第一章 信号与系统概述
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0 u( t t 0 ) 1 t t0 , t0 0 t t0
1
O
u( t t 0 )
t0
t
0 u( t t 0 ) 1
t t0 , t0 0 t t0
信号与系统
中北大学信息与通信工程学院
主讲：李静怡
第1章 信号与系统概述
1.1 信号与系统绪论 1.2 信号的分类 1.3 典型信号
1.4 信号的基本运算
1.5 信号的分解 1.6 系统概述 1.7 线性时不变系统的性质
1.1
信号与系统绪论
本课程研究确定性信号经线性时不变系统传
输与处理的基本概念与基本分析方法。 内容体系： 1. 两大部分内容：连续和离散 2. 两种数学描述：输入、输出描述和状态空间描述 3. 两类求解方法：时间域和变换域
2．连续信号和离散信号 连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻 都有定义（即都可以给出确定的函数值，可以有有 限个间断点）。用t表示连续时间变量。 注：时间和幅值都连续的信号称为模拟信号
离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连 续的规定瞬时给出函数值，其他时间没有定义。 用n表示离散时间变量。
K O
t
7．单位阶跃信号 ① 定义
0 u( t ) 1 t0 1 0点无定义或 t0 2
+
u( t )
1
S E=1V
＋ －
C
vc (t )
-
O
t
设S、E、C都是理想元件（内阻为0），当 t = 0 时S闭合，电容C上的电压会产生跳变，从而形成 阶跃电压。
② 有延迟的单位阶跃信号
例5：依据定义，判断信号
f(t)
f(t)
t2
周期信号
t1
f(t)存在于有限时间内
•时限信号为能量信号 •周期信号属于功率信号，而非周期信号可能是 能量信号，也可能是功率信号。有些信号既不 是属于能量信号也不属于功率信号， 如： f (t ) et
6．一维信号和多维信号
一维信号：
只由一个自变量描述的信号，如语音信号。 多维信号： 由多个自变量描述的信号，如图像信号。
（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为 cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为
2 2 2 3rad / s, T 1 s 1 3
2 1 2rad / s, T 1 s 1
由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号， 其周期为T1和T2的最小公倍数2π。 （2） cos2t 和sinπt的周期分别为 T1= πs， T2= 2s， 由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。
离散周期信号f(k)满足: f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,… 满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。
例4 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其 周期。（1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sinπt 解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为 T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其 和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为 T1和T2的最小公倍数。
1 3 1 2 9 S a m p le s 1
0.5
0
-Βιβλιοθήκη Baidu . 5
-1 0 0.5 1 Tim e in s e c o n d s 1.5 2
1.3
典型信号
1、指数信号 2、正弦信号 3、复指数信号 4、抽样信号 5、钟形脉冲函数
1．指数信号
f ( t ) K e t
l l l
0
信号理论与系统理论
信号分析：研究信号的基本性能，如信号 的描述、性质等。 信号理论 信号传输 信号处理 系统分析：给定系统，研究系统对于输入 激励所产生的输出响应。 系统理论 系统综合：按照给定的需求设计（综合） 系统。 重点讨论信号的分析、系统的分析，分析是综合的基础。
1.2
信号的描述与分类
一 信号的描述方法
e j t cos t j sin t
3．复指数信号
