D41不定积分57174
一道不定积分的几种解法
一道不定积分的几种解法不定积分是微积分中的重要概念之一，求解不定积分可以通过多种方法进行，本文将介绍几种常见的不定积分解法。
一、直接求导法：这是求解不定积分最常用的方法之一，即利用导数的基本性质逆向求解原函数。
如果原函数的导数形式比较容易求解，那么通过对导数进行逆运算可以求得原函数。
求解∫(3x²+4x-5)dx，可以使用直接求导法求解。
对3x²+4x-5进行逐项求导，得到导数为6x+4。
然后，逆向进行求解，得到∫(6x+4)dx = 3x²+4x+C，其中C为常数。
二、换元法：换元法是一种常用的不定积分求解方法，通过适当的变量替换，将原函数化为容易求解的形式。
令u=2x+1，那么du/dx=2，即du=2dx。
然后，将原函数中的x用u替代，得到∫u²(1/2)du。
再然后，将原函数化为简单的形式进行求解，得到(1/2)u³/3 + C，其中C为常数。
将u替换回x，得到(1/6)(2x+1)³ + C。
根据分部积分法的公式∫u⋅vdx = uv - ∫vdu，选择x和sin(x)进行分解。
令u=x，dv=sin(x)dx，则du=dx，v=-cos(x)。
代入公式，得到∫x⋅sin(x)dx = -x⋅cos(x) - ∫(-cos(x))dx。
进一步化简，得到∫x⋅sin(x)dx = -x⋅cos(x) + ∫cos(x)dx。
对于∫cos(x)dx，直接求解得到sin(x)。
所以，最终结果为∫x⋅sin(x)dx = -x⋅cos(x) + sin(x) + C，其中C为常数。
分部积分法适用于原函数可以分为两部分的情况，通过运用公式将原函数进行分解，并利用简单的积分结果进行计算，得到最后的结果。
令x=tanθ，那么dx=sec²θdθ，以及1+tan²θ=sec²θ。
然后，将原函数进行代换，得到∫sec⁴θdθ。
不定积分表大全 高等数学
不定积分表大全高等数学
不定积分是高等数学中的一个重要概念，它是定积分的逆运算。
不定积分表是一个收录了各种常见函数的不定积分结果的手册。
它可以帮助数学学习者更快、更准确地计算不定积分。
不定积分表大全是一个包含各种常见函数的不定积分结果的完整手册。
在高等数学的学习中，我们经常遇到需要计算各种函数的不定积分的情况，而这个手册可以为我们提供一个快速参考。
通过查阅不定积分表，我们可以找到常见函数的不定积分形式，并且可以借鉴已知的结果来解决其他函数的不定积分问题。
不定积分表大全通常按照函数类型或者特定的规则进行分类。
例如，它会包含代数函数、三角函数、指数函数、对数函数等常见函数的不定积分结果。
此外，还会包含一些特殊函数如反函数、分式函数、幂函数等的不定积分。
不定积分表大全还可能包含一些常用的换元积分公式、分部积分公式以及其他积分技巧，以便读者能够更好地应用这些技巧来解决复杂的不定积分问题。
虽然不定积分表大全可以帮助我们快速计算不定积分，但是我们仍然需要具备一定的积分技巧和知识。
因为在实际应用中，我们会遇到一些特殊的情况，需要通过变换、分解等手段来求解。
此外，有些函数的不定积分并没有简单的表达式，需要通过数值积分等近似方法来计
算。
总之，不定积分表大全是高等数学学习过程中的一个重要参考工具。
通过熟练掌握不定积分表中的常见函数的积分形式，我们可以更加高效地解决各种不定积分问题，并且能够更好地应用积分技巧来解决实际问题。
不定积分表
Y卷终 公式表注解四基本不定积分表序言：微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。
虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。
在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。
如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。
积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。
本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。
而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。
本表收录公式16组，151式。
公式一 基本初等函数的不定积分18式：反三角函数上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。
公式二 含ax b +的积分（要指出a 非零）10式：对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。
对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式11x b ax b a ax b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，则得其积分是显的：111()ln ||x b b dx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰。
而第二式依然采取类似的方式，可借由带余多项式除法算得：22211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ⎡⎤=+-+⎢⎥+++⎣⎦，然后利用第一个积分式即可得到结论。
对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得到的。
