可靠性原理与方法 课堂作业1

91! 1!& 91&1! 91! 8!& 91&8! `` 7 + C91 ∙ p7 ∙
×0.011 × 1 − 0.01
``
91
+
91! $!& 91&$! 91!
×0.01$ × 1 − 0.01
`a
`9
+
91! Z!& 91&Z!
×0.018 × 1 − 0.01
`b
+
7!& 91&7!
×0.017 × 1 − 0.01
P A^0 = P A1 + P A$ + P A8 + P A7 + P AZ + P A0 1 $ 8 = C91 ∙ p1 ∙ 1 − p 91 + C91 ∙ p$ ∙ 1 − p `9 + C91 ∙ p8 ∙ 1 − p 0 Z 1 − p `a + C91 ∙ pZ ∙ 1 − p `b + C91 ∙ p0 ∙ 1 − p `0 =
f 10b = λ t = (2)
s ?
������������������ − (
s $1n ; $1n
$ CD $1n &$Z.$7ab 8 ) 8 1.87`8
= 1.6828×10&b
; ?
λ 10b =
=
$.b`8`×$1Jn 1.9$$0
= 1.8462×10&b
查表得Φ 2.33 = 0.9901
`0
+
×
0.01Z × 1 − 0.01
+
91! 0!& 91&0!
×0.010 × 1 − 0.01
= 0.4047 + 0.3679 + 0.1654 + 0.0490 + 0.0108 + 0.0019 = 0.9997
5. 某系统的平均无故障工作时间 θ = 1000h ， 在该系统 1500h 的工作期 内需要更换备件，现有 3 个备件供使用，问系统能够达到的可靠 度是多少？ 解： R t = e&>? ∙ R 1500 = e
习题一 071430212 高佩珩 1. 某零件工作到 50h 时，还有 100 个仍在工作，工作到 51h 时，失 效了 1 个，在 52h 内失效了 3 个。试求这批零件工作满 50h 和 51h 时的平均失效率 λ ( 50 ) ， λ (51) 。 解： λ ������ =
$ %&'()) $ %&'(01) $ %&'(0$)
(1 − ������ &|) )'&$ ������������ =
,ƒ &|) '! ������ $!& '&$ ! 1
(1 − ������ &|) )'&$ ������������ =
$ |
设 i=k 时成立：
„ ������' ,ƒ &„|) ������ 1
(1 − ������ &|) )'&„ ������������ =
×0.2$ × 1 − 0.2 ×0.28 × 1 − 0.2 ×0.27 × 1 − 0.2 ×0.2Z × 1 − 0.2
7 8 $ 1
= 0.4096 = 0.1536 = 0.0256 = 0.0016
4. 次品率为 1%的大批产品每箱 90 件， 今抽检一箱并进行全数检查， 求查出次品数不超过 5 的概率。 解：设事件AW 为抽得 i 件次品
CD; ?UJT >
=−
CD (SJT ) 1.7×$1JK
= 33333.33(h)
3. 有一大批产品，其次品率 p=0.2，抽检 n=4 件，求抽得次品数 k=0, 1, 2, 3, 4 的概率。 解：设事件AW 为抽得 i 件次品
1 P A 1 = CZ ∙ p1 ∙ 1 − p Z
=
Z! 1!& Z&1!
|y )∙• J€• 8
解得：������8 ������ = ������ ∙ ������ &|) + 由于：������8 0 = 0 因此：������8 ������ =
8
������ = 0
|y )∙• J€•
补 2： 证： 当 i=1 时：
$ ������' ,ƒ &|) ������ 1
CD ? &kl ) ml CD $1n &$Z.$7ab 1.87`8
R 10b = 1 − F 10b = 1 − Φ( = 1 − Φ(−1.35) = Φ(1.35) = 0.9115 f t =
$ )ml
)
������������������ − (
$ $1n ×1.87`8
$ CD ) &kl 8 ) 8 ml
D&$ (>?) fg1 f! &$011×
e
λ= ∙
Z&$ fg1
$ h
=
$ $111
(/h) = 0.9344
T TOOO
$011∙
e T TOOO
f!
