随机变量的数字特征

随机变量的数字特征讨论随机变量数字特征的原因 （1）在实际问题中，有的随机变量的概率分布难确定，有的不可能知道，而它的一些数字特征较易确定。

（2）实际应用中，人们更关心概率分布的数字特征。

（3）一些常用的重要分布，如二项分布、泊松分布、指数分布、正态分布等，只要知道了它们的某些数字特征，就能完全确定其具体的分布。

§4.1 数学期望一、数学期望的概念1.离散性随机变量的数学期望例4．1：大学一年级某班有32名同学，年龄情况如下：解：平均年龄=14810721224218201019718217+++++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 25.19=把上式改写为：3212232421328203210193271832217⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯设X 为从该班任选一名同学的年龄，其概率分布为定义4.1：设离散型随机变量X 的分布列为：若∑kkkp x 绝对收敛（即+∞<=∑∑k kkk k kp x p x ），则称它为X 的数学期望或均值（此时，也称X 的数学期望存在），记为E(X),即若∑kkkp x 发散，则称X 的数学期望不存在。

说明：（1）随机变量的数学期望是一个实数，它体现了随机变量取值的平均； （2） 要注意数学期望存在的条件：∑kkkp x 绝对收敛； （3） 当X 服从某一分布时，也称某分布的数学期望为EX 。

∑=kkk p x EX例4．2：设X服从参数为p的两点分布，求EX EX=p例4．3：设X~B(n,p)，求EXEX=np例4．4：设X服从参数为λ的泊松分布，求EXEX=λ2.连续型随机变量的数学期望定义4.2: 设连续型随机变量X 的概率密度为f(x).若积分⎰+∞∞-dxxxf)(绝对收敛，（即⎰∞∞-+∞<dxxf x)(），则称它为X的数学期望或均值（此时，也称X的数学期望存在），记为E(X),即)()(⎰∞∞-=dxxxfXE若⎰∞∞-+∞=dxxfx)(，则称X的数学期望不存在。

例4.5:设X服从U[a,b],求E(X)。

EX=2ba+例4.6:设X服从参数为λ的指数分布，求EX EX=λ例4.7:),(~2σμNX，求EXEX=μ下面分析书上P101---P104例。

例1 P101 例2 P101 例3P102---103解：注意由于8:00~9:00, 9:00~10:00都恰有一辆车到站，所以(i)8:00到车站的旅客在8:50前一定会上车，而(ii)8:20到车站的旅客则可以直到9:50才会上车。

例4 P1033.随机变量函数得数学期望定理4.1:设随机变量X 的函数为Y =g(X)， (1)若离散型随机变量X 的分布律为)(k k x X P p ==,k =1,2,… ，∑kkk p x g )(绝对收敛，则Y 的数学期望存在，且)()]([)( ∑==kk k p x g X g E Y E(2)若连续型随机变量X 的概率密度为f(x), Y =g(X)也是连续型随机变量，⎰+∞∞-dx x f x g )()(绝对收敛，则Y的数学期望存在，且)()()]([)( ⎰∞∞-==dx x f x g X g E Y E定理4.2:设二维随机变量（X ,Y )的函数Z=g(x,y) (1) 若二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布律 为,....2,1, , ),(====j i y Y x X P p j i ij且有∑ji ijjip y x g ,),(绝对收敛，则Z 的数学期望存在，且),()],([)( ,∑==ji ij j i p y x g Y X g E Z E(2) 若二维连续型随机变量(X,Y)的联合概率密 度为 f (x,y),Z=g(X,Y) 也是连续型随机变量,并且⎰⎰∞∞-∞∞-dxdy y x f y x g ),(),(绝对收敛，则Z 的数学期望存在，且),(),()],([) E(⎰⎰∞∞-∞∞-==dxdy y x f y x g Y X g E Z例5 P106例6 P107例7 P107以下为第一版例。

例4.8:设X ~U [0,π]，Y=Xsin ,求E(Y )。

例4.9:设（X,Y ）的联合分布律为λλ---===em n m p p m Y n X P mn m n !)-(! )1(),(其中, ,,1,0;,2 ,1 ,0 ;10 ;0n m n p ==<<>λ求E(XY)。

二.数学期望的性质 性质1:若c 为常数，则E(c )=c 。

性质2:若c 为常数，随机变量X 的数学期望存在，则:c X 的数学期望存在，且E(c X)=c E(X)性质3:若二维随机变量(X,Y)的分量X,Y 的数学期望都存在，则X+Y 的数学期望存在，且E(X+Y)=E(X)+E(Y)推论:若n 维随机变量（X 1,X 2,...,n X )的分量X 1,X 2,...,n X 的数学期望都存在，则X 1 + X 2 +...+n X 的数学期望存在，且)()( 11∑∑===ni i n i i X E X E性质4:若随机变量X,Y 相互独立，它们的数学期望都存在，则X •Y 的数学期望存在，且)(EY EX Y X E ⋅=⋅推论:若随机变量X 1,X 2,....,X n 相互独立，它们的数学期望都存在，则X 1X 2…X n 的数学期望存在,且)()(11i ni i n i X E X E ==∏=∏性质5:若随机变量只取非负值，又E(X)存在，则E(X)≥0。

若Y X ≤对任何∈ωS ，)(),(Y E X E 存在，则)()(Y E X E ≤。

特别地，若b a b X a ,,≤≤为常数，)(X E 存在，则b X E a ≤≤)(。

例8 P109例9 P110第一版例例4.14：设一批同类型的产品共有N 件，其中次品有M 件。

今从中任取n （假定n ≤N-M ）件，记这n 件中所含次品数为X ，求E （X ）。

三.综合性的例题（第一版） 例:设X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤+=其它010)(2x bxa x f ，其中a,b 为常数，且E （X ）=53。

