大物解题法2：运动与力

第二讲
牛顿运动定律 动量定理和动量守恒
主要内容
• • • • 牛顿运动定律应用 惯性系 惯性力 动量定理 动量守恒 质心运动定理
[例 ] 两质量均为 的小球穿在一光滑的圆环上，小球 例 两质量均为m的小球穿在一光滑的圆环上 的小球穿在一光滑的圆环上， 由一轻绳相连，环竖直放置在图示位置由静止释放。 由一轻绳相连，环竖直放置在图示位置由静止释放。 问释放时绳上张力为多少？ 问释放时绳上张力为多少？ 解： 两小球的动力学方程为
l l 3mω2l x = , FT ( ) = 2 2 8l l l 15mω2l x = , FT ( ) = 4 4 32l
[例3] 例 已知：质量均匀的绳在水平面内转动； 已知：质量均匀的绳在水平面内转动； M , L , ω 求：张力 T (r ) 绳内部相邻两部分 相互作用力
M
o
ω
L
r
例 用质心运动定律来 y F 讨论以下问题． 讨论以下问题． 一长为l 一长为 、密度均匀的柔 y 软链条， 软链条，其单位长度的质量 c yC 为 λ ．将其卷成一堆放在地 若手提链条的一端， 面． 若手提链条的一端，以 o 匀速v 将其上提．当一端被 匀速 将其上提． 提离地面高度为 y 时，求手的提力． 求手的提力．
a
T
m T
2 T = mat 2 2 mg − T = mat 2
m
a
g ∴ at = 2
2 ∴T = mg 2
[例题] 例题]
P73, 2.20
光滑桌面上放置一固定圆环， 光滑桌面上放置一固定圆环，半径为 R，一物体贴着 ， 环带内侧运动，如图所示。 环带内侧运动，如图所示。物体与环带间的滑动摩擦 系数为µ。 系数为 。设在某一时刻质点经 A 点时的速度为 v0。 求此后 t 时刻物体的速率和从 A 点开始所经过的路程。 点开始所经过的路程。
又
ds v= dt
s t
，所以
∫ ds = ∫ vdt
0
t
0
v0 R µ s=∫ dt = ln 1 + v 0 t 1 + µv 0 t R R µ 0
有一质量为m的均匀细棒长为l 将其一端固定并作为转轴， 例 有一质量为m的均匀细棒长为l，将其一端固定并作为转轴， 旋转。 另一端绕转轴在光滑水平面上以匀角速度ω旋转。 距离固定端为l/2 l/4处的张力。 求 距离固定端为l/2、l/4处的张力。 解 选微元dx ，对其受力分析,如图 选微元d 对其受力分析, 建立如图自然坐标 列方程
●
均质圆盘
质心坐标为： 质心坐标为： R
2
0 + − d ⋅ σ ⋅ πr ） （ xC = O′ O″ C 2 2 σ ⋅ πR − σ ⋅ πr x r xCO r d 挖空 =− 2 方法二： 方法二： ( R / r ) − 1 d d
·
P107,3.7例 柔软的绳盘在桌面上 总质量为 0 总长度 例 总质量为m 总长度l 均匀地以速度v 质量均匀分布 均匀地以速度 0 提绳 绳子被拉上任一段长度为ｘ 求：绳子被拉上任一段长度为ｘ时绳端的拉 力F
L
T (r + d r ) − T (r ) = d m ⋅ a n
r
M ⋅ dr dT (r ) = ⋅ − ω 2r L
Leabharlann Baidu
(
)
如何确定积分限？ 利用边界条件。 如何确定积分限？－利用边界条件。
T = T (r )
r = 0 T = Tmax r = L T = Tmin = 0
L
− Mω 2 rdr ∫rdT (r ) = ∫ L T( ) r
一小珠可在半径为R的竖直圆环上无摩擦地滑动， 一小珠可在半径为R的竖直圆环上无摩擦地滑动，且圆环能 ω 以其竖直直径为轴转动． 以其竖直直径为轴转动．当圆环以一适当的恒定角速度 转 动，小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时，小珠所在处圆 小珠偏离圆环转轴而且相对圆环静止时， 环半径偏离竖直方向的角度为多大？ 环半径偏离竖直方向的角度为多大？
m0 N = (l − x ) g l
(1)
x
x
(2 )
r F
o
m0 2 m0 F= υ0 + xg l l #
υ0
N
m0 (l − x )g l
