《几何与多元微积分》东华大学2017-2018多元A(下)答案
《多元函数积分学》练习题参考答案
∫ ∫
2 1 2
dx ∫ dy ∫
2
4− x 1 4− y 1
f ( x, y ) dy f ( x, y ) dx
2 4− y 1
（B） （D）
∫
2 1 2 1
dx ∫
4− x
x
2
f ( x, y ) dy
1
∫
dy ∫ f ( x, y ) dx
y
2 4− y 1 1
∫
2
1
dx ∫ f ( x, y ) dy + ∫ dy ∫
0 < r < R, 顺时针 ，沿 L 与 L1 围成 D ，
I =� ∫=
L
L + L1
− ⎟ dσ − � � ∫ −� ∫ = =∫∫ ⎜ ∫ ⎝ ∂x ∂y ⎠
L1 D
⎛ ∂Q
∂P ⎞
L1
y dx − x dy y dx − x dy = ∫∫ 0dσ − � 2 2 ∫ L1 x + 4y r2 D
） ． （ D） I 4
（ A） I 1 解：由对称性 I 2 =
（B） I 2
（C） I 3
∫∫ y cos xdxdy = 0 ，
D2 D1
I 4 = ∫∫ y cos xdxdy = 0 ，
D4
在 D1 上， y cos x > 0 ，所以 I1 = 在 D3 上 y cos x < 0 ， 所 以 I 3 =
则 f ( x, y ) = xy +
1 8
P105-练习 3 计算 I = 解
2 2
∫∫ x
D
2
+ y 2 − 1 dσ ，其中 D : 0 ≤ x ≤ 1 ， 0 ≤ y ≤ 1 ．
东华大学《线性代数》期末考试题2017-2018(1)线代A试卷A
东华大学 2017-2018 学年第一学期线性代数A 试卷A踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
一1. 03121111x中一次项x 的系数为 .2. 若⎥⎦⎤⎢⎣⎡=010311A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=310101B ，则=AB . 3. 设三阶方阵B A ,满足关系式BA A BA A +=61-，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=714131000000A 则=B . 4.矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3223-01-042A 的秩为 . 5.设B A ,均为n 阶矩阵，3-2==B A ，，则=1-*2BA6.正交矩阵的行列式为7. 、设C B A ,,为n 阶方阵，且E ABC =，则必有=BCA .8.已知二次型32312123222142244x x x x x tx x x x f +-+++=为正定二次型的条件为9.已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11a β是矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=302212221A 的特征向量，则=a 10.设矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=a b b a A ，其中1,022=+>>b a b a ，则A 为 矩阵.二.（10分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为11321==-=λλλ，，对应于1λ的特征向量为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1101ξ，求A 。
三、（10分）已知⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100110111A ，且I AB A =-2,其中I 为三阶单位阵，求矩阵B .四、（10分）已知3R 中的向量组321ααα，，线性无关，向量组,211ααβk -=,322ααβ+=,133ααβk +=线性相关，求k 的值。
五、（12分）设矩阵B A 、相似，且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=a A 33242111，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=b B 00020002（1）求b a 、的值。
（2）求可逆矩阵P 使得B AP P =1-六、（12分）λ取何值时方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=+-=-+1554212321321321x x x x x x x x x λλ无解？有唯一解？有无穷多解？并在无穷多解时写出方程组的通解。
《几何与多元微积分》东华大学2017-2018多元A(下)答案
课程名称 几何与多元微积分 A（下）
教师
班号
姓名
使用专业________________
学号
考试教室
一
二
三
四
五
六
总分
一、填空（每小题 5 分，共 35 分）
1、曲面 z − ez + 2xy = 3 在点 (1,2,0) 处的切平面方程为 2x + y − 4 = 0 .
2、函数 z = xe2y 在点 P(1,0) 处沿从点 P(1,0) 到点 Q(2, −1) 方向的方向导数为 −
0
1
五、(8 分) 计算第二类曲面积分 I = x2dydz + ( y2+2)dzdx + (3z +1)dxdy , 其中 为上半
球面 z = 1 − x2 − y2 的上侧.
解：作辅助面 1 : z = 0 (x2 + y2 1) ，取下侧。则 …………………… . (1 分)
解：设水箱的长为 x , 宽为 y , 则其高为 V . xy
…………………… . (2 分)
水箱的表面积为
S
=
2
xy
+
x
V xy
+
y
V xy
=
2
xy
+
V y
+
V x
,
(x 0, y 0) ……. (2 分)
S x
=
2
y
−
V x2
课程名称几何与多元微积分a下使用专业教师班号姓名学号考试教室一二三四五六总分一填空每小题5分共35分1曲面z?ez2xy3在点120处的切平面方程为2xy?40
参考答案2015-2016几何与多元微积分A(上)_A卷
（2） 若 r > 1 ，则由 lim
n →∞
an +1 = r > 1 ，推知 n 充分大时 an +1 > an ，故 an
lim an ≠ 0 ⇒ lim an ≠ 0 ，此与条件矛盾。
n →∞ n →∞
（3） 若 r = 1 ，则由 lim 件收敛矛盾。 综上得
∞
∞ an +1 = 1 ，推知 n 充分大时， an 同为正值或同为负值，与 ∑ an 条 n →∞ a n =1 n
x − 2 y − 2z +1 12 + (Leabharlann 2) 2 + (−2) 2
去掉绝对值符号，得所求平面方程为
=
3x − 4 y + 5 32 + (−4) 2
7 x − 11 y − 5 z + 10 = 0
或
2 x − y + 5z + 5 = 0
4、求常数项级数
∞
3n −1 − 1 的和. ∑ n −1 n =1 6
π ⎧ ⎪1, 0 ≤ x < 2 ⎪ π ⎪ = < x≤π 和函数 s ( x) ⎨0, 2 ⎪ π ⎪1 ⎪2 , x = 2 ⎩
四、 （6 分）求直线 L : 曲面？ 解：设 P ( x, y , z ) 为旋转曲面上任一点，它是由直线 L 上 Q( x1 , y1 , z1 ) 点绕 z 轴旋转所得，则
4、在空间直角坐标系中，方程 y = 2 x 表示的曲面是 抛物柱面 ，方程 z = 1 −
2
示的曲面是 圆锥面 . 5、设 u ( x, y , z ) = z
z z x −3 x dx − y 2 dy + ，则 du = 2 y 2 xy
《几何与多元微积分》东华大学2018-2019 学年考试试题
2
d
0
2 12
2dz
=
2
2
2 3(2 − 1 2)d
0
2
= 16 3
此题解法不唯一.
( ) 4、计算积分
x2 + y2 + z2 dV ，其中 : a2 x2 + y2 + z2 2az
解: 采用球面坐标计算, 则
原式=
2
d
3 d
(x, y)dxdy .
