(完整版)二次函数图像规律1
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中的重要内容之一，掌握其图像与性质是必不可少的。
二次函数的基本形式是y=ax^2，其中a表示开口方向和抛物线开口大小，x^2表示自变量的平方。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点的坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴。
在y=ax^2的基础上，加上常数项c可以得到y=ax^2+c的形式，其中c表示抛物线在y轴上的截距。
根据a和c的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，c>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a>0，c0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴；当a<0，c<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（0，c），对称轴为y轴。
除了基本形式和加上常数项的形式，二次函数还有一种顶点式的形式y=a(x-h)^2+k，其中（h，k）表示顶点坐标。
根据a的正负，抛物线的开口方向和顶点坐标可以得到不同的性质。
当a>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
在顶点式的基础上，加上常数项k可以得到y=a(x-h)^2+k的形式。
根据a和k的正负，抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴可以得到不同的性质。
当a>0，k>0时，抛物线开口向上，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a>0，k0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h；当a<0，k<0时，抛物线开口向下，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线x=h。
二次函数图象的平移二次函数的图像可以通过平移来得到新的图像。
平移的步骤是先确定顶点坐标，然后根据顶点坐标的变化来确定平移方向和距离。
二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
高一数学二次函数图像性质总结
高一数学二次函数图像性质总结二次函数性质：a正号说明开口向上，负号说明开口向下;a的肯定值越大，抛物线开口越小;c表示抛物线与y轴的交点，图像过(0，c)点。
下面是给大家带来的（高一数学）二次函数图像性质（总结），希望能够帮助到大家!高一数学二次函数图像性质总结1二次函数图像2二次函数性质二次函数y=ax+bx+c(a0)，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程，即ax+bx+c=0(a0)此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax，y=ax+k，y=a(x-h)，y=a(x-h)+k，y=ax+bx+c(各式中，a0)的图象形态相同，只是位置不同。
2.抛物线y=ax+bx+c(a0)的图象：当a0时，开口向上，当a0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，[4ac-b]/4a).3.抛物线y=ax+bx+c(a0)，若a0，当x-b/2a时，y随x的增大而减小;当x-b/2a时，y随x的增大而增大。
若a0，当x-b/2a时，y随x的增大而增大;当x-b/2a时，y随x的增大而减小.4.抛物线y=ax+bx+c(a0)的图象与坐标轴的交点：(1)图象与y轴肯定相交，交点坐标为(0，c);(2)当△=b-4ac0，图象与x轴交于两点A(x1，0)和B(x2，0)，其中的x1，x2是一元二次方程ax+bx+c=0(a0)的两根.这两点间的距离AB=|x2-x1|另外，抛物线上任何一对对称点的距离可以由2x|A+b/2a|(A为其中一点的横坐标)当△=0.图象与x轴只有一个交点;当△0.图象与x轴没有交点.当a0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y0;当a0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y0.5.抛物线y=ax+bx+c的最值(也就是极值)：假如a0(a0)，则当x=-b/2a 时，y最小(大)值=(4ac-b)/4a.顶点的横坐标，是取得极值时的自变量值，顶点的纵坐标，是极值的取值.6.用待定系数法求二次函数的解析式(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax+bx+c(a0).(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)+k(a0).(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(a0).7.二次函数学问很简单与（其它）学问综合应用，而形成较为困难的综合题目。
二次函数图象和性质总结表格
二次函数图象和性质总结表格二次函数知识点总结一、二次函数的图像和性质二次函数的图像开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值与函数的参数有关。
当参数a大于0时，图像开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,0)，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大。
参数a越大，开口越小。
当参数a小于0时，图像开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为(0,0)，在对称轴左侧y随x增大而增大，在对称轴右侧y随x增大而减小。
参数a越小，开口越小。
当二次函数带有平移时，对称轴的位置会发生变化，顶点坐标变为(h,k)。
当参数a大于0时，图像开口向上，对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,k)，在对称轴左侧y随x增大而减小，在对称轴右侧y随x增大而增大。
当参数a小于0时，图像开口向下，对称轴是直线x=h，顶点坐标为(h,k)，在对称轴左侧y随x增大而增大，在对称轴右侧y随x增大而减小。
二、二次函数的解析式二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为实数且a≠0.当二次函数带有平移时，解析式为y=a(x-h)²+k，其中a、h、k均为实数且a≠0.三、二次函数的应用二次函数在数学和现实生活中都有广泛的应用。
例如，二次函数可以用来描述物体的运动轨迹、建筑物的结构、金融市场的波动等等。
在应用中，我们需要根据实际情况确定二次函数的参数，并利用二次函数的性质进行分析和计算。
总之，二次函数是数学中非常重要的一个概念，掌握二次函数的图像、解析式和应用是我们研究数学的基础。
当x＞h时，随着x的增大，y会减小。
函数a的符号决定了开口的方向，当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下。
对称轴为直线x=-b/2a，顶点坐标为(-b/2a。
c-b^2/4a)。
当a的绝对值越大时，开口越小；b的符号决定了对称轴在y轴的位置，当b＞0时，对称轴在y轴左侧，当b＜0时，对称轴在y轴右侧；c的符号决定了抛物线与y轴的交点在哪个象限，当c＞0时，抛物线与y轴正半轴相交，当c＜0时，抛物线与y轴负半轴相交。
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数的图像与性质一、二次函数的根本形式1. 二次函数根本形式：2=的性质：y ax2. 2=+的性质：y ax c上加下减。
3. ()2=-的性质：y a x h左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的根底上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移〞． 概括成八个字“左加右减，上加下减〞． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上〔下〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2〔或m c bx ax y -++=2〕⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左〔右〕平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2〔或c m x b m x a y +-+-=)()(2〕三、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比拟从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，〔假设与x 轴没有交点，那么取两组关于对称轴对称的点〕.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.五、二次函数2y ax bx c =++的性质1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++〔a ，b ，c 为常数，0a ≠〕；2. 顶点式：2()y a x h k =-+〔a ，h ，k 为常数，0a ≠〕；3. 两根式：12()()y a x x x x =--〔0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标〕. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边那么0>ab ，在y 轴的右侧那么0<ab ，概括的说就是“左同右异〞总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式确实定：根据条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 抛物线顶点或对称轴或最大〔小〕值，一般选用顶点式；3. 抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 抛物线上纵坐标一样的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称〔即：抛物线绕顶点旋转180°〕2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原那么，选择适宜的形式，习惯上是先确定原抛物线〔或表达式的抛物线〕的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数64212++=x x y 的图象 【解】 )128(21642122++=++=x x x x y2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：【例2】求作函数342+--=x x y 的图象。
第1讲 二次函数的图像及性质
第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（ ） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 （1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答： （1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（ ） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。