我们注意第一式中有111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，积分即得。
不定积分公式表
不定积分公式表一、基本积分公式。
1. 幂函数积分公式。
- ∫ x^ndx=(1)/(n + 1)x^n+1+C（n≠ - 1）- 例如：∫ x^2dx=(1)/(3)x^3+C，∫ x^5dx=(1)/(6)x^6+C。
2. 指数函数积分公式。
- ∫ a^xdx=frac{a^x}{ln a}+C（a>0,a≠1）- 特别地，当a = e时，∫ e^xdx=e^x+C。
3. 对数函数积分公式。
- ∫(1)/(x)dx=lnx+C4. 三角函数积分公式。
- ∫sin xdx=-cos x + C- ∫cos xdx=sin x + C- ∫sec^2xdx=tan x + C，因为(tan x)'=sec^2x- ∫csc^2xdx=-cot x + C，因为(cot x)' =-csc^2x- ∫sec xtan xdx=sec x + C，因为(sec x)'=sec xtan x- ∫csc xcot xdx=-csc x + C，因为(csc x)'=-csc xcot x5. 反三角函数积分公式。
- ∫(1)/(√(1 - x^2))dx=arcsin x + C=-arccos x + C_1- ∫(1)/(1+x^2)dx=arctan x + C=-text{arccot}x + C_1二、换元积分法相关公式（凑微分法）1. 常见凑微分形式。
- ∫ f(ax + b)dx=(1)/(a)∫ f(ax + b)d(ax + b)（a≠0）- 例如：∫sin(2x+1)dx=(1)/(2)∫sin(2x + 1)d(2x+1)=-(1)/(2)cos(2x + 1)+C。
- ∫ x^n - 1f(x^n)dx=(1)/(n)∫ f(x^n)d(x^n)- 例如：∫ x^2sin(x^3)dx=(1)/(3)∫sin(x^3)d(x^3)=-(1)/(3)cos(x^3)+C。
最新D41不定积分汇总
D41不定积分§4. 1 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念引例:一个质量为 m 的质点, 在变力«Skip Record If...»的作用下沿直线运动 ,试求质点的运动速度«Skip Record If...»。
根据牛顿第二定律,加速度«Skip Record If...»因此问题转化为:已知«Skip Record If...»，求«Skip Record If...»定义1 若在区间I 上定义的两个函数F(x)及f (x)满足«Skip Record If...»或«Skip Record If...»则称 F(x)为f(x) 在区间 I上的一个原函数 . 例如因为(sin x)'=cos x,所以sin x是cos x的原函数.又如当x∈(1,+∞)时,因为«Skip Record If...»,所以«Skip Record If...»是«Skip Record If...»的原函数.问题:1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?2. 若原函数存在, 它如何表示 ?定理1. «Skip Record If...»，«Skip Record If...»上存在原函数 .定理 2. «Skip Record If...»，«Skip Record If...»原函数都在函数族«Skip Record If...»( C 为任意常数 ) 内。
证：1）«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»。
常见的不定积分(公式大全)
常见的不定积分(公式大全)一、基本积分公式1. $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $，其中 $ n \neq 1 $。
2. $ \int dx = x + C $。
3. $ \int a dx = ax + C $，其中 $ a $ 为常数。
4. $ \int e^x dx = e^x + C $。
5. $ \int \ln x dx = x \ln x x + C $。
6. $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $。
7. $ \int \sin x dx = \cos x + C $。
8. $ \int \cos x dx = \sin x + C $。
9. $ \int \tan x dx = \ln |\cos x| + C $。
10. $ \int \cot x dx = \ln |\sin x| + C $。
二、换元积分法1. $ \int f(ax + b) dx = \frac{1}{a} \int f(ax + b) d(ax + b) $。
2. $ \int f(x^n) dx = \frac{1}{n} \int f(x^n) d(x^n) $。
3. $ \int f(\sqrt{ax^2 + bx + c}) dx = \frac{1}{a} \int f(\sqrt{ax^2 + bx + c}) d(\sqrt{ax^2 + bx + c}) $。
4. $ \int f(\sqrt{a^2 x^2}) dx = \frac{1}{a} \intf(\sqrt{a^2 x^2}) d(\sqrt{a^2 x^2}) $。
