23 24直线的参数方程及渐开线与摆线 课件36974
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2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修4-4)
)
(A)直线经过点（7，-1） (B)直线的斜率为 3
4
(C)直线不过第二象限 (D)|t|是定点M0（3，-4）到该直线上对应点M的距离 【解析】选D.直线的普通方程为3x-4y-25=0,由普通方程可
知,A、B、C正确，由于参数方程不是标准式，
故|t|不具有上述几何意义，故选D.
x=6(cos+sin) 3.当φ =2π 时，圆的渐开线 上的点是( y=6(sin-cos)
答案:(x+1)2+y2=2
x=1-t 9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为 (t是参数)， y=2+t
直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，求|PQ|=_______.
【解析】
答案：
三、解答题（共40分）
x=-3+t 10.（12分）化直线l的参数方程 (t为参数)为普通方 y=1+ 3t
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
2 2
整理，得 t 2 -3 2t+4=0 .
由于Δ=( 3 2 )2-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
t1、t2，由根与系数的关系，得 又直线l过点
P(3,5)，故由上式及t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2= 3 2 .
y 2 ，过点P(2，1)的直线交双曲 12.（14分）已知双曲线 x - =1 2
AB的中点坐标为( (A)（3，-3） (C)（ 3，-3）
) (B)（- 3，3） (D)（3，- 3）
【解析】
1 x=1- 2 t 5.以t为参数的方程 表示( y=-2+ 3 t 2
渐开线与摆线 课件
解析：令 y＝0，可得 r(1－cos φ)＝0，由于 r>0， 所以 cos φ＝1，所以 φ＝2kπ(k∈Z)． 代入 x＝r(φ－sin φ)得 x＝r(2kπ－sin 2kπ)(k∈Z)． 又因为 x＝2，解得 r＝k1π(k∈Z)．
又由实际意义 r>0，所以 r＝k1π(k∈N*)， 所以 k＝1 时，r 取得最大值为1π.此时摆线的参数方程为
φ＋φsin φ－φcos
φ， φ (φ 为参数)，由圆的半径
唯一确定，从方程中不难看出，基圆的半径为 3，欲求 φ＝π2时对应的坐标，只需把 φ
＝π2代入曲线的参数方程可得 x＝32π，y＝3，所以参数 φ 取π2时，对应的曲线上点的坐
标是32π，3.
考点二 摆线
假设圆周上定点M的起始位置是圆与定直线的 切点O，圆保持与定直线相切向右滚动，点M 就绕圆心B做圆周运动．如果点M绕圆心B转过 φ弧度后，圆与直线相切于点A，那么线段OA 的长度等于弧AM的长，即OA＝rφ；如果点M 绕圆心B运动一周后到切点E的位置，那么OE 的长恰等于圆周的长，这就是所谓的“无滑动 地滚动”的意义．从上述分析可以看到，在圆 沿定直线无滑动的滚动过程中，圆周上定点M 的位置可以由圆心角φ唯一确定，因此以φ为参 数是非常自然的．
位置为原点，建立直角坐标系，设圆的半径为 r，可得摆线的参数方程为：
x＝rφ－sin φ， y＝r1－cos φ
(φ 为参数)．
•考点一 渐开线
用向量方法建立运动轨迹曲线的参数方程的步 骤
(1)建立合适的坐标系，设出曲线上的动点P的 坐标； (2)取定运动中产生的某一角度为参数； (3)用三角及几何知识写出相关向量的坐标表达 式； (4)用向量运算得到向量OP的坐标表达式，由 此得到轨迹曲线的参数方程．
2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修4-4)
x=2t 7.点（-3，0）到直线 (t为参数）的距离为_______. 2 t y= 2 x=2t 【解析】∵直线 的普通方程为x- 2 2 y=0， 2 y= t 2 |-3-0| ∴点(-3,0)到直线的距离为d= =1.