二次函数平移规律口诀
二次函数平移规律口诀二次函数平移规律口诀：加左减右，加上减下。
意思就是当二次函数写成下面这个样子时：y=a(x+b)²+c，只要将y=ax²的函数图像按以下规律平移：b>0时，图像向左平移b个单位(加左)；b<0时，图像向右平移b个单位(减右)；c>0时，图像向上平移c个单位(加上)；c<0时，图像向下平移c个单位(减下)。
二次函数平移规律口诀图像应该怎么画1二次函数平移规律口诀加左减右，加上减下。
意思就是当二次函数写成下面这个样子时：y=a(x+b)²+c，只要将y=ax²的函数图像按以下规律平移：(1)b>0时，图像向左平移b个单位(加左)；(2)b<0时，图像向右平移b个单位(减右)；(3)c>0时，图像向上平移c个单位(加上)；(4)c<0时，图像向下平移c个单位(减下)。
2二次函数图像怎么画二次函数图像画法：一般地，二次函数的图像用五点法画出。
当x=0时，y的值（一个点）。
这个点关于二次函数对称轴的对称点（一个点）。
当y=0时，x的值（两个点）。
二次函数的顶点[一b/2a，（4ac一b^2）/4a]。
二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。
3二次函数的性质（1）二次函数的图像是抛物线，抛物线是轴对称图形。
对称轴为直线x=-b/2a。
（2）二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
（3）一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
（4）常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c）4二次函数的历史大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。
二次函数平移规律口诀图像关系是什么
二次函数平移规律口诀图像关系是什么
a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。
当抛物线对称轴在y轴左侧时a,b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a,b异号。
二次函数一般式及图像关系
二次函数的一般式为:y=ax²+bx+c(a≠0)。
a、b、c值与图像关系
a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下。
当抛物线对称轴在y轴左侧时a,b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a,b异号。
c>0时，抛物线与y轴交点在x轴上方；c<0时，抛物线与y轴交点在x轴下方。
a=0时，此图像为一次函数。
b=0时，抛物线顶点在y轴上。
c=0时，抛物线在x轴上。
当抛物线对称轴在y轴左侧时a,b同号，当抛物线对称轴在y轴右侧时a,b异号。
二次函数的顶点坐标公式
二次函数的一般式为:y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
二次函数的顶点式为：y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)。
推导过程：
y=ax^2+bx+c
y=a(x^2+bx/a+c/a)
y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)
y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4a
y=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a
对称轴x=-b/2a
顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)。
(完整版)非常好的讲义二次函数图像与性质
二次函数图像及性质一、二次函数的定义一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，为常数，0a ≠）的函数称为x 的二次函数,其中x 为自变量，y 为因变量,a 、b 、c 分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数．注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠,而b 、c 可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数．二、二次函数的图象 1．二次函数图象与系数的关系 （1)a 决定抛物线的开口方向 当0a >时，抛物线开口向上；当0a <时，抛物线开口向下．反之亦然．a 决定抛物线的开口大小：a 越大，抛物线开口越小;a 越小，抛物线开口越大． 温馨提示：几条抛物线的解析式中，若a 相等，则其形状相同，即若a 相等，则开口及形状相同，若a 互为相反数,则形状相同、开口相反． (2)b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置（抛物线的对称轴：2b x a=-) 当0b =时，抛物线的对称轴为y 轴； 当a 、b 同号时，对称轴在y 轴的左侧； 当a 、b 异号时,对称轴在y 轴的右侧．（3）c 的大小决定抛物线与y 轴交点的位置（抛物线与y 轴的交点坐标为()0c ，） 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为原点； 当0c >时，交点在y 轴的正半轴；当0c <时，交点在y 轴的负半轴．2.二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点）．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点． 3。
二次函数总结归纳图像
二次函数总结归纳图像二次函数是代数学中一类重要的函数类型，具有一般形式为y =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。
本文将对二次函数的图像进行总结归纳，在不同情况下讨论其图像的特点以及与函数参数的关系。
1. 二次函数图像的基本形态二次函数图像的基本形态为抛物线。
当 a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
图像关于y轴对称，称为轴对称图像。
抛物线的开口方向和轴对称性是二次函数图像的两个最为明显的特点。
2. a的影响a是二次函数中二次项的系数，它对二次函数图像的开口方向有直接影响。
当a > 0时，二次函数图像开口向上；当a < 0时，二次函数图像开口向下。
a的绝对值越大，抛物线开口越宽。
3. b的影响b是二次函数中一次项的系数，它对二次函数图像的位置有影响。
当b > 0时，图像向左平移，当b < 0时，图像向右平移。
平移的距离与b的绝对值成正比。
4. c的影响c是二次函数中常数项，它对二次函数图像的位置有影响。
当c > 0时，图像向上平移，当c < 0时，图像向下平移。
平移的距离与c的绝对值成正比。
5. 顶点与对称轴二次函数图像的顶点是其最高点或最低点，也是抛物线的轴对称中心，其横坐标为-x轴系数的一半，纵坐标为将x代入后得到的值。
对称轴则是通过顶点的一条垂直线。
6. 零点和与x轴的交点二次函数图像与x轴的交点称为零点，即函数取值为0的点。
二次函数若存在零点，可以通过解方程或利用求根公式来求得。
若零点的个数为0，则函数图像与x轴没有交点；若零点的个数为1，则函数图像与x轴只有一个交点；若零点的个数为2，则函数图像与x轴有两个交点。
7. 函数值的变化趋势对于二次函数而言，当a > 0时，函数图像开口向上，随着x的增大函数值也增大。
当a < 0时，函数图像开口向下，随着x的增大函数值减小。
8. 平移变换的综合效果当b和c同时为0时，二次函数图像的顶点位于原点，开口向上。
22.1.3二次函数的图像和性质(1)
(3)顶点是(0,k).
5
4
(4)增减性：与y=ax2
3
的增减性相同 。
2 1
(5)最大（小）值：当a>0时， -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
y有最小值k；当a<0时,y有最大值k。
（6）抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向
下平移|k|得到.（只要ax2项的系数a相同，抛物线的
小结二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口 对称性
顶点
k>0
k<0
开口向上
k>0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
k<0
关于y轴 （x=0）对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
增减性
在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小
当x=
时0 ，函数y的值最大，最大值是 ,它
是由抛3 物线y= −2x2
向上平得移到3个的单（位怎么平
移）.
（ 2）抛物线 y= x²-5 的顶点坐标是（_0_，__-5），对称 轴是_y_轴__,在对称轴的左侧，y随着x的 增大而减小 ； 在对称轴的右侧，y随着x的 增大而增大 ，当x=_0___ 时，函数y函数y=ax+c和 二次函数y=ax2+c的图象大致是如图中的（ B ）
y
y
y
y
o
x
o
x
o
x
o
x
A
B
(完整)二次函数的定义、图像及性质
二次函数的定义、图像及性质一、基本概念:1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数,0a ≠）的函数,叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、基本形式1。
二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.2y ax c =+的性质：（上加下减)3。
()2y a x h =-的性质：（左加右减） 4。
()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1。
平移步骤：方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，;⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2。
平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移,负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法2：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左(右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成cm x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图。
二次函数的图像和性质1(左右平移)
么?
• (2)二次函数y=-3(x-2)2+4的图象与二次函数y=-3x2的图象有 什么关系? • 对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大 而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数 y=3(x+1)2+4呢?
