2019届江苏高考数学二轮提优内部讲义作业专题二第5讲空间中的平行与垂直关系
2019届江苏高考数学二轮提优内部讲义作业专题二第5讲
第5讲空间中的平行与垂直关系A组基础达标1.(2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n知足m⊂α，n⊂α，那么“m∥n”是“m∥α”的________条件．2.假设直线l不平行于平面α，且l⊄α，那么以下说法正确的选项是________．(填序号)①α内的所有直线与l异面；②α内不存在与l平行的直线；③α内存在唯一的直线与l平行；④α内的直线与l都相交．3. (2018·南京考前综合题)已知l，m是空间两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．给出以下命题：①若l∥α，l∥m，那么m∥α；②若l⊂α，m⊂β，α∥β，那么l∥m；③若l⊂α，m⊂β，l⊥m，那么α⊥β；④若α⊥β，l⊥α，m⊥β，那么l⊥m.其中是真命题的有________．(填序号)4.设l，m是不同的直线，α，β，γ是不重合的平面，那么以下命题正确的选项是________．(填序号)①若l⊥m，m⊥α，那么l⊥α或l∥α.②若l⊥γ，α⊥γ，那么l∥α或l⊂α.③若l∥α，m∥α，那么l∥m或l与m相交．④若l∥α，α⊥β，那么l⊥β或l⊂β.5. (2018·南京、盐城一模)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，M，N别离是AB，A1B1的中点．(1) 求证：BN∥平面A1MC；(2) 若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C.(第5题)6. (2018·扬州期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E别离为AB，AC的中点．(1) 求证：B1C1∥平面A1DE；(2) 假设平面A1DE⊥平面ABB1A1，求证：AB⊥DE.(第6题)B组能力提升1. (2018·徐州铜山考前卷)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠ACB＝90°，BC＝CC1，E，F别离为AB，AA1的中点．(1) 求证：EF∥平面BC1A1；(2) 求证：EF⊥B1C.(第1题)2. (2018·海安等三校联考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AA1，M，N别离为A1B和B1C1的中点．(1) 求证：MN∥平面A1ACC1；(2) 求证：平面A1BC⊥平面MAC.(第2题)3. (2018·南师大考前模拟二)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，BC＝BB1，D为AB的中点．(1) 求证：BC1∥平面A1CD；(2) 求证：BC1⊥平面AB1C.(第3题)4. (2018·盐城中学最后一卷)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体，P是CD的中点，Q是A1B1的中点．(1) 求证：AQ∥平面PBC1；(2) 若BC＝CC1，求证：平面A1B1C⊥平面PBC1.(第4题)。
江苏省2019高考数学二轮复习专题二立体几何2.2大题考法_平行与垂
江苏省2019高考数学二轮复习专题二立体几何2.2大题考法_平行与垂1 平行与垂直A 组――大题保分练1.如图，在三棱锥V ABC 中，O ，M 分别为AB ，VA 的中点，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 是边长为2的等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC .(1)求证：VB ∥平面MOC ；(2)求线段VC 的长．解：(1)证明：因为点O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以MO∥VB . 又MO ?平面MOC ，VB ?平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .(2)因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，AC ⊥BC ，AB ＝2，所以OC ⊥AB ，且CO ＝1.连结VO ，因为△VAB 是边长为2的等边三角形，所以VO ＝3.又平面VAB ⊥平面ABC ，OC ⊥AB ，平面VAB ∩平面ABC ＝AB ，OC ?平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB ，所以OC ⊥VO ，所以VC ＝OC 2＋VO 2＝2.2．(20XX年南通二调)如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AC⊥BC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E .求证：(1)DE ∥平面B 1BCC 1；(2)平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1.证明：(1)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，四边形A 1ACC 1为平行四边形．又E 为A 1C 与AC 1的交点，所以E 为A 1C 的中点.同理，D 为A 1B 的中点，所以DE ∥BC .又BC ?平面B 1BCC 1，DE ?平面B 1BCC 1，所以DE ∥平面B 1BCC 1.(2)在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，又BC ?平面ABC ，所以AA 1⊥BC .又AC ⊥BC ，AC ∩AA 1＝A ，AC ?平面A 1ACC 1，AA 1?平面A 1ACC 1，所以BC ⊥平面A 1ACC 1. 因为BC ?平面A 1BC ，所以平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1.3.如图，在三棱锥A BCD 中，E ，F 分别为棱BC ，CD 上的点，且BD2 ∥平面AEF .(1)求证：EF ∥平面ABD ；(2)若BD ⊥CD ，AE ⊥平面BCD ，求证：平面AEF ⊥平面ACD . 证明：(1)因为BD ∥平面AEF ，BD ?平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，所以BD ∥EF .所以EF ∥平面ABD .(2)因为AE ⊥平面BCD ，CD ?平面BCD ，所以AE ⊥CD .因为BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以CD ⊥EF ，又AE ∩EF ＝E ，AE ?平面AEF ，EF ?平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF .又CD ?平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD .4．(20XX年无锡期末)如图，ABCD 是菱形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝2AF .求证：(1)AC ⊥平面BDE ；(2)AC ∥平面BEF .证明：(1)因为DE ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，所以DE ⊥AC . 因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，因为DE ?平面BDE ，BD ?平面BDE ，且DE ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面BDE .