《三角函数的应用》三角函数课件ppt
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三角函数的应用ppt课件
D 系,在转动一周的过程中,H 关于 t 的函数解析式为( )
A.
H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
C.
H
55
sin
π 15
t
π 2
55 ,
x 0, 30
B.H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
D.H
55
sin
π 15
t
π 2
65,
x 0, 30
解析：因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ，所 以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min ， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ，所以t 15 时， H 120 ，
i
Asin
t
来刻画，其中
2π
表示频率，A
表示振幅，
表示初相.
解：
（1）由图可知，电流最大值 5A，因此 A=5；电流变化的周期为 1 s,频率为 50Hz， 50
即 50 ，解 得 100π ；再 由初始状 态（ t=0）的 电流约为 4.33A，可 得
2π
sin
0.866
，因此
约为
π 3
.所以电流 i
解析：设角速度
k
sin (k
0)
，故旋转一周所用的时间t
k
2
sin
.当
90
2
时，
t
24
，故
k
12
，所以
t
24
sin
.故当“傅科摆”处于北纬
40
时，
A.
H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
C.
H
55
sin
π 15
t
π 2
55 ,
x 0, 30
B.H
55
sin
π 15
t
π 2
,
x 0, 30
D.H
55
sin
π 15
t
π 2
65,
x 0, 30
解析：因为游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周大约需要30min ，所 以游客进仓后第一次到达最高点时摩天轮旋转半周，大约需要15min ， 又因为摩天轮最高点距离地面高度为120m ，所以t 15 时， H 120 ，
i
Asin
t
来刻画，其中
2π
表示频率，A
表示振幅，
表示初相.
解：
（1）由图可知，电流最大值 5A，因此 A=5；电流变化的周期为 1 s,频率为 50Hz， 50
即 50 ，解 得 100π ；再 由初始状 态（ t=0）的 电流约为 4.33A，可 得
2π
sin
0.866
，因此
约为
π 3
.所以电流 i
解析：设角速度
k
sin (k
0)
，故旋转一周所用的时间t
k
2
sin
.当
90
2
时，
t
24
，故
k
12
，所以
t
24
sin
.故当“傅科摆”处于北纬
40
时，
三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
THANK YOU
积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
《三角函数的应用》三角函数PPT优秀教学课件
已经用三角函数模型刻画过匀速圆周运动．例如筒车运动、摩天轮的运动 、钟表指针的转动等．
新知探究
1．问题研究1——简谐运动
问题2 观看弹簧振子的运动视频，振子运动过程中有哪些周 期性现象？可以利用哪些变量之间的函数关系来刻画振子运动过 程中的周期性现象？
弹簧振子的运动（如图）．
新知探究
1．问题研究1——简谐运动
50
50
再由初始状态（t=0）的电流约为4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ约为
π 3
．
所以电流i随时间t变化的函数解析式是
i 5 sin(100πt π)，t [0, ) ．
3
当 t 0时，i 5 3；
2
当 t 1 时，i 5；
600
当 t 1 时，i 0；
150
当
t
7 600
2
所以函数的解析式为y=20sin(10π t－ π )，t∈[0，+∞)．
32
新知探究
2．建模解模
教师补充：现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中 浮标的上下浮动，琴弦的震动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往 复的运动．
在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置 的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的坐标系下，简谐运动可以 用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0．描述简谐运动的物理量 ，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
新知探究
2．建模解模
问题6 例1中简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？相位、初相分别是 什么？
答案：振幅A＝20mm，周期T＝ 3 s，频率f＝ 5 次，相位为 10π t－ π ，
新知探究
1．问题研究1——简谐运动
问题2 观看弹簧振子的运动视频，振子运动过程中有哪些周 期性现象？可以利用哪些变量之间的函数关系来刻画振子运动过 程中的周期性现象？
弹簧振子的运动（如图）．
新知探究
1．问题研究1——简谐运动
50
50
再由初始状态（t=0）的电流约为4.33A，可得sinφ=0.866，因此φ约为
π 3
．
所以电流i随时间t变化的函数解析式是
i 5 sin(100πt π)，t [0, ) ．
3
当 t 0时，i 5 3；
2
当 t 1 时，i 5；
600
当 t 1 时，i 0；
150
当
t
7 600
2
所以函数的解析式为y=20sin(10π t－ π )，t∈[0，+∞)．
32
新知探究
2．建模解模
教师补充：现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中 浮标的上下浮动，琴弦的震动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往 复的运动．
在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置 的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的坐标系下，简谐运动可以 用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0．描述简谐运动的物理量 ，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
新知探究
2．建模解模
问题6 例1中简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？相位、初相分别是 什么？
答案：振幅A＝20mm，周期T＝ 3 s，频率f＝ 5 次，相位为 10π t－ π ，
第五章5.7三角函数的应用PPT课件(人教版)
(2)振子在1 s内通过的路程为4A，故在5 s内通过的路程s＝5×4A＝20A＝ 20×10＝200(cm). 5 s末物体处在B点，所以它的位移为0 cm.
