工程与材料力学第11章-弯曲应力

∫ I z0 = A y02dA
∫A y0dA = 0
I z = I z0 + Aa2
同理得： I y = I y0 + Ab2
Cy0z0－形心直角坐标系 Oyz －任意直角坐标系
二者平行
例
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
120
1.C 截面上K点正应力
180
B
K
x
30 2.C 截面上最大正应力
=
bh2 6
空心矩形截面
IZ
=
b0h03 12
−
bh3 12
WZ
=
( b0h03 12
−
bh3 12
) /(h0
/
2)
r 平行轴定理
平行轴定理
建立 Iz 与 Iz0 的关系
Iz = ∫A y2dA Iz = ∫A( y0 + a)2dA
Iz = ∫A y02dA + 2a∫A y0dA + Aa2
w 正应力公式： σ ( y) = My
Iz
σ
max
=
M Wz
（Wz － 抗弯截面系数）
x 应用条件： σ max ≤σ p , 对称弯曲 , 纯弯与非纯弯
一些易混淆的概念
对称弯曲与纯弯曲 对称弯曲－对称截面梁，在纵向对称面承受横向外 力时的受力与变形形式 纯 弯 曲－梁或梁段各横截面的剪力为零弯矩为常 数的受力状态
解：1. 工字钢（GB 706-1988） 一种规范化、系列化的工字形截面的标准钢材 №18 工字钢：
I z = 1.66 × 10−5 m4 Wz = 1.85 × 10−4 m3
I z = 1.66 × 10−5 m4 Wz = 1.85 × 10−4 m3
Me=20 kN•m，E=200 GPa，求 σmax 与 ρ
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
120
4. 全梁最大正应力
B
x
180
K
30 最大弯矩
z M max = 67.5kN ⋅ m
FBY
y
I z = 5.832 ×10−5 m4
FS 90kN
(+ )
(+)
(−) x
90kN
x
σ max
=
M max ymax IZ
67.5×103 × 180 ×10−3
=
M B yC Iz
= 30.5
MPa
σ
c,max
=
M
B
(
b+δ Iz
−
yC
)
=
64.5
MPa
例 3-3 已知：钢带厚 δ = 2mm, 宽 b = 6mm, D=1400mm, E=200GPa。试计算：带内的 σmax 与 M
解：1. 问题分析 已知钢带的变形（轴线曲率 半径），求钢带应力与内力
y
∫ (1)
FN =
σdA
A
=
∫A E
y dA ρ
=
E ρ
∫A
ydA
=
0
⇒
∫A
ydA
=
0
∫ ydA
yc =
A
A
=0
（中性轴Z轴为形心轴）
∫ ∫ ∫ (2)
Mz =
yσdA
A
=
E y ydA = E
Aρ
ρ
A
y 2 dA
=
E ρ
Iz
=
M
1 = M ——弯曲变形计算的基本公式 ρ EIZ
σ = E y (a) ρ
σ ( y)= Eε ( y)
σ
(
y)=
E
y ρ
(a)
r 对称弯曲正应力公式
应力的分布图： M
σ = E ε = Ey ρ
z 中性轴 M
x
Z
σmax
y
σmax
y
中性轴的位置？
中性层的曲率
1 =？ ρ
1 ρ 为梁弯曲变形后的曲率
M Z 静力方面：
y
由横截面上的弯矩和正应力
zAσdA x 的关系→正应力的计算公式。
1 b
dF dx
F = MSz (ω) Iz
τ ( y)= Sz (ω)dM bI z dx
τ ( y)= FSSz (ω ) Izb
S
z
(ω
)
=
b
h2 −
y
⋅
12
h 2
+
y