(2)设AC ∩BD ＝O ，取BE 中点G ，连结FG ，OG ，易知OG ∥DE 且OG ＝12DE . 因为AF ∥DE ，DE ＝2AF ，所以AF ∥OG 且AF ＝OG ，从而四边形AFGO 是平行四边形，所以FG ∥AO .所以AO ∥平面BEF ，即AC ∥平面BEF .3 B 组――大题增分练1．(20XX年盐城三模)在直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，已知底面ABCD 是菱形，M ，N 分别是棱A 1D 1，D 1C 1的中点．求证：(1)AC ∥平面DMN ；(2)平面DMN ⊥平面BB 1D 1D .证明：(1)连结A 1C 1，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，因为AA 1BB 1，BB 1CC 1，所以AA 1CC 1，所以A 1ACC 1为平行四边形，所以A 1C1∥AC .又M ，N 分别是棱A 1D 1，D 1C 1的中点，所以MN ∥A 1C 1，所以AC ∥MN .又AC ?平面DMN ，MN ?平面DMN ，所以AC ∥平面DMN .(2)因为四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1是直四棱柱，所以DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，而MN ?平面A 1B 1C 1D 1，所以MN ⊥DD 1.又因为棱柱的底面ABCD 是菱形，所以底面A 1B 1C 1D 1也是菱形，所以A 1C 1⊥B 1D 1，而MN ∥A 1C 1，所以MN ⊥B 1D 1.又MN ⊥DD 1，DD 1?平面BB 1D 1D ，B 1D 1?平面BB 1D 1D ，且DD 1∩B 1D 1＝D 1，所以MN ⊥平面BB 1D 1D .而MN ?平面DMN ，所以平面DMN ⊥平面BB 1D 1D .2.如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝1，DC ＝2，点E 在PB 上．(1)求证：平面AEC ⊥平面PAD ；(2)当PD ∥平面AEC 时，求PE ∶EB 的值．解：(1)证明：在平面ABCD 中，过A 作AF ⊥DC 于F ，则CF ＝DF＝AF ＝1，∴∠DAC ＝∠DAF ＋∠FAC ＝45°＋45°＝90°，即AC ⊥DA .又PA ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，∴AC ⊥PA .∵PA ?平面PAD ，AD ?平面PAD ，且PA ∩AD ＝A ，∴AC ⊥平面PAD .又AC ?平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PAD .(2)连结BD 交AC 于O ，连结EO .∵PD ∥平面AEC ，PD ?平面PBD ，平面PBD ∩平面AEC ＝EO ，∴PD ∥EO ，则PE ∶EB ＝DO ∶OB .又△DOC ∽△BOA ，∴DO ∶OB ＝DC ∶AB ＝2∶1，∴PE ∶EB 的值为2.3.(20XX年南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)如图，4 在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，已知AB ＝AC ，点E ，F 分别在棱BB 1，CC 1上(均异于端点)，且∠ABE ＝∠ACF ，AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1.求证：(1)平面AEF ⊥平面BB 1C 1C ；(2)BC ∥平面AEF .证明：(1)在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，BB 1∥CC 1.因为AF ⊥CC 1，所以AF ⊥BB 1.又AE ⊥BB 1，AE ∩AF ＝A ，AE ?平面AEF ，AF ?平面AEF ，所以BB 1⊥平面AEF .又因为BB 1?平面BB 1C 1C ，所以平面AEF ⊥平面BB 1C 1C .(2)因为AE ⊥BB 1，AF ⊥CC 1，∠ABE ＝∠ACF ，AB ＝AC ，所以Rt △AEB ≌Rt △AFC .所以BE ＝CF .又BE ∥CF ，所以四边形BEFC 是平行四边形．从而BC ∥EF .又BC ?平面AEF ，EF ?平面AEF ，所以BC ∥平面AEF .4．(20XX年常州期末)如图，四棱锥P ABCD 的底面ABCD 是平行四边形，PC ⊥平面ABCD ，PB ＝PD ，点Q 是棱PC 上异于P ，C 的一点．(1)求证：BD ⊥AC ；(2)过点Q 和AD 的平面截四棱锥得到截面ADQF (点F 在棱PB 上)，求证：QF ∥BC .证明：(1)因为PC ⊥平面ABCD ，BD ?平面ABCD ，所以BD ⊥PC . 记AC ，BD 交于点O ，连结OP .因为平行四边形对角线互相平分，则O 为BD 的中点．在△PBD 中，PB ＝PD ，所以BD ⊥OP .又PC ∩OP ＝P ，PC ?平面PAC ，OP ?平面PAC .所以BD ⊥平面PAC ，又AC ?平面PAC ，所以BD ⊥AC .(2)因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC .又AD ?平面PBC ，BC ?平面PBC ，所以AD ∥平面PBC .又AD ?平面ADQF ，平面ADQF ∩平面PBC ＝QF ，。
空间几何中的平行与垂直
空间几何中的平行与垂直空间几何是研究三维空间中的几何关系的学科，其中平行和垂直是两个重要的概念。
平行和垂直关系是我们日常生活和工作中常常接触到的概念，它们在建筑设计、物体摆放和路线规划等方面都有着广泛的应用。
本文将围绕空间几何中的平行和垂直展开讨论。
一、平行概念与性质在空间几何中，平行是指两个直线或两个平面始终保持相互平行的关系。
如图所示，直线l和m平行，用符号表示为l∥m。
平行关系具有以下性质：1. 平行关系是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性指一条直线自己与自己平行，对称性是指如果直线l与直线m平行，则直线m与直线l也平行，传递性是指如果直线l与直线m平行，直线m与直线n平行，则直线l与直线n平行。
2. 如果一条直线与一个平面平行，那么该直线上的任意一点与该平面上的任意一点的连线垂直于该平面。
3. 平行关系与直线的切比雪夫性质密切相关。
切比雪夫性质是指在点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，在A与B的所有可能位置之间都保持不变。
二、垂直概念与性质在空间几何中，垂直是指两个直线或两个平面相交成直角的关系。
垂直关系也称为垂直关系或直角关系。
如图所示，直线l和m垂直，用符号表示为l⊥m。
垂直关系具有以下性质：1. 垂直关系也是一个等价关系，即自反性、对称性和传递性。
自反性指一条直线与自己垂直，对称性是指如果直线l与直线m垂直，则直线m与直线l也垂直，传递性是指如果直线l与直线m垂直，直线m与直线n垂直，则直线l与直线n垂直。
2. 如果两个平面相交成直角，那么这两个平面互相垂直。
3. 垂直关系与直线的切比雪夫性质也存在关联。
在垂直关系中，点P到直线l上的一点A的距离与点P到直线l上另一点B的距离之比，与A与B的位置无关。
三、平行和垂直的判断方法在实际问题中，判断两条直线或两个平面是否平行或垂直是非常重要的。
以下是常见的判断方法：1. 对于直线而言，可以通过观察其斜率来判断平行关系。
2019届高考数学大二轮复习专题五空间几何5.2空间中的平行与垂直课件
解析：
(1)证明：由已知可得，∠BAC＝90° ，即 BA⊥AC.
又 BA⊥AD，AC∩AD＝A，所以 AB⊥平面 ACD. 又 AB⊂平面 ABC， 所以平面 ACD⊥平面 ABC.
