三角函数的图像与性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结

题型归纳及思路提示

题型1 已知函数解析式确定函数性质

【思路提示】一般所给函数为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)，A>0,ω>0,要根据 y ＝sin x ，y ＝cos x 的整体性质求解。

一、函数的奇偶性

例1 f (x )＝sin ()x ϕ+（0≤ϕ<π）是R 上的偶函数，则ϕ等于（ ）

A.0 B ．

4πC ．2

π

D ．π 【评注】由sin y x =是奇函数，cos y x =是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：sin()();

y A x k k Z ϕϕπ=+=∈(1)若是奇函数，则

sin()+

();

2

y A x k k Z π

ϕϕπ=+=∈(2)若是偶函数，则 cos()();

2

y A x k k Z π

ϕϕπ=+=+

∈(3)若是奇函数，则

cos()();

y A x k k Z ϕϕπ=+=∈(4)若是偶函数，则

tan()().2k y A x k Z π

ϕϕ=+=

∈(5)若是奇函数，则

.()sin ||a R f x x a a ∈=-变式1已知，函数为奇函数，则等于（ ）

A.0 B ．1 C ．1-D ．1

±

2.0()cos()()R f x x x R ϕϕϕ∈==+∈变式设，则“”是“为偶函数”的（ ）

A 充分不必要条件

B ．必要不充分条

C ．充要条件

D ．无关条件

3.()sin()0()f x x f x ωϕω=+>变式设，其中，则是偶函数的充要条件是（ ）

A.(0)1f =B ．(0)0f =C ．'(0)1f =D ．'(0)0

f =

2.()sin(2)()()2f x x x R f x π

=-∈例设，则是( )

A.π最小正周期为的奇函数B ．π最小正周期为的偶函数 C ．2π

最小正周期为

的奇函数D ．2π

最小正周期为的偶函数

2()sin 1()()f x x x R f x =-∈变式1.若，则是( )

A.π最小正周期为的奇函数 B ．π最小正周期为的偶函数 C ．π最小正周期为2的奇函数D ．π最小正周期为2的偶函数

2.(0,)2π

π变式下列函数中，既在递增，又是以为周期的偶函数的是( )

A.cos 2y x =B ．|sin 2|y x =C ．|cos 2|y x =D ．|sin |y x =

二、函数的周期性

3.sin(2)cos(2)66y x x ππ

=++例函数的最小正周期为( )

A.

2πB ．4π

C ．2π

D ．π

【评注】关于三角函数周期的几个重要结论：

sin()b,cos()b,tan()b

22,,.||||||

y A x y A x y A x ωϕωϕωϕπππ

ωωω=++=++=++(1)函数的周期分别为

|sin()|,|cos()|,|tan()|.||y A x y A x y A x πωϕωϕωϕω=+=+=+(2)函数的周期均为

2|sin()b |(b 0),|cos()b |(b 0).||y A x y A x π

ωϕωϕω=++≠=++≠(3)函数的周期均为

1.sin(2)cos(2)63y x x ππ

=+++变式函数的最小正周期和最大值分别为( )

A.,1πB

．π．2,1πD

．2π()sin (sin cos ),()f x x x x f x =-变式2.若则的最小正周期是________.

()sin 3|sin 3|()f x x x f x =+变式3.若则是( )

A.3

π

最小正周期为

的周期函数 B ．23

π

最小正周期为

的周期函数 C ．π最小正周期为2的周期函数D ．非周期函数

三、函数的单调性

.sin(2)([0,])6y x x π

π=-∈例4函数的递增区间是( )

A.[0,]3πB ．7[,]1212ππC ．5[,]36ππ

D ．5[,]6ππ

【评注】求三角函数的单调区间：

sin()(0,0)y A x A ωϕω=+>>若函数则

22()2

2

322()22

(3)sin()0,0sin()

sin()(4)cos()tan()k x k k Z k x k k Z y A x A y A x y A x y A x y A x π

π

πωϕπππ

πωϕπωϕωωϕωϕωϕωϕ-

≤+≤+

∈+≤+≤+∈=+><=---=--=+=+(1)函数的递增区间由决定；

(2)函数的递减区间由决定；

若函数中，可将函数变为则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间；

对于函数和单调性的讨论同上。

31.sin ()[()44y x f x f x ππ

=+-变式函数在,]内单调递增，则可以是( )

A.1B ．cos x C ．sin x D ．cos x

-

()sin()(0)(42f x x π

π

ωωπω=+>变式2.若在,)上单调递增，则的取值范围是（ ）

A.15[,]24B ．13[,]24C ．1

(0,]2D ．(0,2]

3.()cos()cos()(0)

33

(1)()(2)(),[0,]()22

f x x x x f x f x x f x ππ

ωωωωππ

=+++->∈变式已知函数求的值域；若的最小正周期为，的单调递减区间.

四、函数的对称性（对称轴、对称中心）

.sin(2)3y x π

=+例5函数图象的对称轴方程可能是( )

A.6x π=-B ．12x π=-C ．6x π=D ．12x π

=

【评注】关于三角函数对称性的几个重要结论：

sin (),(,0)();

2

cos (),(,0)();

2

tan (

,0)();2

2

sin()(),=

();

2

:y x x k k Z k k Z y x x k k Z k k Z k y x k Z k y A x b x k k Z x k Z x k π

πππ

πππ

π

πϕ

π

ωϕωϕπω

ωϕπ==+∈∈==∈+∈=∈+

-=+++=+∈∈+=(1)函数的对称轴为对称中心(2)函数的对称轴为对称中心(3)函数无对称轴，对称中心(4)函数的对称轴的求法：令得对称中心的求法令()=

(),(,)()cos()(),=();

22:()=(),(,)()

2k k k Z x k Z b k Z k y A x b x k k Z x k Z k k x k k Z x k Z b k Z πϕ

πϕ

ω

ω

πϕ

ωϕωϕπω

πππϕπϕπωϕπωω

--∈∈∈-=+++=∈∈+-+-+=+∈∈∈得对称中心为；

(5)函数的对称轴的求法：令得对称中心的求法令得对称中心为