圆的极坐标方程教学案例

师：在平面直角坐标系中，平面曲线C 可以用方程f (x ,y )=0表示，曲线与方程满足如下关系：

①曲线C 的点的坐标都是方程f (x ,y )=0 的解；

②以方程 f (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点．

师：那么，在极坐标系中，平面曲线是否可以用方程f (ρ,θ )=0表示呢？我们一起来探讨一下下面的问题。 探究：如图，半径为a 的圆的圆心坐标

为(a,0)(a>0)，你能用一个等式表示圆上任

意一点的极坐标(ρ,θ)满足的条件吗？

(多媒体演示,学生思考，互相讨论)

师：大家先回忆一下我们在直角坐标系

中求曲线方程的一般步骤。

生众：建系→设点→列式→化简→结论

师：其实，采用相同的办法，我们可以求极坐标系中曲线的方程。我们可以以点O 为极点，Ox 为极轴建立如右图所示的极坐标系，

设圆与极轴的另一个交点为A ，那么=||OA ？

生众：2a 师： 设),(θρM 为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则⊥OM ？ 生众：AM 师：在AMO RT ∆中，=||OM ？ ，即=ρ ？ 生众：ρ=||OM ，θθρcos 2cos a OA =⋅= ······①

师：注意，我们可以可以验证，点O （0,0） ，A （2a ，0） 的坐标满足等式①，也就是说等式①就是圆上任意一点的极坐标),(θρ满足的条件。，

师：像这样（1）曲线C 的点的极坐标都是方程f (ρ,θ )=0的解；

（2）以方程f (ρ,θ )=0的解为坐标的点都在曲线C 上． 那么方程f (ρ,θ )=0 叫做曲线C 的极坐标方程

【设计意图】由直角坐标系中求曲线的方程的一般步骤类比出求曲线的极坐标方程的一般步骤，从而得到如何求曲线极坐标方程的思路。由上述例子得到曲线的极坐标方程的定义，层层递进，有利于我们对知识点的理解。

（教师板书）

曲线的极坐标方程：一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程0),(=θρf ，并且坐标适合方程0),(=θρf 的点都在曲线C 上，那么方程0),(=θρf 叫做曲线C 的极坐标方程．

师：那么，在极坐标系中，求曲线的极坐标方程的一般步骤是什么？

生众：建系→设点→列式→化简→结论

师：很好。我们来看一下下面的例题。

3、例题讲解与练习

例1 已知圆O的半径为a (a>0)，建立怎样的极坐标系，可以使圆的极坐

标方程最简单？

生众：可以以圆心O为极点，建立极坐标系。

师：很好。那么，圆上的各点的几何特征是什么？

生众：它们的极径都等于半径r

师：很好，那我们一起来解这道题。

（教师板书演示）

解：以圆心O为极点，从O出发的一条射线为极轴建立坐标系，

设M（ρ，θ）为圆上任意一点，则ρ=a为所求圆的极坐标方程。

【设计意图】由圆心在某些特殊点的极坐标方程的探究到圆心在任意点的极坐标的方程的探究，由特殊过渡到一般，使学生明确曲线的极坐标方程的求解思路，能解答圆心在任意点的圆的极坐标方程。

师：那么，大家一起来动动手。

练习：在极坐标系中，求适合下列条件的圆的极坐标方程

圆的极坐标方程是高中选修4-4的的一个比较重要的知识点，在平时的测试或者高考中也时常会出现（主要是选做题部分），因此，这部分我们要掌握好在极坐标系中建立简单曲线（过极点或圆心在极点的圆）的方程，初步掌握求曲线的极坐标方程的方法和步骤，即求曲线的极坐标方程的一般步骤，能够熟练地进行圆的极坐标方程与直角坐标方程的转化。通过教学，使学生体会类比的思想、进一步认识数形结合的数学思想。从本节课的教学过程中，我看到了很多学生对于主要的知识点掌握还是比较好的，解题思路也比较清晰，但是，他们往往错在一些细节上，例如对于方程式的化简或者计算容易出错，计算能力还有待提高，缺少一些必要的文字叙述，解题格式不规范等。所以，在接下来的教学过程中，除了主要知识的学习，要不断提高学生的计算能力，规范他们的解题过程。