解析几何中条件的化归
转化与化归思想在解析几何中的应用
为直 径 的 圆过 原 点 ， 直 线 Ｚ的 求
的半径都是÷， Ｐ 且 在直线 Ｙ 上， Ｐ ￣Ｐ ＝ 则 Ｎ Ｏ＋
分析 ： 首先 分析 几何 条件 的 本质特 征 ， 选择适 当 的代 数 形式表 示 出来 ： （ ） 何条件 ：Ｂ ＝ＩＦｌ几何 特征 ： １几 ＩＥＩ Ｂ ， 等， 三
这 表 明点 Ａ， 都 在
直线 ＋ ｏ ２ ， Ａ ＹＹ＝ｒ上 故 Ｂ方 程为 ０ ＹＹ＝ ２又 ＋ ｏ ｒ， 点 在直 线 Ａ Ｂ上 ， 以 Ｘａ＋ｙｂ＝ｒ， 意 Ｐ（。 所 ｏ ｏ 任 ， ） 都满 足上式 ， 动点 Ｐ必在 直线 ａ ｙ＝ 故 Ｎ＋ｂ ｒ 上．
２ 数 与 形 的转 化
如何 把 几 何 条 件 转 化 为 代 数 关 系 （ 般 用 坐 标 表 一
例３ 已 知椭圆 Ｃ等 ＋ １过点 Ｐ ０４ 的 ； Ｙ＝ ， （，）
直线 ｆ 与椭 圆交于两 点 Ｅ，． Ｆ
， １ 、
值， 时 Ｐ —Ｐ 取 得最 大值 ｌＯ ＋ 一 这 Ｎ 寺ｌ Ｐ ｛Ｏ 一 ， Ｐ ÷ｌ再考虑点 Ｐ在 ｙｘ上运动时，Ｏ 一 Ｏ Ｐ ２
解析几 何 的核心 方 法是 “ 代 数 方 法研 究 几 何 用
问题 ” 核 心思想 是 “ 形结 合 ” 通 过 以形 助数 或 以 ， 数 ．
圆０： ＋Ｙ １ ＝ （一 ） ÷上的动 点Ⅳ 点， 是圆０： ：（
一
数代 形 ， 实现几 何 条件 代 数 化 ， 数运 算 几 何 化 ， 代 从
《 数学之友）
２１ ０ ２年第 ｌ ６期
蚕 转 与 归 想 解 几 中 应 蹇 化化思在析何的用
季 东升
（ 江苏省滨海中学 ，２ ５０ ２ ４０ ）
转 化与 化 归 思 想 是 中学 数 学 最 基 本 的思 想方
例谈化归思想在中学数学解题中的应用
例谈化归思想在中学数学解题中的应用化归思想是指把一个复杂的问题转化成一个简单的问题来解决。
在中学数学解题中，化归思想具有广泛的应用。
下面以几个具体的例子来说明化归思想在中学数学解题中的应用。
化归思想在方程解题中的应用。
当我们遇到一元一次方程时，通过化归可以将复杂的方程变成简单的等式。
对于方程2x+3=7，可以通过化归思想将3移到等号右边，得到2x=4，再除以2得到x=2，从而解得方程的根为x=2。
这个例子中，通过化归可以简化方程，使得求解过程更加简单。
化归思想在几何证明中的应用。
几何证明常常需要利用一些几何定理和性质来推导出结论。
通过化归思想，可以把一个几何证明问题转化成另一个等价的几何证明问题，从而简化证明的过程。
在证明两条平行线之间的距离相等时，可以通过化归思想将该问题化归到已知两平行线与第三条直线相交而得到的相似三角形的证明问题，从而简化证明过程。
化归思想在概率问题中的应用也是非常重要的。
概率问题中经常需要计算一些复杂事件的概率，利用化归思想可以将复杂的事件化归为简单的事件来计算概率。
当我们需要计算从一组有重复元素的样本空间中抽取出不同元素的事件的概率时，可以将该问题化归为从一组无重复元素的样本空间中抽取出不同元素的事件的概率来计算。
化归思想在数学归纳法证明中的应用也非常重要。
数学归纳法是一种证明方法，通过化归思想可以将证明问题化归为更简单的情况来进行证明。
当我们需要证明一个数学命题对于所有自然数都成立时，可以通过化归思想将该问题化归为该命题对于一个自然数成立的情况来证明。
化归思想在中学数学解题中具有广泛的应用。
无论是在方程解题、几何证明、概率问题还是数学归纳法证明中，通过化归思想可以将复杂的问题转化为简单的问题来解决，从而提高解题的效率和准确性。
在中学数学学习中，学生应该充分理解化归思想的应用，培养灵活运用化归思想解决问题的能力。
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用化归思想是高中数学解题过程中的一种重要思维方法。
它通过转化问题的表达方式，简化问题的结构，从而找到更容易理解和解决的方法。
化归思想的运用，可以大大提高解题的效率和准确性。
下面我将以2000字的篇幅，详细介绍化归思想在高中数学解题中的运用。
一、化归思想的基本概念和原理化归思想是指将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，从而易于理解和解决。
化归有两种常见的表现形式：一是通过等价变换，将问题转化为同类问题或更简单的问题；二是通过数值代换，将问题转化为已知的问题。
化归思想的基本原理是将复杂问题拆解成简单问题，并找到各个简单问题之间的联系和规律，从而解决复杂问题。
化归思想在高中数学解题中的应用非常广泛，以下列举几个典型的例子来说明。
1. 方程求解化归思想在方程求解中经常被使用。
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，如果我们能将其化为一个平方差的形式，例如(x+m)^2+n=0，那么就可以轻松求解出x的值。
同样，对于其他类型的方程，也可以使用化归思想，将其转化为已知的方程类型，从而求得解的值。
2. 几何图形的性质证明在几何学中，化归思想可以用于证明几何图形的性质。
对于一个三角形ABC，要证明三边的中线交于一点，可以将三边的中线延长至交于一点D，然后使用向量运算或者相似三角形的性质，证明BD=DC，从而得出结论。
3. 数列求和在数列求和中，化归思想也经常被使用。
当要求解一个等差数列的前n项和时，可以通过化归将其转化为求解一个等差数列的平方和的问题，从而得到更简单的解法。
同样，在等比数列的求和中也可以使用化归思想，将其转化为求解一个等比数列的前n项和的问题。
4. 不等式的证明在不等式证明中，化归思想也可以起到很好的作用。
要证明一个不等式的真假性，可以将其化为一个等价的不等式，然后根据该不等式的性质，通过化归运算得到结论。
同样，在不等式的证明中，也可以使用化归思想将复杂的不等式化为简单的不等式，从而更容易进行证明。
转化与化归思想在解析几何中的应用
4 7
.点 D渊
1袁0冤 为线段 OF2 的
中点袁亦c=2袁从而 a=3袁b= 姨 5 袁左焦点 F渊1 -2袁0冤 袁椭圆 E 的方程为
x2 9
+
y2 5
=1.设
M渊
x1袁y1冤 袁N渊
x2袁y2冤 袁P渊
x3袁y3冤 袁Q渊
x4袁y4冤 袁则直线
MD
的
方程为
x=
x1-1 y1
y+1袁
代入椭圆方程 x2 9
法. 化归不仅是一种重要的解题思想袁 也是一种最基本的思维策
略袁更是一种有效的数学思维方式.一般总是将复杂问题通过变换
转化为简单问题曰 将难解的问题通过变换转化为容易求解的问
题曰将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题袁因此每解一
道题袁无论是难题还是易题袁都离不开化归.化归的基本功能是院生
Hale Waihona Puke 疏化成熟悉袁复杂化成简单袁抽象化成直观袁含糊化成明朗.说到
曲的体裁形式遥 希望大家能在音乐的海洋中继续放飞梦想袁遨游
前进遥
渊 作者单位 江苏省南京市弘光中学冤
誗编辑 谢尾合
- 165 -
案例展示
2013-10
渊 上接第 165 页冤 条件中的形袁由野 形冶直接转化到野 数冶来解决袁而
大部分题目的确都能通过这个转化来解决. 解析几何还是考查学
生运算能力的重要载体袁很多学生常常因为运算量大而求解错误.
