第一讲电子自旋的实验证明及性质

量子化，磁矩 •
M¶
z
gL
e
2
L$z
• z分量应分裂为2l+1个取值，即应有奇数个 条纹。
• 偶数个条纹说明：总磁矩除轨道角动量导 致的轨道磁矩外，还存在其他角动量导致 的磁矩，并且这个新的角动量的z分量对应 有偶数个取值，即“角动量”取值为半奇 数。
• 原子是由电子和原子核组成的，电子除轨 道角动量外，自旋角动量（类似于行星除 轨道角动量外，还有自转角动量）对应有 自旋磁矩；原子核对应的是核磁矩。
• 受力： F Um M B
• z方向分量：
Fz
z
M x Bx M y By M z Bz
Mx
Bx z
My
By z
Mz
Bz z
• 斯特恩-革拉赫（1921-1922）使用沿z方向 逐渐增强的非均匀磁场（x，y方向上磁场 是均匀的）；入射原子束在z方向发生了偏 转，并分裂为偶数个条纹。如氢原子基态， 分裂为2个。
• 例如在轨道角动量l的取值中不包含半整数。 而角动量A则包含了半整数，因为它代表着 角动量的普遍性。
自旋算符和自旋波函数
• 实验证明电子具有自旋磁矩，所以还应该有相应 的自旋角动量。
• 设S为自旋角动量，则它的算符应满足角动量的普 遍定义和共性，即：
SˆxSˆy SˆySˆx ihSˆz , SˆySˆz SˆzSˆy ihSˆx
s 1, 2
S 2 s(s 1)h2 3h2 4
氢原子的波函数表示
• 当忽略自旋-轨道相互作用，计入自旋变量后，氢 原子的定态波函数应写为：
nlmms (r, ,, Sz ) nlm (r, ,)ms (Sz )
• 它说明，计入自旋后，氢原子波函数要用四个量 子数n,l,m,ms表征，才能完整描述其电子的状态。 这样，其哈密顿算符的本征值的简并度将变为2n2。 其它项均不变。
第一讲电子自旋角动量
自旋的实验证据 自旋的性质
简介
• 实验发现，电子有一种内禀的角动量，称之为自 旋角动量，是一种量级为相对论性的效应。在狄 拉克的相对论性电子方程中，这个内禀角动量很 自然的体现在该方程的旋量结构中。由于薛定谔 方程是最低阶非相对论近似的结果，因此薛定谔 方程也就忽略了它们。因此在非相对论的情况下， 自旋作用表现出来的是另外一种自由度，与电子 的外部空间运动无关。所以对它的描写只能以外 来方式添加在薛定谔方程中。
Sˆz Sˆx
SˆxSˆz
ihSˆy , Sˆ2
Sˆx2
Sˆ
2 y
Sˆz2
Sˆ2Sˆx SˆxSˆ 2 0, Sˆ2Sˆy SˆySˆ2 0,
Sˆ2Sˆz SˆzSˆ2 0, Sˆ2 s(s 1)h2 , Sz mzh
注意：
• 上式中的s称为自旋角动量量子数，ms称为自旋磁量子数。 取值为：
• 可以证明，对于 Aˆ 2 的本证方程：Aˆ 2 A2
• 它的本征值为：
A2 j( j 1)h2, A
j 0, 1 ,1, 3 , 2,L 22
• Aˆz 的本证方程： Aˆz Az ,
j( j 1)h
Az mjh
mj j, j 1, j 2,L , j 1, j
• 以上分析的两点为各种角动量的共性。但 是不同性质的角动量还有各自的个性，因 为它们是不同的算符，其本征值的量子数 必然有不同的取值范围。
• 轨道磁矩与轨道角动量的关系是 ：
Mz
lz
B
h
• 它们的比值：
Mz lz
e
2
gL
e
2
• 称之为旋磁比（gyromagnetic ratio），其 中 gL 1 称为：朗德g因子；
轨道磁矩的算符表示：
M¶
L
gL
e
2
L$
• 负号表示电子的运动方向与电流方向相反。
2。斯特恩-革拉赫实验
• 磁矩在磁场中的势能： Um M B
• 根据轨道磁矩与轨道角动量的关系：
M¶
z
gL
e
2
L$z
• 假设这个关系定性地适用于所有角动量与
磁矩。由于原子核（质子或中子）的质量
远远大于电子的质量，所以核磁矩导致的
Байду номын сангаас
贡献要远远小于电子自旋磁矩的贡献。
• 对于氢原子基态而言，l=0，所以原子束分 裂是电子自旋磁矩导致的，取值个数为：； 所以电子自旋为1/2。
1、角动量算符 Aˆ 的普遍定义：
• 定义：如果某一线性厄米算符 Aˆ 满足下列关系式，
则与 相Aˆ应的量A即为一角动量：
Aˆx Aˆy Aˆy Aˆx ihAˆz Aˆy Aˆz Aˆz Aˆy ihAˆx Aˆz Aˆx Aˆx Aˆz ihAˆy Aˆ 2 Aˆx2 Aˆ y2 Aˆz2
自旋在波函数中的表示：
•
波函数形式为：
(r,
Sz
,
t
)
(r, (r,
h h
/ /
2, 2,
t) t)
• 当与自旋有关的相互作用可以忽略时， Hˆ 与 自旋无关，它的本征方程可以分离变量，把描写