5. $ \int f(\sqrt{x^2 a^2}) dx = \frac{1}{a} \intf(\sqrt{x^2 a^2}) d(\sqrt{x^2 a^2}) $。
三、分部积分法1. $ \int u dv = uv \int v du $。
不定积分解题方法及技巧总结
不定积分解题方法及技巧总结【解】例2：【解】3.第二类换元法：设是单调、可导的函数，并且具有原函数，则有换元公式第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。
常见的变换形式需要熟记会用。
主要有以下几种：（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号。
但当根号内出现高次幂时可能保留根号，（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号。
但当根号内出现高次幂时可能保留根号，4.分部积分法.公式：分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。
具体选取时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧~！例3：【解】观察被积函数，选取变换,则例4：【解】上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。
有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。
在中，的选取有下面简单的规律：将以上规律化成一个图就是：（aarcsinx）（lnxPm(x)sinx)νμ但是，当时，是无法求解的。
对于（3）情况，有两个通用公式：（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分）5不定积分中三角函数的处理1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。
被积函数上下同乘变形为令，则为2.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意的使用。
三角函数之间都存在着转换关系。
被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。
3.函数的降次①形如积分（m，n为非负整数）当m为奇数时，可令，于是，转化为多项式的积分当n为奇数时，可令，于是，同样转化为多项式的积分。
当m，n均为偶数时，可反复利用下列三角公式：不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。
②形如和的积分（n为正整数）令，则，，从而已转化成有理函数的积分。
类似地，可通过代换转为成有理函数的积分。
③形如和的积分（n为正整数）当n为偶数时，若令，则，于是已转化成多项式的积分。
不定积分表
Y z .L i u .2013.09 卷终 公式表注解四基本不定积分表序言：微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。
虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。
在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。
如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。
积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。
本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。
而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。
本表收录公式16组，151式。
公式一 基本初等函数的不定积分18式：反三角函数上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。
公式二 含ax b +的积分（要指出a 非零）10式：对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。
对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式11x b ax b a ax b ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，则得其积分是显的：111()ln ||x b b dx x d ax x ax b aC ax b a a ax b a a ⎛⎫⎛⎫=-=-++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎰⎰。
而第二式依然采取类似的方式，可借由带余多项式除法算得：22211()2x x ax b ab b ax b a ax b ax b ⎡⎤=+-+⎢⎥+++⎣⎦，然后利用第一个积分式即可得到结论。
对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得到的。
我们注意第一式中有111111()(/)/b x ax b a x x b a a x x b a a⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭，积分即得。
不定积分和定积分的关系公式
不定积分和定积分的关系公式嘿，咱们来聊聊不定积分和定积分这对“兄弟”的关系公式。