A F2 +5BF2 =0軋渊. 1冤 求椭圆 E 的离心
y M
OD
Q
F2 B x
P
率曰渊 2冤 已知点 D渊 1袁0冤 为线段 OF2 的中点袁M 为椭圆 E 上的动点
化归与转化思想在高考数学解题中的运用
化归与转化思想在高考数学解题中的运用作者：***来源：《广东教育·高中》2021年第02期化歸与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图像、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.1.化归与转化的思想方法：解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来说，对自己较熟悉的问题），通过新问题的求解，达到解决原问题的目的.2.化归与转化应遵循的基本原则：（1）熟悉化原则;（2）简单化原则;（3）和谐化原则;（4）直观化原则;（5）正难则反原则3.化归与转化的途径：（1）从问题的反面思考;（2）局部向整体的转化;（3）未知向已知转化;（4）固定向重组的转化;（5）抽象向具体转化;（6）个别向一般的转化;（7）数向形的转化;（8）定量向定性的转化;（9）主元向辅元的转化.以下结合一些经典试题，谈谈化归与转化思想在高三解题中的运用.题型一：化归与转化思想简单化原则的体现化归与转化思想简单化原则在解题中的体现主要有：（1）将比较代数式的大小的问题，运用同构法，通过构造函数，化归为利用函数的单调性根据自变量的大小比较函数值的大小或者根据函数值的大小比较自变量的大小;（2）将概率与统计问题化归为集合间的基本关系与基本运算问题.例1. 若2a+log2a=4b+2log4b，则（）A. a>2bB. ab2 D. a【解析】由指数幂的运算性质和对数的运算性质可得，2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，又因为22b+log2b所以2a+log2a令f（x）=2x+log2x，由指数函数和对数函数性质以及函数单调性的性质可得f（x）在（0，+∞）上单调递增，由f（a）【评析】本题考查了指数幂和对数的运算，函数的单调性的性质，构造函数后，把问题化归与转化为根据函数单调性，由函数值的大小比较自变量的大小，体现了化归与转化思想的简单化原则.例2. 设命题p ∶ 4x-3≤1，命题 q∶ x2-（2a+1）x+a（a+1）≤ 0. 若？劭 p是？劭 q的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是__________.【解析】由4x-3≤1，得■≤x≤1，记A={x│■≤x≤1};由 x2-（2a+1）x+a（a+1）≤0，可得a≤x≤a+1，记B={x│a≤x≤a+1}.因为？劭 p是？劭 q的必要不充分条件，所以q是p的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，所以A？芴B，所以a≤■，a+1≥1，解得0≤a≤■，所以实数a的取值范围是[0，■].【评注】本题的解答中，先把两个命题中的不等式的解集分别用集合A和集合B表示，再由？劭 p是？劭 q是的必要不充分条件转化为p是q的充分不必要条件，再转化为集合A为集合B的真子集，解得a的范围.题型二：化归与转化思想直观化原则的体现化归与转化思想直观化原则在解题中的体现主要有：（1）画出函数图像后，利用函数图像研究函数的性质，进而直观的解决与函数有关的问题;（2）立体几何问题中，将立体问题平面化，画出轴截面或者中截面，利用平面几何问题破解题目.例3. 设a， b∈R，则|“a>b”是“aa>bb”的（）A. 充要不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充要也不必要条件【解析】构造函数f（x）=xx=x2，x≥0-x2，x由图像可知f（x）=xx在R上单调递增.当a>b时，f（a）>f（b），即aa>bb，a>b？圯aa>bb.当f（a）>f（b），即aa>bb时， a>b，aa>bb？圯a>b，所以a>b？圳aa>bb，“a>b”是“aa>bb”的充要条件，故选C.【评注】本题是一道比较复杂的充分必要条件问题，通过观察题目，通过类比和联想，运用化归与转化思想，构造函数f（x）=xx后，画出这个函数的图像，运用图像法判断这个函数在其定义域R上为单调递增函数，把a和b看成这个函数的两个自变量，aa和bb分别看成这个函数的函数值f（a）和f（b），由增函数的性质可以得出，a>b？圳aa>bb，所以a>b是aa>bb的充分必要条件，体现了化归与转化思想的简单化和直观化原则.例4. 已知某个机械零件是由两个有公共底面的圆锥组成的，且这两个圆锥有公共点的母线互相垂直，把这个机械零件打磨成球形，该球的半径最大为1，设这两个圆锥的高分别为h1，h2，则h1+h2的最小值为________.【答案】2■.【解析】由题意可知，打磨后所得半径最大的球是由这两个圆锥构成的组合体的内切球，内切球的半径R=1，如图为这个组合体的轴截面示意图，圆O为内切球的轴截面， E， F，G， H分别为切点，连接OA， OB， OC， OD， OE， OF， OG， OH，由题意可知AB⊥BC， AD⊥DC，AC=h1+h2，R=OE=OF=OG=OH=1，则S四边形ABCD=S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD，即AB×BC=■R×AB+■R×BC+■R×CD+■R×AD =■R（2AB+2BC）=R（AB+BC），所以AB×BC=AB+BC.由基本不等式可得AB×BC=AB+BC≥2■，则AB×BC≥4，当且仅当AB=BC时等号成立.所以（h1+h2）2=AC2=AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB=BC时等号成立，故h1+h2 的最小值为2■.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题;（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5. 若对任意的x∈（0，+∞），ax-ln（2x）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的x∈（0，+∞），a≥■恒成立，令g（x）=■，g′（x）=■=■，令g′（x）=0，则1-ln（2x）=0，则x=■，当00，g（x）单调递增;当x>■时，g′（x）所以当x=■时， g（x）取得最大值 g（x）max =g（■）=■=■，所以a≥■，所以a的最小值为■.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（x）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（x）]max（x∈（0，+∞）），转化为求函数g（x）在（0，+∞）上的最大值问题，g （x）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6. 设数列 {an} 的前n项为Sn，a1=1，当n≥2时，an=2anSn-2S2n.（1）求数列 {an} 的通项公式;（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k■对一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，an=2anSn-2S2n，所以an=■，n≥2，所以（Sn-Sn-1）（2Sn-1）=2S2n，所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1，所以■-■=2，n≥2，所以数列{■}是以■=1为首项，以2为公差的等差数列，所以■=1+2（n-1）=2n-1，所以Sn=■，所以，當n≥2时，an=Sn-Sn-1=■-■=-■，因为a1=S1=1，所以an=1， n=1-■. n≥2（2）设f（n）=■，则■=■=■>1，所以f（n）在 n∈N？鄢上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，因为f（n）min =f（1）=■，所以0【评注】第（1）问运用了数列的前n项和Sn与通项an之间的关系an=Sn-Sn-1（n≥2），把an 转化为Sn-Sn-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{■}的通项公式，再得出数列{an}的通项公式;第（2）问分离变量后构造函数f（n），用作商法判断f（n）的单调性，把不等式f（n）≥k在n∈N？鄢上恒成立等价转化为f（n）min≥k（n∈N？鄢），两问都运用到了化归与转化思想.题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化;（2）在三角函数问题中，将形如y=asinx+bcosx的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=Asin（？棕x+？渍）的函数问题;（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0;（4）将形如？滋=■形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7. △ABC的内角A， B， C的对边分别为a， b， c，已知b-c=a·cosC-c·cosA.（1）求角A;（2）若a=3，求b+2c的最大值.【解析】（1）因为b-c=a·cosC-c·cosA，由正弦定理可得，sinB-sinC=sinAcosC-sinCcosA，所以sinB-sinC=sin（A-C）所以sin（A+C）-sinC=sin（A-C），所以sinAcosC+cosAsinC-sinC=sinAcosC-cosAsinC，所以cosA=■，因为0（2）由（1）可得，C=■-B，由正弦定理得，■=■=■=2R，所以■=■=■，所以b=2■sinB，c=2■sin（■-B），所以b+2c=2■sinB+4■sin（■-B）=2■（2sinB+■cosB）=2■sin（B+？渍），其中tan？渍=■，？渍∈（0，■），由B∈（0，■），存在B使得B+？渍=■，所以sin（B+？渍）的最大值为1，所以b+2c的最大值为2■.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cosA的值，得出角A的值;第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题;两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.由基本不等式可得AB×BC=AB+BC≥2■，则AB×BC≥4，当且仅当AB=BC时等号成立.所以（h1+h2）2=AC2=AB2+BC2≥2AB×BC≥8，当且仅当AB=BC时等号成立，故h1+h2 的最小值为2■.【评注】本题的解答运用了化归与转化的思想，通过研究组合体和其内切球的轴截面，把空间立体几何问题化归为平面几何问题，做到了把问题直观化的原则.题型三：化归与转化思想熟悉化原则的体现化归与转化思想熟悉化原则在解题中的体现主要有：（1）不等式题目中，把含一个参数的不等式恒成立问题，通过分离变量，化归为求函数在给定区间上的最值问题;（2）立体几何题目中，利用长方体或者正方体模型，把一些三棱锥、四棱锥和三棱柱的外接球问题化归为熟悉的长方体或者正方体的外接球问题.例5. 若对任意的x∈（0，+∞），ax-ln（2x）≥1恒成立，则实数a的最小值是_______【解析】由已知可得，对任意的x∈（0，+∞），a≥■恒成立，令g（x）=■，g′（x）=■=■，令g′（x）=0，则1-ln（2x）=0，则x=■，当00，g（x）单调递增;当x>■时，g′（x）所以当x=■时， g（x）取得最大值 g（x）max =g（■）=■=■，所以a≥■，所以a的最小值为■.【评注】本题的解答运用了分离变量法，分离变量后，构造函数后，把a≥g（x）在（0，+∞）上恒成立等价转化为a≥[g（x）]max（x∈（0，+∞）），转化为求函数g（x）在（0，+∞）上的最大值问题，g （x）的最大值即为a的最小值，本题体现了化归与转化思想的熟悉化原则.