自旋状态的波函数从
为： (Sz )
(r, Sz ,t)
中分离出来，记
(r, Sz,t) (r,t)(Sz )
nlm 2 2 r sin rd dr 1
• 所以，得到：
Mz
meh
2
mB
m 0, 1, 2,..., l
B
eh
2
波尔磁子
• M z 是电子在库仑势场中运动引起，也称 轨道磁矩；m表示轨道磁矩的取值，因此m 也称磁量子数；
磁量子数：
• 角动量算符Z分量本征值：
lz mh m 0, 1, 2,..., l
总磁矩为：
Mz
dM z
Je d r2 sin2
meh
r sin
nlm
2
d
r2 sin2
meh
2
2 r sin
nlm
2
d
meh
2
2 r sin nlm 2 d
• 其中：d rddr，利用波函数 nlm 的归一 关系：
nlm 2 d nlm 2 r2 sin d ddr
1、原子的轨道磁矩（补充内容）
• 电子在库仑场中的运动可用波函数 nlm
表示，在球坐标下 r,, ，电流密度的三
个分量分别为：
J
er
J e
0
J
e
v
meh
r sin
nlm
2
m 0, 1, 2,..., l
• 因此 e 方向电流元组成以为 r sin半径的
电流环，相应磁v矩元为：
dMz dISez Jed r2 sin2
M sz
gs
e
2
Sz
gs
e
2
1 2
h
• 其中 ： gs 2
角动量的普遍性质简介
• 电子有轨道角动量，还有自旋角动量；有 轨道磁矩，还有自旋磁矩；这两个磁矩之 间自然还有相互作用。当在多电子原子中 考虑这些作用时，哈密顿算符将变得异常 复杂，以至不可解。而且，在非相对论量 子力学中，我们根本不清楚与自旋相关的 作用量。但是，如果从角动量叠加和角动 量的共性出发，就可以使问题得到简化。 下面介绍角动量的普遍定义和它的本征值。
• (Sz ) 不能从哈密顿算符的本征方程中得到，又
不能用r的函数表达，但是它可以从波函数中分离
出来，而电子的自旋态只有两个，所以，可以简
单的把 (Sz ) 记成符号“函数”，能够区别两种自
旋态即可。
• 令： 1 (Sz ) 为 S 2 , Sz 的共同本征自旋波函数，
属于 2 S z 的本征值 ms 1/ 2
• •
令： 属于
1 2
(
S
z)
S
z
为 S2,S
的本征值
z
的共同本征自旋波函数，
ms 1/ 2
S 2, Sz 可互相对易，本征方程为
Sˆz 1
2
(Sz )
h 2
1
2
(Sz ), Sˆz 1 2
(Sz )
h 2
1 2
(Sz )
Sˆ
2
1
2
(Sz
)
3h 4
1
(S
z
),
Sˆ
2
1
(S
z
)
2
2
3h2 4
1 (Sz) 2
由上式可以证明：
Aˆ 2 Aˆx Aˆx Aˆ 2 0
Aˆ 2 Aˆ y Aˆ y Aˆ 2 0
Aˆ 2 Aˆz Aˆz Aˆ 2 0
• 这表明 Aˆ 2 与A分量的算符分别互相对易，因而分
别有共同本征函数系，并在共同本证态中，同时 有确定值。这与轨道角动量算符的定义相吻合。
2， Aˆ 2 与 Aˆz 的本征值
• 将它代入 Hˆ 的本征方程，可以知道上式确实是 它的解。
Hˆ (r, Sz ,t) E (r, Sz ,t) Hˆ (r,t) (Sz ) E (r,t)(Sz ) (Sz )Hˆ (r,t) E (r,t)(Sz ) Hˆ (r,t) E (r,t)
与H无关，被消掉
如何得到 (Sz )
斯特恩正在观测
银原子束通过非均匀的 磁场时分裂为两束 1943年 斯特恩 获诺贝尔物理奖。
Bx By 0 z z
Fz
Mz
Bz z
M
cos
dB dz
• 按照经典物理学，磁矩的z分量 M cos
应连续取值，相应原子束应扩展为一“粗” 条纹，而不会是分立的条纹。
• 按照量子理论，考虑角动量量子
化 lz mh ， cos取值量子化，即空间
ms
1 2
,
1, 2
s1 2
• S只取一个唯一的值，而ms可取两个值。它表明电子状态 可以取两种不同的自旋状态。那么，电子的波函数就应该 包含自旋这个变量，但是，我们说过，自旋不能被描述为 空间坐标的形式，因此，它不能出现在哈密顿算符中，也 就不能在哈密顿算符的本征函数中表现出来。因此，本书 只讨论与自旋有关的相互作用能忽略，而波函数中还包含 自旋变量的情况。
3、电子的自旋假说
• Uhlenbeck和Goudsmit1925年提出电子自 旋假说：
s • 1*每个电子具有自旋角动量S，
S2 s
s 1
h2
3 4
h2
1 2
• 自旋角动量的z分量取值只有两个：
Sz
ms h
1 2
h
• 2*每个电M子s 都有e自S旋磁矩gs：2e S
• 自旋磁矩的z分量取值只有两个：