( x,y) a
解: D = D1 D2 , 其中
D1 = (x, y) (2 − a)2 x2 + y2 4 , D2 = (x, y) 4 x2 + y2 (2 + a)2
(x, y)dxdy
a
( ) ( ) = − 2 − x2 + y2 dxdy + x2 + y2 − 2 dxdy
2、设 f (x, y) 连续，则二次积分
4 d
1
f ( cos, sin)d =
0
0
【C 】
2
1− x2
A. 2 dx
f (x, y)dy
0
x
2
1− x2
B. 2 dx
f (x, y)dy
0
0
2
1− y2
C. 2 dy
f (x, y)dx
0
y
2
1− y2
东华大学 2018----2019 学年第 二 学期 月考试卷
踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
课程名称 教师
东华大学-几何与多元微积分A(上)(09-10)
n
).
（A）平行于 π ;
4、在下列级数中，收敛的级数是(
∞ n
n ∞ ∞ ∞ ⎛ n + ( −1) 1 ⎞ ⎛ n ⎞ （A） ∑ ( −1) ⎜ ;（ B ） ;（ C ） ;（ D ） n3e − n . ln 1 + ⎜ ⎟ ∑ ∑ ∑ ⎟ n n +1 ⎝ n +1 ⎠ n =1 n =1 n =1 n =1 ⎝ n n⎠
∑ ( −1)
n =1
∞
n −1
1 x 2 n 的和函数. n ( 2n − 1)
七、(5 分)设 a n > 0, 且 a n +1 ≤ a n ( n = 1,2,3, ") ,若
∑ (−1) n a n 发散,证明 ∑
n =1
∞
1 收敛. n n =1 (1 + a n )
∞
4
y x
. . .
∂z = ∂x
.
4、 设 z = xe y + ln( x 2 + y 2 ), 则 dz (1,0) = 5、数项级数
∞
∑ (2n − 1)(2n + 1) 的和为
n =1
∞
1
.
6、幂级数
∑ n⋅2
n =1
1
n
( x − 1) n 的收敛域为
1
.
7、若级数
∑ an 收敛, 且 lim n p (e n − 1)an = 1 , 则 p 的取值范围是
四、 （8 分）将函数 f ( x ) = arctg
1+ x (n) 展为 x 的幂级数, 并求 f (0) . 1− x
多元微分学 答案
多元微分学例1求函数yx y x z --=24定义域，并在平面上画出定义域的图形。
解：此函数可以看成两个函数214y x z -=与yx z -=12的乘积。
214y x z -=的定义域是x y 42≤ yx z -=12的定义域是⎩⎨⎧≥>-00y y x ，即02≥>y x 。
从而yx y x z --=24的定义域是214y x z -=与yx z -=12定义域的公共部分，即⎩⎨⎧≥>≥≥042y x y x 。
例2设),(y x f y x z -++=当0=y 时,2x z =求.z 解：代入0=y 时,2x z =得),(2x f x x +=即,)(2x x x f -= 所以 .2)(2y y x z +-= 例3 求11lim222200-+++→→y x y x y x解：法1 原式＝2)11(lim )11)(11()11)((lim220022*******0=++++++-++++++→→→→y x y x y x y x y x y x y x法2 化为一元函数的极限计算。
令t y x =++122，则当0,0→→y x 时，1→t 。
原式＝2)1(lim 11lim121=+=--→→t t t t t 。
例4 求22200lim y x yx y x +→→解：法1 用夹逼准则。
因为22||2y x xy +≤，所以2||22||022222x y x xy x yx y x ≤+⋅=+≤ 而02||lim 00=→→x y x ，从而0||lim 22200=+→→y x y x y x 于是 0lim 22200=+→→y x yx y x法2利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的性质。
因为22||2y x xy +≤所以2122≤+y x xy ，又0lim 00=→→x y x 所以 0)(lim lim 220022200=⋅+=+→→→→x y x xyy x y x y x y x例5求极限(x,y)(0,0)lim→解 (x,y)(0,0)(x,y)lim lim →→= （3分）(x,y)1lim4→==（2分） 例6 研究yx xyy x +→→00lim解：取路径+∈+-=R k kx x y ,2，则,1lim0k y x xy y x -=+→→由k 是任意非零的常数，表明原极限不存在。
东华理工大学高等数学A练习册答案(下)(学生用)
第7章 微分方程§7.5 可降阶的高阶微分方程一、填空题答：1. 2121ln arctan C x C x x x y +++-= 2.22121C x x e C y x +--= 3．121C xy C e =+二、 y =C 1ln x +C 2 . 三、 22x x y -=.§7.6 高阶线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ √ ） 二、选择题答：1.C 2.C 3.C 4.B§7.7 常系数齐次线性微分方程一、判断题1．（ √ ）2．（ ╳ ）3．（ ╳ ） 二、填空题1、y =C 1e x +C 2e-2x2、 t t e C e C x 252251t +=, 3、 y =e -3x (C 1cos2x +C 2sin2x ).4、 y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x5、y =e 2x sin3x三、选择题答：1.B 2.B 3.A 4.C 5.B四、求下列微分方程(1) y =C 1+C 2e 4x . (2) y =e 2x (C 1cos x +C 2sin x ). (3) y =C 1+C 2x +C 3e x +C 4xe x . (4))2(21x e y x+=-.§7.8 常系数非齐次线性微分方程一、填空题 答：1、x x xe e C e C y ++=-2211，2、x xe x C x C e y x x 2cos 41)2sin 2cos (21-+=.3、x x x y 2sin 31sin 31cos +-+-= 4、x xx y cos 2sin 21+= 二、选择题答：1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.D三、)323(2221x x e e C e C y x x x -++=--- 四、 2527521++-=x x e e y . 第12章 无穷级数§12.1 常数项级数的概念与性质一、判断题答：1. √2. √ 3. ×4. ×5. √ 6. √ 二、填空题答：1. 1/2、3/8 、5/16 2. [（-1）^(n-1)]*[(n+1)/n] 3. [x^(n/2)]*(1/2*n!) 4. 0 三、选择题答：1.C 2.A 3.C 4.C四、判定下列级数的收敛性(1)级数收敛. (2) 该级数发散. (3) 级数发散.§12.2 常数项级数的审敛法一、判断题答：1. √ 2. × 3. √4.√ 5√6. ×7. √8. √9.√ 二、填空题答：1.P>1 2. {}n s 有界 3. 绝对收敛 4. 收敛5.1lim 0n nn u u u +=⎧⎨>⎩三、选择题答：1. D 2.C 3.D 4.A 5.C四、用比较审敛法或极限形式的比较审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (4) 级数收敛.五、用比值审敛法判定下列级数的收敛性: (1) 级数发散. (2) 级数收敛.六、用根值审敛法判定下列级数的收敛性:(1) 级数收敛； (2) 当b <a 时级数收敛, 当b >a 时级数发散. 七、 (1) 此级数是收敛的. 条件收敛的. (2) 级数收敛, 并且绝对收敛.