w2(z)
F npF nw n 1w n 2w np
k1
各项都是z
k 0
为以z0 为中心的幂级数
考虑
a0a 1(zz0)a2(zz0)2
1、比值判别法
令：
lim
k
ak1 ak
(z z0)k1 (z z0)k
limak1 k ak
(zz0)
R lim ak a k
k 1
(zz0) R
1 绝对收敛
1 发散
绝对收敛
(zz0) R
2、根值判别法
lk imk ak (zz0)k 1
的函数
n p
w k
对于B（或l 上）任意 z,给定 >0,有N，使
k n1
得n>N() 时
p 为任意正整数
n p
绝对收敛：
wk ( z )
k n1
wk
uk2 vk2
k 1
k1
收敛
称为级数在B上一致收敛
此时，若每项连续， 则和连续
§3.2 幂级数
讨论幂
级数
a k(zz0)ka 0a 1(zz0)a 2(zz0)2
而由cauch
公式
f(k)(z)2k !i l(f(z))k1d
f(z) ak(zz0)k k0
ak
f (k) (z0) k!
例：在z0=0邻域上把 f (z) ez 展开
解：
ak
f (k) (z0) k!
1 k!
d k ez dzk
z0
1 k!
公比为
ez 1zz2 zk
2!
k!
z k k0 k!
§3.5 洛朗级数展开
考虑如下幂级数
a 2 ( z z 0 ) 2 a 1 ( z z 0 ) 1 a 0 a 1 ( z z 0 ) a 2 ( z z 0 ) 2