例6. 设数列 {an} 的前n项为Sn，a1=1，当n≥2时，an=2anSn-2S2n.（1）求数列 {an} 的通项公式;（2）是否存在正数k，使（1+S1）（1+S2）…（1+Sn）≥k■對一切正整数n都成立？若存在，求k的取值范围，若不存在，请说明理由.解：（1）因为当n≥2时，an=2anSn-2S2n，所以an=■，n≥2，所以（Sn-Sn-1）（2Sn-1）=2S2n，所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1，所以■-■=2，n≥2，所以数列{■}是以■=1为首项，以2为公差的等差数列，所以■=1+2（n-1）=2n-1，所以Sn=■，所以，当n≥2时，an=Sn-Sn-1=■-■=-■，因为a1=S1=1，所以an=1， n=1-■. n≥2（2）设f（n）=■，则■=■=■>1，所以f（n）在 n∈N？鄢上递增，要使f（n）≥k恒成立，只需要f（n）min≥k，因为f（n）min =f（1）=■，所以0【评注】第（1）问运用了数列的前n项和Sn与通项an之间的关系an=Sn-Sn-1（n≥2），把an 转化为Sn-Sn-1，再合并同类项后运用取倒数法，再根据等差数列的定义得出数列{■}的通项公式，再得出数列{an}的通项公式;第（2）问分离变量后构造函数f（n），用作商法判断f（n）的单调性，把不等式f（n）≥k在n∈N？鄢上恒成立等价转化为f（n）min≥k（n∈N？鄢），两问都运用到了化归与转化思想.题型四：化归与转化思想和谐化原则的体现化归与转化思想和谐化原则在解题中的体现主要有：（1）解三角形问题中利用正弦定理实现边角的互化;（2）在三角函数问题中，将形如y=asinx+bcosx的函数问题利用辅助角公式化归为形如y=Asin（？棕x+？渍）的函数问题;（3）解析几何中，将两直线垂直化归为斜率乘积为-1或者方向向量的数量积为0;（4）将形如？滋=■形式的最值问题，转化为动直线斜率的最值问题.例7. △ABC的内角A， B， C的对边分别为a， b， c，已知b-c=a·cosC-c·cosA.（1）求角A;（2）若a=3，求b+2c的最大值.【解析】（1）因为b-c=a·cosC-c·cosA，由正弦定理可得，sinB-sinC=sinAcosC-sinCcosA，所以sinB-sinC=sin（A-C）所以sin（A+C）-sinC=sin（A-C），所以sinAcosC+cosAsinC-sinC=sinAcosC-cosAsinC，所以cosA=■，因为0（2）由（1）可得，C=■-B，由正弦定理得，■=■=■=2R，所以■=■=■，所以b=2■sinB，c=2■sin（■-B），所以b+2c=2■sinB+4■sin（■-B）=2■（2sinB+■cosB）=2■sin（B+？渍），其中tan？渍=■，？渍∈（0，■），由B∈（0，■），存在B使得B+？渍=■，所以sin（B+？渍）的最大值为1，所以b+2c的最大值为2■.【评注】第（1）问运用正弦定理实现边转化为角，再逆用两角差的正弦公式，运用内角和定理以及诱导公式，再运用两角和的正弦公式和两角差的正弦公式，得出cosA的值，得出角A的值;第（2）问运用了正弦定理将关于边的最值问题化为角的最值问题，运用三角形内角和定理以及诱导公式，再运用辅助角公式，化为三角函数在给定范围上的最值问题;两问都运用了化归与转化思想，体现了和谐化原则.。
解题方法17化归思想在高中数学解题过程中的运用
解题方法17化归思想在高中数学解题过程中的运用：解题方法17化归思想在高中数学解题过程中的运用一、化归思想在函数中的运用例1已知函数y=x3-3x+c的图像与x轴相交有两个公共点，求c值。
证明：因为y=x3-3x+c，所以y′=3x2-3=3（x+1）（x-1）。
所以当x=±1时，函数存在极值。
由于yx=1=0或者是yx=-1=0，就可以得出c-2=0或c+2=0，即c=±2。
二、化归思想在不等式中的运用不等式是高中数学中较为重要的内容，这种解题方法通常会与函数方程进行进行紧密的结合。
例2求证1+12+13+…+1n>n（n>1，n∈N）。
问题分析：在该不等式分析的过程中，可以将题目中的“>”转化为“=”进行问题的分析，从而实现问题的简化处理。
证明：设Sn=n，an=1n，依照an=Sn-Sn-1（n>1，n∈N）进行证明。
因此，在问题分析中，也就可以按照an>Sn-Sn-1进行问题的证明，从而得到结论。
在1k>1k+k-1=k-k-1（k>1，k∈N）分析中，其不等式成立，在取证中的k值等于2，3，4，…，n。
在两边相加结束之后，可以得到公式如下：12+13+14+…+1n=n-1，因此，题3中不等式的求证也就成立。
通过这种化归思想的有效运用，可以提升同学们对不等式解题的认识，强化解题思维，从而为问题的项目优化提供有效保证。
三、化归思想在立体几何中的运用在高中数学问题分析的过程中，立体几何中的问题也经常会涉及到化归的思想。
例3如图1所示，在四棱锥P＼|ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，其中的CD=2AB，P＼|ABCD中的平面PAD⊥ABCD，PA⊥AD，E、F分别是CD、PC的中点，求证：（1）PA⊥平面ABCD。
（2）BE∥面PAD。
证明：（1）由题可知，平面PAD∩平面ABCD等于AD，而且，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD。
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用
化归思想是高中数学解题中常用的一种策略，通过巧妙的变量替换和代数运算，将原题化简至更简单的形式，从而更容易解决问题。
下面将介绍化归思想在高中数学解题中的具体应用。
化归思想可以应用于各个数学分支，如代数、几何、概率等。
在解代数方程或方程组的问题中，化归思想经常被用来简化方程的形式，从而使方程更易于解。
在求解代数方程式时，可以通过变量替换将复杂的方程转化为简单的形式。
在求解关于x的一元二次方程时，可以通过令x=t-1来将一元二次方程转化为一元一次方程，从而更容易解出方程的解。
在解方程组的问题中，化归思想可以通过代换、相减、相加等操作将一个复杂的方程组化简为一个或多个简单的方程。
在二元一次方程组的解题中，可以通过相减或相加将两个方程的某个变量消去，从而得到一个只含有一个变量的方程，方便解出变量的取值。
在几何问题中，化归思想可以通过变换图形的形式，将原问题转化为一个更简单的几何问题。
在解决平行线和穿过平行线的直线的问题时，可以通过使用相似三角形的性质来化简几何关系，从而简化问题的解决过程。
在概率问题中，化归思想可以通过计算条件概率或利用性质将复杂的概率问题转化为一个简单的概率问题。
在解决带有条件概率的问题时，可以应用化归思想将原问题转化为一个不带有条件概率的问题，然后根据条件概率的性质进行计算。
化归思想的运用需要灵活的思维和良好的代数计算能力。
在使用化归思想时，需要审题仔细，理解问题的本质，并根据问题的具体要求选择适当的变量替换和代数运算方法。
我们还要遵循数学的规律和原理，保证化简后的问题与原问题是等价的，不会引入新的约束条件或丢失原有的信息。
例谈解析几何问题中的条件转化
的运算进行 区分考 查 ，即代 数化 手段 不会 是解 决小 题 的
第一手段 ，应该从几何化 的角度思考 为主 ；解答 题恰恰 相
反 ，代数化是考查 的主要手段 ，因为用代 数 的方 式解决 几
何 问题才是本章 的初衷．
问题 １ 如 图 １，已知双 曲线
ｙ
‘
２
２
‘
ｃ： 一鲁 ＝１（Ⅱ＞０，ｂ＞０）的右 “
解析 易得 函数是奇 函数 ，由奇 函数 的对称性 质 ，只
需研究 ＞０时的性 质 ，回避 求导及 其分类 讨论．当 ＞０
时 ）＝
＝
２
≤１
，
故
厂（ ）的值
域
是
［一１，１ ３·
情况 分类讨论 ，若三个 方程均无实 根 ，则
赴 三 ２
∈（一 ３ ，
一
＜ ＜ ＜
１）．取补集 ，综 上 ｎ∈（Ｏ一， 。。Ｏ， ， ０ ，
即可以得到 ，这里对 于平面几何 中相关正 三角形 、余 弦定 理的使 用 是 问 题 解 决 的 关 键．简 单 给 出解 答 ，由 图 知 ＡＡＰＱ是等边三角形 ，设 ＰＱ中点 是 Ｈ，圆的半径 为 ｒ，则
ＡＨ３＿ＰＱ，ＡＨ： ｒ，ＰＱ：ｒ．因为－ｏ－０：５一ＯＰ，所以ＯＰ：÷
ｒ，Ｐ日 ＝ １ ｒ，即 ＯＨ ＝ １ ｒ＋ １ ｒ＝ ３ ｒ ． 所 以 ｔａｎ／＿＿．ＨＯＡ＝
ＪＬ
４－∞ 、．
解 得
参 考文献 ：
［１］人 民教 育 出版社 ，课 程教 材研 究所 ，中学数 学课 程教 材研 究开发 中心．普通 高中课程标准 实验教科 书（数 学选修 ２—２）［Ｍ］．北京 ：人 民教育 出版社 ，２００８．
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用
化归是高中数学中一种重要的解题方法，通过将复杂问题转化为简单问题来解决，使
问题更易于理解和解决。
化归思想广泛应用于多个数学分支，如代数、几何、函数等，通
过将问题进行转化和简化，提供了一种更直观和有效的解题思路。
在代数中，化归常常是将一个复杂的代数式化为一个更简单的形式，从而更容易解决
问题。
在解方程过程中，我们经常将方程两边进行同等处理，使方程左右两边的形式更加
简单，从而使解方程的过程更加清晰。
化归还可以通过引入新的变量来减少未知数的个数，从而简化问题。
在求极限和证明中，化归可以将函数转化为更简单的形式，从而方便计算
和推导。
化归思想在代数中的应用几乎贯穿了整个高中数学学习的过程。
在几何中，化归思想也有着广泛的应用。
几何问题中常常涉及到一些复杂的图形和关系，通过化归思想，可以将问题转化为更简单的形式，从而更易于解决。
在证明几何定理时，可以通过对角线、平行线等关系进行化归，将一个复杂的几何问题转化为一个更简单
的问题。
化归思想在几何中的应用可以大大提高问题解决的效率和准确性。
函数中的化归思想通常是将一个复杂的函数化简为一个简单的函数，以便进行计算和
分析。
化归思想在函数中的应用可以方便地求函数的导数、极值和图像等性质，从而更全
面地了解和研究函数。
在研究函数的增减性和凸凹性时，可以通过对函数进行化归，将问
题转化为对函数的导数进行分析，从而得出结论。
化归思想在函数中的应用还可以帮助我
们更好地理解和解释函数的性质和变化规律。
高中数学解析几何中的条件转化题型精选
高中数学解析几何中的条件转化题型精选1 如图，已知圆22:2440C x y x y +-+-=.（1）是否存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A,B 两点，且以AB 为直径的圆过原点？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由.（2）是否存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A,B 两点，AB 的中点是P,且12PO AB =？ （3）是否存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A,B 两点，满足AP PB =u u u r u u u r，且|||||?OP AP PB ==u u u r u u u r u u u r（4）是否存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A,B 两点，若存在(01)λλ<<，使,0AP AB OP AB λ=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r，且2||||||BO BA AO AB OP AB AB ⋅⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u ru u ur u u u r u u u r ？ （5）是否存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A,B 两点，且AOB ∠为锐角？（6）是否存在斜率为1的直线l ，使l 与圆C 交于A,B 两点，且222||||||OA OB AB +>u u u r u u u r u u u r ？