一、基变换公式与过渡矩阵课件
线性代数-基变换与坐标变换
问题：在 n 维线性空间 V中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的．
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
设1,2 , ,n及1, 2 , , n是线性空间Vn的
1 , 2
,
,n
P
x2'.
xn
xn'
x1 x1'
即
x2
P
x2'
.
xn xn'
由 于 矩 阵P可 逆, 所 以
x1'
x1
x2'
P
1
x2 .
xn'
xn
例1 在 P[ x]3中取两个基
1 x3 2 x2 x, 3 x3 2 x2 x 1, 及 1 2 x3 x2 1, 3 2 x3 x2 x 2,
过渡矩阵 P是可逆的．
二、坐标变换公式
定理1 设Vn中的元素 ,在基1 , 2 , , n下的坐标
为
( x1 , x2 , , xn )T ,
在基1 , 2 ,
,
下的坐
n
标为
( x1', x2 ', , xn ')T ,
若两个基满足关系式
1, 2, , n 1,2, ,n P
则有坐标变换公式
x1 x1'
x1'
x1
x2
P
x2'
,
或
x2'
P
1
x2 .
xn xn'
xn'
1基变换与坐标变换
1 2
1 1
3 2 1 1 1 1
2 1
1 0
1 2 2 2 0 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
~ 初等行变换
0 0
1 0
0 1
0 0
1 0
1 0
0 0
0 1
0 0 0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 0 1 1 1
0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0
(2) W1 W2 W1 W2 W1;
(3) W1 W2 W1 W1 W2; (4) W1 W2 W1 W2 W1 W2或W2 W1 .
定义7 1 , 2 , , r是V中的一组向量，
L1 , 2 , , r
11 2 2 r r 1 , , r F
称为1 , 2 , , r 生成（张成）的子空间.
（4）若向量组
1 ,2 ,
,
是线性空间
r
V
的一个
基，则 V 可表示为
V x 11 2 2 r r 1 , , r F
V :基所生成的线性空间 1 , 2 , , r :向量x在基1 , 2 , , r下的坐标
例7 在线性空间P[ x]3中，p1 1，p2 x，p3 x 2，
p4 x 3是一组基，而q1 1，q2 x 2，q3 x 22， q4 x 23也是一组基．
线性空间的性质
(1) 零元素是唯一的． (2) 负元素是唯一的．
(3) 0 0; 1 ; 0 0.
(4) 如果 0，则 0或 0.
定义2 设 x(1) , x(2) , , x(k) 是线性空间V 中的任一组
向量，1, 2 , , k 是F 中任一组数，
k
y 1 x(1) 2 x(2) k x(k ) i x(i ) i 1
3.三、向量空间.基过度矩阵,基下坐标ppt课件
即 γ ε1, ε 2, ε 3, ε 4 x α1, α 2, α 3, α 4 x
ε1, ε 2, ε 3, ε 4 Bx 即 Bx x，或 B E x 0，x 为解向量.
