2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第5章数列 5-3a含解析

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高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第5章数列5-4aWord版含解析

[重点保分两级优选练]A 级一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则a n＋100＋a n －98＝( )A ．8n ＋6B ．4n ＋1C ．8n ＋3D ．4n ＋3 答案 A解析设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，由S 2＝10，S 5＝55，可得⎩⎨⎧2a 1＋2(2－1)2d ＝10，5a 1＋5(5－1)2d ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1，则a n ＋100＋a n －98＝2a n＋1＝8n ＋6.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 B解析由S 33－S 22＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d 2＝1，所以d ＝2.故选B.3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n＝7n n ＋3，则a 5b 5＝( )A.23B.278 C ．7 D.214 答案 D解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.故选D.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．102 答案 B解析由题意，得a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前项的和等于( )A ．1512B ．1513C ．1513.5D ．答案 C解析因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝2k －1(k ∈N *)，1，n ＝2k (k ∈N *)，故数列的前项的和S ＝1009×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝1513.5.故选C.6．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B.12(9n－1) C ．9n －1 D.14(3n －1)答案 B解析因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)．则n ≥2时，a n ＝2×3n －1.当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．则数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．故选B.7．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝ 2 (n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 的值为( )A.20142015B.20152016C.20162017D.20172018 答案 D解析直线与x 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，与y 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2n ＋1，∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12017－12018＝1－12018＝20172018 .故选D.8．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29 答案 C解析设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 3a 5＝a 21q 6＝14a 1，得a 1q 6＝14，即a 7＝14.又a 4＋a 7＝2×98，解得a 4＝2，所以q 3＝a 7a 4＝18，所以q＝12，a 1＝16，故S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1321－12＝31.故选C.9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a <0B ．若a 4>0，则a <0C ．若a 3>0，则S >0D ．若a 4>0，则S >0 答案 C解析等比数列{a n }的公比q ≠0.对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a ＝a 1q >0，所以A 不成立；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a ＝a 1q >0，所以B 不成立；对于C ，若a 3>0，则a 1＝a 3q 2>0，所以当q ＝1时，S >0，当q ≠1时，S ＝a 1(1－q 2017)1－q >0(1－q 与1－q 同号)，所以C 一定成立，易知D 不一定成立．故选C.10．(·江西九校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A ．1 B.22 C ．－22 D ．－3 答案 D解析 {a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 36＝(3)3,3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3，∴tanb 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 61－a 26＝tan 2×7π31－(3)2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3 .故选D.二、填空题11．S n ＝1＋11＋111＋…＋＝________.答案 10n ＋1－9n －108112．数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋2a2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝________.答案 23＋13×42018解析由题意可知n ＋1a n ＋1＝34＋14 ·n a n ⇒n ＋1a n ＋1－1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n －1，又1a 1－1＝－14，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n －1是以－14为首项，以14为公比的等比数列，所以n a n＝1－14n ，所以1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n＝n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝n －13＋13·14n ，则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝－13＋13×142018＝23＋13×42018.13．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．答案 32解析 ∵6＋(－5)＝1，∴f (－5)，f (－4)，…，f (5)，f (6)共有11＋1＝12项．由f (－5)，f (6)；f (－4)，f (5)；…；f (0)，f (1)共有6对，且该数列为等差数列．又f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝11＋2＋12(1＋2)＝2＋12(1＋2)＝12＝22，∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (6)＝6×22＝3 2.14．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋12，a n 是奇数，3a n －1，a n 是偶数且S 3＝10，则S ＝________.答案 6720解析当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝a 1＋12＋12＝a 1＋34，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋a 1＋34＝7a 1＋54＝10，解得a 1＝5，此时数列{a n }为5,3,2,5,3,2，….当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为偶数，则a 3＝3a 2－1＝3(a 1＋1)2－1＝3a 1＋12，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋3a 1＋12＝3a 1＋1＝10，解得a 1＝3，此时数列{a n }为3,2,5,3,2,5，….当a 1为偶数时，a 2＝3a 1－1，此时a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝(3a 1－1)＋12＝3a 12，∴S 3＝a 1＋3a 1－1＋3a 12＝112a a 1－1＝10，解得a 1＝2，此时数列{a n }为2,5,3,2,5,3，….上述三种情况中，数列{a n }均为周期数列．∵672×3＝，∴S ＝672S 3＝6720.B 级三、解答题15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4. (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .解 (1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，即S n ＝2S n－1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]，又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4(1－2n )1－2＋n (n ＋1)2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82. 16．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，a 2－1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝log 2b n b n－1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，所以a 2n ＝2S n －1＋n －1＋4(n ≥2)，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1，所以a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2，所以a n ＋1－a n ＝1.又a 23＝(a 2－1)a 7，所以(a 2＋1)2＝(a 2－1)(a 2＋5)，解得a 2＝3，又a 22＝2a 1＋1＋4，所以a 1＝2，所以{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ＋1.故b 1＝2，b 2＝4，b 3＝8，所以b n ＝2n .(2)由(1)得，c n ＝n 2n －1(n ＋1)(n ＋2)，故T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋24＋…＋n 2n －⎣⎢⎡12×3＋13×4＋…＋⎦⎥⎤1(n ＋1)(n ＋2).设F n ＝12＋24＋…＋n 2n ，则12F n ＝122＋223＋…＋n 2n ＋1，作差得12F n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1，所以F n ＝2－n ＋22n .设G n ＝12×3＋13×4＋…＋1(n ＋1)(n ＋2)＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2，所以T n ＝2－n ＋22n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＝32－n ＋22n ＋1n ＋2.17．(·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n an 的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n . (2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1.令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .18．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1，a 5的等比中项为16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16， a 3－a 2＝8，则a 2＝8，q ＝2，a 1＝4，所以a n ＝2n ＋1. (2)b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (n ＋3)4. 1S n ＝4n (n ＋3)＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3，所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n －1n ＋3＝43⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n＋1－1n＋2－1n＋3＝43×116－43×⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＝229－43×⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3.当n＝1时，1S1＝1<2<229；当n≥2时，1S1＋1S2＋…＋1S n＝229－43⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3<229<3.故存在k＝3时，对任意的n∈N*都有1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n<3.。

教育最新K122019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第5章数列 5-4a

[重点保分两级优选练]A 级一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则a n ＋100＋a n －98＝( )A ．8n ＋6B ．4n ＋1C ．8n ＋3D ．4n ＋3 答案 A解析设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，由S 2＝10，S 5＝55，可得⎩⎨⎧2a 1＋2(2－1)2d ＝10，5a 1＋5(5－1)2d ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1，则a n ＋100＋a n －98＝2a n＋1＝8n ＋6.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A ．1B ．2C ．4D ．6 答案 B解析由S 33－S 22＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d 2＝1，所以d ＝2.故选B.3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n＝7n n ＋3，则a 5b 5＝( )A.23B.278 C ．7 D.214 答案 D解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.故选D.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．102 答案 B解析由题意，得a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2018项的和等于( )A ．1512B ．1513C ．1513.5D ．2018 答案 C解析因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝2k －1(k ∈N *)，1，n ＝2k (k ∈N *)，故数列的前2018项的和S 2018＝1009×⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝1513.5.故选C.6．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n－1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n－1)2B.12(9n－1) C ．9n －1 D.14(3n －1)答案 B解析因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n－1－1(n ≥2)．则n ≥2时，a n ＝2×3n －1.当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．则数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．故选B.7．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2017的值为( )A.20142015B.20152016C.20162017D.20172018 答案 D解析直线与x 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，与y 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2n ＋1，∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ∴原式＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12017－12018＝1－12018＝20172018.故选D.8．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29 答案 C解析设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 3a 5＝a 21q 6＝14a 1，得a 1q 6＝14，即a 7＝14.又a 4＋a 7＝2×98，解得a 4＝2，所以q 3＝a 7a 4＝18，所以q＝12，a 1＝16，故S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1321－12＝31.故选C.9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2017<0B ．若a 4>0，则a 2018<0C ．若a 3>0，则S 2017>0D ．若a 4>0，则S 2018>0 答案 C解析等比数列{a n }的公比q ≠0.对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a 2017＝a 1q 2016>0，所以A 不成立；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a 2018＝a 1q 2017>0，所以B 不成立；对于C ，若a 3>0，则a 1＝a 3q 2>0，所以当q ＝1时，S 2017>0，当q ≠1时，S 2017＝a 1(1－q 2017)1－q >0(1－q 与1－q 2017同号)，所以C 一定成立，易知D 不一定成立．故选C.10．(2017·江西九校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( )A ．1 B.22 C ．－22 D ．－3 答案 D解析 {a n }是等比数列，{b n }是等差数列，且a 1·a 6·a 11＝33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，∴a 36＝(3)3,3b 6＝7π，∴a 6＝3，b 6＝7π3，∴tanb 3＋b 91－a 4·a 8＝tan 2b 61－a 26＝tan 2×7π31－(3)2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π－π3＝－tan π3＝－ 3.故选D.二、填空题11．S n ＝1＋11＋111＋…＋＝________.答案 10n ＋1－9n －108112．数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋2a2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝________.答案 201723＋13×42018解析由题意可知n ＋1a n ＋1＝34＋14·n a n ⇒n ＋1a n ＋1－1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n －1，又1a 1－1＝－14，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n －1是以－14为首项，以14为公比的等比数列，所以n a n＝1－14n ，所以1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n＝n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝n －13＋13·14n ，则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝2018－13＋13×142018＝201723＋13×42018.13．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．答案 3 2解析 ∵6＋(－5)＝1，∴f (－5)，f (－4)，…，f (5)，f (6)共有11＋1＝12项．由f (－5)，f (6)；f (－4)，f (5)；…；f (0)，f (1)共有6对，且该数列为等差数列．又f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝11＋2＋12(1＋2)＝2＋12(1＋2)＝12＝22， ∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (6)＝6×22＝3 2.14．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋12，a n 是奇数，3a n －1，a n 是偶数且S 3＝10，则S 2016＝________.答案 6720解析当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝a 1＋12＋12＝a 1＋34，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋a 1＋34＝7a 1＋54＝10，解得a 1＝5，此时数列{a n }为5,3,2,5,3,2，….当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为偶数，则a 3＝3a 2－1＝3(a 1＋1)2－1＝3a 1＋12，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋3a 1＋12＝3a 1＋1＝10，解得a 1＝3，此时数列{a n }为3,2,5,3,2,5，….当a 1为偶数时，a 2＝3a 1－1，此时a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝(3a 1－1)＋12＝3a 12，∴S 3＝a 1＋3a 1－1＋3a 12＝112a 1－1＝10，解得a 1＝2，此时数列{a n }为2,5,3,2,5,3，….上述三种情况中，数列{a n }均为周期数列．∵672×3＝2016，∴S 2016＝672S 3＝6720.B 级三、解答题15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4. (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .解 (1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，即S n ＝2S n－1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]，又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4(1－2n)1－2＋n (n ＋1)2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82. 16．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，a 2－1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝log 2b n b n－1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，所以a 2n ＝2S n －1＋n －1＋4(n ≥2)，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1，所以a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n＋1)2，所以a n ＋1－a n ＝1.又a 23＝(a 2－1)a 7，所以(a 2＋1)2＝(a 2－1)(a 2＋5)，解得a 2＝3，又a 22＝2a 1＋1＋4，所以a 1＝2，所以{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ＋1.故b 1＝2，b 2＝4，b 3＝8，所以b n ＝2n .(2)由(1)得，c n ＝n 2n －1(n ＋1)(n ＋2)，故T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋24＋…＋n 2n －⎣⎢⎡12×3＋13×4＋…＋⎦⎥⎤1(n ＋1)(n ＋2).设F n ＝12＋24＋…＋n 2n ，则12F n ＝122＋223＋…＋n 2＋，作差得12F n ＝12＋122＋…＋12n －n 2＋，所以F n ＝2－n ＋22n .设G n ＝12×3＋13×4＋…＋1(n ＋1)(n ＋2)＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2，所以T n ＝2－n ＋22n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＝32－n ＋22n ＋1n ＋2.17．(2017·山东高考)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝6，a 1a 2＝a 3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2){b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n .已知S 2n ＋1＝b n b n＋1，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和T n . 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题意知a 1(1＋q )＝6，a 21q ＝a 1q 2，又a n >0，由以上两式联立方程组解得a 1＝2，q ＝2，所以a n ＝2n . (2)由题意知S 2n ＋1＝(2n ＋1)(b 1＋b 2n ＋1)2＝(2n ＋1)b n ＋1，又S 2n ＋1＝b n b n ＋1，b n ＋1≠0，所以b n ＝2n ＋1. 令c n ＝b na n ，则c n ＝2n ＋12n .因此T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝32＋522＋723＋…＋2n －12n －1＋2n ＋12n ，又12T n ＝322＋523＋724＋…＋2n －12n ＋2n ＋12n ＋1，两式相减得12T n ＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋122＋…＋12n －1－2n ＋12n ＋1，所以T n ＝5－2n ＋52n .18．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1，a 5的等比中项为16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数k ，使得1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16， a 3－a 2＝8，则a 2＝8，q ＝2，a 1＝4，所以a n ＝2n ＋1. (2)b n ＝log 42n ＋1＝n ＋12，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (n ＋3)4. 1S n ＝4n (n ＋3)＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋3，所以1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n＝43⎝⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n－1n＋3＝43⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n＋1－1n＋2－1n＋3＝43×116－43×⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＝229－43×⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3.当n＝1时，1S1＝1<2<229；当n≥2时，1S1＋1S2＋…＋1S n＝229－43⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3<229<3.故存在k＝3时，对任意的n∈N*都有1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n<3.。

