对函数极限相关性质的理解及应用1111
函数极限的定义性质及作用
函数极限的定义性质及作用在“极限”的定义中，我们可以知道，这个概念绕过了用一个数除以0的麻烦，而引入了一个过程任意小量。
就是说，除数不是零，所以有意义，同时，这个过程小量可以取任意小，只要满足在∆的区间内，都小于该任意小量，我们就说他的极限为该数——你可以认为这是投机取巧，但是，他的实用性证明，这样的定义还算比较完善，给出了正确推论的可能，这个概念是成功的。
限的概念是高等数学中最基本最重要的概念，它是由于求某些实际问题的精确解答而产生的. 例如：我国古代数学家刘徽（公元三世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法—割圆术，就是极限思想在几何上的应用.数列极限标准定义：对数列{}n x ，若存在常数a ，对于任意0ε>，总存在正整数N ，使得当n N >时，n x a ε-<成立，那么称a 是数列{}n x 的极限。
函数极限标准定义：设函数(),f x x 大于某一正数时有定义，若存在常数A ，对于任意0ε>，总存在正整数X ，使得当x X >时，n x A ε-<成立，那么称A 是函数()f x 在无穷大处的极限。
设函数()f x 在0x 处的某一去心邻域内有定义，若存在常数A ，对于任意0ε>，总存在正数δ，使得当0x x δ-<时，0x x ε-<成立，那么称A 是函数()f x 在0x 处的极限。
函数极限具有的性质：性质 1（唯一性） 如果()lim x af x →存在，则必定唯一性质 2（局部有界性） 若0lim ()x x f x →存在，则f 在0x 的某空心邻域内有界性质 3（保序性） 设()()lim ,lim x ax af x b f x c →→==性质4（迫敛性）设00lim ()lim ()x x x x f x h x A →→==，且在某00(;)U x δ'内有()()()f x g x h x ≤≤，则0lim ()x x h x A →=.数学分析的主要任务是研究函数的各种性态以及函数值的计算或近似计算，主要内容是微积分，在微积分中几乎所有的基本概念都是用极限来定义的。
数学中的函数极限与连续性知识点
数学中的函数极限与连续性知识点函数极限与连续性是数学中非常重要的概念，在解决实际问题和理论研究中起着至关重要的作用。
在本文中，我们将深入探讨函数极限与连续性的基本概念、性质以及相关定理，并举例说明其在实际问题中的应用。
一、函数极限的定义与性质函数极限是研究函数在某一点上的变化趋势的重要工具。
在介绍函数极限之前，我们首先需要定义一些基本的概念。
设函数f(x)在点x_0的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，都能找到另一个正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有|f(x) - A| < ε成立，其中A为常数，则称函数f(x)在点x_0处极限为A，记作lim┬(x→x_0)f(x)=A。
函数极限具有以下性质：1.唯一性：函数极限是唯一的，即一个函数在某一点的极限只能有一个值。
2.局部有界性：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，则存在正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有|f(x)| < M成立，其中M为常数。
3.局部保号性：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，则存在正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有f(x)与A同号。
二、连续性的概念与性质连续性是函数学中的一个重要的概念，是函数极限的基础。
一个函数在一个点x_0处连续，意味着在该点的函数值与极限值相等。
函数f(x)在区间[a, b]上连续，是指f(x)在该区间内的每一个点都连续。
在具体分析连续性时，我们需要关注以下几个方面的性质：1. 初等函数的连续性：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等初等函数在其定义域内连续。
2. 复合函数的连续性：若f(x)在点x_0处连续，且g(x)在点y_0=f(x_0)处连续，则复合函数h(x) = g[f(x)]在点x_0处连续。
3. 极限运算法则：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，lim┬(x→x_0)g(x)=B，则lim┬(x→x_0)[f(x)±g(x)] = A±B，lim┬(x→x_0)[f(x)g(x)] = A·B，及lim┬(x→x_0)[f(x)/g(x)] = A/B（其中B≠0）。
函数与函数的极限性质
函数与函数的极限性质函数是数学中的重要概念，它描述了不同变量之间的关系。
函数的极限性质则涉及到函数在某个点或者某个范围内的趋势和极限值。
本文将逐步探讨函数与函数的极限性质，并引入一些相关的定义、理论以及应用。
一、函数的定义和性质先来回顾一下函数的定义：函数是一种对应关系，它将一个集合的元素映射到另一个集合。
通常用f(x)表示函数，其中x是自变量，f(x)是因变量。
函数可以用多种形式表示，如显式函数、隐式函数、参数方程等。
函数有一些重要的性质：可定义性、唯一性和连续性。
可定义性指函数在定义域内有确定的输出值。
唯一性表示函数的输出值在定义域内是唯一的。
连续性是指函数图像没有突变或跳跃的情况，即没有间断点。
二、函数的极限和极限性质函数的极限是研究函数趋势的重要工具。
我们来了解一下函数极限的定义和性质：1. 函数极限的定义设函数f(x)在x趋于某个数a时，无论a是否属于定义域，对于任意给定的ε > 0，总存在对应的δ > 0，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε。
其中L是常数，表示函数f(x)在x趋于a时的极限值。
2. 极限存在的充要条件函数极限存在的充分必要条件是左极限等于右极限，并且二者都等于极限值L。
即lim[x→a⁻] f(x) = lim[x→a⁺] f(x) = L。
3. 函数极限的性质(1) 唯一性：函数极限值L唯一确定。
(2) 有界性：如果函数在某点处的极限存在，则函数在该点的某个邻域内是有界的。
(3) 四则运算法则：函数的加减乘除运算，取极限后仍然成立。
(4) 复合函数：复合函数的极限可以通过分步取极限求得。
三、函数的极限应用函数的极限在数学和实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 连续性判断：通过研究函数在某点的极限，可以判断函数在该点的连续性。