1+(-2 2) 2
答案：1
8.(2010·天津高考)已知圆C的圆心是直线
AB的中点坐标为( (A)（3，-3） (C)（ 3，-3）
) (B)（- 3，3） (D)（3，- 3）
【解析】
1 x=1- 2 t 5.以t为参数的方程 表示( y=-2+ 3 t 2
3
)
（A）过点（1，-2）且倾斜角为 的直线 （B）过点（-1，2）且倾斜角为
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
【解析】方法一：
(1)由ρ= 2 5 sinθ，得x2+y2- 2 5 y=0，
即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 (3- 2 t)2 +( 2 t)2 =5 ，
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
2 x=3t 2 参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标 y= 5+ 2 t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ = 2 5 sinθ .
x=t （t为参数） y=1+t
与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为___ _______. 【解析】将直线的参数方程化为普通方程为x-y+1=0. 由题意可得圆心(-1,0)，则圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆
1+(-2 2) 2
答案：1
8.(2010·天津高考)已知圆C的圆心是直线
AB的中点坐标为( (A)（3，-3） (C)（ 3，-3）
) (B)（- 3，3） (D)（3，- 3）
【解析】
1 x=1- 2 t 5.以t为参数的方程 表示( y=-2+ 3 t 2
3
)
（A）过点（1，-2）且倾斜角为 的直线 （B）过点（-1，2）且倾斜角为
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
【解析】方法一：
(1)由ρ= 2 5 sinθ，得x2+y2- 2 5 y=0，
即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 (3- 2 t)2 +( 2 t)2 =5 ，
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
2 x=3t 2 参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标 y= 5+ 2 t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ = 2 5 sinθ .
x=t （t为参数） y=1+t
与x轴的交点，且圆C与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为___ _______. 【解析】将直线的参数方程化为普通方程为x-y+1=0. 由题意可得圆心(-1,0)，则圆心到直线x+y+3=0的距离即为圆
直线的参数方程
Байду номын сангаас
直线参数方程的应用-1.求（线段）弦长，直线与曲线交点的距离-2.线段的中点问题-3.求轨迹问题
作业讲评-课本P39-x=1+-1解：1直线的参数方程为-2-t为参数-y=5+-2将直线的参数方程中的， 代入x-y-2√3=0-得t=-10+6V3.所以，直线和直线x-y-2V3=0-的交点到点M的距离为t= 0+6v3
设MM2它们所对应的参数值分别为t1t2-1MM=t1-t2-2）M是MM2的中点，求M对应的参-t1+t -t=
练习-①直线-x=3+tsin20°-y=tcos20°-t为参数的倾斜角是-B-A.200-B.70°.110°-D.160°-√2-x=1-2」-直线+y-1=0的一个参数方程是
小结：-1.直线参数方程的标准式-X-X0 +tcosa-t是参数-y=yo +tsina-|=|MoM.直线参数方程的一般式-x=xo+at-t为参数-言明的儿依头，9-以网-当a2+b2≠1时，没有明确的几 意义。
例2-经过点M2,1D作直线，交椭圆后+兰-1于A,B两点。如果点M恰好为-线段AB的中点，求直线l的方程 解：设过点M2,1的直线L的参数方程为-x=2十tcos&,-t为参数-y=1十tsin a,-代入椭圆方 ，整理得-3sin2a-+1t2+4cos a+2sin at-8=0.-由t的几何意义知MA=t,MB= .因为点M在椭圆内，这个方程必有-两个实根，所以-白十场=--3sin2a+1-因为点M为线段AB的中点， 以士=0，即osa+2sina=0,-于是直线1的斜率为。=an。=一是-因此，直线1的方程是y-1=一x 2》,-x十2y-4=0.