不定积分和定积分，就像是数学世界里的两个神秘伙伴。
不定积分像是一个充满可能性的宝库，你不知道最终能从里面掏出啥宝贝；而定积分呢，则像是从这个宝库里精准挑选出了一些确定的宝藏。
先来说说不定积分。
不定积分啊，其实就是找一个函数的原函数。
比如说，给你一个函数 f(x)，不定积分就是要找出另一个函数 F(x)，使得 F'(x) = f(x)。
这就好比你有一把钥匙（f(x)），要去找到对应的锁（F(x)）。
我记得有一次给学生们讲不定积分的时候，有个小同学一脸迷茫地问我：“老师，这找原函数咋就这么难呢？”我笑着跟他说：“你就把它想象成找小伙伴，每个函数都有它的‘最佳搭档’原函数，你得细心去发现它们之间的关联。
”然后我带着他一步一步分析，从最简单的例子开始，慢慢地他就有点开窍了。
定积分呢，它表示的是函数在某个区间上的积累效果。
比如说，从a 到 b 这个区间，函数图像与 x 轴围成的面积，这就是定积分。
这就像是你在一段时间内积累的成果。
不定积分和定积分之间有着密切的联系。
通过牛顿-莱布尼茨公式，就能够把它们串起来。
这个公式就像是一座神奇的桥梁，让不定积分和定积分能够相互转化。
比如说，计算一个定积分，我们可以先求出对应的不定积分，然后利用牛顿-莱布尼茨公式来得出最终的结果。
这就好比你先有了一堆材料（不定积分），然后按照特定的方法（牛顿-莱布尼茨公式）把它们加工成了一件精美的成品（定积分的结果）。
在实际应用中，不定积分和定积分的关系可重要啦。
比如说，在物理中计算位移、速度和加速度的关系时，在经济学中计算总成本和边际成本的关系时，都会用到它们。
总之，不定积分和定积分这对“兄弟”，虽然各有特点，但又紧密相连，共同为我们解决数学和实际问题发挥着巨大的作用。
只有深入理解它们的关系，我们才能在数学的海洋里畅游得更加自如！不知道我这么一讲，您是不是对不定积分和定积分的关系公式更清楚一些了呢？。
不定积分100道例题及解答
不定积分100道例题及解答摘要：一、引言1.1 积分的概念1.2 不定积分的概念二、不定积分的性质2.1 不定积分的存在性2.2 不定积分的线性性2.3 不定积分的连续性三、不定积分的计算方法3.1 基本积分公式3.2 反常积分3.3 复合函数积分3.4 隐函数积分3.5 参数方程积分四、100 道不定积分例题及解答4.1 例题1-104.2 例题11-204.3 例题21-30...4.10 例题91-100五、结论5.1 不定积分在实际问题中的应用5.2 不定积分的技巧和策略正文：一、引言1.1 积分的概念积分学是微积分学的一个重要分支，它主要研究如何求解一个函数在某一区间上的累积效应。
积分可以形象地理解为“求曲边梯形的面积”，即将函数的图像与坐标轴所围成的曲边梯形面积分解为无数个无穷小的矩形，然后求和得到总面积。
1.2 不定积分的概念不定积分，又称为一元函数的不定积分，是指求解一个函数f(x) 在区间[a, b] 上的原函数F(x)。
原函数F(x) 的导数等于原函数f(x)，即F"(x) =f(x)。
不定积分的目的是找到一个函数F(x)，使得F"(x) = f(x)，并在给定的区间[a, b] 上求解该函数。
二、不定积分的性质2.1 不定积分的存在性根据牛顿- 莱布尼茨公式，几乎所有的连续函数都存在原函数，即具有不定积分。
然而，存在一些特殊的函数，例如非连续函数、含有分段的函数等，它们可能没有不定积分。
2.2 不定积分的线性性不定积分具有线性性，即对于任意的两个函数f(x) 和g(x)，它们的和的不定积分等于各自不定积分的和，即∫(f(x) + g(x)) dx = ∫f(x) dx + ∫g(x)dx。
2.3 不定积分的连续性如果一个函数在某一区间上连续，那么它的不定积分在该区间上也是连续的。
三、不定积分的计算方法3.1 基本积分公式基本积分公式包括幂函数、三角函数、指数函数、对数函数等的积分公式，通过记忆这些公式，可以简化不定积分的计算过程。
最全不定积分表
最全不定积分表(总5页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除不定积分表一. 含有 n x 的积分1． 1,11n nx x dx c n n +=+≠-+⎰ 2. 1||dx In x C x=+⎰二. 含有ax b +的积分 3. 11dx Ln a bx c a bx b=+++⎰ 4. 21(||)x dx bx aIn a bx C a bx b=-+++⎰ 5. 221(||)()x a dx In a bx C a bx b a bx=+++++⎰ 6. 21(||)()n x a dx In a bx C a bx b a bx =+++++⎰7. ()()22231122x dx a bx a a bx a Ln a bx c a bx b ⎡⎤=+-++++⎢⎥+⎣⎦⎰ 8. 22231(2||)()x a dx bx aIn a bx C a bx b a bx=--++++⎰ 9. 2233212[||]()2()x a a dx In a bx c a bx b a bx a bx =-++++++⎰ 10. 11||()x dx In C x a bx a a bx=+++⎰ 11. 21111(||)()x dx In C x a bx a a bx a a bx =+++++⎰三. 含有22,0a x a ±>的积分12. 2211arctan x dx C a x a a=++⎰13. 2222111||2x a dx dx In C x a a x a x a -=-=+--+⎰⎰四. 积分（再增加几个公式）14. 