若极限存在且与函数值相等，则函数在该点连续。
2. 曲线绘制：通过计算函数的极限和绘制函数图像，可以描绘出函数的特征和曲线的变化趋势。
函数极限与连续性：函数极限概念
函数极限与连续性：函数极限概念函数极限与连续性是微积分中的基本概念，它们对于理解和应用数学领域中的各种问题是至关重要的。
本文将从函数极限和连续性的定义、性质以及在实际问题中的应用等方面进行探讨。
一、函数极限的定义与性质函数极限是指当自变量趋于某一特定值时，函数取得的极限值。
用数学语言来描述，函数f(x)在x趋于x0时的极限记作：lim(x→x0) f(x) = L其中，x0为自变量的趋近点，L为函数f(x)的极限值。
根据这一定义，我们可以得出函数极限的一些基本性质。
首先，函数的极限值唯一。
也就是说，当x趋于x0时，函数f(x)的极限只有一个确定的数值。
其次，函数的极限与函数在极限点的取值无关。
即使函数在x0点的取值与极限值不同，函数的极限仍然存在。
第三，函数极限的存在与否与函数在极限点的左右极限有关。
如果函数f(x)在x0点的左右极限存在且相等，则函数在x0点存在极限。
二、连续性的定义与性质连续性是指函数在定义域内的各点之间没有间断或跳跃的状态。
具体而言，函数f(x)在x0点连续可以表示为：lim(x→x0) f(x) = f(x0)也就是说，当自变量x趋于x0时，函数f(x)的极限值等于f(x0)。
连续性的定义表明函数在x0点处不会出现突变或跳跃。
连续性具有以下性质：首先，如果函数在定义域内的所有点都连续，那么这个函数就是一个连续函数。
其次，两个连续函数的和、差、乘积、商（分母不为零情况下）仍然是连续函数。
第三，复合函数在其定义域内连续的条件是，外函数和内函数都在各自的定义域内连续。
三、函数极限与连续性的应用函数极限与连续性的概念在数学和科学领域中具有广泛的应用。
以下列举几个具体的例子：1. 物理学中的运动问题：利用函数极限和连续性的概念，可以描述和解决物体在运动中的速度、加速度等问题。
2. 经济学中的边际效益：通过对函数极限的研究，经济学家可以确定某一经济活动的边际效益是否递增或递减。
3. 工程学中的信号处理：函数极限和连续性的概念可以应用于信号处理和滤波等工程问题中，实现对信号的精确控制。
高考数学中的函数与极限的概念及应用
高考数学中的函数与极限的概念及应用作为高中数学的重要组成部分，函数与极限是每位学生都需要认真学习掌握的内容。
在高考中，函数与极限相关的考点占据了相当大的比重。
同时，函数与极限在生活中也有着广泛的应用。
因此，深入了解函数与极限的概念及应用至关重要。
1. 函数的基本概念函数是一种特殊的关系，通常用y=f(x)表示。
其中，y称为函数值，x 称为自变量，f表示函数的具体规则。
函数的定义域是所有自变量的取值范围，而值域是所有函数值的可能取值范围。
函数的图像是一条曲线，它反映了函数关系的特征和规律。
不同类型的函数图像也不同，如线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一条抛物线等等。
函数可以用于描述各种现象和问题，如人口增长、温度变化、物理过程等。
同时，在计算中也有广泛的应用，如积分、微分、统计等。
因此，学好函数是数学学习的基础。
2. 极限的基本概念极限是函数中的一个重要概念，它可以描述函数在某个点附近的趋势和变化。
通常用lim f(x)=L表示。
其中，x→a表示x无限靠近a，L表示函数在该点的极限值。
极限可以分为左极限和右极限，分别表示x在a点左侧和右侧时的极限值。
如果左右极限相等，则称函数在该点连续。
否则，函数在该点不连续。
函数的极限可以用于求导、积分等计算中。
同时，在物理、工程、金融等领域中也有广泛的应用，如电路设计、结构分析、投资决策等。
3. 函数与极限的常见应用函数与极限在生活中也有很多应用。
以下是其中几个常见的例子：（1）电路设计电路是由各种电器元件组成的，它们之间的关系可以用函数表示。
例如，电流与电阻的关系可以表达为I=V/R，其中I表示电流，V表示电压，R表示电阻。
此外，电路的稳定性和效率等方面也与函数和极限有关。
（2）结构分析建筑、桥梁、机器等结构体的稳定性和安全性需要进行分析。
如果结构体在某个位置的压力过大，就会发生破坏。
此时，可以用函数和极限分析结构体的应力分布，找出破坏点，并改进结构以提高稳定性。
极限的定义和相关定理
极限的定义和相关定理极限是微积分中的重要概念，它描述了函数在趋近某一点时的行为。
通过研究极限，我们可以深入理解函数的变化规律和性质。
本文将从极限的定义开始，逐步介绍相关定理和应用。
一、极限的定义在介绍极限之前，我们先定义一下数列的收敛性。
给定一个数列{an}，如果存在实数 a，使得对于任意正数ε，都存在正整数 N，当n>N 时，不等式 |an-a|<ε 成立，那么数列 {an} 收敛于 a。
现在，我们来定义函数f(x) 在x=a 处的极限。
如果对于任意正数ε，存在正数δ，使得当 0<|x-a|<δ 时，都有 |f(x)-L|<ε 成立，那么函数 f(x)在 x=a 处的极限为 L，记作：lim(x->a) f(x) = L其中，x 表示自变量，a 表示趋近的点，L 表示极限的值。
二、极限的性质在我们研究极限的过程中，有许多有用的定理可以帮助我们求解极限。
以下是一些常用的极限性质：1. 极限的唯一性：如果函数 f(x) 在 x=a 处有极限，那么它的极限值是唯一确定的。
2. 四则运算法则：设函数 f(x) 和 g(x) 在 x=a 处有极限，那么它们的和、差、积、商的极限也存在，且有以下运算法则：lim(x->a) [f(x) ± g(x)] = lim(x->a) f(x) ± lim(x->a) g(x)lim(x->a) [f(x) · g(x)] = lim(x->a) f(x) · lim(x->a) g(x)lim(x->a) [f(x) / g(x)] = [lim(x->a) f(x)] / [lim(x->a) g(x)] (若 lim(x->a) g(x)≠0)3. 夹逼定理：如果函数 f(x)、g(x) 和 h(x) 在 x=a 处满足f(x)≤g(x)≤h(x)，且 lim(x->a) f(x) = lim(x->a) h(x) = L，则 lim(x->a) g(x) 也存在，并且 lim(x->a) g(x) = L。
高中数学函数极限的概念及相关题目解析
高中数学函数极限的概念及相关题目解析在高中数学中，函数极限是一个重要的概念。
它不仅在高中数学中占有重要地位，而且在大学数学中也是一个基础和重要的概念。
理解和掌握函数极限的概念对于学生们来说至关重要。
本文将从函数极限的定义、性质以及相关题目解析等方面进行讲解，帮助高中学生和家长更好地理解和应用函数极限。