直线参数方程的应用-1.求（线段）弦长，直线与曲线交点的距离-2.线段的中点问题-3.求轨迹问题
作业讲评-课本P39-x=1+-1解：1直线的参数方程为-2-t为参数-y=5+-2将直线的参数方程中的， 代入x-y-2√3=0-得t=-10+6V3.所以，直线和直线x-y-2V3=0-的交点到点M的距离为t= 0+6v3
设MM2它们所对应的参数值分别为t1t2-1MM=t1-t2-2）M是MM2的中点，求M对应的参-t1+t -t=
练习-①直线-x=3+tsin20°-y=tcos20°-t为参数的倾斜角是-B-A.200-B.70°.110°-D.160°-√2-x=1-2」-直线+y-1=0的一个参数方程是
小结：-1.直线参数方程的标准式-X-X0 +tcosa-t是参数-y=yo +tsina-|=|MoM.直线参数方程的一般式-x=xo+at-t为参数-言明的儿依头，9-以网-当a2+b2≠1时，没有明确的几 意义。
例2-经过点M2,1D作直线，交椭圆后+兰-1于A,B两点。如果点M恰好为-线段AB的中点，求直线l的方程 解：设过点M2,1的直线L的参数方程为-x=2十tcos&,-t为参数-y=1十tsin a,-代入椭圆方 ，整理得-3sin2a-+1t2+4cos a+2sin at-8=0.-由t的几何意义知MA=t,MB= .因为点M在椭圆内，这个方程必有-两个实根，所以-白十场=--3sin2a+1-因为点M为线段AB的中点， 以士=0，即osa+2sina=0,-于是直线1的斜率为。=an。=一是-因此，直线1的方程是y-1=一x 2》,-x十2y-4=0.
直线的参数方程ppt优秀课件
知识连接（1）
实数λ与向量 a 的积：
a a
定义：λa是一个 向量.
它的长度 |λa| = |λ||a|；
a
它的方向 (1) 当λ>0时,λa 的方向 与a方向相同； (2) 当λ＜0时,λa 的方向 与a方向相反.
其实质就是向量的伸长或缩短！ 坐标运算： 若a = (x , y), 则λa = λ (x , y)
2
1 2
t
（2）直线xy3tcotss2in0020（ 0 t为y参数 ）3的倾斜2角 3 是t （B ）
A.200 B.700 C.1100 D.1600
练习
3.直 线 x3y20的 点 角 式 参 数 方 程 为
_________ _ x__ __ 2 ____2_ 3_t.
y 1t 2
e
由 M o M t e及 e 1可 得 ，
M α
M o M t e M o M t M0
o
x
当 M o M 与 e同 向 时 ， t 0； 当 M o M 与 e反 向 时 ， t 0； 当 M与 M 0重 合 时 ， t 0.
L
e
y αM0
o
X
t表 示 参 数 t对 应 的 点 M 到 定 点 M 0 的 距 离 M.
e(cos,sin)
M 0 M ( x , y ) ( x 0 , y 0 ) ( x x 0 , y y 0 )
又M0M//e
y
L
存在惟一实数t R，e
M α
使得 M0M te M0
o
x
(x x 0 ,y y 0 ) t(c o s,s in)
x x 0 tc o s,y y 0 ts in
2.3-2.4直线的参数方程及渐开线与摆线- 课件37090 共81页
3.当φ =2π 时，圆的渐开线 xy==66((scions-+csoisn))上的点是( )
(A)(6,0)
(B)(6,6π )
(C)(6,-12π )
(D)(-π ,12π )
【解析】选C.当φ =2π时，得
x y= =6 6((scions22-+ 22 co sisn22))==-612，
得 (3- 2t)2+(，2t)2=5
2
2
整理，得 t2-3 2t.+4=0
由于Δ=( 3 )22-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
t1、t2，由根与系数的关系，得
又直线l过点
P(3,5)，故由上式及t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2 .
12.（14分）已知双曲线 x 2 - y 2 = 1 ，过点P(2，1)的直线交双曲
10.（12分）化直线l的参数方程
x
=
-3
+
t
(t为参数)为普通方
y=1+ 3t
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2019·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
参数方程为 x = 3 -
2 2
t
(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标
y
=
5+
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
(A)10° (B)80°
(C)100°
【解析】
) (D)170°
二、填空题（每小题8分，共24分）
2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修4-4)
)(6,-12π )
(B)(6,6π ) (D)(-π ,12π )
【解析】选C.当φ=2π时，得
x=6(cos2+2sin2)=6 ， y=6(sin2-2cos2)=-12
故点(6,-12π)为所求.