题型二 已知三角函数解析式解决应用问题 【例 2】 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，小球来回摆动时，离开
平衡位置的位移 s(单位：厘米)与时间 t(单位：秒)的函数关系是：s＝6sin(2πt＋π6). (1)画出它一个周期的图象； (2)回答以下问题： ①小球开始摆动(即 t＝0)，离开平衡位置是多少厘米？ ②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少厘米？ ③小球来回摆动一次需要多少时间？
解 (1)周期 T＝22ππ＝1(秒). 列表：
t
0
1 6
5 12
2 3
11 12
1
2πt＋π6
π 6
π 2
π
3π 2
2π 2π＋π6
6sin(2πt＋π6) 3
6
0 －6 0
3
描点画图：
(2)①小球开始摆动(t＝0)，离开平衡位置为3 厘米. ②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 厘米. ③小球来回摆动一次需要1 秒(即周期).
规律方法 根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，视察散点图，然后进行函数 拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题.
【训练4】 一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下 表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为 ________.
∴ω≥300π>942，又ω∈N*，
故所求最小正整数ω＝943.
规律方法 已知三角函数图象解决应用问题，第一由图象确定三角函数的 解析式，其关键是确定参数A，ω，φ，同时在解题中注意各个参数的取值 范围.
三角函数的图像与应用-课件
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的性质
函数 性质
y=sinx
y=cosx
y=tanx
定义域
xR
xR
x R且 x k, k Z
2
值 域 {y | 1 y 1} {y | 1 y 1}
R
函数 性质
y=sinx
y=cosx
y=tanx
单调性
在［ 2k, 2k］ 在［ 2k 1 , 2k］
解析： 1因为x 5 是函数y f x的一条对称轴，
8
则当x 5 时，y取最值，所以sin(2 5 ) 1，
8
8
所以 5 k (k Z)．
4
Байду номын сангаас
2
又 0，所以 3 .
4
解析： 2由f x为偶函数，
则当x 0时，y取最值，
所以sin(2 0 ) 1， 则 k (k Z)．又 0，
2
2
x k,k Z 无对称轴
2
2
y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；
当 φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由 ωx＋φ＝kπ ＋π2(k∈Z)求得. y＝Acos(ωx＋φ)，当 φ＝kπ＋2π(k∈Z)时为奇函数；
当 φ ＝ kπ(k∈Z) 时 为 偶 函 数 ； 对 称 轴 方 程 可 由 ωx ＋ φ ＝ kπ(k∈Z)求得. y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数.
例 3 已知函数 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中 A>0，ω>0)的 图像在 y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为 M(2,2 2)，与 x 轴在原点右侧的第一个交点为 N(6,0)，求这个 函数的解析式．
《三角函数的应用》三角函数PPT教学课件(第2课时)
再见
高中数学人教A版必修第一册单元教学设计
三角函数的应用
第2课时
-.
整体感知
问题1 匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象， 可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律，其中分别是通过什么 方法构建得到其中的函数模型？
答案：匀速圆周运动是依据三角函数定义，直接推理得出变量之间的关系 ，得到函数模型；简谐运动和交变电流是通过收集数据——画散点图——选择 函数模型——求解函数模型的方法建立函数模型．
新知探究
5．模型应用
问题6 可以将上述求得的点A，B，C，D的横坐标作为进出港时间吗？为 什么？
答案：事实上为了安全，进港时间要比算出的时间推后一些，出港时间要比 算出的时间提前一些，这样才能保证货船始终在安全水域．
例如，由模型解出的凌晨进港时间约等于0.3975时，如果考虑到安全因素， 在稍后的0.5时，即0时30分进港是合适的.