【K12教育学习资料】2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第5章数列5-1a

[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·海南三亚一模)在数列1,2，7，10，13，…中，219是这个数列的( )A ．第16项B ．第24项C ．第26项D ．第28项答案 C解析设题中数列为{a n }，则a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令3n －2＝219＝76，解得n ＝26.故选C.2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n＝n 2，则a 3＋a 5＝ ( )A.6116B.259C.2516D.3115 答案 A解析解法一：令n ＝2,3,4,5，分别求出a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.故选A.解法二：当n ≥2时，a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝(n －1)2.两式相除得a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n n －12，∴a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.故选A.3．(2018·安徽江南十校联考)在数列{a n }中，a n ＋1－a n ＝2，S n 为{a n }的前n 项和．若S 10＝50，则数列{a n ＋a n ＋1}的前10项和为( )A ．100B ．110C ．120D ．130 答案 C解析 {a n ＋a n ＋1}的前10项和为a 1＋a 2＋a 2＋a 3＋…＋a 10＋a 11＝2(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋a 11－a 1＝2S 10＋10×2＝120.故选C.4．(2018·广东测试)设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．3(3n －2n )B ．3n ＋2C ．3nD ．3·2n －1答案 C解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝S 1＝32(a 1－1)，a 1＋a 2＝32(a 2－1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，a 2＝9，代入选项逐一检验，只有C 符合．故选C.5．(2018·金版原创)对于数列{a n }，“a n ＋1>|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 B解析当a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)时，∵|a n |≥a n ，∴a n ＋1＞a n ，∴{a n }为递增数列．当{a n }为递增数列时，若该数列为－2,0,1，则a 2＞|a 1|不成立，即a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)不一定成立．故综上知，“a n ＋1＞|a n |(n ＝1,2，…)”是“{a n }为递增数列”的充分不必要条件．故选B.6．(2018·广东三校期末)已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n ∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1413－a 1314＝( )A ．－27 B.27 C ．－37 D.37 答案 D解析 a 1＝17，a 2＝72×17×67＝37，a 3＝72×37×47＝67，a 4＝72×67×17＝37，….归纳可知当n 为大于1的奇数时，a n ＝67；当n 为正偶数时，a n＝37.故a 1413－a 1314＝37.故选D.7．(2018·江西期末)定义np 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若已知数列{a n }的前n 项的“均倒数”为15n ，又b n ＝a n5.则b 10等于( )A ．15B ．17C ．19D ．21 答案 C解析由n a 1＋a 2＋…＋a n＝15n 得S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝5n 2，则S n－1＝5(n －1)2(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝10n －5(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝5也满足．故a n ＝10n －5，b n ＝2n －1，b 10＝2×10－1＝19.故选C.8．(2018·西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x ＋2，x ≤2，a 2x 2－9x ＋11，x >2(a >0且a ≠1)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1) B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫83，3 C ．(2,3) D ．(1,3) 答案 C解析因为{a n }是递增数列，所以 ⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，(3－a )×2＋2<a 2×32－9×3＋11，解得2<a <3，所以实数a的取值范围是(2,3)．故选C.9．对于数列{x n }，若对任意n ∈N *，都有x n ＋x n ＋22<x n ＋1成立，则称数列{x n }为“减差数列”．设b n ＝2t －tn －12n －1，若数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，则实数t 的取值范围是( )A ．(－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1]答案 C解析由数列b 3，b 4，b 5，…是“减差数列”，得b n ＋b n ＋22<b n ＋1(n ≥3)，即t －tn －12n ＋t －t (n ＋2)－12n ＋2<2t －t (n ＋1)－12n ，即tn －12n ＋t (n ＋2)－12n ＋2>t (n ＋1)－12n . 化简得t (n －2)>1.当n ≥3时，若t (n －2)>1恒成立，则t >1n －2恒成立，又当n ≥3时，1n －2的最大值为1，则t 的取值范围是(1，＋∞)．故选C.10．(2018·湖北八校模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－32λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( )A ．λ＜45B ．λ＜1C ．λ＜32D ．λ＜23 答案 A解析 ∵数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，∴a n >0，1a n ＋1＝2a n＋1，则1a n ＋1＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是等比数列，且首项为1a 1＋1＝2，公比为2，∴1a n＋1＝2n .∴b n ＋1＝(n －2λ)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋1＝(n －2λ)·2n (n ∈N *)， ∴b n ＝(n －1－2λ)·2n －1(n ≥2)， ∵数列{b n }是单调递增数列， ∴b n ＋1＞b n ，∴(n －2λ)·2n ＞(n －1－2λ)·2n －1(n ≥2)，可得λ<n ＋12(n ≥2)，∴λ<32，又当n ＝1时，b 2>b 1， ∴(1－2λ)·2>－32λ，解得λ<45，综上，λ的取值范围是λ<45.故选A. 二、填空题11．(2018·厦门海沧实验中学联考)若数列{a n }满足a 1·a 2·a 3·…·a n＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．答案a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *解析 a 1·a 2·a 3·…·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，当n ＝1时，a 1＝6；当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 1·a 2·a 3·…·a n －1·a n ＝(n ＋1)(n ＋2)，a 1·a 2·a 3·…·a n －1＝n (n ＋1)，故当n ≥2时，a n ＝n ＋2n ，所以a n ＝⎩⎨⎧6，n ＝1，n ＋2n，n ≥2，n ∈N *.12．(2017·湖北襄阳优质高中联考)若a 1＝1，对任意的n ∈N *，都有a n >0，且na 2n ＋1－(2n －1)a n ＋1a n －2a 2n ＝0.设M (x )表示整数x 的个位数字，则M (a 2017)＝________.答案 6解析由已知得(na n ＋1＋a n )(a n ＋1－2a n )＝0， ∵a n ＞0，∴a n ＋1－2a n ＝0，则a n ＋1a n＝2，∵a 1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴a n ＝1×2n －1＝2n －1.∴a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，a 5＝16，a 6＝32，a 7＝64，a 8＝128，…，∴n ≥2时，M (a n )依次构成以4为周期的数列．∴M (a 2017)＝M (a 5)＝6，故答案为6.13．(2017·吉林模拟)若数列{a n }满足a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2且n ∈N *)，则a 2016等于________．答案 2解析 ∵a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2且n ∈N *)，∴a 2＝1－1a 1＝1－112＝－1，∴a 3＝1－1a 2＝1－1－1＝2，∴a 4＝1－1a3＝1－12＝12，…，依此类推，可得a n ＋3＝a n ，∴a 2016＝a 671×3＋3＝a 3＝2.14．(2017·河南测试)已知各项均为正数的数列{a n }满足a n ＋1＝a n2＋14，a 1＝72，S n 为数列{a n }的前n 项和，若对于任意的n ∈N *，不等式12k 12＋n －2S n≥2n －3恒成立，则实数k 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫38，＋∞ 解析由a n ＋1＝12a n ＋14，得a n ＋1－12＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n －12，且a 1－12＝3，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是以3为首项，12为公比的等比数列，则a n －12＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以a n ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12，所以S n ＝3×( 120＋12＋122＋…＋12n －1 )＋n2＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋n 2，则12＋n －2S n ＝122n .因为不等式12k12＋n －2S n＝k ·2n ≥2n －3，n ∈N *恒成立，所以k ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －32n max ，n ∈N *.令2n －32n ＝b n ，则b n ＋1－b n ＝2n －12n ＋1－2n －32n ＝5－2n 2n ＋1，则b 1<b 2<b 3>b 4>…，所以(b n )max ＝b 3＝38，故k ≥38.三、解答题15．(2017·河南百校联盟模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意正整数n 都有a n ＝34S n ＋2成立．记b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的通项公式．解在a n ＝34S n ＋2中，令n ＝1，得a 1＝8.因为对任意正整数n 都有a n ＝34S n ＋2成立，所以a n ＋1＝34S n ＋1＋2，两式相减得a n ＋1－a n ＝34a n ＋1，所以a n ＋1＝4a n ，又a 1＝8，所以{a n }是首项为8，公比为4的等比数列，所以a n＝8×4n －1＝22n ＋1，所以b n ＝log 222n ＋1＝2n ＋1.16．(2015·四川高考)设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|<11000成立的n 的最小值．解 (1)由已知S n ＝2a n －a 1，有 a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n＝2a n－1(n≥2)．从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，即a1＋a3＝2(a2＋1)．所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.所以数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列．故a n＝2n.(2)由(1)得1a n＝12n，所以T n＝12＋122＋…＋12n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫12n1－12＝1－1 2n.由|T n－1|<11000，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12n－1<11000，即2n>1000.因为29＝512<1000<1024＝210，所以n≥10.于是，使|T n－1|<11000成立的n的最小值为10.。

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2019版高考数学(理)一轮狂刷练：第5章数列5-4a含解析

2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第5章数列 5-2a Word版含解析

[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3＝6，S3＝12，则a10等于()A．18 B．20 C．16 D．22答案 B解析由题意得S3＝3a2＝12，解得a2＝4，所以公差d＝a3－a2＝2，a10＝a3＋7d＝20.故选B.2．(2018·武汉调研)若等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4＝4，S6＝12，则S2＝()A．－1 B．0 C．1 D．3答案 B解析{a n}为等差数列，则S2，S4－S2，S6－S4也是等差数列，所以2(4－S2)＝S2＋(12－4)⇒S2＝0.故选B.3．(2018·郑州质检)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？()A．18 B．20 C．21 D．25答案 C解析织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n}，a1＝5，前30项和为390，于是30(5＋a30)2＝390，解得a30＝21，即该织女最后一天织21尺布．故选C.4．已知等差数列{a n }的前10项和为30，a 6＝8，则a 100＝( ) A ．100 B ．958 C ．948 D ．18 答案 C解析设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝8，10a 1＋10×92d ＝30，解得⎩⎨⎧a 1＝－42，d ＝10，所以a 100＝－42＋99×10＝948.故选C.5．(2018·河南测试)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n＝n ＋12，则下列结论中正确的是( )A.a 2a 3＝2B.a 2a 3＝32C.a 2a 3＝23D.a 2a 3＝13 答案 C解析由已知可得S n ＝n ＋12a n ，则S n －1＝n2a n －1(n ≥2)，两式相减可得a n ＝n ＋12a n －n2a n －1(n ≥2)，化简得a n －1a n＝n －1n (n ≥2)，当n ＝3时，可得a 2a 3＝23.故选C.6．(2018·石家庄一模)已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50 答案 B解析因为函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100(a 1＋a 100)2＝50(a 50＋a 51)＝－100.故选B. 7．(2018·湖南湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2016B ．2017C ．4032D ．4033 答案 C解析因为a 1＞0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，所以d ＜0，a 2016＞0，a 2017＜0，所以S 4032＝4032(a 1＋a 4032)2＝4032(a 2016＋a 2017)2＞0，S 4033＝4033(a 1＋a 4033)2＝4033a 2017＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4032.故选C.8．(2017·湖南长沙四县联考)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(ɡuǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A ．72.4寸B ．81.4寸C ．82.0寸D ．91.6寸答案 C解析设《易经》中记录的冬至、小寒、大寒、立春、……、夏至的晷影长依次为a 1，a 2，…，a 13，由题意知它们构成等差数列，设公差为d ，由a 1＝130.0，a 13＝14.8，得130.0＋12d ＝14.8，解得d ＝－9.6.∴a 6＝130.0－9.6×5＝82.0.∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故选C. 9．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中联考)已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a na n.若对任意的n∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]答案 A解析因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ＋a －1，因为b n ＝1＋a na n，又对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，所以1＋1a n ≥1＋1a 8，即1a n ≥1a 8对任意的n ∈N *恒成立，因为数列{a n }是公差为1的等差数列，所以{a n }是单调递增的数列，所以⎩⎨⎧a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎨⎧8＋a －1＜0，9＋a －1＞0，解得－8＜a ＜－7.故选A.10．(2018·云南二检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( )A ．10B ．9C ．5D ．4 答案 C解析设等差数列{a n }的公差为d .由已知得11(a 1＋a 11)2＝22，所以11a 6＝22，解得a 6＝2，所以d ＝a 6－a 42＝7，所以a n ＝a 4＋(n －4)d ＝7n －40，所以数列{a n }是单调递增数列，又因为a 5＝－5<0，a 6＝2>0，所以当n ＝5时，S n 取得最小值，故选C.二、填空题11．(2014·北京高考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．12．(2018·金版原创)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝________.答案－32解析若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π，显然不成立，所以m <0，则公差d ＝3π2－π23＝π3.所以m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－32.13．(2018·青岛模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________．答案 b n ＝2n －1解析设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S nS 2n＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0. 因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为 b n ＝2n －1.14．(2018·安徽安庆模拟)已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n≤n ＋8n 对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________．答案 9 解析 a n ＝S 2n －1⇒a n ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2＝ (2n －1)a n ⇒a 2n ＝(2n －1)a n ⇒a n ＝2n －1，n ∈N *.因为λa n ≤n ＋8n ，所以λ≤(n ＋8)(2n －1)n ，即λ≤2n －8n ＋15.易知y ＝2x －8x (x >0)为增函数，所以2n －8n ＋15≥2×1－81＋15＝9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9.三、解答题15．(2017·中卫一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．(1)若a ＝1，b ＝3，求sin C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状．解 (1)由A ＋B ＋C ＝π，2B ＝A ＋C ，得B ＝π3.由a sin A ＝b sin B ，得1sin A ＝332，得sin A ＝12，又0＜A ＜B ，∴A ＝π6，则C ＝π－π3－π6＝π2.∴sin C ＝1.(2)由2b ＝a ＋c ，得4b 2＝a 2＋2ac ＋c 2，又b 2＝a 2＋c 2－ac ，得4a 2＋4c 2－4ac ＝a 2＋2ac ＋c 2，得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴A ＝C ，又A ＋C ＝2π3，∴A ＝C ＝B ＝π3， ∴△ABC 是等边三角形．16．(2018·郑州模拟)数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n－1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n ≥2都有B 3n －B n >m20成立，求正整数m 的最大值．解 (1)因为a n ＋1＝12－a n，所以1a n ＋1－1＝112－a n－1＝2－a n a n －1＝－1＋1a n －1，即1a n ＋1－1－1a n －1＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n －1是首项为－2，公差为－1的等差数列，所以1a n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝nn ＋1. (2)b n ＝n ＋1n －1＝1n ，令C n ＝B 3n －B n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ，所以C n ＋1－C n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13(n ＋1)－1n ＋1－…－13n ＝－1n ＋1＋13n ＋2＋13n ＋3＋13n ＋1＝13n ＋2－23n ＋3＋13n ＋1>23n ＋3－23n ＋3＝0， ∴C n ＋1－C n >0，{C n }为单调递增数列，又∵n ≥2，∴(B 3n －B n )min ＝B 6－B 2＝13＋14＋15＋16＝1920， m 20<1920，m <19.又m ∈N *，所以m 的最大值为18.。

2019届高三人教A版数学一轮复习练习：第五章数列第4节

第五章第4节[基础训练组]1．(导学号14577473)设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，对任意实数x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫12，2B.⎣⎡⎦⎤12，2 C.⎣⎡⎭⎫12，1D.⎣⎡⎦⎤12，1解析：C [∵对任意x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )， ∴令x ＝n ，y ＝1，得f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，即a n ＋1a n ＝f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝12，∴数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，∴a n ＝f (n )＝⎝⎛⎭⎫12n，∴S n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－⎝⎛⎭⎫12n ∈⎣⎡⎭⎫12，1.故选C.] 2．(导学号14577474)12＋12＋38＋…＋n2n 等于( )A.2n －n －12nB.2n ＋1－n －22nC.2n －n ＋12nD.2n ＋1－n ＋22n解析：B [法一：令S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①则12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②，得12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12－n2n ＋1.∴S n ＝2n ＋1－n －22n.故选B.法二：取n ＝1时，n 2n ＝12，代入各选项验证可知选B.]3．(导学号14577475)已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，15＋25＋35＋45，…，那么数列{b n }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为( )A ．4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1B ．4⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1C ．1－1n ＋1D.12－1n ＋1解析：A [由题意知a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋nn ＋1＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n 2，b n ＝1a n a n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，所以b 1＋b 2＋…＋b n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12＋4⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋4⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝4⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1.]4．(导学号14577476)数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A ．200B ．－200C ．400D ．－400解析：B [S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.]5．(导学号14577477)(2018·太原市三模)数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n＋1＝a 1＋a n ＋n ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前100项和为( )A.100101B.99100C.101100D.200101解析：D [数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ， ∴a n ＋1－a n ＝1＋n ，∴a n －a n －1＝n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n ＋(n －1)＋…＋2＋1＝n (n ＋1)2，∴1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前100项和 2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝2⎝⎛⎭⎫1－1101＝200101，故选D.] 6．(导学号14577478)(2018·大理州一模)若数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)；令b n ＝log 3(a n ＋1)，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝ ____________ .解析：∵数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，a 1＋1＝3，∴{a n ＋1}是首项为3，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝3n ，∴b n ＝log 3(a n ＋1)＝log 33n ＝n ，∴b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 100＝1＋2＋3＋…＋100＝100(100＋1)2＝5 050.答案：5 0507．(导学号14577479)数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝ ________ .解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2.令2n －5≤0，得n ≤52，∴当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4＋…＋a 10)＝S 10－2S 2＝66. 答案：668．(导学号14577480)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝________ .解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－(2n －1－1)＝2n －1，又∵a 1＝1适合上式．∴a n ＝2n －1，∴a 2n ＝4n －1. ∴数列{a 2n }是以a 21＝1为首项，以4为公比的等比数列．∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1·(1－4n)1－4＝13(4n－1)．答案：13(4n －1)9．(导学号14577481)(2018·郴州市一模)等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．解：(1)设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1，所以a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2；(2)b n ＝2a n －2＋n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋…＋＝(2＋22＋…＋210)＋(1＋2＋…＋10) ＝2(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝2 101.10．(导学号14577482)(2018·绵阳市质量诊断)设S n 为各项不相等的等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3a 5＝3a 7，S 3＝9.(1)求数列{a n }通项公式；(2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和，求T na n ＋1的最大值．解：(1)设{a n }的公差为d ，∵a 3a 5＝3a 7，S 3＝9， ∴⎩⎪⎨⎪⎧(a 1＋2d )(a 1＋4d )＝3(a 1＋6d )3a 1＋3×22d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧ d ＝0a 1＝3(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1a 1＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1； (2)∵1a n a n ＋1＝1(n ＋1)(n ＋2)＝1n ＋1－1n ＋2， ∴T n ＝1a 1a 2＝1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2(n ＋2)∴T n a n ＋1＝n 2(n ＋2)2＝n 2(n 2＋4n ＋4)＝12⎝⎛⎭⎫n ＋4＋4n ≤12⎝⎛⎭⎫4＋2n ·4n ＝116，当且仅当n ＝4n ，即n ＝2时“＝”成立，即当n ＝2时，T n a n ＋1取得最大值116.[能力提升组]11．(导学号14577483)已知等比数列{a n }的各项均为不等于1的正数，数列{b n }满足b n＝lg a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }的前n 项和的最大值等于( )A ．126B ．130C ．132D ．134 解析：C [b n ＋1－b n ＝lg a n ＋1－lg a n ＝lga n ＋1a n＝lg q (常数)，∴{b n }为等差数列．∴⎩⎪⎨⎪⎧ b 1＋2d ＝18，b 1＋5d ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－2，b 1＝22.由b n ＝－2n ＋24≥0，得n ≤12，∴{b n }的前11项为正，第12项为零，从第13项起为负，∴S 11、S 12最大且S 11＝S 12＝132.]12．(导学号14577484)已知F (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝n －1 B ．a n ＝n C ．a n ＝n ＋1D ．a n ＝n 2解析：C [∵F (x )＋F (－x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12＝2，即若a ＋b ＝1，则f (a )＋f (b )＝2.于是，由a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)，得2a n＝[f (0)＋f (1)]＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋…＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋[f (1)＋f (0)]＝2n ＋2，∴a n ＝n ＋1.故选C.]13．(导学号14577485)(理科)(2018·太原市一模)已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n＋3n －1(n ∈N *)，则其前n 项和S n ＝ __________ .解析：∵数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1＝2a n ＋3n －1(n ∈N *)， ∴a 2＝0，n ≥2时，a n ＝2a n －1＋3n －4，∴a n ＋1－a n ＝2a n －2a n －1＋3，化为a n ＋1－a n ＋3＝2(a n －a n －1＋3)，a 2－a 1＋3＝2， ∴数列{a n －a n －1＋3}是等比数列，首项为2，公比为2. ∴a n －a n －1＋3＝2n ，即a n －a n －1＝2n －3.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n －3＋2n －1－3＋…＋22－3－1＝4(2n －1－1)2－1－3(n －1)－1＝2n ＋1－3n －2.∴S n ＝4(2n －1)2－1－3×n (n ＋1)2－2n＝2n ＋2－4－3n 2＋7n2.答案：2n ＋2－4－3n 2＋7n 213．(导学号14577486)(文科)(2018·龙岩市一模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，对n ∈N *都有S n ＝1－a n ，若b n ＝log 2a n ，则1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝ _______________ .解析：对n ∈N *都有S n ＝1－a n ，n ＝1时，a 1＝1－a 1，解得a 1＝12.n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝1－a n －(1－a n －1)，化为a n ＝12a n －1，∴数列{a n }是等比数列，公比为12，首项为12，∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12n，∴b n ＝log 2a n ＝－n . ∴1b n b n ＋1＝1－n (－n －1)＝1n －1n ＋1， ∴1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：nn ＋114．(导学号14577487)(2018·潍坊市一模)已知各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数n ＋1，n 为奇数(n ∈N *)，若S 3＝b 5＋1，b 4是a 2和a 4的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .解：(1)∵数列{b n }的通项公式b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数n ＋1，n 为奇数(n ∈N *)，∴b 5＝6，b 4＝4，设各项为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q ＞0， ∵S 3＝b 5＋1＝7，∴ a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，① ∵b 4是a 2和a 4的等比中项，∴a 2·a 4＝a 23＝16，解得a 3＝a 1q 2＝4，②由①②得3q 2－4q －4＝0，解得q ＝2，或q ＝－23(舍去)，∴a 1＝1，a n ＝2n －1.(2)当n 为偶数时，T n ＝(1＋1)·20＋2·2＋(3＋1)·22＋4·23＋(5＋1)·24＋…＋[(n －1)＋1]·2n －2＋n ·2n －1＝(20＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1)＋(20＋22＋…＋2n －2)，设H n ＝20＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1，①2H n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ，② ①－②，得－H n ＝20＋2＋22＋23＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n 1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1，∴H n ＝(n －1)·2n ＋1，∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋1－4n21－4＝⎝⎛⎭⎫n －23·2n ＋23.当n 为奇数，且n ≥3时，T n ＝T n －1＋(n ＋1)·2n －1＝⎝⎛⎭⎫n －53·2n －1＋23＋(n ＋1)·2n －1＝⎝⎛⎭⎫2n －23·2n －1＋23，经检验，T 1＝2符合上式，∴T n＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫2n －23·2n －1＋23，n 为奇数⎝⎛⎭⎫n －23·2n＋23，n 为偶数.。