一、函数极限的定义函数极限是指当自变量趋于某个特定值时，函数的取值趋于某个确定的值。
具体来说，对于函数f(x)，当x趋于无穷大或者某个特定值a时，如果存在一个常数L，使得当x趋于无穷大或者a时，f(x)趋于L，那么我们就称函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限为L。
二、函数极限的性质1. 函数极限的唯一性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是唯一的。
2. 函数极限的有界性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在，那么它是有界的。
3. 函数极限的保号性：如果函数f(x)在x趋于无穷大或者a时的极限存在且大于（或小于）0，那么它的函数值在某个邻域内都大于（或小于）0。
三、函数极限的计算方法在计算函数极限时，我们常常会遇到一些特殊的极限形式，如0/0、无穷大/无穷大等。
下面通过具体的题目来说明函数极限的计算方法。
例题1：计算极限lim(x→0)(sinx/x)。
解析：当x趋于0时，sinx/x的极限形式为0/0，这是一个不定型。
我们可以利用泰勒展开或洛必达法则来计算这个极限。
首先，我们可以使用泰勒展开将sinx 展开成x的幂级数，即sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-...，那么sinx/x=(x-x^3/3!+x^5/5!-...)/x=1-x^2/3!+x^4/5!-...。
当x趋于0时，高次项的幂都趋于0，因此我们只需要保留x的一次幂的项，即lim(x→0)(sinx/x)=lim(x→0)(1)=1。
例题2：计算极限lim(x→∞)(x/(x+1))。
解析：当x趋于无穷大时，x/(x+1)的极限形式为∞/∞，这也是一个不定型。
函数极限的性质及应用
函数极限的性质及应用函数极限的性质及应用是微积分中的重要概念，对于理解和应用微积分的原理和方法具有重要意义。
本文将从定义、性质以及应用几个方面来详细阐述函数极限的性质及应用，并且将针对每个性质和应用给出具体的例子来加深理解。
首先，我们来看一下函数极限的定义。
给定函数f(x)，当自变量x无限接近某一常数a时，如果函数值f(x)无限接近某一常数b，则称函数f(x)在x趋近于a的过程中极限是b，记为lim[x→a]f(x)=b。
这个定义的核心思想是通过自变量趋近于某个常数来确定函数的极限，也就是自变量x的取值越靠近a，函数值f(x)越靠近b。
接下来我们来看一下函数极限的性质。
函数极限具有以下几个性质：1. 唯一性：如果函数在x趋近于a的过程中有极限，那么这个极限是唯一的。
也就是说，当x趋近于a时，函数值只会无限接近于一个确定的常数。
2. 有界性：如果函数在x趋近于a的过程中有极限，那么这个极限函数值将是有界的。
也就是说，当x趋近于a时，函数值的取值范围将在一个有限的区间内。
3. 保号性：如果函数在x趋近于a的过程中有极限且极限值不为零，那么函数值在x趋近于a的某一侧将保持与极限值的符号一致。
也就是说，当x趋近于a 时，函数值的符号将与极限值的符号一致。
4. 代数运算性质：函数极限具有一系列的代数运算性质，包括四则运算、复合运算以及连续运算。
这些性质使得我们在计算函数极限时可以借助各种代数运算的规则来简化计算过程。
接下来我们来看一下函数极限的应用。
函数极限的应用非常广泛，下面主要列举几个常见的应用：1. 确定函数收敛性：通过求解函数极限来判断函数是否收敛，也就是函数是否在某个点处存在有限的极限。
这在研究函数的行为和性质时非常重要。
2. 求解无穷大和无穷小：通过求解函数在某个点处的极限来确定函数的无穷大和无穷小行为。
这在研究函数的渐近线和渐近行为时非常有用。
3. 求解导数：通过函数极限的定义和性质，可以推导出求解导数的方法。
极限概念解析及其应用
极限概念解析及其应用极限是微积分的核心概念之一，是描述函数在某一点附近行为的重要工具。
它不仅在数学理论中有着重要地位，而且在物理、工程等应用领域也扮演着关键角色。
本文将对极限的概念进行详细解析，并讨论其在实际问题中的应用。
一、极限的定义在数学中，极限可以理解为函数在某一点无穷接近某个值的趋势。
更精确地说，给定函数f(x)，当自变量x无限接近某个值a时，若对应的函数值f(x)无论怎么变动，总能无限接近某个固定的数L，则称函数f(x)在自变量趋于a时的极限为L，记作lim[f(x)] = L，或者写成x→a时f(x)的极限等于L。
换言之，对于任意小的正数ε，存在一个正数δ，当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε。
这个定义表明，在自变量趋近于a的过程中，函数值会越来越接近L，同时可以无限接近L而不超过某个给定的精度。
二、极限的性质极限具有以下基本性质：1. 唯一性：若lim[f(x)]存在，则极限唯一。
2. 局部有界性：若lim[f(x)] = L，则f(x)在x→a时在某个邻域内有界。
3. 保号性：若lim[f(x)] = L > 0，则在x充分接近a时，f(x)大于0；若lim[f(x)] = L < 0，则在x充分接近a时，f(x)小于0。
4. 四则运算性质：设lim[f(x)] = A，lim[g(x)] = B，则有lim[f(x) +g(x)] = A + B，lim[f(x) - g(x)] = A - B，lim[f(x) * g(x)] = A * B，lim[f(x) / g(x)] = A / B（若B≠0）。
三、极限的应用极限在实际问题中有着广泛的应用。
以下列举几个典型例子：1. 切线与切线斜率：切线是一条通过曲线上某一点的直线，切线斜率表示曲线在该点的斜率。
通过极限，我们可以准确求出曲线在某一点的切线斜率，进而研究曲线的变化趋势并进行相关推导。
掌握高考数学中的函数极限与连续性理解与应用方法
掌握高考数学中的函数极限与连续性理解与应用方法函数极限与连续性是高考数学中的重要考点，也是考生必须要掌握的内容之一。
正确理解和应用函数极限与连续性是解决数学问题的关键步骤。
本文将从函数极限和连续性的基本概念入手，逐步介绍理解和应用函数极限与连续性的方法。
1. 函数极限的基本概念函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值也趋近于某个特定值。
在数学表达中，可以用极限符号来表示：lim (x→a) f(x) = L。
其中 lim 表示极限，x→a 表示自变量 x 趋近于 a，f(x) 表示函数 f 在 x 处的取值，L 表示极限的结果。
2. 函数极限的计算方法常见的函数极限计算方法有代入法、夹逼准则、等价无穷小替换法等。
