对函数极限相关性质的理解及应用1111

对函数极限相关性质的理解及应用

定西师范高等专科学校 数学系 数学教育专业 09级3班 程艳君

摘 要：函数极限的概念和存在条件是我们理解函数极限和判断函数极限是否存在的主要依据，函数的极限在数学分析中占有十分重要的地位，因此，较为复杂函数极限的计算也是我们学者应该掌握的。本文浅略地介绍了函数极限的概念和存在条件，函数极限的性质以及两个重要极限在计算比较复杂的函数极限中的应用。

关键词：函数极限；重要极限；四则运算；迫敛法。

引 言：

函数极限是数学分析的重要概念，它贯彻于整个数学分析中，函数极限理论是研究函数连续、导数、积分、级数等的基本工具，而一些较为复杂的函数极限计算又在解决实际问题中是必不可少的。本文最主要介绍函数极限的概念和函数极限存在的条件，还有两个重要函数极限、迫敛法和四则运算法在解较复杂函数极限中的应用。

1 . 函数的极限和极限存在的条件

1.1 函数的极限

1.1.1 x 趋于∞+时函数的极限

设函数f 定义在 ),[∞a 上，类似于数列的情形，我们研究当自变量x 趋于∞+时，对应的函数值能否无限的接近于某个正数A 。例如，对于函数x x f 1)(=，从图像上可见，当x 无限的增大时，函数值无限的接近于0；而对于函数

x crc x g tan )(=，则当x 趋于∞+时函数值无限的接近于2

π。我们称这两个函数当x 趋于∞+时有极限。一般地，当x 趋于∞+ 时函数的极限饿精确定义如下： 设f 为定义在),[∞a 上的函数，A 为定数。若对任给的0>ε，存在正数M(a ≥)，使得当M x >时有ε<-a x f )(，则称函数f 当x 趋于∞+时以A 为极限，记作

A x f x =∞→)(lim 或

)()(∞→→x A x f

1.1.2 x 趋于0x 时函数的极限

设f 为定义在点0x 的某个空心领域)(00x U 内的函数。再讨论当x 趋于)(00x x x ≠时，对应的函数值能否趋于某个定数A 。这类函数极限的定义如下： 设函数f 在点0x 的某个空心领域);('00δx U 内有定义，A 为定数。若对任给的0>ε，存在正数)('δδ< 使的当时有ε<-a x f )(，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作

A x f x x =→)(lim 0 或

)()(0x x A x f →→

这个定理也是（函数极限的δε-定义）

举例说明如何运用δε-定义来验证这种类型的函数极限，特别注意δ的值时怎么样确定的。 例：设24)(2--=x x x f ，证明4)(lim 2

=→x f x 证明：由于2≠x 时

24242

44)(2-=-+=---=-x x x x x f 故对给定的0>ε，只要取δε=，则当δ<-<20x 时有ε<-4)(x f 。这就证明了4)(lim 2

=→x f x

1.2函数极限存在的条件

函数极限存在的条件：(1)归结原理(Heine 定理)设函数f 在),(00ηx u 内有定义，)(lim x f o

x x →存在的充分必要条件是：对于在),(00ηx u 内以0x 为极限的任何数列

{n x },极限)(lim n n x f ∞

→都存在并且相等；(2)单调有界定理设f 为定义在)(00x u +

上的单调有界函数，则右极限)(lim 0

x f x x =→存在；(3)柯西(Cauchy)收敛准则设函数)(x f 在

);(00δx u 内有定义，),;(,,0,000"'δδεx u x x ∈∀∍>∃>∀

ε<-)()("'x f x f 。

这三个条件是判断函数极限是否存在的最基本的方法，归结原理建立了函数极限与数列界限的关系，将函数极限的存在性转化为数列极限的存在性，其中归结原理和柯西准则通常用来证明函数极限的不存在性，在这里我们看一下归结原理有关的例题。 例：证明极限x

x 1sin

lim 0→不存在。 证明：设πn x n 1'=，() ,2,1221"=+=n n x n π

π，则显然有

)(0,0"'∞→→→n x x n n

， ).(111sin ,001sin "'∞→→=→=n x x n

n 故由归结原则即得结论。

2.两个常用的极限和在计算极限中的应用

2.1.两个重要极限的推广形式和衍生公式

第一个重要的极限1sin lim 0

=→x x x ，我们来看一下它的推广形式1)

()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ， 0)(→x ϕ表示在某极限过程中)(x ϕ的极限为零。 1sin lim 0=→x x x 的三种衍生公式：（1）[]1)()(sin lim 0)(=→x f x f x f ；（2）1tan lim 0

=→x x x （3）21cos 12

0lim =-→x x x 第二个重要的极限e x x x =⎪⎭⎫ ⎝

⎛+∞→11lim ，或者，我们也来看一下它的推广形式，当

∞=→)(lim 0x x x ϕ时，e x x x x =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+→)()(11lim 0ϕϕ e x x x =⎪⎭⎫ ⎝

⎛+∞→11lim 的三个衍生公式：(1)e x x x =+→10)1(lim ；（2）1)1ln(lim 0=+→x x x ；

（3）11lim 0

=-→x e x x e x x

x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 有两个特征：（1）底数是1加上无穷小；(2)指数是底中无穷小的倒数。

2.2两个重要极限在计算极限中的应用

第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限， 若分子分母分别求极限便得到这一不确定的结果.因此称这一类型的极限为（

0）型不定极限. 第二个极限属于（∞1）型不定型极限.

综上所述，可以得出这样的结论，凡是含有三角函数的（00 ）型极限和（∞1）型极限，我们都可不妨分别应用两个重要极限来试试，看能否得出他的结果，以下举一些例子来说明是如何应用这两个重要极限于极限计算中的。

例1：求x

x x sin sin sin lim 0→ 解：这显然是含三角函数的(

00

）型极限.因为

x x x x x x x x s i n *s i n )s i n (*s i n s i n )s i n s i n (s i n s i n s i n s i n = 当0→x ，0sin sin →x 由第一个重要极限及其一般形式立刻得到：

)sin *sin sin sin *sin sin sin sin sin (sin sin sin lim lim 0x x x x x x x x o

x x →→==1*1*1=1 例2：计算x

x x x sin 3sin lim 0-→ 解：x

x x x sin 3sin lim 0-→ =x

x x x sin 2cos 2lim 0→ =x x x x x sin 2cos 2lim lim 0

0→→⋅ =2