1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(三)单调性

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正弦函数、余弦函数的性质

2 T
二、奇偶性
y
o
x
正弦函数是奇函数, 余弦函数是偶函数.
三、最大值与最小值
y
o
x
正弦函数当且仅当x 2k 且仅当x 2k

2
, k Z时取得最大值1, 当

2 余弦函数当且仅当x 2k , k Z时取得最大值1,当且仅当x 2k , k Z时取得最小值 1.
解：（1）∵
3cos( x 2 ) 3cos x
∴自变量x只要并且至少要增加到x+2
y 3cos x, x R 的值才能重复出现.
，函数
所以，函数 y 3cos x, x R 的周期是 2
(2) sin(2 x 2 ) sin 2( x ) sin 2 x
§ 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 (一)
引入
y
o
ห้องสมุดไป่ตู้
x
周期函数: 对于函数f(x),若存在一个非零常数 ,使 T
得当x取定义域内的每一个值都有时, f ( x T ) f ( x)
称之, 非零常数T叫做这个函数的周期.
新课
若在周期函数的所有周期中存 f(x) 在一个最小的正数, 则这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
, k Z时取得最小值 1;
例2、求下列函数的最及取得最值时自值, 变量x的集合:
(1) y cos x 1, x R; ( 2) y 3 sin 2 x, x R;
小结
1. 周期函数的定义，周期，最小正周期
2. 三角函数的奇、偶性
3. 三角函数的单调性；
作业
一、周期性正弦函数是周期函数2k( k Z , k 0)都 ,

1.4.2第2课时正、余弦函数的单调性与最值课件

栏目导引
第一章三角函数
(4)确定含有正弦函数或余弦函数的较复杂函数的单调性时，要注意使用复杂函数的判断方法来判断． 2．解析正弦函数、余弦函数的最值 (1)明确正弦、余弦函数的有界性，即|sin x|≤1，|cos x|≤1. (2)对有些函数，其最值不一定就是1或－1，要依赖函数的定义域来决定． (3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求最值时，通常利用“整体代换”，即令ωx＋φ＝z，将函数转化为y＝Asin z的形式求最值．
第一章三角函数
栏目导引
第一章三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)．所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π＋2kπ，74π＋ 2kπ](k∈Z)；单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目导引
第一章三角函数
【名师点评】正弦、余弦函数单调区间的求解技巧： (1)结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间． (2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ ωx＋φ”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出函数的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式将x的系数转变为正数．
栏目导引
第一章三角函数
跟踪训练
1．求函数 y＝sin(π3－12x)，x∈[－2π，2π]的单调递增区间．解：y＝sin(π3－12x)＝－sin(12x－π3)．由 y＝sin x 与 y＝－sin x 的图象关于 x 轴对称可知，y＝sin x 的递增区间就是 y＝－sin x 的递减区间．因此，要求 y＝－sin(12x－π3)的递增区间，只要求出 y＝sin(12x－π3)的递减区间即可．

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质知识点一正弦函数、余弦函数的周期性函数的周期性1、(1)对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f (x )的最小正周期．2、A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )，所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(Aω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期．3、由sin(x ＋2k π)＝sin_x ，cos(x ＋2k π)＝cos_x (k ∈Z )知，y ＝sin x 与y ＝cos x 都是周期函数，2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它们的周期，且它们的最小正周期都是2π.知识点二正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)对于y ＝sin x ，x ∈R ，恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． (2)对于y ＝cos x ，x ∈R ，恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称．知识点三正弦、余弦函数的单调性[－1,1][－1,1]对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，Aω≠0时的最小正周期的求法常直接利用T ＝2π|ω|来求解，对于y ＝|A sin ωx |的周期情况常结合图象法来求解． 1、求下列函数的最小正周期． (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．2、下列函数是以π为周期的函数是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝sin x ＋2C ．y ＝cos2x ＋2D ．y ＝cos3x －13．函数f (x )是周期函数，10是f (x )的一个周期，且f (2)＝2，则f (22)＝________.4．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的最小正周期为2，则ω的值为________．类型二三角函数的奇偶性对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．判断函数奇偶性应把握好两个关键点关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二：看f (x )与f (－x )的关系．1、判断下列函数的奇偶性．(1) f (x )＝sin(－x )（2）f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋2x ＋x 2sin x ； (3)f (x )＝1－2cos x ＋2cos x －1.2、若函数y ＝cos(ωx ＋φ)是奇函数，则( )A ．ω＝0B ．φ＝k π(k ∈Z )C ．ω＝k π(k ∈Z )D ．φ＝k π＋π2(k ∈Z )3、已知函数f (x )＝ax ＋b sin x ＋1，若f (2018)＝7，则f (－2018)＝________.类型三三角函数的奇偶性与周期性的综合应用1．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数2、定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3的值．2、已知函数f (x )＝cos π3x ，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2020)的值．3、设函数f (x )＝sin π3x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＝________.类型四求正弦、余弦函数的单调区间用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．1．函数y ＝sin2x 的单调递减区间。

专题1.4.1-2 正弦函数与余弦函数的图象与性质重难点题型(举一反三)(解析版)

1.4.1-2正、余弦函数的图象与性质重难点题型【举一反三系列】【知识点1 正弦函数、余弦函数图象的画法】1．描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数、余弦函数图象的方法。

2．几何法：利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在]2,0[π内的图象，再通过平移得到x y sin =和cos y x =的图象。

3．五点法：先描出正弦曲线和余弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。

要点诠释：（1）熟记正弦函数、余弦函数图象起关键作用的五点。

（2）若x R ∈，可先作出正弦函数、余弦函数在]2,0[π上的图象，然后通过左、右平移可得到x y sin =和cos y x =的图象。

（3）由诱导公式cos sin()2y x x π==+，故cos y x =的图象也可以将x y sin =的图象上所有点向左平移2π个单位长度得到。

【知识点2 正弦曲线、余弦曲线】1.定义：正弦函数sin ()y x x R =∈和余弦函数cos ()y x x R =∈的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线。

2.图象要点诠释：（1）由正弦曲线和余弦曲线可以研究正弦函数、余弦函数的性质。

（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如[]0,2x π∈，方程lg sin x x =根的个数。

