8知识讲解_《空间几何体》全章复习与巩固(提高)

空间几何体结构及其三视图

【学习目标】

（1）认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

（2）能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图表示的立体模型，会用材料(如纸板)制作模型，并会用斜二测法画出它们的直观图.

（3）通过观察用平行投影与中心投影这两种方法画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.

（4）了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.

【知识网络】

【要点梳理】

要点一．空间几何体的结构及其三视图和直观图

1．多面体的结构特征

（1）棱柱（以三棱柱为例）

如图：平面ABC与平面A1B1C1间的关系是平行，ΔABC

与ΔA1B1C1的关系是全等．

各侧棱之间的关系是：A1A∥B1B∥C1C，且A1A=B1B=C1C．

（2）棱锥（以四棱锥为例）

如图：一个面是四边形，四个侧面是有一个公共顶点的三

角形．

（3）棱台

棱台可以由棱锥截得，其方法是用平行于棱锥底面的平面截棱锥，截面和底面之间的部分为棱台．

2．旋转体的结构特征

旋转体都可以由平面图形旋转得到，画出旋转出下列几何体的平面图形及旋转轴．

要点二．空间几何体的三视图和直观图

1．空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是用正投影得到，在这种投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的开关和大小是完全相同的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．

2．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

（1）原图形中x轴．y轴．z轴两两垂直，直观图中，x’轴．y’轴的夹角为45o（或135o），z’轴与x’轴和y’轴所在平面垂直；

（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行、平行于x轴和z轴的线段长度在直观图不变，平行于y轴的线段长度在直观图中减半．

3．平行投影与中心投影

平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．

要点诠释：空间几何体的三视图和直观图在观察角度和投影效果上的区别是：（1）观察角度：三视图是从三个不同位置观察几何体而画出的图形；直观图是从某一点观察几何体而画出的图形；（2）投影效果：三视图是正投影下的平面图形，直观图是在平行投影下画出的空间图形．

要点三．空间几何体的表面积和体积

1．旋转体的表面积

名称图形表面积

圆柱S=2πr（r+l）

圆锥S=πr（r+l）

圆台

22()S r r r l rrl π''=+++

球

24S R π=

2．几何体的体积公式

（1）设棱（圆）柱的底面积为S ，高为h ，则体积V =Sh ； （2）设棱（圆）锥的底面积为S ，高为h ，则体积V =

1

3

Sh ； （3）设棱（圆）台的上．下底面积分别为S '，S ，高为h ，则体积V =13

（'

S 'S S S ）h ；

（4）设球半径为R ，则球的体积V =43

π3

R ． 要点诠释：

1．对于求一些不规则几何体的体积常用割补的方法，转化成已知体积公式的几何体进行解决．

2．重点掌握以三视图为命题背景，研究空间几何体的结构特征的题型．

3．要熟悉一些典型的几何体模型，如三棱柱、长（正）方体、三棱锥等几何体的三视图．

【典型例题】

类型一．空间几何体的结构特征

例1．若沿△ABC 三条边的中位线折起能拼成一个三棱锥，则△ABC （ ） A ．一定是等边三角形 B ．一定是锐角三角形 C ．可以是直角三角形 D ．可以是钝角三角形

【思路点拨】在三棱锥的展开图中：过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，其中∠3为底面三角形的内角，进而逐一分析△ABC为不同形状时沿△ABC三条边的中位线能否拼成一个三棱锥，最后结合讨论结果，可得答案．

【答案】B

【解析】在三棱锥的展开图中：

过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，

当△ABC为锐角三角形时，

三个顶点处均满足此条件，故能拼成一个三棱锥，

当△ABC为为直角三角形时，

在斜边中点E处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，

同理当△ABC为钝角三角形时，

在钝角所对边中点处不满足条件，故不能拼成一个三棱锥，

综上可得：△ABC一定是锐角三角形，

故选B．

【总结升华】本题考查的知识点是棱锥的结构特征，三角形形状的判断，其中正确理解：三棱锥的展开图中，过底面任意一个顶点的三个角，应满足∠1+∠2＞∠3，其中∠3为底面三角形的内角，是解答的关键．

举一反三：

【变式】如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD

为底面，则四边形EFGH的形状为（）

A．梯形B．平行四边形

C．可能是梯形也可能是平行四边形D．不确定

【思路点拨】根据平面ABFE∥平面DCGH和面面平行的限制定理得EF∥GH，再由FG∥EH得四边形EFGH为平行四边形

【答案】B

【解析】∵平面ABFE∥平面DCGH，

且平面EFGH分别截平面ABFE与平面DCGH得直线EF与GH，

∴EF∥GH．

同理，FG∥EH，

∴四边形EFGH为平行四边形．

故答案为B

例2．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是（）

A．该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体

B．该几何体有12条棱、6个顶点

C．该几何体有8个面，并且各面均为三角形

D．该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形

【思路点拨】根据几何体的直观图，得出该几何体的结构特征，由此判断选项A、B、C正确，选项D错误．

【答案】D

【解析】根据几何体的直观图，得

该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体，

且有棱MA、MB、MC、MD、AB、BC、CD、DA、NA、NB、NC和ND，共12条；

顶点是M、A、B、C、D和N共6个；

且有面MAB、面MBC、面MCD、面MDA、面NAB、面NBC、面NCD和面NDA共8个，且每个面都是三角形．

所以选项A、B、C正确，选项D错误．

故选D．