小学数学《常规应用题的解法——枚举法》练习题(含答案)

小学数学《常规应用题的解法——枚举法》练习题（含答案）
知识要点
我们在课堂上遇到的数学问题，有一些需要计算总数或种类的趣题，因其数量关系比较隐蔽，很难利用计算的方法解决。

我们可以抓住对象的特征，按照一定的顺序，选择恰当的标准，把问题分为不重复、不遗漏的有限种情形，通过一一列举或计数，最终达到解决目的。

这就是枚举法，也叫做列举法或穷举法。

解题指导1
1.枚举法在数字组合中的应用。

按照一定的组合规律，把所有组合的数一一列举出来。

【例1】用数字1，2，3组成不同的三位数，分别是哪几个数？
【思路点拨】根据百位上的数字的不同分为3类。

第一类：百位上为1的有：123 132
第二类：百位上为2的有：213 231
第三类：百位上为3的有：312 321
答：可以组成123，132，213 ，231，312 ，321六个数。

【变式题1】用0、6、7、8、9这五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有多少个？
解题指导2
2.骰子中的点数
掷骰子是生活中常见的游戏玩法，既可以掷一个骰子，比较掷出的点数大小，也可以掷两个骰子，把两个骰子的点数相加，再比较点数的大小。

一个骰子只有6个点数，而两个骰子的点数经过组合最小是2，最大是12。

在解决有关掷两个骰子的问题时，要全面考虑所有出现的点数情况。

【例2】小明和小红玩掷骰子的游戏，共有两枚骰子，一起掷出。

若两枚骰子的点数和为7，则小明胜；若点数和为8，则小红胜。

试判断他们两人谁获胜的可能性大。

【思路点拨】将两枚骰子的点数和分别为7与8的各种情况都列举出来，就可得到问题的结论。

用a＋b表示第一枚骰子的点数为a，第二枚骰子的点数是b的情况。

出现7的情况共有6种，它们是：
1＋6，2＋5，3＋4，4＋3，5＋2，6＋1。

出现8的情况共有5种，它们是：
2＋6，3＋5，4＋4，5＋3，6＋2。

所以，小明获胜的可能性大。

注意，本题中若认为出现7的情况有1＋6，2＋5，3＋4三种，出现8的情况有2＋6，3＋5，4＋4也是三种，从而得“两人获胜的可能性一样大”，那就错了。

答：小明获胜的可能性大。

【变式题2】用一台天平和重1克、3克、9克的砝码各一个（不再用其他物体当砝码），当
砝码只能放在同一盘内时，可称出不同的质量有多少种？
解题指导3
3.下面这道题比较直观的展示解决问题有多种方法和途径，通过本题的练习可以开阔我们的发散思维。

【例3】如图所示，数字1处只有一颗棋子，现移动这颗棋子到数字5处。

规定每次只能移动到邻近的一格，且总是向右移动。

例如1→2→4→5就是一条移动路线。

问：共有多少种不同的移动路线？
【思路点拨】从1向右移动到邻近的一格有两种方法，1到2和1到3；从2 向右移动到邻近的一格也有两种移法，从2到3，从2到4；从3向右移动到邻近一格，也有两种移法，从3到5，从3到4，从4移动到邻近一格有1种移法。

画图表示：
答：共有5种移动路线。

【变式题3】有红、黄、蓝色的小旗各1面，从中选用1面、2面或3面升上旗杆，组合出各种不同信号，一共可以组合不同信号多少种？
解题指导4
【例4】课外小组组织30人做游戏，按1～30号排队报数。

第一次报数后，单号全部站出来；以后每次余下的人中的第一个人开始站出来，隔一人站出来一人。

到第几次这些人全部都站出来了？最后站出来的人应是第几号？
【思路点拨】我们把1～30号同学用编号列出。

进行第一次操作，单号全部站出来。

站出来的同学有：1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29。

然后进行第二次操作，从余下的人中的第一个人站出来，隔一人站出来一人。

第一个人是2号，往后分别是6，10，14，18，22，26，30.
余下的人还有4，8，12，16，20，24，28.
第三次站出来的人有4，12，20，28.
第四次站出来的人是8，24。