2 椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别是12,F F ，离心率为32，过点1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点，联结12,PF PF ，设12F PF ∠的角平分线PM 交C 的长轴于点(,0)M m ，求m 的取值范围.3 如图所示，在圆224O x y +=：上取一点(3,1)A -，E,F 为y 轴上的两点，且AE=AF ，延长AE,AF 分别与圆O交于点M,N ，则MN 的斜率为_________4 已知椭圆22:1,43x y C A +=为椭圆C 上一点，其坐标为31,,,2E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭是椭圆C 上的两动点，直线AE 的斜率与直线AF 的斜率互为相反数.求证：直线EF 的斜率为定值，并求出该定值.5 已知动圆过定点(4,0)A ，且在y 轴上截得的弦MN 的长为8. （1）求动圆圆心的轨迹C 的方程；（2）已知点(1,0)B -，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P,Q ，若x 轴是PBQ ∠的角平分线，求证：直线l 过定点.6 设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，如图所示，过点F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为_________7 设椭圆的中心在坐标原点，(2,0),(0,1)A B 是它的两个定点，直线(0)y kx k =>与椭圆交于E,F 两点，求四边形AEBF 的面积的最大值.8 如图所示，已知椭圆22:12x G y +=，与x 轴不重合的直线l 经过左焦点1F ，且与椭圆G 相交于A,B 两点，弦AB 的中点为M ，直线OM 与椭圆G 相交于C,D 两点. （1）若直线l 的斜率为1，求直线OM 的斜率.（2）是否存在直线l ，使得2||||||AM CM DM =成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.9 已知圆222(2)(0)M x y r r +=>：，椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的右顶点为圆M 的圆心，离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）若存在直线:l y kx =，使得直线l 与椭圆C 分别交于A,B 两点，与圆M 分别交于G,H 两点，点G 在此线段AB 上，且||||AG BH =，求圆M 的半径r 的取值范围.10 已知椭圆22:143x y M +=，点1,F C 分别是椭圆M 的左焦点，左顶点，过点1F 的直线l （不与x 轴重合）交椭圆M 于A,B 两点.（1）求椭圆M 的离心率及短轴长.（2）问：是否存在直线l ，使得点B 在以线段AC 为直径的圆上？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.11 已知椭圆22:24C x y +=.（1）设O 为坐标原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y=2上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，求线段AB 的长度的最小值.12 在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,1)A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）设直线AP 与BP 分别与直线x=3交于M,N ，问：是否存在点P ，使得PAB V 与PMN V 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.13 已知椭圆2211612x y C +=：的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件||||FA e PA =. （1）求m 的值；（2）设过点F 的直线与椭圆C 相交于M,N 两点，记PMF V 和PNF V 的面积分别为12,S S ，求证12||||S PM S PN =.。
浅谈数学解题中的“化归”
浅谈数学解题中的"化归"黄州区赤壁中学杨三元所谓"化归"，从字面上看，可理解为转化和归结的意思. 化归方法是将待解决或未解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经能解决或者比较容易解决的问题中去，最终获得原问题解答的一种手段和方法，可以说，解决一个数学问题其实质就是如何化归.化归是解数学题的一种重要思维方法，加强这方面的训练，有利于培养学生思维的灵活性，提高学生的解题速度和数学能力. 本文结合例题来说明几种常见的数学化归途径，以起到抛砖引玉的作用.一、抽象问题与具体问题化归由于中学生的形象思维比较成熟，而抽象思维能力较差，因此解题时，对于抽象问题的思考往往比较困难. 如果我们能把一些抽象问题化归为具体问题考虑，那么问题就容易解决得多了.例1：已知等差数列的公差d≠0,且、、成等比数列，则的值是 .学生思维：由于给出的数列是一个抽象数列，因此有些学生无从着手. 有些学生从已知条件得，解得a、d的关系后，代入所求式子：，虽然也能求解，但计算较繁，易错，所花时间长.化归引导：由题意知，只要满足、、成等比数例的条件，取何种等差数列与所求代数式的值是没有关系的. 因此，可把抽象数列化归为具体数列. 比如，可选取数列，则.例2：已知是公差不为零的等差数列，如果Sn是的前n项的和，那么等于 .学生思维：同上例一样，不会把抽象问题化归为具体问题的学生，只能死套公式，将等差数列的通项公式和前n项和的公式，代入所求极限式，约简后，再求解. 这样，花费时间较多，如果公式记错，或计算有误，更会导致错解.化归引导：只要取，则d≠0，符合题设，∴ .二、复杂问题与简单问题化归有的数学问题着上去比较复杂，尤其是竞赛题. 如果我们善于对问题的形式的特征进行观察，提炼其特征，把复杂问题化归为简单问题，从而使问题得以解决.例3：函数的最大值是 .学生思维：配方，，然后就束手无策了. 关键是对函数的几何意义不清楚，无法化归.化归引导：配方后知，函数的几何意义是在抛物线上的点分别到点A(3, 2)和点B(0, 1)的距离之差，因点A在抛物线下方，点B在抛物线上方，故直线AB与抛物线相交. 交点由决定，消去y，得，由于该方程常数项为负，故必有负根. 因三角形两边之差小于第三边，故当点P位于负根所对应交点C时，有最大值|AB|=.例4：设AB为过椭圆中心的弦，F1为左焦点，求△ABF1的面积的最大值.学生思维：设AB的方程为，与椭圆方程联立求出|AB|，又求出点F1到AB的距离d，再建立△ABF1的面积函数求最大值，这样解也行，但计算量较大，容易出错.化归引导：考虑到对称性，取右焦点F2，连结AF2、BF2，则四边形AF1BF2为平行四边形，△ABF1和△AF1 F2的面积均为AF1BF2的面积的一半，所以命题化归为求△AF1 F2的面积的最大值，又| F1 F2|=6，命题又化归为求||的最大值，而|，至此知的最大值为12.三、一般问题与特殊问题化归数学题目有的具有一般性，有的具有特殊性，这就需要我从有时把一般问题化归为特殊问题，有时把特殊问题化归为一般问题. 其解题模式是：首先设法使问题特殊（或一般）化降低难度，然后，解这个特殊（或一般）性的问题，从中获得信息，再运用类此使原问题获解.例5：计算学生思维：有的学生可能认为计算量太大，望而却步. 有的学生可能按照顺序算. 显然，死算不可取.化归引导：观察数字特征，可将数字一般化后，寻找化归途径，令a=2006，则原式故原式=2005.注：若在一般式中，a取不同的数值，就可得到一系列实质相同的计算题.例6：求的展开式中的整数次幂的各项系数之和.学生思维：有的学生可能用二项式展开式通项公式得，再根据的指数为整数时，求其系数，最后求和. 这样太繁琐了，也易出错.化归引导：∵＋...＋，又＋...－，①－②得的整数次幂的各项系数之和是的各项系数之和.取=1，得所求系数之和是.四、已知条件与未知条件化归思维的灵活性，不仅要善于对题目的表面形式进行观察并发现其特点，而且要善于挖掘隐含条件，把未知条件化归为已知条件.例7：首次系数不相等的两个二次方程（1）（2）（其中a,b为正整数）有一个公共根，求的值.学生思维：有的学生可能先求出两个方程的公共根，再求a,b的值，最后代入所求式子，计算所求式子的值. 这样计算量太大，不是解这个题的好方法.化归引导：因两方程有一个公共根（已知数），不妨设为, 显然（否则a=b），故关于未知数的方程可转化为关于a和b的方程.易知a,b分别是方程的两个不相等的正整数根，由韦达定理得，.故ab=2＋(a＋b)若a＞b＞1，则＜3,∴b=2, a=4.若b＞a＞1, 则可求得a=2, b=4.故.例8：对于方程，a取适当的值时(a≠0)方程恰有四个实数根，而且它们能组成等差数列，试求出所有满足上述条件的a的值.学生思维；思维不灵活的学生看见八次方程就无从着手了；而有的学生虽然想到了化归的方法--换元法，以代入原方程，然后利用△≥0，求a的值. 但他们忽略了隐含条件：方程有四个实根的充要条件是代换后所得的二次方程有两个相异的正根.化归引导：令，原方程化为，由，得＜a＜0，且原方程有四个实数根：，，，，由，不妨设＜∵四根成等差数列∴，即或=81.∵＋=82=－a, .而＞0，∴.∴，由，∴.五、主元与次元化归在解题教学中，由于受传统教学模式的影响，学生容易逐渐形成对解题方法的习惯性思维. 习惯性思维能使人举一反三，解类旁通. 但是，它有时却妨碍了思路的开阔，使问题得不到实质性的突破，特别是遇到灵活性和难度较大的竞赛题往往束手无策. 因此必须克服习惯性思维的这种不良影响，主元化归为次元，就是打破常规，寻求解决问题的思路和方法，从而达到解决问题的共同目的.例9：对于满足0≤≤4的所有实数，使不等式＞成立的的取值范围是 .学生思维：有的学生可能按常规视为主元来解，需要分类讨论，这样很繁琐.化归引导；转换视角以为主元，即可将原问题化归为在区间[0，4]上，一次函数＞0成立的的取值范围. 这样，借助一次函数的单调性就很容易了.∵≠0，否则原不等式不成立.∴为一次函数.要使在0≤P≤4上恒正等价于解得＞3或＜－1.例10：设，若在区间[－2，2]上变动时，恒为正，试求的取值范围.学生思维：有的学生由于常见的思维定势，易把它看成关于的不等式进行分类讨论.化归引导：若变换一个角度以为主元，则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在区间[－2，2]内恒为正时a应满足的条件，进而求出的取值范围，这样就方便多了.记，则是关于的一次函数或常数函数，为使恒正，由函数的单调性知，只要解得＞3或＜－1，进一步解得，的取值范围是0＜＜或＞8.六、顺向思维与逆向思维化归逆向思维能力是指从顺向思维序列到逆向思维序列的转换能力. 如果我们经常注意引导学生对问题的逆向思考，不仅可以加深学生对可逆知识的理解，而且可以提高他们思维的灵活性.例11：若三个方程，至少有一个方程有实数根，求K的取值范围.学生思维：习惯于顺向思考的学生，对三个方程的各种情况一一讨论，由于运算过程繁杂，造成了错误.化归引导：把顺向思考转化为逆向思考，"三个方程至少有一个方程有实数根"的反面是"三个方程全无实数根"，因而只要解＜0，＜0，＜0得到K的范围后，再求问题之逆即可.例12：已知集合，若，求实数m的取值范围.学生思维：有的学生会这样想：集合A是方程①的实数根组成的非空集合，意味着方程①的根：（1）两负根；（2）一负根一零根；（3）一负根一正根三种情况，分别求解. 这样较麻烦，有的学生会想到，上述三种情况可概括为方程①的较小根＜0但在目前的知识范围内求解存在困难.化归引导：如果考虑题设的反面：，则可先求方程①的两根均非负时m的取值范围，用补集思想求解尤为简便.设全集.若方程的两根均非负，则m≥.因此，关于U的补集即为所求.七、数式与图形化归某些特殊的问题，若同常规方法来解，推理运算的过程较复杂，若能将数式化归为图形，即利用数形结合的方法来解，往往使运算或推经论述的过程简化，也收到形象直观的效果.