【知识点3 函数图象的变换】图象变换就是以正弦函数、余弦函数的图象为基础通过对称、平移而得到。

sin sin()sin()y x y x y A x ϕωϕ=→=+→=+【知识点4 周期函数的定义】函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期.1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.【知识点5 正弦函数、余弦函数的图象和性质】【知识点6 正弦型函数和余弦型函数的性质】函数sin()y A x ωϕ=+与函数cos()y A x ωϕ=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到：（1）定义域：R ；（2）值域：[],A A -；（3）单调区间：求形如sin()y A x ωϕ=+与函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ωϕ+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由)(2222Z k k x k ∈+≤+≤-ππϕωππ解出x 的范围所得区间即为增区间，由)(23222Z k k x k ∈+≤+≤+ππϕωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间．（4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ωϕ=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ωϕω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为奇函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为偶函数；对于函数cos()y A x ωϕ=+，当()k k z ϕπ=∈时为偶函数，当()2k k z πϕπ=±∈时为奇函数．要点诠释：判断函数sin()y A x ωϕ=+，cos()y A x ωϕ=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．（5）周期：函数sin()y A x ωϕ=+及函数cos()y A x ωϕ=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T πω=．（6）对称轴和对称中心与正弦函数sin y x =比较可知，当()2x k k z πωϕπ+=±∈时，函数sin()y A x ωϕ=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ωϕ=+的对称轴由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出，其对称中心的横坐标()x k k z ωϕπ+=∈，即对称中心为,0()k k z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭．同理，cos()y A x ωϕ=+的对称轴由()x k k z ωϕπ+=∈解出，对称中心的横坐标由()2x k k z πωϕπ+=±∈解出．【考点1 正、余弦函数的定义域】【例1】（2019春•南湖区校级月考）已知函数()f x 的定义域为．【分析】根据根式满足的条件，解三角不等式即可．【答案】解：∵2sin （2x ﹣）﹣1≥0⇒sin （2x ﹣）≥，∴2k π+≤2x ﹣≤2k π+，k ∈Z ，∴k π+≤x ≤k π+，k ∈Z ．故答案是{x|kπ+≤x≤kπ+，k∈Z}【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，解三角不等式．【变式1-1】（2019秋•黄冈期末）函数y的定义域是．【分析】由题意可得sin x≥0，cos x≥0，故2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，解出x的范围，即得所求．【答案】解：由题意可得sin x≥0，cos x≥0，∴2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，故函数的定义域为（2kπ，2kπ+），k∈z，故答案为：（2kπ，2kπ+），k∈z．【点睛】本题考查求函数的定义域，以及三角函数在各个象限中的符号，得到2kπ+0≤x≤2kπ+，k∈z，是解题的关键，属于基础题．【变式1-2】函数1sin21sin2xyx+=-的定义域为．【分析】此为一分式函数，令分母不为0即可解出函数的定义域来．【答案】解：令﹣sin x≠0，即sin x≠，如图x≠2kπ+，x≠2kπ+＝（2k﹣1）π﹣，k∈z，故其形式可以统一为x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．所以函数的定义域为{x|x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．}应填{x|x≠kπ+（﹣1）k，k∈z．}【点睛】考查定义域的求法与解三角方程，本题中把两种情况的答案合二为一是一个技巧，答题者应细心体会其中的规律．【变式1-3】（2019秋•安福县校级期中）函数(2cos 21)y lg x =+的定义域为．【分析】由题意可得，化简可得，由此求出x 的范围，即得函数的定义域．【答案】解：∵函数，∴，即．化简可得，解得﹣＜x ＜．故函数的定义域为（﹣，），故答案为（﹣，）．【点睛】本题主要考查求余弦函数的定义域和值域，求对数函数的定义域，属于基础题．【考点2 正、余弦函数的值域】【例2】（2018秋•启东市校级月考）函数()sin(2)4f x x π=-在区间[0,]2π上的值域为．【分析】由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f （x ）＝sin 在区间上的值域．【答案】解：在区间上，2x ﹣∈[﹣，]，sin （2x ﹣）∈[﹣，1]，故函数f （x ）＝sin 在区间上的值域为[﹣，1]，故答案为：[﹣，1]．【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于基础题．【变式2-1】（2019秋•射阳县校级期中）函数2()2cos 3sin 2f x x x =++，[6x π∈，2]3π的值域．【分析】根据同角公式化简函数解析式，得到关于sin x 的二次函数，根据二次函数的图象和性质，可得函数的值域．【答案】解：y ＝2cos 2x +3sin x +2＝2（1﹣sin 2x ）+3sin x +2＝﹣2（sin x ﹣）2+，x ∈[，]，∴sin x ∈[，1]，∴当sin x ＝时，函数f （x ）取最大值，当sin x ＝或sin x ＝1时，函数f （x ）取最小值5，故函数f （x ）＝2cos 2x +3sin x +2，x ∈[，]的值域为[5，]，故答案为：[5，]【点睛】此题考查学生灵活运用同角公式化简求值，会利用二次函数的图象及增减性求出函数的值域．做题时注意余弦函数的值域．【变式2-2】（2019春•淄博校级月考）函数3sin 3sin xy x-=+的值域为．【分析】先换元t ＝sin x ，t ∈[﹣1，1]，，利用凑分母分离常数，然后逐一求式子的范围，即可求函数的值域．【答案】解：令t ＝sin x ，t ∈[﹣1，1]，所以：，∵﹣1≤t ≤1， ∴2≤t +3≤4， ∴， ∴， ∴，函数的值域为．故答案为：．【点睛】本题重点考查分式函数求值域问题，用到换元，利用凑分母分离常数．【变式2-3】（2019秋•西城区期末）已知函数()sin()6f x x π=+，其中[3x π∈-，]a ．