§12.3 幂级数一、判断题答：1. √ 2. √ 3. √ 4. √ 5. × 二、填空题答：1.[-1/2、1/2] 2. [-1，5) 3. (-1,1) ,11ln21xx+- 4. 绝对收敛三、选择题 答：1.D 2.B 3 D四、求下列幂级数的收敛域:(1) 收敛域为(-1, 1). （2） 收敛域为[-1, 1]. 五、利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数: (1) ()S x 21(11)(1)x x =-<<-. (2) ()S x 11ln (11)21x x x+=-<<- . 提示: 由)0()()(0S x S dx x S x-='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.§12.4 函数展开成幂级数一、判断题答：1. √2. × 3. × 二、填空题 1. 答：1.11ln 2(1)2nn nn x n ∞-=+-∑ ，（-2，2 ] 2. 1111()(4)23nn n n x ∞++=-+∑ ，（-6，-2） 3.)( ])3()!12(3)3()!2(1[)1(211202+∞<<-∞++++-+∞=∑x x n x n n n n nππ 三、选择题答：1.B 2.C 3.C四、(1) 210sh (21)!n n x x n -∞==-∑, x ∈(-∞, +∞). (2) 212212sin (1)(2)!n n n n x x n -∞=⋅=-∑ x ∈(-∞, +∞). 五、∑=<<--=n n n n x x x 0)60( )33()1(311.§12.5 函数的幂级数展开式的应用一、填空题答：1.3. ； 2、)( !4cos2cos 02+∞<<-∞=∑∞=x x n n x e n n nx π.§12.7 傅立叶级数一、判断题 答：1. × 2. √3.√4.√二、填空题 1.5 2. ,n n a b - 3. nx nx f n sin 1)(1∑∞==(0<x ≤π), 级数在x =0处收敛于0. 三、选择题答：1.A 2.C 3.B 4A 5.B四、∑∞=+--+=121cos 141)1(422cos n n nx n x ππ(-π≤x ≤π). 五、正弦级数为nx n n nx f n n sin ]2)2()1[(4)(1323∑∞=---=ππ(0≤x <π), 级数在x =0处收敛于0.余弦级数为 nx nx f n n cos )1(832)(122∑∞=-+=π(0≤x ≤π).§12.8 一般周期函数的傅里叶级数一、 ∑∞=+-+=12122cos )1(11211)(n n x n n x f ππ, x ∈(-∞, +∞).二、正弦级数13218(1)2[(1)1]{}sin2n n n n xn n πππ+∞=---+∑, x ∈[0, 2). 余弦级数:221416(1)cos 32n n n xn ππ∞=-+∑, x ∈[0, 2].第8章 空间解析几何与向量代数§8.1 向量及其线性运算一、判断题。
东华大学 参考答案2012-2013几何与多元微积分A(上)_A卷
1 ⎛ 7 14 ⎞ ，故交点为 ⎜ ,3, ⎟ ； 3 3⎠ ⎝3
sin ϕ =
4、 设 a = 解：
π (1,1,2) ⋅ (2,−1,1) 1 = ，夹角为 . 6 2 (1,1,2) ⋅ (2,−1,1)
G G G K G G G π 3 , b = 1 ， a , b 的夹角为 ，求以 a + 2b 与 a − 3b 为邻边的平行四边形的面积. 6
x
， Fy = xz +
z x2 + y2 + z2
x2 + y2 + z2
， Fx = xy +
z x2 + y2 + z2
Fx (1,0,−1) =
1 2
， Fy (1,0,−1) = −1 ， Fz (1,0,−1) = −
1 2
∂z ∂x
=−
(1, 0 , −1)
Fx ∂z = 1， ∂y Fz
(−1) n (n + 1) 2 n +1 解：设 s ( x ) = ∑ x (2n + 1)! n=0
∫
x
0
s ( x)dx = ∑ =
(−1) n (n + 1) x 2 n + 2 (2n + 1)! (2n + 2) n=0
∞
x ∞ (−1) n x 2 n +1 x = sin x ∑ 2 n =0 (2n + 1)! 2
所以 f ( x, y ) 在(0,0)点连续. (2)可微性： f x (0,0) = lim
Δx →0
f (Δx,0) − f (0,0) Δx
= lim
Δx sin Δx 2 Δx 3 Δx Δx
东华大学2013-2014几何与多元微积分A(上)_A卷
东华大学2013----2014学年第 二 学期 试卷 A 卷踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
课程名称 几何与多元微积分A (上) 使用专业_____全校各专业________教师 班号姓名_____ ____学号_______ __考试教室一 二 三 四 五 六 七 总分 试题得分一、填空题（每小题4分，共32分 ）1、收敛级数1n ∞=∑的和= 。
2、级数111(1)n n n n∞+=−−∑ （绝对收敛，条件收敛，发散）。
3、设 则(1,1,4),(2,0,2),a b =−=− a b i = ；和夹角的余弦为 a b 。
(,)(4,3)1lim 1x y x y x y →≠+−−4、= 。
5、直线,2,1x t y t z t==−+=+22,3,56和x s y s z s =+=+=+的交点为 ， 这两条直线确定的平面方程为 。
22(1)1z x y ⎧⎪=⎨−+=⎪⎩6、曲线的参数方程为。
7、设幂级数在1(1)n nn a x ∞=−∑1x =−条件收敛，则该幂级数的收敛半径为 。
8、已知向量(2,3,6),(1,2,2)a b =−= −共一起点，c 在沿a 与b 所成的角平分线上，且长为= c 。
二、解答下列各题（每题7分，共35分）1、 求点到直线(3,1,4)−4,33,53x t y t z t =−=+=−+的距离。
2、证明函数(,)f x y =当时极限不存在。
(,)(0,0)x y →3、已知二元函数(1)ln(1x y zxe x y +)=+++，计算全微分(1,0)dz4、设22(,y z f x y )x =+，求（1）z x ∂∂（2）2z x y ∂∂∂，其中f 具有连续的二阶偏导数。
x 展开成x 的幂级数并求()(0)n f 5、 将函数()arctan f x =三、（8分）（1）求幂级数11n n n ∞=∑的收敛域及和函数；（2）求常数项级数11(1)n n n +∞=−∑的和。
东华大学《概率论与数理统计》2017-2018学年第二学期期末试卷 B卷
东 华 大 学 试 卷2017—2018 学年第 2 学期 课号课程名称 概率论与数理统计 （期末; 闭卷） 适用班级（或年级、专业）一. 填空：（每小题3分，共15分） 1.设41)()()(===C p B p A p ，0)(=AB p ，61)()(==AC p BC p ，则 事件C B A ,,都不发生的概率为 。
2.随机变量T 在[0，6]上服从均匀分布，则方程 012=++x T x 有实根的概率为 。
3.随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且1)]2)(1[(=−−X X E ， 则=λ 。
4.设总体X 服从参数为λ的指数分布)(λExp ，n X X X ,,,21 是来自 总体X 的简单随机样本，则=X D 。
5.设1621,,,X X X 是来自总体X ),4(~2σN 的简单随机样本，2σ已知，令 ∑==161161i i X X ，则统计量σ−164X 服从分布为 （必须写出分布的参数）。
二.选择（每小题3分，共15分）1.以A 表示“概率考试及格，英语不及格”，则A 表示（ ）)(A 概率考试不及格，英语考试及格；)(B 概率英语考试都及格； )(C 概率英语考试都不及格；)(D 概率不及格或英语及格。