例13：若≠0，则的最大值是 .学生思维：学生一般用分子有理化法实现化归，但计算量较大.化归引导：注意到所求最大值当＞0时取得，因此原式可化为，类此两点间距离公式可知，上式的几何意义是：动点到两定点（如下图）∵|AB|≥|PA|－|PB|，且|AB|=故当P点在原点即时，|PA|－|PB|取最大值().例14：解不等式：＞2学生思维：学生如果分段讨论或用移项平方的方法来解，无疑费时易错.化归引导：若将视为复数，在复平面内，利用几何意义来研究，则方法新颖，过程简单.令=2，在复平面内，对应的点的轨迹是(－1,0),(4,0)为焦点，点为中心，实轴长2的双曲线的右半支，如图，图象与轴的交点为，可见当是实数时，原不等式的解集为＞.八、结构与模型化归由于所求问题的结构与某一熟悉的数学问题的结构（模型）相类似，而将待解决问题的条件或结论与这一熟悉的问题（模型）相类比，进行适当的代换或直接利用这个熟悉的数学问题（模型）的解决办法，可使问题获解.例15：同寝室四人各写一份贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？学生思维：从表象看，一般学生对做此题感到力不从心，无从下手.化归引导：把各人及其贺年卡分别看成a、b、c、d，则命题转化为一个比较熟悉的数学模型：设集合A={a、b、c、d}，从A到A的一一映射中，各元素均不与自身对应的有多少个？事实上当a与b对应时，b可以有3种对应法，而c与d这时只有一种对应，因此当a与b 对应时，共有3种一一映射，同理当a与c、d对应时，各有3种一一映射，故共有3×3=9种符合条件的一一映射，从而原问题得以解决.例16：已知、、均为正实数，求证：＞学生思维：一般学生感到束手无策，也可能有的学生想到反证法，这样较繁琐.化归引导：从整体观察法得知，"此与三角形两边之和大于第三边"相似，而被开方式与余弦定理相类比，从而，设法构造一个三角形，用几何知识来证明.作△ABC，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，且令AO=，BO=，CO=，由余弦定理可得，，∵AB＋AC＞BC，故原不等式得证.九、变量与新变量化归许多习题，在一定的条件下可以用不同的方法来进行研究，而方法的转变起一定的作用的是换元法，即变量化归为新变量，它可以化繁为简，也可以使代数、三角、几何中的问题在本学科中或在它们相互之间进行转换，从而达到简捷解题的目的.例17：解方程.学生思维：一般学生会将方程两边平方，再求解，这样较繁琐.化归引导：设，则，平方得，于是原方程转化为，由此解出，从而得，.化简得.所以解集为{.例18：设、、是三个不全为零的实数，求的最大值.学生思维：一般学生一看题目，就有无从下手的感觉.化归引导：把原来变量化归新变量，即换元，可使问题有转机. 令，则≤，当且仅当时u取到最大值.十、命题与等价命题化归有的命题若从直接考虑，则显得无从下手，若把命题化归为它的等价命题，往往柳暗花明.例19：在连接正方体各个项点的线段中，成异面直线的共有多少对？学生思维：过正方体各顶点的连线共有条，这些连线中有多少对是异面直线？再利用分类计算的方法易重复或易遗漏.化归引导：考虑到每对异面直线段的四个端点，对应着一个三棱锥，且每个三棱锥中有三对异面的棱，故可把命题化归为它的等价命题即求以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个？至此知原题答案是对.例20：设＜1，＞0，试判断是的什么条件？说明理由.学生思维：直接判断是的什么条件，这是不易作出判断的.化归引导：不易直接判断是的什么条件，但可以化归为它的等价命题，是P的什么条件，由已知得P对应的集合＜＜0或2＜＜4，对应的集合＞2或－2＜＜1，∴∴是P的必要非充分条件，故是的必要非充分条件.化归的解题方法，在解数学题中的作用是不可估量的. 其运用的程度如何，关键在于联想，若联想不当或思维受阻，化归的目标就会受到影响，从而会影响化归途径的优化. 总之，化归的解题思想应引起我们高度重视.????????- 1 -。
解析几何解答题条件的转化策略学生版答案
解析几何解答题条件的转化策略例1.【解析】由题意知(2,0)C -，1(1,0)F -设000(,)(22)B x y x -<<，则2200143x y +=，因为10000(1,)(2,)BF BC x y x y •=---•---u u u r u u u r 222000001233504x x y x x =+++=++> 所以(0,)2B π∠∈，所以点B 不在以1F C 为直径的圆上，即不存在直线l ，使得点B 在以线段1F C 为直径的圆上.练习1.（1）【解析】直线与椭圆方程联立得22630x x ++=,设()11,A x y ,()22,B x y ,则123x x +=-,1232x x =,∵1(2,0)F -,∵()1112,F A x y =+u u u r ,()1222,F B x y =+u u u r,∵()()()()()11121212121212224333F A F B x x y y x x x x x x ⋅=+++=++++++u u u r u u u r()1212443373(3)70332x x x x =+++=⨯+⨯-+=，∵1(2,0)F -点在以线段AB 为直径的圆上. （2）设():2AM y k x =+ 联立AM 与椭圆方程可得：消去y 可得：()2222431616120k x k x k +++-=，2211221612684343A k k x x x k k --∴=⇒=++ ，11212243k y kx k k ∴=+=+，即2226812,4343k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 设()04,P y ，因为P 在直线AM 上，所以()0426y k k =+=，即()4,6P k ，()22216122,6,,4343k k BP k BM k k ⎛⎫-∴== ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，2222232124060434343k k k BP BM k k k k -∴⋅=+⋅=>+++u u u r u u u u r ， MBP ∴∠为锐角， MBN ∴∠为钝角 B ∴在以MN 为直径的圆内.例2.【解析】设T 点的坐标为（3-，m ），则直线TF 的斜率()32TF m k m -==----.当0m ≠时，直线PQ 的斜率1PQ k m=，直线PQ 的方程是2x my =-. 当0m =时，直线PQ 的方程是2x =-，也符合2x my =-的形式.设()()1122,,,P x y Q x y ，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，得222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩. 消去x ，得()223420m y my +--=.其判别式()221683m m ∆=++>0 所以12243m y y m +=+，12223y y m -=+，()121221243x x m y y m -+=+-=+.因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP QT =u u u v u u u v ,即()()1122,3,x y x m y =---.所以122122123343x x m m y y m m -⎧+==-⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩.解得1m =±.（另解：因为四边形OPTQ 是平行四边形，所以OP OQ OT +=u u u r u u u r u u u r ，所以有122122123343x x m m y y m m -⎧+==-⎪⎪+⎨⎪+==⎪+⎩，解得1m =±.）此时四边形OPTQ 的面积21222142222423233OPTQ OPQm S S OF y y m m -⎛⎫==⨯⋅⋅-=-⋅= ⎪++⎝⎭. 例3.【解析】（1）设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y .将y kx b =+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kbx k +==-+，299M M b y kx b k =+=+.于是直线OM 的斜率9M OM My k x k ==-，即9OM k k ⋅=-.所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值.（2）四边形OAPB 能为平行四边形.因为直线l 过点(,)3mm ，所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠.由(1)得OM 的方程为9y x k =-.设点P 的横坐标为P x .由2229,9,y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981P k m x k =+，即239P x k =+.将点(,)3m m 的坐标代入直线l 的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+.四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x =.于是239k =+2(3)23(9)mk k k -⨯+.解得147k =-，247k =+.因为0,3i i k k >≠，1i =，2，所以当l 的斜率为47-或47+时，四边形OAPB 为平行四边形.练习 2.【解析】当直线PN 的斜率k 不存在时，则需M 为左顶点或右顶点，即坐标为(22,0)或(22,0)-，则PN 方程为： 2x =或2x =-，从而有23PN =，所以1123222622S PN OM =⋅=⨯⨯=. 当直线PN 的斜率k 存在时，设直线PN 方程为：()0y kx m m =+≠， ()11P x y ，， ()22N x y ，.将PN 的方程代入C 整理得：()222124280k xkmx m +++-=，所以122412kmx x k -+=+，21222812m x x k-⋅=+，()121222212m y y k x x m k +=++=+，由OM OP ON =+u u u u r u u u r u u u r 得： 22421212km m M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭，，将M 点坐标代入椭圆方程得2212m k =+.点O 到直线PN 的距离21m d k=+， 2121PN k x x =+-2221212121683226S d PN m x x k x x k m =⋅=⋅-=+⋅-=-+=.综上，平行四边形OPMN 的面积S 为定值26.例4.【解析】由题意知0k ≠，直线l 与椭圆方程联立，整理得224(13)36150k x kx +++= ，()()2222364413151636105k k k ∆⋅+⋅-=-=>，则2512k >∵.设1122(,),(,)M x y N x y ，则121222915,134(13)k x x x x k k +=-=++, 121223()313y y k x x k+=++=+, 设MN 中点为H ，所以2293,2626k H k k⎛⎫- ⎪++⎝⎭，若存在菱形则AH MN ⊥，则AH MN ⊥，又直线,AM MN 斜率均存在，所以1AH MN k k ⋅=-. 于是AH MNk k ⋅= 22312619026k k k k ++⋅=---+， 解得6k =±，满足0∆>.故存在k 使得以,AM AN 为邻边的平行四边形可以是菱形，k 值为6±.练习3.