(3)变额年金-2

&& an | − nv n
累积值
( Is ) n = &&n − n s i
递增永续年金 的现值
( Ia )∞ =
(m)
年金
每年支付1次， 每年递减1次 每年支付m次， 每年递减1次 连续支付， 每年递减1次 连续) n =
( Da)(nm) =
累积值
i
( Ds ) n = n(1 + i ) n − sn i
0.5 0
=
∫ (10t + 3) exp ⎡ −(0.1t ⎣
0
2
+ 0.06t ) ⎤dt ⎦
77
= 2.68
78
非立即支付现金流的现值：一个现金流的起始时刻为a > 0，结束时刻为b，计算在0点的现值： 方法一：计算此现金流在时刻 a 的现值，再将此现值从 时刻a贴现到时刻零。
⎡ a ⎤ b ⎡ t ⎤ exp ⎢ − ∫ δ s ds ⎥ ⋅ ∫ ρt exp ⎢ − ∫ δ s ds ⎥ dt ⎣ 0 ⎦ a ⎣ a ⎦
6.593670 − 10(1.094174)−10 = 28.088592 0.09
68
( Ia )10 =
• 例：一项年金的付款期是从第2年末至第7年末，并且在时 刻t的付款比率为3t-4，假设固定利息力为6％，试求此项 年金在第7年末的终值。 • 解： 假设此年金的付款期是从时刻0到第7年末，则其终值 可表示为：
通过计算可得： i = e0.06 − 1 = 6.1837%
s7 =
(1.061837)7 − 1 = 8.699360 0.06
( Is ) 7 =
8.699360 − 7 = 28.322667 0.06
3( Is )7 − 4 s7
• 从时刻0到第2年末的付款累积到第7年末的价值为：
s2 =
83 84
b
⎡c
⎤
另一种解法：首先计算此现金流在时刻6的终值： 例：一个连续支付的现金流，其支付比率为 ρ t = 150e ，支 付期间从时刻1到时刻6，并有固定利息力 δ t = 0.04 ，试计 算此现金流在时刻9的终值。
−0.03t
∫ ρ exp ⎢ ∫ δ ds ⎥ dt = ∫ 150e ⎣ ⎦
终值：在时刻 t 支付1元，将其累积到时刻b的终值为（下 页图示）
从时刻2到时刻零的贴现因子为：
⎡ 2 ⎤ exp ⎢ − ∫ δ s ds ⎥ = e−2δ = e −0.1 = 0.90484 ⎣ 0 ⎦
⎡b ⎤ exp ⎢ ∫ δ s ds ⎥ ⎣t ⎦
为了计算从时刻a到时刻b内所有付款的终值，需要将该期 间内所有付款的终值加总，在连续情况下就是对它们进行 积分： b ⎡b ⎤ ∫ ρt exp ⎢ ∫ δ s ds ⎥ dt a ⎣t ⎦
( Da ) n = ∫ (n − t )e dt = nan − ( Ia ) n
−δ t 0 n
例：一项10年期的年金，在时刻 t 的付款比率为 10−t， 假设利息力为5％，试计算此项年金在时刻零的现值和 在第10年末的终值。 解：
i = e 0.05 − 1 = 5.127%
= nan −
an − nv n
故本例年金的终值为：
3( Is )7 − 4 s7 − [3( Is ) 2 − 4 s2 ]e0.3 = 3 × 28.322667 − 4 × 8.699360 − (3 × 2.082467 − 4 × 2.124948)e0.3 = 53.21
69
70
3( Is )7 − 4 s7 − ⎡3( Is ) 2 − 4 s2 ⎤ e0.3 ⎣ ⎦
⎡ t ⎤ ⎡b ⎤ ⎡b ⎤ exp ⎢ − ∫ δ s ds ⎥ ⋅ exp ⎢ ∫ δ s ds ⎥ = exp ⎢ ∫ δ s ds ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎣0 ⎦ ⎣t ⎦
方法二：改变对利息力积分的积分上限来得到在时刻 c 的终值：
∫ ρ exp ⎢ ∫ δ ds ⎥ dt ⎣ ⎦
t s a t
上式右边可用分部积分法展开：
6、连续支付连续递增的年金（简称：连续递增年金）
（continuously increasing annuity） 假设在时刻t的付款比率为t，常数利息力为δ，则连续支付 连续递增年金的现值为：
( I a )n = ∫ te −δ t dt
0 n
∫ t exp(−δ t )dt = ∫ − δ d [exp(−δ t )] = ⎢ − δ exp(−δ t ) ⎥ − ∫ ⎣ ⎦
t s a t 1
6 1
b
⎡b
⎤
6
−0.03t
⎡6 ⎤ exp ⎢ ∫ 0.04ds ⎥ dt ⎣t ⎦
解： 现金流在时刻9的终值为：
= 150∫ e−0.03t e0.24−0.04t dt
6 150 ⎡ −e0.24−0.07t ⎤ = ⎦1 0.07 ⎣
∫ ρ exp ⎢ ∫ δ ds ⎥ dt = ∫ 150e ⎣ ⎦
0 0 0 0
n
n
t
⎡ t
⎤
n
n
exp(−δ t ) dt −δ
=−
n exp(−δ n) ⎡ 1 ⎤ − ⎢ 2 exp(−δ t ) ⎥ δ ⎣δ ⎦
n exp(−δ n) − exp(−δ n) + 1
n
0
=−
δ
δ2
δ2
注: Ι 和 a 上都有横线。 注：在时刻 t 的付款比率为 t，表示按此付款，1年的付款 总量将为 t .