习题
1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出 草图进行验证. 3 2 2 2 1. y 2x 3 5; 2. y 0.5x 1 ; 3. y 4 x 1; 3 2 2 4.y 2x 2 5; 5. y 0.5x 4 2; 6. y x 32 . 4
我们知道,作出二次函数y=3x2的图象,通过平移抛物线 y=3x2可以得到二次函数y=3x2-6x+5的图象. 怎样直接作出函数y=3x2-6x+5的图象?
y 3x 6 x 5 5 2 3 x 2 x 提取二次项系数 3 5 配方:加上再减去一次项 2 3 x 2 x 1 1 系数绝对值一半的平方 3 2 2 整理:前三项化为平方形 配方后的表达式 3x 1 式,后两项合并同类项 3 通常称为顶点式 2 化简:去掉中括号 3x 1 2.
y 2 x 2
X=1
想一想,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3x² ,y=3(x-1)2的图象有什么关系?它们的开口方向,对 称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看．
我思，我进步
在同一坐标系中作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=3x² 和y=-3(x-1)2的图象 二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2和y=-3x² ,y=-3(x-1)2的 图象有什么关系?它们是轴对称图形吗?它的开口方向、对称轴 和顶点坐标分别是什么?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而 增大?当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小?
二次函数与函数图像
b知识梳理第二十四讲 二次函数与函数图像一、二次函数的图像性质二次函数 y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图像的开口大小及方向；h 决定了二次函数图像的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图像的上下平移，而且“k 正上移， k 负下移”．（1） 当 a ＞0 时，函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 图像开口向上；顶点坐标为(- b 4ac - b 2, ) ，对称轴为 2a 4ab b b直线 x ＝－ ；当 x ＜ - 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x ＞ - 时，y 随着 x 的增大而增大；2a 2a b2a 4ac - b 2当 x ＝ - 时，函数取最小值 y ＝ ． 2a 4ab 4ac - b 2（2） 当 a ＜0 时，函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 图像开口向下；顶点坐标为(- , ) ，对称轴为 2a 4ab b b直线 x ＝－ ；当 x ＜ - 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x ＞ - 时，y 随着 x 的增大而减小；2a 2a b2a 4ac - b 2当 x ＝ - 时，函数取最大值 y ＝ ．2a 4aybx ＝－2aO二、二次函数的最值A (- , 2ax4ac - b 2)4a一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．设 f ( x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ，求 f ( x ) 在 x ∈[m ，n ] 上的最大值与最小值．分析：将 f ( x ) 配方，得对称轴方程 x = - b，2ab 当a > 0 时，抛物线开口向上，若-∈[m ，n ] 必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取2a得最大值；若- b2a∉[m ，n ] ，当a > 0 时，抛物线开口向上，此时函数在[m ，n ]上具有单调性，yA (- , b 4ac - b 22a 4aOxbx ＝－2a)⎪⎨ ⎪ ⎨ ⎨m in 故在离对称轴 x = - b 2a较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当a < 0 时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图像总结如下： 当a > 0 时⎧ b 1 ⎧f (n )，- b 2a > n (如图3)f (x ) max ⎪ f (m )，- 2a ⎨ b ≥ (m + n )(如图1) 2 1f (x ) min ⎪ = ⎪ f (- b )，m ≤ - b 2a 2a ≤ n (如图4) ⎪ f (n )，- ⎩ 2a < (m + n )(如图2) 2 ⎪ ⎪ f (m )，- b ⎩2a < m (如图5)当a < 0 时⎧ f (n )，- b 2a> n (如图6) ⎧ f (m )， - b≥ 1 (m + n )(如图9)f (x ) max ⎪ = ⎪ f (- b )，m ≤ - b 2a 2a≤ n (如图7) f (x ) = ⎪ ⎪ 2a 2 b 1 ⎪ b ⎪f (n )， - < (m + n )(如图10) ⎪ f (m )，- ⎩2a < m (如图8)⎩ 2a 2三、根的分布问题设方程ax 2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的不等两根为 x , x 且 x < x ，相应的二次函数为1212f ( x ) = ax 2 + bx + c = 0 ，方程的根即为二次函数图像与 x 轴的交点，它们的简单分布情况见下表⎪ ⎪=分布情况两根都小于 k 即 x 1 < k , x 2 < k 两根都大于 k 即x 1 > k , x 2 > k 一个根小于 k ，一个大于 k 即x 1 < k < x 2a ⋅ f (0) < 02a ⎪⎩a ⋅ f (0) > 0⎪ ⎨ ⎪ - b > 0 ⎧ ∆ > 02a ⎪⎩a ⋅ f (0) > 0 ⎪ ⎨ ⎪ - b < 0 ⎧ ∆ > 0 af (0) > 02a ⎪⎩ f (0) < 0⎪ ⎨ ⎪- b > 0 ⎧ ∆ > 02a ⎪⎩ f (0) < 0 ⎪ ⎨ ⎪ - b < 0 ⎧ ∆ > 0a < 0f (0) < 02a ⎪⎩ f (0) > 0⎪ ⎨ ⎪ - b > 0 ⎧ ∆ > 02a ⎪⎩ f (0) > 0 ⎪ ⎨ ⎪ - b < 0 ⎧ ∆ > 0a > 0大致图像（）得出的结论大致图像（）得出的结论综合结论（不讨论 ）大致图像（综合结论（不讨论）- -- -- -⎪<⎪>⎪<⎪>⎪<⎪>ka > 0 kk⎧∆> 0 ⎧∆> 0⎪b ⎨2a k⎪b⎨2ak f (k )< 0⎪⎩f(k)>0⎪⎩f(k)>0 a < 0⎧∆> 0 ⎧∆> 0⎪b ⎨2a k⎪b⎨2ak f (k )> 0⎪⎩f(k)<0⎪⎩f(k)<0⎧∆> 0 ⎧∆> 0⎪b ⎨2a k⎪b⎨2ak a ⋅f (k )< 0⎪⎩a⋅f(k)>0a⎪⎩a⋅f(k)>0分布情况两根都在(m, n)内两根有且仅有一根在(m, n)内（图像有两种情况，只画了一种）一根在(m, n)内，另一根在(p, q)内，m <n <p <q）得出的结论大致图像（）得出的结论综合结论（不讨论）⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎨a > 0⎧ ∆ > 0 ⎪ f (m ) > 0 ⎧ f (m ) > 0⎪f (n ) < 0⎧⎪ f (m ) f (n ) < 0 或 ⎨ ⎪f (n ) > 0 ⎪ bf (m )⋅ f (n ) < 0⎨ f ( p ) < 0 f (q ) > 0 ⎩⎪ f ( p ) f (q ) < 0 ⎪m < - < n⎩⎩⎪2a a < 0⎧ ∆ > 0 ⎪f (m ) < 0 ⎪ f (n ) < 0f (m )⋅ f (n ) < 0⎧ f (m ) < 0⎪f (n ) > 0 ⎨或f (m ) f (n ) < 0 ⎪b ⎪ f ( p ) > 0 ⎪⎩ f ( p ) f (q ) < 0 ⎪m < - < n⎪ f (q ) < 0⎩⎪2a⎩a ——————f (m )⋅ f (n ) < 0⎧ f (m )f (n ) < 0 ⎪ ⎨ ⎪⎩ f (p ) f (q ) < 0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m , n )外，即在区间两侧 x < m , x > n ，（图12形分别如下）需满足的条件是⎪ 大致图像（）得出的结论大致图像（）得出的结论( ) ( ) 2 2⎧⎪ f (m ) < 0（1） a > 0 时， ⎨ ⎪⎩ f n < 0 ⎧⎪ f (m ) > 0；（2） a < 0 时， ⎨⎪⎩ fn > 0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在(m , n )内有以下特殊情况：1︒ 若 f (m ) = 0 或 f (n ) = 0 ，则此时 f (m ) f (n ) < 0 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或 n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m , n )内，从而可以求出参数的值．