【解析】()21,0F ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线l 的方程为()1y k x =-， 当0k =时，直线l 与x 轴重合，此时，P 、M 、N 三点共线，不合乎题意，则0k ≠，直线与椭圆方程联立，消去y ，化简得()22224384120k x k x k +-+-=，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+， ()12122y y k x x +=+-，()()()11221212,,2,PM PN x m y x m y x x m y y +=-+-=+-+u u u u v u u u v，()()2121,MN x x k x x =--u u u u v，根据菱形对角线相互垂直的性质可得()0PM PN MN +⋅=u u u u v u u u v u u u u v ，()121220x x m k y y ∴+-++=，即()()22121220k x x k m ++--=，即()22228122043k k k m k +--=+，整理得222110,34344k m k k⎛⎫==∈ ⎪+⎝⎭+.综上所述，在x 轴上存在点(),0P m 使得以PM 、PN 为邻边的平行四边形是菱形，且实数m 的取值范围是10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.例5.【解析】将y x m =+代入221205x y +=并整理得22584200x mx m ++-=，()()228204200m m ∆=-->，求得55m >>-.设直线MA ，MB 斜率分别为1k 和2k ，只要证120k k +=即可. 设()11,A x y ，()22,B x y ，则1285m x x +=-，124205m x x -=， ∵()()()()()()1221121112121414114444y x y x y y k k x x x x --+----+=+=----()()()()()()122112141444x m x x m x x x +--++--=--()()()()()()()()()()212121212242085812581554444m m m m x x m x x m x x x x -----+-+--===----，可得120k k +=，因此MA ，MB 与x 轴所围成的三角形为等腰三角形. 例6.【解析】直线:l y kx =与曲线C 交于,P Q 两点, 可知0k ≠，设11(,)P x y联立22143y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 得22(34)12k x += 解得212221212341234x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩OP ===PQR ∆Q 是以PQ 为底的等腰三角形，RO PQ ∴⊥ 1RO PQ k k ∴=-g 则1ROk k =-，直线OR 1y x k =-与椭圆联立，同理可得：||OR == 1||||2RPQS PQ OR ∆∴=gg 122=g2=2RPQS ∆∴===247==≥=，当且仅当221k k =，即1k =±时取等号，min 24()7RPQ S ∆∴=. 练习4.【解析】设直线,MA MB 的斜率分别为12,k k ，()()1122,,,A x y B x y ，1:2l y x m =+，直线l 与椭圆方程联立得222240x mx m ++-=，122x x m +=-，21224x x m =-，因为12121211,22y y k k x x --==--，所以()()()()()()1221121212121212112222y x y x y y k k x x x x --+----+=+=----()()()()1221121112122222x m x x m x x x ⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--()()()()()12121224122x x m x x m x x +-+--=-- ()()2212242444022m m m m x x --+-+==--.则120k k +=，所以直线MA ，MB 与x 轴总围成等腰三角形.例7.【解析】法一：因为PM 平分12F PF ∠，所以1122||||||||PF MF PF MF ==，则112||||||PF PF PF =+，所以1||4PF ==22<<3322m -<<.法二：由题意可知，1212cos ||||||||PF PM PF PM PF PM PF PM θ••==u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u u r u u u u r ，即1212||||PF PM PF PM PF PF ••=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ， 设00P(,)x y ,其中204x ≠，将向量坐标代入并化简得23000m(416)312x x x -=-，因为204x ≠，所以034m x =而0(2,2)x ∈-，所以33(,)22m ∈-. 法三：设()00,P x y ，则1PF：(0000y x x y -=，2PF：(0000y x x y -=====，034=m x ，又因为022x -<<，所以3322-<<m ，即为m 的取值范围. 练习5.【解析】（1）把点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭代入E 中，得2211+12ab =，又2c a =，∵2212b a =，解得22a =，21b =，∵椭圆E 的方程为2212x y +=.（2）设过A 斜率为()0k k ≠的直线为1y kx =+，代入椭圆方程22220x y +-=得()222140kx kx ++=∵，则2421B k x k =-+，∵0B AB =+=， 在直线31y x =-+上取一点1,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭，则Q 到直线1y kx =+，点Q 到直线11y x k =-+的距离=，解得2k =或12-.代入∵得AB =，AC =∵ABC ∆的面积12S AB AC =⨯=140227=. 由∵得87,99B ⎛⎫--⎪⎝⎭，41,33C ⎛⎫⎪⎝⎭.∵BC 的方程为114323y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即3620x y --=. 例8.【解析】法一：（因求证直线PB 恒过定点，故从直线PB 入手）设()11,P x y ，()22,B x y ，则()11,A x y -，可设直线PB 的方程为y kx m =+，与椭圆方程联立整理得()222214280k x kmx m +++-=，0∆>，2121222428,2121km m x x x x k k --+==++，AF FB k k =Q ，∵121222y y x x =--，整理得，()()1212240kx x m k x x m +-+-=， ∵()2222842402121m kmk m k m k k --⋅+-⋅-=++，解得4m k =-，∵直线PB 的方程为：()44y kx k k x =-=-， 直线PB 恒过定点()4,0.法二（从直线l 入手）设直线l 方程为2x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，则()11,P x y -，直线l 与椭圆方程联立整理得22(2)440m y my ++-=，0∆>，12122244,22m y y y y m m --+==++，直线PB 的方程为211121()y y y y x x x x ++=--，由对称性知直线PB 定点在x 轴上，令0y =，得到121121()y x x x x y y -=++122121x y x y y y +=+122121(2)(2)my y my y y y +++=+12122122()my y y y y y ++=+12122122()my y y y y y ++=+122122y ym y y =⋅++4224m m-=⋅+-4=，故直线PB 恒过定点()4,0.例9.【解析】（从直线AB 入手）由题意设直线AB 的方程为()0y kx m k =+≠，与椭圆方程联立，消去y 得，()2222220k x kmx m +++-=，∵0∆>，即222m k -< ∵，且12222km x x k +=-+，212222m x x k -⋅=+，∵线段AB 中点的横坐标022km x k =-+，纵坐标00222m y kx m k =+=+，AB 的中点222,22km m M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭. 将中点坐标代入直线l 112y x k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭可得，222k m k+=-∵， 由∵，∵可得，223k >，∵,k ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 练习6.【解析】12(2,0),(2,0)F F -，所以直线1AF 的方程为3(2)4y x =+，即3460x y -+=.直线2AF 的方程为2x =.由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数.设(,)P x y 为l 上任一点，则34625x y x -+=-.若346510x y x -+=-，得280x y +-=.（因其斜率为负，舍去），于是，由346105x y x -+=-，得210x y --=，所以直线l 的方程为210x y --=.假设存在1122(,),(,)M x y N x y 关于直线l 对称，则12MN k =-.设直线MN 的方程为12y x m =-+，将其代入椭圆方程得22120x mx m -+-=，0∆>解得(4,4)m ∈-.21212,12x x m x x m +==-，于是121213()222y y x x m m +=-++=，则MN 的中点坐标P 3(,)24m m ，则点P 在直线:21l y x =+上，则314m m =-，解得4m =，不满足0∆>，故不存在满足题设条件的相异两点. 例10.【解析】易知()2,0F -，()3,0M -，设直线l 的方程为3x my =-，设()()1122,,,A x y B x y ，则()11,C x y -，l 与椭圆方程联立得()223630m y my +-+=.()22361230m m ∆=-+>，解得：m >或m <， 1212223,633y y y y m m m +=⋅=++. 法一：故21122121121222(222))2(BF CF x y y x y k k x x x x y y y --=-=+++++++ 12112221(3)(3)(2)(2)22y y y my y my x x ++++--=+121221()2(2)(2)my y x x y y -=+++222132330(62)(2)m x mm x m ⋅++==++-，即BF CF k k =，又因为直线,BF CF 有共同点F ，故,,C F B 三点共线.法二：2211(2,),(2,)FB x y FC x y =+=+-u u u r u u u r，则2112(2)()(2)x y x y +⋅--+⋅2112(1)()(1)my y my y =-⋅---⋅12122()my y y y =-++22320363mm m m =-⋅+=++.则//FB FC u u u r u u u r ，故,,C F B 三点共线. 练习7.【解析】1(2,0)A -，2(2,0)A ，设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y .直线1A P 的方程为(2)6my x =+，代入椭圆方程可得：2222(9)44360m x m x m +++-=，则21243962m x m --⋅=+可得2121829m x m -=+，代入直线1A P 方程可得1269m y m =+， 同理可得222221m x m -=+，2221m y m -=+，∴2293(9m QM m -=+u u u u r ，26)9m m +，223(1m QN m -=+u u u r ，22)1m m -+，Q 222222932369119m m m mm m m m ---=++++g g ，∴//QM QN u u u u r u u u r ，M ∴，N ，Q 三点共线． 