代入法是指将自变量的值代入到函数中进行计算；夹逼准则用于求解复杂的极限问题，通过找到两个较为简单的函数夹逼住原函数，推导出极限的结果；等价无穷小替换法是将一个函数替换成与其等价的无穷小函数，从而得到更容易计算的极限结果。
3. 连续性的基本概念函数连续性是指函数在定义域内的每一个点都与其附近的点接近，不存在跳跃、断裂的现象。
在数学表达中，可以用连续函数的定义来描述：若函数在某一点 a 处连续，则要求 f(a) 存在且lim (x→a) f(x) =f(a)。
意即函数在 a 点的极限等于 a 点的函数值。
4. 连续性的应用方法连续性的应用方法主要包括函数连续性的判断和连续函数的性质。
函数连续性的判断可以通过判断函数的定义域、有理函数、无理函数等来确定函数的连续性。
连续函数的性质包括介值定理、零点定理、最值定理等，这些定理可以在求解实际问题时帮助我们快速找到函数值或者解析表达式。
5. 函数极限与连续性的综合应用函数极限与连续性是解决数学问题的重要工具，在高考中经常与其他数学知识点结合运用。
比如在求函数的渐近线、函数图像的特征等问题中，函数极限与连续性的理解和应用都起到了至关重要的作用。
函数与极限总结
函数与极限总结函数与极限是数学中非常重要的概念，它们在解决问题、研究物理现象和工程应用中发挥着重要的作用。
本文将对函数与极限进行总结，介绍其基本概念、性质以及应用。
一、函数的基本概念函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个集合之间的依赖关系。
简单来说，函数是一个输入-输出的关系。
对于一个函数f(x)，x是输入，而f(x)是输出。
函数的定义域是指输入的取值范围，而值域是指输出的取值范围。
一般来说，函数的定义域和值域可以是实数集、自然数集、整数集等。
函数有很多种类型，例如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等等。
不同类型的函数具有不同的性质和特点，在实际应用中有着各自的用途。
二、极限的基本概念极限是数学中一个重要的概念，它描述了函数在某一点附近的变化趋势。
对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，函数f(x)的值是否趋近于某个值L，就称L为函数f(x)在点a处的极限，记作lim(x→a)f(x) = L。
极限的计算方法有很多种，例如代入法、夹逼准则、洛必达法则等。
这些计算方法可以帮助我们求解函数的极限值，进而研究函数的性质和应用。
三、函数与极限的性质与应用1. 连续性函数在某一点处连续，意味着该点的左右极限存在且相等，并且函数值与极限值也相等。
函数的连续性是函数学中非常重要的性质，它在实际应用中有着广泛的应用。
2. 极值函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值和最小值。
我们可以通过求函数的导数来确定函数的极值点，进而得到函数的极值。
极值在物理领域的应用非常广泛，例如通过求函数的极值点可以确定物体的最大速度、最大加速度等。
3. 泰勒展开泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法。
通过泰勒展开我们可以将一个复杂的函数近似为一个多项式，进而简化函数的运算和研究过程。
泰勒展开在工程应用中非常常见，例如信号处理、图像处理等领域。
4. 应用领域函数与极限在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。
例如在物理学中，函数与极限可以帮助我们研究物体的运动规律、力学性质等。
高考数学中的函数极限与连续性理解与应用
高考数学中的函数极限与连续性理解与应用函数是数学中一个非常重要的概念，而数学中的函数极限与连续性是函数理论中的核心内容。
在高考数学中，函数极限与连续性的理解与应用是考生们必须掌握的知识点。
本文将深入探讨函数极限与连续性的概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解与应用这一知识。
一、函数极限函数极限是函数理论中的重要概念，它描述了函数随着自变量趋近于某一特定值时的变化情况。
函数极限的计算需要借助计算方法和理论，下面以一些典型的例子来介绍函数极限的概念与计算方法。
例1：计算函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 1 在 x = 2 处的极限。
解：要求函数在 x = 2 处的极限，可以使用直接代入法。
将 x = 2 代入函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 1 中，得到 f(2) = 2*2^2 + 3*2 - 1 = 13。
因此，函数 f(x) 在 x = 2 处的极限为 13。
对于一些特殊的函数，无法使用直接代入法来计算极限。
这时，我们需要使用极限的定义与性质，通过近似与比较来求取极限的值。
例2：计算函数 g(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) 在 x = 2 处的极限。
解：将 x = 2 代入函数 g(x) = (x^2 - 4)/(x - 2) 中，得到 g(2) = 0/0。
这时我们无法直接计算极限。
通过因式分解，我们可以将函数 g(x) 化简为 g(x) = x + 2，那么在 x = 2 处的极限即为 g(2) = 4。
这两个例子展示了函数极限的计算方法，但实际问题中的函数极限更多是通过近似与推导来求取的，需要借助函数极限的性质与定义进行计算。
二、函数连续性函数连续性是函数在定义域内没有突变或断裂的性质，它描述了函数图像在定义域内的连续变化。
函数连续性的理解与判断需要借助连续函数的定义与性质，下面将对函数连续性进行详细讨论。
连续性的定义：函数 f(x) 在点 x = a 处连续，是指在 x = a 处的函数值等于极限值，即f(a) = lim(x→a) f(x)。
知识点5函数极限的概念与性质
知识点5函数极限的概念与性质函数极限是微积分中的重要概念，它描述了当自变量趋近于其中一特定值时，函数所对应的因变量的变化趋势。
本文将介绍函数极限的概念、性质以及一些常用的计算方法。
一、函数极限的概念函数极限是指当自变量趋近于其中一特定值时，函数所对应的因变量的变化情况。
常用的表示方法为：lim┬(x→a)〖f(x)〗=L其中，lim表示函数极限的意思，x→a表示自变量x趋近于特定值a，f(x)表示函数的因变量，L表示极限的值。
这个极限值L可以是一个实数，也可以是正无穷或负无穷。
二、函数极限的性质1.函数极限与函数值的关系如果函数f(x)的极限存在且等于L，那么函数f(x)在极限点a处的函数值也等于L，即：lim┬(x→a)〖f(x)〗=f(a)2.函数极限的唯一性如果函数f(x)在其中一点a的其中一邻域内有定义，并且存在极限lim┬(x→a)〖f(x)〗，那么这个极限值是唯一的。