0.5 ⎡ t ⎤ ⎡ t ⎤ ∫ ρt exp ⎢−∫ δ s ds ⎥ dt = ∫ (10t + 3) exp ⎢−∫ (0.2s + 0.06)ds ⎥ dt 0 a ⎣ a ⎦ ⎣ 0 ⎦
2 令 u = −0.1t − 0.06t
du = (−0.2t − 0.06)dt
则其现值为：
0.5
⎡ t ⎤ ⎡a ⎤ ⎡ t ⎤ exp ⎢ − ∫ δ s ds ⎥ ⋅ exp ⎢ ∫ δ s ds ⎥ = exp ⎢ − ∫ δ s ds ⎥ ⎣ 0 ⎦ ⎣0 ⎦ ⎣ a ⎦
∫ ρ exp ⎢−∫ δ ds ⎥ dt ⎣ ⎦
t s a a
b
⎡
t
⎤
75
76
2
例：一个连续支付的现金流 支付期从时刻0开始到时刻0.5结束 在时刻 t 的支付率为 ρt = 10t + 3 利息力为 δ t = 0.2t + 0.06 试计算此现金流在时刻零的现值。 解：b
65
⎛ 1 − exp(−δ n) ⎞ ⎜ ⎟ − n exp(−δ n) δ ⎠ =⎝
δ
=
an − nv n
δ
v = e −δ
66
连续支付连续递增年金的终值为
例：一项10年期的连续支付连续递增年金，在时刻 t 的付 款比率为9t+6，利息力为9％，计算此项年金在时刻零的 现值。 解：分解成两部分： 连续支付连续递增的年金 连续支付的等额年金
3( Ia )∞ = 3 × 1
δ
1 − vn = lim δ
n →∞
− nv n
[ln(1.05)]
2
= 1260.25
δ
=
1
δ2
71 72
7、连续支付连续递减的年金（简称：连续递减年金）
(continuously decreasing annuity) 含义：年金的支付期为 n 年，在时刻 t 的付款比率为 n− t，固定利息力为δ。其现值用符号 ( Da )n 表示。 连续支付连续递减年金的现值公式：
85
= 845.71
因此，该现金流在时刻9的终值为：750.07×1.127497 = 845.71
86
等额年金 年金 现值 累积值
永续年金的现 值
年金小结
每年支付1次
an =
1 − vn i
1 − vn i (m)
sn =
(1 + i ) n − 1 i
(1 + i ) n − 1 i(m)
a∞ =
t s a t 1
6 1
b
⎡c
⎤
6
−0.03t
⎡9 ⎤ exp ⎢ ∫ 0.04ds ⎥ dt ⎣t ⎦
= 750.07
= 150∫ e −0.03t e0.36 −0.04t dt
=
6 150 ⎡ −e0.36− 0.07 t ⎤ ⎦1 0.07 ⎣
从时刻6到时刻9的累积因子为：
⎡9 ⎤ exp ⎢ ∫ δ s ds ⎥ = e3δ = e0.12 = 1.127497 ⎣6 ⎦
a10 =
δ
1 − (1.05127) −10 = 7.86926 0.05
10 − 7.86926 = 42.61 0.05
=
n(1 − v n ) − an + nv n
现值：
δ
( Da )10 =
=
n − an
终值（累积值）：
73
( Ds )10 = 42.61e10×0.05 = 70.25
1
连续支付连续递增的永续年金：在连续支付连续递增年金 的现值公式中，令n 趋于无穷大，则可以得到连续支付连 续递增永续年金的现值公式：
( Ia ) ∞ = lim( Ia ) n = lim an − nv n →∞
n →∞ n
例：一项连续支付的永续年金在时刻 t 的付款比率为 3t， 付款从 0 时刻起并一直延续下去，年实际利率为5％，则 其现值为：
(1.061837) 2 − 1 = 2.124948 0.06
( Is ) 2 =