(2)由已知可得， DC＝CM＝AB＝3， DA＝3 2. 2 又 BP＝DQ＝ DA， 3 所以 BP＝2 2. 如图，过点 Q 作 QE⊥AC， 1 垂足为 E，则 QE 綊 DC. 3
(3)如图，取 PC 的中点 G，连接 FG，DG. 因为 F，G 分别为 PB，PC 的中点， 1 所以 FG∥BC，FG＝ BC. 2 因为四边形 ABCD 为矩形，且 E 为 AD 的中点， 1 所以 DE∥BC，DE＝2BC. 所以 DE∥FG，DE＝FG. 所以四边形 DEFG 为平行四边形． 所以 EF∥DG. 又因为 EF⊄平面 PCD，DG⊂平面 PCD， 所以 EF∥平面 PCD.
2．[警示] 条件．
(1)证明线面平行时，忽略“直线在平面外”“直线在平面内”的
(2)证明面面平行时，忽略“两直线相交”“两直线在平面内”的条件． (3)证明线面垂直时，容易忽略“平面内两条相交直线”这一条件．
◎ 变式训练 1．(2017· 江苏卷)如图，在三棱锥 ABCD 中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面 ABD ⊥平面 BCD，点 E，F(E 与 A，D 不重合)分别在棱 AD，BD 上，且 EF⊥AD. 求证：(1)EF∥平面 ABC； (2)AD⊥AC.
生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．
◎ 变式训练 如图(1)，等腰梯形 BCDP 中，BC∥PD，BA⊥PD 于点 A，PD＝3BC，且 AB ＝BC＝1.沿 AB 把△PAB 折起到△P′AB 的位置，如图(2)，使∠P′AD＝90° .
高考数学二轮复习 第二编 专题五 立体几何 第2讲 空间中的平行与垂直课件 文
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解析 若 α∥β，a⊂α，b⊂β，则直线 a 与 b 可能平行 或异面，所以 A 错误；若 a∥α，b⊥β，且 α⊥β，则直线 a 与 b 可能平行或相交或异面，所以 B 错误；若 a⊥α，a∥b， b∥β，则 α⊥β，所以 C 正确；若 a⊥b，a⊂α，b⊂β，则 α∩β 或 α∥β，所以 D 错误．故选 C.
∴DE⊥PA. ∵E，H 分别为正方形 ABCD 边 AB，BC 的中点， ∴Rt△ABH≌Rt△DAE， 则∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°， ∴DE⊥AH， ∵PA⊂平面 PAH，AH⊂平面 PAH，PA∩AH＝A， ∴DE⊥平面 PAH， ∵DE⊂平面 EFD，∴平面 PAH⊥平面 DEF.
解析 由 AP⊥PB，AP⊥PC 可推出 AP⊥平面 PBC，∴ AP⊥BC，故排除 A；由平面 BPC⊥平面 APC，BC⊥PC 可 推出 BC⊥平面 APC，∴AP⊥BC，故排除 C；由 AP⊥平面 PBC 可推出 AP⊥BC，故排除 D，选 B.
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3．(2018·北京高考)如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，平面 PAD⊥平面 ABCD，PA⊥PD，PA＝PD， E，F 分别为 AD，PB 的中点．
求证：(1)PE⊥BC； (2)平面 PAB⊥平面 PCD； (3)EF∥平面 PCD.
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证明 (1)∵PA＝PD，且 E 为 AD 的中点，∴PE⊥AD. ∵底面 ABCD 为矩形，∴BC∥AD， ∴PE⊥BC. (2)∵底面 ABCD 为矩形，∴AB⊥AD. ∵平面 PAD⊥平面 ABCD，∴AB⊥平面 PAD. ∴AB⊥PD.又 PA⊥PD， ∴PD⊥平面 PAB，∴平面 PAB⊥平面 PCD.
江苏高考数学文二轮专题复习演练5.2空间中的平行与垂直
第2讲 空间中的平行与垂直1．(2013·杭州质检)设l 是直线，α，β是两个不同的平面，以下四个命题：①若l ∥α，l ∥β，则α∥β；②若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β；③若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥β；④若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β，其中正确的是 ________.解析 设α∩β＝a ，若直线l ∥a ，且l ⊄α，l ⊄β，则l ∥α，l ∥β，因此α不一定平行于β，故①错误；由于l ∥α，故在α内存在直线l ′∥l ，又因为l ⊥β，所以l ′⊥β，故α⊥β，所以②正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l ，则l ⊥α，此时l 在平面β内，因此③错误； 已知α⊥β，若α∩β＝a ，l ∥a ，且l 不在平面α，β内，则l ∥α且l ∥β，因此④错误．答案 ②2．(2013·山东改编)已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为 ________.解析 如图所示：S △ABC ＝12×3×3×sin 60°＝334.∴VABC -A1B 1C 1＝S △ABC ×OP ＝334×OP ＝94，∴OP＝ 3.又OA ＝32×3×23＝1，∴tan ∠OAP ＝OP OA ＝3，由∠OAP ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， 得∠OAP ＝π3.答案 π33．设a ，b 是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列命题：①若a ⊥b ，a ∥α，则b ∥α；②若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.其中正确命题的个数是________.解析①当a⊥b，a∥α时，b与α可能相交，所以①错误．②中a⊥β不一定成立．③中a⊂α或a∥α，所以错误．④正确，所以正确的命题只有一个．答案 14．如图所示，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列四个结论①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角；④AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角，其中不正确的是________.解析易证AC⊥平面SBD，因而AC⊥SB，A正确；AB∥DC，DC⊂平面SCD，故AB∥平面SCD，B正确；由于SA，SC与平面SBD的相对位置一样，因而所成的角相同．答案④5．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD ＝90°.将△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD.则在三棱锥A-BCD中，下列四个命题：①平面ABD⊥平面ABC；②平面ADC⊥平面BDC；③平面ABC⊥平面BDC；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是________.解析在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，∴CD ⊥平面ABD，∴CD⊥AB.又AD⊥AB，故AB⊥平面ADC，从而平面ABC⊥平面ADC.答案④6．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E 为AD 的中点，点F 在CD 上．若EF ∥平面AB 1C ，则线段EF 的长度等于________．解析 由于在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，∴AC ＝2 2.又E 为AD 中点，EF ∥平面AB 1C ，EF ⊂平面ADC ，平面ADC ∩平面AB 1C ＝AC ， ∴EF ∥AC ，∴F 为DC 中点，∴EF ＝12AC ＝ 2.