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2019届高考数学一轮总复习 5.3等比数列练习一、选择题1．(2014·北京卷)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析等比数列{a n }为递增数列的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，0<q <1.故“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D.答案 D2．各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．33 B ．72 C ．84D ．189解析 ∵a 1＋a 2＋a 3＝21，∴a 1＋a 1·q ＋a 1·q 2＝21,3＋3×q ＋3×q 2＝21，即1＋q ＋q 2＝7，解得q ＝2或q ＝－3.∵a n >0，∴q ＝2，a 3＋a 4＋a 5＝21×q 2＝21×4＝84. 答案 C3．已知等比数列{a n }满足a n >0(n ∈N *)，且a 5a 2n －5＝22n(n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＋…＋log 2a 2n －1等于( )A ．(n ＋1)2B ．n 2C ．n (2n －1)D ．(n －1)2解析由等比数列的性质可知a 5a 2n －5＝a 2n ，又a 5a 2n －5＝22n，所以a n ＝2n. 又log 2a 2n －1＝log 222n －1＝2n －1，所以log 2a 1＋log 2a 3＋log 2a 5＋…＋log 2a 2n －1＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝[1＋n －n2＝n 2.答案 B4．已知等比数列{a n }的前n 项积记为Πn ，若a 3a 4a 8＝8，则Π9＝( ) A ．512 B ．256 C ．81D ．16解析由题意可知a 3a 4a 7q ＝a 3a 7a 4q ＝a 3a 7a 5＝a 25a 5＝a 35＝8.Π9＝a 1a 2a 3…a 9＝(a 1a 9)(a 2a 8)(a 3a 7)·(a 4a 6)a 5＝a 95，所以Π9＝83＝512，故选A.答案 A5．(2014·大纲全国卷)设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63D ．64解析 ∵S 2＝3，S 4＝15，∴由等比数列前n 项和的性质，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，∴(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，即(15－3)2＝3(S 6－15)，解得S 6＝63，故选C. 答案 C6．(2015·浙江嘉兴月考)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2 013<0B ．若a 4>0，则a 2 014<0C ．若a 3>0，则S 2 013>0D ．若a 4>0，则S 2 014>0 解析若a 3>0，则a 2 013＝a 3q2 010>0；若a 4>0，则a 2 014＝a 4q2 010>0，故A ，B 错；当a 3>0，则a 1＝a 3q>0，因为1－q 与1－q 2 013同号，所以S 2 013＝a 1－q 2 0131－q>0，C 正确．故选C.答案 C 二、填空题7．已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析 a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根且{a n }是递增数列，故a 3＝4，a 1＝1，故公比q ＝2，S 6＝a 1－q 61－q＝63.答案 638．(2014·广东卷)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.解析因为{a n }是等比数列，所以由已知可得a 10a 11＝a 9a 12＝a 1a 20＝e 5，于是ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2a 3…a 20)，而a 1a 2a 3…a 20＝(a 1a 20)10＝(e 5)10＝e 50， ∴ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝lne 50＝50.答案 509．(2014·安徽卷)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1；过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推，设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝________.解析由题意知数列{a n }是以首项a 1＝2，公比q ＝22的等比数列，∴a 7＝a 1·q 6＝2×⎝⎛⎭⎪⎫226＝14. 答案 14三、解答题10．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝a 4＋6，且a 1，a 4，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)．因为S 3＝a 4＋6，所以3a 1＋3×2d2＝a 1＋3d ＋6. 所以a 1＝3.因为a 1，a 4，a 13成等比数列，所以a 1(a 1＋12d )＝(a 1＋3d )2，即3(3＋12d )＝(3＋3d )2.解得d ＝2.所以a n ＝2n ＋1. (2)由题意b n ＝22n ＋1＋1，设数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝22n ＋1，c n ＋1c n ＝2n ＋＋122n ＋1＝4(n ∈N *)，所以数列{c n }为以8为首项，4为公比的等比数列．所以T n ＝－4n1－4＋n ＝22n ＋3－83＋n . 11．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列；(3)若c n ＝a n ·b n ，求证：c n ＋1<c n .解 (1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是以2为首项，以1为公差的等差数列，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1.①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1. 由①，令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是以23为首项，以13为公比的等比数列．(3)证明：由(2)可知b n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n .∴c n ＝a n ·b n ＝(n ＋1)·23n ，∴c n ＋1－c n ＝(n ＋2)·23n ＋1－(n ＋1)·23n＝23n ＋1[(n ＋2)－3(n ＋1)]＝23n ＋1(－2n －1)<0，∴c n ＋1<c n .培优演练1．(2014·上海徐汇、金山、松江二模)函数y ＝1－x ＋2图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是( )A.32B.12C.33D. 3解析因为y ＝1－x ＋2⇔(x ＋2)2＋y 2＝1(y ≥0)，故函数的图象是以(－2,0)为圆心，1为半径的半圆．由圆的几何性质可知圆上的点到原点的距离的最小值为1，最大值为3，故13≤q 2≤3，即33≤q ≤3，而12<33，选B.答案 B2．已知等比数列{a n }为递增数列，且a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，∵a 25＝a 10,2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 21·q 8＝a 1·q 9， ①＋q 2＝5q ， ②由①得a 1＝q ，由②知q ＝2或q ＝12，又数列{a n }为递增数列，∴a 1＝q ＝2，从而a n ＝2n. 答案 2n3．在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．解析设正项等比数列{a n }的公比为q ，则由a 5＝12，a 6＋a 7＝a 5(q ＋q 2)＝3可得q ＝2，于是a n ＝2n －6，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝132－2n1－2＝2n －5－132. ∵a 5＝12，q ＝2，∴a 6＝1，a 1a 11＝a 2a 10＝…＝a 26＝1.∴a 1a 2…a 11＝1.当n 取12时，a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132>a 1a 2…a 11a 12＝a 12＝26成立；当n取13时，a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132<a 1a 2…a 11a 12a 13＝a 12a 13＝26·27＝213.当n >13时，随着n 增大a 1＋a 2＋…＋a n 将恒大于a 1a 2…a n .因此所求n 的最大值为12.答案 124．已知等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4,3a 3，a 5成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，求实数λ的值．解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由条件可知q 3,3q 2，q 4成等差数列，∴6q 2＝q 3＋q 4，解得q ＝－3或q ＝2，∵q >0，∴q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)记b n ＝a n ＋1－λa n ，则b n ＝2n－λ·2n －1＝(2－λ)·2n －1，若λ＝2，则b n ＝0，S n ＝0，不符合条件；若λ≠2，则b n ＋1b n＝2，数列{b n }为等比数列，首项为2－λ，公比为2，此时S n ＝－λ1－2(1－2n)＝(2－λ)·(2n－1)，∵S n ＝2n－1(n ∈N *)，∴λ＝1.。