f (t ) Ke st
( t )
Ke t cos t jKe t sin t
s j
为复数，称为复频率
反映正、余弦信号的振幅随时间变化的情况
f t
1
O
t
1
称为指数信号的时间常数，
越大，指数信号增长或衰减的速率越慢。
2．正弦信号
f ( t ) K sin( t )
f t
K
2π
T
振幅：K 2π 1 周期： T f
t
O
2π
频率：f 角频率： 2 π f 初相：
衰减正弦信号：
在随机信号分析中占有重要地位。
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数。 6、单位斜变信号 7、单位阶跃信号 8、单位冲激信号 9、冲激偶信号
6．单位斜变信号 ① 定义
0 R( t ) t t0 t0
R( t )
1
O
1
R( t t 0 )
cos
1
e是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公式。e可以 n 用计算方法定义为 1 e lim 1 2.71828 n n
欧拉(Euler)公式
1 j t j t sin t e e 2j
1 j t cos t e e jt 2
1. 输入输出描述法： •着眼于激励与响应的关系，而不考虑系统内部 变量情况； •单输入/单输出系统；
•n 阶常系数线性微分方程。
2. 状态变量分析法： •不仅可以给出系统的响应，还可以描述内部变量，
如电容电压 v C t 或电感电流 i L t 的变化情况。 •研究多输入/多输出系统；
f (t)
0.8
0.4
采 样
1 s 8k
0 1 2
t
0.8
0.4
f (k)
k
0 1 2
例3：判断下列波形是连续时间还是离散时间信号， 若是离散时间信号是否为数字信号？
f (t ) sin t
值域连续 0 连续时间信号 t 0
f(t)
值域不连续
t
连续时间信号（可包含不连续点）
f (n)
K e t sin t f (t ) 0 t0 0 t0
欧拉公式
复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为θ时， 此点可表示为 cos j sin
sin
1
j Im 1
欧拉公式
e j
e j cos j sin e j 1 1 Re e j
连续时间系统 离散时间系统
数学模型
时域分析
两类求解方法
微分方程 经典法 卷积积分法
差分方程 经典法 卷积和方法 z变换 离散傅里叶变换
变换域分析 拉普拉斯变换 傅里叶变换 系统函数
频响特性
H (s) H ( j )
H(z) j H (e )
信号概念
•信号：指消息的表现形式与传送载体，是包含信息的 物理量。 •电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、 磁通等。
f(n)
(2)
(1)
(1)
值域离散
0
12 345
n
n
0 1 2 3 4
离散时间信号（抽样信号）
数字信号
3．周期信号和非周期信号
周期信号是定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时 间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。
连续周期信号f(t)满足: f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,…
K
f t
0 0
t
0 直流(常数), 0 指数衰减, 0 指数增长
O
重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。 单边衰减指数信号
0 f t t e t0 t0
1
O
f t
t
单边衰减指数信号 0 t0 f t t e t0
②
sin(t ) sin c(t ) t
5．钟形脉冲函数(高斯函数) 定义： 性质：
f ( t ) Ee
t
2
t
2
f t
E
0.78 E
e
dt
1 4
E e
O
f ( ) E e 2
2
t
0.78E
4．实信号和复信号
实信号：用物理方法可实现的信号都是时间的实函数， 即在各时刻的函数值均为实数，统称为实信号。 复信号：由实部和虚部组成
5．能量信号和功率信号
将信号f(t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功 率为 | f (t ) |2 ，在区间 (–∞ , ∞)上的能量和平均 功率定义为： （1）信号的能量E： （2）信号的功率P：
为正余弦信号的角频率
讨论 0, 0 直流 0, 0 升指数信号 0, 0 衰减指数信号
0, 0 等幅 0, 0 增幅振荡 0, 0 衰减
x(t) 10cos(20t)
x(t )
t
x(t) e2t cos(20t )
