随机变量的数字特征

随机变量的数字特征

讨论随机变量数字特征的原因 （1）

在实际问题中，有的随机变量的概率分布

难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。 （2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。 （3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松

分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。

§4.1 数学期望

一、数学期望的概念

1.离散性随机变量的数学期望

例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下：

解：

平均年龄=1

4810721

224218201019718217+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 25.19=

把上式改写为：

32

12232421328203210193271832217⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯

设X 为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为

定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列为：

若

∑k

k

k

p x 绝对收敛（即

+∞

<=∑∑k k

k

k k k

p x p x ），则称它为X 的

数学期望或均值（此时，也称X 的数学期望存在），记为E(X),即

若

∑k

k

k

p x 发散，则称X 的数学期望不存在。

说明：

（1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均； （2） 要注意数学期望存在的条件：

∑k

k

k

p x 绝对

收敛； （3） 当X 服从某一分布时，也称某分布的数学

期望为EX 。

∑=k

k

k p x EX

例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX EX=p

例4．3：设X~B(n,p)，求EX

EX=np

例4．4：设X服从参数为λ的泊松分布，求EX

EX=λ

2.连续型随机变量的数学期望

定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分

⎰+∞∞-dx

x

xf)

(

绝对收敛，（即⎰∞∞

-

+∞

<

dx

x

f x)

(

），则称它

为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即

)

(

)

(⎰∞∞-

=dx

x

xf

X

E

若⎰∞∞

-

+∞

=

dx

x

f

x)

(

，

则称X的数学期望不存在。

例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。

EX=

2b

a+

例4.6:设X服从参数为λ的指数分布，求EX EX=λ

例4.7:

)

,

(

~2σ

μ

N

X，求EX

EX=μ

下面分析书上P101---P104例。 例1 P101 例2 P101 例3

P102---103

解：注意由于8:00~9:00, 9:00~10:00都恰有一辆车到站，所以(i)8:00到车站的旅客在8:50前一定会上车，而(ii)8:20到车站的旅客则可以直到9:50才会上车。

例4 P103

3.随机变量函数得数学期望

定理4.1:设随机变量X 的函数为Y =g(X)， (1)

若离散型随机变量X 的分布律为

)(k k x X P p ==,k =1,2,… ，∑k

k

k p x g )(绝对收敛，则Y 的数学期望

存在，且

)()]([)( ∑==k

k k p x g X g E Y E

(2)

若连续型随机变量X 的概率密度为

f(x), Y =g(X)也是连续型随机变量，⎰+∞

∞

-dx x f x g )()(绝对收敛，则Y

的数学期望存在，且

)()()]([)( ⎰∞

∞

-==dx x f x g X g E Y E

定理4.2:设二维随机变量（X ,Y )的函数Z=g(x,y) (1) 若二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律 为

,....2,1, , ),(====j i y Y x X P p j i ij

且有

∑j

i ij

j

i

p y x g ,),(绝对收敛，则Z 的数学期望存在，且

),()],([)( ,∑==j

i ij j i p y x g Y X g E Z E

(2) 若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密 度为 f (x,y),Z=g(X,Y) 也是连续型随机变量,并且

⎰⎰

∞

∞-∞

∞

-dxdy y x f y x g ),(),(绝对收敛，则Z 的数学期望存在，且

),(),()],([) E(⎰⎰

∞∞-∞

∞

-==dxdy y x f y x g Y X g E Z

例5 P106

例6 P107

例7 P107

以下为第一版例。 例4.8:设X ~U [0,π]，Y=

X

sin ,求E(Y )。

例4.9:设（X,Y ）的联合分布律为