3.函数极限的四则运算法则(1)两个函数的和的极限等于两个函数极限的和：lim┬(x→a)〖[f(x)+g(x)]〗=lim┬(x→a)〖f(x)〗+lim┬(x→a)〖g(x)〗(2)两个函数的差的极限等于两个函数极限的差：lim┬(x→a)〖[f(x)-g(x)]〗=lim┬(x→a)〖f(x)〗-lim┬(x→a)〖g(x)〗(3)两个函数的积的极限等于两个函数极限的积：lim┬(x→a)〖[f(x)g(x)]〗=lim┬(x→a)〖f(x)〗×lim┬(x→a)〖g(x)〗(4)两个函数的商的极限等于两个函数极限的商，前提是分母函数的极限不等于0：lim┬(x→a)〖[f(x)/g(x)]〗=lim┬(x→a)〖f(x)〗/lim┬(x→a)〖g(x)〗，其中lim┬(x→a)〖g(x)〗≠04.函数极限的乘方与开方法则(1)对于正整数n，函数的n次方的极限等于这个函数的极限的n次方：lim┬(x→a)〖[f(x)]^n 〗=[lim┬(x→a)〖f(x)〗]^n(2)对于正整数n，函数的开方的极限等于这个函数的极限的开方：lim┬(x→a)〖√[f(x)] 〗=√[lim┬(x→a)〖f(x)〗]三、函数极限的计算方法1.直接代入法当函数在其中一点a的邻域内有定义，并且该点是函数的连续点，可以通过直接代入a的值计算函数的极限。
极限的定义与性质
极限的定义与性质极限是微积分中的重要概念，它不仅在数学领域有广泛应用，而且在物理、经济学等学科中也起着重要作用。
本文将探讨极限的定义与性质，以及它在数学和实际问题中的应用。
一、极限的定义极限可以用来描述函数或数列在趋近某一值时的性质。
在数学领域中，我们用符号来表示极限。
设函数f(x)在无穷接近c的时候趋近于L，我们可以将其表示为：lim(x→c) f(x) = L其中，lim表示“极限”，x→c表示x无限接近c，f(x)表示函数f(x)，L表示极限值。
二、极限的性质1. 唯一性：极限值是唯一的。
如果极限值存在，那么就对应唯一一个数值。
2. 局部性：极限与函数在除了极限点以外的其他点的取值无关。
即函数在极限点附近的取值并不能决定极限的存在与否。
3. 保号性：如果函数在极限点附近始终大于（小于）一个数A，那么极限值也大于（小于）A。
这一性质在判断函数的单调性时非常有用。
4. 夹逼定理：夹逼定理是极限理论的一个重要定理。
它可以用来判断函数极限的存在与求值。
夹逼定理的基本思想是通过比较两个函数的大小，确定待求函数的极限。
三、极限的应用极限理论在数学和实际问题中具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 连续性：极限理论为研究函数的连续性提供了基础。
我们可以通过判断函数在某一点的极限是否存在来确定函数在该点是否连续。
2. 导数与微分：导数是函数在某一点的极限，它与函数在该点的斜率以及切线有密切关系。
微分学的基本理论都是建立在极限的概念上。
3. 积分与面积：定积分的求解也需要运用到极限的概念。
通过将函数细分为无限个小区间，再求和这些小区间的面积，可以得出定积分。
4. 物理问题：物理学中的运动学问题、力学问题等，通常也需要用到极限理论。
例如，求速度的瞬时变化率、加速度等都需要通过极限的概念进行求解。
综上所述，极限的定义与性质是微积分中的重要概念。
它不仅为我们理解和解决数学问题提供了框架，也为其他学科的发展提供了基础。
对函数极限相关性质的理解及应用1111(DOC)
对函数极限相关性质的理解及应用定西师范高等专科学校 数学系 数学教育专业 09级3班 程艳君摘 要：函数极限的概念和存在条件是我们理解函数极限和判断函数极限是否存在的主要依据，函数的极限在数学分析中占有十分重要的地位，因此，较为复杂函数极限的计算也是我们学者应该掌握的。
本文浅略地介绍了函数极限的概念和存在条件，函数极限的性质以及两个重要极限在计算比较复杂的函数极限中的应用。
关键词：函数极限；重要极限；四则运算；迫敛法。
引 言：函数极限是数学分析的重要概念，它贯彻于整个数学分析中，函数极限理论是研究函数连续、导数、积分、级数等的基本工具，而一些较为复杂的函数极限计算又在解决实际问题中是必不可少的。
本文最主要介绍函数极限的概念和函数极限存在的条件，还有两个重要函数极限、迫敛法和四则运算法在解较复杂函数极限中的应用。
1 . 函数的极限和极限存在的条件1.1 函数的极限1.1.1 x 趋于∞+时函数的极限设函数f 定义在 ),[∞a 上，类似于数列的情形，我们研究当自变量x 趋于∞+时，对应的函数值能否无限的接近于某个正数A 。
例如，对于函数x x f 1)(=，从图像上可见，当x 无限的增大时，函数值无限的接近于0；而对于函数x crc x g tan )(=，则当x 趋于∞+时函数值无限的接近于2π。
我们称这两个函数当x 趋于∞+时有极限。
一般地，当x 趋于∞+ 时函数的极限饿精确定义如下： 设f 为定义在),[∞a 上的函数，A 为定数。
若对任给的0>ε，存在正数M(a ≥)，使得当M x >时有ε<-a x f )(，则称函数f 当x 趋于∞+时以A 为极限，记作A x f x =∞→)(lim 或 )()(∞→→x A x f1.1.2 x 趋于0x 时函数的极限设f 为定义在点0x 的某个空心领域)(00x U 内的函数。
再讨论当x 趋于)(00x x x ≠时，对应的函数值能否趋于某个定数A 。
函数极限的综合分析与理解解读
函数极限的综合分析与理解经济学院 财政学 任银涛 0511666数学不仅仅是工具，更是一种能力。
一些数学的方法被其它学科广泛地运用。
例如，经济学中的边际分析、弹性分析等方法。
函数极限是高等数学中的一个重要问题。
极限可以与很多的数学问题相联系。
例如，导数从根本上是求极限；函数连续首先要求函数在某一点的左极限等于右极限。
有鉴于函数极限的重要性，结合自己的学习心得，笔者写下了此文。
其目的在于归纳和总结解决函数极限问题的实用方法和技巧，以期对函数极限问题的学习有所帮助。
局限于笔者的认知水平，缺点和不足在所难免，欢迎批评指正。
一、函数极限的定义和基本性质函数极限可以分成x →0x ，x →∞两类，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。
掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。
以0x x →的极限为例，()x f 在点0x 以A 极限的定义是：,0,0>∃>∀δε使当δ<-<00x x 时，有()().f x A A ε-<为常数问题的关键在于找到符合定义要求的δ，在这一过程中会用到一些不等式技巧，例如放缩法等。
1999年的研究生考试试题中，更是直接考察了考生对定义的掌握情况。