如 方 程 mx 2-(m + 2) x + 2 = 0 在 区 间 (1, 3)上 有 一 根 ， 因 为f (1) = 0， 所 以mx 2 -(m + 2) x + 2 = ( x -1)(mx - 2) ，另一根为 2 ，由1 < < 3 得 < m < 2 即为所求；m m 3 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间(m , n )内，即∆ = 0 ，此时由∆ = 0 可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程 x 2 - 4mx + 2m + 6 = 0 有且一根在区间(-3, 0) 内，求 m 的取值范围．分析：①由f (-3) f (0) < 0 即 (14m +15)(m + 3) < 0 得 出 -3 < m < -1514； ② 由 ∆ = 0 即 16m 2 - 4(2m + 6) = 0 得出m = -1或 m = 3，当m = -1时，根 x = -2 ∈(-3, 0) ，即 m = -1满足题2意；当 m = 3 时，根 x = 3∉(-3, 0) ，故 m = 3 不满足题意；综上分析，得出 -3 < m < - 15或 m = -12 2 14 四、函数的图像 （一）、画图像的方法——描点法和图象变换法；由函数解析式，用描点法作图像应①化简解析式；②分析函数的性质如：分布范围、变化趋势、 对称性、周期性等；③选算对应值，列表，描点，连线．（二）、常见的图象变换有：平移、伸缩、对称、旋转等． 1、平移变换< = < y = f ( x ) −a −>−0,−右−移−→ a < 0, 左移y = f ( x - a ) ；y = f ( x ) −b −>−0,−上−移−→y = f ( x ) + b ； b < 0,下移2、 伸缩变换：y = f ( x ) −0−<−ω−< 1−, 伸−（−横−向−）→ y = f (ωx ); ω> 1, 缩（横向）y = f ( x ) −0−<−A −< 1−, 缩−（−纵−向−）→ y = Af (x ) ． A > 1, 伸（纵向）【教学建议】在讲解平移与伸缩变换时，可举三角函数的图像变换实例予以说明．3、对称变换：（1） y = f ( x ) −−x 轴−→ y = - f ( x ) （即把( x , y ) 换成( x , - y ) ）； 对称 （2） y = f ( x ) −−y 轴−→ y = f (-x ) （即把( x , y ) 换成(-x , y )）； 对称（3） y = f ( x ) −直−线−x −=−a → y = f (2a - x ) （即把( x , y ) 换成(2a - x , y )）； 对称 （4） y = f ( x ) −原−点−→ y = - f (-x ) （即把( x , y ) 换成(-x , - y )）； 对称（5） y = f ( x )−直−线−y −=−x → y = f -1 ( x ) （即把( x , y ) 换成( y , x )）； 对称（6） y = f ( x )−保−留−y −轴−右−边−图−像，−去−掉−y −轴−左−边−图−像−→ y = f ( x )；并作关于y 轴对称图像【教学建议】可先分析函数 y = f ( x )的奇偶性，易知其为偶函数，即图像关于 y 轴对称，再对函 数 y = f ( x ) 分段，发现当 x ≥ 0 时其 y = f ( x )= f ( x ) ，从而易得图像的画法如上所述．（7） y = f ( x ) −−−保−留−x −轴−上−方图−像−−−→ y = 把下方图像对称到x 轴上方f ( x ) ；*（8） y = f ( x ) −如−何−变−换−?−→ y = 方法一：f (| x + a |)y = f ( x ) −a −>−0,−左−移−→ y = f ( x +a ) −保−留−x −=−a 右−边−图−像−，−去−掉−x =−a −左−边−图−像−→ y = f (| x + a |)a 0, 右移 并作关于x a 对称图像 方法二：y = f ( x ) −保−留−y −轴−右−边−图−像，−去−掉−y −轴−左−边−图−像−→ y = f ( x ) −a −>−0,−左−移−→ y = f (| x + a |) *（9） 并作关于y 轴对称图像a < 0, 右移 y = f ( x ) −如−何−变−换−?−→ y = f (| x | + a )y = f ( x ) −a −>−0,−左−移−→ y = f ( x +a ) −保−留−y −轴−右−边−图−像，−去−掉−y −轴−左−边−图−像−→ y = f (| x + a |)a 0, 右移 并作关于y 轴对称图像【教学建议】（8）（9）两条变换是难点，也是重点分析内容，可举实例让学生自主探索，（如f ( x ) = x 2 - 4x - 5 ，画出 y = f ( x ) ， y = f ( x +1)， y = f ( x + 1 ) ， y = f ( x + 1) 等图像比较并自行探索分析）教师再总结归纳，综合例题巩固（如例 1（4，6）与其同类变,3,4，5），让学生加深印象．五、函数的周期性与对称性（一）、周期性1、定义：对于 f ( x ) 定义域内的每一个 x ，都存在非零常数T ，使得 f ( x + T ) = f ( x ) 恒成立， 则称函数 f ( x ) 具有周期性，T 叫做 f ( x ) 的一个周期，则 kT (k ∈ Z , k ≠ 0) 也是 f ( x ) 的周期，所有周期中的最小正数叫最小正周期．1、函数自身的对称性 （1） 轴对称若函数 f ( x ) 满足 f (x + a ) = f (b - x ) ，则 f ( x ) 的图像关于直线 x = a + b对称；2（由“ x 的和一半 x =(a + x ) + (b - x ) ”确定）．2特例：若函数 f ( x ) 满足 f ( x + a ) = f (a - x ) ，则 f ( x ) 的图像关于直线 x = a 对称；若函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = f (-x ) ，则 f ( x ) 的图像关于直线 x = 0 （ y 轴）对称；（2） 中心对称若函数 f ( x ) 满足 f ( x + a ) = - f (b - x ) ，则 f ( x ) 的图像关于点⎛ a + b , 0 ⎫对称；2 ⎪ ⎝ ⎭特例：若函数 f ( x ) 满足 f ( x + a ) = - f (a - x ) ，则 f ( x ) 的图像关于点(a , 0) 对称；若函数 f ( x ) 满足 f ( x ) = - f (-x ) ，则 f ( x ) 的图像关于点(0, 0) （即原点）对称；*拓展：若函数 f ( x ) 满足 f ( x + a ) + f (b - x ) = c ，则 f ( x ) 的图像关于点⎛ a + b , c ⎫对称； 22⎪⎝⎭综上：可以看出“内同则周期，内反则对称” ． 2、不同函数之间的对称性 （1） 轴对称函数 y = f (a + x ), y = f (b - x ) 的图像关于直线 x = b - a 对称（由相等求出 x 即 a + x = b - x2决定）．特例：函数 y = f (a + x ), y = f (a - x ) 的图像关于直线 x = 0 对称．（2） 中心对称函数 y = f (a + x ), y = - f (b - x ) 的图像关于⎛ b - a , 0⎫对称（由相等求出 x 即 a + x = b - x2⎪ ⎝ ⎭决定）．