A
(α
T 1
,
α
T 2
,
α
T 3
,
α
T 4
),
基Ⅱ： β1, β 2, β 3, β 4 ε1, ε 2, ε 3, ε 4 B,
B
( β 1T
,
β
T 2
,
β
T 3
,
β
T 4
)
①为求基Ⅱ到基Ⅰ过渡矩阵 由Ⅱ表示Ⅰ，由
ε
1,
ε
2,
ε
3,
ε
4
(
β
T 1
,
β
T 2
,
β
T 3
,
β
T 4
)B
1
(α1,
α
2 求两个基下有相同坐标的向量
'98.6,五（p27）第3问不同. 类似题：,01.11,五(2) 在R 4 中取两个基
( Ⅰ)
εεεε
1 2 3 4
(1, 0, 0, 0) (0,1, 0, 0) (0, 0,1, 0) (0, 0, 0,1)
( Ⅱ)
αααα2431
(2,1, 1,1) (0,3, 1, 0) (5,3, 2,1) (6, 6, 1,3)
下的坐标，( y1, y2, y3, y4)是α在基（Ⅱ）β1, β2, β3, β4下的坐标，且
y1 3x1 5x2, y2 x1 2x2
矩阵理论及其应用(重大版第二章课件)
矩阵理论及其应用CQU第二讲基变换与坐标变换、线性子空间李东重庆大学数学与统计学院◆基变换与坐标变换◆线性子空间◆子空间的运算CQU线性空间的基是不惟一的，同一个向量在不同的基下的坐标是不同的。
不同的基之间、同一个向量在不同的基下的坐标之间有何关系呢？通过间单的计算知道它们之间相差一个可逆矩阵。
CQUCQU一、基变换设分别是线性空间上的两个不同的基。
由基的定义知道唯一存在可逆矩阵，使得(1)称A 称是由基到的过渡矩阵。
称(1)为基变换公式。
二、坐标变换设向量αϵV,α在这两组基下的坐标分别为：(2)则有下式成立。
CQUCQUCQU从而，有即：(4)称(4)为坐标变换公式。
思考：这里的基变换公式、坐标变化公式和教材有何差别？CQU例1 求R 4中的基，，，到基，，，的坐标变换公式。
解：见下页CQUCQU◆基变换与坐标变换◆线性子空间◆子空间的运算CQUCQU定义1.5 设V 是K 上的线性空间，W ⊂V 按V 的线性运算也构成线性空间，称W 是V 的线性子空间(子空间)。
即：W 是V 的线性子空间W 是V 的线性子空间两个平凡子空间：V 和{0}.一、线性子空间的定义判别方法？Important Theorem（TH1.5.1 P11）W 是子空间 W 对V 的线性运算封闭子空间本身就是线性空间。
子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法CQU子空间和非子空间的例子I.V={x=(x1，x2，0｝⊆R3，是子空间II.V={x=(x1，x2，1｝⊆R3，不是子空间例1齐次线性方程组AX=0的解集：是子空间，称为解空间。
S=｛X：AX=0｝⊆R n，例1’非齐次线性方程的解集：不是子空间M=｛X：AX=b｝CQU例2集合C=a ijn×n |a ij∈K,σi=1n aii=0⊂K n×n是线性子空间。
例3集合M=a ijn×n|a ij∈K，a ij=a ji⊂K n×n是线性子空间。
线性代数—3.3 向量空间
一、向量空间的概念 二、向量空间的基和维数 三、基变换与过渡矩阵
一、向量空间的概念
例1 设 V 为平面上所有起点在定点 O 的向量的集合.
集合 V 具有如下性质: (1) 若 aV, bV, 则 a + bV;
B
a2 a
(2) 若 aV, kR, 则 kaV, 称 V 为平面向量空间.
a 可唯一地表示为 a k1a1 + L + krar
称 (k1, , kr) 为向量 a 在基 a1, , ar 下的坐标.
例4 验证 a1 (1,-1,0)T, a2 (0,1,3)T, a3 (2,1,8)T 为R3 的 一个基, 并求 b1 (5,0,12)T, b2 (9,-7,8)T, b3 (3,1,11)T 在这
O a1 A
uuur uuur a OA + OB k1a1 + k2a2
设 V 中两向量 a1, a2 线性无关, 即 a1, a2 不共线, 则
V {k1a1 + k2a2 | k1,k2 R} 称 V 为由向量组 a1, a2 生成的向量空间.
例2 设 n 元方程组 Ax 0 的解集为 S, 秩 R(A) r < n.
• L(A) 为向量空间V 的子空间的充要条件是 A V . • L(B) 为 L(A) 的子空间的充要条件是向量组 B 可由组 A 线性表示. • L(A) L(B) 的充要条件是向量组 A 与组 B 等价.
例3 由 a1 (1,1,0,0)T, a2 (1,0,1,1)T 所生成的空间记为V1, 而由 b1 (2,-1,3,3)T, b2 (0,1,-1,-1)T 所生成的空间记为V2.
