第二节 换元积分法

例解 例115571*求x求s(1exc7xxxx1(e1(x1xx)52dx1xxse1eexc)xd5)dxxxx.e.(1xx1310(21sse1icn)x3e5exxxx)dCx12.sin x C .
1 10
1 x10
1 ln 10
x10 x10
xe
x
1 (1
xe
x
d( )
12ln
sin x 1 (s1inxcos12
x)Cd(co1sxsi)n 2
2
x
2
831xc2o1413ss2sininx 2d3xxx
第 第二二节节 换换元元积积分分法法
第二节 换元积
例13*求求 ttaann55xxsseecc33xxddxx.. 例16 *求求 xx((xx11101011))ddxx..
第二节 换元积分法
一、第一类换元积分法 二、第二类换元积分法
第二节 换元积分法
一、第一类换元积分法
对应于复合函数的求导法则。
第二节 换元积分法
定理1 设函数 f (u) 具有原函数，u = (x) ，则有换
元公式
第二节 换元积分法
ff [[((xx))]]((xx))ddxx ff ((uu))dduu .. uu((xx))
xe
x
)
第二节 换元积分法
二、第二类换元积分法
定理2 设 x = (t) 是单调的、可导的函数，并且
(t) 0 . 又设 f [(t)] (t) 具有原函数，则有换元公
式
第二节 换元积分法
f ( x)dx f [ (t )] (t )dt
.
f (x)dx f [ (t)] (t)dt x 1 (t ) .
x 1 (t )
证明 设 f [(t)] (t)的原函数为 (t) , 记
[ -1(x)] = F(x) , 利用复合函数及反函数的求导法则
dΦ dt
1
第二节 换元积分法 第二节 换元积分法
例17 求求 aa22 xx22ddxx ((aa 00)).. x
a
解 令 x = asin t , π t π , 则
cos2 t t ax2
2
dt
2 sin
t
a t
2
cos
t
C
x2 a2 t
a2 dx2
a2
aa22saea2crtc2astnind2 ttaxa12ssexecc
t , dx a2 x2 t dt
aasec2 C.
t
dt,
x2 a2 a sec t
2 2
第第二二节节 换换元元积积分分法法
第第二二节节 换换元元积积分分法法
第二节 换元积
例例77 解
求求 x(1xx(d(112xlndd22xxx第llnn) x二x)).节.1d(换2lnlnx元)例解x积1分012 s求法in1d4(s2x2idlnnlxn4x)xxd第x.二1节c2os换2x元2积
例8
解
例9 解
பைடு நூலகம்
求求ssiencs3sssixenexidncc3xdx3xxxddxdxxd第x..x.c.二os1isn1122节x2dlnxxds换|1(i1n1元x2例 例解解c2c2do积 llnonlxsn11sx2x分1x2x|x)s*s求*求 d法iinnCx求求22.xxssciicnssno1oiinns2s2422x5xs第xxxc1x811144icndoodcc二sxs2oox45ss1x31节54xdxdx(xd2sd4dx2ss(xisniix换cxnnsc..cinoiox..on22s元s)s222xx22x(x积c
解
tan 5
x sec3第xd二x 节
t换an元4 解x积se分c2 法xx(sxe11c0
xtandxxdx 1)
x9 x10 (x10
例14*求(求secc2cooxss331xx)c2coosses2c22xxxdddxx(.sec x)
1
1
解 c(osesc36xxcos22第sxe二cd4x节x s换e1c元(2cxo积)sd5(分sxe法c cxo)s x) dx 10 x10(x1
解 cos(2x 3第)dx二节1 换co元s(解2积x 分3法)xe(x22 dxx3)1第dx二ex2节 2x换dx元积
2
2
例2 求求 解
a 例3 求 解
dx a2
2xdaa2xa2a2xdd2d2d2xxxxxx2xx2第a22.a1111.2((二aa联111令节x想消u1122001d2)去)sa到xx换 .2axincxua1o公联 公2元u23sd例 例解 例解d(式想 式积 2x1212axCx566sa1到分1icn求求求1o(3法x1ts2)ad2a1d1uxndxx(d1xx1t22xxudaaaa211xdx32ndxn2xxdx)xx1x2xxaau2dd3ar222cCx)1x22第 22d1t1d.aa.aaxec.us.an二 ioxrn2axcsxdsxx节xixxnd1CC1xax.换ad(元Cxdx积(
证明 设 F(u) 是 f (u) 的原函数，则有
如何用F换(u元) 公f式(u求) 或 g ( x)df x(u)呢du？ F(u) C .
根据(1)复分合解函数求g (导x ) 法 则f (，( x有)) ( x ) , 这一步最难
(2) 凑微分f (u)du( x )d x d ((xF) (d(ux),) C)
例19 求
解 当x
>
ddxx xx22 aa22
((aa 00))..
(3) 计算
u ( x) f (u )du .
要容易积出
F((x))(x) f ((x))(x) .
第第二二节节 换换元元积积分分法法
第二节 换元积
例例11 求求 ccooss((22xx 33))ddxx.. 联想例到4公求式 xxceeoxx22sddxxxd.x sin x C
t
a2 x2
a2
2 第a2二sin节2
2 t换 元a c积os分t , 法dx
a
2 x2 a cos
t
dt,
x
例1a82 求 x2 dx xx2d2dxxaaac22os((taa ac00o))s..t dt a2
解
令a
x
=
atana
2t,
2tπ2sin4t2t π2
,C
则x a2 2