2019年全国版高考数学(理)一轮复习必刷练习题

第一单元集合与常用逻辑用语考点一集合1.(2017年全国Ⅰ卷)已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则().A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀【解析】∵B={x|3x<1},∴B={x|x<0}.又∵A={x|x<1},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.【答案】A2.(2017年全国Ⅱ卷)设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=().A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}【解析】∵A∩B={1},∴1∈B.∴1-4+m=0,即m=3.∴B={x|x2-4x+3=0}={1,3}.故选C.【答案】C3.(2017年全国Ⅲ卷)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为().A.3B.2C.1D.0【解析】集合A表示以原点O为圆心,1为半径的圆上的所有点的集合,集合B表示直线y=x上的所有点的集合.由图形(图略)可知,直线与圆有两个交点,所以A∩B中元素的个数为2.故选B.【答案】B4.(2016年全国Ⅱ卷)已知集合A={1,2,3},B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z},则A∪B=().A.{1}B.{1,2}C.{0,1,2,3}D.{-1,0,1,2,3}【解析】B={x|(x+1)(x-2)<0,x∈Z}={x|-1<x<2,x∈Z}={0,1},又A={1,2,3},所以A∪B={0,1,2,3}.【答案】C5.(2016年浙江卷)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(RQ)=().A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)【解析】∵Q={x∈R|x2≥4},∴RQ={x∈R|x2<4}={x|-2<x<2}.∵P={x∈R|1≤x≤3},∴P∪(RQ)={x|-2<x≤3}=(-2,3].【答案】B6.(2017年浙江卷)已知集合P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},那么P∪Q=().A.(-1,2)B.(0,1)C.(-1,0)D.(1,2)【解析】∵P={x|-1<x<1},Q={x|0<x<2},∴P∪Q={x|-1<x<2}.故选A.【答案】A考点二命题及其关系、充分条件与必要条件7.(2017年全国Ⅰ卷)设有下面四个命题:p 1:若复数z满足1z∈R,则z∈R;p2:若复数z满足z2∈R,则z∈R;p3:若复数z1,z2满足z1z2∈R,则z1=z−2;p4:若复数z∈R,则z−∈R.其中的真命题为().A.p1,p3B.p1,p4C.p2,p3D.p2,p4【解析】设z=a+b i(a ,b ∈R),z 1=a 1+b 1i(a 1,b 1∈R),z 2=a 2+b 2i(a 2,b 2∈R). 对于p 1,若1z ∈R,即1a+bi =a -bia +b ∈R,则b=0,所以z=a+b i =a ∈R,所以p 1为真命题.对于p 2,若z 2∈R,即(a+b i)2=a 2+2ab i -b 2∈R,则ab=0.当a=0,b ≠0时,z=a+b i =b i∈/R,所以p 2为假命题.对于p 3,若z 1z 2∈R,即(a 1+b 1i)(a 2+b 2i)=(a 1a 2-b 1b 2)+(a 1b 2+a 2b 1)i∈R,则a 1b 2+a 2b 1=0.而z 1=z −2,即a 1+b 1i =a 2-b 2i ⇔a 1=a 2,b 1=-b 2.因为a 1b 2+a 2b 1=0⇒/a 1=a 2,b 1=-b 2,所以p 3为假命题.对于p 4,若z ∈R,即a+b i∈R,则b=0⇒z −=a-b i =a ∈R,所以p 4为真命题. 故选B . 【答案】B8.(2016年四川卷)设p :实数x ,y 满足(x-1)2+(y-1)2≤2,q :实数x ,y 满足{y ≥x -1,y ≥1−x ,y ≤1,则p 是q 的( ). A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】p 表示以点(1,1)为圆心,√2为半径的圆面(含边界),如图.q 表示的平面区域为图中阴影部分(含边界).由图可知,p 是q 的必要不充分条件. 【答案】A9.(2014年全国Ⅱ卷)函数f (x )在x=x 0处导数存在.若p :f'(x 0)=0;q :x=x 0是f (x )的极值点,则( ).A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件【解析】当函数在x=x0处有导数且导数为0时,x=x0未必是函数的极值点,还要看函数在这一点左右两边的导数的符号,若符号一致,则该点不是极值点.而若x=x0为函数的极值点,则函数在x=x0处的导数一定为0.所以p是q的必要不充分条件.【答案】C考点三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词10.(2015年全国Ⅰ卷)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则 p为().A.∀n∈N,n2>2nB.∃n∈N,n2≤2nC.∀n∈N,n2≤2nD.∃n∈N,n2=2n【解析】因为“∃x∈M,p(x)”的否定是“∀x∈M, p(x)”,所以命题“∃n∈N,n2>2n”的否定是“∀n∈N,n2≤2n”.故选C.【答案】C11.(2014年全国Ⅰ卷)不等式组{x+y≥1,x-2y≤4的解集记为D,有下面四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥-2;p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2;p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3;p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤-1.其中的真命题是().A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p3【解析】作出不等式组表示的可行域,如图(阴影部分).由{x+y=1, x-2y=4,得交点A(2,-1).-12>-1,观察直线x+y=1与直线x+2y=0的倾斜程度,可知u=x+2y过点A时取得最小值0y=-x2+u2,u2表示纵截距.结合题意知p1,p2正确.【答案】C12.(2014年湖南卷)已知命题p:若x>y,则-x<-y;命题q:若x>y,则x2>y2.在命题①p∧q;②p∨q;③p∧( q);④( p)∨q中,真命题是().A.①③B.①④C.②③D.②④【解析】由不等式的性质可知,命题p为真命题,命题q为假命题,则 p为假命题, q为真命题.故①p∧q为假命题,②p∨q为真命题,③p∧( q)为真命题,④( p)∨q为假命题.所以选C.【答案】C13.(2015年山东卷)若“∀x∈[0,π4],tan x≤m”是真命题,则实数m的最小值为.【解析】∵函数y=tan x在[0,π4]上是增函数,∴y max=tanπ4=1.依题意,m≥ymax,即m≥1,∴m的最小值为1.【答案】1高频考点:集合的概念及其运算、命题的真假判断.命题特点:试题注重基础,一般是选择题.§1.1集合一集合的概念1.集合中元素的特征:、、无序性.2.集合与元素的关系:a属于集合A,记作;b不属于集合A,记作.3.常见数集及符号表示:自然数集(N),正整数集(N*或N+),整数集(Z),有理数集(Q),实数集(R).4.集合的表示法:列举法、描述法、图示法.5.集合间的关系子集:A⊆B或.真子集:A⫋B或.集合相等:A⊆B且B⊆A⇔A=B.空集是集合的子集,是集合的真子集.二集合的性质1.集合的运算(1)交集:A∩B={x|x∈A且x∈B}.(2)并集:A∪B={x|x∈A或x∈B}.(3)补集:U A={x|x∈U且x∉A}.2.需要特别注意的运算性质和结论A∪⌀=A,A∩⌀=⌀,A∩(U A)=⌀,A∪(UA)=U;A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=A⇔B⊆A.判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)若集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},C={(x,y)|y=x2},则A,B,C表示同一个集合.()(2)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.()(3)若A∩B=A∩C,则B=C.()(4)对于任意两个集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B)成立.()若集合A={x∈N|x≤√10},a=2√2,则下列结论正确的是().A.{a}⊆AB.a⊆AC.{a}∈AD.a∉A集合A={x|x-2<0},B={x|x<a},若A∩B=A,则实数a的取值范围是.知识清单一、1.确定性互异性2.a∈A b∉A5.B⊇A B⫌A 任何任何非空基础训练1.【解析】(1)错误,A=R,B=[0,+∞),C={(x,y)|y=x2}表示抛物线y=x2上所有的点的集合,所以A,B,C表示的不是同一个集合.(2)错误,x=0.(3)错误,例如A=⌀,结论就不成立.(4)正确,对于任意两个集合A,B,都有(A∩B)⊆(A∪B)成立,这是集合的运算性质.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√2.【解析】因为a=2√2=√8∉N,所以a∉A,故选D.【答案】D3.【解析】集合A={x|x-2<0}={x|x<2},B={x|x<a},因为A∩B=A,所以A⊆B,所以a≥2.【答案】[2,+∞)题型一集合的概念【例1】已知集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4中有且只有一个是正确的.则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是.【解析】若只有①正确,即a=1,则b≠1不正确,所以b=1,与集合中元素的互异性矛盾,不符合题意;若只有②正确,则有序数组为(3,2,1,4),(2,3,1,4);若只有③正确,则有序数组为(3,1,2,4);若只有④正确,则有序数组为(2,1,4,3),(3,1,4,2),(4,1,3,2).综上所述,有序数组的个数为6.【答案】6研究集合问题,首先要抓住元素,其次看元素应满足的属性.对于含有字母的【变式训练1】(1)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是().A.1B.3C.5D.9(2)(2017山东实验中学模拟)设集合A={x|(x-a)2<1},且2∈A,3∉A,则实数a的取值范围为.【解析】(1)∵A={0,1,2},∴B={x-y|x∈A,y∈A}={0,-1,-2,1,2}.∴集合B 中有5个元素.(2)由题意得{(2-a)2<1,(3-a)2≥1,即{1<a<3,a≤2或a≥4,故1<a≤2.【答案】(1)C (2)(1,2]题型二集合间的基本关系【例2】已知集合A={x|-2≤x ≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若B ⊆A ,则实数m 的取值范围是 .【解析】当B=⌀时,有m+1≥2m-1,则m ≤2. 当B ≠⌀时,若B ⊆A ,则{m +1≥−2,2m -1≤7,m +1<2m -1,解得2<m ≤4.综上,实数m 的取值范围是(-∞,4]. 【答案】(-∞,4]【变式训练2】(1)已知集合A={x ∈R ||x|≥2},B={x ∈R |-x 2+x+2>0},则下列结论正确的是( ).A .A ∪B=RB .A ∩B ≠⌀C .A ⊆R BD .A ⊇R B(2)(2017湖南师大附中模拟)已知集合A={x|√x =√x 2-2,x ∈R},B={1,m },若A ⊆B ,则m 的值为( ).A .2B .-1C .-1或2D .2或√2【解析】(1)A={x|x ≥2或x ≤-2},B={x|-1<x<2},R B={x|x ≥2或x ≤-1},则A ⊆R B.(2)由√x =√x 2-2,得x=2,则A={2}. 因为B={1,m },且A ⊆B ,所以m=2. 【答案】(1)C (2)A题型三集合的运算【例3】如图,已知R是实数集,集合A={x|lo g12(x-1)>0},B={x|2x-3x<0},则阴影部分表示的集合是().A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1)D.(0,1]【解析】图中阴影部分表示集合B∩RA.∵A={x|lo g12(x-1)>0}={x|1<x<2},B={x|2x-3x<0}={x|0<x<32},∴R A={x|x≤1或x≥2},B∩RA={x|0<x≤1},故选D.【答案】D【变式训练3】(1)(2017郑州调研)设集合M={x|x2=x},N={x|lg x≤0},则M∪N=().A.[0,1]B.(0,1]C.[0,1)D.(-∞,1](2)(2017太原一模)已知全集U=R,集合M={x|(x-1)(x+3)<0},N={x||x|≤1},则如图所示的阴影部分表示的集合是().A.[-1,1)B.(-3,1]C.(-∞,-3)∪[-1,+∞)D.(-3,-1)【解析】(1)∵M={x|x2=x}={0,1},N={x|lgx≤0}={x|0<x≤1},∴M∪N=[0,1].(2)由题意可知,M=(-3,1),N=[-1,1],∴阴影部分表示的集合为M∩(UN)=(-3,-1).【答案】(1)A(2)D方法数形结合思想在集合中的应用对于集合的运算,常借助数轴、Venn图求解.【突破训练】向50名从事地质研究的专家调查对四川省A,B两地在震后原,其址上重建的态度,有如下结果:赞成A地在震后原址上重建的人数是全体的35余的不赞成,赞成B地在震后原址上重建的比赞成A地在震后原址上重建的多3人,其余的不赞成;另外,对A,B两地都不赞成在震后原址上重建的专家数比对A,B两地都赞成的专家数的1多1人.问:对A,B两地都赞成的专家和都不赞成的3专家各有多少人?=30,赞成B地重建的专家人【解析】赞成A地重建的专家人数为50×35数为30+3=33.如图,记50名专家组成的集合为U,赞成A地在震后原址上重建的专家全体为集合A;赞成B地在震后原址上重建的专家全体为集合B.设对A,B两地都赞成的专家人数为x,则对A,B两地都不赞成的专家人数为x+1,赞成A地而不赞成B地的专家人数为30-x,赞成B地而不赞成A地的专家人3数为33-x.+1)=50,解得x=21.依题意,(30-x)+(33-x)+x+(x3所以对A,B两地都赞成的专家有21人,都不赞成的专家有8人.1.(2017潍坊模拟)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为().A.1B.2C.3D.4【解析】由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,∴A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},∴满足条件的集合C可以是{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.【答案】D2.(2017南昌月考)设集合P={a2,log2a},Q={2a,b},若P∩Q={0},则P∪Q=().A.{0,1}B.{0,1,2}C.{0,2}D.{0,1,2,3}【解析】∵P∩Q={0},∴0∈P,只能log2a=0,∴a=1,a2=1.又0∈Q,∵2a=21=2≠0,∴b=0.故P={0,1},Q={2,0},∴P∪Q={0,1,2}.【答案】B3.(2017河南八市重点高中质检)已知U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},则B)等于().A∩(UA.{4,6}B.{1,8}C.{1,4,6,8}D.{1,4,6,8,9}【解析】因为U={1,4,6,8,9},A={1,6,8},B={4,6},所以U B={1,8,9},因此A∩(B)={1,8}.U【答案】B≤2x≤4,x∈Z}, 4.(2017湖南省东部六校联考)已知集合M={-2,-1,0,1},N={x|12则M∩N=().A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,1}D.{0,1}【解析】由1≤2x≤4,解得-1≤x≤2.又2x∈Z,∴N={-1,0,1,2},∴M∩N={-1,0,1}.【答案】C<2},则下列结论正确5.(2017石家庄教学质检(二))已知集合M={-1,1},N={x|1x的是().A.N⊆MB.M⊆NC.M∩N=⌀D.M∪N=R【解析】∵1x -2<0,即2x-1x>0,解得x<0或x>12,∴N=(-∞,0)∪(12,+∞).又∵M={-1,1},∴B正确,A,C,D错误.【答案】B6.(2017山东临沂质检)已知全集U=R,集合A={x|x2-3x+2>0},B={x|x-a≤0},若UB⊆A,则实数a的取值范围是().A.(-∞,1)B.(-∞,2]C.[1,+∞)D.[2,+∞)【解析】因为x2-3x+2>0,所以x>2或x<1,所以A={x|x>2或x<1}.因为B={x|x≤a},所以U B={x|x>a}.因为U B⊆A,借助数轴可知a≥2,所以选D.【答案】D7.(2017开封市一模)设集合A={n|n=3k-1,k∈Z},B={x||x-1|>3},则A∩(RB)=().A.{-1,2}B.{-2,-1,1,2,4}C.{1,4}D.⌀【解析】由|x-1|>3,得x-1>3或x-1<-3,即x>4或x<-2,所以B={x|x>4或x<-2},RB={x|-2≤x≤4}.当k=-1时,n=-4;当k=0时,n=-1;当k=1时,n=2;当k=2时,n=5.所以A∩(R B)={-1,2}.【答案】A8.(2017江苏苏州市常熟二模)已知全集U=Z,集合A={x|0<x<5,x∈U},B={x|x≤1,x∈U},则A∩(UB)= .【解析】A={x|0<x<5,x∈U}={1,2,3,4},B={x|x≤1,x∈U},则U B={x|x>1,x∈U}={2,3,4,5,…},则A∩(UB)={2,3,4}.【答案】{2,3,4}9.(2017山西考前质检)已知全集U={x∈Z|-2≤x≤4},A={-1,0,1,2,3}.若B⊆U A,则集合B的个数是.【解析】由题意得U={-2,-1,0,1,2,3,4},所以U A={-2,4},所以集合B的个数是22=4.【答案】410.(2017山东枣庄一模)已知集合A={x|(x+1)(x-2)≥0},B={x|log3(2-x)≤1},则A∩(R B)=().A.⌀B.{x|x>2或x≤-1}C.{x|x<-1}D.{x|x≥2或x<-1}【解析】集合A={x|(x+1)(x-2)≥0}={x|x≥2或x≤-1},B={x|log(2-x)≤1}={x|-1≤x<2},3B={x|x≥2或x<-1},R则A∩(R B)={x|x≥2或x<-1}.【答案】D11.(2017云南楚雄州一模)若集合A={y|y=2x+2},B={x|-x2+x+2≥0},则().A.A⊆BB.A∪B=RC.A∩B={2}D.A∩B=⌀【解析】∵y=2x+2>2,∴A={y|y>2}.由-x2+x+2≥0,即x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2,∴B={x|-1≤x≤2}.∴A∩B=⌀.【答案】D12.(2017上海市七宝中学模拟)设M={a|a=x2-y2,x,y∈Z},则对任意的整数n,形如4n,4n+1,4n+2,4n+3的数中,不是集合M中的元素是().A.4nB.4n+1C.4n+2D.4n+3【解析】∵4n=(n+1)2-(n-1)2,∴4n∈M.∵4n+1=(2n+1)2-(2n)2,∴4n+1∈M.∵4n+3=(2n+2)2-(2n+1)2,∴4n+3∈M.若4n+2∈M,则存在x,y∈Z使得x2-y2=4n+2,∴4n+2=(x+y)(x-y).∵x+y 和x-y 的奇偶性相同,若x+y 和x-y 都是奇数,则(x+y )(x-y )为奇数,而4n+2是偶数;若x+y 和x-y 都是偶数,则(x+y )(x-y )能被4整除,而4n+2不能被4整除,∴4n+2∉M. 【答案】C13.(2017湖北武汉十校联考)已知集合A={x|0<x<2},集合B={x|-1<x<1},集合C={x|mx+1>0},若(A ∪B )⊆C ,则实数m 的取值范围为( ).A .{m|-2≤m ≤1}B .{m |-12≤m ≤1}C .{m |-1≤m ≤12} D .{m |-12≤m ≤14} 【解析】由题意得A ∪B={x|-1<x<2}.∵集合C={x|mx+1>0},(A ∪B )⊆C ,①当m<0时,x<-1m ,∴-1m ≥2,∴m ≥-12,∴-12≤m<0; ②当m=0时,满足题意;③当m>0时,x>-1m ,∴-1m ≤-1,∴m ≤1,∴0<m ≤1. 综上可知,实数m 的取值范围为{m |-12≤m ≤1}. 【答案】B14.(2017上海中学高考模拟)集合S={1,2,3,4,5,6},A 是S 的一个子集,当x ∈A 时,若x-1∉A ,x+1∉A ,则称x 为A 的一个“孤立元素”,那么S 中无“孤立元素”且含有4个元素的子集的个数是 .【解析】S 中无“孤立元素”且含有4个元素的子集是{1,2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,5,6},{2,3,4,5},{2,3,5,6},{3,4,5,6},共6个.【答案】6§1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件一命题用语言、符号或式子表达的,可以的陈述句叫作命题,其中的语句叫作真命题,的语句叫作假命题.二四种命题及其相互关系1.四种命题间的相互关系2.四种命题的真假关系(1)两个命题互为逆否命题,它们有的真假性.(2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性.三充分条件与必要条件1.如果p⇒q,那么p是q的条件,q是p的条件.2.如果p⇔q,那么p是q的条件.3.如果p⇒/q且q⇒/p,那么p是q的条件.判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)“x2+2x-3<0”是命题.()(2)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.()(3)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.()若条件p:|x|≤2,条件q:x≤a,且p是q的充分不必要条件,则a的取值范围是.已知α,β是两个平面,直线l⊂α,则“α⊥β”是“l⊥β”的().A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件知识清单一、判断真假判断为真判断为假二、1.