当2a π=时，()f x 的值域是；若()f x 的值域是1[2-，1]，则a 的取值范围是．【分析】当a ＝时，由x ∈[﹣，]利用正弦函数的定义域和值域可得f （x ）的值域．若f （x ）的值域是[﹣，1]，则由正弦函数的图象可得≤a +≤，由此解得a 的取值范围．【答案】解：当a ＝时，由x ∈[﹣，]可得﹣≤x +≤，∴﹣≤sin （x +）≤1，∴f （x ）的值域是[﹣，1]．若f （x ）的值域是[﹣，1]，则≤a +≤，解得≤a +≤π，即a 的取值范围是[，π]，故答案为[﹣，1]、[，π]．【点睛】本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于基础题．【考点3 正、余弦函数作图】【例3】（2019春•郑州期末）已知函数()sin()(04f x x πωω=->，)x R ∈的最小正周期为π．（Ⅰ）求3()4f π；（Ⅱ）在给定的平面直角坐标系中，画出函数()y f x =在区间[2π-，]2π上的图象．【分析】（1）根据T ＝，求出周期，得到函数的解析式，代入值计算即可；（2）利用五点作图法作图即可．【答案】解：（1）依题意得，T ＝＝π，解得ω＝2，所以f （x ）＝sin （2x ﹣），所以 f （π）＝sin （2×﹣）＝sin （π+）＝﹣sin＝﹣，（2）画出函数在区间上的图象如图所示：【点睛】本题考查了三角函数的周期性质，以及三角函数值的求法和函数图象的做法，属于基础题．【变式3-1】画出下列函数的简图：π；（1）1sinx∈，2]=-，[0y xπ．（2）3cos1x∈，2]y x=+，[0【分析】根据五点做出函数的简图，即可得到结论．【答案】解：（1）列表如下：画出图形，如图：（2）列表为函数图象如下：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握五点法作图以及图象之间的关系，属于基本知识的考查．【变式3-2】画出下列函数的图象．π（1）13cosy x=+，[0x∈，2]π．（2）2sin1x∈，2]=-，[0y x【分析】（1）用五点法作出函数y＝1+3cos x在一个周期上的简图．（2）用五点法作出函数y＝2sin x﹣1在一个周期上的简图．【答案】解：（1）列表：如图：（2）列表：如图：【点睛】本题主要考查用五点法作函数 y ＝A sin （ωx +φ）的图象、y ＝A cos （ωx +φ）的图象，属于基础题．【变式3-3】用多种方法在同一坐标系中画出下列函数．（1）sin y x =，[0x ∈，2]π （2）sin 1y x =+，[0x ∈，2]π （3）cos y x =，[2x π∈-，]2π （4）cos y x =-，[2x π∈-，3]2π．【分析】利用五点作图法和图象的平移即可得到各个函数的图象．【答案】解：同一坐标系中各个函数的图象如下：【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，考察作图能力，属于基础题．【考点4 正、余弦函数的最小正周期】【例4】求下列函数的最小正周期．（1）sin(3)2y x π=+；（2）|cos |y x =【分析】（1）由条件根据函数y ＝A sin （ωx +φ）的周期为，可得结论．（2）由条件根据函数y ＝|A cos （ωx +φ）|的周期为•，可得结论．【答案】解：（1）y ＝sin （x +3）的最小正周期为＝4，（2）y ＝|cos x |的最小正周期为•＝π．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性，利用了函数y ＝A sin （ωx +φ）的周期为，函数y ＝|A cos（ωx +φ）|的周期为•，属于基础题．【变式4-1】求下列函数的最小正周期（1）cos2y x =；（2）sin 2xy =；（3）1sin y x =+．【分析】利用三角函数的周期性及其求法即可得解．【答案】解：（1）∵y ＝cos2x ，∴最小正周期T ＝＝π；（2）∵y ＝sin ，∴最小正周期T ＝＝4π；（3）∵y ＝1+sin x ，∴最小正周期T ＝＝2π；【点睛】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基础题．【变式4-2】求下列函数的最小正周期（1）2sin()32xy π=-（2）1cos(2)36y x π=-（3）|sin |y x =【分析】分析：（1）利用了y ＝A sin （ωx +φ ）的周期等于，即可求值；（2）利用了y ＝A cos （ωx +φ ）的周期等于，即可求值；（3）根据y ＝|A sin （ωx +φ ）|、y ＝|A sin （ωx +φ ）|的周期等于，得出结论．【答案】解：（1）∵y ＝2sin （﹣）＝﹣2sin （），∴T ＝＝4π；（2）∵y ＝cos （2x ﹣），∴T ＝＝π；（3）根据y ＝|sin x |的周期等于y ＝sin x 的周期的一半，故y ＝|sin x |的周期为×2π＝π．【点睛】本题主要考查三角函数的周期性及其求法，利用了y ＝A sin （ωx +φ ）、y ＝A cos （ωx +φ ）的周期等于，y ＝|A sin （ωx +φ ）|、y ＝|A sin （ωx +φ ）|的周期等于，属于基础题．【变式4-3】求下列函数的最小正周期．（1）1cos(2)33y x π=-；（2）cos ||y x =．【分析】（1）由条件利用y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，可得结论．（2）根据y ＝cos|x |＝cos x ，而且y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，可得结论．【答案】解：（1）y ＝cos （2x ﹣）的最小正周期为＝π，（2）y ＝cos|x |＝cos x 的最小正周期为＝2π．【点睛】本题主要考查余弦函数的周期性，利用了y ＝A cos （ωx +φ）的周期等于 T ＝，属于基础题．【考点5 正、余弦函数的奇偶性】【例5】判断下列函数的奇偶性：（1）cos2y x =，x R ∈；（2）cos(2)2y x π=-；（3）2sin()3y x π=+；（4）cos()4y x π=-．【分析】分别化简函数后根据正弦函数、余弦函数的图象和性质逐一判断即可．【答案】解：（1）由余弦函数的图象和性质可知y ＝cos2x ，x ∈R 为偶函数；（2）∵y ＝cos （2x ﹣）＝sin2x ，∴由正弦函数的图象和性质可知y ＝sin2x ，为奇函数；（3）∵y ＝sin （x +π）＝﹣sin x ，∴由正弦函数的图象和性质可知y ＝﹣sin x ，为奇函数；（4）∵y ＝cos （x ﹣），且f （﹣x ）＝cos （﹣x ﹣）＝cos （x +），∴由余弦函数的图象和性质可知y ＝cos （x ﹣），为非奇函数，非偶函数．【点睛】本题主要考察了正弦函数、余弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．【变式5-1】判断下列函数的奇偶性（1）()sin()f x x x π=+；（2）1cos ()sin xf x x-=．【分析】（1）利用诱导公式化简函数的解析式，再根据函数的奇偶性的定义，得出结论．（2）利用半角公式化简函数的解析式，再根据函数的奇偶性的定义，得出结论．【答案】解：（1）∵f （x ）＝x sin （π+x ）＝﹣x sin x ，它的定义域为R ，且满足f （﹣x ）＝﹣x •sin （﹣x ）＝x sin x ＝f （x ），故该函数为偶函数．（2）对于函数 f （x ）＝＝tan ，它的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，且满足f （﹣x ）＝tan （﹣）＝﹣tan ＝﹣f （x ），故该函数为奇函数．