1 x=1+ t 2 4.直线 (t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则 y=-3 3+ 3 t 2
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
2 x=3t 2 参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标 y= 5+ 2 t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ = 2 5 sinθ .
x=2t 7.点（-3，0）到直线 (t为参数）的距离为_______. 2 t y= 2 x=2t 【解析】∵直线 的普通方程为x- 2 2 y=0， 2 y= t 2 |-3-0| ∴点(-3,0)到直线的距离为d= =1.
1+(-2 2) 2
答案：1
8.(2010·天津高考)已知圆C的圆心是直线
2 2
整理，得 t 2 -3 2t+4=0 .
由于Δ=( 3 2 )2-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
t1、t2，由根与系数的关系，得 又直线l过点
P(3,5)，故由上式及t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2= 3 2 .
y 2 ，过点P(2，1)的直线交双曲 12.（14分）已知双曲线 x - =1 2
(B)(6,6π ) (D)(-π ,12π )
【解析】选C.当φ=2π时，得
x=6(cos2+2sin2)=6 ， y=6(sin2-2cos2)=-12
故点(6,-12π)为所求.
1 x=1+ t 2 4.直线 (t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则 y=-3 3+ 3 t 2
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2010·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
2 x=3t 2 参数方程为 (t为参数)，在极坐标系(与直角坐标 y= 5+ 2 t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ = 2 5 sinθ .
x=2t 7.点（-3，0）到直线 (t为参数）的距离为_______. 2 t y= 2 x=2t 【解析】∵直线 的普通方程为x- 2 2 y=0， 2 y= t 2 |-3-0| ∴点(-3,0)到直线的距离为d= =1.
1+(-2 2) 2
答案：1
8.(2010·天津高考)已知圆C的圆心是直线
2 2
整理，得 t 2 -3 2t+4=0 .
由于Δ=( 3 2 )2-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
t1、t2，由根与系数的关系，得 又直线l过点
P(3,5)，故由上式及t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2= 3 2 .
y 2 ，过点P(2，1)的直线交双曲 12.（14分）已知双曲线 x - =1 2
2.3-2.4《直线的参数方程及渐开线与摆线》 课件(人教A版选修4-4)
)
(A)(6,0) (C)(6,-12π )
(B)(6,6π ) (D)(-π ,12π )
【解析】选C.当φ=2π时，得
x=6(cos2+2sin2)=6 ， y=6(sin2-2cos2)=-12
故点(6,-12π)为所求.
1 x=1+ t 2 4.直线 (t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则 y=-3 3+ 3 t 2
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
【解析】方法一：
(1)由ρ= 2 5 sinθ，得x2+y2- 2 5 y=0，
即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
得 (3- 2 t)2 +( 2 t)2 =5 ，
)
(A)直线经过点（7，-1） (B)直线的斜率为 3
4
(C)直线不过第二象限 (D)|t|是定点M0（3，-4）到该直线上对应点M的距离 【解析】选D.直线的普通方程为3x-4y-25=0,由不是标准式，
故|t|不具有上述几何意义，故选D.
x=6(cos+sin) 3.当φ =2π 时，圆的渐开线 上的点是( y=6(sin-cos)
答案:(x+1)2+y2=2
x=1-t 9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为 (t是参数)， y=2+t
直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，求|PQ|=_______.
2.3-2.4直线的参数方程及渐开线与摆线- 课件36237
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
的半径，故r= 2 = ，2所以圆的方程为(x+1)2+y2=2.
2
答案:(x+1)2+y2=2
9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为
x y
= =
1 2
+
t
t
(t是参数)，
直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，求|PQ|=_______.
【解析】 答案：
三、解答题（共40分）
故点(6,-12π)为所求.