若q,则p 若 q,则 p2.(1)相同(2)没有关系三、1.充分必要2.充要3.既不充分也不必要基础训练1.【解析】(1)错误,“x2+2x-3<0”不能判断真假.(2)正确,由充分条件的定义知正确.(3)正确,因为“若p不成立,则q不成立”的逆否命题是“若q成立,则p成立”,所以正确.【答案】(1)×(2)√(3)√2.【解析】由|x|≤2,知p:-2≤x≤2.因为p是q的充分不必要条件,所以p对应的集合是q对应的集合的真子集,所以a≥2.【答案】[2,+∞)3.【解析】l⊥β,l⊂α⇒α⊥β,反之不成立.∴“α⊥β”是“l⊥β”的必要不充分条件.【答案】C题型一四种命题及其关系【例1】下列命题中为真命题的是().A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题>1,则x>1”的逆否命题D.命题“若1x【解析】对于A,否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故否命题为假命题;对于B,逆命题为“若x>|y|,则x>y”,其为真命题;对于C,否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故否命题为假命题;对≤1”,易知其为假命题.故选B.于D,逆否命题为“若x≤1,则1x【答案】B当一个命题不易直接判断其真假时,直接判断该命题的真假可转化为判断其【变式训练1】原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题、否命题、逆否命题的真假性判断依次如下,则正确的是().A.真、假、真B.假、假、真C.真、真、假D.假、假、假【解析】由共轭复数的性质,得原命题为真命题,因此其逆否命题也为真命题.当z1=1+2i,z2=2+i时,显然|z1|=|z2|,但z1与z2不互为共轭复数,所以原命题的逆命题为假命题,从而原命题的否命题也为假命题.【答案】B题型二充分条件、必要条件的判断【例2】下列说法正确的是().A.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件B.p:A∩B=A,q:A⫋B,则p是q的充分不必要条件C.已知数列{a n},若p:对于任意的n∈N*,点P n(n,a n)都在直线y=2x+1上,q:{a n}为等差数列,则p是q的充要条件D.“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件【解析】A错误,由x2-5x-6=0,解得x=-1或x=6,所以“x=-1”是“x2-5x-6=0”的充分不必要条件.B错误,由A∩B=A,得A⊆B,所以p是q的必要不充分条件.C错误,因为点P n(n,a n)在直线y=2x+1上,所以a n=2n+1(n∈N*),则a n+1-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2.又由n的任意性可知数列{an}是公差为2的等差数列,即p⇒q.反之则不成立,如:令a n=n,则{a n}为等差数列,但点(n,n)不在直线y=2x+1上,从而q⇒/p.所以p是q的充分不必要条件.D正确,因为ln(x+1)<0⇔0<x+1<1⇔-1<x<0,所以“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.故选D.【答案】D【变式训练2】“a<0”是“函数f(x)=|x-a|+|x|在区间[0,+∞)上为增函数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当a<0时,x≥0,f(x)=x-a+x=2x-a,其为增函数,此时充分性成立;当a=0时,f(x)=2|x|,其在区间[0,+∞)上为增函数,所以必要性不成立.故选A.【答案】A题型三充分条件、必要条件的应用【例3】方程ax2+2x+1=0至少有一个负实根的充要条件是().A.0<a≤1B.a<1C .a ≤1D .0<a ≤1或a<0【解析】当a=0时,原方程为一元一次方程2x+1=0,有一个负实根. 当a ≠0时,原方程为一元二次方程,有实根的充要条件是Δ=4-4a ≥0,即a ≤1.设此时方程的两个实根分别为x 1,x 2,则x 1+x 2=-2a ,x 1x 2=1a , 当方程有一个负实根和一个正实根时,有{a <1,1a <0⇒a<0;当方程有两个负实根时,有{a ≤1,-2a <0,⇒0<a ≤1.1a>0综上所述,a ≤1. 【答案】C【变式训练3】(2017常德一中月考)若“x 2-x-6>0”是“x>a ”的必要不充分条件,则a 的最小值为 .【解析】由x 2-x-6>0,解得x<-2或x>3. 因为“x 2-x-6>0”是“x>a ”的必要不充分条件, 所以{x|x>a }是{x|x<-2或x>3}的真子集,即a ≥3, 故a 的最小值为3. 【答案】3方法集合与充分条件、必要条件“联手”求参数集合的运算常与充分条件、必要条件交汇命题,根据充分条件、必要条件求参数问题可以转化为集合的包含关系求解,再建立不等式(组)求解. 设集合A={x|x 满足条件p },B={x|x 满足条件q },则有:1.若A⊆B,则p是q的充分条件;若A⫋B,则p是q的充分不必要条件.2.若B⊆A,则p是q的必要条件;若B⫋A,则p是q的必要不充分条件.3.若A=B,则p是q的充要条件.【突破训练】已知p:|1−x-13|≤2,q:1-m≤x≤1+m(m>0),且 p是 q的必要不充分条件,则实数m的取值范围为.【解析】由|1−x-13|≤2,得-2≤x≤10,所以 p对应的集合为{x|x>10或x<-2}.设A={x|x>10或x<-2}.因为q:1-m≤x≤1+m(m>0),所以 q对应的集合为{x|x>m+1或x<1-m,m>0}.设B={x|x>m+1或x<1-m,m>0}.因为 p是 q的必要不充分条件,所以B⫋A,所以{m>0,1−m≤−2,1+m≥10,且不能同时取得等号,解得m≥9,所以实数m的取值范围为[9,+∞).【答案】[9,+∞)1.(2017大连质检)命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是().A.“若a,b,c成等比数列,则b2≠ac”B.“若a,b,c不成等比数列,则b2≠ac”C.“若b2=ac,则a,b,c成等比数列”D.“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”【解析】根据原命题与其逆否命题的关系,易得命题“若a,b,c成等比数列,则b2=ac”的逆否命题是“若b2≠ac,则a,b,c不成等比数列”.【答案】D2.(2017合肥市第一次教学质量检测)“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由x2+2x-8>0,解得x<-4或x>2,所以“x>2”是“x2+2x-8>0”成立的充分不必要条件,故选B.【答案】B3.(2017江南十校联考)下列命题的逆命题为真命题的是().A.若x>2,则(x-2)(x+1)>0B.若x2+y2≥4,则xy=2C.若x+y=2,则xy≤1D.若a≥b,则ac2≥bc2【解析】A错误,其逆命题为“若(x-2)(x+1)>0,则x>2”,显然错误;B正确,其逆命题为“若xy=2,则x2+y2≥4”,由基本不等式可知正确;C错误,其逆命题为“若xy≤1,则x+y=2”,如x=y=-1,xy≤1,但x+y≠2;D错误,其逆命题为“若ac2≥bc2,则a≥b”,如c=0,满足ac2≥bc2,但不一定得到a≥b.故选B.【答案】B4.(2017上海模拟)原命题“若A∪B≠B,则A∩B≠A”与其逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数是().A.0B.1C.2D.4【解析】由题意可知,否命题为“若A∪B=B,则A∩B=A”,其为真命题;逆否命题为“若A∩B=A,则A∪B=B”,其为真命题.由等价命题的真假性相同可知,该命题的逆命题与原命题也为真命题.故选D.【答案】D5.(2017南昌调研)“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直”的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直可知3m+m(2m-1)=0,∴m=0或m=-1,∴“m=-1”是“直线mx+(2m-1)y+1=0与直线3x+my+9=0垂直”的充分不必要条件.【答案】B6.(2017西安调研)“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】cos 2α=0等价于cos2α-sin2α=0,即cos α=±sin α.故“sin α=cos α”是“cos 2α=0”的充分不必要条件.【答案】B7.(2017山东省临沂市高三(上)期末)直线m,n满足m⊂α,n⊄α,则“n⊥m”是“n⊥α”的().A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】由n⊥m,推不出n⊥α.由n⊥α,能推出n⊥m.因此,“n⊥m”是“n⊥α”的必要不充分条件.【答案】A8.(2017荆门模拟)下列命题中,真命题的个数为().①“若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除”的逆命题;②“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的否命题;③“奇函数的图象关于原点对称”的逆否命题;④“每个正方形都是平行四边形”的否定.A.1B.2C.3D.4【解析】对于①,“若一个整数的末位数字是0,则这个整数能被5整除”的逆命题为“若一个整数能被5整除,则这个整数的末位数字是0”,故①为假命题;对于②,“若一个三角形有两条边相等,则这个三角形有两个角相等”的逆命题为“若一个三角形有两个角相等,则这个三角形有两条边相等”,为真命题,由原命题的逆命题与否命题的等价性知②为真命题;对于③,“奇函数的图象关于原点对称”正确,由原命题与逆否命题的等价性知③为真命题;对于④,“每个正方形都是平行四边形”正确,则“每个正方形都是平行四边形”的否定是假命题,即④是假命题.故选B.【答案】B9.(2017华北十校模拟)有下列三个命题:①“面积相等的三角形全等”的否命题;②“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题;③“若A∩B=B,则A⊆B”的逆否命题.其中真命题是.(填写所有真命题的序号)【解析】对于①,“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”,显然①是真命题;对于②,若x2-2x+m=0有实数解,则Δ=4-4m≥0,解得m≤1,所以“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”是真命题,故其逆否命题是真命题;对于③,若A∩B=B,则B⊆A,故原命题是假命题,所以其逆否命题是假命题.【答案】①②10.(2017湖南衡阳期末)已知p:幂函数y=(m2-m-1)x m在(0,+∞)上单调递增,q:|m-2|<1,则p是q的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】∵幂函数y=(m2-m-1)x m在(0,+∞)上单调递增,∴m2-m-1=1,m>0,解得m=2.由|m-2|<1,解得1<m<3.故p是q的充分不必要条件.【答案】A11.(2017武汉联考)原命题为“若xy=1,则x,y互为倒数”,则().A.其逆命题与逆否命题是真命题,否命题是假命题B.其逆命题是假命题,否命题和逆否命题是真命题C.其逆命题和否命题是真命题,逆否命题是假命题D.其逆命题、否命题、逆否命题都是真命题【解析】原命题“若xy=1,则x,y互为倒数”是真命题.原命题的逆命题为“若x,y互为倒数,则xy=1”,其是真命题.因为逆命题和否命题互为逆否命题,所以否命题是真命题.原命题与它的逆否命题具有相同的真假性,故其逆否命题是真命题.【答案】D12.(2017广西模拟)已知命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数,则m≤1”,则下列结论正确的是().A.否命题“若函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数,则m>1”是真命题B.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上不是增函数”是真命题C.逆否命题“若m>1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是减函数”是真命题D.逆否命题“若m≤1,则函数f(x)=e x-mx在(0,+∞)上是增函数”是假命题【解析】∵f (x )=e x -mx ,∴f'(x )=e x -m. 又∵f (x )在(0,+∞)上是增函数,∴f'(x )=e x -m ≥0在(0,+∞)上恒成立,∴m ≤1,∴原命题是真命题,其逆否命题“若m>1,则函数f (x )=e x -mx 在(0,+∞)上不是增函数”也是真命题,∴B 正确,C,D 错误.A 错误,否命题应为“若函数f (x )=e x -mx 在(0,+∞)上不是增函数,则m>1”.故选B .【答案】B13.(2017山东潍坊模拟)若“m>a ”是“函数f (x )=(13)x+m-13的图象不过第三象限”的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是 .【解析】∵函数f (x )=(13)x+m-13的图象不过第三象限,∴1+m-13≥0,解得m ≥-23.∵“m>a ”是“函数f (x )=(13)x+m-13的图象不过第三象限”的必要不充分条件,∴a<-23.【答案】(-∞,-23)14.(2017上海市风华中学期中)定义:若m-12<x ≤m+12(m ∈Z),则m 叫作离实数x 最近的整数,记作{x },即m={x }.给出关于函数f (x )=x-{x }的四个命题:①定义域为R,值域为(-12,12];②点(k ,0)(k ∈Z)是函数f (x )图象的对称中心;③函数f (x )的最小正周期为1; ④函数f (x )在(-12,32]上是增函数. 其中,真命题的序号是 .【解析】令x=m+a ,a ∈(-12,12],则f (x )=x-{x }=a ∈(-12,12],∴①正确. 令k=0,∵f (12)=12-{12}=12,f (-12)=-12-{-12}=-12+1=12,∴f (12)≠-f (-12),即函数f (x )不关于点(0,0)对称,∴②错误. ∵f (x+1)=(x+1)-{x+1}=x-{x }=f (x ), ∴函数f (x )的最小正周期为1,∴③正确. 当x=32时,m=1,f (32)=12, 当x=12时,m=0,f (12)=12,∴f (32)=f (12),∴④错误. 【答案】①③§1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一简单的逻辑联结词1.命题中的“ ”“ ”“ ”叫作逻辑联结词.2.命题p ∧q ,p ∨q , p 的真假判定p q p ∧q p ∨q p真真真假假真假假二全称命题与存在命题1.全称量词:短语“”“任意一个”在逻辑中通常叫作全称量词,用符号“∀”表示.2.全称命题:含有的命题,叫作全称命题.全称命题“对M中任意一个x,有p(x)成立”可用符号简记为.3.存在量词:短语“”“至少有一个”在逻辑中通常叫作存在量词,用符号“”表示.4.特称命题:含有存在量词的命题,叫作特称命题.特称命题“存在M中的一个元素x0,使p(x0)成立”可用符号简记为.三含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p(x)∃x0∈M,p(x0)判断下列结论是否正确,正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.(1)命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题.()(2)命题p和 p不可能都是真命题.()命题p:对任意x∈R,sin x<1,命题q:存在x∈R,cos x≤-1,则下列命题是真命().A.p∧qB.( p)∧qC.p∨( q)D.( p)∧( q)给出下列命题:①对任意x∈N,x3>x2;②存在x∈R,x02-x0+1≤0;③存在一个四边形,它的对角线互相垂直.以上命题的否定中,真命题为.(填序号)下列命题中的假命题是().A.∀x∈R,2x-1>0B.∀x∈N*,(x-1)2>0C.∃x0∈R,ln x0<1D.∃x0∈R,tan x0=2知识清单一、1.或且非2.真真假假真假假真真假假真二、1.所有的2.全称量词∀x∈M,p(x)3.存在一个∃4.∃x0∈M,p(x0)三、∃x0∈M, p(x0)∀x∈M, p(x)基础训练1.【解析】(1)错误,命题p且q为假命题,则命题p,q都是假命题或一个是真命题,一个是假命题.(2)正确,命题p和 p真假相反,故不可能都是真命题.【答案】(1)×(2)√2.【解析】当x=π时,sin x=1,所以p为假命题, p为真命题;当x=π时,cos x=-1,2所以q为真命题, q为假命题.故( p)∧q为真命题.【答案】B3.【解析】①的原命题为假命题,其否定为真命题;②的原命题为假命题,其否定为真命题;③的原命题为真命题,其否定为假命题.故真命题的序号为①②.【答案】①②4.【解析】因为2x-1>0对∀x∈R恒成立,所以选项A中的命题是真命题;当x=1时,(x-1)2=0,所以选项B中的命题是假命题;存在0<x0<e,使得ln x0<1,所以选项C中的命题是真命题;因为正切函数y=tan x的值域是R,所以选项D中的命题是真命题.【答案】B题型一含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】已知命题p:函数y=sin(2x+π4)和函数y=cos(2x-3π4)的图象关于原点对称,命题q:当x=kπ+π2(k∈Z)时,函数y=√2(sin 2x+cos 2x)取得极小值,则下列说法正确的是().A.p∨q是假命题B.( p)∧q是假命题C.p∧q是真命题D.( p)∨q是真命题【解析】命题p中,y=cos(2x-3π4)=cos(2x-π4-π2)=cos[π2-(2x-π4)]=sin(2x-π4),y=sin(2x-π4)与y=sin(2x+π4)的图象关于原点对称,故p为真命题.命题q中,当y=√2(sin2x+cos 2x)=2sin(2x+π4)取得极小值时,2x+π4=2kπ-π2,即x=kπ-3π8,k∈Z,故q为假命题.所以( p)∧q为假命题,故选B.【答案】B【变式训练1】(2017洛阳一模)已知命题p:∃x0∈R,使sin x0=√52;命题q:∀x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论:①命题“p ∧q ”是真命题; ②命题“p ∧( q )”是假命题; ③命题“( p )∨q ”是真命题; ④命题“( p )∨( q )”是假命题. 其中结论正确的是( ). A .②③ B .②④ C .③④ D .①②③【解析】因为√52>1,所以命题p 是假命题.因为x 2+x+1=(x +12)2+34≥34>0,所以命题q 是真命题.故结论②③正确.【答案】A题型二全称命题与特称命题【例2】下列命题中的真命题是( ).A .存在x ∈R,使得sin x+cos x=32 B .对任意x ∈(0,+∞),e x >x+1 C .存在x ∈(-∞,0),2x <3x D .对任意x ∈(0,π),sin x>cos x【解析】因为sin x+cos x=√2sin (x +π4)≤√2<32,所以A 错误;当x<0时,y=2x的图象在y=3x 的图象上方,故C 错误;当x ∈(0,π4)时,sin x<cos x ,故D 错误.所以选B .【答案】B【变式训练2】已知命题p :∀x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1))·(x 2-x 1)≥0,则 p 是( ).A .∃x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0B .∀x 1,x 2∈R,(f (x 2)-f (x 1))(x 2-x 1)≤0C.∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0D.∀x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0【解析】由命题的否定的定义可得, p:∃x1,x2∈R,(f(x2)-f(x1))(x2-x1)<0.【答案】C题型三根据命题的真假求参数的取值范围【例3】已知命题p:对任意x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:存在x∈R,x2+2ax+2-a=0,若p且q为真命题,求实数a的取值范围.【解析】若p且q为真命题,则p,q都是真命题.x2≥a在[1,2]上恒成立,只需a≤(x2)min=1,所以命题p:a≤1.设f(x)=x2+2ax+2-a,存在x∈R使f(x)=0,只需Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a2+a-2≥0,解得a≥1或a≤-2,所以命题q:a≥1或a≤-2.由{a≤1,a≥1或a≤−2,得a=1或a≤-2,故实数a的取值范围是a=1或a≤-2.根据命题的真假求参数的取值范围的方法步骤:先根据题目条件,得出每一【变式训练3】已知p:存在x∈R,mx2+1≤0,q:对任意x∈R,x2+mx+1>0,若p 或q为假命题,则实数m的取值范围为().A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2【解析】依题意知p,q均为假命题.当p是假命题时,mx2+1>0恒成立,则有m≥0;当q是真命题时,Δ=m2-4<0,即-2<m<2.因此由p,q均为假命题得{m≥0,m≤−2或m≥2,即m≥2.【答案】A方法分类讨论思想在命题真假判断中的应用【突破训练】(2017福建四校联考)已知命题p :函数y=x 2-2x+a 在区间(1,2)上有一个零点,命题q :函数y=x 2+(2a-3)x+1的图象与x 轴交于不同的两点.若p 且q 是假命题,p 或q 是真命题,则实数a 的取值范围是 .【解析】若命题p 为真命题,则函数y=x 2-2x+a 在区间(1,2)上有一个零点, 因为二次函数的图象开口向上,对称轴为直线x=1, 所以{12-2×1+a <0,22-2×2+a >0,得0<a<1.若命题q 为真命题,则函数y=x 2+(2a-3)x+1的图象与x 轴交于不同的两点,由Δ=(2a-3)2-4>0,得4a 2-12a+5>0,解得a<12或a>52.因为p 且q 是假命题,p 或q 是真命题, 所以p ,q 一真一假. 若p 真q 假,则{0<a <1,12≤a ≤52,解得12≤a<1;若p 假q 真,则{a ≤0或a ≥1,a <12或a >52,解得a ≤0或a>52.故实数a 的取值范围是a ≤0或12≤a<1或a>52. 【答案】a ≤0或12≤a<1或a>521.(2017吉林长春第一次质检)命题“∃x 0>0,使得2x 0(x 0-a )>1”的否定是( ).A .∀x>0,2x (x-a )>1。