【点睛】本题主要考查三角公式，三角函数的奇偶性的判断方法，属于基础题．【变式5-2】判断下列函数的奇偶性：（1）()2f x x ；（2）33()sin()42x f x π=+；（3）()f x =．【分析】求出定义域，判断是否关于原点对称，注意运用诱导公式，定义域化简函数式，再计算f （﹣x ），与f （x ）比较即可判断其偶性．【答案】解：（1）定义域为R ，f （﹣x ）＝sin （﹣2x ）＝﹣sin2x ＝﹣f （x ），则f （x ）为奇函数；（2）f （x ）＝sin （+）＝﹣cos，定义域为R ，f （﹣x ）＝﹣cos （﹣）＝﹣cos＝f （x ），则f （x ）为偶函数；（3）由1﹣cos x ≥0且cos x ﹣1≥0，则cos x ＝1，解得，x ＝2k π，k ∈Z ，则定义域关于原点对称，由于f （x ）＝0，则f （﹣x ）＝f （x ），且f （﹣x ）＝﹣f （x ），则f （x ）既是奇函数，也是偶函数．【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断，注意运用定义，考查运算能力，属于基础题．【变式5-3】判断下列函数的奇偶性．（1）1sin cos ()1sin cos x xf x x x--=++；（2）44()sin cos cos 2f x x x x =-+．【分析】（1）容易判断f （x ）的定义域包含x ＝，不包含，即定义域不关于原点对称，从而得出f （x ）为非奇非偶函数；（2）容易得出f （﹣x ）＝f （x ），从而得出f （x ）为偶函数．【答案】解：（1）∵；∴时，f （x ）有意义，时，f （x ）没意义；∴f （x ）的定义域关于原点不对称； ∴f （x ）为非奇非偶函数；（2）f （﹣x ）＝sin 4（﹣x ）﹣cos 4（﹣x ）+cos （﹣2x ）＝sin 4x ﹣cos 4x +cos2x ＝f （x ）；即f （﹣x ）＝f （x ）； ∴f （x ）为偶函数．【点睛】考查奇函数、偶函数的定义，奇函数、偶函数定义域的特点．【考点6 正、余弦函数的对称轴及对称中心】【例6】（2019春•资阳区校级月考）求函数12sin()26y x π=-的对称轴和对称中心．【分析】由条件根据正弦函数的对称性，求得函数y ＝2sin （x ﹣）的对称轴和对称中心．【答案】解：对于函数y ＝2sin （x ﹣），令x ﹣＝k π+，k ∈z ，求得x ＝2k π+，故函数的对称轴方程为 x ＝2k π+，k ∈z ．令x ﹣＝k π，k ∈z ，求得x ＝2k π+，故函数的对称中心为（2k π+，0）k ∈z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的对称性，属于基础题．【变式6-1】求2cos(2)6y x π=-单调性对称轴对称中心．【分析】对于函数y ＝2cos （2x ﹣），令2k π﹣π≤2x ﹣≤2k π，求得x 的范围，可得函数的增区间；令2k π≤2x ﹣≤2k π+π，求得x 的范围，可得函数的减区间．令2x ﹣＝k π，求得x 的值，可得函数的图象的对称中心．【答案】解：对于y ＝2cos （﹣2x ）＝2cos （2x ﹣），令2k π﹣π≤2x ﹣≤2k π，求得k π﹣≤x ≤k π+，可得函数的增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈z ．令2k π≤2x ﹣≤2k π+π，求得k π+≤x ≤k π+，可得函数的减区间为[k π+，k π+]，k ∈z ．令2x ﹣＝k π，求得x ＝+，可得函数的图象的对称中心为（+，0）．【点睛】本题主要考查余弦函数的单调性、余弦函数的图象的对称中心，属于基础题．【变式6-2】变式训练1：求函数的对称轴，对称中心（1）1())4f x x π=+；（2）1()2cos()123f x x π=-+．【分析】直接根据正余弦函数的图象及性质求解即可．【答案】解：（1）f （x ）＝sin （2x +π）；令2x +π＝，k ∈Z 可得：x ＝，∴对称轴方程为：x ＝，k ∈Z 令2x +π＝k π，k ∈Z 可得：x ＝，∴对称中心（，0）．k ∈Z（2）f （x ）＝2cos （x ﹣）+1．令x ﹣＝，k ∈Z可得：x ＝2k π ∴对称中心（2k π，1）．k ∈Z令x ＝k π，k ∈Z可得：x ＝，∴对称轴方程为：x ＝，k ∈Z【点睛】本题考查了正余弦函数的图象及性质的应用．属于基础题．【变式6-3】求下列函数图象的对称轴、对称中心．（1）sin()24x y π=-；（2）2sin(2)3y x π=++．【分析】由条件利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．【答案】解：对于（1）y ＝sin （﹣），令﹣＝k π+，求得x ＝2k π+，可得函数的图象的对称轴为x ＝2k π+，k ∈Z ．令﹣＝k π，求得x ＝2k π+，可得函数的图象的对称中心为（2k π+，0），k ∈Z ．（2）对于y ＝2+sin （+2x ），令2x +＝k π+，求得x ＝k π+，可得函数的图象的对称轴为x ＝k π+，k ∈Z ．令2x +＝k π，求得x ＝k π﹣，可得函数的图象的对称中心为（k π﹣，0），k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题．【考点7 正、余弦函数的单调性】【例7】（2019•上城区校级模拟）设函数()3sin()(0)4f x x πωω=+>，且以23π为最小正周期．（1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 的对称轴方程及单调递增区间．【分析】（1）由题意利用正弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得它的对称轴方程；再利用正弦函数单调性求得它的单调递增区间．【答案】解：（1）由于函数，且以为最小正周期，∴＝，∴ω＝3， f （x ）＝3sin （3x +）．（2）令3x +＝k π+，求得x ＝+，故函数的图象的对称轴方程为 x ＝+，k ∈Z ．令 2k π﹣≤3x +≤2k π+，求得﹣≤x ≤+，可得函数的增区间为[﹣，+]，k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．【变式7-1】（2018秋•嘉兴期末）已知函数()2sin(2)()6f x x m m R π=-+∈的最小值为1．（Ⅰ）求m 的值及取此最小值时的x 值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间．【分析】（Ⅰ）由题意利用正弦函数的最值，求出m 的值及取此最小值时的x 值．（Ⅱ）利用正弦函数的周期性以及单调性，求得函数f （x ）的最小正周期和单调递增区间．【答案】解：（Ⅰ）函数 f （x ）＝2sin （2x ﹣）+m （m ∈R ）的最小值为﹣2+m ＝1，∴m ＝3．取取此最小值时，2sin （2x ﹣）＝﹣1，2x ﹣＝2k π﹣，求得x ＝k π﹣，k ∈Z ．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 f （x ）＝2sin （2x ﹣）+3，它的最小正周期为＝π，令2k π﹣≤2x ﹣≤2k π+，求得k π﹣≤x ≤k π+，可得函数的增区间为[k π﹣，k π+]，k ∈Z ．【点睛】本题主要考查正弦函数的最值，周期性以及单调性，属于中档档题．【变式7-2】（2019春•靖远县期末）已知函数1()2cos()212f x x π=+．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求不等式()1f x >的解集．