(法二 质点系动量定理（微分形式） 系统是： 法二)质点系动量定理 微分形式） 系统是： 法二 质点系动量定理（ 已提升的质量(主体 和将要提升的质量dm 已提升的质量 主体) m 和将要提升的质量 主体 r x mυ 0 F t
质点力学习题课
N
a′ A
f
A T B
T
mA g m A a0
a′ B mB g m B a0
T − f = m Aa′ A m A g + m Aa0 − N = 0
f = µN
得T = 11.7 N, a ′ = a ′ = 3.9m ⋅ s - 2 A B
m B g + m B a0 − T = m B a′ B a′ = a′ A B
M
暴露
解：在绳上取微元 d m
dm =
M ⋅ dr L
T (r )
o
dr ω dm L
r
受力分析： 受力分析：
dr
dm
T (r + dr )
水平面内法向运动方程： 水平面内法向运动方程：
T (r + d r ) − T (r ) = d m ⋅ a n
M
o
r dr T (r) dm r an
ω
T (r + dr)
即
m 2 x2 FT − FT0 = − ω l 2
(1)
考虑到 x = l 时，FT(l) = 0，则代入(1)式 则代入(1) (1)式 则
m 2 FT0 = lω 2
(2)
mω2 2 2 FT = (l − x ) 2l
距固定端x 距固定端x处棒中的张力为
距固定端为l/2 距固定端为l/2处的张力 距固定端为l/4 距固定端为l/4处的张力
0
t + dt
mυ0 υ0dm
dm F = mg + υ0 dt m0 2 m0 F= υ0 + xg l l #
x o
( F − mg )dt = dm υ 0
v υ mg 0
m0 m= x l
dm m0 dx = dt l dt dx = υ0 dt
此例中方法2似乎更简便些 此例中方法 似乎更简便些
质点力学习题课
解：这类题通常应选非惯性系为参考系 mA=2kg ， mB=3kg ， µ=0.25， a0=2m/s2 ， 仍以吊车为参考系， ②仍以吊车为参考系，则A、B均受到一个向右的惯性力 、 均受到一个向右的惯性力
N T B
a′ A
f
A T m A a0
θ
m B a0
mA g
mB g
a′ B
质心位置的计算 质量为m 质量为m的离散分 布质点系的质心
y
m 1
O
C
m2 mi
v 1 v rC = ∑mi ri m i
z
x
直角坐标系中质心的位置坐标 质量为m 质量为m的连续分布体的质心
y
(x,y,z) v dm (xC,yC,zC )
1 xC = ∑(mi xi ) m i 1 yC = ∑(mi yi ) m i 1 zC = ∑(mi zi ) m i
x
r F
法一) 解：(法一 取整个绳子为研究对象 法一
x o
t
t + dt
m0 P0 = xυ 0 + 0 l m0 P= ( x + dx )υ 0 l
υ0
F
m0 g m0 m0 (F + N − m0 g)dt = (x + dx)υ0 − xυ0 l l N 受力图
m0 m0 (F + N − m0 g)dt = (x + dx)υ0 − xυ0 l l
v v
R
O
v f
v N
解：取物体为对象，设其质量为 m， 取物体为对象， ， 取桌面为参考系，物体受力如图： 取桌面为参考系，物体受力如图： （竖直方向重力与桌面的支持力相 互平衡，与运动无关，图略） 互平衡，与运动无关，图略）根据 牛顿定律， 牛顿定律，有
R
v v
O
v f
v N
切向： 切向： 法向： 法向：
− f = ma t
（1） ） （2） ）
N = mv R
2
f = µN
联立式（ ）～（ ）～（3） 联立式（1）～（ ）得
（3 ）
at = − µv
又因为 a = t
2
R
dv = − µv 2 R dt
dv ，所以 dt
−
因此
∫
v0
v
dv = 2 v
∫
0
t
µ
R
dt
v0 v = 1 + µ v0t R
F − (F + dF ) = dman T T T m dm = ρdx = dx l an = ω2 x m 2 dFT = − ω xdx l F x m T dFT = ∫ − ω2 xdx ∫FT0 0 l