求a,b 的值。

注意：f(x)中有几个未知数要建几个方程来求之。

例: 射击比赛规定：每位射手向目标独立重复射击四法子弹，全未中的0分，仅中一发得15分，恰中两发得30分，恰中三发得55分，全中得100分。

若某射手的命中率为0.6，求他得分的数学期望。

例:某水果商店，冬季每周购进一批苹果。

已知该店一周苹果销售量X(单位:kg)服从U[1000,2000]。

购进的苹果在一周内售出，1kg 获纯利1.5元；一周内没售出，1kg 需付耗损、储藏等费用0.3元。

问一周应购进多少千克苹果，商店才能获得最大的平均利润。

§4-2 方差一.方差的概念1、定义4.3:设随机变量X 的数学期望为E(X),若E(X-E(X))2存在，则称它为X 的方差（此时，也称X 的方差存在），记为D(X)或Var(X),即D(X)=E(X-E(X))2称D(X)的算术平方根D X （）为X 的标准差或均方差，记为)(X σ，即)()( X D X =σ由数学期望的性质5知，若随机变量X 的方差D(X)存在，则D(X)≥0。

简言之，方差是一个非负实数。

当X 服从某分布时，我们也称某分布的方差为D(X)。

2、计算方差（1）若X 是离散型随机变量，其分布律为p i =P(X=x i ),i=1,2,...,且D(X)存在，则))((D(X) 2i ∑-=ii p X E x（2）若X 是连续型随机变量，其概率密度为f(x),且D(X)存在，则)(E(X))-(x D(X) 2⎰∞∞-=dx x f（第一版）例1：设X ~B(1,p)，求D(X) 例2：设X ~N(μ,σ2)，求D(X) 例3：设X ~U[a,b]，求D(X)(3)D(X)=E(X 2)-(EX)2证明：P112. 例1 P112 例2 P112（第一版）例4：设X ~π(λ)，求D(X) 例5：已知X )3(~),2,10(~2πY N ，求)2(22Y X E +二.方差的性质性质1:若C 为常数，则D(C)=0性质2:若C 为常数,随机变量X 的方差存在，则CX 的方差存在，且 D(CX)=C 2D(X)证明由自己完成性质3:若随机变量X,Y 相互独立，它们的方差都存在，则X ±Y 的方差也存在，且D(X ±Y)=D(X)+D(Y)证明：P113推论:若随机变量X 1,X 2,…,X n 相互独立，它们的方差都存在，则X 1+X 2+...+X n 的方差存在，且 )()()(11n n X D X D X X D ++=++性质4:若随机变量X 的方差存在，对任意的常数C ≠E(X),则 D(X)=2)(EX X E - < E(X-C)2即函数g(C)=E(X-C)2在C=E(X)处达到最小值D(X)。

性质5若D(X)存在，则D(X)=0的充要条件是: P(X=E(X))=1例3 P113第一版例：例6：X 服从 B(n,p),求D(X).例7：某种商品每件表面上的疵点数X 服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点。

若规定表面不超过一个疵点的为一等品，价值十元，表面疵点数大于1不多于4的为二等品，价值8元。

某件表面疵点数是4个以上着为废品，求产品价值的均值和方差。

已知)8.0(~πX 设产品价值为Y V R ..(E 元03.938088.0101898.080222=⨯+⨯+=EX 8672.0)()()(22=-=∴X E X E X D例 ：设随机变量X 的方差D(X)存在,且D(X)>0令)()(X D X E X X-=*,其中E(X)是X 的数学期望，求)D(X )(**和X E 。

三．契比雪夫不等式(Chebyshev)契比雪夫不等式：设随机变量X 的方差D(X)存在，则对任意的ε>0，均有P{⎢X-E(X)⎪≥ε} ≤ 2)(εX D或等价地P{⎢X-E(X)⎪<ε}≥1-2)(εX D例：P{⎢X-E(X)⎪<3σ}≥0.8889P{⎢X-E(X)⎪<4σ}≥0.9375解：P{⎢X-E(X)⎪<3σ}≥1-22)3(σσ=1-91P{⎢X-E(X)⎪<4σ}≥1-161Data;A=8/9; put a=; A=15/16; put a=; Run;A=0.8888888889 A=0.9375§4.3 几种生要随机变量的数学期望与方差 P115这部分结果很重要，要牢记。

P117， 关于正态随机变量的三个重要数据：{})1()1(-Φ-Φ=+≤<-σμσμX P1)1(2-Φ==0.6826894921{})2()2(22-Φ-Φ=+≤<-σμσμX P1)2(2-Φ==0.9544997361{})3()3(33-Φ-Φ=+≤<-σμσμX P=1Φ)3(2-=0.9973002039SAS的两种计算公式：data;p1=PROBNORM(1)-PROBNORM(-1); put p1=;p2= PROBNORM(2)-PROBNORM(-2); put p2=;p3= PROBNORM(3)-PROBNORM(-3); put p3=;run;p1=0.6826894921p2=0.9544997361p3=0.9973002039data;p1=2*PROBNORM(1)-1; put p1=;p2=2*PROBNORM(2)-1; put p2=;p3=2*PROBNORM(3)-1; put p3=;run;p1=0.6826894921p2=0.9544997361p3=0.9973002039也可以验证数据，即以μ为中心，需要几倍的标准差σ距离所构成的区间，其区间内的概率为上述所示。