322[()](23)n n x x a bx na x b n -=+-+⎰⎰15.1(23)],1(1)2b n n a n --=+≠-16. dx ax =⎰17.C =五. 0a >的积分（再增加几个公式）18. 21(sin )2x a arx x a=+19. ||a aIn C x=+20. arcsin x C a =+ 21.sin x arx C a =+22.C =+ 23.223/21()dx C a x =-⎰2ax bx c ++的积分公式）六. 含有sin x 或cos x 的积分24. sin cos xdx x C =-+⎰25. cos sin xdx x C =+⎰26. sin sin cos x xdx x x x C =-+⎰ 27. cos cos sin x xdx x x x C =++⎰28. 1tan sec 1sin dx x x C x=+±⎰29. 1csc 1cos dx cotx x C x=-±+±⎰ 30. 1|tan |sin cos dx In x C x x=+⎰ 七. 含有tan ,,sec ,csc x cotx x x 的积分 31. tan cos xdx Ln x c =-+⎰32. |sin |cotxdx In x C =+⎰33. sec |sec |dx In x tgx C =++⎰ 34. csc |csc |xdx In x ctgx C =-+⎰ 35. 2tan tan xdx x x C =-++⎰36. 2cot xdx x cotx C =--+⎰37. 2sec tan xdx x C =+⎰38. 2csc xdx cotx C =-+⎰ 39. 12tan tan tan ,1n nn x xdx xdx n --=--⎰⎰ 1n ≠ 40. 12,1n nn cot x cot xdx cot xdx n --=---⎰⎰ 1n ≠ 41. 22sec tan 2sec sec 11n nn x x n xdx xdx n n ---=+--⎰⎰，1n ≠ 42. 22csc 2csc csc ,11n nn xcotx n xdx xdx n n ---=-+--⎰⎰ 1n ≠八. 含有反三角函数的积分43. arcsin arcsin xdx x x C =+⎰44． arccos arccos xdx x x C =⎰45. 21arctan arctan (1)2xdx x x In x C =-++⎰ 46. 21tan tan (1)2arc xdx xarc x In x C =+++⎰47. 21arcsin [(21)arcsin ]4x xdx x x C =-+⎰48. 21arccos [(21)arccos ]4x xdx x x C =--+⎰ 49. 21arctan [(1)arctan ]2x xdx x x x C =+-+⎰ 50. 21[(1)cot ]2xarccotxdx x arc x x C =+++⎰九. 含有指数函数的积分51. xxa a dx C Ina =+⎰ 52. x x e dx e C =+⎰53. (1)x x xe dx x e C =-+⎰54. 1n x n x n x x e dx x e n x e dx -=-⎰⎰ 55. 1(1)1x x dx x In e C e=-+++⎰56. ()221sin sin cos ax ax e bxdx e a bx b bx c a b =-++⎰ 57. 22cos (cos sin )axaxe e bxdx a bx b bx C a b =+++⎰十. 含有Inx 的积分58. (1)Inxdx x Inx C =-+⎰59. 1)C=+ 60. 2(21)4x xInxdx Inx C =-+⎰ 61. 22()[()22]Inx dx x Inx Inx C =-++⎰ 62. 1()()()n n n Inx dx x Inx n Inx dx -=-⎰⎰63. sin()[sin()cos()]2x Inx dx Inx Inx C =-+⎰ 64. cos()[sin()cos()]2x Inx dx Inx Inx C =++⎰65. ((In x dx xIn x C +=+⎰。
高数上D4_1不定积分
的原函数的图形称为
的图形
的所有积分曲线组成
的平行曲线族.
的积分曲线 .
例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,
且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解:
所求曲线过点 ( 1 , 2 ) ,
故有
因此积分定义可知:
定理1.
存在原函数 .
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
定理 2.
原函数都在函数族
( C 为任意常数 ) 内 .
定义 2.
在区间 I 上的原函数全体称为
上的不定积分,
其中
记作
— 积分号;
— 被积函数;
— 被积表达式.
— 积分变量;
若
则
( C 为任意常数 )
C 称为积分常数 不可丢 !
或
或
利用逆向思维
( k 为常数)
或
或
例2. 求
解: 原式 =
例3. 求
解: 原式=
三、不定积分的性质
推论: 若
则
例4. 求
解: 原式 =
例5. 求
解: 原式 =
例6. 求
解: 原式 =
例7. 求
解: 原式 =
作业
习题4-1 P190页 2(双号题), 5, 6, 7
内容小结
1. 不定积分的概念
• 原函数与不定积分的定义
• 不定积分的性质
• 基本积分表
2. 直接积分法:
利用恒等变形,
及 基本积分公式进行积分 .
