第12章 动载荷与动应力-2013
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讨论： ◆ 弹簧起到了缓冲作用，使冲击载荷大大减小。 ◆ 动荷因数中的st是冲击物的重力以静荷方式作用 于构件冲击点时，所引起的构件冲击点沿冲击方 向的静位移。这一点在应用时需要特别注意。
2014-7-3
材料力学
28
12.2.2. 水平冲击
d st
2014-7-3
材料力学
29
12.2.2. 水平冲击
2014-7-3
材料力学
2
2. 动载荷： 引起构件产生明显加速度的荷载。
直线变速提升重物：
>P FN = P!
2014-7-3
材料力学
3
2. 动载荷：
匀速转动圆环： FNd
飞轮的制动：
FNd
2014-7-3
材料力学
4
2. 动载荷：
绕轴匀速转动的直杆：
FNd
自由落体冲击梁：
2014-7-3
2014-7-3 材料力学 18
12.2.1. 自由落体冲击应力和变形
EI
h
P
d
初
末
Pd
初时刻：T1 = 0, V1 = P(h+d), U1 = 0
末时刻：T2 = 0, V2 = 0, U2 = Pdd /2
2014-7-3
材料力学
19
12.2.1. 自由落体冲击应力和变形
T1 + V1 + U1 = T2 + V2 + U2
Pl st1 EA
2014-7-3
500 2 6 7.074 10 m 2 π 0.03 200 109 4
材料力学 25
例2
动荷系数：
kd1 1 1
2h
st
2 0.05 1 1 120 6 7.074 10
P 500 静荷应力： st1 0.7074 MPa 2 A π 0.03 4
k 2st kd 2h 0
2 st d
其解为： k 1 1 2h d
st
2h 取正号： kd 1 1 st
自由落体冲击 动荷系数
h： 冲击高度 st：将冲击物重量按静载方式加到冲击点 引起该点相应位移。
2014-7-3
材料力学
21
三. 自由落体冲击应力和变形 EI h P
不 平 衡
2014-7-3
加惯性力
平 衡
10
材料力学
12.1.1直线变速运动构件的动应力
轴力：
P Fy 0, FN P a 0 g a FN (1 ) P g a 记 kd 1 动荷系数 g
则 FN = kdP
2014-7-3
材料力学
11
12.1.1直线变速运动构件的动应力
ma
大小：ma
a
○m
F R F
v
v2 m R
m
方向：与加速度a相反
惯性力 Fg= -ma
圆周运动
2014-7-3 材料力学 9
3. 达朗伯原理
在运动物体上假想地加上惯性力，则惯性力与主动力、 约束力在形式上组成平衡力系。
a
○m
4. 动静法
F
ma
○m
F
运用达朗伯原理，将动力学问题在形式上转化为静力学问题。
动应力： d1 kd1 st1 120 0.7074= 84.9MPa
2014-7-3
材料力学
26
例2
(2) 环形重物落在弹簧上
此时，冲击点沿冲击方向的静荷 位移为杆的静荷轴向伸长与弹簧 静荷变形之和，有
500 2 500 st2 2 π 0.03 1 106 9 200 10 4 7.074 106 + 500 106 = 507.074 106 m Pl P EA k
初 末
记 Pd=kdP
d=kdst
v2 kd 1 g st
2014-7-3 材料力学 31
例3 图示外伸梁抗弯刚度为EI，抗弯截面模量为W。
求梁内最大冲击正应力dmax。
P
A 2a 解：(1) 判断
h
C
B
a
自由落体冲击问题，动荷系数可直接用公式计算。
2014-7-3
材料力学
32
例3(2) 求 (单位力法，P272) st
解：(1) 确定动荷系数 横梁作匀加速提升，动荷系数：
a kd 1 g
(2) 计算起吊力 静荷起吊力等于梁的自重，即 Fst Al g
a 所以，动荷起吊力 F kd Fst (1 ) Al g g
2014-7-3 材料力学 13
例1
(3) 计算最大弯矩 梁单位长度重力
st
