专升本高数知识点汇总

第一讲

函数、极限、连续

1、基本初等函数的定义域、值域、图像，尤其是图像包含了函数的所有信息。

2、函数的性质，奇偶性、有界性

奇函数：，图像关于原点对称。偶函数：

，图像关于

y 轴对称

3、无穷小量、无穷大量、阶的比较设

是自变量同一变化过程中的两个无穷小量，则

（1）若，则是比高阶的无穷小量。（2）若

（不为0），则

与是同阶无穷小量特别地，若

，则与是等价无穷小量

（3）若

，则

与是低阶无穷小量记忆方法：看谁趋向于0的速度快，谁就趋向于

0的本领高。

4、两个重要极限（1）

使用方法：拼凑

，一定保证拼凑sin 后面和分母保持一致

（2）

使用方法1后面一定是一个无穷小量并且和指数互为倒数，不满足条件得拼凑。

)()(x f x f )()

(x f x f βα，0β

α

lim αβc β

αlim

α

β1β

αlim

αββ

αlim

α

β1

x x x

x x

x

sin lim

sin lim

sin

lim

sin

lim

e

x x

x

x x

x

1

111)

(lim lim e

1

01

)(lim

5、的最高次幂是

n,的最高次幂是m.,只比较最高次幂，谁的次幂高，谁的头大，趋向于无穷

大的速度快。,以相同的比例趋向于无穷大；，分母以更快的速度趋向于无穷大；，

分子以更快的速度趋向于无穷大。

7、左右极限

左极限：右极限：

注：此条件主要应用在分段函数分段点处的极限求解。8、连续、间断

连续的定义：

或间断：使得连续定义

无法成立的三种情况

记忆方法：1、右边不存在2、左边不存在

3、左右都存在，但不相等

9、间断点类型

（1）、第二类间断点：、至少有一个不存在（2）、第一类间断点：

、都存在

注：在应用时，先判断是不是“第二类间断点”

，左右只要有一个不存在，就是“第二类”然后再判断是不是第一类间断点；左右相等是“可去”

，左右不等是“跳跃”

10、闭区间上连续函数的性质

m

n

m n

m n b a X

Q x P m n x

,,,lim

000

x

P n x

Q m m n m n m n A x f x x

)

(lim 0

A

x f x

x

)(lim 0

A

x f x f A x f x x

x x

x

x )

(lim )

(lim )(lim 0

充分必要条件是

)()(lim lim

00

x f x x f y

x x

)

()

(lim

00

x f x f x x

)()(lim 00

x f x f x

x )

()(lim )(lim )()(0000

x f x f x f x f x f x

x x

x 不存在无意义

不存在，)(lim 0

x f x x )(lim 0

x f x

x )(lim 0

x f x x

)(lim 0

x f x x

)(lim )

(lim )(lim )

(lim 0

x f x f x f x f x

x x

x x

x x

x 跳跃间断点：可去间断点：

（1）最值定理：如果在上连续，则

在上必有最大值最小值。

（2）

零点定理：如果在上连续，且

，则在内至少

存在一点

，使得

第三讲中值定理及导数的应用

1、罗尔定理

如果函数

满足：

（1）在闭区间上连续；（2）在开区间（a,b ）内可导；（3），

则在(a,b)内至少存在一点

，使得

记忆方法：脑海里记着一幅图：

2、拉格朗日定理

如果

满足（

1）在闭区间

上连续

（2）在开区间（a,b ）内可导；

则在(a,b)内至少存在一点，使得

脑海里记着一幅图：

（*）推论 1 ：如果函数在闭区间上连续，在开区间（a,b ）内可导，且

，

那么在

内=C 恒为常数。

)(x f b

a,)(x f b

a,)(x f b a,0)()(b f a f )(x f b

a,0

)

(f )(x f y

b a,)()(b f a f 0

)(f )(x f y b

a,a

b

a f

b f f )()()

(b

)(x f y b

a,0)(x f ),(b a )(x f a

b