第五次只有16号，也是最后一个。

答：到第5次这些人全部都站出来了，最后站出来的人应是第16号。

总结：本题应用了排除法，通过列举每次变化后的数，最后余下的数就是我们要找的数。

【变式题4】如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到D 的最短长度为4厘米。

这样的最短线段共有多少条？一一画出来。

规律小结
一、用枚举法解题时要掌握一下三点：
1．列举时应注意有条理地列举，不能杂乱无章地罗列。

2. 根据题意，按范围和各种情况分类考虑，做到既不重复又不遗漏。

3．排除不符合条件的情况，不断缩小列举的范围。

二、枚举的方法常用的有：
1、列表枚举。

如我们第6讲中解决鸡兔同笼问题时采用的列表法，就是采用列表枚举的方法。

2、画图枚举，为了更清楚地表示出所有可能的情形。

用画树图枚举法，能做到形象直观，条理分明，简炼易懂。

特别适用于找出所有的情形或结果。

【基础巩固】
1.用数字7，8，9可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数？
2.从甲地到乙地有2条路可走，由乙地到丙地有3条路可走，那么由甲地经乙地到丙地共有几条路可走？
3.甲、乙、丙、丁站成一排照相，但甲必须站在两头，共有几种不同的排法？
4.从3，6，7，8这四张数字卡片中，任取3张，排成三位数，能排成几个不同的三位数，最大的三位数是多少？最小的三位数是多少？
5、现有1克、2克、3克重的砝码，要用10个砝码称出重20克的物体。

在取出的砝码中，1克重的有3个，那么3克重的砝码应该有多少个？
6、小明有面值为5角、8角的邮票各两枚，他用这些邮票能付多少种不同的邮资（寄信时，所需邮票的钱数）?
7.某餐厅的菜单如下：汤类：A.鸡蛋汤；B.三鲜汤。

菜类：C.炒肉丝；D.红烧猪肉；E.炒青菜。

饮料类：（1）高橙；（2）苹果可乐；（3）葡萄酒。

每顿饭若只能各类选一种，试问：可以有多少种不同的选购方法？请写出这些选购菜单。

【培训提优】
1.用1，0，3，5这四个数可以组成几个四位数？
2.有7张卡片上写着数字2，3，4，5，6，7，8，从中抽出两张，组成的所有的两位数是奇数的个数是多少？
3.已知三位数的各位数字之和等于8，那么这样的三位数共有多少个？
4、用长48厘米的铁丝围成各种长方形（长和宽都是整厘米数，且长和宽不相等），围成的最大一个长方形面积是多少平方厘米？
5. 从两张5元币、五张2元币、十张1元币中，拿出10元钱买钢笔，一共有几种不同的拿法？
6、数一数，右图中有多少个三角形。

1、一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙。

但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？
（北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）
2．有红、黄、蓝色小旗各一面，它们的大小规格都相同，只是颜色不同。

如果把它们挂在一个高杆上，按所挂的面数及从上到下的颜色顺序表示不同信号，那么这些旗可表
示种不同信号。

（陕西省凤翔县2008年小学数学竞赛试题（卷））
3．用一根长38厘米的铁丝围长方形，使它们的长和宽都是整厘米数，可以有（）种围法。

A、7
B、8
C、9
D、10
4、果篮里有苹果、香蕉、梨、桔子、桃五种水果若干个，每个人可以从中任取两个，那么最少需要多少个人才能保证至少有2人选的水果是完全相同的？
答案与提示
【变式题1】
【思路点拨】因为0不能作开头数字，所以开头数字只能有4种情况，余下的数字作为个位数各有4种情况。

列举每个数字开头的情况分别有：
6开头的数有4种：60，67，68，69
7开头的数有4种：70，76，78，79
8开头的数有4种：80，86，87，89
9开头的数有4种：90，96，97，98
一共有4×4=16（个）
答：五个数字组成各个数位上数字不相同的两位数共有16个.
【变式题2】
【思路点拨】共有三个质量各不相同的砝码,可以取出其中的一个、两个或三个来称不同的质量，一一列举这三种情况：
一个砝码的有3种：1克，3克，9克
二个砝码的有3种：1+3=4克，1+9=10克，3+9=12克
三个砝码的有1种：1+3+9=13克
解：3+3+1=7（种）
答：可称出7种不同的重量。

