高中数学-对数函数及其性质课件

新课引入 一个驾驶员喝了酒后，血液中酒精含量迅速上升到 0.3 mg/mL，在停止喝酒之后，血液中酒精含量就以每小时 50% 的速度减少．为了保证交通安全，某地交通规则规定：驾驶 员血液中的酒精含量应不大于 0.08 mg/mL，问若喝了少量酒 的驾驶员至少过多少时间才能驾驶？
自主预习 一、某种细胞分裂时，每分裂一次，由一个细胞分裂为 2 个，分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 是分裂次数 x 的函数，这 个函数表达式为 y＝2x .反过来，如果要求这种细胞经过多少 次分裂，大约可以得到 1 万个，10 万个，……细胞，那么， 分裂次数 x 就是要得到的细胞个数 y 的函数，这个函数的表达 式为 x＝log2y .
[例 1] 下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝logx2；②y＝logax(a∈R)；③y＝log8x；④y＝lnx；
⑤y＝logx(x＋2)；⑥y＝2log4x；⑦y＝log2(x＋1)．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
[答案] C
[解析] 根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量 出现在底数上，∴①不是对数函数；由于②中底数 a∈R 不能 保证 a>0 且 a≠1，∴②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分 别为(x＋2)，(x＋1)，∴⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中 log4x 系数虽为 2，但可变形为 y＝log2x，∴⑥也是对数函数；只有 ③、④、⑥符合对数函数的定义．
)
A. 3、43、35、110 B. 3、43、110、35 C.43、 3、35、110 D.43、 3、110、35 [思路点拨] 首先按照底数大于 1 和底数大于 0 小于 1 分 类，然后再比较与 y 轴的远近程度．
[解析] 解法一：先排 c1、c2 底的顺序，底都大于 1，当 x>1 时图低的底大，c1、c2 对应的 a 分别为 3、43.然后考虑 c3、 c4 底的顺序，底都小于 1，当 x<1 时底大的图高，c3、c4 对应 的 a 分别为35、110.综合以上分析，可得 c1、c2、c3、c4 的 a 值 依次为 3、43、35、110.故选 A.
指出下列值的符号：
log23，log212，log315，log13 14，ln5，lg0.03.
[答案]
log23、log315、log1 3
14、ln5
为正，其余为负
思路方法技巧
1 对数概念
学法指导： 对于对数概念要注意以下两点： (1)在函数的定义中，a>0 且 a≠1. (2)在解析式 y＝logax 中，logax 的系数必须为 1，真数必 须为 x，底数 a 必须是大于 0 且不等于 1 的常数．
[例 2] 求下列函数的定义域： (1)y＝log2x＋1 1－3； (2)y＝log(2x－1)(3x－2)．
[解析] (1)要使函数有意义，则有
x＋1>0， log2x＋1－3≠0，
即 x>－1 且 x≠7.
故所求的函数的定义域为(－1,7)∪(7，＋∞)．
3x－2>0， (2)要使函数有意义，则有2x－1>0，
由此可知，函数 y＝log1 (2x－3)＋3 的图象必过定点
2
(2,3) ．
4．当 a>1 时，y＝logax 的图象是上升的，即函数为增函 数．
当 0<a<1 时，y＝logax 的图象是下降的，即函数为 减 函 数．
(1)指出下列函数的单调性或单调区间： y＝log1 x 为 减 函数，减区间为 (0，＋∞) ．
指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①y＝5x；②y＝－log3x；③y＝log0.5 x；④y＝log3 x；⑤y
2
＝log2(x＋1)．
[解析] ①是指数函数；②中 log3x 的系数为－1，但可变
形为 y＝log1 x；∴②是对数函数；③中的真数为 x，但可变
3
形为 y＝log 0.5x，∴③是对数函数；⑤中的真数是(x＋1)，∴
⑤不是对数函数；∴②③④是对数函数.
2 对数函数的定义域
学法指导：1.求函数定义域的方法： (1)分母不能为 0； (2)根指数为偶数时，被开方数非负； (3)对数的真数大于 0，底数大于 0 且不为 1.
2．求函数的定义域的步骤： (1)求出满足函数有意义的不等式组或混合组．(含有方程 或不等式)． (2)化简并解出自变量的取值范围． (3)明确函数的定义域．
[解析] (1)考查函数 y＝log0.5x，因为它的底数 0<0.5<1， 所以它在(0，＋∞)上是减函数，于是：log0.52.7>log0.52.8.
(2)当 m>1 时，y＝logmx 为增函数， ∵4>3，∴logm4>logm3； 当 0<m<1 时，y＝logmx 为减函数， ∴logm4<logm3.