常用恒等变形方法
分项积分
加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
不定积分的例题分析及解法[1]32页word文档
![不定积分的例题分析及解法[1]32页word文档](https://img.taocdn.com/s3/m/ac6ff3e680eb6294dd886cb6.png)
不定积分的例题分析及解法这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。
对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(x u ϕ=，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将⎰υud 转化成⎰du υ，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。
对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)(x f 为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，)(x f 为无理函数时，常可用换元积分法。
应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如dx x x ⎰sin ；dx e x ⎰-2；dx x ⎰ln 1；⎰-x k dx 22sin 1（其中10<<k ）等。
这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。
一、疑难分析（一）关于原函数与不定积分概念的几点说明（1）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。
对于定义在某区间上的函数)(x f ，若存在函数)(x F ，使得该区间上每一点x 处都有)()(x f x F ='，则称)(x F 是)(x f 在该区间上的原函数，而表达式C C x F ()(+为任意常数)称为)(x f 的不定积分。
（2）)(x f 的原函数若存在，则原函数有无限多个，但任意两个原函数之间相差某个常数，因此求)(x f 的不定积分⎰dx x f )(时，只需求出)(x f 的一个原函数)(x F ，再加上一个任意常数C 即可，即⎰+=C x F dx x f )()(。
（3）原函数)(x F 与不定积分⎰dx x f )(是个体与全体的关系，)(x F 只是)(x f 的某个原函数，而⎰dx x f )(是)(x f 的全部原函数，因此一个原函数只有加上任意常数C 后，即C x F +)(才能成为)(x f 的不定积分，例如3,21,1222-++x x x 都是x 2的原函数，但都不是x 2的不定积分，只有C x +2才是x 2的不定积分（其中C 是任意常数）。
不定积分的基础求解技巧
不定积分的基础求解技巧不定积分是微积分中的重要内容，求解不定积分需要掌握一些基本的技巧和方法。
本文将介绍一些常见的不定积分求解技巧。
一、基本积分公式和基本性质在求解不定积分时，我们首先要掌握一些基本的积分公式和性质。
以下是一些常见的基本积分公式：1. 常数函数的不定积分公式：∫kdx = kx + C，其中 k 为常数。
2. 幂函数的不定积分公式：∫x^n dx = (1/(n+1))x^(n+1) + C，其中 n ≠ -1。
3. 指数函数的不定积分公式：∫e^x dx = e^x + C。
4. 三角函数的不定积分公式：- 不定积分∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
- 不定积分∫cos(x) dx = sin(x) + C。
- 不定积分∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C。
5. 对数函数的不定积分公式：∫(1/x) dx = ln|x| + C。
除了上述基本积分公式外，还需要注意以下一些基本性质：1. 线性性质：对于函数f(x) 和g(x)，有∫(f(x) + g(x))dx = ∫f(x) dx + ∫g(x) dx。
2. 积分的倒数：如果 F'(x) = f(x)，则∫f(x) dx = F(x) + C。
3. 函数的换元积分：如果 u = g(x) 是一个可导的函数，F(x) 是 f(u) 的原函数，则∫f(g(x)) g'(x)dx = F(g(x)) + C。
二、分部积分法分部积分法是求解不定积分的重要方法之一，它基于求导的乘法法则。
分部积分法的公式为：∫u dv = uv - ∫v du，其中 u 和 v 是可以求导的函数。
在应用分部积分法时，通常选择u 和du，v 和dv，使得对原函数进行分部积分后简化或者能够消去一项。
一般来说，选择u 和du 时优先选择指数、对数函数以及三角函数；选择 v 和 dv 时优先选择多项式函数。
三、换元积分法换元积分法也是求解不定积分的重要方法之一，它基于链式法则。
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例如,
f(x)dxF(x)C ( C 为任意常数 )
exdx exC
C 称为积分常数,
x2dx
1 3
x3
C
不可丢 !
sinxdx co x C s
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不定积分的几何意义:
f (x) 的原函数的图形称为 f (x) 的积分曲线 .
f (x)dx 的图形
因此问题转化为:
已知
v(t)
Asint
m
,求
m
v(t)?
m
定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)
满足 F(x)f(x)或 d F (x )f(x )d x ,则称 F (x) 为f (x)
在区间 I 上的一个原函数 .
如引例中, A sin t 的原函数有 A cos t, Acost3,
定理 2. 若F(x)是f(x)的一个原, 则 函f (数 x)的所有
原函数都在函数族 F(x)C( C 为任意常数 ) 内 .