5．模型应用
问题5 例2（2）中，货船需要的安全深度是多少？转化为数学问题，就是 在函数的解析式中，哪个变量需要满足什么条件，该船就可以进入港口？从图 象上看呢？
答案：货船需要的安全水深为4+1.5=5.5m． 从函数的解析式来看，满足y≥5.5，该船可以进入港口； 从图象上看，就是函数 y 2.5 sin 5π x 5 的图象在直线y=5.5上方时，该船可
31
，因此5π x 0.2014 ，或π 5π x 0.2014 ．
31
31
解得xA≈0.3975，xB≈5.8025．
由函数的周期性易得：
xC≈12.4+0.3975=12.7975，xD≈12.4+5.8025=18.2025． 因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右进港；或在下午 13时左右进港，下午18时左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．
5.7 三角函数的应用(课件)
栏目索引
第五章 三角函数
课前自主预习
知识点 A, ω， φ的物理意义
在y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(A>0，ω>0)中，各参数的物理意义.
振幅 __A______ 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的___最__大__距__离____
周期
T＝2ωπ
它是做简谐运动的物体往复运动___一__次_____所需要的时间
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谢谢观看！
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第五章 三角函数
[方法总结]
解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义求准定义域．
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第五章 三角函数
随堂本课小结
实际生活中具有周期性的现象往往可以借助三角函数模型来描述． 三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题． (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
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第五章 三角函数
[变式探究 2] 若本例中海滨浴场某区域的水深 y(米)与时间 t(时)的数据如下表： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
用 y＝Asin ωt＋b 刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式． 解 函数 y＝Asin ωt＋b 在一个周期内由最大变到最小需 9－3＝6(h)，此为半个 周期，∴函数的最小正周期为 12 h，因此2ωπ＝12，ω＝π6. 又∵当 t＝0 时，y＝10；当 t＝3 时，ymax＝13， ∴b＝10，A＝13－10＝3， ∴所求函数的解析式为 y＝3sin π6t＋10(0≤t≤24)．
第五章 三角函数
课前自主预习
知识点 A, ω， φ的物理意义
在y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)(A>0，ω>0)中，各参数的物理意义.
振幅 __A______ 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的___最__大__距__离____
周期
T＝2ωπ
它是做简谐运动的物体往复运动___一__次_____所需要的时间
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第五章 三角函数
[方法总结]
解三角函数应用问题的基本步骤
提醒：关注实际意义求准定义域．
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第五章 三角函数
随堂本课小结
实际生活中具有周期性的现象往往可以借助三角函数模型来描述． 三角函数模型构建的步骤 (1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题． (4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验．
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第五章 三角函数
[变式探究 2] 若本例中海滨浴场某区域的水深 y(米)与时间 t(时)的数据如下表： t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0
用 y＝Asin ωt＋b 刻画水深与时间的对应关系，试求此函数解析式． 解 函数 y＝Asin ωt＋b 在一个周期内由最大变到最小需 9－3＝6(h)，此为半个 周期，∴函数的最小正周期为 12 h，因此2ωπ＝12，ω＝π6. 又∵当 t＝0 时，y＝10；当 t＝3 时，ymax＝13， ∴b＝10，A＝13－10＝3， ∴所求函数的解析式为 y＝3sin π6t＋10(0≤t≤24)．
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
高中数学课件三角函数ppt课件完整版目录•三角函数基本概念与性质•三角函数诱导公式与恒等式•三角函数的加减乘除运算•三角函数在解三角形中的应用•三角函数在数列和概率统计中的应用•总结回顾与拓展延伸PART01三角函数基本概念与性质三角函数的定义及性质三角函数的定义正弦、余弦、正切等函数在直角三角形中的定义及在各象限的性质。