2.如果），163(N ~X ，且43+=X Y ，则DY 等于（ ）)(A 144 )(B 25 )(C 27 )(D 433.设X 服从参数为91=λ的指数分布，)(x F 为其分布函数， 则=<<}93{X P ( ))(A )93()1(F F − )(B )11(913ee −)(C ee 113− )(D ⎰−93/dx e x4.1621,,,X X X 是来自总体），10(N ~X 的一部分样本，设： 216292821X X Y X X Z ++=++= ，则YZ~（ ） )(A )1,0(N )(B )16(t )(C )16(2χ )(D )8,8(F5.已知n X X X ,,,21 是来自总体的样本，则下列是统计量的是（ ）X X A +)( +A ∑=−n i i X n B 1211)(a X C +)( +10 131)(X a X D ++5三.计算（70分） 1、（8分）已知一批产品中，合格品占90%，检查时一个合格品被认为是次品的概率为0.02，而一个次品被认为是合格品的概率为0.05，现在任取一件检查，求该产品被认为是合格品的概率。
《几何与多元微积分》东华大学2016-2017多元A(下)答案
注： 本题有多种解法.
六、（4
分）求由方程
⎛ ⎜ ⎝
x a
2 2
+
y2 b2
⎞2 ⎟ ⎠
+
z4 c4
=z
所确定的曲面 Σ 所围空间立体 Ω 的体积，其中
a,b, c 为正常数.
解： 由曲面方程可知， 0 ≤ z ≤ 3 c4
任取平面 z = z （ 0 ≤ z ≤ 3 c4 ）截立体 Ω 得截面
Dz :
1、曲线 x = t, y = t 2, z = t3 在点 (1,1,1) 处的切线方程为 x −1 = y −1 = z −1 .
123
2、设某金属板上的电压分布为V = 50 − 2x2 − 4 y2 ，在点 (1, −2) 处，沿方向 (−1, 4) 电压升
高得最快.
3、函数 f (x, y) = xy 在约束 x + y = 16 限制下的极大值为
2、求曲面 x2 + 2 y2 + 3z2 = 21 上平行于平面 x + 4 y + 6z = 0 的切平面方程.
解：设 F (x, y, z) = x2 + 2 y2 + 3z2 − 21 ， P(x0 , y0 , z0 ) 为切点，则曲面在该点处的法向量为
G n = ∇F P = 2(x0 , 2 y0 , 3z0 ) .
L+ AO
∫∫ ∫ ∫ π
sin x
= − (2 y −1)dxdy = dx (1− 2 y)dy
0
0
D
∫= π (sinx-sin2x)dx = 2 − π
0
2
∫ ( ) ( ) ∫ I2 = AO
概率统计教材(东华大学高教2017版)参考答案
《概率论与数理统计》(东华大学高教2017版)参考答案第1章1. (2) (4).2. (3).3. （1）不能，样本量过小. （2）样本量达到近200。
4.（1）不合理，总体中浅色衣服比例未知；（2）例如，总体中着深色和浅色衣服人数相同。
5. （2）（3）适当，每个个体被抽到可能性相同。
第2章4. 均值41.75，中位数32.9，标准差=21.955. 9，157. 均值27320.35, 中位数24487, 标准差6503.1, 方差42290357.1. 20000开始，每隔5000一组。
分组后计算，均值26693.55, 中位数22500。
8. 10%分位数 22307, 85%分位数 318279. 第一四分位8，中位数=10, 第三四分位17.510. 相关系数为0.94. 说明交通事故数和死亡人数呈明显的正相关11. R=--0.7638. 受教育年限与脉搏数负相关第3章1 (1) 0,1,2,3(2)000,001,010,011,100,101,110,111 (注：0正，1反)(3)2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12(4)0,1,2,……(5) {(x,y)|x^2+y^2<1}2.（1）7;（2）1,3,4,5,7;（3）3,5,7;（4）1,3,4,5;（5）4,6;（6）1,4 4. (1) 1234A A A A ;(2)41i i A =(3) 1234123412341234A A A A A A A A A A A A A A A A (4) 123412341234123412341234A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A5. 根据加法公式证明6. 根据加法公式证明7. 0.78 . 0.15,0.5,0.1,0.5 9 . 2/9 10. 89/14411. 0.5815 , 0.9819 12. 0.125 , 0.1665 ,0.75 13. 0.04614 . 庄家赢的概率0.5177,0.491415. 一等 ; 二等 ; 三等。
东华大学多元微积分A(下)(09-10)答案
6、解：
z在xoy面投影为：Dxy：x 2 + y 2 ≤ 2ax
ds =
1 + x 2 + y 2 dxdy = x2 + y2 x2 + y2
2dxdyKK(2分)
∴原式 = ∫∫ 2dxdyKK(2分) Dxy
= 2 ∫∫ dxdyKK(1分) Dxy
= 2πa 2 KK(1分)
三、解：
z在xoy面投影：z = 1 − x − yKK(1分)
⎧0 ≤ θ ≤ 2π
3、解：用球面坐标：
Ω
:
⎪⎪⎨0 ⎪
≤
ϕ
≤
π 2
⎪⎩0 ≤ r ≤ 1
π 2π 2 1
∴原式 = ∫ dθ ∫ dϕ ∫ r2 cosϕ.r2 sinϕdr 000
= 1π 5
4、解： 由对称性 ∫ xyds = 0KK(2分) l
KK（2 分） KK（2 分） KK（2 分）
一、1、2 e
x
y
+ −
y x
；
2、 29 ； 13
→→→
3、（3，-2，-6）或 3 i − 2 j − 6 k
； 4、6x + 3y + 2z −18 = 0
∫ பைடு நூலகம் 5、大；
6、
2πab ；
7、πa ；
8、
3
dx
x
3 f (x, y)dy ；
9、π ； 10、 4a
00
3π
二、试解下列各题（每题 6 分，共 36 分）：
1
rdr
2−r 2
dz −
2π cos2 θdθ
1 r 3dr KK(1分)
《几何与多元微积分》东华大学2015-2016多元A(下)答案
东华大学 2015----2016 学年第 二 学期 试卷A 卷 （参考答案） 踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
课程名称 几何与多元微积分A （下） 使用专业________________教师 班号 姓名 学号 考试教室试题得分一 二 三 四 五 六 七 八 总分一、填空（每小题5分，共40分）1、曲线1,1,1xy t z t ==+=−在点(1,1,1)处的切向量τ=(0,1,1)−.2、曲面22ln()z x y =+在点(1,0,0)处的切平面方程为220x z −−=.3、2(,)f x y xxy =+在点(1,2)处沿方向(1,1)l =G 的方向导数为2.4、函数33927z x y xy =+−+的驻点为(0,0),(3,3). 5、以x 轴和y =4(0,3π. 6、计算第一类曲线积分3d 4z s Γ∫=1−，其中曲线20:1(01)2x y t t z t=⎧⎪Γ=−≤≤⎨⎪=⎩. 7、计算(2,3)(1,1)()d ()d x y x x y y ++−∫=52. 8、区域Ω由0,1,x y z y ===与z x =围成，()f y 连续，则6()()d x y f y V Ω−∫∫∫可用定积分表示为181()d 8f y y y ∫.二、计算下列各题（每小题7分，共28分） 1、计算二重积分22()Dx y dxdy +∫∫，其中D 为由x 轴和曲线y = 所围成的半圆形区域。
解：22()Dx y dxdy +∫∫=22cos 303d d 4πφφρρπ=∫∫2、通过交换积分次序计算二次积分10sin d d xyx y y∫∫. 解：交换积分次序21100sin sin d d d d y xy yy x y y x y y=∫∫∫∫10(1)sin d 1sin1.y y y =−=−∫3、计算三重积分22()d xy V Ω+∫∫∫，其中Ω是由抛物面22z x y =+和222z x y =−−所围成的闭区域。