(-1,-4,3), (13,8,-2), (1,1,1)
基变换与坐标变换公式
文档内容模板如下：基变换与坐标变换公式一、基变换概述基变换在数学和物理学中具有重要意义，它是描述向量空间中向量变换的一种数学工具。
基本思想是通过一组新的基底来表示原有的向量，从而实现向量空间中的变换。
二、基变换的原理假设有一组基底向量{a1, a2, …, an}和{b1, b2, …, bn}，它们之间通过一个矩阵M相互转换。
则向量v可以表示为：v = a1x1 + a2x2 + … + anxn = b1y1 + b2y2 + … + bnyn其中xi和yi是向量v在{a1, a2, …, an}和{b1, b2, …, bn}基下的坐标。
三、坐标变换的概念坐标变换是指在不同基底下对同一个向量进行表示的变换过程。
假设有向量v在标准基底下的坐标为y，在基底{a1, a2, …, an}下的坐标为x。
则坐标变换关系为：x = My其中矩阵M由基底{a1, a2, …, an}确定。
四、基变换与坐标变换关系在基变换和坐标变换的过程中，两者之间有着密切的联系。
通过基变换矩阵M，可以实现向量之间在不同基底下的表示转换。
同时，坐标变换也可以通过基变换来实现。
假设有向量v，在基{a1, a2, …, an}和基{b1, b2, …, bn}下的坐标分别为x和y，则坐标变换公式为：y = Mx五、总结基变换和坐标变换是线性代数中重要的概念，它们为描述向量空间中的变换提供了有效的数学工具。
通过对基变换和坐标变换的学习，可以更好地理解向量在不同基底下的表示和转换过程。
以上是关于基变换与坐标变换公式的简要介绍，希望对你有所帮助。
(课件)矩阵论
=
aB 11 1
+
(a12
−
a 11
)
B 2
+
( a 21
−
a 12
)
B 3
+
( a 22
−
a
21
)
B 4
坐标为
β
=
(a11
,
a 12
−
a 11
,
a
21
−
a 12
,
a 22
− a21 )Τ
[注] 一个元素在两个不同的基下的坐标可能相同，也可能不同．
例如：
A
=
E 22
在上述两个基下的坐标都是 (0,
0,
(Ⅱ) 定义的数乘运算封闭, 即
∀ x ∈V , ∀ k ∈ K , 对应唯一 元素(kx)∈V , 且满足 (5) 数对元素分配律： k( x + y) = kx + ky (∀y ∈V ) (6) 元素对数分配律： (k + l )x = kx + lx (∀l ∈ K ) (7) 数因子结合律： k(lx) = (kl )x (∀l ∈ K ) (8) 有单位数：单位数1∈ K , 使得 1x = x . 则称V 为 K 上的线性空间．
mn
∑ ∑ (2) A = (ai j )m×n =
ai j Ei j ．
i=1 j=1
故 Ei j (i = 1,2,L, m ; j = 1,2,L, n) 是 R m×n 的一个基, dimR m×n = mn .
第一章 线性空间与线性变换（第 1 节）
5
2．坐标：给定线性空间V
n
的基
x 1
解 采用中介法求过渡矩阵.