4.直线
x
=
1
+
1 2
t
(t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则
y
=
-
3
3+
3t 2
AB的中点坐标为( )
(A)（3，-3） (C)（ 3 ，-3）
(B)（- 3 ，3） (D)（3，- 3 ）
【解析】
5.以t为参数的方程
x
=
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.原点到直线
x y
= =
3 -
+ 3 2
4 +
t 3
t
(t为参数)的距离为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】
2.已知直线
x y
= =
3+4t -4+ 3
3.当φ =2π 时，圆的渐开线 xy==66((scions-+csoisn))上的点是( )
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
的半径，故r= 2 = ，2所以圆的方程为(x+1)2+y2=2.
2
答案:(x+1)2+y2=2
9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为
x y
= =
1 2
+
t
t
(t是参数)，
直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，求|PQ|=_______.
【解析】 答案：
三、解答题（共40分）
故点(6,-12π)为所求.
4.直线
x
=
1
+
1 2
t
(t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则
y
=
-
3
3+
3t 2
AB的中点坐标为( )
(A)（3，-3） (C)（ 3 ，-3）
(B)（- 3 ，3） (D)（3，- 3 ）
【解析】
5.以t为参数的方程
x
=
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.原点到直线
x y
= =
3 -
+ 3 2
4 +
t 3
t
(t为参数)的距离为(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】
2.已知直线
x y
= =
3+4t -4+ 3
3.当φ =2π 时，圆的渐开线 xy==66((scions-+csoisn))上的点是( )
2.3-2.4直线的参数方程及渐开线与摆线- 课件36974
10.（12分）化直线l的参数方程
x
=
-3
+
t
(t为参数)为普通方
y=1+ 3t
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2019·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
参数方程为 x = 3 -
2 2
t
(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标
y
=
5+
故点(6,-12π)为所求.
4.直线
x
=
1
+
1 2
t
(t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则
y
=
-
3
3+
3t 2
AB的中点坐标为( )
(A)（3，-3） (C)（ 3 ，-3）
(B)（- 3 ，3） (D)（3，- 3 ）
【解析】
5.以t为参数的方程
x
=
得 (3- 2t)2+(，2t)2=5
2
2
整理，得 t2-3 2t.+4=0
由于Δ=( 3 )22-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
t1பைடு நூலகம்t2，由根与系数的关系，得
又直线l过点
P(3,5)，故由上式及t的几何意义得
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 2 .
12.（14分）已知双曲线 x 2 - y 2 = 1 ，过点P(2，1)的直线交双曲
2t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
2.3-2.4直线的参数方程及渐开线与摆线- 课件37100
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
的半径，故r= 2 = ，2所以圆的方程为(x+1)2+y2=2.
2
答案:(x+1)2+y2=2
9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为
x y
= =
1 2
+
t
t
(t是参数)，
直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，求|PQ|=_______.
【解析】 答案：
三、解答题（共40分）
10.（12分）化直线l的参数方程
x
=
-3
+
t
(t为参数)为普通方
y=1+ 3t
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2019·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
参数方程为 x = 3 -
2 2
t
(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标
y
=
5+
1
-
1 2
t
表示(
)
y
=
-
2
+
3t 2
（A）过点（1，-2）且倾斜角为 的直线
3
（B）过点（-1，2）且倾斜角为 的直线
3
（C）过点（1，-2）且倾斜角为 2 的直线
3
（D）过点（-1，2）且倾斜角为 2 的直线
3
【解析】
6.直线 xy==2-1-t+ctossin1100(t为参数)的倾斜角为(
(A)10° (B)80°
(C)100°
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
的半径，故r= 2 = ，2所以圆的方程为(x+1)2+y2=2.
2
答案:(x+1)2+y2=2
9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为
x y
= =
1 2
+
t
t
(t是参数)，
直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，求|PQ|=_______.
【解析】 答案：
三、解答题（共40分）
10.（12分）化直线l的参数方程
x
=
-3
+
t
(t为参数)为普通方
y=1+ 3t
程，并求倾斜角，说明|t|的几何意义.