答案 27．如图，P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，C是⊙O 上的一点，E ，F 分别是点A 在PB ，PC 上的射影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC .其中正确命题的序号是________．解析 ∵P A ⊥⊙O 所在的平面，AB 是⊙O 的直径，∴CB ⊥P A ，CB ⊥AC ，又P A ∩AC ＝A ，∴CB ⊥平面P AC .又AF ⊂平面P AC ，∴CB ⊥AF .又∵F 是点A 在PC 上的射影，∴AF ⊥PC ，又PC ∩BC ＝C ，PC ，BC ⊂面PBC ，∴AF ⊥平面PBC ，故①③正确．又∵E 为A 在PB 上的射影，∴AE ⊥PB ，∴PB ⊥平面AEF ，故②正确．而AF ⊥平面PCB ，∴AE 不可能垂直于平面PBC .故④错．答案 ①②③8．(2013·安徽高考改编)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段CC 1上的动点，过点A ，P ，Q 的平面截该正方体所得的截面记为S .则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①当0<CQ <12时，S 为四边形；②当CQ ＝12时，S 为等腰梯形；③当34<CQ <1时，S 为六边形；④当CQ ＝1时，S 的面积为62.解析 截面S 与DD 1的交点为M ，由平面与平面平行的性质定理知AM ∥PQ ，若0<CQ <12，则M 在线段DD 1上(不包括端点)如图S 为四边形，命题①正确；当CQ ＝12时，M 点与D 1重合，四边形APQD 1为等腰梯形，命题②正确． ③中，当34<CQ <1时，连接AM 交A 1D 1于N ，则截面S 为五边形APQRN ，命题③错误．当CQ ＝1时，截面S 为菱形，其对角线长分别为2，3，则S 的面积12·2·3＝62，故命题④正确．答案 ①②④9．(2013·辽宁高考)如图，AB 是圆O 的直径，P A 垂直圆O 所在的平面，C 是圆O 上的点．(1)求证：BC ⊥平面P AC ；(2)设Q 为P A 的中点，G 为△AOC 的重心，求证：QG ∥平面PBC .证明 (1)由AB 是圆O 的直径，得AC ⊥BC ，由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC .又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ，所以BC ⊥平面P AC .(2)连接OG 并延长交AC 于M ，连接QM ，QO ，由G 为△AOC 的重心，得M 为AC 中点．由Q 为P A 中点，得QM ∥PC ，又O为AB中点，得OM∥BC.因为QM∩MO＝M，QM⊂平面QMO，MO⊂平面QMO，BC∩PC＝C，BC⊂平面PBC，PC⊂平面PBC.所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO，所以QG∥平面PBC.B1C1中，A1B1＝10．(2012·江苏)如图，在直三棱柱ABC－AA1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.证明(1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.又因为AD⊥DE，CC1，DE⊂平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，所以AD⊥平面BCC1B1.又AD⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面BCC1B1.(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又因为CC1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.由(1)知AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以直线A1F∥平面ADE.11．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，CD＝2AB＝4，AD＝2，E为CD的中点，将△BCE沿BE折起，使得CO⊥DE，其中垂足O在线段DE内．(1)求证：CO ⊥平面ABED ；(2)问∠CEO (记为θ)多大时，三棱锥C -AOE 的体积最大，最大值为多少．(1)证明 在直角梯形ABCD 中，CD ＝2AB ，E 为CD 的中点，则AB ＝DE ，又AB ∥DE ，AD ⊥AB ，可知BE ⊥CD .在四棱锥C -ABED 中，BE ⊥DE ，BE ⊥CE ，CE ∩DE ＝E ，CE ，DE ⊂平面CDE ，则BE ⊥平面CDE .又BE ⊂平面ABED ，所以平面ABED ⊥平面CDE ，因为CO ⊂平面CDE ，又CO ⊥DE ，且BE ，DE 是平面ABED 内的两条相交直线，故CO ⊥平面ABED .(2)解 由(1)知CO ⊥平面ABED ，所以三棱锥C -AOE 的体积V ＝13S △AOE ×OC ＝13×12×OE ×AD ×OC .由直角梯形ABCD 中，CD ＝2AB ＝4，AD ＝2，CE ＝2.得在三棱锥C -AOE 中，OE ＝CE cos θ＝2cos θ，OC ＝CE sin θ＝2sin θ，V ＝23sin 2θ≤23，当且仅当sin 2θ＝1，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，即θ＝π4时取等号(此时OE ＝2＜DE ，O 落在线段DE 内)，故当θ＝π4时，三棱锥C -AOE 的体积最大，最大值为23.。
备战2019高考数学大二轮复习专题五立体几何5.2空间中的平行与垂直课件理
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-5命题热点一 命题热点二 命题热点三
(2)解 如图,以 O 为坐标原点,������������的方向为 x 轴正方向,建立 空间直角坐标系 O-xyz. 由已知得 O(0,0,0),B(2,0,0),A(0,-2,0),C(0,2,0),P(0,0,2 3),������������=(0,2,2 3).取 平面 PAC 的法向量������������=(2,0,0), 设 M(a,2-a,0)(0<a≤2),则������������=(a,4-a,0). 设平面 PAM 的法向量为 n=(x,y,z). 由������������ · n=0,������������ · n=0 得 2������ + 2 3������ = 9, 可取 n=( 3(a-4), 3a,-a), ������������ + (4-������)������ = 0.
(1)证明： 由已知得 AM= AD=2. 取 BP 的中点 T,连接 AT,TN,由 N 为 PC 中点知 TN∥BC, 1 TN= BC=2.
2 3
2
又AD∥BC,故TN������ AM,四边形AMNT为平行四边形, 于是MN∥AT. 因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.
复习策略 抓住考查 的主要题 目类型进 行训练,重 点是空间 中的平 行、垂直 关系及体 积中的探 索性问题.
-3命题热点一 命题热点二 命题热点三
线线、线面平行或垂直的判定与性质 【思考】 判断或证明线面、线线平行或垂直的常用方法有哪些?
ห้องสมุดไป่ตู้
例1(2018全国Ⅱ,理20)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC= 2 2 , PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点. (1)证明:PO⊥平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30°,求PC与平面PAM所 成角的正弦值.