2019版高考数学(文)高分计划一轮狂刷练：第5章数列 5-2a含解析

[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．已知{a n}为等差数列，其前n项和为S n，若a3＝6，S3＝12，则a10等于()A．18 B．20 C．16 D．22答案 B解析由题意得S3＝3a2＝12，解得a2＝4，所以公差d＝a3－a2＝2，a10＝a3＋7d＝20.故选B.2．(2018·武汉调研)若等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S4＝4，S6＝12，则S2＝()A．－1 B．0 C．1 D．3答案 B解析{a n}为等差数列，则S2，S4－S2，S6－S4也是等差数列，所以2(4－S2)＝S2＋(12－4)⇒S2＝0.故选B.3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？()A．18 B．20 C．21 D．25答案 C解析织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n}，a1＝5，前30项和为390，于是30(5＋a30)2＝390，解得a30＝21，即该织女最后一天织21尺布．选C.4．(2018·郑州质检)已知等差数列{a n}的前10项和为30，a6＝8，则a100＝()A．100 B．958 C．948 D．18答案 C解析设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧a 1＋5d ＝8，10a 1＋10×92d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－42，d ＝10，所以a 100＝－42＋99×10＝948.故选C.5．(2018·河南测试)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n a n＝n ＋12，则下列结论中正确的是( )A.a 2a 3＝2B.a 2a 3＝32C.a 2a 3＝23D.a 2a 3＝13 答案 C解析由已知可得S n ＝n ＋12a n ，则S n －1＝n2a n －1(n ≥2)，两式相减可得a n ＝n ＋12a n －n2a n －1(n ≥2)，化简得a n －1a n ＝n －1n (n ≥2)，当n ＝3时，可得a 2a 3＝23.故选C.6．(2018·石家庄一模)已知函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，且函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，若数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，则数列{a n }的前100项的和为( )A ．－200B ．－100C ．0D ．－50 答案 B解析因为函数y ＝f (x －2)的图象关于直线x ＝1对称，则函数f (x )的图象关于直线x ＝－1对称．又函数f (x )在(－1，＋∞)上单调，数列{a n }是公差不为0的等差数列，且f (a 50)＝f (a 51)，所以a 50＋a 51＝－2，所以S 100＝100(a 1＋a 100)2＝50(a 50＋a 51)＝－100.故选B. 7．(2018·湖南湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( )A ．2016B ．2017C ．4032D ．4033 答案 C解析因为a 1＞0，a 2016＋a 2017＞0，a 2016·a 2017＜0，所以d ＜0，a 2016＞0，a 2017＜0，所以S 4032＝4032(a 1＋a 4032)2＝4032(a 2016＋a 2017)2＞0，S 4033＝4033(a 1＋a 4033)2＝4033a 2017＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是4032.故选C.8．(2017·湖南长沙四县3月联考)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(ɡuǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A ．72.4寸B ．81.4寸C ．82.0寸D ．91.6寸答案 C解析设《易经》中记录的冬至、小寒、大寒、立春、……、夏至的晷影长依次为a 1，a 2，…，a 13，由题意知它们构成等差数列，设公差为d ，由a 1＝130.0, a 13＝14.8，得130.0＋12d ＝14.8，解得d ＝－9.6.∴a 6＝130.0－9.6×5＝82.0.∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故选C. 9．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中联考)已知数列{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，数列{b n }满足b n ＝1＋a na n.若对任意的n∈N *，都有b n ≥b 8成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－8，－7)B ．[－8，－7)C ．(－8，－7]D ．[－8，－7]答案 A解析因为{a n }是首项为a ，公差为1的等差数列，所以a n ＝n ＋a －1，因为b n ＝1＋a na n ，又对任意的n ∈N *，都有b n ≥b 8成立，所以1＋1a n ≥1＋1a 8，即1a n ≥1a 8对任意的n ∈N *恒成立，因为数列{a n }是公差为1的等差数列，所以{a n }是单调递增的数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 8＜0，a 9＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧8＋a －1＜0，9＋a －1＞0，解得－8＜a ＜－7.故选A.10．(2018·云南二检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 11＝22，a 4＝－12，如果当n ＝m 时，S n 最小，那么m 的值为( )A ．10B ．9C ．5D ．4 答案 C解析设等差数列{a n }的公差为d .由已知得11(a 1＋a 11)2＝22，所以11a 6＝22，解得a 6＝2，所以d ＝a 6－a 42＝7，所以a n ＝a 4＋(n －4)d ＝7n －40，所以数列{a n }是单调递增数列，又因为a 5＝－5<0，a 6＝2>0，所以当n ＝5时，S n 取得最小值，故选C.二、填空题11．(2014·北京高考)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．12．(2018·金版原创)已知函数f (x )＝cos x ，x ∈(0,2π)有两个不同的零点x 1，x 2，且方程f (x )＝m 有两个不同的实根x 3，x 4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m ＝________.答案－32解析若m >0，则公差d ＝3π2－π2＝π，显然不成立，所以m <0，则公差d ＝3π2－π23＝π3.所以m ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－32. 13．(2018·青岛模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“吉祥数列”，则数列{b n }的通项公式为________．答案 b n ＝2n －1解析设等差数列{b n }的公差为d (d ≠0)，S nS 2n ＝k ，因为b 1＝1，则n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意的正整数n 上式均成立，所以(4k －1)d ＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14.所以数列{b n }的通项公式为 b n ＝2n －1.14．(2018·安徽安庆模拟)已知数列{a n }是各项均不为零的等差数列，S n 为其前n 项和，且a n ＝S 2n －1(n ∈N *)．若不等式λa n≤n ＋8n 对任意n ∈N *恒成立，则实数λ的最大值为________．答案 9解析 a n ＝S 2n －1⇒a n ＝(2n －1)(a 1＋a 2n －1)2＝ (2n －1)a n ⇒a 2n ＝(2n －1)a n ⇒a n ＝2n －1，n ∈N *.因为λa n ≤n ＋8n ，所以λ≤(n ＋8)(2n －1)n ，即λ≤2n －8n ＋15.易知y ＝2x －8x (x >0)为增函数，所以2n －8n ＋15≥2×1－81＋15＝9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9.三、解答题15．(2017·中卫一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列．(1)若a ＝1，b ＝3，求sin C ；(2)若a ，b ，c 成等差数列，试判断△ABC 的形状．解 (1)由A ＋B ＋C ＝π，2B ＝A ＋C ，得B ＝π3.由a sin A ＝b sin B ，得1sin A ＝332，得sin A ＝12，又0＜A ＜B ，∴A ＝π6，则C ＝π－π3－π6＝π2. ∴sin C ＝1.(2)由2b ＝a ＋c ，得4b 2＝a 2＋2ac ＋c 2，又b 2＝a 2＋c 2－ac ，得4a 2＋4c 2－4ac ＝a 2＋2ac ＋c 2，得3(a －c )2＝0，∴a ＝c ，∴A ＝C ，又A ＋C ＝2π3，∴A ＝C ＝B ＝π3， ∴△ABC 是等边三角形．16．(2018·郑州模拟)数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝12－a n(n ∈N *)．(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1为等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n－1，数列{b n }的前n 项和为B n ，对任意n ≥2都有B 3n －B n >m20成立，求正整数m 的最大值．解 (1)证明：因为a n ＋1＝12－a n，所以1a n ＋1－1＝112－a n －1＝2－a n a n －1＝－1＋1a n －1，即1a n ＋1－1－1a n －1＝－1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是首项为－2，公差为－1的等差数列，所以1a n －1＝－2＋(n －1)×(－1)＝－(n ＋1)，所以a n ＝nn ＋1.(2)b n ＝n ＋1n －1＝1n ，令C n ＝B 3n －B n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ，所以C n ＋1－C n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13(n ＋1)－1n ＋1－…－13n ＝－1n ＋1＋13n ＋2＋13n ＋3＋13n ＋1＝13n ＋2－23n ＋3＋13n ＋1>23n ＋3－23n ＋3＝0， ∴C n ＋1－C n >0，{C n }为单调递增数列，又∵n ≥2， ∴(B 3n －B n )min ＝B 6－B 2＝13＋14＋15＋16＝1920， m 20<1920，m <19.又m ∈N *，所以m 的最大值为18.。

2019版高考数学一轮复习第五章数列分层限时跟踪练.doc

非常考案通用版2019版高考数学一轮复习第五章数列分层限时跟踪练一、选择题1．(2015·贵州八校联盟)已知数列{a n }是等差数列，若a 2＋2，a 4＋4，a 6＋6构成等比数列，则数列{a n }的公差d 等于( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2【解析】因为a 2＋2，a 4＋4，a 6＋6构成等比数列，所以(a 4＋4)2＝(a 2＋2)(a 6＋6)，化简得d 2＋2d ＋1＝0，所以d ＝－1，故选B.【答案】 B2．(2015·江西省高考适应性测试)已知数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝8，数列{a n ＋1－2a n }是公比为2的等比数列，则下列判断正确的是( )A ．{a n }是等差数列B ．{a n }是等比数列 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等比数列【解析】由已知a 2－2a 1＝4，a n ＋1－2a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，所以{a n2n }是等差数列，故选C. 【答案】 C3．已知在数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( ) A ．445 B ．765 C ．1 080D ．3 105【解析】 ∵a n ＋1＝a n ＋3，∴a n ＋1－a n ＝3. ∴{a n }是以－60为首项，3为公差的等差数列． ∴a n ＝－60＋3(n －1)＝3n －63，n ∈N *. 令a n ≤0，得n ≤21.∴前20项都为负值．∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋a 21＋…＋a 30＝－2S 20＋S 30. ∵S n ＝n a 1＋a n2＝n －123＋3n2，∴|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝765，故选B. 【答案】 B4．设某商品一次性付款的金额为a 元，以分期付款的形式等额地分n 次付清，若每期利率r 保持不变，按复利计算，则每期期末所付款是( )A.a n(1＋r )n元 B.ar 1＋r n 1＋r n－1元 C.a n(1＋r )n －1元 D.ar 1＋r n －11＋r n－1元【解析】设每期期末所付款是x 元，则各次付款的本利和为x (1＋r )n －1＋x (1＋r )n －2＋x (1＋r )n －3＋…＋x (1＋r )＋x ＝a (1＋r )n，即x ·1＋rn－1r＝a (1＋r )n，故x ＝ar 1＋r n1＋r n－1. 【答案】 B5．(2015·浙江高考)已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n ，若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( )A ．a 1d >0，dS 4>0B ．a 1d <0，dS 4<0C ．a 1d >0，dS 4<0D ．a 1d <0，dS 4>0【解析】 ∵a 3，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 3a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋2d )(a 1＋7d )，展开整理，得－3a 1d ＝5d 2，即a 1d ＝－53d 2.∵d ≠0，∴a 1d <0.∵S n ＝na 1＋n n －12d ，∴S 4＝4a 1＋6d ，dS 4＝4a 1d ＋6d 2＝－23d 2<0.【答案】 B 二、填空题6．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于．【解析】每天植树的棵树构成以2为首项，2为公比的等比数列，其前n 项和S n ＝a 11－q n 1－q ＝21－2n1－2＝2n ＋1－2.由2n ＋1－2≥100，得2n ＋1≥102，由于26＝64,27＝128，则n ＋1≥7，即n ≥6.【答案】 67．(2015·天津模拟)已知数列{a n }满足 a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn的最小值为．【解析】 a n ＝a n －a n －1＋a n －1－a n －2＋…＋a 2－a 1＋a 1＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2＋33＝2(1＋2＋…＋n －1)＋33＝(n －1)n ＋33，故a n n＝n ＋33n－1.令f (x )＝x ＋33x －1，则f (x )＝x ＋33x－1在(0，33)上单调递减，在(33，＋∞)上单调递增．又f (5)＝535＞f (6)＝636，故a n n 的最小值为636.【答案】6368．(2014·安徽高考)如图551，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC ＝22，过点A 作BC 的垂线，垂足为A 1，过点A 1作AC 的垂线，垂足为A 2；过点A 2作A 1C 的垂线，垂足为A 3；…，依此类推．设BA ＝a 1，AA 1＝a 2，A 1A 2＝a 3，…，A 5A 6＝a 7，则a 7＝ .图551【解析】根据题意易得a 1＝2，a 2＝2，a 3＝1， ∴{a n }构成以a 1＝2，q ＝22的等比数列， ∴a 7＝a 1q 6＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫226＝14. 【答案】 14三、解答题9．(2015·吉林模拟)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，它的前n 项和为S n ，若S 5＝70，且a 2，a 7，a 22成等比数列，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和为T n ，求证：16≤T n ＜38.【解】 (1)由已知及等差数列的性质得S 5＝5a 3，∴a 3＝14，又a 2，a 7，a 22成等比数列，即a 27＝a 2·a 22.由(a 1＋6d )2＝(a 1＋d )(a 1＋21d )且d ≠0，解得a 1＝32d ，∴a 1＝6，d ＝4.故数列{a n }的通项公式为a n ＝4n ＋2，n ∈N *. (2)由(1)得S n ＝n a 1＋a n2＝2n 2＋4n ，1S n＝12n 2＋4n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1n ＋2＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 又T n ≥T 1＝38－14⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＝16，所以16≤T n ＜38.10.(2015·安徽高考)设n ∈N *，x n 是曲线y＝x2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标．(1)求数列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x 22n －1，证明：T n ≥14n .【解】 (1)y ′＝(x 2n ＋2＋1)′＝(2n ＋2)x2n ＋1，曲线y ＝x2n ＋2＋1在点(1,2)处的切线斜率为2n ＋2，从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)．令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1，所以数列{x n }的通项公式x n ＝n n ＋1.(2)证明：由题设和(1)中的计算结果知，T n ＝x 21x 23…x 22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝14.当n ≥2时，因为x22n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n －12n 2＝2n －122n 2>2n －12－12n 2＝2n －22n ＝n －1n，所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×23×…×n －1n ＝14n .综上可得，对任意的n ∈N *，均有T n ≥14n.[能力练]扫盲区提素能1．已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n －1＝2a n ，n ≥2，点O 是平面上不在l 上的任意一点，l 上有不重合的三点A 、B 、C ，又知a 2OA →＋a 2 009OC →＝OB →，则S 2 010＝( )A ．1 004B ．2 010C ．2 009D ．1 005【解析】如图所示，设AB →＝λAC →，则a 2OA →＋a 2 009OC →＝OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋λAC →＝OA →＋λ(OC →－OA →)．故(a 2－1＋λ)OA →＝(λ－a 2 009)OC →.又∵A 、B 、C 三点不重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＋λ＝0，λ－a 2 009＝0，∴a 2＋a 2 009＝1.又∵a n ＋1＋a n －1＝2a n ，n ≥2，∴{a n }为等差数列．∴S 2 010＝2 010×a 1＋a 2 0102＝2 010×a 2＋a 2 0092＝1 005.【答案】 D2．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64 【解析】依题意有a n a n ＋1＝2n，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除，得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…成等比数列．而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64. 【答案】 D3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝25－n，数列{b n }的通项公式为b n ＝n ＋k ，设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，a n ≤b n ，a n ，a n ＞b n ，若在数列{c n }中，c 5≤c n 对任意n ∈N *恒成立，则实数k 的取值范围是．【解析】数列c n 是取a n 和b n 中的最大值，据题意c 5是数列{c n } 的最小项，由于函数y ＝25－n 是减函数，函数y ＝n ＋k 是增函数，所以b 5≤a 5≤b 6或a 5≤b 5≤a 4，即5＋k ≤25－5≤6＋k 或25－5≤5＋k ≤25－4，解得－5≤k ≤－4或－4≤k ≤－3，所以－5≤k ≤－3.【答案】 [－5，－3]4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1，前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，不等式S 2n －S n ＞m16恒成立，则常数m 所能取得的最大整数为．【解析】要使S 2n －S n ＞m 16恒成立，只需(S 2n －S n )min ＞m16.因为(S 2(n ＋1)－S n ＋1)－(S 2n －S n )＝(S 2n ＋2－S 2n )－(S n ＋1－S n )＝a 2n ＋1＋a 2n ＋2－a n ＋1 ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋2＞12n ＋2＋12n ＋4－1n ＋2＝12n ＋2－12n ＋4＞0，所以S 2n －S n ≥S 2－S 1＝13，所以m 16＜13，即m ＜163，故m 所能取得的最大整数为5.【答案】 55．(2014·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1.(1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)证明：1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.【证明】 (1)由a n ＋1＝3a n ＋1，得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12.又a 1＋12＝32，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列．a n ＋12＝3n 2，因此{a n }的通项公式为a n ＝3n－12.(2)由(1)知1a n ＝23n －1.因为当n ≥1时，3n－1≥2×3n －1，所以13n －1≤12×3n －1＜13n －1.于是1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜1＋13＋…＋13n －1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n <32.所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.6．(2015·青岛模拟)已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n ＜T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．【解】 (1)由a 2＋a 7＋a 12＝－6得a 7＝－2，∴a 1＝4，∴a n ＝5－n ，从而S n ＝n 9－n2，n ∈N *.(2)由题意知b 1＝4，b 2＝2，b 3＝1，设等比数列{b n }的公比为q ，则q ＝b 2b 1＝12，∴T m ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m 1－12＝8⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12m ，∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12m随m 增加而递减，∴{T m }为递增数列，得4≤T m ＜8.又S n ＝n 9－n2＝－12(n 2－9n )＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫n －922－814，故(S n )max ＝S 4＝S 5＝10，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *总有S n ＜T m ＋λ，则10＜4＋λ，得λ＞6. 即实数λ的取值范围为(6，＋∞)．。