（三）对称性与周期性（1） 若 y = T = 2 a - b ；f ( x ) 的图像关于直线 x = a 、 x = b (a ≠ b ) 对称，则 f ( x ) 是周期函数，且周期特例：若 y = f ( x ) 是偶函数且其图像关于直线 x = a 对称，则周期T = 2 a ；（2） 若 y = （3） 若 y =f ( x ) 关于点(a , 0)、(b , 0) 对称，则 f ( x ) 是周期函数，且周期T = 2 a - b ； f ( x ) 的图像关于直线 x = a 、对称中心(b , 0)(a ≠ b ) 对称，则 f ( x ) 是周期函数，且周期T = 4 a - b ；特例：若 y = f ( x ) 是奇函数且其图像关于直线 x = a 对称，则周期T = 4 a综上：若函数的图像同时具备两种对称性，两条对称轴，或两个对称中心，或一条对称轴一个对称中心，则函数必定为周期函数． 【教学建议】以上的知识讲解比较抽象，建议一边利用抽象函数取相关点分析、证明，一边举实例予以说明， 如在讲解“三、对称性与周期性”时可举 y = sin x 函数的对称性验证说明： 其图像关于 x = π， x = 3π对称，则周期T = 2 ⎛ 3π- π⎫ = 2π；图像关于(0, 0),(π, 0)对称，则 2 2 2 2 ⎪ ⎝ ⎭周期T = 2(π- 0) = 2π；图像关于(0, 0), x = π对称，则周期T = 4 ⋅π= 2π22一、二次函数图像和性质 【例 1】设函数 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ,对任意实数t 都有 f (2 + t ) = f (-1), f (1), f (2), f (5) 中,最小的一个不可能是 ．【例 2】求函数 y ＝|x 2＋2x －3|的增区间与减区间．f (2 - t ) 成立,则函数值【例 3】函数 f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2 在[－1，＋∞]上是增函数，求实数 a 的取值范围．例题解析【例4】已知a 为实数，试求函数 f (x) =x2+x -a + 1 的最小值．⎧⎪ax2+2x+1,x≥0,【例5】已知函数f (x) =⎨⎪⎩-x2+bx+c,x<0是偶函数，直线y =t 与函数f ( x) 的图像自左至右依次交于四个不同点A 、B 、C 、D ，若| AB |=| BC | ，则实数t 的值为．【例6】已知二次函数f(x)=ax2+bx，且f(x+1)为偶函数，定义：满足f(x)=x 的实数x 称为函数f(x) 的不动点，若函数f(x)有且仅有一个不动点，（1）求f(x)的解析式；（2）若函数g(x)= f(x)+ kx+1x2在(0，2 3]上是单调减函数，求实数k 的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在区间[m，n](m<n)，使得f(x)在区间[m，n]上的值域为[km，kn]？若存在，请求出区间[m，n]；若不存在，请说明理由．【巩固训练】1．（1）已知二次函数g(x)满足g(1)=1，g(-1)=5，图像过原点，求g(x)；（2）已知二次函数h(x) 与x 轴的两交点为(-2, 0) ，(3, 0) ，且h(0) =-3 ，求h(x) ；（3）已知二次函数F (x) ，其图像的顶点是(-1, 2) ，且经过原点，求F (x) .62.已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3 的抛物线，试比较大小：（1）f(6)与f(4) (2)f(2)与f( 15)3．已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) （）A．在区间(-1，0)内是减函数B．在区间(0，1)内是减函数C．在区间(-2，0)内是增函数D．在区间(0，2)内是增函数4.已知不等式a ≤3x2 - 3x + 4 ≤b 的解集为[a, b] ，则a +b 的值为．45.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2 月1 日起的300 天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图a 表示的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图b 表示的抛物线段表示（1）写出图（a）表示市场售价与时间的函数关系式P=f(t)；（2）写出图(b)表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g(t)（3）认定市场售价减去种植成本为纯收益，那么何时上市的西红柿纯收益最大？5．设函数f (x) =形区域，则a 的值为．(a < 0) 的定义域为D ，若所有点(s, f (t))(s, t ∈D) 构成一个正方ax2 +bx +c1 2 1二、一元二次方程根的分布【例 7】已知实系数一元二次方程 x 2 + (1 + a )x + a + b + 1 = 0 的两个实根为 x ， x 且0 < x< 1 ，x > 1，则 b的取值范围是（ ） 2a 121A ． (-1,- 1 ) 2B ． (-1,- 1]2C ． (-2,- 1]2 D ． (-2,- 1)2【例 8】已知 f (x ) =| x 2 - 1 | + x 2 + kx ．（1）若k = 2 ，求方程 f ( x ) = 0 的解；（2）若关于 x 的方程 f ( x ) = 0 在(0,2) 上有两个解 x 1 ， x 2 ，求 k 的取值范围．【例 9】设关于 x 的方程 4x 2-4(m+n)x+m 2+n 2=0 有一个实根大于-1，另一个实根小于-1，则 m,n 必须满足的关系是 ．【例 10】设二次函数 f ( x ) = ax 2 + bx + c (a > 0) ，方程 f ( x ) - x = 0 的两个根 x, x 满足0 < x 1 < x 2 < a．（1）当 x ∈(0, x 1 ) 时，证明 x < f ( x ) < x 1 ；（2）设函数 f ( x ) 的图像关于直线 x = x 0 对称，证明 x < x1 ． 0 2【例11】已知函数f (x)=kx2+x +k 有两个不同的零点，且一个零点在区间(0,1)内，另一个在区间(1,3)，求k 的取值范围．【例12】已知m、n、α、β∈ R,m <n,α<β，若α、β是函数f ( x) = 2( x-m)( x-n) - 7 的零点，则m、n、α、β四个数按从小到大的顺序是．（用符号“<”连接起来）【巩固训练】1.已知函数f (x) =-x 2+ax +b(a, b∈R) 的值域为(-∞,0] ，若关于x 的不等式f ( x) >c -1 的解集为(m - 4, m + 1) ，则实数c 的值为．2.对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0，则称x0 是f（x）的一个不动点，已知f（x）=x2+ax+4 在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围．3.已知关于x 的一元二次方程：x2–kx+2k–3=0 有两个实数根．(1)若两个根满足：一个根大于1，另一个根小于1，求实数k 的取值范围；(2)求方程的两个实数根的平方和的最小值，并写出此时实数k 的值．4．已知函数 f (x ) = 3x 2+ ( p + 2)x + 3 ， p 为实数．（1） 若函数 y = f ( x ) 是偶函数，试求函数 f ( x ) 在区间[-1, 3] 上的值域； （2） 已知α：函数 f ( x ) 在区间[-1, +∞) 上是增函数， β：方程 f ( x ) = p 有小于-2 的实根．试 2问：α是β的什么条件（指出充分性和必要性）？请说明理由．三、恒成立及有解问题【例 13】已知函数 y = f (x ) =x 2+ 3x + 2a, xx ∈[2, +∞) ． （1） 当 a = 1时，求函数 f (x ) 的最小值；2 （2） 若对任意x ∈[2, +∞), f (x ) > 0 恒成立，求实数 a 的取值范围．【例 14】若关于 x 的方程 2 x 2 - x + 2 + a = 0 有解，则实数a 的取值范围是 ．【例 15】已知 k ∈ N ， k 为常数，方程 x 2 -(4k + a ) x + 4k 2 = 0 在区间(2k -1, 2k +1]上有两个不等的实根，求 a 的范围．【例16】已知函数f (x) =x 2- 1 ，g ( x) =a | x - 1 | ．