东华大学大物A2作业解答
25-24（58） (a)如图，导线在下方时要受到引力作用，受力平衡为
（b）当导线向上移动时，引力大于重力，向上运动，不会回到原来位置， 是非稳定平衡。
(c)导线在上方时要受到斥力作用，仍然和重力平衡， 通电电流也为360A。 （d）当导线向上移动时，斥力小于重力，向下运动，回到原来位置，是 稳定平衡。
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27-10（9）
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第28章麦克斯韦方程组和电磁波
28-1 根据位移电流的公式可得
28-5 电场沿着Z轴负方向传输,因此传播方向为 方向
传播方向为
,磁场沿着 方向.
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28-8
28-10
东华大学大物A2作业解答
28-13
28-14
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24-18（39）
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第25章磁场的源（原28章）
25-6（18）
方向指向线圈
25-12（28）
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25-13（31） 如图做安培环路，通电部分的电流密度分别为：
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25-15（34）由图可知，C点磁场由两段圆弧产生，在圆弧上取dl 得 25-16（35）
29-31
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29-33 29-36
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第30章衍射和偏振
30-1
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30-5
条纹级次最大为
缺级级次为
因此级次为3的倍数的条纹看不见,m取3、6、 9……..198共66条。 一共能产生的条纹为（198-66）*2+1=265条
《多元函数微积分》习题解答第三章-14页精选文档
《多元函数微积分》习题解答第三章-14页精选文档习题3-11、计算下列第二类曲线积分：（1）?-Ldx y x ,)(22L 为抛物线x y =2上由点（0,0）到点（2,4）的一段弧；（2）,)()(22?+--+Ly x dyy x dx y x L 为按逆时针方向饶行的圆222a y x =+；（3）?++L xdz zdy ydx ,L 为螺旋线bt z t a y t a x ===,sin ,cos 上由t=0到t=2π的有向弧段;（4）?-+++Ldz y x ydy xdx ,)1(L 为由点（1，1，1）到点（2，3，4）的一段直线；（5）,??Ldl F 其中),,(x y F -=L 为由y=x,x=1及y=0所构成的三角形闭路，取逆时针方向；（6）Ldl F ,其中2221y x xe ye F +-=，L 按逆时针方向饶行的圆t a y t a x sin ,cos ==.解（1）化为对x 的定积分，L: x y =2，x 从0到2，所以-Ldx y x )(22=1556)5131()(20534202-=-=-?x x dx x x （2）圆周的参数方程为：t a y t a x sin ,cos ==)20(π≤≤t+--+Ly x dyy x dx y x 22)()( =--+π202)sin ()sin cos ()cos ()sin cos (1t a d t a t a t a d t a t a a =dt t a t a t a t a t a t a a ])cos )(sin cos ()sin )(sin cos [(1202?---+π=ππ212022-=-?dt a a（3）L 的参数方程为：bt z t a y t a x ===,sin ,cos ，t 从0到2π，所以++Lxdz zdy ydx =)(cos )sin ()cos (sin 20t b td a t a btd t a td a ?++π=22022)cos cos sin (a dt t ab t abt t a ππ-=++-? （4）直线的参数方程为：)10(31,21,1≤≤+=+=+=t t z t y t x dt dz dt dy dt dx 3,2,===∴代入 ?-+++Ldz y x ydy xdx )1(=?-+++++++10)]1211(3)21(2)1[(dt t t t t =1376)146(10=+=+?dt t （5）三条直线段的方程分别为y=0,x 从0到1； x=1,y 从0到1； y=x,x 从1到0. 所以 ??Ldl F =?--Lxdy ydx-+-+-=0101101xdx xdx dy =0ππππ21)sin (cos )cos (sin )6(202202222022-=-=-=+-+=dt t a d ata t a d a t a dy y x xdx y x y dlF L2、一力场由以横轴正向为方向的常力F 构成，试求当一质量为m 的质点沿圆周222R y x =+按逆时针方向走过第一象限的弧段时，场力所作的功.解：由题意知，场力所作的功为dx F W L=L: 222R y x =+,x 从R 变到0，于是，w=R F dx F dx F R L-==??03、有一平面力场F ，大小等于点（x,y ）到原点的距离，方向指向原点.试求单位质量的质点P 沿椭圆12222=+by a x 逆时针方向绕行一周，力F 所作的功.解：),(y x F --=椭圆12222=+by a x 的参数方程为：t b y t a x sin ,cos ==，t 从0到2π所以，2sin 2cos )sin (sin )cos (cos 2022202220=--=--=?=??πππt b t a t db t b t da t a dl F W L4、有一力场F ，其力的大小与力的作用点到xoy 平面的距离成反比且指向原点，试求单位质量的质点沿直线)0(,,≠===c ct z bt y at x 从点),,(c b a 移动到)2,2,2(c b a 时，该场力所作的功.解：),,(222222222zy x z z y x y z y x x z k F ++-++-++-=直线的参数方程为：)0(,,≠===c ct z bt y at x ，t 从1到2所以，cc b a k dttc t b t a t c kt c t b t a dl F W L2ln ))(22221222222222++-=++---=?=??习题3-2答案1、解：记S 在x>0一侧为1S ，在x<0一侧为2S ，在z=h 上的部分为3S ，在z=0上的部分为4S ，在y>0一侧为5S ，在y<0一侧为6S ，则由题有--=-=-=-=-+----+-=+++++=+++=rrrrhD D D S S s s s s hr dy y r h dzy r dy dydzy r dydz y r yyy r dydz y r yy y r zdxdyydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz xdydz xdydz xdydz xdydz Q yz yz yz 22202222222222221222)(211234π22341234hr dxdy h zdxdy zdxdyydzdx xdydz zdxdy ydzdx xdydz zdxdy zdxdy zdxdy zdxdy Q xyxyD D S S s s s s π===+++++=+++=??