【解析】
11.（14分）(2019·福建高考)在直角坐标系xOy中，直线l的
参数方程为 x = 3 -
2 2
t
(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标
y
=
5+
1
-
1 2
t
表示(
)
y
=
-
2
+
3t 2
（A）过点（1，-2）且倾斜角为 的直线
3
（B）过点（-1，2）且倾斜角为 的直线
3
（C）过点（1，-2）且倾斜角为 2 的直线
3
（D）过点（-1，2）且倾斜角为 2 的直线
3
【解析】
6.直线 xy==2-1-t+ctossin1100(t为参数)的倾斜角为(
(A)10° (B)80°
(C)100°
2.3-2.4直线的参数方程及渐开线与摆线- 课件37100
(A)10° (B)80°
(C)100°
【解析】
) (D)170°
二、填空题（每小题8分，共24分）
x=2t
7.点（-3，0）到直线
y =
(t为参数）的距离为_______.
2t 2
【解析】∵直线
x
=
2的t 普通方程为x-
y =
2t 2
y=2 0，2
∴点(-3,0)到直线的距离为d= 答案：1
故点(6,-12π)为所求.
4.直线
x
=
1
+ຫໍສະໝຸດ 1 2t(t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则
y
=
-
3
3+
3t 2
AB的中点坐标为( )
(A)（3，-3） (C)（ 3 ，-3）
(B)（- 3 ，3） (D)（3，- 3 ）
【解析】
5.以t为参数的方程
x
=
的半径，故r= 2 = ，2所以圆的方程为(x+1)2+y2=2.
2
答案:(x+1)2+y2=2
9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为
x y
= =
1 2
+
t
t
(t是参数)，
直线l与直线2x+y-2=0交于点Q，求|PQ|=_______.
【解析】 答案：
三、解答题（共40分）
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.原点到直线
x y
= =
3 -
+ 3 2
4 +
2.3-2.4直线的参数方程及渐开线与摆线- 课件36237
故点(6,-12π)为所求.
4.直线
x
=
1
+
1 2
t
(t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则
y
=
-
3
3+
3t 2
AB的中点坐标为( )
(A)（3，-3） (C)（ 3 ，-3）
(B)（- 3 ，3） (D)（3，- 3 ）
【解析】
5.以t为参数的方程
x
=
3.当φ =2π 时，圆的渐开线 xy==66((scions-+csoisn))上的点是( )
(A)(6,0)
(B)(6,6π )
(C)(6,-12π )
(D)(-π ,12π )
【解析】选C.当φ =2π时，得
x y= =6 6((scions22-+ 22 co sisn22))==-612，
(t为参数)，下列命题中错误的是(
t
)
(A)直线经过点（7，-1）
(B)直线的斜率为 3
4
(C)直线不过第二象限
(D)|t|是定点M0（3，-4）到该直线上对应点M的距离 【解析】选D.直线的普通方程为3x-4y-25=0,由普通方程可 知,A、B、C正确，由于参数方程不是标准式， 故|t|不具有上述几何意义，故选D.
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.原点到直线
x y
= =
3 -
+ 3 2
4 +
t 3
t
(t为参数)的距离为(
4.直线
x
=
1
+
1 2
t
(t为参数)和圆x2+y2=16交于A、B两点，则
y
=
-
3
3+
3t 2
AB的中点坐标为( )
(A)（3，-3） (C)（ 3 ，-3）
(B)（- 3 ，3） (D)（3，- 3 ）
【解析】
5.以t为参数的方程
x
=
3.当φ =2π 时，圆的渐开线 xy==66((scions-+csoisn))上的点是( )
(A)(6,0)
(B)(6,6π )
(C)(6,-12π )
(D)(-π ,12π )
【解析】选C.当φ =2π时，得
x y= =6 6((scions22-+ 22 co sisn22))==-612，
(t为参数)，下列命题中错误的是(
t
)
(A)直线经过点（7，-1）
(B)直线的斜率为 3
4
(C)直线不过第二象限
(D)|t|是定点M0（3，-4）到该直线上对应点M的距离 【解析】选D.直线的普通方程为3x-4y-25=0,由普通方程可 知,A、B、C正确，由于参数方程不是标准式， 故|t|不具有上述几何意义，故选D.