x(t )
t
x(t) e t cos(20t )
x(t )
t
4．抽样信号
sin t Sa(t ) t
2
1
Sa (t )
2
t
性质 ① Sa t Sa t ， 偶 函 数
t 0, Sa(t ) 1，即 lim Sa(t ) 1, lim Sa(t ) 0 t0 t ③ Sa( t ) 0 , t n π， n 1, 2 , 3 sin t sin t π ④ dt , dt π 0 t 2 t
t
② 有延迟的单位斜变信号
0 R( t t 0 ) t t0 t t0 t t0
1
O
t0 t0 1 t
③ 三角斜变
K t f (t ) 0
f (t )
0 t 其它
K
O
f (t )
t
④ 截平的斜变
k t t f (t ) k t
抽样信号：时间不连续、幅度连续 离散信号 数字信号：时间不连续、幅度也不连续
例1：离散时间信号 1990-2002年的某村农民的年平均收入 自变量本身只能取值于某个整数集合
1600 800
1990
2002
例2：离散时间信号 数字电话系统中，数字语音信号是对模拟信号以8kHz 采样得到。采样间隔为1/8k秒，只有自变量为采样 间隔的整数倍的时刻点上才有信号值
•函数
f(t)
0 f t t e
•波形
t 0 t 0
1
0
t
二 信号的分类 信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号 进行分类。 1．确定性信号和随机信号
•确定性信号
对于指定的某一时刻t，可确定一相应的函数值f(t)。 若干不连续点除外。 •随机信号
不能用确定时间函数表示的信号，且在任意时刻的 取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性。
E lim f (t ) dt
T T
T
2
1 P lim T T
T 2 T 2
| f (t ) |2 dt
能量信号：若信号f (t)的能量有界，即E <∞ ,则 称其为能量有限信号，简称能量信号，此时P = 0。 功率信号：若信号f (t)的功率有界，即P <∞ ,则 称为功率有限信号，简称功率信号，此时E = ∞ 。
系统
•系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的， 具有稳定功能的整体。如太阳系、通信系统、控制系统、 经济系统、生态系统等。 •系统可以看作是变换器、处理器。 •电系统具有特殊的重要地位，某个电路的输入、输出 是完成某种功能，如微分、积分、放大，也可以称系统。 •在电子技术领域中，“系统”、“电路”、“网络” 三个名词在一般情况下可以通用。
•列写多个一阶微分方程。
1.时域分析
微分方程连续系统 经典法求解 差分方程离散系统
卷积积分（或卷积和）法 2.变换域分析 •傅里叶变换——FT •拉普拉斯变换——LT •z 变换——ZT •离散傅里叶变换——DFT •离散沃尔什变换——DWT
连续时间系统与离散时间系统分析方法比较
1
O
u( t t 0 )
t0
t
0 u( t t 0 ) 1
t t0 , t0 0 t t0
信号与系统
中北大学信息与通信工程学院
主讲：李静怡
第1章 信号与系统概述
1.1 信号与系统绪论 1.2 信号的分类 1.3 典型信号
1.4 信号的基本运算
1.5 信号的分解 1.6 系统概述 1.7 线性时不变系统的性质
1.1
信号与系统绪论
本课程研究确定性信号经线性时不变系统传
输与处理的基本概念与基本分析方法。 内容体系： 1. 两大部分内容：连续和离散 2. 两种数学描述：输入、输出描述和状态空间描述 3. 两类求解方法：时间域和变换域
2．连续信号和离散信号 连续时间信号：信号存在的时间范围内，任意时刻 都有定义（即都可以给出确定的函数值，可以有有 限个间断点）。用t表示连续时间变量。 注：时间和幅值都连续的信号称为模拟信号
离散时间信号：在时间上是离散的，只在某些不连 续的规定瞬时给出函数值，其他时间没有定义。 用n表示离散时间变量。
K O
t
7．单位阶跃信号 ① 定义
0 u( t ) 1 t0 1 0点无定义或 t0 2
+
u( t )
1
S E=1V
＋ －
C
vc (t )
-
O
t
设S、E、C都是理想元件（内阻为0），当 t = 0 时S闭合，电容C上的电压会产生跳变，从而形成 阶跃电压。
② 有延迟的单位阶跃信号
例5：依据定义，判断信号
f(t)
f(t)
t2
周期信号
t1
f(t)存在于有限时间内
•时限信号为能量信号 •周期信号属于功率信号，而非周期信号可能是 能量信号，也可能是功率信号。有些信号既不 是属于能量信号也不属于功率信号， 如： f (t ) et
6．一维信号和多维信号
一维信号：
只由一个自变量描述的信号，如语音信号。 多维信号： 由多个自变量描述的信号，如图像信号。