同理可得：??+==6523S S hr ydzdx Q π 2、解：（1）由题S y x R z S ,222---=：在xoy 面上的投影区域222:R y x D xy ≤+，()720257022520220222252222222222221052cos sin 42sin 41sin cos R tdt t R drr R r drr R r d dxdy y x R y x dxdy y x R y x zdxdy y x R RD D Sxyxyππθθθθπππ==-=-=--=----=∴（2）()221202222222e e dr e d dxdy y x edxdy y x e r D y x Sz xy-==+=++πθπ（3）将S 分成1s 和2s ，其中1S ：z=h ，222h y x ≤+取上侧，2s ：22y x z +=，h z ≤≤0x>0取下侧则=+=∴=-++-?-+++-?+--==-=ss s s s s D dxdyy x yx y x y x yx x y x y dxdy y x xy12112)]()()[(,0)(22222222(4)记S 在z=0上的部分为1S ，在x=0上的部分为2S ,在y=0上的部分为3S ,在122=+y x 上的部分为4S ,在22y x z +=上的部分为5S .有321222222=++=++=++S S S ydzdx x xzdydz zdxdy y ydzdx x xzdydz zdxdy y ydzdx x xzdydz zdxdy y.1631111102222102222224π=-+-=-+-=++dz x x x z x dx dxdz x x x z x ydzdx x xzdydz zdxdy y xz D S()()()()()()()81616316)]cos 1(cos 3cos 2[sin cos sin 3cos 2sin 32222122445102244522244222222225ππππθθθθθθθθθθθππ=-=∴-=---=--=--=-+-+++=++原式d r d dr r d dxdy y x x ydxdyy y x x y x x y xy ydzdx x xzdydz zdxdy y xyxyD D S3、解：（1）,33233y x z --=35211cos ,521cos ,531cos ,3651,33,232222222 2=???? ????+??? ????+==??? +??? ????+??-==???? ????+??? ????+??-==+??? ????+-=??-=??y z x z y z x z yz y z x z xzy z x z y z x z γβα 原式=()++=++S S dS R Q P dS R Q P 5325253cos cos cos γβα. （2）,2,2y yz x x z -=??-=?? 222222222222441111cos 44121cos 44121cos y x y z x z yx y y z x z yz y x x y z x z xz++=+??? ????+=++=+??? ????+??-=++=+??? ????+??-=γβα原式=()++++=++SSdS yx R yQ xP dS R Q P 2244122cos cos cos γβα§3-3格林公式及其应用 1．(1) y e x Q y x P -=-=,2，1,1=??-=??xQy p ，πab dxdy yPx Q D2)(=??-??=??故原式 (2) )2(,)1(--=+=y x Q y x P , y xQ x y p -=??+=??2,1 ,-=--=??-??=yD dx y x dy dxdy y P x Q 101061)1()(故原式（3）)(,)(222y x Q y x P +-=+=，x xQy x y p 2),(2-=??+=?? ?????--=--+-=--??-??=101013012311)3()24()(yD y dx y x dy dy y dxdy y P x Q 故原式（4）)sin (),cos 1(y y e Q y e P x x --=-=，)sin (,sin y y e xQy e y p x x --=??=?? 而在以)0,(π为起点)0,0(为终点的直线上=---)0,0()0,(0)sin ()cos 1(πdy y y e dx y e xx 所以原式)1(51]202sin 22cos 41[sin 21]sin )sin ([02sin 0ππππe e x e x e dxe x ydy dxe dxdy y e y y e xx x D x x xxx -=?+?+-=?-=-=---=2．4213456,4y y x Q xy x P -=+=-λ，222)1(6,12--=??=??λλx y xQxy y p 因为积分与路径无关，所以xQ y p ??=??,得3=λ -=-+=-++)2,1()0,0(1242442234579)56()56()4(dy y y dx x dy y y x dx xy x 3.(1)y x Q y x p +=+=2,2xQ y p ??==??2，是二元函数u(x,y)(的全微分. y x p x u 2+==??由，得)(221)2(),(2y xy x dx y x y x u ?++=+=? y y y x Q yu y x y u =+==??+=??)('2)('2??得，及由C y y +=221)(?，故C y xy x y x u +++=2221221),((2)x y Q x y x p 2cos 3cos 3,cos 3sin sin 4-==xQy x x y p ??==??3cos cos sin 12，是二元。
多元微积分A(下) 试卷解答
多元微积分A （下）试卷解答（本卷考试时间 120 分钟）一、填空题（每小题4分，共20分）1. 设曲线L 为圆周221x y +=，则曲线积分22()Lx y xy ds ++=⎰2π ．2． 设在全平面上，曲线积分(2sin )3cos Lx k y dx x ydy ++⎰与路径无关，则常数k = 3 .3．向量场22{ln ,2,cos }F xy z yz z x =-的散度22ln 2cos .divF y z z x =+- 4．数项级数111112446688102(22)n n ++++++⋅⋅⋅⋅⋅+的和 =s14． 5. 幂级数 05nnn x ∞=∑在区间(5,5)-上的和函数=)(x s 55x - .二、单项选择题（每小题3分，共18分）1．设有向曲线L 为3,:01,y x x =→ 将曲线积分(,)Lf x y dx ⎰化为定积分，结果是（ B ）.A . 130(,)f x x ds ⎰; B.130(,)f x x dx ⎰;C.031(,)f x x dx ⎰; D.1340(,)19f x x x dx +⎰.2．设物质曲面∑的质量分布密度为三元连续函数(,,)x y z ρ，则该曲面片的质量M =（ A ）.A . (,,)x y z dS ρ∑⎰⎰; B.(,,)x y z dxdy ρ∑⎰⎰;C.(,,)xyD x y z dxdy ρ⎰⎰; D.(,,(,))x y z x y dxdy ρ∑⎰⎰3．设曲面∑是双曲抛物面22z x y =+被两平面0z =和1z =所截下的部分，取上侧，则对坐标,x y 的曲面积分zdxdy ∑=⎰⎰（ D ）.A . 2π； B. π； C. 23π； D. 2π. 4. 下列级数中收敛的是（ C ）. A. 11ln(1)n n ∞=+∑; B. 1(1)21nn nn ∞=--∑; C. 111111(1)234n n--+-++-+; D. 11(3)2nnn ∞=+-∑. 5. 在下列级数中,（ B ）是余弦级数.A ．1sin (1)!n n n nx x n n ∞=⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦∑；B ．