第二节n维线性空间
定理： 是线性空间V的非空子集且关于 定理：若L是线性空间 的非空子集且关于 的线性 是线性空间 的非空子集且关于V的线性 α + β ∈ L, 运算是封闭的 是封闭的（ 运算是封闭的（即若 α , β ∈ L, k ∈ F kα ∈ L间。
例设 α1 ,α 2 ,⋯ ,α m 是数域 上线性空间 中的一组向量， 是数域F上线性空间 中的一组向量 上线性空间V中的一组向量 考虑这组向量的所有可能的线性组合： 考虑这组向量的所有可能的线性组合：
的充要条件是
α1 ,α 2 ,⋯,α m 与 β1 , β 2 ,⋯ , β s
等价。 等价。
例8.R 2×3的下列子集是否构成子空间？ 为什么？ 1 b 0 (1) W1 = b, c , d ∈ R 0 c d a b 0 a + b + c = 0 (2) W2 = a, b, c ∈ R 0 0 c 解： 不构成子空间。因为对 (1) 1 0 0 2 0 0 A= B= ∈W1 , 有A + B = 0 0 0 ∉W1 0 0 0 W1对矩阵的加法不封闭。
例 11.在 性 间 [x]n中 取 组 ε1 =1 线 空 R ， 一 基 、 ε2 = (x − a)、 3 = (x − a)2、 εn = (x − a)n−1， ε ...、 由 Taylor公 可 ： 式 知 f (x) = f (a) + f '(a)(x − a) +
(n−1) f ''(a) (a) f 2 n−1 (x − a) + ... + (x − a) 2! (n −1)!
因 ， (x)在 ε1, ε2,ε3,..., εn 下 坐 是 此 f 基 的 标 ：
线性代数6-2维数基坐标
坐标.
例1 在线性空间P[x]3中, p1 1, p2 x, p3 x2, p4 x3 就是它的一个基.
任一不超过3次的多项式
p a0 a1x a2x2 a3x3
可表示为 p a0 p1 a1 p2 a2 p3 a3 p4
因此 p 在这个基下的坐标为 (a0, a1, a2, a3)
y2
yn
并且两组基间有线性关系式
1, 2,, n 1,2 ,,n A
则有如下的关系式
x1
y1
x2
xn
A
y2
yn
,
y1
x1
或
若取另一组基为 q1 1, q2 1 x, q3 2x2 , q4 x3,
p
( a0
a1)q1
a1q2
a2 2
q3
a3q4
因此 p 在这个基下的坐标为
说明:
(a0
a1, a1,
a2 2
, a3 )
(2)一个向量在一组基下的 坐标是唯一的.
(3)同一个向量在不同基下 的坐标一般是不同的 .
则称此公式为基变换公式.
2.利用分块矩阵的方法可将上述公式写成
其中
1, 2 ,, n 1,2 ,,n A
a11 a12 a1n
A
a21
a23
a2n
an1
an2
ann
则称上述矩阵A为由基1,2,,n到基1, 2,, n的
设 a11 a22 ann , b11 b2 2 bn n
矩阵理论及其应用(重大版第二章课件)
矩阵理论及其应用CQU第二讲基变换与坐标变换、线性子空间李东重庆大学数学与统计学院◆基变换与坐标变换◆线性子空间◆子空间的运算CQU线性空间的基是不惟一的，同一个向量在不同的基下的坐标是不同的。
不同的基之间、同一个向量在不同的基下的坐标之间有何关系呢？通过间单的计算知道它们之间相差一个可逆矩阵。
CQUCQU一、基变换设分别是线性空间上的两个不同的基。
由基的定义知道唯一存在可逆矩阵，使得(1)称A 称是由基到的过渡矩阵。
称(1)为基变换公式。
二、坐标变换设向量αϵV,α在这两组基下的坐标分别为：(2)则有下式成立。
CQUCQUCQU从而，有即：(4)称(4)为坐标变换公式。
思考：这里的基变换公式、坐标变化公式和教材有何差别？CQU例1 求R 4中的基，，，到基，，，的坐标变换公式。
解：见下页CQUCQU◆基变换与坐标变换◆线性子空间◆子空间的运算CQUCQU定义1.5 设V 是K 上的线性空间，W ⊂V 按V 的线性运算也构成线性空间，称W 是V 的线性子空间(子空间)。
即：W 是V 的线性子空间W 是V 的线性子空间两个平凡子空间：V 和{0}.一、线性子空间的定义判别方法？Important Theorem（TH1.5.1 P11）W 是子空间 W 对V 的线性运算封闭子空间本身就是线性空间。
子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方法CQU子空间和非子空间的例子I.V={x=(x1，x2，0｝⊆R3，是子空间II.V={x=(x1，x2，1｝⊆R3，不是子空间例1齐次线性方程组AX=0的解集：是子空间，称为解空间。
S=｛X：AX=0｝⊆R n，例1’非齐次线性方程的解集：不是子空间M=｛X：AX=b｝CQU例2集合C=a ijn×n |a ij∈K,σi=1n aii=0⊂K n×n是线性子空间。
例3集合M=a ijn×n|a ij∈K，a ij=a ji⊂K n×n是线性子空间。
一、基变换公式与过渡矩阵.