2
6. 设某控制机构中的弹簧在稳定变应力作用下疲劳寿命服从对数正 态分布，当 Y = ln t N ( µY ,σ Y2 ) 时， µY = 14.1376,σ Y = 0.2382 。在工作条 件下该弹簧经受 106 应力循环次数后立即更换， 试问更换前的失效 率为多少，若要保证可靠度为 0.99，则需要在多少循环次数前更 换？ 解： (1) R t = 1 − F t = 1 − Φ(
,ƒ &(„,$)|) '! ������ „,$!& '&„,$ ! 1
(1 − ������ &|) )'&„,$ ������������ =
5
= 1 − Φ −4 = Φ 4 ≈ 1
������������������ − (
$ CD ) &kt 8 ) 8 mt $ CD $ &b 8 ) 8 $.0 s $ ; $
$ $×$.0 s ? ; ?
������������������ − ( λ 1 =
= 2.2364×10&Z
$
=
8.87bZ×$1JK
= 2.2364×10&Z
P 1 = 1 − λ 1 = 0.99978
4
补 1： 证： 由 Pv ������ + ������������ = Pv ������ − ������������������ Pv ������ − Pv&$ ������ P8 ������ + ������������ = P8 ������ − ������������������ P8 ������ − P$ ������
xy ),z) &xy ) z)
得：
= ������������������ P$ ������ − P8 ������
因为：������$ ������ = ������������ ∙ ������ &|) 所以：
z}y ) z)
+ ������������8 ������ = ������8 ������ ∙ ������ &|)
CD ? &$Z.$7ab 1.87`8
= −2.33
ln t = −2.33×0.2382 + 14.1376 = 14.6926 t = e$Z.b98b = 792.21×107 (次)
7. 某设备的正常运行时间 t 服从对数正态分布， 其均值为 µt=6 （月） ，
3
标准差为 σ t =1.5（月） 。若要求在任何时间内一台设备能处于运行 状态的概率至少为 0.9，则， （1） 每台设备应计划在多长时间内维修一次？ （2） 如果某一设备在计划维修时间内仍处于良好运行状态，那么 在不经维修的情况下，该设备能再运行 1 个月的概率是多少？ 解： (1) R t = 1 − F t = 1 − Φ( 查表得Φ 1.29 = 0.9015
CD ? &b $.0 CD ? &kt ) mt
= −1.29
ln t = −1.29×1.5 + 6 = 4.065 t = eZ.1b0 = 58.26(月) (2) λ t =
s(?) ;(?) CD $ &b $.0
Байду номын сангаас
R 1 =1−F 1 =1−Φ f t = f 1 = λ t =
$ )mt
×0.21 × 1 − 0.2
Z
= 0.4096
1
$ P A$ = C Z ∙ p$ ∙ 1 − p 8 P A 8 = CZ ∙ p8 ∙ 1 − p 7 P A 7 = CZ ∙ p7 ∙ 1 − p Z P A Z = CZ ∙ pZ ∙ 1 − p
7 8 $ 1
= = = =
Z! $!& Z&$! Z! 8!& Z&8! Z! 7!& Z&7! Z! Z!& Z&Z!
−1
解： t ; = R&$ R t 99.9% = − t 01.1% = − t SJT = −
> CD; ?NO.O% >
R t = e&>? =− =−
lnR t ; = −λt ; = 33.35(h) = 23104.9(h)
t; = −
CD;(?E ) >
CD; ?HH.H%
CD (99.9%) 1.7×$1JK CD (01.1%) 1.7×$1JK
,ƒ &„|) ������ 1 „!& '&„ ! '!
(1 − ������ &|) )'&„ ������������ =
$ „|
当 i=k+1 时：
„,$ ������' $ („,$)| ,ƒ &„,$|) ������ 1
(1 − ������ &|) )'&„,$ ������������ =
∙
' ),∆) &'()) ∆)
λ 50 = ������ 51 =
∙ ∙
' 01,$ &' 01 $ ' 0$,$ &' 0$ $
= =
$ $11 $
×
$&1 $
=
$
$ $11
(/ℎ) (/ℎ)
$11&$
×
7&$
=
8 99
2. 已知某产品的失效率为常数， λ (t ) = λ = 0.3 ×10−4 h −1 ，可靠度函数为 试求可靠度 R=99.9%的相应可靠寿命 t0.999 ， 中位寿命 t0.5 R ( t ) = e − λt 。 和特征寿命 te 。