ω
O′
m l
v en
v an
x
O
dx
v dFN
v FT
v v FT + dFT
v dmg
r N
α
r mg
r FI = mω 2 x
ω
x
r FI
O
x
α
由旋转参照系中力平衡条件： 由旋转参照系中力平衡条件：
tan α =
ω x
2
g
2
如图所示： 如图所示：
dy ω x = g dx
dy =
y
ω x
2
g
x
dx
2
dy tan α = dx dx
dx
∫
0
dy = ∫
ω x
g
0
y=
ω x
2
2
2g
所以金属丝要弯抛物线的形状！ 所以金属丝要弯抛物线的形状！
A B
解：这类题通常应选非惯性系为参考系 mA=2kg ， mB=3kg ， µ=0.25， a0=2m/s2 ， 以吊车为参考系， ①以吊车为参考系，则A、B均受到一个向下的惯性力 、 均受到一个向下的惯性力
N A B T B
a0
a′ A
f
A T
mA g m A a0
a′ B mB g m B a0
质点力学习题课
N
a′ A
f
A T m A a0
T B
θ
m B a0
mA g
T + m A a0 − f = m A a ′ A mA g − N = 0 f = µN m B a0 − T sin θ = m B a ′ sin θ B
mB g
a′ B
得T = 12.1N
m B g − T cosθ = m B a′ cosθ B a′ = a′ A B
思考：1.绳上张力是否处处相等？ 思考：1.绳上张力是否处处相等？ 绳上张力是否处处相等
T1
T2 = T1条件
dm
T2
T2 − T1 = dm ⋅ a
d m = 0 不计绳质量 a = 0 绳静止或匀速直线运动
本题均不满足
思考： 如何求系统内力？ 思考：2. 如何求系统内力？ 设法将 内力………………外力 外力 内力
解 建立图示坐标系 链条质心的坐标y 链条质心的坐标 c是变化的 mi yi λy y + λ(l − y ) × 0 ∑ 2 yc = i = λl ∑ mi
0
M ω 2 L2 − r 2 T (r ) = 2L
(
)
非惯性系惯性力
【例】如图所示，物体Ａ、Ｂ的质量分别为 mA=2kg， 如图所示，物体Ａ、Ｂ的质量分别为 Ａ、Ｂ ， mB=3kg。物体Ａ放在水平桌面上，它与桌面的滑动摩 。物体Ａ放在水平桌面上， 擦因数为µ=0.25。物体 与物体 用轻质细绳并跨过一定 与物体A用轻质细绳并跨过一定 擦因数为 。物体B与物体 滑轮相连，桌子固定在一吊车内。 滑轮相连，桌子固定在一吊车内。试求下列两种情况下 绳内的张力 （不计绳和滑轮的质量及轴承摩擦，绳不可 不计绳和滑轮的质量及轴承摩擦， 伸长。） 伸长。） 的加速度竖直向上运动； ①吊车以 a0=2m/s2 的加速度竖直向上运动； 的加速度水平向左运动； ②吊车以 a0=2m/s2 的加速度水平向左运动；
1 xC = ∫ xdm m 1 yC = ∫ ydm m 1 zC = ∫ zdm m
v 1 v rC = ∫ rdm m
O
r
v C rC
z
x
圆环、球，质心为其几何中心。 圆环、 质心为其几何中心。 均匀杆、圆盘、 均匀杆、圆盘、 小线度” ● “小线度”物体的质心和重心是重合的。 小线度 物体的质心和重心是重合的。 求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 如图示， ∆[例]如图示， 例 如图示 求挖掉小圆盘后系统的质心坐标。 解： 由对称性分析，质心C应在 轴上。 由对称性分析，质心 应在x轴上。 应在 轴上 为质量的面密度， 令σ 为质量的面密度，则 y
，
g cos θ = 2 ω R
g θ = arc cos 2 ω R
ω
θ
θ
[例] 一根弯成图示形状的光滑金属丝，其上套一小环， 例 一根弯成图示形状的光滑金属丝，其上套一小环， 当金属丝以匀角速度绕竖直对称轴转动时， 当金属丝以匀角速度绕竖直对称轴转动时，若要求小环 在金属丝上任何地方都平衡， 在金属丝上任何地方都平衡，问这根金属丝要弯成什么 y 形状？ 形状？ 在旋转参照系中， 解：在旋转参照系中，小环 受力如图： 受力如图：