问题：在 n 维线性空间 V中，任意 n 个线性 无关的向量都可以作为 V 的一组基．对于不同的 基，同一个向量的坐标是不同的．
那么，同一个向量在不同的基下的坐标有什 么关系呢？换句话说，随着基的改变，向量的坐 标如何改变呢？
设1,2 ,,n及1, 2 ,, n是线性空间Vn的
1 p11
2
p12
n p1n
p21
p22
pn1 1
1
pn2
2
PT
2
.
p2n pnn n
n
1, 2 ,, n 1,2 ,,n P
基变换公式 在基变换公式
1, 2 ,, n 1,2 ,,n P
中, 矩阵P 称为由基 1,2,,n 到基 1, 2,, n的过 渡矩阵．
xn xn'
x1'
x1
x2'
P
1
x2
.
xn'
xn
思考题
证明 x3 , x3 x, x2 1, x 1是Px3的一个基,
并求多项式x2 2x 3在这个基下的坐标.
思考题解答
证明 令
k1 x3 k 2 ( x3 x) k 3 ( x2 1) k 4 ( x 1)
a1 a2 0,
则
a3 1,
a
2
a
4
2,
a3 a4 3
解之可得
a1 0,
a2 0,
a
3
1,
a4 2.
故 x2 2x 3在这个基下的坐标为(0,0,1,2)T .
2 1
2
1 2
1
1 2
o
1
第7讲向量空间的基
三. 基变换、坐标变换 过渡矩阵、换基公式
设 1 , 2 , , r 和 1 , 2 , , r 是 r 维向量空间的
两组基 , 且有
最大无关组 , 即是 R 3 的一个基。
2. 求向量 2 e1 e2 3 e3 在基 e1 , e2 , e3 下的坐标。
因为
e1 ( 1,1, 0 ) e1 e2 ,
e2 ( 2, 3, 2 ) 2 e1 3 e2 2 e3 , e3 ( 1, 3, 2 ) e1 3 e2 2 e3 ,
1 ( 1,0,,0,0)T , 2 (0, 1,,0,0)T , , n (0, 0,,0, 1 )T
和另一组基
1 ( 1, 1,,1, 1 )T , 2 (0, 1,,1, 1 )T , , n (0, 0,, 0, 1 )T ,
求 Rn 中任一向量在这两个基 下的坐标关系。
解 R n , 设 在标准基1 , 2 ,, n 下的坐标为
( x1 , x2 , , xn ) x11 x2 2 xn n ,
设 在基 1 , 2 ,, n 下的坐标为
( y1 , y2 , , yn ) y1 1 y2 2 yn n 。
三. 基变换、坐标变换
在以下的叙述中 i, i均为列向量，且记
(1 , 2 ,, r ) ,
a11 a 21 A a r1 a12 a22 ar 2 a1r a2 r , ar r
(1 , 2 ,, r ) ,
a到b的过渡矩阵