详见附例1。
函数极限性质的合理运用。
常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。
如函数极限的唯一性（若0lim x x →存在，则在该点的极限是唯一的）可以体现在用海涅定理证明()x f 在0x 处的极限不存在。
即如果()A x f n →，()B x f n →'（0',x x x n n n →∞→和），则()x f 在0x 处的极限不存在。
运用函数极限的性质可以方便地求出一些简单函数的极限值。
例如对于有理分式()()()x Q x P x f =（()()x Q x P ,均为多项式，()0≠x Q ）。
设()x P 的次数为n ,()x Q 的次数为m ， 当∞→x 时，若m n <，则()0→x f ;若m n =，则()→x f ()x P 与()x Q 的最高次项系数之比；若m n >，则()∞→x f 。
函数极限总结
函数极限总结函数极限是数学中重要的概念，它在微积分和数学分析等领域有着广泛的应用。
在这篇文章中，我将对函数极限进行总结，并介绍一些相关概念和性质。
1. 极限的定义函数极限描述了一个函数在某一点上的值趋近于某个特定值的情况。
正式来说，给定一个函数 f(x)，当自变量 x 的取值趋近于某个值 a 时，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当x 距离 a 的距离小于δ 时，函数值 f(x) 和极限值 L 的差的绝对值小于ε，那么我们说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限为 L。
记作：lim (x→a) f(x) = L2. 极限的性质函数极限具有一些重要的性质。
首先，极限是唯一的。
也就是说，如果一个函数在某一点存在极限，那么这个极限是唯一确定的。
其次，函数极限存在的条件是函数在该点的左右极限存在且相等。
换句话说，函数在某一点上存在极限的充分必要条件是函数在该点的左右极限存在且相等。
3. 常见类型的极限在实际问题中，我们经常遇到一些常见类型的函数极限。
这些极限的计算方法需要使用一些特定的技巧。
以下是几个常见类型的极限：a) 无穷大极限：当函数在自变量趋近于某个值 a 时，函数值趋近于无穷大，记作lim (x→a) f(x) = ∞。
b) 无穷小极限：当函数在自变量趋近于某个值 a 时，函数值趋近于零，记作lim (x→a) f(x) = 0。
c) 正无穷极限和负无穷极限：当函数在自变量趋近于某个值 a 时，函数值趋近于正无穷或负无穷。
正无穷记作lim (x→a) f(x) =+∞，负无穷记作lim (x→a) f(x) = -∞。
d) 数列极限：函数极限的概念可以推广到数列。
给定一个数列{an}，当 n 趋近于无穷大时，如果序列中的每一项都趋近于某个值 L，那么我们说该数列的极限为 L，记作lim (n→∞) an = L。
4. 极限定理函数极限有一些重要的定理，可以帮助我们计算复杂问题的极限。
函数有极限
函数有极限函数的极限是微积分中的重要概念之一，它在数学和物理等领域具有广泛的应用。
本文将介绍函数极限的概念、性质和计算方法，并探讨极限在实际问题中的应用。
一、函数极限的概念在数学中，函数的极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数值的趋势。
具体来说，对于函数f(x)，当自变量x无限接近某个实数a时，如果函数值f(x)无限接近一个实数L，那么函数f(x)的极限就是L，记作lim(x→a) f(x) = L。
这里的a可以是有限数、无穷大或无穷小。
二、函数极限的性质函数极限具有以下性质：1. 唯一性：如果函数f(x)的极限存在，那么它是唯一的。
2. 局部性：函数在某一点的极限与该点的邻域内的函数值有关，与整个定义域上的函数值无关。
3. 保序性：如果函数f(x)的极限存在且为L，那么在邻域内f(x)的函数值要么大于L，要么小于L。
4. 代数运算性质：函数的极限有加法、减法、乘法、除法等运算性质，可以通过这些性质来计算复杂函数的极限。
三、函数极限的计算方法计算函数极限的方法有以下几种：1. 代入法：对于简单的函数，可以直接将自变量代入函数中计算极限。
2. 分段函数的极限：对于分段函数，需要分别计算其每个分段函数的极限，然后根据极限的性质得到最终结果。
3. 极限的基本性质：利用函数极限的性质，可以将复杂函数的极限转化为简单函数的极限来计算。
4. 夹逼准则：对于难以直接计算的函数，可以利用夹逼准则来确定其极限。
四、函数极限在实际问题中的应用函数极限在实际问题中有着广泛的应用，如求解速度、加速度、概率等。
以下是几个具体的应用案例：1. 随着时间的推移，一个物体的速度可能会发生变化。
通过计算速度函数在某一时刻的极限，可以求得该时刻物体的实际速度。
2. 研究一个过程的稳定性时，可以通过计算函数的极限来确定其是否趋于稳定。
3. 在概率统计中，可以通过极限的概念来计算事件发生的概率。
函数极限是微积分中的重要概念，具有广泛的应用。
函数与极限原理
函数与极限原理在数学领域中，函数与极限原理是一项重要的理论基础。
通过对函数的研究和分析，我们可以深入了解函数的性质、变化趋势以及趋近于某个值的极限行为。
本文将探讨函数与极限原理的概念、性质以及相关定理，并从实际应用的角度解释函数与极限的意义。
1. 函数的基本概念函数是数学中一种重要的表达形式，通常表示为f(x)，其中x为自变量，f(x)为对应的因变量。
函数描述了自变量与因变量之间的关系或映射规则。
函数的定义域为自变量的取值范围，而值域则是函数在定义域内所有可能的f(x)值。
2. 极限的概念与性质函数的极限是指当自变量趋近于某个值时，函数对应的因变量的趋近情况。
极限可以用符号lim来表示，当x趋近于a时，函数f(x)的极限记作lim f(x) = L。
其中a为自变量的趋近点，L为函数f(x)在该点处的极限值。
极限有以下几个性质：- 唯一性：一个函数在某个点的极限只能有一个值。
- 局部性：极限的计算仅仅依赖于函数在某个点附近的取值，与该点的整体函数形态无关。
- 保号性：如果函数在某一点的左右两侧对应的极限值符号不同，那么函数在该点必存在一个极限。
3. 函数极限的重要定理函数与极限的研究离不开一些重要的定理，下面介绍两个常用的定理：- 极限的四则运算定理：如果两个函数在某一点的极限均存在，那么它们的和、差、积、商的极限也存在，并且可以通过已知函数的极限计算出来。
- 夹逼定理：如果函数f(x)在某一点附近受到另外两个函数g(x)和h(x)的夹逼，并且这两个函数的极限存在且相等，那么f(x)的极限也存在且相等。
4. 函数与极限的应用函数与极限理论在数学和其他领域有广泛的应用，在微积分、图像处理、物理学和工程学等方面提供了有效的数学工具。