证: 1) (F(x)C )F(x)f(x) F(x)C是f(x)的原函数
2)设(x)是f(x)的任一原 ， 即 函数
(x)f(x)
又知
F(x)f(x)
[(x ) F (x )] (x)F (x)f(x )f(x ) 0
m
m
m
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问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?
2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
定理1. 若函 f(x数 )在区 I上 间 连 , 则续 f(x)在I上
存在原函数 .
(下章证明)
初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
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例3. 求
dx x3 x
.
解: 原式 =
x
4 3
dxΒιβλιοθήκη x4 31
4 3
1
C
3x13 C
例4. 求 si2 n xco2 xsdx. 解: 原式= 12sinxdx 1 2coxsC
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三、不定积分的性质
1.
(1)[f(x)dx]f(x)或 d[ f(x)dx]f(x)dx.
证明：
即 积 分 与 求 导 二 者 作 用 抵 消 .
f(x)dxF(x)C
乘积关系
f ( x ) d x F(x)CF(x)f(x)
(2 )F (x)d xF (x) C 或
d F (x ) F (x )d x F (x ) C
问题: 求导运算是否有逆运算?
它的逆运算是什么？ 讨论其逆运算的意义何在？ 我们知道导数概念是一个非常重要的概念。它不仅仅是 一种形式运算，在实际应用中是很有用的。
例如:1、已知物体的运动规律，即路程函数，求物体的瞬时速度; 2、已知曲线，求它的切线的斜率。 如果我们讨论的是反问题: 已知物体运动的瞬时速度，即速度函数，求物体的运动
y
f (x) 的所有积分曲线组成
的平行曲线族.
O
x0
x
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例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解: y2x
y2xdxx2 C
所求曲线过点 (1, 2) , 故有
212C C1 因此所求曲线为 yx2 1
y
(1,2)
积分法: (?)f(x)
第一节
第四章
不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分的概念 二、 基本积分表 三、不定积分的性质
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一、 原函数与不定积分的概念
引例: 一个质量为 m 的质点, 在变力 FAsint的作
下沿直线运动 , 试求质点的运动速度 v(t).
根据牛顿第二定律, 加速度 a(t) F A sin t
规律，即路程函数；
已知曲线在每一点的切线的斜率，求此曲线。
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一般地：
反导数 F ( x )
F(x)f(x)
积分学
已知 f (x)
--------两个相反的问题
导数f (x) 微分学
我们把求导的逆运算称为不定积分。
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第四章
不定积分
微分法: F(x)(?) 互逆运算
(运动速度)
dt
再由此求 x(t)
d2 x d t2
dv dt
g
(加速度)
先由此求 v(t )
x
xx(t)
x0x(0)
O
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先求 v(t). 由 d v g , 知 dt
v(t)(g)dtgtC1
x
xx(t)
由 v(0)v0,得 C1v0,故
v(t) gtv0
再求
x(t).
(2) xdx11x1C (1)
(3)
dx x
lnx
C
x 0时 (ln x) [ln x )( ] 1
x
(4)
dx 1x2
arcx tC an或
ac rx c o C t
(5)
dx arcx sC in 或 ac rx o c C s
1x2
(6) coxdsxsixnC
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由
dx dt
v(g t )tv0,知
x0x(0)
O
x(t)( gtv0)dt1 2gt2v0tC 2
由 x(0)x0,得 C2x0,于是所求运动规律为
x (t) 1 2gt2 v 0 t x 0
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二、 基本积分表 (P188)
利用逆向思维
(1) kdx kxC ( k 为常数)
(7) sixndx co x C s (8) codsx2xse2cxdx taxn C (9) sidn2xx cs2cxdx co x C t (1)0sextcaxd n xsex cC
(1)1csxcco xdxt cs x c C
(1)2 exdxexC
(1)3 axdx a x C ln a
O
x
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例2. 质点在距地面x 0 处以初速 v 0 垂直上抛 , 不计阻
力, 求它的运动规律.
解: 取质点运动轨迹为坐标轴, 原点在地面, 指向朝上 ,
质点抛出时刻为 t 0, 此时质点位置为 x0 , 初速为 v 0 .
设时刻 t 质点所在位置为 xx(t), 则
dx v(t)
故
(x)F (x) C 0(C0为某个常)数
它属于函数族 F(x)C.
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定义 2. f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f (x)在I
上的不定积分, 记作 f(x)dx, 其中
— 积分号;
x— 积分变量;
若 F (x)f(x),则
f (x) — 被积函数;
(P185)