a到b的过渡矩阵过渡矩阵是线性代数中的一个重要概念，它描述了一个向量空间中不同基之间的转换关系。
在矩阵中，每一列代表新基向量在旧基下的坐标表示。
本文将介绍过渡矩阵的定义、性质以及应用。
一、过渡矩阵的定义过渡矩阵是将一个向量空间的旧基转换为新基的矩阵。
设a和b分别是n维向量空间V的两组基，过渡矩阵T的列向量是b中各向量在a中表示的坐标向量。
二、过渡矩阵的性质1. 过渡矩阵是一个可逆矩阵。
通过过渡矩阵的逆矩阵，我们可以将新基下的向量转换为旧基下的向量。
2. 过渡矩阵的乘法满足结合律。
设过渡矩阵T将a转换为b，过渡矩阵S将b转换为c，则过渡矩阵ST将a转换为c。
3. 过渡矩阵的行列式不为零。
这是因为过渡矩阵的逆矩阵存在，而逆矩阵的行列式必不为零。
4. 过渡矩阵的转置矩阵是将新基转换为旧基的过渡矩阵。
设矩阵T 将a转换为b，则矩阵T的转置矩阵是将b转换为a的过渡矩阵。
三、过渡矩阵的应用过渡矩阵在线性代数中有广泛的应用，下面我们将介绍其中的两个重要应用。
1. 基变换过渡矩阵的最常见应用是进行基变换。
在实际问题中，我们常常会遇到需要用不同的基去描述同一个向量的情况。
通过过渡矩阵，我们可以将向量在不同基下的表示相互转换，从而简化计算和分析。
2. 线性变换另一个重要的应用是描述线性变换。
线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换。
通过过渡矩阵，我们可以将线性变换在不同基下的表示进行转换，从而得到变换后的结果。
四、过渡矩阵的计算方法对于给定的旧基a和新基b，我们可以通过以下步骤计算过渡矩阵T：1. 将新基向量表示为旧基向量的线性组合，得到方程组T*a=b。
2. 对方程组进行求解，得到过渡矩阵T。
需要注意的是，过渡矩阵的计算方法并不唯一，可以使用高斯消元法、矩阵求逆等方法。
在实际计算中，我们可以根据具体情况选择最适合的方法。
五、总结过渡矩阵是线性代数中一个重要的概念，它描述了向量空间中不同基之间的转换关系。
7.3线性变换的矩阵(第二讲)
0 1 6
5 91
,
C
另外 (1,2 ,3 ) (1, 2 , 3 )X =(1, 2 , 3 )AX
C=AX
5 0 5
5 0 5 1 0 3 1
A CX-1=
0 3
1 6
1 9
X
1
0 3
1 6
其中, 12((01,,10,,12)) 3 (3,1,0)
（1）求 在标准基 1, 2 , 3 下的矩阵.
标准基1=(1,0,0),2 =(0,1,0),3=(0,0,1)
（2）求 在 1,2 ,3 下的矩阵.
相关量多，先画图表示
基1, 2， 3 过渡矩阵X 1 基1,2，3
§7.3 线性变换的矩阵
一、线性变换与基 二、线性变换与矩阵 三、相似矩阵
线性变换除了用花体拉丁字母A 等表示，
还常用字母“，”表示.