2019届高考数学(文)二轮复习提优导学案(江苏专用)：第1部分 专题2 立体几何 第1讲 平行与垂直
第1讲平行与垂直【课前热身】第1讲平行与垂直(本讲对应学生用书第10~13页)1.(必修2 P41练习1改编)给出下列四个命题：①平行于同一条直线的两个平面平行；②垂直于同一条直线的两个平面垂直；③平行于同一平面的两个平面平行；④垂直于同一平面的两个平面垂直.其中正确的命题是.(填序号)【答案】③【解析】①中两个平面可以相交；②中两个平面平行；④中两个平面的位置关系不确定.2.(必修2 P37练习3改编)若直线a与平面α不垂直，则在平面α内与直线a垂直的直线条数为. 【答案】无数条【解析】因为直线a与平面α不垂直，则直线a在平面α内的射影必为一条直线，与射影垂直的直线必定会与直线a垂直，故有无数条.3.(必修2 P41-42练习13改编)如图(1)，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD.(第3题(1))【解答】如图(2)，取PD的中点Q，连接NQ，QA，则在△PDC中，QN∥DC，(第3题(2))且QN=12DC.又因为底面ABCD是矩形，故AB DC.因为AM=12AB，所以QN∥AM，且QN=AM，则四边形AMNQ为平行四边形，即有MN∥QA.又QA⊂平面PAD，MN⊄平面PAD，所以MN∥平面PAD.4.(必修2 P50练习9改编)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1C与平面BDD1B1有何位置关系?对你给出的结论加以证明.(第4题)【解答】平面AB1C与平面BDD1B1垂直，证明如下：在正方体A1B1C1D1-ABCD中，因为BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以BB1⊥AC.在正方形ABCD内，AC⊥BD.又因为BB1∩BD=B，BB1，BD⊂平面BDD1B1，所以AC⊥平面BDD1B1.又因为AC⊂平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面BDD1B1.【课堂导学】线面基本关系的判定例1(2019·南京三模)已知α，β是两个不重合的平面，l，m是两条不同的直线，l⊥α，m⊂β.给出下列命题：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③m∥α⇒l⊥β；④l⊥β⇒m∥α.其中正确的命题是.(填序号)【答案】①④【解析】①由l⊥α，α∥β，得l⊥β，又因为m⊂β，所以l⊥m；②由l⊥α，α⊥β，得l∥β或l⊂β，又因为m⊂β，所以l与m或异面或平行或相交；③由l⊥α，m∥α，得l⊥m，因为l只垂直于β内的一条直线m，所以不能确定l是否垂直于β；④由l⊥α，l⊥β，得α∥β，因为m⊂β，所以m∥α.变式(2019·镇江期末)设b，c表示两条不同的直线，α，β表示两个不重合的平面，现给出下列命题：①若b⊂α，c∥α，则b∥c；②若b⊂α，b∥c，则c∥α；③若c∥α，α⊥β，则c⊥β；④若c∥α，c⊥β，则α⊥β.其中正确的命题是.(填序号)【答案】④【解析】①b和c可能异面，故①错；②可能c⊂α，故②错；③可能c∥β，c⊂β，c与β斜交，故③错；④根据面面垂直判定α⊥β，故④正确.平行与垂直的证明例2(2019·南京学情调研)如图(1)，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点.(1)求证：PC∥平面BDE；(2)若PC⊥PA，PD=AD，求证：平面BDE⊥平面PAB.(例2(1))【解答】(1)如图(2)，连接AC交BD于点O，连接OE.(例2(2))因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA=OC.因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC.因为PC⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE.(2)因为E为PA的中点，PD=AD，所以PA⊥DE.因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE.因为OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE=E，所以PA⊥平面BDE.因为PA⊂平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB.变式(2019·苏北四市摸底)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AC⊥BD，AC与BD交于点O，且平面PAC⊥平面ABCD，E为棱PA上一点.(1)求证：BD⊥OE；(2)若AB=2CD，AE=2EP，求证：EO∥平面PBC.(变式)【解答】(1)因为平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，BD⊥AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面PAC.又因为OE⊂平面PAC，所以BD⊥OE.(2)因为AB∥CD，AB=2CD，AC与BD交于点O，所以CO∶OA=CD∶AB=1∶2.又因为AE=2EP，所以CO∶OA=PE∶EA，所以EO∥PC.又因为PC⊂平面PBC，EO⊄平面PBC，所以EO∥平面PBC.例3(2019·江苏信息卷)如图(1)，矩形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，其中AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD，∠BDC=45°，点M在线段EC上.(1)若EM=2CM，求证：AE∥平面BDM；(2)求证：平面BDM⊥平面ADEF.(例3(1))【点拨】可通过计算利用勾股定理的逆定理来判断垂直.【分析】(1)要证明线面平行，即要通过线线平行来证明，所以本题的关键是在平面BDM 中找一条线和AE平行；(2)要证明面面垂直，可通过线面垂直的性质来证明，即要寻找垂直于平面的直线，可通过BD⊥平面ADEF来证明.【解答】(1)如图(2)，连接AC交BD于点O，连接MO.(例3(2))因为AB∥CD，AB=2CD，所以AO=2CO.因为EM=2CM，所以AE∥MO.又因为AE⊄平面BDM，MO⊂平面BDM，所以AE∥平面BDM.(2)设DC=1，由题意知DC⊥BC，BC=1，BD=2在梯形ABCD中，AB∥CD，所以∠ABD=∠BDC=45°，因为AB=2DC=2，所以在△ABD中，由余弦定理知22-2cosAB BD AB BD ABD∠+⋅2因为AB=2，所以AD2+BD2=AB2，所以∠ADB=90°，所以AD⊥BD.因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，BD⊥AD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面ADEF.因为BD⊂平面BDM，所以平面BDM⊥平面ADEF.变式(2019·启东中学)如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PC，M为BC的中点，N为AC上一点，且MN∥平面PAB.(1)求证：直线AB∥平面PMN；(2)若BC=2AC，∠ABC=30°，求证：平面ABC⊥平面PMN.(变式)【解答】(1)因为MN∥平面PAB，MN⊂平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，所以MN∥AB.因为MN⊂平面PMN，AB⊄平面PMN，所以AB∥平面PMN.(2)因为BC=2AC，∠ABC=30°，3，由余弦定理可得AB=所以AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC.由(1)知MN∥AB，所以MN⊥AC.因为PA=PC，AN=CN，所以PN⊥AC.又MN，PN⊂平面PMN，MN∩PN=N，所以AC⊥平面PMN.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面PMN.线面位置关系的拓展例4如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=7，PA=3，∠ABC=120°，G为线段PC上的点.(1)求证：BD⊥平面PAC；(2)若PC⊥平面BGD，求PGGC的值.