特殊角的三角函数值0°、30°、45°、60°、90°等特殊角度下各三角函数的值。
诱导公式利用周期性、奇偶性等性质推导出的三角函数诱导公式。
正弦、余弦函数的图像及其特点，如振幅、周期、相位等。
三角函数图像周期性图像变换正弦、余弦函数的周期性及其性质，如最小正周期等。
通过平移、伸缩等变换得到其他三角函数的图像。
030201三角函数图像与周期性正弦、余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为R 。
值域在各象限内，正弦、余弦函数的单调性及其变化规律。
单调性利用三角函数的性质求最值，如振幅、周期等参数对最值的影响。
最值问题三角函数值域和单调性PART02三角函数诱导公式与恒等式诱导公式及其应用诱导公式的基本形式01通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基本角度（如0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值。
诱导公式的推导02利用三角函数的周期性、对称性、奇偶性等性质，通过逻辑推理和数学归纳法等方法推导出诱导公式。
诱导公式的应用03在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面有广泛应用。
例如，利用诱导公式可以简化计算过程，提高解题效率。
恒等式及其证明方法恒等式的基本形式两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。
其中，代数法是通过代数运算和变换来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函数的性质和关系来证明恒等式。
5.7【课件(人教版)】三角函数的应用
3．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin(ωπt＋π4)＋60(美 元)，t 为天数，A>0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价 80 美元，当 t ＝150 天时，油价最低，则 ω 最小值为________． 解析：A＋60＝80 得 A＝20，且 150πω＋π4＝－π2＋2kπ，k∈Z，即 k＝1 时， ω 最小值为1120. 答案：1120
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 y －4.0 －2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 －2.8 －4.0
解析：设 y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以看到 A＝4，ω＝ 2Tπ＝02.π8＝52π， 又由 4sin φ＝－4.0，得 sin φ＝－1，取 φ＝－π2，则 y＝4sin52πt－π2，即 y ＝－4cos52πt. 答案：y＝－4cos52πt
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R 的最大值为 A.
(× )
(2)函数 y＝Asin(ωx－φ)的初相为 φ.
( ×)
(3)“五点法”作函数 y＝2sinx＋π3在一个周期上的简图时，第一个点为
π3，0.
( ×)
2．函数 y＝2sinx2＋π5的周期、振幅依次是
A＋b＝14， 【解】 (1)由题意知－A＋b＝－2，
A＝8， 解得b＝6， 易知T2＝14－2，所以 T＝24， 所以 ω＝1π2， 易知 8sin1π2×2＋φ＋6＝－2，
即 sin1π2×2＋φ＝－1， 故1π2×2＋φ＝－π2＋2kπ，k∈Z， 又|φ|<π，得 φ＝－23π， 所以 y＝8sin1π2x－23π＋6(x∈[0，24))．
三角函数的应用PPT课件
适的_直__角三__角_形___, 在这个直角三角形中进行计算，会选
择合适的sin a cos a
tan a。
2、如何选择合适的三角函数解决实际问题？（自己总结）
课堂检测
图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景．图2是 小明锻炼时上半身由EM位置运动到与地面垂直的EN位置时 的示意图．已知BC=0.64米，AD=0.24米，α=18° （sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32） 求AB的长（精确到0.01米）；
c
B
a
A
b
C
2、直角三角形两锐角的关系是：
3、直角三角形边与角又存在哪些函数关系，
分别表示∠A和∠B的三角函数。
sin A=_________, cos _________, tan A=___________; sin B=_________, cos B=_________, tan B=___________;
已知小明所处位置距离地面有160米高，测得“中原第一 高楼”顶部的仰角为37°，测得“中原第一高楼”底部的 俯角为45°，请你用初中数学知识帮助小明解决这个问题． （请你画出示意图，并说明理由．）
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
四、课堂小结
1、在利用三角函数解决实际问题时，关键是找准合
C
MN
60° B
45° A
总结：
解直角三角形的应用题关键是 找直角三角形 。 利用直角三角形两锐角 互余 ，三条边满足勾股定理， 以及锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值解 决问题。 注意：要正确选择正弦、余弦、正切
（2015年一测）住在郑东新区的小明想知道“中原第一高 楼”有多高，他登上了附近的另一个高层酒店的顶层某处，