【分析】（1）根据余弦函数的单调增区间可得，然后解出x 的范围即可；（2）由f （x ）＞1可得，则，k ∈Z ，解出x 的范围即可．【答案】解：（1），由， ∴，∴f （x ）的单调递增区间为；（2）∵f （x ）＞1，∴，∴，∴，k ∈Z ， ∴，k ∈Z ，∴不等式的解集为，k ∈Z ．【点睛】本题考查了余弦函数的单调性和解三角不等式，考查了运算能力，属基础题．【变式7-3】（2019秋•福建月考）已知函数())4f x x π=-，[,]82x ππ∈-（1）求函数()f x 的单调区间．（2）求函数()f x 在区间[,]82ππ-上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．【分析】（1）x ∈[﹣，]⇒2x ﹣∈[﹣，]，利用余弦函数的单调性即可求得f （x ）＝cos （2x ﹣）的单调区间；（2）利用（1）f （x ）＝cos （2x ﹣）在区间[﹣，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，即可求得其最小值和最大值及取得最值时x 的值．【答案】解：（1）∵f （x ）＝cos （2x ﹣），x ∈[﹣，]，∴2x ﹣∈[﹣，]，由﹣≤2x ﹣≤0得：﹣≤x ≤，∴当x ∈[﹣，]时，函数f （x ）的单调递增区间为[﹣，]；由0≤2x ﹣≤得，≤x ≤，∴当x ∈[﹣，]时，函数f （x ）的单调减区间为[，]；（2）∵f （x ）＝cos （2x ﹣）在区间[﹣，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，又f ＝0， f ＝， f＝cos＝﹣cos ＝﹣1，∴函数f （x ）在区间[﹣，]上的最大值为，此时x ＝，最小值为﹣1，此时x ＝．【点睛】本题考查余弦函数的单调性，考查余弦函数的定义域和值域，考查运算能力，属于中档题．【考点8 正、余弦函数的综合应用】【例8】（2019春•延吉市校级期中）已知函数()12sin(2)3f x x π=+-．（1）求对称轴，对称中心（2）求()f x 在[,]42x ππ∈的最大值和最小值；（3）若不等式|()|2f x m -<在[,]42x ππ∈上恒成立，求实数m 的取值范围【分析】（1）令2x ﹣＝可得对称轴，令2x ﹣＝k π可得对称中心；（2）由x ∈[]，可求，结合正弦函数的图象及性质可求；（3）由|f （x ）﹣m |＜2可得m ﹣2＜f （x ）＜m +2恒成立，从而有m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2可求．【答案】解：（1）令2x ﹣＝可得对称轴x ＝，k ∈z ，令2x ﹣＝k π可得，x ＝，k ∈z 可得对称中心为（，1），k ∈z ，（2）∵f （x ）＝1+2sin （2x ﹣），∵x ∈[]，∴，∴，∴f （x ）在x ∈[]的最大值3，最小值2，（3）∵|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[]上恒成立，∴m ﹣2＜f （x ）＜m +2，∴m ＞f （x ）max ﹣2且m ＜f （x ）min +2， ∴1＜m ＜4，即m 的取值范围是（1，4）．【点睛】本题主要考查了正弦函数的图象与性质的综合应用，解题的关键是性质的熟练掌握并能灵活应用．【变式8-1】已知函数()2sin(2)26f x a x a b π=-+++的定义域为[0，]2π，值域为[5-，1]．（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()4sin()3g x a bx π=--的最小值并求出对应x 的集合．【分析】（1）由x 的取值范围，求出2x +的取值范围，从而求出2sin （2x +）的取值范围；讨论a＞0、a ＜0时，函数f （x ）的最值问题，从而求出a 和b 的值．（2）根据（1）的结论，分两种情况讨论，根据正弦函数的性质即可求出．【答案】解：（1）∵0≤x ≤，∴≤2x +≤， ∴≤sin （2x +）≤1， ∴﹣1≤2sin （2x +）≤2，当a ＞0时，解得a ＝2，b ＝﹣7，当a ＜0时，，解得a ＝﹣2，b ＝1，（2）当a ＝2，b ＝﹣7时，g （x ）＝﹣8sin （﹣7x ﹣）＝8sin （7x +），其最小值为﹣8，7x +＝﹣+2k π，k ∈Z ，即x ＝﹣+，k ∈Z ，对应x 的集合为{x |x ＝﹣+，k ∈Z }，当a ＝﹣2，b ＝1时，g （x ）＝﹣8sin （x ﹣）＝﹣8sin （x ﹣），其最小值为﹣8，x ﹣＝+2k π，k ∈Z ，即x ＝π+2k π，k ∈Z ，对应x 的集合为{x |x ＝π+2k π，k ∈Z }．【点睛】本题考查了三角函数的图象与应用问题，解题时应根据三角函数的最值与值域的关系，利用分类讨论的方法，求出a 和b 的值．【变式8-2】已知函数23()sin cos 2f x x a x =+-，a R ∈．（1）当1a =时，求函数()f x 的最大值；（2）对于区间[0，)2π上的任意x ，都有1)(≤x f 成立，求实数a 的取值范围．【分析】（1）把a ＝1代入函数解析式，利用平方关系化正弦为余弦，平方后求最值；（2）f （x ）＝sin 2x +a cos x ﹣＝，令t ＝cos x 换元，则原函数化为y ＝．由f （x ）≤1，得≤1在t ∈（0，1]上成立，分离参数a ，由对勾函数的单调性求得g （t ）＝t +在t ∈（0，1]上的最小值，则答案可求．【答案】解：（1）当a ＝1时，f （x ）＝sin 2x +cos x ﹣ ＝＝．当cos x ＝时，f （x ）取最大值为；（2）f （x ）＝sin 2x +a cos x ﹣＝，令t ＝cos x ，∵x ∈[0，），∴t ＝cos x ∈（0，1]．则原函数化为y ＝．由f （x ）≤1，得≤1在t ∈（0，1]上成立，即，也就是a ≤t +在t ∈（0，1]上成立，令g （t ）＝t +，由对勾函数的单调性可得在t ∈（0，1]上g （t ）的最小值为g （1）＝．∴a．即实数a 的取值范围是（﹣∞，]．【点睛】本题考查三角函数中的恒等变换应用，训练了利用分离参数法求解恒成立问题，考查利用对勾函数的单调性求最值，是中档题．【变式8-3】（2019春•鹤壁期末）已知函数()sin(2)3f x x π=-．（Ⅰ）当1(2x π∈-，)3π-，2(0,)6x π∈时12()()0f x f x +=，求12x x -的值；（Ⅱ）令()()3F x f x =-，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++…0≤m 恒成立，求m 的最大值．【分析】（Ⅰ）运用正弦函数的诱导公式，解方程即可得到所求值；（Ⅱ）令t ＝F （x ），可得t ∈[﹣4，﹣2]，转化为二次不等式恒成立问题解法，结合图象可得m 的最大值．【答案】解：（Ⅰ）f （x 1）+f （x 2）＝0，即为sin （2x 1﹣）+sin （2x 2﹣）＝0，即有sin （2x 1﹣）＝﹣sin （2x 2﹣）＝sin （﹣2x 2），可得2x 1﹣＝2k π+﹣2x 2，或2x 1﹣＝2k π+π﹣+2x 2，k ∈Z ，即有x 1+x 2＝k π+或x 1﹣x 2＝k π﹣，k ∈Z ，由x 1∈（﹣，﹣），x 2∈（0，），可得x 1﹣x 2∈（﹣，﹣），可得x 1﹣x 2＝﹣；（Ⅱ）F （x ）＝f （x ）﹣3即F （x ）＝sin （2x ﹣）﹣3，令t ＝F （x ），可得t ∈[﹣4，﹣2]，对任意x都有F2（x）﹣（2+m）F（x）+2+m≤0恒成立，即为t2﹣（2+m）t+2+m≤0，则16+4（2+m）+2+m≤0，4+2（2+m）+2+m≤0，即m≤﹣．且m≤﹣，．解得m≤﹣，即m的最大值为﹣．【点睛】本题考查正弦函数的图象和性质，考查换元法和二次函数的性质，以及化简运算能力，属于中档题．。