2222cos2cos3cos42cos 3234x x x x π⎛⎫+-+-+ ⎪⎝⎭； C ．1(cos )n n x n x e ∞=+∑； D ．52cos2sin3cos4sin 21357x x x xπ⎛⎫+++++⎪⎝⎭. 6． 设()f x 是以2π为周期的函数，在一个周期内，21,0,()1,0,x f x x x ππ--<≤⎧=⎨+<≤-⎩则()f x 的傅里叶级数在点x π=处收敛于（ A ）.A. 22π;B.2π; C. 2π; D. π. 三、（5分）设曲线形构件Γ的方程是cos ,x t = sin ,y t z t ==)20(π≤≤t ，求曲线Γ的长度.解 长度 L ds Γ=⎰, (2分)由曲线方程， 2222ds x y z dt dt '''=++= （3分）202L ds dt πΓ==⎰⎰（4分）22π= (5分)四、（5分）设质点在力2(,)F x y x i y j =+的作用下沿曲线:sin L y x =从点(0,0)A 爬升到点(,1)2B π，求力F 所做的功W .解 W 2Lx dx ydy =+⎰ (2分)220(s i n c o s )x x x d x π=+⎰ (3分)322sin 32x x π⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦ (4分) 31.242π=+ (5分)五、（5分）计算曲面积分⎰⎰∑+dS z y )(，其中 ∑为平面1=++z y x 在第一卦限的部分．解 ∑：1z x y =--， 0,0,1:≥≥≤+y x y x D xy1-=x z , 1-=y z , 3dS dxdy =⎰⎰∑+dS z y )(⎰⎰-=xyD dxdy x 3)1( （3分）⎰⎰--=x dy dx x 1010)1(3 （4分）33=. （5分） 六、（5分）利用格林公式计算曲线积分dy x x e dx y x e y y L)sin ()cos (++-⎰，其中L 为圆122=+y x 的上半部分，从点)0,1(A 到点)0,1(-B .解 设0:1=y L , x 从1-到1，⎰⎰⎰==++-+Dy y L L d dy x x e dx y x e πσ2)sin ()cos (1（3分）1s i n 2c o s )s i n ()c o s (111==++-⎰⎰-dx x dy x x e dx y x e yy L （4分）1sin 2)sin ()cos (-=++-⎰πdy x x e dx y x e y y L（5分）七、（5分）计算曲面积分dxdy xyz dzdx z xy dydz yz x 222++⎰⎰∑, ∑其中为立方体 :01,01,01x y z Ω≤≤≤≤≤≤的全表面外侧．解d x d y xyz dzdx z xy dydz yz x222++⎰⎰∑⎰⎰⎰Ω=xyzdv 6 （3分）⎰⎰⎰==111436z d z y d y x d x （5分）八、（5分）对于数列{}n a ，设1lim nn n a a →∞+=3，求幂级数0(1)n n n na x ∞=-∑的收敛区间.解 令1t x =-，0(1)nn n na x ∞=-∑0n n n na t ∞==∑，11limlim 3,(1)n n n n n n n a an a a →∞→∞++==+ （3分）nnn na t∞=∑的收敛半径是3， （4分）由313,x -<-< 得0(1)n n n na x ∞=-∑的收敛区间(2,4).- （5分）九、（7分）判别级数12131(1)n n n∞-=-∑ 是否收敛? 如果收敛，通过推导，指出是绝对收敛还是条件收敛.解 绝对值级数2131n n∞=∑是213p =<的_p 级数, 发散， （4分） 又 231n u n=单调递减，且0lim =∞→n n u ， （6分）因此，12131(1)n n n∞-=-∑ 收敛，且为条件收敛． （7分）十、(10分 )求幂级数0(1)nn n x ∞=+∑的收敛区间与和函数，并求数项级数012nn n ∞=+∑的和.解 11l i m l i m 1,1n n n na n R a n +→∞→∞+===，收敛区间(1,1)- （3分） 和函数 ()S x =0(1)nn n x∞=+∑ （5分）1()n n x∞+='=∑10()n n x ∞+='=∑ （7分）21()1(1)x x x '==--， (1,1)x ∈-， （8分） 令12x =，得011()422nn n s ∞=+==∑. （10分） 十一、（10分）验证(2)0x x x ye dx e dy --+-=是全微分方程，求出该方程满足初始条件00x y==的特解()y y x =，并将()y y x =展开为x 的幂级数.解 2,x x P x ye Q e --=+=-, 且,x P Qe y x-∂∂==∂∂ 原方程是全微分方程； （2分）2(2)(),x x x x ye dx e dy d x ye ---+-=-通解为2x x ye C --=， （4分） 由00x y==求得0,C = 特解为2x y x e =； （5分）它的幂级数22200,(,)!!n n xn n x x y x e x x n n +∞∞=====∈-∞+∞∑∑. （10分）十二、（五分）利用无穷级数的收敛性证明数列极限2!lim 0.n n n n n→∞=证 对于正项级数12!,n n n n n∞=∑（2分） 因为 1112(1)!1l i m l i m l i m 21,(1)2!(1)n n nn n n n n n n nu n n n u n n n e +++→∞→∞→∞+=⋅==<++ （4分） 所以级数12!n n n n n∞=∑收敛，因此，2!lim 0.n n n n n →∞= （5分）。
参考答案2017-2018几何与多元微积分A(下)月考
课程名称 几何与多元微积分A (下) 使用专业_____全校各专业________一、填空题（每小题6分，共30分 ）1、曲面21z xy =+ 在点(0,1,1)−处的切平面方程为220x z ++= .2、设D 由(0),0,1y kx k y x =>==围成，且21d d 5Dxy x y =⎰⎰，则 k3、设D 是2212x y ≤+≤所围区域，则d Dx y ⎰⎰=()213π.4、设一物体占空间闭区域[0,1][0,1][0,1]Ω=⨯⨯, 其密度函数(,,)x y z x y z μ=++, 则该物体的质量为32. 5、设函数(,)f x y 在点(0,0)附近有定义, 且(0,0)3,(0,0)1,x y f f ==则曲线(,)0z f x y y =⎧⎨=⎩在点()0,0,(0,0)f 处的切向量为()1,0,3.二、选择题（每题6分，共18分）1、函数222z x y x =−+在点(1,1)P 处的梯度是 【 D】A.222x y −+.B.()1,x y +−. C.()2,1−.D.()4,2−.2、设函数(,)f x y 是连续函数，则222411d (,)dy d (,)dx y xy x f x y y f x y −+⎰⎰⎰⎰= 【 C】A. 2411d (,)dy x x f x y −⎰⎰B. 241d (,)dyx x x f x y −⎰⎰C.2411d (,)dxy y f x y −⎰⎰D.221d (,)dxyy f x y ⎰⎰3、设函数(,)f x y =,则下列结论正确的是 【 B 】A. 点()0,0是(,)f x y 的驻点.B. 点()0,0不是(,)f x y 的驻点, 而是极值点.C. 点()0,0不是(,)f x y 的极值点, 而是可微点.D. 点()0,0不是(,)f x y 的极值点, 也不是驻点. 三、解答下列各题（每题10分，共40分） 1、讨论函数2(,)f x y x xy =+的极值。
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2、函数 z = xe2y 在点 P(1,0) 处沿从点 P(1,0) 到点 Q(2, −1) 方向的方向导数为 −
2 .