(例4)【分析】(1)中易证BD⊥PA，要借助AB=BC与∠ABC=120°说明BD⊥AC，即位置关系的判定要借助数量关系的运算.(2)要求PGGC的值，即先分别求得PG，GC的值，这要借助勾股关系与方程思想.【解答】(1)由已知得△ABC是等腰三角形，且底角等于30°.由AB=BC，AD=CD，BD=DB，得△ABD≌△CBD，所以∠ABD=∠CBD=60°，且∠BAC=30°，所以BD⊥AC.又因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PA.又PA∩AC=A，PA，AC⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.(2)由已知得22PA AC+312+15因为PC⊥平面BGD，GD⊂平面BGD，所以PC⊥GD.在△PDC中，37+10CD=715设PG=x，则15，所以PD2-PG2=CD2-CG2，即10-x2=7-(15-x)2，所以PG=x=3155，CG=2155，所以PGGC=32.【点评】除常规的线面位置关系的判定与证明外，借助数量的运算关系来确定位置关系的题目也要适当的了解和关注.数量运算主要还是体现在垂直上，即有勾股关系的适当介入.变式(2019·广东卷)如图，△PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，且PD=PC=4，AB=6，BC=3.(1)求证：BC∥平面PDA；(2)求证：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离.(变式)【解答】(1)因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD.因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD.因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PDC.因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.(3)取CD的中点E，连接AE和PE，因为PD=PC，所以PE⊥CD.在Rt△PED中，22-PD D E224-37因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，所以PE⊥平面ABCD.由(2)知，BC⊥平面PDC，由(1)知，BC∥AD，所以AD⊥平面PDC.因为PD ⊂平面PDC ，所以AD ⊥PD. 设点C 到平面PDA 的距离为h ， 因为CPDA V 三棱锥=PACDV 三棱锥，所以13S △PDA ·h=13S △ACD ·PE ，即h=·ACD PDA S PE S V V =136721342⨯⨯⨯⨯⨯=372，所以点C 到平面PDA 的距离是372.【课堂评价】1.若α，β是两个相交平面，直线m ⊂α，则在平面β内， 与直线m 垂直的直线.(填写“存在”或“不存在”) 【答案】存在【解析】若m 与两个平面的交线平行或m 为交线，显然存在；若m 与交线相交，设交点为A ，在直线m 上任取一点B (异于点A )，过点B 向平面β引垂线，垂足为C ，则直线BC ⊥平面β，在平面β内作直线l 垂直于AC ，可以证明l ⊥平面ABC ，则l ⊥m.2.(2019·全国卷Ⅱ)已知α，β是两个不重合的平面，m ，n 是两条不同的直线，有下列四个命题： ①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β； ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n ； ③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β；④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.其中正确的命题是.(填序号)【答案】②③④【解析】对于①，m⊥n，m⊥α，n∥β，则α，β的位置关系无法确定，故①错误；对于②，因为n∥α，所以可过直线n作平面γ与平面α相交于直线c，则n∥c，因为m⊥α，所以m⊥c，所以m⊥n，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知其正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确.故正确的有②③④.3.(2019·南京、盐城、连云港、徐州二模)如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点.(1)求证：PB∥平面MNC；(2)若AC=BC，求证：PA⊥平面MNC.(第3题)【解答】(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB.因为MN⊂平面MNC，PB⊄平面MNC，所以PB∥平面MNC.(2)因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.因为AC=BC，AM=BM，所以CM⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，CM⊂平面ABC，所以CM⊥平面PAB.因为PA⊂平面PAB，所以CM⊥PA.因为PA⊥MN，MN⊂平面MNC，CM⊂平面MNC，MN∩CM=M，所以PA⊥平面MNC.4.(2019·镇江期末)如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=PC，底面ABCD是直角梯形，AB⊥BC，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点.(1)求证：AM∥平面PBC；(2)求证：CD⊥AP.(第4题)【解答】(1)在直角梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2AB，点M是CD的中点，所以AB∥CM，且AB=CM，所以四边形ABCM是平行四边形，且是矩形.所以AM∥BC.又因为BC⊂平面PBC，AM⊄平面PBC，所以AM∥平面PBC.(2)连接PM，因为PD=PC，点M是CD的中点，所以CD⊥PM.又因为四边形ABCM是矩形，所以CD⊥AM.因为CD⊥AM，CD⊥PM，PM⊂平面PAM，AM⊂平面PAM，PM∩MA=M，所以CD⊥平面PAM. 因为AP⊂平面PAM，所以CD⊥AP.5.(2019·南京期初)如图(1)，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，点M，N分别为线段A1B，AC1的中点.(1)求证：MN∥平面BB1C1C；(2)若D在边BC上，且AD⊥DC1，求证：MN⊥AD.(第5题(1))【解答】(1)如图(2)，连接A1C.(第5题(2))在直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1C1C为平行四边形.又因为N为线段AC1的中点，所以A1C与AC1相交于点N，即A1C经过点N，且N为线段A1C的中点.因为M为线段A1B的中点，所以MN∥BC.又MN⊄平面BB1C1C，BC⊂平面BB1C1C，所以MN∥平面BB1C1C.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC.因为AD⊂平面ABC，所以CC1⊥AD.因为AD⊥DC1，DC1⊂平面BB1C1C，CC1⊂平面BB1C1C，CC1∩DC1=C1，所以AD⊥平面BB1C1C.又BC⊂平面BB1C1C，所以AD⊥BC.又由(1)知，MN∥BC，所以MN⊥AD.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第5~6页.【检测与评估】专题二立体几何第1讲平行与垂直一、填空题1.(2019·盐城中学)下列对直线与平面平行的判定与性质的理解正确的是.(填序号)①若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.②若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的无数条直线.③若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.④若直线a∥α，P∈α，则过点P且平行于a的直线有无数条.2.设m，n是平面α内的两条不同直线，l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是.