【变式题3】
【思路点拨】（1）选用1面小旗有3种方法，可表示3种不同的信号。

（2）选用2面小旗可表示6种不同的信号；红黄；红蓝；黄蓝；黄红；蓝红；蓝黄。

（3）选用3面小旗可表示6种不同的信号：红黄蓝；红蓝黄；黄红蓝；黄蓝红；蓝红黄；蓝黄红。

一共可以组合出3+6+6＝15种不同信号。

答：一共可以组合不同信号15种。

【变式题4】
【思路点拨】画图分析。

从A到D可分为经过O和H两种路线，而每种路线又有3种，所以共有3+3=6种。

将各种路线一一列出，一共有6条，如下图。

解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）
答：这样的最短线段共有6条。

【基础巩固】
1、【解答】7在百位上的数有：789，798
8在百位上的数有：879，897
9在百位上的数有：978，987
共有2+2+2=6（个）
2、解答：从甲地到乙地的2条路线，每条都有3条可以走到丙地，所以有2个3条，一共有2×3=6条。

答：由甲地经乙地到丙地共有6条路可走.
3、解答：用枚举法可排列为：①甲乙丙丁②甲乙丁丙③甲丙乙丁④甲丙丁乙⑤甲丁乙丙⑥甲丁丙乙⑦乙丙丁甲⑧乙丁丙甲⑨丙乙丁甲⑩丙丁乙甲○11丁乙丙甲○12丁丙乙甲。

答：共12种不同的排法。

4、解答：从3、6、7、8四张数字卡片中，任取3张，排成不同的三位数，若百位数字有4种选法，十位数字就有3种选法，个位数字只有2种选法，共可排成4×3×2＝24个不同的三位数。

最大的三位数是876，最小的三位数是367。

5、【思路点拨】1克重的有3个，20克的物体还需要17克砝码，一共用10个砝码，还需要7个。

一一枚举7个砝码使用情况：
1、3克 3克 3克 3克 3克 3克 2克不符合条件
2、3克 3克 3克 3克 3克 2克 2克不符合条件
3、3克 3克 3克 3克 2克 2克 2克不符合条件
4、3克 3克 3克 2克 2克 2克 2克符合条件
5、3克 3克 2克 2克 2克 2克 2克不符合条件
6、3克 2克 2克 2克 2克 2克 2克不符合条件
7、2克 2克 2克 2克 2克 2克 2克不符合条件
从枚举中可以看出只有第4种方法符合要求的条件。

答：那么3克重的砝码应该有3个.
6、解答：有用1张、2张、3张、4张四种付费方法，分别是：
1张的情况有：5角，8角共2种；
2张的情况有：5角+5角，8角+8角，5角+8角共3种；
3张的情况有：5角+5角+8角，8角+8角+5角共2种；
4张的情况有：5角+5角+8角+8角共1种。

一共有2+3+2+1=8种。

答：用这些邮票能付8种不同的邮资。

7、解答：（1）.鸡蛋汤炒肉丝高橙（2）.鸡蛋汤炒肉丝苹果可乐
（3）鸡蛋汤炒肉丝葡萄酒（4）鸡蛋汤红烧猪肉高橙
（5）鸡蛋汤红烧猪肉苹果可乐（6）鸡蛋汤红烧猪肉葡萄酒
（7）鸡蛋汤炒青菜高橙（8）鸡蛋汤炒青菜苹果可乐
（9）鸡蛋汤炒青菜葡萄酒（10）三鲜汤炒肉丝高橙
（11）三鲜汤炒肉丝苹果可乐（12）三鲜汤炒肉丝葡萄酒
（13）三鲜汤红烧猪肉高橙（14）三鲜汤红烧猪肉苹果可乐
（15）三鲜汤红烧猪肉葡萄酒（16）三鲜汤炒青菜高橙
（17）三鲜汤炒青菜苹果可乐（18）三鲜汤炒青菜葡萄酒
可以有18种不同的选购方法.
【培优训练】
1、解答：千位数字只能从1，3，5中选取一个，有3种选法；百位数字可从余下的3个数字中选取，也有3种选法；十位数字从余下的2个数字中选取，有2种选法；个位数字从余下的数字中选取，只有1种选法。