2019版高考数学(理)一轮狂刷练：第5章数列5-3a含解析

n
)
B．2016 D．4032
21－210 11 21－24 5 ＝2，所以 an＝2 ，S10＝＝2 －2＝2046，S4＝＝2 －2＝30，所以 1－2 1－2
S10－S4＝2016.故选 B. 7．(2018·上海黄浦模拟)已知{an}是首项为 1 的等比数列，若 Sn 是数列{an}的 1 前 n 项和，且 28S3＝S6，则数列 an 的前 4 项和为( 15 A. 或 4 8 40 C. 27 答案 C 解析设数列{an}的公比为 q. 当 q＝1 时，由 a1＝1，得 28S3＝28×3＝84，S6＝6，两者不相等，因此不合题意． 281－q3 1－q6 当 q≠1 时，由 28S3＝S6 及首项为 1，得＝，解得 q＝3. 1－q 1－q 所以数列{an}的通项公式为 an＝3n 1.
[基础送分提速狂刷练] 一、选择题 1．(2018·邢台摸底)已知数列{an}为等比数列，a5＝1，a9＝81，则 a7＝( A．9 或－9 C．27 或－27 答案 B a7 2 解析依题意得 a2 7＝a5·a9＝81，又注意到＝q >0(其中 q 为公比)，因此 a5， a5 a7 的符号相同，故 a7＝9.故选 B. 2．(2018·安徽安庆模拟)数列{an}满足：an＋1＝λan－1(n∈N*，λ∈R 且λ≠0)，若数列{an－1}是等比数列，则λ的值等于( A．1 1 C. 2 答案 D 2 an－解析由 an＋1＝λan－1，得 an＋1－1＝λan－2＝λ λ .由于数列{an－1}是等比 2 数列，所以＝1，得λ＝2.故选 D. λ 3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地，请问第二天走了( A．192 里 C．48 里答案 B 1 1－ 6 a1 2 1 解析设等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q＝，依题意有 1 ＝378， 2 1－ 2 B．96 里 D．24 里 ) B．－1 D．2 ) B．9 D．27 )

近年届高考数学一轮复习第五篇数列第3节等比数列训练理新人教版(2021年整理)

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第3节等比数列【选题明细表】知识点、方法题号等比数列的判定与证明2,15等比数列的基本运算1，8等比数列的性质3,5,7等差、等比数列的综合4，6，9，11,13，14等比数列与其他知识的综合10,12基础巩固（时间:30分钟）1.（2017·山西一模）设S n是等比数列{a n}的前n项和,a3=,S3=,则公比q等于（ C )(A）（B）—(C)1或—（D)1或解析:因为a3=,S3=,所以两式相比,化简得2q2—q-1=0，解得q=1或-，故选C。

2.(2017·广西钦州二模)已知数列{a n｝满足：=，且a2=2，则a4等于( D ）(A）- （B)23 （C）12 （D）11解析:因为数列｛a n｝满足：=,所以a n+1+1=2（a n+1）,即数列{a n+1｝是等比数列，公比为2。

则a4+1=22(a2+1）=12,解得a4=11.故选D.3.（2017·郑州三模)已知等比数列{a n}，且a6+a8=4，则a8（a4+2a6+a8）的值为（ D )（A）2 (B）4 （C）8 （D）16解析:由题意知:a8（a4+2a6+a8)=a8a4+2a8a6+=+2a6a8+=(a6+a8）2,因为a6+a8=4,所以a8a4+2a8a6+=(a6+a8)2=16.故选D。

2019年高考数学一轮总复习第五章数列5.4数列求和课时跟踪检测理201805194269

5.4 数列求和[课时跟踪检测][基础达标]1．已知数列{a n }是等差数列，a 1＝tan225°，a 5＝13a 1，设S n 为数列{(－1)na n }的前n 项和，则S 2 014＝( )A ．2 015B ．－2 015C ．3 021D ．－3 022解析：由题知a 1＝tan(180°＋45°)＝1，∴a 5＝13 ∴d ＝a 5－a 15－1＝124＝3. ∴a n ＝1＋3(n －1)＝3n －2. 设b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(3n －2)，∴S 2 014＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－6 037＋6 040)＝3×1 007＝3 021.故选C. 答案：C2．设{a n }是公差不为零的等差数列，a 2＝2，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则数列{a n }的前n 项和S n ＝( )A.n 24＋7n 4 B ．n 22＋3n 2C.n 24＋3n4D ．n 22＋n2解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 23＝a 1a 9得(a 2＋d )2＝(a 2－d )(a 2＋7d )，代入a 2＝2，解得d ＝1或d ＝0(舍)． ∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n ， ∴S n ＝a 1＋a n n2＝1＋n n 2＝n 22＋n 2.故选D. 答案：D3．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．29B ．31C ．33D ．36解析：设等比数列{a n }的公比为q 则a 21q 3＝2a 1，①a 1q 3＋2a 1q 6＝52，②解得a 1＝16，q ＝12，∴S 5＝a 11－q 51－q＝31，故选B.答案：B4．已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2.(1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝32S n ，求{c n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{b n }的公差为d ， ∵a 3＋S 3＝27，q ＝S 2a 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧q 2＋3d ＝18，6＋d ＝q 2.求得q ＝3，d ＝3，∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由题意得S n ＝n 3＋3n2，c n ＝32S n ＝32×23×1n n ＋1＝1n －1n ＋1. ∴T n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.5．(2017届广州综合测试)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解：(1)设数列{a n }的公比为q ，因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2. 因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，化简得q 2－2q ＝0. 因为公比q ≠0，所以q ＝2. 所以a n ＝a 2qn －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n，所以b n ＝2log 2a n －1＝2n －1，所以a n b n ＝(2n －1)2n，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n＋(2n －1)·2n ＋1.②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×41－2n －11－2－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.6．S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，① 可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3.②②－①，得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3. 所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝12n ＋12n ＋3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3.设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n32n ＋3.7．已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)． (1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n(n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5，所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6，所以{a n }是等差数列，首项为1，公差为6，即a n ＝6n －5. (2)因为b n ＝2n，所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2，由λa n >2n＋n ＋2λ得λ>2n＋n 2n ＋1＝12＋n 2n ＋1，令f (n )＝12＋n 2n ＋1，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12n ＋2－n 2n ＋1＝1－n2n ＋2≤0，所以12＋n2n ＋1在n ≥1时单调递减，所以当n ＝1,2时，2n＋n 2n ＋1取最大值34，故λ的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞. [能力提升]1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是公差为2的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)由已知得S n n＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以S n ＝2n 2－n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3. a 1＝1＝4×1－3，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)可得b n ＝(－1)na n ＝(－1)n(4n －3)．当n 为偶数时，T n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n －7)＋(4n －3)]＝4×n2＝2n ，当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1，综上，T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n ＝2k ，k ∈N *，－2n ＋1，n ＝2k －1，k ∈N *.2．在数列{a n }中，已知a n >1，a 1＝1＋3，且a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，记b n ＝(a n －1)2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：13≤1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n <34.解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2a n ＋1＋a n －2，所以a 2n ＋1－a 2n －2a n ＋1＋2a n ＝2，即(a n ＋1－1)2－(a n －1)2＝2. 又b n ＝(a n －1)2，n ∈N *，所以b n ＋1－b n ＝2，数列{b n }是以b 1＝(1＋3－1)2＝3为首项，2为公差的等差数列，故b n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)证明：由(1)得S n ＝n 3＋2n ＋12＝n (n ＋2)，所以1S n ＝1nn ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，n ∈N *，所以1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2<34.记T n ＝1S 1＋1S 2＋1S 3＋…＋1S n，因为1S n>0，n ∈N *，所以T n 单调递增．故T n ≥T 1＝1S 1＝13.综上13≤1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34.3．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2n ＋a n ＝2S n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.解：(1)因为当n ∈N *时，a 2n ＋a n ＝2S n ，故当n >1时，a 2n －1＋a n －1＝2S n －1，两式相减得，a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1＝2S n －2S n －1＝2a n ，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1. 因为a n >0，所以a n ＋a n －1>0，所以当n >1时，a n －a n －1＝1.又当n ＝1时，a 21＋a 1＝2S 1＝2a 1，得a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n .(2)证明：由(1)及等差数列的前n 项和公式知S n ＝n n ＋12，所以S n ＝n n ＋12>n 22＝n2，所以S 1＋S 2＋…＋S n >12＋22＋…＋n2＝1＋2＋…＋n 2＝S n2. 又S n ＝n n ＋12< n ＋122＝n ＋12，所以S 1＋S 2＋…＋S n <22＋32＋…＋n ＋12＝1＋2＋…＋n ＋12－12＝S n ＋1－12，所以S n2<S 1＋S 2＋…＋S n <S n ＋1－12.附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

2019版高考数学理高分计划一轮狂刷练：第5章数列 5-4a 含解析精品

[重点保分两级优选练]A 级一、选择题1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则a n ＋100＋a n －98＝( )A ．8n ＋6B ．4n ＋1C ．8n ＋3D ．4n ＋3答案 A解析设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，由S 2＝10，S 5＝55，可得⎩⎨⎧2a 1＋2(2－1)2d ＝10，5a 1＋5(5－1)2d ＝55，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝4，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1，则a n ＋100＋a n －98＝2a n＋1＝8n ＋6.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差是( )A ．1B ．2C ．4D ．6答案 B解析由S 33－S 22＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d 2＝1，所以d ＝2.故选B.3．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n Tn＝7n n ＋3，则a 5b 5＝( ) A.23 B.278 C ．7 D.214答案 D解析 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝9(a 1＋a 9)29(b 1＋b 9)2＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.故选D.4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2，当n 为正奇数时，－n 2，当n 为正偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )A ．0B ．100C ．－100D ．102答案 B解析由题意，得a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2018项的和等于( )A ．1512B ．1513C ．1513.5D ．2018 答案 C解析因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎨⎧12，n ＝2k －1(k ∈N *)，1，n ＝2k (k ∈N *)，故数列的前2018项的和S 2018＝1009×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝1513.5.故选C.6．在数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n－1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n 等于( )A ．(3n －1)2B.12(9n－1) C ．9n－1 D.14(3n－1)答案 B解析因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n－1－1(n ≥2)．则n ≥2时，a n ＝2×3n －1.当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．则数列{a 2n }是首项为4，公比为9的等比数列．故选B.7．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝2(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2017的值为( )A.20142015B.20152016 C.20162017 D.20172018答案 D解析直线与x 轴交于⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ，0，与y 轴交于⎝⎛⎭⎪⎫0，2n ＋1，∴S n ＝12·2n ·2n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12017－12018＝1－12018＝20172018.故选D.8．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝14a 1，且a 4与a 7的等差中项为98，则S 5等于( )A ．35B ．33C ．31D ．29答案 C解析设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 3a 5＝a 21q 6＝14a 1，得a 1q 6＝14，即a 7＝14.又a 4＋a 7＝2×98，解得a 4＝2，所以q 3＝a 7a 4＝18，所以q＝12，a 1＝16，故S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1321－12＝31.故选C.9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )A ．若a 3>0，则a 2017<0B ．若a 4>0，则a 2018<0C ．若a 3>0，则S 2017>0D ．若a 4>0，则S 2018>0答案 C解析等比数列{a n }的公比q ≠0.对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a 2017＝a 1q 2016>0，所以A 不成立；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a 2018＝a 1q 2017>0，所以B 不成立；对于C ，若a 3>0，则a 1＝a 3q 2>0，所以当q ＝1时，S 2017>0，当q ≠1时，S 2017＝a 1(1－q 2017)1－q >0(1－q 与1－q 2017同号)，所以C 一定成立，易知D 不一定成立．故选C.10．在数列{a n }中，a n >0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是( )A.10099B.101100C.100101D.99100答案 C解析由题意，可得a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0⇒a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n ⇒1a n ＋1－1＝1a n －1－1，∴1a n －1＝112－1－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a n n 2＝1n (n ＋1)＝1n－1n ＋1，∴a 1＋a 222＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋…＋1100－1101＝100101.故选C.二、填空题11．S n ＝1＋11＋111＋…＋11…1n 个＝________. 答案 10n ＋1－9n －1081 解析 ∵a n ＝19(10n －1)， ∴S n ＝1＋11＋111＋…＋11…1n 个＝19[(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n －1)] ＝19[(10＋102＋…＋10n )－n ]＝19⎣⎢⎡⎦⎥⎤10(10n －1)9－n ＝10n ＋1－9n －1081. 12．数列{a n }满足：a 1＝43，且a n ＋1＝4(n ＋1)a n 3a n ＋n (n ∈N *)，则1a 1＋2a2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝________.答案 201723＋13×42018解析由题意可知n ＋1a n ＋1＝34＋14·n a n ⇒n ＋1a n ＋1－1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫n a n －1，又1a 1－1＝－14，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n －1是以－14为首项，以14为公比的等比数列，所以n a n＝1－14n ，所以1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋n a n＝n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝n －13＋13·14n ，则1a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2018a 2018＝2018－13＋13×142018＝201723＋13×42018.13．设f (x )＝12x ＋2，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．答案 3 2解析 ∵6＋(－5)＝1，∴f (－5)，f (－4)，…，f (5)，f (6)共有11＋1＝12项．由f (－5)，f (6)；f (－4)，f (5)；…；f (0)，f (1)共有6对，且该数列为等差数列．又f (0)＋f (1)＝11＋2＋12＋2＝11＋2＋12(1＋2)＝2＋12(1＋2)＝12＝22，∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (6)＝6×22＝3 2.14．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝⎩⎨⎧a n ＋12，a n 是奇数，3a n －1，a n 是偶数且S 3＝10，则S 2016＝________.答案 6720解析当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝a 1＋12＋12＝a 1＋34，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋a 1＋34＝7a 1＋54＝10，解得a 1＝5，此时数列{a n }为5,3,2,5,3,2，….当a 1为奇数时，a 2＝a 1＋12，此时若a 2为偶数，则a 3＝3a 2－1＝3(a 1＋1)2－1＝3a 1＋12，∴S 3＝a 1＋a 1＋12＋3a 1＋12＝3a 1＋1＝10，解得a 1＝3，此时数列{a n }为3,2,5,3,2,5，….当a 1为偶数时，a 2＝3a 1－1，此时a 2为奇数，则a 3＝a 2＋12＝(3a 1－1)＋12＝3a 12，∴S 3＝a 1＋3a 1－1＋3a 12＝112a 1－1＝10，解得a 1＝2，此时数列{a n }为2,5,3,2,5,3，….上述三种情况中，数列{a n }均为周期数列．∵672×3＝2016，∴S 2016＝672S 3＝6720.B 级三、解答题15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4. (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列； (2)求数列{S n }的前n 项和T n .解 (1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，即S n ＝2S n－1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]，又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4(1－2n)1－2＋n (n ＋1)2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82. 16．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，a 2－1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝log 2b n b n－1a n a n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .解 (1)因为a 2n ＋1＝2S n ＋n ＋4，所以a 2n ＝2S n －1＋n －1＋4(n ≥2)，两式相减得a 2n ＋1－a 2n ＝2a n ＋1，所以a 2n ＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2，所以a n ＋1－a n ＝1.又a 23＝(a 2－1)a 7，所以(a 2＋1)2＝(a 2－1)(a 2＋5)，解得a 2＝3，又a 22＝2a 1＋1＋4，所以a 1＝2，所以{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n ＋1.故b 1＝2，b 2＝4，b 3＝8，所以b n ＝2n .(2)由(1)得，c n ＝n 2n －1(n ＋1)(n ＋2)，故T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋24＋…＋n 2n －⎣⎢⎡12×3＋13×4＋…＋⎦⎥⎤1(n ＋1)(n ＋2).设F n ＝12＋24＋…＋n 2n ，则12F n ＝122＋223＋…＋n 2n ＋1，作差得12F n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1，所以F n ＝2－n ＋22n .设G n ＝12×3＋13×4＋…＋1(n ＋1)(n ＋2)＝12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2，所以T n ＝2－n ＋22n －⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋2＝32－n ＋22n ＋1n ＋2.17．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)．(1)求m 的值；(2)若数列{b n}满足a n2＝log2b n(n∈N*)，求数列{(an＋6)·b n}的前n项和．解(1)由已知得，a m＝S m－S m－1＝4，且a m＋1＋a m＋2＝S m＋2－S m＝14，设数列{a n}的公差为d，则有2a m＋3d＝14，∴d＝2.由S m＝0，得ma1＋m(m－1)2×2＝0，即a1＝1－m，∴a m＝a1＋(m－1)×2＝m－1＝4，∴m＝5.(2)由(1)知a1＝－4，d＝2，∴a n＝2n－6，∴n－3＝log2b n，得b n＝2n－3，∴(a n＋6)·b n＝2n·2n－3＝n·2n－2.设数列{(a n＋6)·b n}的前n项和为T n，则T n＝1×2－1＋2×20＋…＋(n－1)×2n－3＋n×2n－2，①2T n＝1×20＋2×21＋…＋(n－1)×2n－2＋n×2n－1，②①－②，得－T n＝2－1＋20＋…＋2n－2－n×2n－1＝2－1(1－2n)1－2－n×2n－1＝2n－1－12－n×2n－1，∴T n＝(n－1)×2n－1＋12(n∈N*)．18．在等比数列{a n}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1，a5的等比中项为16.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝log4a n，数列{b n}的前n项和为S n，是否存在正整数k，使得1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n<k对任意n∈N*恒成立，若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．解(1)设数列{a n}的公比为q，由题意可得a3＝16，a3－a2＝8，则a2＝8，q＝2，a1＝4，所以a n＝2n＋1.(2)b n＝log42n＋1＝n＋1 2，S n＝b1＋b2＋…＋b n＝n(n＋3)4.1S n＝4n(n＋3)＝43⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋3，所以1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n＝43⎝⎛⎭⎪⎫11－14＋12－15＋13－16＋…＋1n－1n＋3＝43⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1n＋1－1n＋2－1n＋3＝43×116－43×⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3＝229－43×⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3.当n＝1时，1S1＝1<2<229；当n≥2时，1S1＋1S2＋…＋1S n＝229－43⎝⎛⎭⎪⎫1n＋1＋1n＋2＋1n＋3<229<3.故存在k＝3时，对任意的n∈N*都有1S1＋1S2＋1S3＋…＋1S n<3.。

