求轨迹方程的常用方法(例题及变式)

求轨迹方程的常用方法：

题型一 直接法

此法是求轨迹方程最基本的方法，根据所满足的几何条件，将几何条件)}(|{M P M 直接翻译成y x ,的形式0),(=y x f ，然后进行等价变换，化简0),(=y x f ，要注意轨迹方程的纯粹性和完备性，即曲线上没有坐标不满足方程的点，也就是说曲线上所有的点适合这个条件而毫无例外（纯粹性）；反之，适合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏（完备性）。

例1 过点)3,2(A 任作互相垂直的两直线AM 和AN ，分别交y x ,轴于点N M ,，求线段MN 中点P 的轨迹方程。

解：设P 点坐标为),(y x P ，由中点坐标公式及N M ,在轴上得)2,0(y M ，)0,2(x N ),(R y x ∈ ∴12

0322230-=--⋅--y x )1(≠x ，化简得01364=-+y x )1(≠x 当1=x 时，)3,0(M ，)0,2(N ，此时MN 的中点)2

3,1(P 它也满足方程01364=-+y x ，所以中点P 的轨迹方程为01364=-+y x 。

变式1

已知动点(,)M x y 到直线:4l x =的距离是它到点(1,0)N 的距离的2倍。

（1） 求动点M 的轨迹C 的方程；

（2） 过点(0,3)P 的直线m 与轨迹C 交于,A B 两点。若A 是PB 的中点，求直线m 的斜

率。

题型二 定义法

圆锥曲线定义所包含的几何意义十分重要，应特别重视利用圆锥曲线的定义解题，包括用定义法求轨迹方程。

例2 动圆M 过定点)0,4(-P ，且与圆08:2

2=-+x y x C 相切，求动圆圆心M 的轨迹方程。

解：根据题意4||||||=-MP MC ，说明点M 到定点P C 、的距离之差的绝对值为定值，故点M 的轨迹是双曲线。

∴2=a ，4=c 故动圆圆心M 的轨迹方程为112

42

2=-y x 变式2

在ABC △中，24BC AC AB =，，上的两条中线长度之和为39，

求ABC △的重心的轨迹方程．

解：以线段BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图1，M 为重心，则有239263

BM CM +=⨯=． M ∴点的轨迹是以B C ，为焦点的椭圆，

其中1213c a ==，

．5b =∴．

∴所求ABC △的重心的轨迹方程为22

1(0)16925

x y y +=≠ 题型三 相关点法

此法的特点是动点),(y x M 的坐标取决于已知曲线C 上的点)','(y x 的坐标，可先用y x ,来表示','y x ，再代入曲线C 的方程0),(=y x f ，即得点M 的轨迹方程。

例3 如图，从双曲线122=-y x 上一点Q 引直线2=+y x 的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程

分析：从题意看动点P 的相关点是Q ，Q 在双曲线上运动，所以本题适合用相关点法。 解：设动点P 的坐标为),(y x ，点Q 的坐标为),(11y x ，则点N 的坐标为)2,2(11y y x x -- N 在直线2=+y x 上，

∴22211=-+-y y x x …①

又 P Q 垂直于直线2=+y x ， ∴11

1=--x x y y ，即011=-+-x y y x …② 由①②解得⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-+=-+=123211212311y x y y x x …③ 又点Q 在双曲线122=-y x 上，∴12

121=-y x …④ ③代入④，得动点P 的轨迹方程为0122222

2=-+--y x y x

变式3已知△ABC 的顶点(30)(10)B C -，，，，顶点A 在抛物线2y x =上运动，求ABC △的重心G 的轨迹方程．

解：设()G x y ，，00()A x y ，，由重心公式，得003133x x y y -++⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，，00323x x y y =+⎧⎨=⎩， ①∴． ②

又00()A x y ，∵在抛物线2y x =上，200

y x =∴． ③ 将①，②代入③，得23(32)(0)y x y =+≠， 即所求曲线方程是2434(0)3

y x x y =++≠． 题型四 参数法

选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标y x ,，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程，选参数时必须首先充分考虑到制约动点的各种因素，然后在选取合适的参数，因为参数不同，会导致运算量的不同，常见的参数有截距、角度、斜率、线段长度等。

例4已知线段2AA a '=，直线l 垂直平分AA '于O ，在l 上取两点P P '，，使有向线段OP OP '，

满足4OP

OP '=·，求直线AP 与A P ''的交点M 的轨迹方程． 解：如图2，以线段AA '所在直线为x 轴，以线段AA '的中垂线为y 轴建立直角坐标系． 设点(0)(0)P t t ≠，，

则由题意，得40P t ⎛⎫' ⎪⎝⎭

，． 由点斜式得直线AP A P ''，的方程分别为4()()t y x a y x a a ta

=+=--，． 两式相乘，消去t ，得222244(0)x a y a y +=≠．

这就是所求点M 的轨迹方程．

变式4设椭圆方程为142

2

=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点B A ，，O 是坐标原点，l 上的动点P 满足)(21OB OA OP +=，点N 的坐标为)2

1,21(，当l 绕点N 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程；（2）||的最小值与最大值.

分析：（1）设出直线l 的方程，与椭圆方程联立，求出2121,y y x x ++，进而表示出点P 坐标，用消参法求轨迹方程；（2）将||NP 表示成变量x 的二次函数。

解：（1）法一：直线l 过点)1,0(M ，当l 的斜率存在时，设其斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y 。设),(11y x A ，),(22y x B ，由题设可列方程为