（1）sin2t是周期信号，其角频率和周期分别为 cos3t是周期信号，其角频率和周期分别为
2 2 2 3rad / s, T 1 s 1 3
2 1 2rad / s, T 1 s 1
由于T1/T2= 3/2为有理数，故f1(t)为周期信号， 其周期为T1和T2的最小公倍数2π。 （2） cos2t 和sinπt的周期分别为 T1= πs， T2= 2s， 由于T1/T2为无理数，故f2(t)为非周期信号。
离散周期信号f(k)满足: f(k) = f(k + mN)，m = 0,±1,±2,… 满足上述关系的最小T(或整数N)称为该信号的周期。
例4 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其 周期。（1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sinπt 解：两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为 T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其 和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为 T1和T2的最小公倍数。
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-Βιβλιοθήκη Baidu . 5
-1 0 0.5 1 Tim e in s e c o n d s 1.5 2
1.3
典型信号
1、指数信号 2、正弦信号 3、复指数信号 4、抽样信号 5、钟形脉冲函数
1．指数信号
f ( t ) K e t
l l l
0
信号理论与系统理论
信号分析：研究信号的基本性能，如信号 的描述、性质等。 信号理论 信号传输 信号处理 系统分析：给定系统，研究系统对于输入 激励所产生的输出响应。 系统理论 系统综合：按照给定的需求设计（综合） 系统。 重点讨论信号的分析、系统的分析，分析是综合的基础。
1.2
信号的描述与分类
一 信号的描述方法
e j t cos t j sin t
3．复指数信号
f (t ) Ke st
( t )
Ke t cos t jKe t sin t
s j
为复数，称为复频率
反映正、余弦信号的振幅随时间变化的情况
f t
1
O
t
1
称为指数信号的时间常数，
越大，指数信号增长或衰减的速率越慢。
2．正弦信号
f ( t ) K sin( t )
f t
K
2π
T
振幅：K 2π 1 周期： T f
t
O
2π
频率：f 角频率： 2 π f 初相：
衰减正弦信号：
在随机信号分析中占有重要地位。
函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积 分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异 函数。 6、单位斜变信号 7、单位阶跃信号 8、单位冲激信号 9、冲激偶信号
6．单位斜变信号 ① 定义
0 R( t ) t t0 t0
R( t )
1
O
1
R( t t 0 )
cos
1
e是自然对数的底，此式称为欧拉(Euler)公式。e可以 n 用计算方法定义为 1 e lim 1 2.71828 n n
欧拉(Euler)公式
1 j t j t sin t e e 2j
1 j t cos t e e jt 2
1. 输入输出描述法： •着眼于激励与响应的关系，而不考虑系统内部 变量情况； •单输入/单输出系统；
•n 阶常系数线性微分方程。
2. 状态变量分析法： •不仅可以给出系统的响应，还可以描述内部变量，
如电容电压 v C t 或电感电流 i L t 的变化情况。 •研究多输入/多输出系统；
f (t)
0.8
0.4
采 样
1 s 8k
0 1 2
t
0.8
0.4
f (k)
k
0 1 2
例3：判断下列波形是连续时间还是离散时间信号， 若是离散时间信号是否为数字信号？
f (t ) sin t
值域连续 0 连续时间信号 t 0
f(t)
值域不连续
t
连续时间信号（可包含不连续点）
f (n)
K e t sin t f (t ) 0 t0 0 t0
欧拉公式
复平面上的一个单位圆上的点，与实轴夹角为θ时， 此点可表示为 cos j sin
sin
1
j Im 1
欧拉公式
e j
e j cos j sin e j 1 1 Re e j
连续时间系统 离散时间系统
数学模型
时域分析
两类求解方法
微分方程 经典法 卷积积分法
差分方程 经典法 卷积和方法 z变换 离散傅里叶变换
变换域分析 拉普拉斯变换 傅里叶变换 系统函数
频响特性