2019届高考数学人教A版理科第一轮复习高考大题专项练五 Word版含答案

1.设O为坐标原点,动点M在椭圆C: +y2=1上,过M作x轴的垂线,垂足为N,点P满足 .
(1)求点P的轨迹方程;
(2)设点Q在直线x=-3上,且 =1.证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
2.已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足| |= ·( )+2.
3.解由题知F .
设直线l1:y=a,直线l2:y=b,则ab≠0,
且A ,B ,P ,Q ,R .
记过A,B两点的直线为l,
则l的方程为2x-(a+b)y+ab=0.
(1)证明:由于F在线段AB上,
故1+ab=0.
记AR的斜率为k1,FQ的斜率为k2,
则k1= =-b=k2.
所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1,0),
故3+3m-tn=0.
所以 =0,即 .
又过点P存在唯一直线垂直于OQ,
所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
2.解(1) =(-2-x,1-y), =(2-x,1-y),
=(x,y), =(0,2),
∵| |= ·( )+2,
∴ =2y+2,
∴x2=4y.
∴曲线C的方程为x2=4y.
(2)设Q ,
(1)求曲线C的方程;
(2)点Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线C上动点,曲线C在点Q处的切线为l,点P的坐标是(0,-1),l与PA,PB分别交于点D,E,求△QAB与△PDE的面积之比.
3.已知抛物线C:y2=2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线l1,l2分别交C于A,B两点,交C的准线于P,Q两点.

2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第5章数列 5-3a

[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·邢台摸底)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( )A ．9或－9B ．9C ．27或－27D ．27答案 B解析依题意得a 27＝a 5·a 9＝81，又注意到a 7a5＝q 2>0(其中q 为公比)，因此a 5，a 7的符号相同，故a 7＝9.故选B.2．(2018·安徽安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1 C.12 D ．2答案 D解析由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.故选D.3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里答案 B解析设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96里．故选B.4．(2018·浙江温州十校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝a m ＋1a m＝－2.又S m ＝a 1－a m q 1－q ＝－11，故a 1＝－1.又a m ＝a 1·q m－1＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得m ＝5.故选C.5．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案 D解析设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q 6＝218，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝33.故选D.6．(2017·安徽六校素质测试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4＝( )A ．1008B ．2016C ．2032D ．4032答案 B解析由题意知2(a 4＋2)＝a 2＋a 5，即2(2q 3＋2)＝2q ＋2q 4＝q (2q 3＋2)，得q ＝2，所以a n ＝2n ，S 10＝2(1－210)1－2＝211－2＝2046，S 4＝2(1－24)1－2＝25－2＝30，所以S 10－S 4＝2016.故选B.7．(2018·上海黄浦模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )A.158或4 B.4027或4 C.4027 D.158答案 C解析设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84，S 6＝6，两者不相等，因此不合题意．当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027. 8．(2018·衡水模拟)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，则使T n 取最小值时n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由9S 3＝S 6知，q ≠1，故9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2，又a 1＝120，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －120.因为T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，故当T n 取最小值时a n ≤1，且a n ＋1≥1，即⎩⎨⎧2n －120≤1，2n20≥1，得n ＝5.故选C.9．(2018·河南洛阳模拟)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 D解析 ∵a ，b 是函数f (x )＝x 2－px 十q (p >0，q >0)的两个不同的零点，∴a ＋b ＝p ，ab ＝q .∵p >0，q >0，∴a >0，b >0.又a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a －2，ab ＝4①或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b －2，ab ＝4，② 解①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，解②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝a ＋b ＝5，q ＝1×4＝4. ∴p ＋q ＝9.故选D.10．(2017·广东清远一中一模)已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.256 D ．不存在答案 A解析 ∵正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1， ∴a 1q 2＝a 1q ＋2a 1，即q 2＝q ＋2，解得q ＝－1(舍)或q ＝2， ∵存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1， ∴a m a n ＝16a 21，∴(a 1·2m －1)·(a 1·2n －1)＝16a 21， ∴a 21·2m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(m ＋n ) ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32(当且仅当n ＝2m 时取等)， ∴1m ＋4n 的最小值是32.故选A. 二、填空题11．(2014·天津高考)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．答案－12解析 S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6.故(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.12．(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.答案 50解析因为等比数列{a n }中，a 10·a 11＝a 9·a 12，所以由a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，可解得a 10·a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1·a 2·…·a 20)＝ln (a 10·a 11)10＝10ln (a 10·a 11)＝10ln e 5＝50.13．(2017·广东潮州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2×3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________.答案 12－13n ＋1－1解析由a n ＝2×3n －1可知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1，则b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n－1S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1. 14．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是第________项．答案 6解析由于数列的前11项的几何平均数为32，所以该数列的前11项之积为3211＝255.当抽去一项后所剩下的10项之积为3210＝250， ∴抽去的一项为255÷250＝25.又因a 1·a 11＝a 2·a 10＝a 3·a 9＝a 4·a 8＝a 5·a 7＝a 26， ∴a 1·a 2·…·a 11＝a 116.故有a 116＝255，即a 6＝25.∴抽出的应是第6项．三、解答题15．(2017·海淀区模拟)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝14，数列{b n }满足b 1＝1，b 4＝6，且{a n －b n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立，求正整数k 的值．解 (1)设{a n }的公差为d ，则d ＝a 4－a 13＝4， ∴a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2(n ∈N *)．设c n ＝a n －b n ，则{c n }为等比数列．c 1＝a 1－b 1＝2－1＝1，c 4＝a 4－b 4＝14－6＝8，设{c n }的公比为q ，则q 3＝c 4c 1＝8，故q ＝2.则c n ＝2n －1，即a n －b n ＝2n －1. ∴b n ＝4n －2－2n －1(n ∈N *)．故{b n }的通项公式为b n ＝4n －2－2n －1(n ∈N *)． (2)由题意，b k 应为数列{b n }的最大项．由b n ＋1－b n ＝4(n ＋1)－2－2n －4n ＋2＋2n －1＝4－2n －1(n ∈N *)．当n ＜3时，b n ＋1－b n ＞0，b n ＜b n ＋1，即b 1＜b 2＜b 3；当n ＝3时，b n ＋1－b n ＝0，即b 3＝b 4；当n ＞3时，b n ＋1－b n ＜0，b n ＞b n ＋1，即b 4＞b 5＞b 6＞…. 综上所述，数列{b n }中的最大项为b 3和b 4. 故存在k ＝3或4，使∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立．16．(2015·广东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列； (3)求数列{a n }的通项公式．解 (1)∵4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， ∴n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，∴4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1，∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8×( 1＋32＋54 )＋1，解得a 4＝78. (2)证明：∵n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1，∴4(S n ＋2－S n ＋1)－2(S n ＋1－S n ) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(S n ＋1－S n )－12(S n －S n －1)， ∴(S n ＋2－S n ＋1)－12(S n ＋1－S n ) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(S n ＋1－S n )－12(S n －S n －1)， ∴a n ＋2－12a n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12a n .又a 3－12a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列． (3)由(2)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列，∴a n ＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，两边同乘以2n ＋1，得a n ＋1·2n ＋1－a n ·2n ＝4. 又a 2·22－a 1·21＝4，∴{a n ·2n }是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a n ·2n ＝2＋4(n －1)＝2(2n －1)， ∴a n ＝2(2n －1)2n ＝2n －12n －1.。

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[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．(2018·邢台摸底)已知数列{a n }为等比数列，a 5＝1，a 9＝81，则a 7＝( )A ．9或－9B ．9C ．27或－27D ．27答案 B解析依题意得a 27＝a 5·a 9＝81，又注意到a 7a5＝q 2>0(其中q 为公比)，因此a 5，a 7的符号相同，故a 7＝9.故选B.2．(2018·安徽安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值等于( )A ．1B ．－1 C.12 D ．2答案 D解析由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －2λ.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2λ＝1，得λ＝2.故选D.3．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．192里B ．96里C ．48里D ．24里答案 B解析设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ＝12，依题意有a 1⎝⎛⎭⎪⎫1－1261－12＝378，解得a 1＝192，则a 2＝192×12＝96，即第二天走了96里．故选B.4．(2018·浙江温州十校联考)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝5，S m ＝－11，S m ＋1＝21，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析由已知得，S m －S m －1＝a m ＝－16，S m ＋1－S m ＝a m ＋1＝32，故公比q ＝a m ＋1a m＝－2.又S m ＝a 1－a m q 1－q ＝－11，故a 1＝－1.又a m ＝a 1·q m－1＝－16，故(－1)×(－2)m －1＝－16，求得m ＝5.故选C.5．(2017·福建漳州八校联考)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33答案 D解析设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知得q ≠1. ∵S 3＝2，S 6＝18， ∴1－q 31－q6＝218，得q 3＝8， ∴q ＝2.∴S 10S 5＝1－q 101－q 5＝1＋q 5＝33.故选D. 6．(2017·安徽六校素质测试)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，a 1＝2，S n 是数列{a n }的前n 项的和，则S 10－S 4＝( )A ．1008B ．2016C ．2032D ．4032答案 B解析由题意知2(a 4＋2)＝a 2＋a 5，即2(2q 3＋2)＝2q ＋2q 4＝q (2q 3＋2)，得q ＝2，所以a n ＝2n ，S 10＝2(1－210)1－2＝211－2＝2046，S 4＝2(1－24)1－2＝25－2＝30，所以S 10－S 4＝2016.故选B.7．(2018·上海黄浦模拟)已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为( )A.158或4 B.4027或4 C.4027 D.158答案 C解析设数列{a n }的公比为q .当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84，S 6＝6，两者不相等，因此不合题意．当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1.所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027. 8．(2018·衡水模拟)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝120，9S 3＝S 6，设T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，则使T n 取最小值时n 的值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 C解析设等比数列{a n }的公比为q ，由9S 3＝S 6知，q ≠1，故9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，解得q ＝2，又a 1＝120，所以a n ＝a 1q n －1＝2n －120.因为T n ＝a 1a 2a 3·…·a n ，故当T n 取最小值时a n ≤1，且a n ＋1≥1，即⎩⎨⎧2n －120≤1，2n20≥1，得n ＝5.故选C.9．(2018·河南洛阳模拟)若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 D解析 ∵a ，b 是函数f (x )＝x 2－px 十q (p >0，q >0)的两个不同的零点，∴a ＋b ＝p ，ab ＝q .∵p >0，q >0，∴a >0，b >0.又a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝a －2，ab ＝4①或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b －2，ab ＝4，② 解①得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1，解②得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.∴p ＝a ＋b ＝5，q ＝1×4＝4. ∴p ＋q ＝9.故选D.10．(2017·广东清远一中一模)已知正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.256 D ．不存在答案 A解析 ∵正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1， ∴a 1q 2＝a 1q ＋2a 1，即q 2＝q ＋2，解得q ＝－1(舍)或q ＝2， ∵存在两项a m ，a n ，使得a m a n ＝4a 1， ∴a m a n ＝16a 21，∴(a 1·2m －1)·(a 1·2n －1)＝16a 21， ∴a 21·2m ＋n －2＝16a 21，∴m ＋n ＝6，∴1m ＋4n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ⎣⎢⎡⎦⎥⎤16(m ＋n ) ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋n m ＋4m n ≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2n m ·4m n ＝32(当且仅当n ＝2m 时取等)， ∴1m ＋4n 的最小值是32.故选A. 二、填空题11．(2014·天津高考)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．答案－12解析 S 1＝a 1，S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1－6.故(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12.12．(2014·广东高考)若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.答案 50解析因为等比数列{a n }中，a 10·a 11＝a 9·a 12，所以由a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，可解得a 10·a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln (a 1·a 2·…·a 20)＝ln (a 10·a 11)10＝10ln (a 10·a 11)＝10ln e 5＝50.13．(2017·广东潮州二模)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a n ＝2×3n －1(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝________.答案 12－13n ＋1－1解析由a n ＝2×3n －1可知数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，所以S n ＝2(1－3n )1－3＝3n －1，则b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n－1S n ＋1，则b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝12－13n ＋1－1.14．一正数等比数列前11项的几何平均数为32，从这11项中抽去一项后所余下的10项的几何平均数为32，那么抽去的这一项是第________项．答案 6解析由于数列的前11项的几何平均数为32，所以该数列的前11项之积为3211＝255.当抽去一项后所剩下的10项之积为3210＝250， ∴抽去的一项为255÷250＝25.又因a 1·a 11＝a 2·a 10＝a 3·a 9＝a 4·a 8＝a 5·a 7＝a 26， ∴a 1·a 2·…·a 11＝a 116.故有a 116＝255，即a 6＝25.∴抽出的应是第6项．三、解答题15．(2017·海淀区模拟)已知{a n }是等差数列，满足a 1＝2，a 4＝14，数列{b n }满足b 1＝1，b 4＝6，且{a n －b n }是等比数列．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立，求正整数k 的值．解 (1)设{a n }的公差为d ，则d ＝a 4－a 13＝4， ∴a n ＝2＋(n －1)×4＝4n －2，故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2(n ∈N *)．设c n ＝a n －b n ，则{c n }为等比数列．c 1＝a 1－b 1＝2－1＝1，c 4＝a 4－b 4＝14－6＝8，设{c n }的公比为q ，则q 3＝c 4c 1＝8，故q ＝2.则c n ＝2n －1，即a n －b n ＝2n －1. ∴b n ＝4n －2－2n －1(n ∈N *)．故{b n }的通项公式为b n ＝4n －2－2n －1(n ∈N *)． (2)由题意，b k 应为数列{b n }的最大项．由b n ＋1－b n ＝4(n ＋1)－2－2n －4n ＋2＋2n －1＝4－2n －1(n ∈N *)．当n ＜3时，b n ＋1－b n ＞0，b n ＜b n ＋1，即b 1＜b 2＜b 3；当n ＝3时，b n ＋1－b n ＝0，即b 3＝b 4；当n ＞3时，b n ＋1－b n ＜0，b n ＞b n ＋1，即b 4＞b 5＞b 6＞…. 综上所述，数列{b n }中的最大项为b 3和b 4. 故存在k ＝3或4，使∀n ∈N *，都有b n ≤b k 成立．16．(2015·广东高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列； (3)求数列{a n }的通项公式．解 (1)∵4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1， ∴n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，∴4(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋5(a 1＋a 2)＝8(a 1＋a 2＋a 3)＋a 1，∴4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8×( 1＋32＋54 )＋1，解得a 4＝78. (2)证明：∵n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1，∴4(S n ＋2－S n ＋1)－2(S n ＋1－S n ) ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤(S n ＋1－S n )－12(S n －S n －1)， ∴(S n ＋2－S n ＋1)－12(S n ＋1－S n ) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(S n ＋1－S n )－12(S n －S n －1)， ∴a n ＋2－12a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1－12a n . 又a 3－12a 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－12a 1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列． (3)由(2)知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是首项为1，公比为12的等比数列，∴a n ＋1－12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，两边同乘以2n ＋1，得a n ＋1·2n ＋1－a n ·2n ＝4. 又a 2·22－a 1·21＝4，∴{a n ·2n }是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a n ·2n ＝2＋4(n －1)＝2(2n －1)， ∴a n ＝2(2n －1)2n ＝2n －12n －1.。