例11．【解析】设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，又Q 椭圆的右焦点为2(2,0)F ，由重心坐标公式得1212023403x x y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，∴12123222x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，即弦BC 的中点为(3,2)-，又Q221122221201612016x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，1212121216()()20()()0x x x x y y y y ∴+-++-=， 即12121623()202(2)()0x x y y ⨯⨯-+⨯⨯--=，∴1212966805y y x x -==-，即65BC k =；∴直线BC 的方程65280x y --=．（另解：设出直线BC 的方程，与椭圆联立，利用韦达定理也可求出直线方程.）例12．【解析】(02)(20)B F ，，，，∵1BF k =-.∵BF l ⊥，可设直线l 的方程为y x m =+，设()()1122M x y N x y ，，，，直线l 与椭圆方程联立得2234280x mx m ++-=.由()222(4)12289680m m m ∆=--=->，得212m <，，则2121242833m m x x x x -+=-=，，由F 为垂心知BN MF ⊥，即0BN FM =u u u r u u u u r g .即121212220y y x x y x +--=，()()()121212220x m x m x x x m x ∴+++-+-=，即()212122(2)20x x m x x m m +-++-=，222842(2)2033m mm m m --⋅+-⋅+-=，∵28321603m m m +-=∴=-，或2m =.又2m =时，直线l 过B 点，不合要求，∵83m =-，故存在直线8:3l y x =-满足题设条件.例13.【解析】将直线1(0)2y x m m =+<代入椭圆方程得222240x mx m ++-=，2244(24)0m m ∆=-->，20m ∴-<<，设1(A x ,1)y ，2(B x ,2)y ，则122x x m +=-，21224x x m =-.设直线MA ，MB 的斜率分别为1k ，2k ，MAB ∆的内心是I ，则1212121122y y k k x x --+=+-- 22111211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)x m x m x x x x +-+----+=-212112(2)()44(2)(2)x x m x x m x x -+-+=--+，将韦达定理代入上式得120k k +=，则MA ，MB 关于y 轴对称，即AMB ∴∠的平分线MI 垂直于x 轴，MAB ∴∆的内心的横坐标是2．练习8．【解析】（1）(0,1)A ，(1,0)F ，则1AF K =-，直线l 的斜率为1，设直线:l y x m =+，1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ．将l 与椭圆方程联立得2234220x mx m ++-=，则1243x x m +=-，212223m x x -=；由已知BF AC ⊥，则0BF AC =u u u r u u u rg ，即121212x x y y x y +=+，把1122,y x m y x m =+=+代入，得212122(1)()0x x m x x m m +-++-=，∴2340m m +-=，解得43m =-，或1m =（直线过点A ，不合题意，舍去)，故l 的方程为43y x =-． （2）设P 点坐标为0(x ,00)(0)y y >，而G 为∵12PF F 的重心，故00(,0)303x y c c G -+++，即00(,)33x yG .设12PF F ∆的内切圆半径为r ，12120121211||||(||||||)22PF F S F F y PF PF F F r ==++V g g ，于是0112||(22)22c y a c r =+g g g ， 又2a =，1c =，00y >，则013r y =，从而I 点纵坐标与G 点纵坐标都为03y ，从而12//IG F F .。
高中数学解题中化归思想的运用
高中数学解题中化归思想的运用
首先，化归思想在高中数学解题中是一种常见的解题思路。
所谓化归，指的是将问题转化为更为简单、易于处理的形式，便于解题。
在高中数学中，化归思想主要应用于以下几个方面。
一、化归为已知问题
化归为已知问题指的是将待求问题转化为已知问题，以便于求解。
例如，在解决直角三角形的问题中，有时需要求某条边的长度，而这条边不是已知的边，这时可以将问题化归为已知问题，通过已知边长和角度的关系，求出待求边的长度。
再比如，在解决函数的极值问题中，我们可以将函数的极值问题化归为求导数为零的问题，以便于求解。
化归为整体问题指的是将问题拆分成若干小问题，将问题的整体性质与局部性质相结合，以便于解决。
例如，在解决三角函数解析式的问题中，我们可以将三角函数的图像、周期、对称性等整体性质与三角函数的基本定义式相结合，讨论不同情况下三角函数解析式的形式。
再比如，在解决数列的极限问题中，我们可以将数列的整体趋势与局部性质相结合，利用极限定义及其性质求出数列的极限值。
化归为特殊问题指的是将问题简化为特殊情况，以便于求解。
例如，在解决二次方程的问题中，我们可以将二次方程化归为完全平方的形式，消去二次项，从而将问题简化为一次方程的形式。
再比如，在解决概率问题中，我们可以将问题化归为样本空间为有限集合的情况，从而利用计数原理求解概率问题。
综上所述，化归思想是高中数学解题中非常重要的解题思路之一。
通过将问题化归为已知问题、整体问题或特殊问题，可以简化问题的难度，便于求解。
在实际解题过程中，我们可以根据不同的问题特点来选择合适的化归方法，并将化归思想与其他解题思路相结合，以便更好地解决问题。
高中数学解题方法系列：解析几何中化归与转化思想的应用
高中数学解题方法系列：化归与转化思想在解析几何中的应用 解决数学问题实际上就是把条件一步步的向结论转化，也就是我们所说的“变换”，因此，著名数学家波利亚认为，解题过程主要是问题变化的过程“我们必须一再的变换它，重新叙述它，变化它，直到最后成功地找到某些有用的东西为止”. 高考的每一道题都是若干个知识点综合的结果，要想顺利地解出每一道题，就要有把题目还原成单个知识点的能力，也就是化归与转化的能力。
解析几何在高考中占有重要地位，是考查学生数学能力和素养的重要载体，但很大一部分学生惧怕解析几何，一是感到解析几何的运算量大，二是对某些问题无从下手。
下面我想以具体问题为例，从三个方面来探求化归与转化思想在解析几何中的应用.一.抽象问题具体化借助直观形象，把一些抽象问题中各个量之间的关系形象化——也就是我们经常强调的数形转换。
例1.设实数,x y 满足方程224470,x y x y +--==（1）求y x的取值范围；（2）求xy 的最大值.分析：首先可进行数（方程）和形（圆）之间的第一次转化：方程224470x y x y +--==表示的图形是以(2,2)为圆心，1为半径的圆；接着可进行形（圆）和数（三角代换）之间的第二次转化：[]2cos ,0,22sin x y θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩；然后进行数（y x ，xy ）和形（直线的斜率，二次函数）之间的第三次转化：2sin sin (2)2cos cos (2)y x θθθθ+--==+--表示单位圆上的点与点(2,2)--连线的斜率；(2cos )(2sin )sin cos 2(sin cos )4xy θθθθθθ=++=+++213(2)22t =++（这里，令sin cos ,t t θθ+=≤经过这三次转化，就不难求出y x ∈⎣⎦，xy 的最大值是92+例2.函数5sin sin y x x=+的值域是__________. 分析：这是一道学生很熟悉的题目，但是要真正既快又准的做出来对一大部分学生来说还是有难度的，下面给出两种转换的思路.思路一：令sin ,x t =则[)(]251,00,1,50t y t t yt t ∈-=+⇒-+=U . 设2()5,f t t yt =-+（“数”向“形”转换），根据二次方程的实根分布即可求出该函数值域. 思路二：22sin 5sin (5)sin sin 0x x y x x +--==-，若令sin ,x t =则2(5)0t y t --=-，从而可联想到过定点(0,5)-与抛物线2(11,0)y x x x =-≤≤≠上的点直线斜率（也是“数”向“形”转化）.再比如，已知函数(),f x ax b =+且22263,a b +=证明对于任意的[]1,1x ∈-，恒有()f x ≤.本题可由条件联想到椭圆，从而找到解决问题的思路.“数”和“形”之间的转化往往会使抽象的问题变得具体，但这需要老师在日常的教学中向学生不断地灌输数形结合的思想，并有意识的引导，学生经过长期的体验，才能形成转化的能力，切忌一蹴而就。
高考数学题中蕴含的转化与化归思想
高考数学题中蕴含的转化与化归思想1. 引言1.1 转化与化归思想在高考数学题中的重要性在高考数学题中，转化和化归思想是非常重要的。
转化思想指的是将原问题转化为一个易解的问题，从而简化问题的求解过程。
在解决高考数学题时，很多题目可能会涉及到复杂的计算或者几何图形，如果能够巧妙地运用转化思想，将题目转化为熟悉的形式，就会大大减少解题的难度。
而化归思想则是将原问题化归为已知问题或者基本形式，通过对问题的重新组织和变换，将其简化为易于解决的形式。
化归思想通常适用于代数题目，通过找到问题之间的联系和规律，可以有效地解决复杂的代数问题。
在高考数学中，很多题目都需要考生灵活运用转化和化归思想，只有具备这种思维方式，才能更快地解决问题，提高解题效率。
转化与化归思想在高考数学题中扮演着至关重要的角色。
培养这种思维方式不仅可以帮助考生更好地解决数学问题，还有助于提高数学学科的学习兴趣和能力。
对于高考数学考生来说，掌握转化与化归思想是至关重要的，也是解决数学难题的有效方法之一。
2. 正文2.1 转化思想在高考数学题中的运用转化思想在高考数学题中的运用是非常重要的。
在解决数学问题的过程中，常常需要通过转换问题的形式或者思路来找到解决问题的方法。
转化思想可以帮助我们从不同角度去看待问题，找到问题的本质，从而更有效地解决问题。
在高考数学题中，转化思想通常可以表现为将一个复杂的问题转化为一个简单的问题，然后再逐步解决。
在解决代数方程的过程中，可以通过代数运算的性质将方程化简，将未知数提取出来，从而得到更简单的形式。
又在解决几何题的过程中，可以通过画图、构造辅助线等方法将原问题转化为一个更易解的几何问题。
转化思想的运用可以帮助我们更快地找到解题的突破口，提高解题的效率。
通过不断练习和积累经验，我们可以逐渐提高转化思想的运用能力，更加熟练地解决高考数学题。
在备战高考的过程中，我们应该注重培养转化思想，不断尝试将问题转化为更简单的形式，从而更好地应对各种数学题目。
转化与化归思想在解析几何中的应用
龙源期刊网
转化与化归思想在解析几何中的应用
作者：季东升
来源：《数学教学通讯(教师阅读)》2012年第11期
摘要：本文通过展现转化与化归思想在解析几何中的常见三种类型，提高学生的解题意识，充分探求问题的本质，熟化解题程序，明确解题方向，注重解题反思，不断培养学生的解题能力和解题的毅力和信心.
关键词：转化与化归；解析几何；应用
转化与化归思想是中学数学最基本的思想方法，它通过观察、分类、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的. 而且解析几何中恰当运用转化化归思想，就能起到化繁为简，事半功倍的效果.