H (s) H ( j )
H(z) j H (e )
信号概念
•信号：指消息的表现形式与传送载体，是包含信息的 物理量。 •电信号是应用最广泛的物理量，如电压、电流、电荷、 磁通等。
f(n)
(2)
(1)
(1)
值域离散
0
12 345
n
n
0 1 2 3 4
离散时间信号（抽样信号）
数字信号
3．周期信号和非周期信号
周期信号是定义在(-∞，∞)区间，每隔一定时 间T (或整数N），按相同规律重复变化的信号。
连续周期信号f(t)满足: f(t) = f(t + mT)，m = 0,±1,±2,…
K
f t
0 0
t
0 直流(常数), 0 指数衰减, 0 指数增长
O
重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。 单边衰减指数信号
0 f t t e t0 t0
1
O
f t
t
单边衰减指数信号 0 t0 f t t e t0
②
sin(t ) sin c(t ) t
5．钟形脉冲函数(高斯函数) 定义： 性质：
f ( t ) Ee
t
2
t
2
f t
E
0.78 E
e
dt
1 4
E e
O
f ( ) E e 2
2
t
0.78E
4．实信号和复信号
实信号：用物理方法可实现的信号都是时间的实函数， 即在各时刻的函数值均为实数，统称为实信号。 复信号：由实部和虚部组成
5．能量信号和功率信号
将信号f(t)施加于1Ω电阻上，它所消耗的瞬时功 率为 | f (t ) |2 ，在区间 (–∞ , ∞)上的能量和平均 功率定义为： （1）信号的能量E： （2）信号的功率P：
为正余弦信号的角频率
讨论 0, 0 直流 0, 0 升指数信号 0, 0 衰减指数信号
0, 0 等幅 0, 0 增幅振荡 0, 0 衰减
x(t) 10cos(20t)
x(t )
t
x(t) e2t cos(20t )
x(t )
t
x(t) e t cos(20t )
x(t )
t
4．抽样信号
sin t Sa(t ) t
2
1
Sa (t )
2
t
性质 ① Sa t Sa t ， 偶 函 数
t 0, Sa(t ) 1，即 lim Sa(t ) 1, lim Sa(t ) 0 t0 t ③ Sa( t ) 0 , t n π， n 1, 2 , 3 sin t sin t π ④ dt , dt π 0 t 2 t
t
② 有延迟的单位斜变信号
0 R( t t 0 ) t t0 t t0 t t0
1
O
t0 t0 1 t
③ 三角斜变
K t f (t ) 0
f (t )
0 t 其它
K
O
f (t )
t
④ 截平的斜变
k t t f (t ) k t
抽样信号：时间不连续、幅度连续 离散信号 数字信号：时间不连续、幅度也不连续
例1：离散时间信号 1990-2002年的某村农民的年平均收入 自变量本身只能取值于某个整数集合
1600 800
1990
2002
例2：离散时间信号 数字电话系统中，数字语音信号是对模拟信号以8kHz 采样得到。采样间隔为1/8k秒，只有自变量为采样 间隔的整数倍的时刻点上才有信号值
•函数
f(t)
0 f t t e
•波形
t 0 t 0
1
0
t
二 信号的分类 信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号 进行分类。 1．确定性信号和随机信号
•确定性信号
对于指定的某一时刻t，可确定一相应的函数值f(t)。 若干不连续点除外。 •随机信号
不能用确定时间函数表示的信号，且在任意时刻的 取值都具有不确定性，只可能知道它的统计特性。
E lim f (t ) dt
T T
T
2
1 P lim T T
T 2 T 2
| f (t ) |2 dt
能量信号：若信号f (t)的能量有界，即E <∞ ,则 称其为能量有限信号，简称能量信号，此时P = 0。 功率信号：若信号f (t)的功率有界，即P <∞ ,则 称为功率有限信号，简称功率信号，此时E = ∞ 。
系统
•系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的， 具有稳定功能的整体。如太阳系、通信系统、控制系统、 经济系统、生态系统等。 •系统可以看作是变换器、处理器。 •电系统具有特殊的重要地位，某个电路的输入、输出 是完成某种功能，如微分、积分、放大，也可以称系统。 •在电子技术领域中，“系统”、“电路”、“网络” 三个名词在一般情况下可以通用。
•列写多个一阶微分方程。
1.时域分析
微分方程连续系统 经典法求解 差分方程离散系统
卷积积分（或卷积和）法 2.变换域分析 •傅里叶变换——FT •拉普拉斯变换——LT •z 变换——ZT •离散傅里叶变换——DFT •离散沃尔什变换——DWT
连续时间系统与离散时间系统分析方法比较