2
线于P1，P2，求线段P1P2的中点M的轨迹方程.
【解析】
一、选择题（每小题6分，共36分）
1.原点到直线
x y
= =
3 -
+ 3 2
4 +
t 3
t
(t为参数)的距离为(
2.3-2.4直线的参数方程及渐开线与摆线- 课件37079
2t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ = 2 5 sinθ . (1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
【解析】方法一： (1)由ρ= 2 s5inθ ，得x2+y2- y2 =50， 即x2+(y- 5 )2=5. (2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，
1
-
1 2
t
表示(
)
y
=
-
2
+
3t 2
（A）过点（1，-2）且倾斜角为 的直线
3
（B）过点（-1，2）且倾斜角为 的直线
3
（C）过点（1，-2）且倾斜角为 2 的直线
3
（D）过点（-1，2）且倾斜角为 2 的直线
3
【解析】
6.直线 xy==2-1-t+ctossin1100(t为参数)的倾斜角为(
(t为参数)，下列命题中错误的是(
t
)
(A)直线经过点（7，-1）
(B)直线的斜率为 3
4
(C)直线不过第二象限
(D)|t|是定点M0（3，-4）到该直线上对应点M的距离 【解析】选D.直线的普通方程为3x-4y-25=0,由普通方程可 知,A、B、C正确，由于参数方程不是标准式， 故|t|不具有上述几何意义，故选D.
的半径，故r= 2 = ，2所以圆的方程为(x+1)2+y2=2.
2
答案:(x+1)2+y2=2
9.已知直线l过点P(1，2)，其参数方程为
高三数学渐开线与摆线.正式版PPT文档
Ex
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周
xyrr((1csoins)).,(为参数) 摆线的参数方程为： 在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
思考在：摆P线44的参数方程中，参数 的取值范围是什么？
一个拱的宽度与高度各是什么？
小结： 1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
5、摆线的参数方程
M
B
OA
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。设圆的半径为r。
y
B
M C
所以，摆线的参数方程为：
从 点 设 OM 开 分 D始 别 时 做 定 AA 点 B M ， 在 x 轴 原 的 点 垂 ， 线 圆 ， 滚 垂 动 足 xy了 分 别 角 rr((是 后 1C 与 E， x cs轴 xD oi。 ns相 切 ))于 .,(点 为 A ， 参 圆 心 数 在 )点 B 。
由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便，
相把根应一据的 条 点定没M满圆有足叫弹的做性几渐的何开细条线绳件的绕，基在我圆一们。个取圆定盘直上线，为在X绳轴的，定点M滚M动时落在定B
所以，摆线的参数方程为：
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点O满足的几A何条件。
而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
高三数学渐开线与摆线
1、渐开线的定义
探究：
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。
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? ? ?
x=1-t y=2+t
(t是参数
)，
直线l与直线 2x+y-2=0 交于点Q，求|PQ|=_______.
【解析】 答案：
三、解答题（共 40分）
?x=-3+t
10.（12分）化直线 l的参数方程 ?
(t 为参数 )为普通方
? y=1+ 3t
程，并求倾斜角，说明 |t|的几何意义 .
【解析】
11.（14分）(2019·福建高考 )在直角坐标系 xOy中，直线 l的
参数方程为
? ?? x=3?
2t 2
(t为参数 )，在极坐标系 (与直角坐标
? ??
y=
5+
2t 2
系xOy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以 x轴正半轴为
极轴)中，圆C的方程为ρ= 2 5sinθ. (1)求圆C的直角坐标方程； (2)设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为 (3， 5 )，求 |PA|+|PB|.
