弹塑性力学-07 直角坐标

1 E
(
x
1 E
(
y
1 G
xy
y )
x ) 2(1
E
)
xy
7.2 基本方程-平面应力问题
4. 协调方程
x
u x
,
y
v y
,
xy
u y
v x
2 x
y2
2 y
x2
3u xy2
3v yx2
2 xy
u y
v x
2 xy
xy
2 x
y 2
2 y
x2
2 xy
xy
7.2 基本方程-平面应力问题
Laplace方程
平面问题直角坐标解法
第 七
章 平面问题直角坐标解法
Orthogonal Coordinate Solution of Plane Problem
弹性力学基本方程
1. 平衡方程 2. 几何方程 3. 本构方程 4. 应力边界条件 5. 位移边界条件
ij, j fi 0
ij
1 2
(ui,
j
u j,i )
ij ij 2Gij
x (x, y) u u(x, y)
y (x, y)
xy(x, y) v v(x, y)
7.1 基本概念
1. 平面应力问题
结构内部只存在xy平面内的3个应力分量
x 、 y 、 xy
而
z yz zx 0
7.1 基本概念 1. 平面应力问题
o
x
z
y
y
薄板受面内荷载作用
7.1 基本概念
n j ij pi
ui ui
平面问题直角坐标解法
7.1 基本概念 7.2 基本方程 7.3 应力解法 7.4 典型例解
7.1 基本概念
结构尺寸及荷载沿某个方向不变且具有
特殊的边界条件，从而结构内部的应力和应
变就与该坐标无关，而只是另外两个坐标的
函数。
与 z 坐标无关
x (x, y) y (x, y) xy(x, y)
2. 几何方程
x
u x
,
y
v y
,
z
w z
,
xy yz
u y v z
v x w y
zx
w x
u z
与平面应力问题相同
x
u x
y
v y
xy
u y
v x
7.2 基本方程-平面应变问题
3. 本构方程
x
1 E
[ x
(
y
z )]
y
1 E
[
y
( z
x)]
z
1 E
[ z
( x
7.1 基本概念 2. 平面应变问题
挡土墙 边坡 地基 隧道
挡土墙
x
y
7.1 基本概念
x
1 E
[ x
( y
z)]
y
1 E
[
y
( z只 应考 力虑 和x )]面 应内 变
z
1 E
[ z
( x
y )]
xy yz zx
1
G 1
G 1
G
xy
yz
zx
yz zx 0 z ( x y )
1 E
(
x
1 E
(
y
1 G
xy
y x
) )
E
12
1
E
7.2 基本方程-平面应变问题
4. 协调方程
平面应力
1
2 x2
2 y 2
( x
y)
(1
)
X x
Y y
平面应变
2 x2
2 y 2
( x
y)
1
1
X x
Y y
7.2 基本方程-平面应变问题
5. 边界条件
所有边界的 外法线均与 Z轴垂直
7.1 基本概念 3. 平面问题
只需考虑平面内的应力和应变
x 、 y 、 xy x 、 y 、 xy
其他应力和应变要么为零，要么不独立！
弹性力学平面问题
7.1 基本概念 7.2 基本方程 7.3 应力解法 7.4 典型例解
7.2 基本方程-平面应力问题
1. 平衡方程
z yz zx 0
x
1 E
[ x
( y
z)]
y
1 E
[
y
只考虑面内
( z应力和x )]应变
z
1 E
[ z
( x
y )]
xy yz zx
1
G 1
G 1
G
xy
yz
zx
yz zx 0
z
E
( x
y)
6.1 基本概念
2. 平面应变ຫໍສະໝຸດ Baidu题
结构内部只存在xy平面内的3个应变分量
x 、 y 、 xy
而
z yz zx 0
v x w y
zx
w x
u z
z
E
( x
y)
x
u x
y
v y
xy
u y
v x
7.2 基本方程-平面应力问题
3. 本构方程
x
1 E
[
x
(
y
z )]
xy
1 G
xy
y
1 E
[
y
( z
x )]
yz
1
G
yz
z
1 E
[ z
( x
y )]
zx
1 G
zx
x y xy
n0
yz zx 0
l x l xy
m yx m y
n zx n zy
X Y
l xz
m yz
n z
Z
l x m yx X
l xy
m
y
Y
与平面应力问题相同
7.2 基本方程
常体力问题
x
x
yx
y
X
0
xy
y
Y
0
x y
2( x y ) 0
平面应变问 题平面应力
问题相同
y )]
xy
1 G
xy
yz
1
G
yz
zx
1 G
zx
z ( x y )
7.2 基本方程-平面应变问题
3. 本构方程
x y xy
12
E
12
E
1
G
xy
( (
x
1
y
y
1
x
2(1 E
)
xy
) )
与平面 应力问 题不同
7.2 基本方程-平面应变问题
3. 本构方程
平面应力问题
x y xy
4. 协调方程
2 x
y 2
2 y
x2
2 xy
xy
x y xy
1 E
(
x
1 E
(
y
1 G
x
y
y )
x ) 2(1
E
)
xy
将本构方程代入上式
2 x2
2 y 2
( x
y)
(1
)
X x
Y y
7.2 基本方程-平面应力问题
5. 边界条件 应力边界
所有边界的 外法线均与 Z轴垂直
l x l xy
m yx m y
n zx n zy
X Y
l
xz
m
yz
n
z
Z
n 0 l x m yx X
yz zx 0
l xy
m
y
Y
7.2 基本方程-平面应力问题 5. 边界条件
应力边界
l x m yx X
l xy
m y
Y
位移边界
u u vv
7.2 基本方程-平面应变问题
1. 平衡方程
x yx zx X 0
x y z
xy y zy Y 0
x y z
xz yz z Z 0
x y z
yz zx 0
x yx X 0
x y
xy y Y 0
x y
z ( x y ) 与平面应力问题相同
7.2 基本方程-平面应变问题
x yx zx X 0
x y z
xy y zy Y 0
x y z
x yx X 0
x y
xz yz z Z 0
x y z
xy y Y 0
x y
7.2 基本方程-平面应力问题
2. 几何方程
x
u x
,
y
v y
,
z
w z
,
xy yz
u y v z