同一线性变换在不同基下矩阵之间的关系
定理4 设线性空间V的线性变换 在两组基
1, 2 , , n
(Ⅰ)
1,2 , ,n
(Ⅱ)
下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡
kA ( ) k
A (k ) kA ( )
非线性变换
A (1, 2, 3) =（1,5，9）
不 A (（ 2 1,2,3）) A（( 2,4,6）) （1,10，36）
等 2A（( 1,2,3）) （2,10,18）
非线性变换
多项式平移变换
A (1, 2, 3) =（1,5，9） 不 A (（ 2 1,2,3）) A（( 2,4,6）) （1,10，36）
等 2A（( 1,2,3）) （2,10,18） 非线性变换
同济大学矩阵论课件
GEM
定义: 设W1, W2 是线性空间V 的子空间，称集合
{ a + b | a W1 且 b W2 }
为W1与 W2 的和，记作 W1+ W2 称集合
{ a | a W1 且a W2 }
为W1与 W2 的交，记作 W1∩ W2
GEM
定理: 设W1, W2 是线性空间V 的子空间，则W1+ W2 与 W1∩W2 都是V 的子空间。 称 W1+ W2 为W1与 W2 的和空间， 称 W1∩W2 为W1与 W2 的交空间。
称满足(1)-(4)的和为加法，满足(5)-(8)的积为数乘。
3
GEM
例1. 实数域上全体 n 维向量的集合
Rn = { ( x1, x2 ,, xn )T | x1, x2 ,, xn R }
a = ( x1, x2 ,, xn )T , b = ( x1, x2 ,, xn )T Rn , k R
对于多项式的加法、数乘多项式构成线性空间。
6
GEM
例3 n 次多项式的全体 Q[ x]n = {an-1 xn-1+ + a1 x + a0 a n-1 0 }
对于多项式的加法和乘数运算不构成线性空间
0 p = 0 xn1 + + 0x + 0 Q[ x]n
\Q[ x ]n 对运算不封. 闭
\ f ( x) + g( x) C[a,b] f ( x)g( x) C[a,b]
∴ C[a, b]是一个线性空间。
10
GEM
例6 正实数的全体 R+ ，在其中定义加法及乘数 运算为
a b = ab, l a = al , l R, a, b R+
线性空间基坐标及过渡矩阵
x1 x2 , e4 ) = (1 , x3 x 4
1
y1 y2 ,4 ) y3 y 4
1 1 1 x1 x 3 1 0 2 3 2 1 x3 6 1 3 x4
得
(x1 , x2 , x3 )
T
= (33,82,154)
T
解答完毕
7
例2.已知4维向量空间R4的两个基:
( )1 = (1,1,2,1), 2 = (0,2,1,2), 3 = (0,0,3,1), 4 = (0,0,0,1); (Ⅱ ) 1 = (1,1,0,0), 2 = (1,0,0,0), 3 = (0,0,2,1), 4 = (0,0,3,2)
①
五、坐标变换公式
定理1: 设n维线性空间V中的元素, 在基1, 2, · · · , n下的坐标为: (x1, x2, · · · , xn)T,
在基1, 2, · · · , n 下的坐标为: (y1, y2, · · · , yn)T,
若 (1, 2, · · · , n)=(1, 2, · · · , n)A.
则有坐标变换公式:
x1 y1 x 2 = A y2 , xn yn
y1 x1 y 2 = A 1 x 2 . 或 yn xn
6
例1.在R 中，求向量 = ( 3, 7,1) 在基
3 T
T T T ( ) ( ) ( ) 1 = 1,3,5 , 2 = 6,3,2 , 3 = 3,1,0 下的坐标。
解：令 = x11 + x2 2 + x3 3
矩阵基变换原理理解
d e f p
A (i j k )
1 0 0 i
A ( i j k ) 基的基向量根据基帽顺序分别在B ( n o a )基中的坐标表示自左向右 排列成矩阵，如i =a11 n a21 o +a31 a ，注意B ( n o a ) 基中向量坐标值表示顺 + 序为自上而下依次是 noa的缩放倍数。 i j k ( ) A A ( i j k ) 基中基帽向量本身的坐标值表示根据定义 p=ai +b j +ck p=ai +b j +ck 基中基 帽向量本身的坐标值表示根据定义 (i j k ) 可得 ，因此坐标值表示顺序自上而下依次为基帽 可得 ，因此坐标值表示顺序自上而下依次为基帽 i =1 i +0 j +0 k A j =0 i +1 j +0 k i j k的缩放倍数{1,0,0}。 i j k的缩放倍数{0,1,0}其他坐标系的基帽也同理。
c11 c 21 n c31 c11 c 21 c31 n c11 c 21 c31 n
C (u v w)
c12 c 22 o c32 c12 c 22 c32 o c12 c 22 c32 o
C (u v w)
c13 c 23 c33 a
B (noa)
d e f p a12 a 22 a32 j
B (noa)
C (u v w)