庞皓计量经济学第二版第五章习题解答

5.1 设消费函数为

i i i i u X X Y +++=33221βββ

式中，i Y 为消费支出；i X 2为个人可支配收入；i X 3为个人的流动资产；i u 为随机误差

项，并且222)(,0)(i i i X u Var u E σ==（其中2

σ为常数）。试解答以下问题：

(1)选用适当的变换修正异方差，要求写出变换过程；

(2)写出修正异方差后的参数估计量的表达式。

练习题5.1参考解答：

（1）因为2

2()i i f X X =，所以取221

i i

W X =

，用2i W 乘给定模型两端，得 312322221i i i

i

i i i Y X u X X X X βββ=+++ 上述模型的随机误差项的方差为一固定常数，即

22221

(

)()i i i i

u Var Var u X X σ==

（2）根据加权最小二乘法，可得修正异方差后的参数估计式为

***1

2233ˆˆˆY X X βββ=--

()()()()

()()()

***2****

2223232232

2*2

*2**2223223ˆi

i i i i i i i i i i i i

i i

i i i

W y x W x W y x W x x W

x

W

x

W

x x

β-=

-∑∑∑∑∑∑∑

()()()()

()()()

***2****

2322222233

2

*2*2**2223223ˆi

i i i i i i i i i i i i i i i i i W y x W x W y x W x x W x W x W x x β-=

-∑∑∑∑∑∑∑

其中

22232*

**

2

3

222,,i i

i i

i i

i

i

i

W X W X W Y X

X

Y

W

W

W

=

=

=

∑∑∑∑∑∑

****

**222333

i i i i i x X X x X X y Y Y =-=-=-

5.2 下表是消费Y 与收入X 的数据，试根据所给数据资料完成以下问题：

（1）估计回归模型u X Y ++=21ββ中的未知参数1β和2β，并写出样本回归模型的书写格式；

（2）试用Goldfeld-Quandt 法和White 法检验模型的异方差性； （3）选用合适的方法修正异方差。

表5.8 某地区消费Y 与收入X 的数据(单位：亿元)

练习题5.2参考解答：

（1）该模型样本回归估计式的书写形式为

22ˆ9.347522+0.637069t= (2.569104) (32.00881)

R =0.946423 R =0.945500 F=1024.564 DW=1.790431

i i

Y X =

（2）首先，用Goldfeld-Quandt 法进行检验。

将样本X 按递增顺序排序，去掉中间1/4的样本，再分为两个部分的样本，即

1222n n ==。

分别对两个部分的样本求最小二乘估计，得到两个部分的残差平方和，即

2122

603.01482495.840

e e

==∑∑

求F 统计量为

2221

2495.84

4.1390

603.0148e F e

==

=∑∑

给定0.05α=，查F 分布表，得临界值为0.05(20,20) 2.12F =。

c.比较临界值与F 统计量值，有F =4.1390>0.05(20,20) 2.12F =，说明该模型的随机误差项存在异方差。

其次，用White 法进行检验。具体结果见下表

White Heteroskedasticity Test:

Test Equation:

Dependent Variable: RESID^2 Method: Least Squares

Date: 08/05/05 Time: 12:37 Sample: 1 60

Included observations: 60

X 0.165977 1.619856 0.102464 0.9187 X^2 0.001800 0.004587 0.392469

0.6962 Adjusted R-squared 0.152332 S.D. dependent var 111.1375 S.E. of regression 102.3231 Akaike info criterion 12.14285 Sum squared resid 596790.5 Schwarz criterion 12.24757 Log likelihood -361.2856 F-statistic 6.301373 给定0.05α=，在自由度为2下查卡方分布表，得2

5.9915χ=。比较临界值与卡方

统计量值，即22

10.8640 5.9915nR χ=>=，同样说明模型中的随机误差项存在异方差。 （2）用权数1

1W X

=，作加权最小二乘估计，得如下结果

Dependent Variable: Y Method: Least Squares

Date: 08/05/05 Time: 13:17 Sample: 1 60

Included observations: 60 Weighting series: W1

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.