2
3、函数 z = x2 + y2 在闭域 D: x + y 1上的最小值是
0
.
4、当 D = {(x, y) x2 + y2 4} 时，则 2dxdy 的值等于 4 2 .
0
0
= 4 2 cos4d 0
= 3 4
…………………… . (3+2 分)
4、计算三重积分 z2 dxdydz ，其中 是由曲面 z = x2 + y2 与 z = 所围成的闭区域.
解：原式 = z2dz 0
dxdy
x2 + y2z2
…………………… . (5 分)
2
二、选择题（每题 5 分，共 10 分）
1、设 L 为取顺时针方向的圆周 x2 + y2 = a2 ，则 ydx − xdy =
L
A. 2 a2 .
B. −2 a2 .
C. − a2 .
【A 】
D. a2 .
2、设 L 是曲线 y = x3, y = x 围成区域的整个边界曲线， f (x, y) 是连续函数，则曲线积分
曲线在 t = 1处的切向量 = (1, 1 , 2) …………………… . (3 分) 4
切点坐标
1,
1 2
,
2
…………………… . (2 分)
切线方程:
x −1 =
y−1 2
=
z−2
…………………… . (2 分)
4
1
8
法平面方程:
4
(
x
− 1)
+
y
−
1 2
I = − x2dydz + ( y2 + 2)dzdx + (3z +1)dxdy
+1 1
因为 I1 = x2dydz + ( y2 + 2)dzdx + (3z +1)dxdy
+1
= (2x + 2 y + 3) dV = 3dV =2 …………………… . (2+2 分)
f
( x,
x3)
1+ 9x4 +
2 f (x, x) dx .
三、计算下列各题（每小题 9 分，共 36 分）
1、求曲线 x = t, y = t , z = 2t 上 t = 1处的切线方程和法平面方程. 1+ t
解:
(
x(t),
y(t),
z(t))
=
1,
1 (1 + t)2
,
2
+
zx2
+
z
2 y
dxdy
=
2dxdy
…………………… . (2 分)
M = (10 − z)dS = (10 − x2 + y2 ) 2dxdy …………………… . (2 分)
D
2
4
= 2 d (10 − )d = 108 2 …………………… . (1+2 分)
据实际意义, 水箱所用材料的最小值一定存在, 又驻点唯一, 所以当长、宽、高均为 3 V
时，所用材料最少。 …………………… . (1 分)
( ) 2
3、计算二次积分 I = dx
2x−x2 x2 + y2 dy .
0
0
解： I =
2
d
2cos 2d
…………………… . (4 分)
东华大学 2017----2018 学年第 二 学期 试卷 A 卷 （参考答案）
踏实学习，弘扬正气；诚信做人，诚实考试；作弊可耻，后果自负。
课程名称 几何与多元微积分 A（下）
教师
班号
姓名
使用专业________________
学号
考试教室
一
二
三
四
五
六
总分
一、填空（每小题 5 分，共 35 分）
1、曲面 z − ez + 2xy = 3 在点 (1,2,0) 处的切平面方程为 2x + y − 4 = 0 .
0
1
五、(8 分) 计算第二类曲面积分 I = x2dydz + ( y2+2)dzdx + (3z +1)dxdy , 其中 为上半
球面 z = 1 − x2 − y2 的上侧.
解：作辅助面 1 : z = 0 (x2 + y2 1) ，取下侧。则 …………………… . (1 分)
= z4dz = 6
0
5
…………………… . (2+2 分)
四、(7 分) 计算面密度 = 10 − z 的圆锥面 z = x2 + y2 (1 z 4) 形漏斗的质量.
解： 在 xOy 面上的投影为 D = {(x, y) 1 x2 + y2 16}
dS =
1
f (x, y)ds =
L
A.
1 f (x, x3)dx +
1
f (x, x)dx .
0
0
【D】
B.
1 f (x, dx +
2
1
f (x, x)dx .
0
0
C.
1 f (x, x3) 1 + 9x4dx +
−1
f (x, x) 2dx .
−1
1
D.
1 −1
=
2
xy
+
V y
+
V x
,
(x 0, y 0) ……. (2 分)
S x
=
2
y
−
V x2
=
0
S y
=
2
x
−
V y2
=
0
( ) 得 D 内唯一的驻点 3 V , 3 V .
…………………… . (2 分) …………………… . (2 分)
D
1
y
1
1
5、交换积分次序： dy
0
0
f (x, y)dx =
dx
0
x2 f (x, y)dy .
6、计算三重积分 (x2 + y2 + z2 )dV = 4 5 ，其中 为球体 x2 + y2 + z2 1.
7、 为从点 A(2,0,0) 到点 B(3,4,5) 的一条定向折线，计算 ydx + zdy + xdz = 49 .
+
8(
z
−
2)
=
0
…………………… . (2 分)
2、某工厂要用铁板做成一个容积为 V 的有盖长方体水箱, 问长、宽、高各为多少时， 使用材 料最少？
解：设水箱的长为 x , 宽为 y , 则其高为 V . xy
…………………… . (2 分)
水箱的表面积为
S
=
2
xy
+
x
V xy
+
y
V xy
又 I2 = x2dydz + ( y2+2)dzdx + (3z +1)dxdy
1
= − dxdy = − …………………… . (1+1 分)