以下是一些实际应用的例子：- 在微积分中，函数与极限帮助我们计算曲线的切线斜率、计算曲线下的面积以及求解微分方程等。
- 在图像处理中，函数与极限可以用来对图像进行平滑处理、边缘检测和形态学分析等。
利用函数的性质解决函数极限问题的思路
利用函数的性质解决函数极限问题的思路函数极限问题是微积分中的重要概念之一，它在分析函数在某一点的表现和趋势时起到了至关重要的作用。
为了解决这类问题，我们可以利用函数的性质来推导和求解极限。
本文将介绍一些常用的函数性质，并展示它们在解决函数极限问题中的应用思路。
一、连续性连续性是函数性质中最基本的一个概念。
如果函数在某一点连续，意味着它在该点的极限存在且与函数在该点的函数值相等。
基于这个性质，我们可以利用函数的连续性来求解极限。
例如，考虑以下函数极限问题：Lim(x→1) x^2 - 1 / (x - 1)在直接代入x=1时，分式的分母为0，无法得到函数值。
为了解决这个问题，我们可以尝试对该函数进行因式分解，得到：x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)将上述因式分解结果代入原函数，得到：Lim(x→1) (x - 1)(x + 1) / (x - 1)接下来，我们可以发现，当x≠1时，上式可以约去(x - 1)这一因子，得到：Lim(x→1) (x + 1)此时，我们可以直接代入x=1，得到结果：Lim(x→1) (x + 1) = 2通过对函数进行因式分解，并利用连续性，我们成功地求解了该函数极限问题。
二、导数和导函数导数和导函数是函数性质中与函数极限密切相关的概念。
导数描述了函数在某一点的变化率，而导函数描述了函数在整个定义域内的变化规律。
在解决函数极限问题时，我们可以借助导数和导函数的性质来推导和求解极限。
例如，考虑以下函数极限问题：Lim(x→0) sin(x) / x在直接代入x=0时，分式的分母为0，无法得到函数值。
为了解决这个问题，我们可以利用一些常用的极限公式以及导函数的性质来求解。
根据极限公式Lim(x→0) sin(x) / x = 1，我们可以知道该极限的结果为1。
但是，如果我们想到以前学过的导函数的性质，我们可以更加直观地理解和求解这个极限。
由于 sin(x) 和 x 在x=0处都是连续的，并且 x 在x=0处导数为1，sin(x) 在x=0处导数也为1，所以在极限的计算过程中可以看出，当x 趋近于0时， sin(x) / x 的值趋近于1。
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对函数极限相关性质的理解及应用定西师范高等专科学校 数学系 数学教育专业 09级3班 程艳君摘 要：函数极限的概念和存在条件是我们理解函数极限和判断函数极限是否存在的主要依据，函数的极限在数学分析中占有十分重要的地位，因此，较为复杂函数极限的计算也是我们学者应该掌握的。
本文浅略地介绍了函数极限的概念和存在条件，函数极限的性质以及两个重要极限在计算比较复杂的函数极限中的应用。
关键词：函数极限；重要极限；四则运算；迫敛法。
引 言：函数极限是数学分析的重要概念，它贯彻于整个数学分析中，函数极限理论是研究函数连续、导数、积分、级数等的基本工具，而一些较为复杂的函数极限计算又在解决实际问题中是必不可少的。
本文最主要介绍函数极限的概念和函数极限存在的条件，还有两个重要函数极限、迫敛法和四则运算法在解较复杂函数极限中的应用。
1 . 函数的极限和极限存在的条件1.1 函数的极限1.1.1 x 趋于∞+时函数的极限设函数f 定义在 ),[∞a 上，类似于数列的情形，我们研究当自变量x 趋于∞+时，对应的函数值能否无限的接近于某个正数A 。
例如，对于函数x x f 1)(=，从图像上可见，当x 无限的增大时，函数值无限的接近于0；而对于函数x crc x g tan )(=，则当x 趋于∞+时函数值无限的接近于2π。
我们称这两个函数当x 趋于∞+时有极限。
一般地，当x 趋于∞+ 时函数的极限饿精确定义如下： 设f 为定义在),[∞a 上的函数，A 为定数。
若对任给的0>ε，存在正数M(a ≥)，使得当M x >时有ε<-a x f )(，则称函数f 当x 趋于∞+时以A 为极限，记作A x f x =∞→)(lim 或)()(∞→→x A x f1.1.2 x 趋于0x 时函数的极限设f 为定义在点0x 的某个空心领域)(00x U 内的函数。
再讨论当x 趋于)(00x x x ≠时，对应的函数值能否趋于某个定数A 。
这类函数极限的定义如下： 设函数f 在点0x 的某个空心领域);('00δx U 内有定义，A 为定数。
若对任给的0>ε，存在正数)('δδ< 使的当时有ε<-a x f )(，则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0 或)()(0x x A x f →→这个定理也是（函数极限的δε-定义）举例说明如何运用δε-定义来验证这种类型的函数极限，特别注意δ的值时怎么样确定的。
例：设24)(2--=x x x f ，证明4)(lim 2=→x f x 证明：由于2≠x 时2424244)(2-=-+=---=-x x x x x f 故对给定的0>ε，只要取δε=，则当δ<-<20x 时有ε<-4)(x f 。
这就证明了4)(lim 2=→x f x1.2函数极限存在的条件函数极限存在的条件：(1)归结原理(Heine 定理)设函数f 在),(00ηx u 内有定义，)(lim x f ox x →存在的充分必要条件是：对于在),(00ηx u 内以0x 为极限的任何数列{n x },极限)(lim n n x f ∞→都存在并且相等；(2)单调有界定理设f 为定义在)(00x u +上的单调有界函数，则右极限)(lim 0x f x x =→存在；(3)柯西(Cauchy)收敛准则设函数)(x f 在);(00δx u 内有定义，),;(,,0,000"'δδεx u x x ∈∀∍>∃>∀ε<-)()("'x f x f 。
这三个条件是判断函数极限是否存在的最基本的方法，归结原理建立了函数极限与数列界限的关系，将函数极限的存在性转化为数列极限的存在性，其中归结原理和柯西准则通常用来证明函数极限的不存在性，在这里我们看一下归结原理有关的例题。
例：证明极限xx 1sinlim 0→不存在。
证明：设πn x n 1'=，() ,2,1221"=+=n n x n ππ，则显然有)(0,0"'∞→→→n x x n n， ).(111sin ,001sin "'∞→→=→=n x x nn 故由归结原则即得结论。
2.两个常用的极限和在计算极限中的应用2.1.两个重要极限的推广形式和衍生公式第一个重要的极限1sin lim 0=→x x x ，我们来看一下它的推广形式1)()(sin lim 0)(=→x x x ϕϕϕ， 0)(→x ϕ表示在某极限过程中)(x ϕ的极限为零。