_______.
【解析】 将直线的参数方程化为普通方程为 x-y+1=0. 由题意可得圆心 (-1,0)，则圆心到直线 x+y+3=0 的距离即为圆 的半径，故 r= 2 =，2所以圆的方程为 (x+1)2+y2=2.
2
答案:(x+1) 2+y2=2
9.已知直线 l过点P(1，2)，其参数方程为
一、选择题（每小题 6分，共36分）
1.原点到直线
?? x=3+4t
? ??
Байду номын сангаас
y=-
3 2
+3t
(t为参数 )的距离为
(
)
(A)1
(B)2
(C)3
(D)4
【解析】
2.已知直线
? ? ?
x=3+4t (t为参数
y=-4+3t
)，下列命题中错误的是
(A)(6,0)
(B)(6,6π)
(C)(6,- 12π)
(D)( -π,12π)
【解析】 选C.当φ=2π时，得
? ? ?
x=6(cos2?+ y=6(sin2-?
2s? 2c?
in2)? os2)?
=6 =-12?
，
故点(6,-12π)为所求 .
4.直线
? ?? ?
x=1+
1 2
t
(t 为参数 )和圆 x2+y 2=16 交于 A、B两点，则
(
)
(A)直线经过点（ 7，-1）
(B)直线的斜率为 3
4
(C)直线不过第二象限
(D)|t|是定点 M0（3，-4）到该直线上对应点 M的距离 【解析】 选D.直线的普通方程为 3x-4y-25=0, 由普通方程可
知,A、B、C正确，由于参数方程不是标准式， 故|t|不具有上述几何意义，故选 D.
3.当φ=2π时，圆的渐开线 ???xy==66((scions???-+?csoisn??))上的点是 ( )
? ?
y=-3
3+
3t 2
AB的中点坐标为 ( )
(A)（3，-3） (C)（ 3，-3）
(B)（- 3，3） (D)（3，- 3）
【解析】
5.以t为参数的方程
? ??
x=1-
1 2
t
?
表示 (
)
? ?
y=-2+
3t 2
（A）过点（ 1，-2）且倾斜角为 ? 的直线
3
（B）过点（ -1，2）且倾斜角为 ? 的直线
? x=2t
7.点（ -3，0）到直线
? ? ?? y=
(t为参数）的距离为 _______.
2t 2
【解析】 ∵直线
? ?
x=2的t 普通方程为
x-
? ?? y=
2t 2
y=0 ，
22
∴点(-3,0)到直线的距离为 d= 答案： 1
|-3-=0|1.
1+(-2 2 )2
8.(2019·天津高考 )已知圆C的圆心是直线 ???xy==1t +t（t为参数） 与x轴的交点，且圆 C与直线x+y+3=0 相切，则圆 C的方程为 ___
【解析】 方法一：
(1)由ρ= 2 s5inθ，得 x2+y2- y2=50， 即x2+(y- 5)2=5. (2)将l的参数方程代入圆 C的直角坐标方程，
得 (3- 2 t)2 +( ，2 t)2 =5
2
2
整理，得 t 2 -3 2t.+4=0
由于Δ=( 3 )22-4×4=2>0，故上述方程有两个不相等实数根
t1、t2，由根与系数的关系，得
又直线 l过点
P(3,5)，故由上式及 t的几何意义得 |PA|+|PB|=|t 1|+|t2|=t1+t2=3 2 .
12.（14分）已知双曲线 x2 - y2 =1，过点P(2，1)的直线交双曲
2
线于P1，P2，求线段 P1P2的中点 M的轨迹方程 .
【解析】
3
（C）过点（ 1，-2）且倾斜角为 2? 的直线
3
（D）过点（ -1，2）且倾斜角为 2? 的直线
3
【解析】
6.直线
? ? ?
x=-1+tsin10 ?(t为参数
y=2-tcos10 ?
)的倾斜角为
(
(A)10 °
(B)80 °
(C)100 °
【解析】
) (D)170 °
二、填空题（每小题 8分，共24分）