(填序号)①m∥β且l1∥α；②m∥l1且n∥l2；③m∥β且n∥β；④m∥β且n∥l2.3.(2019·启东中学)若PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB，PC，PD，AC，BD，则一定互相垂直的平面是.(填序号)①平面PAB⊥平面PBC；②平面PAB⊥平面PAD；③平面PAB⊥平面PCD；④平面PAB⊥平面PAC.4.(2019·海安中学)若P为△ABC所在平面外一点，AC=2a，△PAB，△PBC都是边长为a的等边三角形，则平面ABC和平面PAC的位置关系为.5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，点E为AD的中点，点F在CD上.若EF∥平面AB1C，则线段EF的长等于.(第5题)6.如图，已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，则下列结论正确的是.(填序号)①PB⊥AD；②平面PAB⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④直线PD与平面ABC所成的角为45°.(第6题)二、解答题7.(2019·淮安5月信息卷)如图，在三棱锥P-ABC中，D为AB的中点.(1)若与BC平行的平面PDE交AC于点E，求证：点E为AC的中点；(2)若PA=PB，且△PCD为锐角三角形，又平面PCD⊥平面ABC，求证：AB⊥PC.(第7题)8.(2019·泰州期末)如图，在三棱锥P-ABC中，∠PAC=∠BAC=90°，PA=PB，点D，F分别为BC，AB 的中点.(1)求证：直线DF∥平面PAC；(2)求证：PF⊥AD.(第8题)9.(2019·南通、扬州、泰州、淮安三调)如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD=2AB=2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点.(1)求证：PC∥平面BMN；(2)求证：平面BMN⊥平面PAC.(第9题)10.(2019·苏锡常镇调研(二))如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AA1=2AB，D是AB的中点.(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)若点P在线段BB1上，且BP=14BB1，求证：AP⊥平面A1CD.(第10题)【检测与评估答案】专题二立体几何第1讲平行与垂直一、填空题1.②【解析】①中没有说明直线在平面外，故错误；②正确；③中的直线必须在平面外才成立；④中过点P且平行于a的直线有且只有一条.2.②【解析】因为m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，所以α∥β；而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2，可能异面.3.①②【解析】因为BC⊥平面PAB，所以平面PBC⊥平面PAB，所以①正确，同理AD⊥平面PAB，所以平面PAD⊥平面PAB，所以②正确.4.垂直【解析】如图所示，因为PA=PB=PC=AB=BC=a，取AC的中点D，连接PD，BD，则PD⊥AC，BD⊥AC.又AC=2a，所以PD=BD=2 2 a.在△PBD中，PB2=BD2+PD2，所以∠PDB=90°，所以PD⊥BD，所以PD⊥平面ABC.又PD 平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.(第4题)5.2【解析】由EF∥平面AB1C可得EF∥AC，点E为AD的中点，则F为DC的中点，所以EF=12AC.而在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，所以EF=12AC=12×22=2.6.④【解析】因为AD与AB不垂直，所以①不成立；又平面PAB⊥平面PAE，所以平面PAB⊥平面PBC也不成立；因为BC∥AD，所以BC∥平面PAD，所以直线BC∥平面PAE也不成立；在Rt△PAD中，PA=AD=2AB，所以∠PDA=45°，④正确.二、解答题7. (1) 平面PDE交AC于点E，即平面PDE∩平面ABC=DE，而BC∥平面PDE，BC⊂平面ABC，所以BC∥DE.在△ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点.(第7题)(2) 因为PA=PB，D为AB的中点，所以AB⊥PD.因为平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC=CD，如图，在锐角三角形PCD所在平面内作PO⊥CD于点O，则PO⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB.又PO∩PD=P，PO，PD⊂平面PCD，则AB⊥平面PCD.又PC⊂平面PCD，所以AB⊥PC.8. (1) 因为点D，F分别为BC，AB的中点，所以DF∥AC.又因为DF⊄平面PAC，AC⊂平面PAC，所以直线DF∥平面PAC.(2) 因为∠PAC=∠BAC=90°，所以AC⊥AB，AC⊥AP.又因为AB∩AP=A，AB，AP⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.因为PF⊂平面PAB，所以AC⊥PF.因为PA=PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB.又AC∩AB=A，AC，AB⊂平面ABC，所以PF⊥平面ABC.因为AD⊂平面ABC，所以AD⊥PF.9. (1) 如图，连接AN，设AC与BN交于点O，连接MO.(第9题)因为AB=12CD，AB∥CD，N为CD的中点，所以AB=CN，AB∥CN，所以四边形ABCN为平行四边形，所以O为AC的中点.又M为PA的中点，所以MO∥PC.又因为MO⊂平面BMN，PC⊄平面BMN，所以PC∥平面BMN.(2) 方法一：因为PC⊥平面PAD，AD⊂平面PAD，所以PC⊥AD.由(1)同理可得，四边形ABND为平行四边形，所以AD∥BN，所以BN⊥PC.因为BC=AB，所以平行四边形ABCN为菱形，所以BN⊥AC.因为PC∩AC=C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC，所以BN⊥平面PAC.因为BN⊂平面BMN，所以平面BMN⊥平面PAC.方法二：如图，连接PN.因为PC⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，所以PC⊥PA. 因为PC∥MO，所以PA⊥MO.因为PC⊥平面PAD，PD⊂平面PAD，所以PC⊥PD.因为N为CD的中点，所以PN=12CD，由(1)得AN=BC=12CD，所以AN=PN.因为M为PA的中点，所以PA⊥MN.因为MN∩MO=M，MN⊂平面BMN，MO⊂平面BMN，所以PA⊥平面BMN.因为PA⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面BMN.10. (1) 如图，连接AC1交A1C于点O，连接OD.(第10题)因为四边形AA1C1C是矩形，所以O是AC1的中点.在△ABC1中，O，D分别是AC1，AB的中点，所以OD∥BC1. 又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2) 因为CA=CB，D是AB的中点，所以CD⊥AB.因为在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC⊥侧面AA1B1B，底面ABC∩侧面AA1B1B=AB，CD⊂平面ABC，所以CD⊥平面AA1B1B.因为AP⊂平面A1B1BA，所以CD⊥AP.因为BB1=AA1=，BP=14BB1，所以BPAB=4=1ADAA，所以Rt△ABP∽Rt△A1AD，从而∠AA1D=∠BAP，所以∠AA1D+∠A1AP=∠BAP+∠A1AP=90°，所以AP⊥A1D.又因为CD∩A1D=D，CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，所以AP⊥平面A1CD.。
空间立体几何中的平行、垂直证明ppt课件
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21
(1) 证明 如图所示，取线段 BC 的中点 F，
连接 EF、FD.