共可组成3×3×2×1＝18个不同的四位数。

2、解答：这个两位数是奇数，个位数字只能在3，5，7中选取一个，十位数字可从余下的6个数字中选取一个。

因此，这个两位数共有3×6＝18个。

3、解答：①百位数字为8，只有800一个三位数；②百位数字为7，有701，710共2个三位数；③百位数字为6，有602，611，620共3个三位数；④百位数字为5，有503，512，521，530共4个三位数；⑤百位数字为4，有404，413， 422，431， 440共5个三位数；
⑥百位数字为3，有305，314，323，332，341，350共6个三位数；⑦百位数字为2，有206，215，224，233，242，251，260共7个三位数；⑧百位数字为1，有107，116，125，134，143，152，161，170共8个三位数。

因此这样的三位数一共有1+2+3+4+5+6+7+8＝（1+8）×8÷2＝36个。

答：这样的三位数共有36个.厘米，长和宽不能相等厘米，宽1厘米，面积23平方厘米；长22厘米，宽2厘米，面积44平方厘米；
厘米，宽3厘米，面积63平方厘米；
长20厘米，宽4厘米，面积80平方厘米；
长19厘米，宽5厘米，面积95平方厘米；
长18厘米，宽6厘米，面积108平方厘米；
长17厘米，宽7厘米，面积119平方厘米；
长16厘米，宽8厘米，面积128平方厘米；
长15厘米，宽9厘米，面积135平方厘米；
长14厘米，宽10厘米，面积140平方厘米；
长13厘米，宽11厘米，面积143平方厘米。

5、解答：①5+5；②5+2+2+1；③5+2+1+1+1；④5+1+1+1+1+1；⑤2+2+2+2+2；⑥2+2+2+2+1+1；
⑦2+2+2+1+1+1+1；⑧2+2+1+1+1+1+1+1；⑨2+1+1+1+1+1+1+1+1；⑩1+1+1+1+1+1+1+1+1+1.
共有10种不同的拿法。

6、分析与解：图中的三角形形状、大小都不相同，位置也很凌乱，不好数清楚。

为了避免数数过程中的遗漏或重复，我们将图形的各部分编上号（见右图），然后按照图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由3部分组成的……再一类一类地列举出来。

单个的三角形有6个：1 ，2，3，5，6，8。

由两部分组成的三角形有4个：
（1，2），（2，6），（4，6），（5，7）。

由三部分组成的三角形有1个：（5，7，8）。

由四部分组成的三角形有2个：
（1，3，4，5），（2，6，7，8）。

由八部分组成的三角形有1个：
（1，2，3，4，5，6，7，8）。

总共有6＋4＋1＋2＋1=14（个）。

对于图形计数，分类型枚举出每种情况，是常用的方法。

【竞赛提升】
1、【思路点拨】把4把锁和4把钥匙分别编号，1号钥匙最多试3次，可以找出与它对应的锁；2号钥匙只要试余下的3把锁，试2次就可找到对应的锁，3号钥匙只要试1次，4号钥匙对应余下的最后一把锁，而这次不用再试，所以一共试了3+2+1=6次。

2、解答：只挂1面时，有3种：红、黄、蓝；
只挂2面时，有6种：红黄、红蓝、黄红、黄蓝、蓝红、蓝黄
3面全挂时，有6种：红黄蓝、红蓝黄、黄红蓝、黄蓝红、蓝红黄、蓝黄红。

因此共可表示不同信号3+6+6=15（种）。

3、分析：长方形长和宽的和是38÷2=19（厘米）
长方形的长和宽分别为：长18厘米，宽1厘米；长17厘米，宽2厘米；长16厘米，宽3厘米；长15厘米，宽4厘米；长14厘米，宽5厘米；长13厘米，宽6厘米；长12厘米，宽7厘米，长11厘米，宽8厘米；长10厘米，宽9厘米。

答：共有9种围法，选C。

4、解：在这五种水果中任取两个，有以下几种情况：
（1）苹果、苹果（2）香蕉、香蕉（3）梨、梨（4）桔子、桔子
（5）桃、桃（6）苹果、香蕉（7）苹果、梨（8）苹果、桔子
（9）苹果、桃（10）香蕉、梨（11）香蕉、桔子（12）香蕉、桃
（13）梨、桔子（14）梨、桃（15）桔子、桃
共15种。

作最不利打算，这十五种情况有十五个同学来拿，这样，已经有15个同学了，若再来一个同学，无论他选哪种拿法，也只能是这十五种的任意一种，即：会和前15个人之中的一个人的拿法相同。

答：最少需要16个同学才能保证至少有2人选的水果完全相同。