三角函数正弦余弦正切

三角函数正弦余弦正切三角函数是数学中的重要概念，包括正弦、余弦和正切。

它们在数学、物理和工程等领域有广泛的应用。

本文将对三角函数的定义、性质和应用进行详细论述。

一、正弦函数正弦函数是三角函数中的一种，表示为sin(x)，其中x为角度。

正弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。

正弦函数具有以下性质：1. 周期性：正弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即sin(x) = sin(x+2πk)，其中k为整数。

2. 对称性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于y轴对称。

3. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)，表示在原点处关于原点对称。

4. 单调性：在定义域内，正弦函数在每个周期内都是单调递增或单调递减的。

5. 正弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。

正弦函数在几何、物理、电路等领域有广泛的应用，如波动、振动、交流电等的描述和计算中都会用到。

二、余弦函数余弦函数是三角函数中的另一种，表示为cos(x)，其中x为角度。

余弦函数的定义域是实数集，值域为[-1, 1]。

余弦函数具有以下性质：1. 周期性：余弦函数是周期函数，其最小正周期是2π，即cos(x) = cos(x+2πk)，其中k为整数。

2. 对称性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于y轴对称。

3. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)，表示在原点处关于原点对称。

4. 单调性：在定义域内，余弦函数在每个周期内都是单调递减的。

5. 余弦函数的图像是一个周期为2π的连续波形，以y轴为中心对称。

余弦函数在几何、物理、信号处理等领域有广泛的应用，如描述分析力学中的运动规律、计算交流电路中的电流和电压等。

三、正切函数正切函数是三角函数中的另一种，表示为tan(x)，其中x为角度。

正切函数的定义域是实数集，值域为整个实数集。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二)

跟踪训练
2．判断下列函数的奇偶性： 2x＋5π； (1)f(x)＝ 2sin 2 (2)f(x)＝ 2sin x－1.
解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关于原点对称， 2x＋5π＝ 2cos 2x，且 f(x)＝ 2sin 2 显然有 f(－x)＝ 2cos(－2x)＝ 2cos 2x＝f(x)， 2x＋5π是偶函数； ∴函数 f(x)＝ 2sin 2
－π＋2kπ，π＋2kπ ，(k∈Z) 增函数 2 2 (k∈Z) 减函数增函数减函数
π＋2kπ，3π＋2kπ， 2 2
思考应用 1．正弦函数、余弦函数是单调函数吗？能否说“正弦
函数在第一象限是增函数”？
解析：正弦函数、余弦函数都不是定义域上的单调函
数．“正弦函数在第一象限是增函数”也是错误的，因为
2．使 y＝sin x 和 y＝cos x 均为减函数的一个区间是( 0，π π，π A. B. 2 2 π，3π 3π，π C. D. 2 2
)
解析：由y＝sinx，x∈[0,2π]
与y＝cos x，x∈[0,2π]的图象知：y
＝sin x和y＝cos x的均为减函数的
三角函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝sin4x－cos4x＋cos 2x；
1－sin x－cos x (2)f(x)＝ . 1＋sin x＋cos x
分析：本题考查函数的奇偶性问题．解析： (1)∵函数的定义域为(－∞，＋∞)，即定义域关于原点对称，且f(－x)＝sin4(－x)－cos4(－x)＋cos(－2x)＝sin4x－cos4x ＋cos 2x＝f(x)，
基础梳理一、正弦函数和余弦函数的单调性

1.4.2 正弦余弦函数的性质(单调性、最值)

3 5 对称中心： ( ,0),( ,0),( ,0),( ,0) 2 2 2 2

2
k ,0) k Z
1 例5:求函数 y sin( x ) 的单调递增区间: 2 3
解:

2
1 y sin x 3 2
y sin z

2k z
余弦函数的单调性
y
1 -3
5 2
-2
3 2
-

2
o
-1

2

3 2
2
5 2
x
3
7 2
4
x
cosx
-
-1
…

2
…
0
1
…
2
…

-1
0
0
y=cosx (xR) 增区间为 [ +2k, 2k],kZ + ], kZ 减区间为 [2k, 2k，其值从-1增至1 其值从 1减至-1
y cos x
3 5 2
2

y
1
任意两相邻对称轴 ( 或对称中心 ) 的间距为 3 2 O 5 x 3 半个周期；
2
2
1
2

2
3
2
对称轴与其相邻的对称中心的间距为
对称轴：x
,0, , 2
四分之一个周期.
(
x k , k Z

o
-1

2
3
4
5
6
x
sin(-x)= - sinx (xR) cos(-x)= cosx (xR)

1.4.2正弦函数余弦函数的性质(三)应用举例

§1.4 .2正弦余弦函数的性质（三） ——应用举例
y
正弦曲线 1 y sinx , x R
x
-2
-
o
2 3
4
-1
余弦曲线 y 1 y cosx , x R
-2
-
o
2
3
x
-1
正弦函数的性质：y=sinx
1、定义域：R
2、值域: 1， 1
3、周期：2π
4、奇偶性：偶函数
5、对称性：对称轴：，
对称中心

2

，0

6、单调性：单调增区间
2，2
单调减区间
2， 2
例1、下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别
4、奇偶性：奇函数
5、对称性：对称轴：

2

，

对称中心，0
6、单调性：单调增区间

2

2，
2

2

单调减区间

2
2，3
2

2

余弦函数的性质：y=cosx
1、定义域：R
2、值域: 1， 1
3、周期：2π
(2)
cos- 23π cos 23π cos 3π 5 5 5
cos - 17π cos17π cosπ 4 4 4
因为0＜π＜ 3π＜π， 45
且函数y cosx，x 0，π是减函数
(2) y sin z 的对称中心为 (k ,0) , k Z