=
b2
h2 4
−
y
2

I
z
=
bh3 12
τ
(
y
)=
3FS 2bh

1−
4 y2 h2

第 11 章 弯曲应力
本章主要研究：
l 对称弯曲正应力 l 对称弯曲切应力 l 梁的强度分析与设计 l 非对称弯曲应力 l 弯拉(压)组合问题
§1 引言 §2 对称弯曲正应力 §3 惯性矩与平行轴定理 §4 对称弯曲切应力 §5 梁的强度条件 §6 梁的合理强度设计 §7 双对称截面梁的非对称弯曲 §8 弯拉(压)组合
本章主要内容
l 对称弯曲正应力 l 对称弯曲切应力 l 弯曲强度计算与合理强度设计 l 双对称截面梁非对称弯曲
应力与强度 l 弯拉（压）组合应力与强度
§2 对称弯曲正应力
r 弯曲试验与假设 r 对称弯曲正应力公式 r 例题
r 弯曲试验与假设
弯 曲 试 验
试验现象 （纯弯与正弯矩作用）
u 横线为直线, 仍与纵线正交 v 靠顶部纵线缩短, 靠底部纵
∫σdA = 0 (b) A
∫ yσdA = M (c) A
(a)→(b)
∫ ydA=0 A
∫ ydA
yC =
A
A
=0
中性轴通过横截面形心
(a)→(c)
∫E y2dA= M
ρA
∫ Iz = y2dA－截面对z轴的惯性矩 A
1= M ρ EI z
(d)
EIZ－弯曲刚度
(d)→(a)
σ ( y)= My Iz
平面弯曲： 当外力作用在纵向对称平面内时，梁发生弯曲变形
后，轴线也将保持在此对称平面内，梁的轴线成为一条平面 曲线，这种弯曲叫做对称弯曲，也称为平面弯曲。
r 变形形式与本章内容
变形形式 l 基本变形形式－轴向拉压，扭转，弯曲 l 组合变形形式－两种或三种不同基本变形形式的组合
弯拉（压）组合，弯扭组合，弯拉（压）扭组合
Iz
=
Ip 2
=
πd 4 64
Wz
=
πd 4 64
2 d
=
πd 3 32
r 简单截面惯性矩
几种常见截面的 IZ 和 WZ
WZ
=
IZ y max
圆截面
IZ
=
πd 4 64
WZ
=
πd 3 32
空心圆截面
IZ
=
πD 4 64
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(1 − α
4)
WZ
=
πD3 32
(1− α 4 )
矩形截面
IZ
=
bh3 12
WZ
=
2 5.832 ×10−5
= 104.17 ×106 Pa = 104.17MPa
M ql2 / 8 = 67.5kN⋅ m
r 例题
例 3-2 已知：F=15 kN, l=400 mm, b=120mm, δ=20mm 试计算：截面 B-B 的最大拉应力σt,max与压应力σc,max
解：1. 弯矩计算
中性轴与形心轴
中性轴－横截面受拉与受压区的分界线 形心轴－通过横截面形心的坐标轴
截面弯曲刚度与抗弯截面系数 弯曲刚度EI－代表梁截面抵抗弯曲变形的能力 抗弯截面系数Wz－代表梁截面几何性质对弯曲强度 的影响
r 例题
例 2-1 梁用№18 工字钢制成，Me=20 kN•m, E=200 GPa。 试计算：最大弯曲正应力σmax ，梁轴曲率半径 ρ
r 静矩与惯性矩
静矩
∫ Sz =
ydA = AyC
A
[L]3
－截面对z轴的静矩
n
n
∑ Sz = Sz i = ∑ Ai yCi
i =1
i =1
n
∫ ∑ Sy =
zdA=
A
AzC
S y = Ai zCi
i =1
惯性矩
Iz = ∫A y2dA [L]4
－截面对 z 轴的惯性矩
n
Iz = ∑ Izi
i=1
z 3.全梁上最大正应力
FBY
y
FS 90kN
(+ ) (− )
(+)
M ql2 / 8 = 67.5kN⋅ m
解：1. 求支反力
FAy = 90kN FBy = 90kN
M C = 90×1− 60×1× 0.5 = 60kN ⋅ m
x
IZ
=
bh3 12
=
0.12× 0.183 12
= 5.832 ×10−5 m4
σ
max
=
Mymax Iz
Wz
=
Iz ymax
－抗弯截面系数
σ
max
=M Wz
总结
假设 平面假设，单向受力假设
综合考虑三方面
ε
(
y)=
y ρ
结论
σ ( y)= Eε ( y)
∫ ∫ σdA=0 yσdA= M
A
A
u 中性轴位置：中性轴过截面形心
v 中性层曲率：1 = M
ρ EI z
（I z －惯性矩） （EI z － 截面弯曲刚度）
§1 引 言
r 弯曲应力与对称弯曲 r 本章内容
r 弯曲应力与对称弯曲
弯曲应力 l 弯曲正应力 梁弯曲时横截面上的σ l 弯曲切应力 梁弯曲时横截面上的τ
对称弯曲
对称截面梁，在纵向对称面承受横向外力时的受力与 变形形式－对称弯曲
r 弯曲应力与对称弯曲
梁的纵向对称面： 梁的横截面竖向对称轴与梁的轴线组成的平面。
n
∫ I y =
z 2dA
A
∑ I y = I y i i =1
r 简单截面惯性矩
矩形截面惯性矩
Iz
=
∫A
y2dA
=
∫ h/ 2
-h/2
y2bdy
=
bh3 12
bh3
Wz =
Iz ymax
=
12 h
=
bh2 6
2
圆形截面惯性矩
Ip = ∫A ρ 2dA = ∫A ( y2 + z2 )dA
Ip = Iz + I y Ip = 2Iz
2. 应力计算
M = Me = 20.0 kN ⋅ m
3. 变形计算
σ
max
=
M Wz
=
20.0 ×103 1.85×10−4
= 108.1 MPa
1= M ρ EIz
ρ = EI z M
=
200 ×109 ×1.66 ×10−5 20 ×103
= 166 m
§3 惯性矩与平行轴定理
r 静矩与惯性矩 r 简单截面惯性矩 r 平行轴定理 r 例题
ymax
=δ 2
= 1.0 × 10−3 m
σ max
=
E
ymax ρ
=
285 MPa
3. 弯矩计算
1= M ρ EIz
M
=
EI z ρ
=
E ρ
bδ 3 12
= 1.141 N ⋅ m
§4 对称弯曲切应力
r 矩形截面梁的弯曲切应力 r 薄壁截面梁的弯曲切应力 r 弯曲正应力与弯曲切应力比较 r 例题
r 对称弯曲正应力公式
公式的建立
ac
几何方面:
ε = A1B1 − AB = A1B1 − OO1
AB
OO 1
= (ρ + y)dθ − ρdθ ρdθ
=y ρ
ε= y ρ
bd
a
c
o
o1
A
Ｂy
b
d
dx
dθ ρ
Ｏ A１
Ｏ１ Ｂ１
x
y
r 对称弯曲正应力公式
公式的建立
几何方面:
ε(y) = y ρ
物理方面:
r 矩形截面梁的弯曲切应力
弯曲切应力公式
狭窄矩形截面梁 (h>b)
假设 τ (y) // 截面侧边，并沿截面宽度均匀分布
∑Fx =0, τ'bdx =dF
τ
(
y)=
1 b
dF dx
∫ ∫ F =
σdA=
ω
M Iz
y*dA = MSz (ω)
ω
Iz
Sz(ω)－面积 ω 对中性轴 z 的静矩
τ
(
y)=
M B = Fl = 6000 N ⋅ m
2. 形心位置计算 由矩形 1与矩形 2组成的组合截面
n
∑ Sz = Ai yCi = AyC i =1
n
∑ Ai yCi
yC = i=1 A
yC
=
A1 yC1 A1
+ +
A2 yC 2 A2
=
bδ
⋅
δ 2
+
δb
δ
bδ + δb
+
b 2