(1)若关于x 的方程| f ( x) |=g (x) 只有一个实数解，求实数a 的取值范围；(2)若当x ∈R 时，不等式f ( x) ≥g (x) 恒函数成立，求实数a 的取值范围；(3)求函数h( x) =| f ( x) | +g ( x) 在区间[-2,2]上的最大值（直．接．写．出．结．果．，不．需．给．出．演．算．步．骤．）．【巩固训练】1.已知f ( x) =x | x - 6 | -m 有三个不同零点，则实数m∈．2.已知关于x 的方程x2 - 6x + 5 =a 有四个不相等的实数根，则a 的取值范围是．3.若关于x 的不等式x -1 >x2+a 仅有负数解，则实数a 的取值范围是．四、函数图像变换【例16】分别画出以下函数的图像：（1）y = 2 - x（2）y = - 2- x1（3）y = - 2 - x1（4）y = lg(1-x)（5）y = 2 x - 1 （6）y =-x + 2⎪ 【例 17】分别画出以下函数的图像：（1） y =| x - x 2| （4） y = lg | x -1|（2） y = x 2- | x | （5） y = (x -1)-2+ 3（3） y =| x 2+ 2x | -3 （6） y = lg ( x - 2)2【例 18】用min (a , b ) 表示 a , b 两数中的最小值，若函数 f ( x ) = min{ x , x + t }的图像关于直线x = - 1对称，则t 的值为（ ）2A 、 -2B 、2C 、 -1D 、1⎧ lg x , 0 < x ≤ 10, 【例 19】已知函数 f ( x ) = ，若a , b , c 互不相等，且 f (a ) = f (b ) = f (c ) ，⎨- 1x + 6, x > 10⎩⎪ 2则abc 的取值范围是（）A 、(1,10)B 、(5, 6)C 、(10,12)D 、(20, 24)【例 20】已知 且 ,函数在区间上既是奇函数又是增函数,则函数的图象是（）1 1 1 1【巩固训练】 1. 函数 y =| x 2 + 2x | -3 与函数 y = a 交点的个数可能为．2. 若直线y = 2a 与函数 y = a x-1 (a ＞0，a ≠ 1) 的图像有两个公共点，则a 的取值范围是．3．方程lg(x -100)2= 7- (| x | -200)(| x | -202) 的解的个数为（）2（A ）2（B ）4（C ）6（D ）84 ． 已知函数 f ( x ) = lg | x -1| ， 若 x 1 < x 2 < x 3 < x 4 ， 且 f (x 1 ) = f (x 2 ) = f (x 3 ) = f (x 4 ) ， 则+ + + = ．x 1 x 2 x 3 x 4五、函数的周期性与对称性【例 21】定义在 R 上的函数 f (x + 2)+ f (x )= 0 ，且 y = f (x -1)是奇函数，给出下列命题：①函【例 22】设 y = f ( x ) 的定义域为 R ，且 y = f (2x + 1) 为偶函数，则 y = 2f (2 x ) 图像关于对称， y = f ( x ) 关于对称．【例 23】已知函数 y = f ( x ) 对一切实数 x 满足 f (2 - x ) = f (4 + x ) ，且方程 f ( x ) = 0 有 5 个实根， 则这 5 个实根之和为（ ）A 、5B 、10C 、15D 、18⎩ 【例 24】在 R 上定义的函数 f (x ) 是偶函数，且 f (x ) = f (2 - x ) .若 f (x ) 在区间[1, 2] 上是减函数，则 f (x ) ( )A. 在区间[-2, -1] 上是增函数，在区间[3, 4] 上是增函数B. 在区间[-2, -1] 上是增函数，在区间[3, 4] 上是减函数C. 在区间[-2, -1] 上是减函数，在区间[3, 4] 上是增函数D. 在区间[-2, -1] 上是减函数，在区间[3, 4] 上是减函数【例 25】定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (x ) = ⎧log 2 (1- x ), x ≤ 0，则 f (2014 ) 的值为．⎨f (x -1) - f (x - 2), x > 0【例 26】设 g ( x ) 是定义在 R 上，以周期为 1 的函数，若函数 f ( x ) = x + g ( x ) 在区间[3, 4] 上的值域为[-2,5] ，则 f ( x ) 在区间[-10,10] 上的值域为．【 例 27 】 f (x ) 为 R 上的偶函数, g (x ) 为 R 上的奇函数且过 (-1,3) , g (x ) =f (x - 1) , 则f (2012) + f (2013) =．【巩固训练】1. 对于定义在 R 上的函数 f (x ) ，有下述命题：①若 f (x ) 是奇函数，则 f ( x - 1) 的图像关于点 A （1，0）对称； ②若函数 f ( x - 1) 的图像关于直线 x = 1对称，则 f (x ) 为偶函数； ③若对 x ∈ R ，有 f (x - 1) = - f (x ),则2 是 f (x ) 的一个周期； ④函数 y = f (x -1)与y = f (1 - x ) 的图像关于直线 x = 1 对称． 其中正确的命题是 .（写出所有正确命题的序号）．2. 设函数 y =f ( x ) 的定义域为 R ，则下列命题中，①若 y = f ( x ) 是偶函数，则 y = f ( x + 2) 图像关于 y 轴对称； ② 若 y = f ( x + 2) 是偶函数， 则 y = f ( x ) 图像关于直线 x = 2 对称； ③ 若 f ( x - 2) = f (2 - x ) ，则函数 y = f ( x ) 图像关于直线 x = 2 对称；④ y = f ( x - 2) 与 y = f (2 - x ) 图像关于直线 x = 2 对称，其中正确命题序号为 ．反思总结课后练习3.已知函数 f (x ) = 14 - 2 x的图像关于点 P 对称，则点 P 的坐标是（ ）（A ） (2, 1 ) 2 （B ） (2, 1 ) 4 （C ） (2, 1) 8（D ） (0, 0)4. 已知函数 f (x ) 的图像关于直线 x = 2 和 x = 4 都对称，且当0 ≤ x ≤ 1时， f( x ) = x ．求 f (19.5)的值．5. ． 已知定义在 R 上的奇函数 f (x ) , 满足 f (x - 4) = - f (x ) , 且在区间[0,2] 上是增函数, 若函数F (x ) = f (x ) - m (m > 0) 在 区 间 [- 8,8] 上 有 四 个 不 同 的 零 点 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , 则 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = .1、研究二次函数问题牢牢抓住“三根主心骨”：开口，对称轴，判别式；2、最值问题四大类：定轴定区间、定轴动区间、动轴定区间、动轴动区间；3、根的分布问题额外讨论区间端点的正负号；4、函数图像是高考的必考内容，其中包括作图、识图、用图．作图一般有两种方法：描点法、图像变换法．图像变换法中，有平移变换、对称变换和伸缩变换，要记住它们的变换规律．利用描点法作函数图像其基本步骤是①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)；⑤描点，连线．识图时，要留意它们的变化趋势，以及坐标轴的交点及一些特殊点.特别是对称性、周期性等图 形特点，应引起足够的重视．用图，主要是数形结合思想的应用．1.函数f(x)= x2+2(a－1)x+2 在区间(－∞,4)上递减,则a 的取值范围是（）A. [-3, +∞)B. (-∞, -3]C. (－∞,5)D. [3, +∞)2.若函数y =f ( x -1) 是偶函数，则y =f ( x) 的图象关于直线对称．3.已知函数f (x) = 2ax 2 + 4(a -3)x + 5 在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是．4.设f ( x) 是定义在R 上的以3 为周期的函数，若f (-1) >1, f (2) =2a -3，则实数a 的取值范围a +1是．5．方程lg x2 = 4 -(| x | -200)(| x | -202) 的解的个数为（）（A）2 (B）4 （C）6 （D）86.如果实数x、y 满足x + y = 4 ，则x 2 + y 2的最小值是（）A. 4.B. 6.C. 8 .D. 10 .7.函数y = f ( x) 的图象沿x 轴正方向平移2 个单位，得图象c1 ，图象c1 关于y 轴对称图象为c2 ，那么c2对应的函数解析式是．