动点与定点的相互转化
动点和定点都是相对的，同一对象，根据需要，可灵活选择和变换其角色，尤其解决含有多个动点问题，根据题意，先把其中一个（或几个）点当作定点，得出某些结论，再考虑其是动点问题.。
解析几何算法综述向量条件的转化方法
解析几何算法综述向量条件的转化方法解析几何是数学中的一个分支，研究了空间中的几何图形，以及几何图形之间的关系和性质。
在解析几何中，向量是一个重要的概念，用来表示空间中的方向和大小。
在解析几何中，我们常常需要将向量之间的条件进行转化，使得问题的求解更加方便。
本文将从几何条件的转化方法和向量条件的转化方法两个方面进行讨论。
一、几何条件的转化方法在解析几何中，我们常常遇到一些几何条件，如两条直线相交、两点在同一直线上等。
为了方便问题的求解，我们需要将这些几何条件进行转化。
以下是几种常见的几何条件的转化方法：1.平行条件的转化：当两条直线平行时，它们的斜率相等。
所以我们可以通过计算两条直线的斜率来判断它们是否平行。
2.垂直条件的转化：当两条直线垂直时，它们的斜率的乘积为-1。
所以我们可以通过计算两条直线的斜率来判断它们是否垂直。
3.直线相交条件的转化：两条不平行的直线相交于一点，可以通过求解两条直线的方程组来求得交点的坐标。
4.点在线段上的条件的转化：若点P在线段AB上，那么向量AP和向量AB共线且同向。
所以我们可以通过判断两个向量是否共线且同向来判断点P是否在线段AB上。
二、向量条件的转化方法在解析几何中，向量是一个重要的工具，用来表示空间中的方向和大小。
在问题求解中，我们常常需要将向量之间的条件进行转化。
以下是几种常见的向量条件的转化方法：1.向量共线条件的转化：当两个向量共线时，它们可以表示为一个向量的倍数。
所以我们可以通过计算两个向量的比例来判断它们是否共线。
2.向量垂直条件的转化：当两个向量垂直时，它们的点积为0。
所以我们可以通过计算两个向量的点积来判断它们是否垂直。
3.向量夹角条件的转化：两个向量的夹角可以通过它们的点积和模长之间的关系来求得。
若两个向量的点积为0，那么它们垂直；若两个向量的点积大于0，那么它们夹角小于90度；若两个向量的点积小于0，那么它们夹角大于90度。
4.向量平行条件的转化：当两个向量平行时，它们的法向量（法线方向相同）相等。
立体几何中的化归方法
立体几何中的化归方法立体几何中的化归方法: 一种利用几何图形关系对复杂问题进行归类和解决的有效方法。
立体几何学是一门涉及几何图形、几何性质和几何结构的学科，它主要讨论几何关系和几何图形之间的关系，也就是所谓的立体几何结构或几何形状。
立体几何中的化归方法可以定义为利用一组简单的规则、运算和几何性质，将复杂的几何形状化简为更加简单的表达。
这种方法有助于深入理解几何形状和结构，从而更好地探索立体几何。
一、化归方法概述化归方法指的是将复杂的几何形状、几何面、立体几何图形等简化为更简单或更高维度的形式。
这样做的目的是使复杂结构体可以更加容易分析，从而获得更准确和更完整的信息。
一般来说，化归方法包括多种形式的几何形状的化简和标度变换，比如多边形的等边化、几何体的局部平头和部分形变等等。
二、多边形的等边化多边形的等边化是将多边形化简为其边数相同的多边形的方法，它的目的是将多边形结构降低到最小的维度，减少复杂的几何关系，捕捉多边形的基本特征。
等边化可以通过几何性质，如折线两点、多边形外接圆半径、多边形内角和外角、多边形各边长等来完成，也可以利用数学算法来实现。
三、几何体的局部平头几何体的局部平头是将复杂几何体分解成更简单几何体的方法，它可以通过几何描述完成，也可以利用特殊的化归规则完成。
局部平头的一般过程是先划分几何体的表面成不同的片，然后将这些片尽可能地降低维度，再通过变形来保持几何结构的完整性。
在描述几何体时，局部平头可以使几何体划分成有大小关系的子部分，它也可以使几何形状简化成更为结构清晰的形式，从而更容易理解。
四、几何体的部分形变几何体的部分形变是将较复杂的几何体变形成较简单几何体的一组规则和运算，这些规则和运算可以将复杂的几何体变形成包含较少面的几何体，从而减少几何的复杂度。
部分形变的常见技术有扭转形变、壁弯曲形变、面展开形变、面缩减形变和折叠形变等。
它们可以通过改变复杂几何体的特定点，或者给定特定点的投影，从而改变一个给定几何体的形状，从而获得一个更加简单的几何体。
解析几何解答题-深度·拔高系列讲义-第2篇：解析几何重要几何条件的转化策略 (1)
逻辑数学精品课解析几何专题2020/10/27解析几何解答题-深度·拔高系列讲义第 2 篇：解几答题概述——解析几何重要几何条件的转化策略目录一、转化策略 (3)二、关键几何条件转化范例 (9)【垂直平分线+三角形面积】 (9)【等腰三角形】 (10)【三角形面积比】 (12)【三角形垂心】 (15)【三角形外接圆】 (17)【中位线】 (18)【平行四边形】 (19)【已知直径//圆过定点】 (20)【点在圆内】 (24)【四点共圆】 (26)【圆的切线】 (27)【垂直】 (28)【垂直平分线】 (31)一、转化策略几何图形几何关系代数化平行四边形对边平行方式①：斜率相等方式②：向量平行对边相等微信公众号：逻辑数学精品课方式①：两点距离公式方式②：横（纵）坐标差相等（平行四边形特有）对角线互相平分中点坐标重合直角三角形两边垂直方式①：斜率乘积为-1方式②：向量数量积为 0 勾股定理两点的距离公式斜边中线性质（中线等于斜边一半）两点的距离公式等腰三角形两边相等两点的距离公式两角相等底边水平或竖直时，两腰斜率相反特别说明：直线AB 与直线MN 关于水平或竖直线对称⇔kAB+kMN= 0三线合一（垂直平分线）【垂直】斜率乘积为-1 或向量数量积为 0即：PA =PB ⇔PM ⋅AB = 0, 其中M 为AB 中点.【平分】中点坐标公式【补充 1】①两点距离公式：设A(x1, y1), B(x2, y2), 为直线y =kx +m 上的任意两点，则| AB |= 1+k 2 ⋅ | x -x |=(1+k 2 )[(x +x )2 - 4x x ] = 1+k2 ∆1 2 1 2 1 2 a（其中a 为“曲直联立”后的二次方程所对应的二次项系数，∆为“曲直联立”后的二次方程所对应的根的判别式）1+ 1 k2Ax 0 + By 0 + CA 2 +B 2 A 2+ B 2或者： AB y 1 - y 2②点到直线距离公式： d =③两平行线间距离公式: d =1 2④定比分点公式：已知 P 1 (x 1 , y 1 ) ， P 2 (x 2 , y 2 ) ， P (x , y ) ，若 P 1P = λPP 2则OP =1 1 + λOP 1 + λ1 + λOP 2 2 P⎧x = x 1 + λ x 2⎪ 坐标公式1+ λ （ λ ≠ -1 ），即 P 1⎨ y + λ y⎪ y = 12 O x⎩⎪ 1+ λ P = ( x 1 + λ x 2 , y 1 + λ y 2)1+ λ 1+ λ注意：点 P 为 P 1P 2 所成的比为 λ ，用数学符号表达即为 P 1P = λ PP 2 .当λ ＞0 时， P为内分点；λ ＜0 时，P 为外分点.【补充 2】三角形面积比处理策略： y同底（等底）两三角形的面积比等价于两三角形高的比；A PQ同高（等高）两三角形的面积比等价于两三角形底的比； F 1同角（等角）两三角形的面积比可以借助面积公式： B1 OF 2 xM2例如：如右图， 3S ∆OAB = S ∆MAB ⇔ 3OP = MQ【补充 3】三角形“四心”①三角形的“重心”：设不共线的三点 A (x 1, y 1 ), B (x 2 , y 2 ),C (x 3 , y 3 ) ，则∆ABC 的重心G ⎛ x 1 + x 2 + x 3 , y 1 + y 2 + y 3 ⎫ 3 3 ⎪ ⎝ ⎭y P【补充】四点共圆平面几何中证四点共圆的几个基本方法F 方法一：如右图，平面上有四点A、B、C、D ,若∠A =∠D ,则AA、B、C、D 四点共圆微信公众号：逻辑数学精品课方法二：如右图，线段AC、BD 交于 E ,若AE ⋅CE =BE ⋅DE ,则A、B、C、D 四点共圆B方法三：如右图，线段AB、CD 的延长线交于 F , 若AF ⋅BF =CF ⋅DF ,则A、B、C、D 四点共圆方法四：如右图，若四边形ABCD , ∠BAD +∠BCD = 180︒，则A、B、C、D 四点共圆方法五：托勒密定理在圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．微信公众号：逻辑数学精品课如图上，设四边形ABCD 内接于圆O ，则有AB CD AD BC AC BD ，证明：不妨在AC 上取一点E，使∠ADE =∠BDC ，由∠DAE =∠DBC ，得△AED ∽△BCD ，所以AE =AD ，即AE ⋅BD =AD ⋅BC ①，BC BD又由∠ADB =∠EDC ，∠ADB =∠ECD ，∆ABD ∽ ∆ECD ，所以AB =BD ，即EC CDEC ⋅BD =AB ⋅CD ②两式相加得AC ⋅BD =AB ⋅CD +AD ⋅BC .广义托勒密定理：在四边形ABCD 中，有AB CD AD BC AC BD ，当且仅当四边形ABCD 四点共圆时，等号成立.证明：在四边形ABCD 内取一点E 使∠ABE=∠ACD，∠BAE=∠CAD，则△ABE ∽△ACD 微信公众号：逻辑数学精品课∴AB BEAB CD AC BE ，又AB=AE，且∠BAC=∠EAD，∴△ABC∽△AED，AC CD AC AD∴BC=ED⇒AD ⋅BC =AC ⋅ED ；由①+②得AB ⋅CD +AD ⋅BC =AC ⋅ (BE +ED) ，AC AD∴AB ⋅CD +AD ⋅BC ≥AC ⋅BD ，等号当且仅当点E 在BD 上，即A，B，C，D 四点共圆时成立.角锐角，直角，钝角角的余弦（向量数量积）的符号倍角，半角，平分角角平分线性质夹角/到角公式等角（全等或相似）比例线段或斜率【补充 1】角平分线性质：①角平分线第一定理：角平分线上的点到角两边的距离 FA相等.②角平分线第二定理：如右图，AD 为∠BAC 的角平AB BD B D C E分线交BC 于D 点,则=.微信公众号：逻辑数学精品课AC CD③外角平分线定理：如右图，AD 为外角CAF 的角平分线交BC 延长线于E 点,则BE=AB.EC AC【补充 2】倒角公式与夹角公式：①“到角”的概念：l 1 围绕l 1 , l 2 的交点按逆时针方向转动，第一次和l 2 重合时yl 2 扫过的最小正角， 称作 l 1 到 l 2 的角 θ 。
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1.在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，
且直线AP与BP的斜率之积等于
1
3 -.
(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；
(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB 与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
2. 已知椭圆
2
2
:1
4
x
G y
+=.过点（m,0）作圆221
x y
+=的切线l交椭圆G于A，
B两点.
（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；
（II）将AB表示为m的函数，并求AB的最大值.
3.已知曲线C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m∈R)
（1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线C交于不同的两点M、N,直线y=1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线.
4
已知A、B、C是椭圆W：
2
21
4
x
y
+=上的三个点，O是坐标原点.
(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.
(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.
6. 已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.
7. 已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>
的离心率为(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.
8. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点．（Ⅰ）若，求直线的斜率；（Ⅱ）设点在线段上运动，原点关于点的对称点为，求四边形面积的最小值．
24y x =F F A B 2AF FB =AB M AB O M C OACB
9. 如图，已知抛物线的焦点为．过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与抛物线交于点，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）记直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值．
10. 如图，椭圆22
221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60︒． （Ⅰ）求该椭圆的离心率； （Ⅱ）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记△GFD 的面积为1S ，△OED （O 为原点）的面积为2S ，求12
S S 的取值范围．
11. 如图，椭圆2
2:1(01)y C x m m +=<<的左顶点为A ，M 是椭圆C 上异于点A 的任意一点，点P 与点A 关于点M 对称．
（Ⅰ）若点P
的坐标为9(,55
，求m 的值； （Ⅱ）若椭圆C 上存在点M ，使得OP OM ⊥
24y x =F (2,0)P 11(,)A x y 22(,)B x y AF BF M N 12y y MN 1k AB 2k 12
k k。