=
0.045 m
K
30
z M C = 60kN ⋅ m
FBY
y
IZ = 5.832×10−5 m4
FS 90kN
(+ )
(+)
(−) x
90kN
x
σ Cmax
=
M C ⋅ ymax IZ
60 ×103 × 180 ×10−3
=
2 5.832 ×10−5
= 92.55×106 Pa = 92.55MPa
M ql2 / 8 = 67.5kN⋅ m
τ
max
=
3 2
FS A
截面翘曲与非纯弯推广
切应力非均布 → 切应变非均布 → 截面翘曲 l 当FS=常数时， ab = a'b' ，弯曲 σ 仍保持线性分布 l 当梁上作用横向分布载荷时，只要 l > 5h，纯弯σ
线伸长 Ž 纵线伸长区,截面宽度减小
纵线缩短区, 截面宽度增大
弯曲假设
u 横截面变形后保持平面，仍与纵线正交－弯曲平 面假设
v 各纵向“纤维”处于单向受力状态－单向受力假设
推论 u 梁内存在一长度不变的过渡层－中性层 中性层与横截面的交线－中性轴
v 中性轴⊥截面纵向对称轴 w 横截面间绕中性轴相对转动
90kN 2. C 截面上K点正应力
x
σK
=
M C ⋅ yK IZ
=
60 ×103 × (180 − 30) ×10−3 2
5.832 ×10−5
= 61.7 ×106 Pa = 61.7MPa （压应力）
q=60kN/m
A
1m
FAY
C
l = 3m
3. C 截面最大正应力
120
C 截面弯矩
B
x
180
3. 惯性矩计算
Iz = Iz1 + Iz2
I z1
=
bδ 3 12
+ bδ

yC
−δ2
2
= 3.02×10-6
m4
I
z
2
= δb 3 12
+δb δ
+
b 2
−
yC
2
= 5.82×10-6
m4
I z = I z1 + I z2 =8.84×10−6 m4
4. 最大弯曲正应力
σ
t,max
u 应力～变形关系：
σ =E y ρ
∴
σ max
=
E
ymax ρ
v 内力～变形关系：
1= M ρ EIz
∴
M
=
EI z ρ
带厚 δ=2 mm, 宽 b= 6mm, D = 1400mm,
E = 200GPa，求 σmax 与 M
2. 应力计算
σ max
=
E
ymax ρ
ρ = D + δ = 0.701 m 22