正弦函数、余弦函数的性质( 数学优秀课件

解析：利用周期函数的定义，找到T，使得思考：这些函数的周期跟解析式中哪些量有 f(x+T)=f(x) 关系？有什么关系？
课后思考
• 用几何画板y=Asin(wx+ψ)图像.gsp作 y=Asin(wx+ψ)的图像，探究该类函数的周期。 • 试着发现：A、w、ψ分别决定了图像的什么？
小结
正弦函数的性质：
sin(x 2k ) sin x
正弦函数的周期：2k (k z且k 0) 最小正周期： 2
性质3：单调性
在一个周期上（如[ ,
2
3
2
] ）考虑：
[

, ] 2 2
在
x

2
，sinx= 值。
x

2
或x
，sinx=-1，为最小
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质
主讲人：黄凡
复习回顾
①正弦函数、余弦函数的图像是什么？
（物理中简谐运动的图像）（一波未平，一波又起—波涛汹涌）
②我们是如何得到正弦函数的图像的？几何画图法—单位圆中的正弦线五点作图法—五个关键点确定形状
引入新课
• 一次函数与图像 • 指数函数与图像 • 对数函数与图像
利用周期性，不难得到：
正弦函数在每一个闭区间[ 2 2k , 2 2k ]( k z ) 上都是增函数，其值从-1增大到1；在每一 3 [ 2 k , 2k ]( k z ) 上都是减个闭区间 2 2 函数，其值从1减小到-1.
3 正弦函数当且仅当 2 2k (k z)
• 1、周期性（最小正周期为 2 ） • 2、奇偶性（奇函数） • 3、单调性
余弦函数的性质：

人教版高中数学必修4第一章三角函数《1.4三角函数的图象与性质：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质》教学PPT

解：(2)当x 2k , k Z时，函数取得最大值，ymax 1
2
当x 2k , k Z时,函数取得最小值,
2
ymin 1
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymax
1,
函数取得最大值的x的集合是x
x
2
2k
,
k
Z
，ymin
1.
二、正、余弦函数的奇偶性
-4 -3
例1.下列函数有最大(小)值？如果有,请写出取最大(小) 值时的自变量x的集合,并说出最大(小)值是什么？
（1）y cos x 1, x R; （2）y sin x, x R.
解：(1)当x 2k , k Z时，ymax 11 2,
当x 2k , k Z时，ymin 11 0.
1.4.2 正弦、余弦函数的性质
(1)周期性
定义域、值域
-4 -3
y
1
-2
- o
-1
y=sinx (xR)
2
3
4
定义域 xR
-4 -3
y=cosx (xR)
y
1
-2
- o
-1
值域 y[ - 1, 1 ]
2
3
4
5 6x 5 6x
举例：
生活中“周而复始”的变化规律。
24小时1天、7天1星期、365天1年……. 相同的间隔重复出现的现象称为周期现象. 数学中又有哪些周期现象呢？
思考：y=sinx，x∈R的图象为什么会重复出现形状相同的曲线呢?
y
1
4
3
2
7 2
5
3
2

1.4.2正弦函数余弦函数的性质-(必修四-数学-优秀课件)

第15页，共26页。
归纳总结
一般地，函数 y Asin(x )及 y Acos(x ) （其中 A,,为常数，且 A 0, 0 ）的周期是
T 2
若 0 则 T 2
第16页，共26页。
练习. 求下列函数的周期：
(1) y sin 3x, x R;(2) y cos x ;
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
5 6 x
y cos x(x R)
第25页，共26页。
函数图形
y
1
2
0
-1
y=sinx
3
2
2
2
5 2
x
定义域值域
最值
xR
y [1,1]
xx2222kk时时，，yymmaxin
1 1
单调性
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k
,
3
2
2k ]
减函数
奇偶性
奇函数
4
x
2
…
0
…
2
sinx -1
0
1
…
0
…
3 2
-1
y=sinx (xR)
增区间为
[[
2+22k，,
22
+2] k],kZ
其值从-1增至1
Байду номын сангаас
减区间为
[
2
+22k，,
33
2
+]2k],kZ
其值从 1减至-1
第20页，共26页。
余弦函数的单调性

正余弦函数的性质(最值与单调性)

k = −1, k = 0, k = 1,
17π 11π − 3 , − 3 5π π − 3 , 3 7π 11π 3 , 3
√
变式二
• 求函数的单调增区间
π 1 y = sin − x + 3 2
增
y = sin z 减
上时，曲线逐渐下降，上时，曲线逐渐下降， sinα的值由1减小到 −1 。 α
探究：探究：正弦函数的单调性
y
1
−3 5 π π − 2
−2π −3π
2
−π
−
π
2
O
π
2
π
−1
3π 2
2π
5π 2
3π
x
正弦函数在每个闭区间[− + 2kπ , + 2kπ ](k ∈ Z) 2 2 都是增函数，其值从－增大到增大到1；都是增函数，其值从－1增大到； π 3π 而在每个闭区间[ + 2kπ , + 2kπ ](k ∈ Z)上都是 2 2 减函数，其值从1减小到减小到－。减函数，其值从减小到－1。
应
用
举
例
例2：利用三角函数的单调性பைடு நூலகம்比较下列各组数的大小：：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
π π 23π 17π (1)sin − 与sin − ; (2)cos − 与cos − ; 18 10 5 4 23π 23π 3π 解：

y = cos z y = cos z
y = A sin(ω x + ϕ ) → y = A sin z
增（1）化未知为已知增

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质课件(人教A版必修4)

栏目导引
第一章三角函数
单调减区间为[34π＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)．所以原函数 y＝2sin(π4－x)的单调增区间为[34π ＋2kπ，74π＋2kπ](k∈Z)；单调减区间为[－π4＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)．
栏目导引
第一章三角函数
变式训练
3.求函数 y＝2sin(x＋π4)的单调区间．解：y＝sinx 的单调增区间为[－π2＋2kπ，π2＋ 2kπ]，k∈Z；单调减区间为[π2＋2kπ，32π＋2kπ]， k∈Z. 由－π2＋2kπ≤x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
栏目导引
第一章三角函数
由－π2＋2kπ≤x－π4≤π2＋2kπ，k∈Z，得－π4＋2kπ≤x≤34π＋2kπ，k∈Z；由π2＋2kπ≤x－π4≤32π＋2kπ，k∈Z，得34π＋2kπ≤x≤74π＋2kπ，k∈Z. 所以函数 y＝sin(x－π4)的单调增区间为[－π4 ＋2kπ，34π＋2kπ](k∈Z)；
∴y＝sin12x 的周期是 4π.
(2)∵2sinx3－π6＋2π＝2sinx3－π6，即 2sin13（x＋6π）－π6
栏目导引
＝2sinx3－π6， ∴y＝2sinx3－π6的周期是 6π.
(3)y＝|sinx|的图象如图所示．
第一章三角函数
∴周期T＝π.
∴|φ|的最小值|φ|min＝2π＋π2－83π＝π6.
栏目导引
归纳总结
第一章三角函数
栏目导引
函数 y= sinx (k∈z)
性质
y= cosx 第(k一∈章z) 三角函数
定义域值域
最值及相应的 x的集合
单调性
对称轴对称中心