在△PBC 中，E、F 分别为 PC、CB 的中点，
M
A
D
B
N
C
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10
定理应用
构造平行四边形
P
M A
H D
B
N
C
精选课件PPT
空间中的平行
11
定理应用
构造平行平面
P
M
A
Q
D
B
N
C
精选课件PPT
空间中的平行
12
复习定理
空间中的垂直
解决空间直线与平面垂直的相关问题，特别要注意下面的 转化关系：
线线垂直
空间垂直之间的转化
①
③
②
线面垂直
④
面面垂直
空间中的平行与垂直
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1
复习定理
空间中的平行
1.直线与平面平行的判定
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则 该直线与此平面平行．
a
b
a
//
b
a // b
☺ 简称：线线平行，线面平行.
精选课件PPT
2
复习定理
空间中的平行
2.直线与平面平行的性质
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行．
24
1．线线、线面、面面的平行与垂直的关系可以通过下 列形式转化．
高考数学二轮复习规范答题示例6空间中的平行与垂直关系课件理
―面―判―面―定―垂定 ―直―理―的―→ 平面PAH⊥平面DEF
规 范 解 答·分 步 得 分
证明 (1)取PD的中点M，连接FM，AM.
∵在△PCD中，F，M分别为PC，PD的中点，
∴FM∥CD 且 FM＝12CD. ∵在正方形 ABCD 中，AE∥CD 且 AE＝12CD， ∴AE∥Fห้องสมุดไป่ตู้且AE＝FM，
则∠BAH＝∠ADE，∴∠BAH＋∠AED＝90°，∴DE⊥AH， 8分
∵PA⊂平面PAH，AH⊂平面PAH，PA∩AH＝A，∴DE⊥平面PAH，
∵DE⊂平面EFD，∴平面PAH⊥平面DEF.
12分
构建答题模板 第一步 找线线：通过三角形或四边形的中位线、平行四边形、等腰三角形的中 线或线面、面面关系的性质寻找线线平行或线线垂直. 第二步 找线面：通过线线垂直或平行，利用判定定理，找线面垂直或平行；也 可由面面关系的性质找线面垂直或平行. 第三步 找面面：通过面面关系的判定定理，寻找面面垂直或平行. 第四步 写步骤：严格按照定理中的条件规范书写解题步骤.
则四边形AEFM为平行四边形，
∴AM∥EF，
4分
∵EF⊄平面PAD，AM⊂平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
6分
(2)∵侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，
∴PA⊥底面ABCD，∵DE⊂底面ABCD，∴DE⊥PA.
∵E，H分别为正方形ABCD边AB，BC的中点，
∴Rt△ABH≌Rt△DAE，
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
高考数学 二轮 专题五 第2讲 空间中的平行与垂直配套课件 理
(1)当x＝2时，求证：BD⊥EG；
证明 作DH⊥EF，垂足为H， 连接BH，GH，
因为平面AEFD⊥平面EBCF，交 线为EF，DH⊂平面AEFD， 所以DH⊥平面EBCF，又EG⊂平面EBCF， 故EG⊥DH.
因为EH＝AD＝ 1BC＝BG＝2，BE＝2，EF∥BC， ∠EBC＝90°，2
所以四边形BGHE为正方形，故EG⊥BH. 又BH，DH⊂平面DBH，且BH∩DH＝H， 故EG⊥平面DBH. 又BD⊂平面DBH，故EG⊥BD.
(3)平面BEF⊥平面PCD. 思维启迪 EF是△CPD的中位线.
证明 因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形. 所以BE⊥CD，AD⊥CD， 由(1)知PA⊥底面ABCD. 所以PA⊥CD. 所以CD⊥平面PAD. 所以CD⊥PD.
因为E和F分别是CD和PC的中点， 所以PD∥EF.所以CD⊥EF. 所以CD⊥平面BEF. 又CD⊂平面PCD， 所以平面BEF⊥平面PCD.
解析 若α∩β＝l，a∥l，a⊄α，a⊄β，则a∥α， a∥β，故排除A. 若α∩β＝l，a⊂α，a∥l，则a∥β，故排除B. 若 α∩β ＝ l ， a⊂α ， a∥l ， b⊂β ， b∥l ， 则 a∥β ， b∥α，故排除C.故选D. 答案 D
解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主
要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种
思维启迪 第 (2) 问 证 明 线 线 垂 直 转 化 为 证 明 线 面 垂 直 ， 即 证 明
A1F⊥平面BCDE；
证明 由题图(1)得AC⊥BC且DE∥BC， 所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD. 所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，
所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD， 所以A1F⊥平面BCDE，又BE⊂平面BCDE， 所以A1F⊥BE.
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第5讲空间中的平行与垂直关系
A组基础达标
1. (2018·浙江卷)已知平面α，直线m，n满足m⊂α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的________条件．
2.若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则下列说法正确的是________．(填序号)
①α内的所有直线与l异面；
②α内不存在与l平行的直线；
③α内存在唯一的直线与l平行；
④α内的直线与l都相交．
3. (2018·南京考前综合题)已知l，m是空间两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．给出下列命题：
①若l∥α，l∥m，则m∥α；
②若l⊂α，m⊂β，α∥β，则l∥m；
③若l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α⊥β；
④若α⊥β，l⊥α，m⊥β，则l⊥m.
其中是真命题的有________．(填序号)
4.设l，m是不同的直线，α，β，γ是不重合的平面，则下列命题正确的是________．(填序号)
①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α.
②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α.
③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交．
④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β.
5. (2018·南京、盐城一模)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CB，M，N分别是AB，A1B1的中点．
(1) 求证：BN∥平面A1MC；
(2) 若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C.
(第5题)
6. (2018·扬州期末)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点．
(1) 求证：B1C1∥平面A1DE；
(2) 若平面A1DE⊥平面ABB1A1，求证：AB⊥DE.
(第6题)
B组能力提升
1. (2018·徐州铜山考前卷)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知∠ACB＝90°，BC＝CC1，E，F分别为AB，AA1的中点．
(1) 求证：EF∥平面BC1A1；
(2) 求证：EF⊥B1C.
(第1题)
2. (2018·海安等三校联考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AA1，M，N分别为A1B和B1C1的中点．
(1) 求证：MN∥平面A1ACC1；
(2) 求证：平面A1BC⊥平面MAC.
(第2题)
3. (2018·南师大考前模拟二)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，BC＝BB1，D为AB的中点．
(1) 求证：BC1∥平面A1CD；
(2) 求证：BC1⊥平面AB1C.
(第3题)
4. (2018·盐城中学最后一卷)如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体，P是CD的中点，Q是A1B1的中点．
(1) 求证：AQ∥平面PBC1；
(2) 若BC＝CC1，求证：平面A1B1C⊥平面PBC1.
(第4题)。