1sin lim 0=→x x x 的三种衍生公式：（1）[]1)()(sin lim 0)(=→x f x f x f ；（2）1tan lim 0=→x x x （3）21cos 120lim =-→x x x 第二个重要的极限e x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim ，或者，我们也来看一下它的推广形式，当∞=→)(lim 0x x x ϕ时，e x x x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→)()(11lim 0ϕϕ e x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 的三个衍生公式：(1)e x x x =+→10)1(lim ；（2）1)1ln(lim 0=+→x x x ；（3）11lim 0=-→x e x x e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 有两个特征：（1）底数是1加上无穷小；(2)指数是底中无穷小的倒数。
2.2两个重要极限在计算极限中的应用第一个重要极限实际上是两个无穷小之比的极限， 若分子分母分别求极限便得到这一不确定的结果.因此称这一类型的极限为（0）型不定极限. 第二个极限属于（∞1）型不定型极限.综上所述，可以得出这样的结论，凡是含有三角函数的（00 ）型极限和（∞1）型极限，我们都可不妨分别应用两个重要极限来试试，看能否得出他的结果，以下举一些例子来说明是如何应用这两个重要极限于极限计算中的。
例1：求xx x sin sin sin lim 0→ 解：这显然是含三角函数的(00）型极限.因为x x x x x x x x s i n *s i n )s i n (*s i n s i n )s i n s i n (s i n s i n s i n s i n = 当0→x ，0sin sin →x 由第一个重要极限及其一般形式立刻得到：)sin *sin sin sin *sin sin sin sin sin (sin sin sin lim lim 0x x x x x x x x ox x →→==1*1*1=1 例2：计算xx x x sin 3sin lim 0-→ 解：xx x x sin 3sin lim 0-→ =xx x x sin 2cos 2lim 0→ =x x x x x sin 2cos 2lim lim 00→→⋅ =2例3：计算x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→32lim 解：x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→32lim=x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→311lim =33311lim +-∞→⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x x =33311311lim lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→-∞→x x x x x =1⋅e=1例4：计算()xx x +→1ln lim 0 解：()xx x +→1ln lim 0 =()x xx +⋅→1ln 1lim 0=()xx x 11ln lim +∞→=()xx x 11ln lim +∞→=e ln=13函数极限的性质和在计算函数极限中的应用3.1函数极限的六种性质及证明3.1.1唯一性，若极限)(lim 0x f x x →的极限存在，则极限是唯一的。
3.1.2局部有界性，若)(lim 0x f x x →存在，则f 在0x 的某个空心领域)(00x U 内有界。
3.1.3局部保号型，若0)(lim 0>=→A x f x x 或（<0），则对任何正数A r <(或A r -<)，存在)(00x U ，使得对一切)(00x U x ∈有0)(>>r x f （或0)(<-<r x f ）3.1.4包不等号性，设)(lim 0x f x x →与A x g x x =→)(lim 0，且在某);('00δx U 内有)()(x g x f ≤则)()(lim lim 00x g x f x x x x →→≤。
3.1.5迫敛性，设Ax g x f x x x x ==→→)()(lim lim 00,且在某);('00δx U 内有)()()(x g x h x f ≤≤,则A x h x x =→)(lim 0。
3.1.6函数的四则运算法则若A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0（1）[]B A x g x f x g x f x x x x x x ±=±=±→→→)()()()(lim lim lim 000（2）[])()()()(lim lim lim 000x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=⋅=B A ⋅（3）若0≠B 则：B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)()()()(lim lim lim 0（4）A c x f c x f c x x x x ⋅=⋅=⋅→→)()(lim lim 0这些性质对于∞→x ，-∞→x ，+∞→x 时也同样成立。
3.2函数极限的性质在计算函数极限中的应用3.2.1四则运算法则在计算极限中的应用利用函数极限的四则运算法则，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限。
法则难理解我们要注意一下两点：1、函数的个数有限，且每个函数的极限要存在；2、作为除数的函数极限不为零。
例1：求45322lim +++→x x x x 的极限 解：45322lim +++→x x x x =4252322++⋅+=25 例2：求61032332lim ----→x x x x x 解：61032332lim ----→x x x x x =)32)(2()542)(2(222lim ++-++-→x x x x x x x =32542222lim ++++→x x x x x =32225242222+⋅++⋅+⋅ =1121 3.2.2迫敛性在计算函数极限中的应用利用函数极限的迫敛性，我们可从一些简单的函数极限出发，计算较复杂的函数极限。