高中数学必修4(1.4.2正弦函数、余弦函数的性质)PPT课件

∴函数 y2sin1x(),x.正弦函数、余弦函数的性质
例1) 3y.求s下in列( x函数的)周期：
3 2) y cos 3x
3) y 3 sin ( 1 x ), x R 一般
35
结论：
函数 yAsin(x)及 yAcos(x),xR (A,,为常数 ,A0,. 0)的周期 T2 8
.
15
结论：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数
.
9
正弦、余弦函数的图象和性质
-4 -3
-2
y
1
- o
-1
2
3
4
y=sinx (xR) 定义域 xR
值域 y[ - 1, 1 ]
y=cosx (xR) 周期性 T = 2
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
.
5 6 x
5 6 x
10
正弦、余弦函数的奇偶性
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
注意：如果在周期函数f(x)的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个最小正数
就叫做f(x)的最小正周期.
.
6
例：求下列函数的周期 ( 1 ) y 3 cx ,o x R s( 2 ) y s2 x i ,x n R ( 3 ) y 2 s1 i x n ) 26 解:(1)∵cos(x+2π)=cosx, ∴3cos(x+2π)=3cosx ∴函数y= 3cosx，x∈R的周期为2π

必修四第一章《正弦函数余弦函数的性质》教学设计(王卫)

§1.4.2正弦函数余弦函数的性质评1节.二、教学目标及解析目标：1、通过图象理解正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性、最值和对称性，体会数形结合方法；2、会求简单正弦函数、余弦函数的周期、单调区间、最值等。

解析：1、目标1在于让学生体会到数形结合、归纳的数学思想，能独立归纳出的正弦函数、余弦函数的性质。

2、目标2在于让学生学会运用性质对简单正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最值等的求解。

三、问题诊断分析本节课的教学中，学生可能出现如下几个问题：①函数周期性的定义是什么？②如何求出正弦函数、余弦函数的周期？③不理解正弦函数、余弦函数的单调区间？不能正确写出正弦函数、余弦函数的单调区间？学生出现这几个问题的原因是不理解正弦函数、余弦函数的本质，对函数的周期性、单调性理解不透彻。

学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。

解决这些问题的关键是结合图像变化趋势加以理解；结合定义，通过例题加以模仿。

在此过程中，需要学生感受归纳的数学思想，找出函数之间的共同点和规律，通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。

四、教学条件支持本节课的教学中需要用到几何画板和智能黑板，因为使用几何画板有利于展示函数的图像，能够给学生直观的认识。

五、教学过程1、自学问题1：周期函数的概念是什么？问题2：正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性？问题3：正、余弦函数的最值与对称性分别是什么？2、互学导学问题1：周期函数的概念是什么？设计意图：让学生观察函数的图像，了解函数的变化规律，培养学生的归纳能力。

师生活动：学生思考并回答，教师指导。

小问题1：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？答：描点法（几何法、五点法），图象变换法。

并要求学生回忆哪五个关键点。

小问题2：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？答：定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性等小问题3：正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？给出正弦、余弦函数的图象，让学生观察，并思考下列问题：世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.小问题4：由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2π个单位重复出现，这一规律的理论依据是什么？sin(2)sin ()x k x k Z π+=∈小问题5：为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx 称为周期函数，2k π为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？由inx k x s 2sin =+π）（知: 知:最小正周期是π2.小问题8：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？由x k x cos )2cos(=+π知: 正、余弦函数是周期函数，2k π（k ∈Z, k ≠0）都是它的周期，最小正周期是2π．例1 求下列函数的周期: (1)y=3cosx,x ∈R ; (2)y=sin2x,x ∈R ;(3)y=2sin(2x -6π),x ∈R .(1) 因为3cos(x+2π)=3cosx,根据周期函数的定义可知,原函数的周期为2π.有的学生可能会提出π是不是呢?让学生自己试一试,加深对概念的理解.因为3cos(x+π)=-3cosx ≠3cosx,所以π不是周期.(2) 教师引导学生观察2x,可把2x 看成一个新的变量u,那么cosu 的最小正周期是2π,就是说,当u 增加到u+2π时,函数cosu 的值重复出现,而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x 增加到x+π且必须增加到x+π时函数值重复出现.因为sin2(x+π)=sin(2x+2π),所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为π.(3)因为2sin ［21(x+4π)-6π］=2sin ［(2x -6π)+2π］=2sin(2x -6π).所以由周期函数的定义可知,原函数的周期为4π.解:(1)周期为2π; (2)周期为π; (3)周期为4π.变式1、P36练习第2题.小问题9：周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.问题2：正、余弦函数有怎样的奇偶性和单调性？设计意图：让学生观察函数的图像，了解函数的变化规律，数形结合，扫清了学生的思维障碍，更好地突破了教学的重难点，培养学生的归纳能力。

1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(全)上课用

最大值：当
x 0 2 k 时，有最大值 y 1
最小值：当
x 2 k
有最小值 y 时，
1
四、正弦、余弦函数的最值
y
1 -4 -3 -2 -
y sin x( x R)
2 3 4 5 6
o
-1
当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (sin x ) max 1； 2 当且仅当 x 2 k，（ k Z ）时， (sin x ) min 1 . 2
| sin x |≤ 1 | cos x |≤ 1
练习
下列等式能否成立？
(1)2cos x 3
(2)sin 2 x 0.5
3 1 cos x 2
×
√
sin x 0.5 [1,1]
例1.求下列函数的定义域和值域。
定义域
值域
[2,4]
(1) y 3 sin x
三.定义域和值域
y
1
3 5 2
2 3
2

2
O

2

1
3 2
2
5 2
3
x
正弦函数 y sin x
定义域：R 值域：[-1，1] y
1
2
O

2
3 5 2
2 3
2

1
3 2
2
5 2
3
x
余弦函数 y cos x 定义域：R 值域：[-1，1]
x
当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (cos x ) max 1；
当且仅当 x 2 k ，（ k Z ）时， (cos x ) min 1 .