8.定义在R 上的函数f ( x) 既是奇函数，又是周期函数，T 是它的一个正周期.若将方程f ( x) = 0在闭区间[-T ,T ]上的根的个数记为n ，则n 至少为．9.定义域和值域均为[-a, a]（常数a > 0 ）的函数y =列四个命题：（1）方程f[g(x)]= 0 有且仅有三个解；（2）方程g[f(x)]= 0 有且仅有三个解；（3）方程f[f(x)]= 0 有且仅有九个解；（4）方程g[g(x)]=0 有且仅有一个解．那么，其中正确命题的个数是（）f (x)和y =g(x)的图像如图所示，给出下（A）1 （B）2 （C）3 （D）4⎩ 12 ⎧x +1, x ∈[-1, 0), 7.已知 f (x ) = ⎨x 2 +1, x ∈[0,1],则下列函数的图像错误的是（ ）(A) f ( x - 1) 的图像 (B) f (- x ) 的图像 (C) f (| x |) 的图像 (D) | f ( x ) |的图像8. 已知二次函数 f (x ) = ax 2 + bx 满足 f (2) = 0 且方程 f ( x ) = x 有等根．（1）求 f ( x ) 的解析式；（2）问是否存在实数m , n (m < n ) 使 f ( x ) 的定义域为[m , n ] ，值域为[2m ,2n ] ．如存在，求出m , n 的值，若不存在说明理由．9. 已知函数 f (x ) = x 2 - kx + 2k - 3 有两个实数零点 x , x ，求这两个零点的平方和的最小值．10. 已知 a 为实数，函数 f ( x ) = 2x 2 + ( x - a ) x - a ．⑴若 f (0) ≥ 1，求 a 的取值范围；⑵求 f ( x ) 的最小值．11.已知函数f (x) =m(x +1) 的图象与函数h(x) =1(x +1) + 2 的图象关于点A(0,1) 对称．x 4 x（1）求m 的值；（2）若g(x) =f (x) + a在(0, 2]上为减函数，求a 的取值范围．4x12.如果定义域D 为函数f (x)同时满足以下两个条件：① f (x)在D 上是单调函数；②存在区间[a, b]⊆D ，使得f (x)在[a, b]上的值域也是[a, b]。
word完整版二次函数图像以及性质完整归纳,文档
适用标准文档二次函数的图像与性质一、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式： y ax 2的性质：a 的符号张口方向极点坐标 对称轴性质0，0 x 0时，y 随x 的增大而增大；x0时，y 随向上y 轴x0时，y 有最小值0．x 的增大而减小；a0，0 x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随向下 y 轴x0时，y 有最大值0．x 的增大而增大；的绝对值越大，抛物线的张口越小。
yax 2c 的性质：上加下减。
a 的符号 张口方向 极点坐标 对称轴 性质a0，c x 0时，y 随x 的增大而增大；x0时，y 随向上y 轴x0时，y 有最小值c ．x 的增大而减小；a 00，c x 0时，y 随x 的增大而减小；x 0时，y 随向下y 轴x0时，y 有最大值c ．x 的增大而增大；3.yax 2h 的性质：左加右减。
a 的符号 张口方向 极点坐标 对称轴 性质a 0 向上 h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而增大； xh 时，y随x 的增大而减小； x h 时，y 有最小值0．a 0 向下 h ，0 X=h x h 时，y 随x 的增大而减小； xh 时，y随x 的增大而增大； x h 时，y 有最大值0．4.yax 2hk 的性质：a 的符号 张口方向 极点坐标 对称轴性质a0h，k xh时，y随x的增大而增大；xh时，y向上X=hx h时，y有最小值k．随x的增大而减小；a0h，k xh时，y随x的增大而减小；xh时，y向下X=hx h时，y有最大值k．随x的增大而增大；文案大全适用标准文档二、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一：⑴将抛物线分析式转变为极点式yaxh 2h ，k ；k ，确立其极点坐标 ⑵保持抛物线yax 2的形状不变，将其极点平移到h ，k 处，详细平移方法以下：向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax 2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】 向右(h>0) 【或左(h<0) 】平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k平移规律在原有函数的基础上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 ”．归纳成八个字“左加右减，上加下减” ．方法二：⑴y ax 2 bx c 沿y 轴平移:向上（下）平移 m 个单位，y ax 2 bx c 变为yax 2 bx c m （或y ax 2 bx cm ）⑵y ax 2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，yax 2 bx c 变为ya(x m)2 b(x m) c （或y a(x m)2 b(x m) c ）三、二次函数yax h 2k 与y2bx c 的比较ax从分析式上看， y a x 2k 与y ax 2 bxc 是两种不一样的表达形式，后者经过配hb 24ac b 2b，k4ac b 2方能够获得前者，即y a x，此中h ．2a4a2a4a四、二次函数yax 2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax 2 bx c 化为极点式y a(x h)2k ，确立其张口方向、对称轴及极点坐标，而后在对称轴双侧，左右对称地描点绘图.一般我们选用的五点为：极点、与 y 轴的交点0，c 、以及 0，c 对于对称轴对称的点 2h ，c 、与x 轴的交点x 1，0 ，x 2，0（若与x 轴没有交点，则取两组对于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：张口方向，对称轴，极点，与 x 轴的交点，与y 轴的交点.文案大全五、二次函数yax2bxc的性质1.当a0时，抛物线张口向上，对称轴为x b，极点坐标为b，4ac b2．2a2a4a当x b时，y随x的增大而减小；当x b时，y随x的增大而增大；当x b 2a2a2a 2时，y有最小值4acb．4a2.当a0时，抛物线张口向下，对称轴为x b，极点坐标为b，4ac b2．当2a2a4ax b时，y随x的增大而增大；当xb时，y随x的增大而减小；当x b时，y 2a2a2a 2有最大值4ac b．4a六、二次函数分析式的表示方法1.一般式：y ax2bxc（a，b，c为常数，a0）；2.极点式：y a(x h)2k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式：y a(x x1)(x x2)（a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的分析式都能够化成一般式或极点式，但并不是全部的二次函数都能够写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b24ac0时，抛物线的分析式才能够用交点式表示．二次函数分析式的这三种形式能够互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，明显a0．⑴当a0时，抛物线张口向上，a的值越大，张口越小，反之a的值越小，张口越大；⑵当a0时，抛物线张口向下，a的值越小，张口越小，反之a的值越大，张口越大．总结起来，a决定了抛物线张口的大小和方向，a的正负决定张口方向，a的大小决定张口的大小．一次项系数b在二次项系数a确立的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴左边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的右边．2a文案大全⑵在a0的前提下，结论恰好与上述相反，即当b0时，b0，即抛物线的对称轴在y轴右边；2a当b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y轴；2a当b0时，b0，即抛物线对称轴在y轴的左边．2a总结起来，在a确立的前提下，b决定了抛物线对称轴的地点．