(3)∵log67>log66＝1，log75<log77＝1，∴log67>log75. (4)∵log23＝log49，32＝log48，log45<log48<log49， ∴log45<32<log23.
4 对数函数图象的分布规律
[例 4] 如图是对数函数①y＝logax，②y＝logbx，③y＝ logcx，④y＝logdx 的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系是 ()
规律总结：(1)是利用对数函数的单调性比较两个数的 大小，底数范围未明确指定时，要对底数进行讨论来比较两 个对数的大小，例如比较 loga3 和 loga2 的大小，要讨论 a>1 和 0<a<1 两种情况．
对于(3)就不能直接利用对数函数的单调性比较大小，这 时可在两个数中间插入一个已知数(如 1 或 0 等)间接比较两个 对数的大小．
比较大小： (1)log23.4，log23.8； (2)log0.51.8，log0.52.1； (3)log75，log67； (4)log23，log45，32.
[解析] (1)对数函数 y＝log2x 在(0，＋∞)上是增函数， 于是 log23.4<log23.8.
(2)对数函数 y＝log0.5x 在(0，＋∞)上是减函数，于是 log0.51.8>log0.52.7.
2x－1≠1，
解得 x>23且 x≠1.
故所求的定义域为(23，1)∪(1，＋∞)．
(2012～2013 河北广平县期中试题)函数 f(x)＝log2(x＋1)
定义域为( )
A．(－∞，－1)
B．[－1，＋∞)
C．(－1，＋∞)
D(1，＋∞)
[答案] C
[解析] 函数有意义满足 x＋1＞0，∴x＞－1，故选 C.
(4)若底数和真数都不相同，则常借助中间量 1,0，－1 等 进行比较．
[例 3] 比较下列各数的大小 (1)log0.52.7 与 log0.52.8； (2)logm3 与 logm4(m>0，m≠1)； (3)log25 与 log75； (4)log35 与 log64.
[分析] 对于(1)，由于底数相同，可用对数函数单调性比 较．对于(2)由于底数为字母应讨论．对于(3)可根据在同一坐 标系中 y＝log2x 与 y＝log7x 的图象比较大小．对于(4)，由于 底数、真数都不相等，就不能利用函数的单调性和图象比较 大小，这时可化同底或同真，也可借助中间量比较大小．
3
y＝lg x为 增 函数，增区间为 (0，＋∞) ．
y＝ln(x＋2)在区间 (－2，＋∞) 上为增函数． 要使函数 y＝log2(x2＋2x)有意义，应有 x∈ (－∞，－2) ∪(0，＋∞)，此函数在区间 (0，＋∞) 上为增函数，在区间 (－∞，－2) 上为减函数．
(2)若函数 y＝loga－1x 为减函数，则 a 的取值范围是 (1,2) ．
二、阅读教材 P70～71，回答下列问题： 1．对数函数 形如 y＝logax(a>0 且 a≠1，x>0) 的函数叫做对数函数． 2．对数函数的图象都分布在 y 轴右 侧，这是因为对数 函数的 定义域 是(0，＋∞)，因此要使函数 y＝log3(3x＋2) 有
意义，应有 x∈ －23，＋∞
.
3．对数函数的图象都过定点(1,0)，即当 x＝1 时，y＝ 0 .
解法二：作直线 y＝1 与四条曲线交于四点，由 y＝logax ＝1，得 x＝a(即交点的横坐标等于底数)，所以横坐标小的底 数小，所以 c1、c2、c3、c4 对应的 a 值分别为 3、43、35、110， 故选 A.
[答案] A
[规律方法] 结合图象，观察对数式 logax 的符号(x>0， a>0 且 a≠1)；
2．对数函数图象的性质的记忆 对数增减有思路，函数图象看底数， 底数只能大于 0，等于 1 来也不行， 底数若是大于 1，图象从下往上增； 底数 0 到 1 之间，图象从上往下减． 无论函数增ogax 的图象，已知 a 取 3、
43、35、110，则相应于 c1、c2、c3、c4 的 a 值依次为(
(3)考查对数函数 y＝log2x 和 y＝log7x 的图象，如下图
当 x>1 时，y＝log2x 的图象在 y＝log7x 图象上方． ∴当 x＝5 时，∴log25>log75.(此题也可用换底公式来解．)
(4)∵log35>log33＝1，log64<log66＝1. ∴log35>log64.
[解析] 由条件知 0<a－1<1.∴1<a<2， ∴1<a<2.
(3)比较下列各组值的大小，用“<”或“>”号填空．
①log20.1 <log20.3 ②log0.32 > log0.33
③lg23 <