ab的符号的判断：对称轴xb0，在y轴左边则ab0，在y轴的右边则ab2a归纳的说就是“左同右异”总结：常数项c⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的地点．总之，只需a，b，c都确立，那么这条抛物线就是独一确立的．二次函数分析式确实定：依据已知条件确立二次函数分析式，往常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的分析式一定依据题目的特色，选择适合的形式，才能使解题简易．一般来说，有以下几种状况：已知抛物线上三点的坐标，一般采用一般式；已知抛物线极点或对称轴或最大（小）值，一般采用极点式；已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般采用两根式；已知抛物线上纵坐标同样的两点，常采用极点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种状况，能够用一般式或极点式表达对于x轴对称y ax2bx c对于x轴对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y a x h 2yax h2 k对于x轴对称后，获得的分析式是k；对于y轴对称y ax2bx c对于y轴对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y a x h 2y ax h2 k对于y轴对称后，获得的分析式是k；文案大全适用标准文档对于原点对称y ax2bx c对于原点对称后，获得的分析式是y ax2bx c；y ax h 2y a x h2k；k对于原点对称后，获得的分析式是4.对于极点对称（即：抛物线绕极点旋转180°）y ax2bx c对于极点对称后，获得的分析式是y ax2bx c b2；2ay ax h 2y a x h2k．k对于极点对称后，获得的分析式是5.对于点m，n对称y ax h 2y a x h22nk k对于点m，n对称后，获得的分析式是2m依据对称的性质，明显不论作何种对称变换，抛物线的形状必定不会发生变化，所以a永久不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，能够依照题意或方便运算的原则，选择适合的形式，习惯上是先确立原抛物线（或表达式已知的抛物线）的极点坐标及张口方向，再确定其对称抛物线的极点坐标及张口方向，而后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参照：y=2x 2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2y=x2y=2x2y=2(x-4)2x2十y=2y=2(x-4)2-3一、y=2x2+2y=2x2y=2x2-4x2y=-2y=-x2y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2y=-2x2文案大全适用标准文档【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法【例1】求作函数y1x24x6的图象1x221(x2【解】y4x68x12)22 1[(x24)2-4]1(x24)2-222以x4为中间值，取x的一些值，列表以下：x-7-6-5-4-3-2-1y 53-2352222【例2】求作函数y x24x3的图象。
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二次函数一般形式是__y_=_a_x_2_＋__b_x_＋__c_(a_≠_0_)__,
它的图象是___抛_物__线______，化为顶点式是
___y___a__x___2_ba___2 __4__a_c4_a__b_2
对称轴是_直 ___线 ___x_______2b_a___，
二次函数图象有如下规律： 1、二次函数y= ax2+bx+c的图象是__抛__物__线___， 这条抛物线的形状(开口方向、开口大小) 是由_二__次__项__系_数__a__决定的。
a相同 抛物线的形状相同 a>0 开口向上 a<0 开口向下
|a|越大，开口越窄
二次函数图象有如下规律： 2、抛物线y= ax2+bx+c与y轴的交点的位置 是由__常__数__项__c__决定的。
顶点坐标是_____2b_a__,__4_a__c4_ a。
b2
练习：函数y=2x2+4x-6的开口方向_向__上__;
对称轴是__直_线__x_=_-_1__；顶点坐标是_(_-_1_,-_8_)__; 与x轴的交点坐标为_(_-3_,_0_)_与_(_1_,_0_) _,与y轴的交 点坐标为_(_0_，_-_6_)_.
c=0 抛物线经过原点； c>0 抛物线交y轴的正半轴； c<0 抛物线交y轴的负半轴；
二次函数图象有如下规律： 3、抛物线y= ax2+bx+c的对称轴的位置是由 ___a_和_b__共_同___决定的。
考察x=- _b_ ，可得“左同右异”； 2a
b=0 抛物线的对称轴是y轴。 a,b同号 抛物线的对称轴在y轴左侧； a,b异号 抛物线的对称轴在y轴右侧；
(1)a__>_0; b__>_0; c_<__0; (1) y
(2) y
(2)a__>_0; b__<_0; c__=_0;
Ox
O
x
(3) y
(3)a__>_0; b_<__0; c__>_0;
(4) y Ox
(4)a_<__0; b__>_0; c__<_0;
O
x
(5) y
(5)a__<_0; b__=_0; c__>_0;
总结1：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定
与y轴的正半轴相交
c>0
与y轴的负半轴相交
c<0
经过坐标原点
c=0
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定
对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧
b=0 抛物线的对称轴是y轴。 a,b同号 抛物线的对称轴在y轴左侧；
a,b异号 抛物线的对称轴在y轴右侧；
(ab<0)
二次函数图象有如下规律：
1、抛物线的形状由a决定.
a相同 抛物线的形状相同
a>0 开口向上 a<0 开口向下
2、抛物线y= ax2+bx+c与y轴的交点的位置 由c决定.
c=0 抛物线经过原点； c>0 抛物线交y轴的正半轴； c<0 抛物线交y轴的负半轴；
3、考察x=- _b_ ，可得“左同右异”； 2a
6.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示， 判断下列各式的符号：
(1)a; (2)b; (3)c; (4)a+b+c;
(5)a-b+c; (6)2a+b; (7)2a-b
y
-1
0
1
x
7、已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所 示，根据图象回答问题：
(1)抛物线的对称轴是________;
a、b异号
对称轴是y轴
b=0
1、 已知抛物线y= ax2+bx+c如图， y 试确定a、b、c，并说明理由。
解：∵抛物线的开口向下 ∴a<0
o
x
∵抛物线交y轴于正半轴
∴c＞0
又∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，即- b <0
∴a,b同号 又∵a<0，∴b<0
2a
2、判断下列各图中的a、b、c及△的符号
Ox
3、二次函数y= ax2+bx+c中，a>0，b>0，c=0，
则其图象的顶点坐标在( C )
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
4、二次函数y= ax2+bx+c和一次函数y=ax+b的
图象在同一坐标系内大致图象是( C )
y
y
y
y
Ox
O
x
O
x
O
x
A
B
C
D
5、二次函数y=ax2+bx+c的图象经过原点和 第一、第二、第三象限，则有( B ) A、a>0,b<0, c=0 B、a>0,b>0, c=0 C、a<0,b>0, c=0 D、a>0,b<0, c=0
(2)x______时，y随x的增大而减小。
y
(3)x______时，y＜0？
(4)x______时，y＞0？
0
-1
5
x
6 、已知二次函数y= x2+(2m-1)x+m2.
(1)当m__=___41__时，顶点在 x轴上； (2)当m__=__21___时，顶点在 y轴上；(b=0) (3)当m__=_0__时，图象过原点。 (c=0) (4)当m__>___21__时，图象的对称轴在y轴的左侧。