(1) 如果冲击物作为突加载荷作用在梁上，此时h=0，得到 kd=2，即突加载荷作用力是静载荷作用的两倍。 (2) 如果自由落体时，已知的不是冲击物的高度，而是冲击 物在冲击时的速度，则根据自由落体公式v2=2gh，得到
v2 kd 1 1 g st
(3) 自由落体时，若己知的是冲击物冲击时的初动能，则根 据动能表达式T=Wv2/(2g)，得到
2h 2 0.05 1 1 15.08 动荷系数：kd2 1 1 6 st2 507.074 10
动应力： d2 kd2 st2 15.08 0.7074=10.7 MPa
2014-7-3 材料力学 27
例2
d1 84.9 MPa d2 = 10.7 MPa
d
原冲击问题 等效静荷问题
EI
d
EI P
st
Pd = kdP
Pd
研究最大动应力和最大动变形时，可转化为等效静荷问 题求解。关键：求kd。
2014-7-3 材料力学 22
三. 自由落体冲击应力和变形
类似问题
2014-7-3
材料力学
23
12.2.1. 自由落体冲击应力和变形 讨论：
2h 自由落体冲击 kd 1 1 动荷系数
第12章 动载荷与动应力
12.1 惯性载荷作用下的动应力
12.2 冲击应力
12.3 振动应力
2014-7-3
材料力学
1
12.1 惯性载荷作用下的动应力
一. 静载荷与动载荷
1. 静载荷：
载荷值由零开始，缓慢增加，到一定数值后不再 变化或变化很小。
特点：加载过程中结构内任意点加速度近似为零， 即结构时刻保持平衡。 在此之前所研究的载荷都是静载荷。
A B
P
C
2a M
A B
a 1
C
Pa
M
2014-7-3 材料力学
a
33
例3
A
P
B
C
2a M Pa M
2 a 3
a 1
a
2 a 3
P172表查得
34
1 1 2 1 2 Pa3 st ( 2a Pa a a Pa a) EI 2 3 2 3 EI
2014-7-3 材料力学
与 (或v)有关
16
材料力学
12.2 冲击应力
一、冲击现象
冲击物
P
冲击物
P
被冲击物 冲击物
P
冲击作用时间很短10-6~10-3秒。 由于冲击载荷的变化规律难以精确掌握，因此常采用能 量转化及守恒定律求近似解。
2014-7-3
材料力学
17
二、假设：
1. 冲击物的变形很小，可以忽略不计，即视为刚体，并且 从冲击开始到产生最大位移的整个过程中，冲击物与被 冲击物一起运动，不发生分离。 不吸收变形能 2. 忽略被冲击物的质量，认为冲击载荷引起的应力和变形， 在冲击瞬时遍及被冲击物，被冲击物仍处于线弹性范围 内，并且无反弹。 不计被冲击物的动能和势能 3. 忽略其它能量损失，如接触区局部塑性变形的能量损失、 发热、发声等，只有位能、动能和应变能的转化。 机械能守恒定律仍然成立 动能T， 势能V， 变形能U 任意时刻有：T + V + U = 常数
FN = kdP 即钢索以加速度 a 起吊重量为 P 的物体 时所受的力，与静止吊着重量为 kdP 的 物体所受的轴力相当。 相当静载：Pd = kdP
动应力：
动变形：
d = kdst
d = kdst
强度条件：d = kdst []
2014-7-3
材料力学
12
例1
一水平放置的匀质混凝土预制梁，由起重机以匀加速度a 向上提升，已知梁的长度为 l ，横截面面积为 A ，抗弯截 面系数为W，材料的质量密度为。试求: (1) 起吊力F； (2) 梁横截面上的最大弯矩 Mmax。
例3
A
(3) 求kd
2h kd 1 1 st
Pa st EI
3
P
B C
2a M Pa
st max
M max Pa W W
a
2hEI 1 1 Pa3
(4) 求stmax (5) 求dmax
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d max
A
强度条件： d
D 2 2
4
4
v 2
v
动应变：周向线应变
πD1 πD D d D 2 2 v 2 d πD D E 4E E
极限速度(转速)
直径改变量：D
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D3 2
4E
Dv 2
E
材料力学
12.2.3. 运动物体的突然制动(刹车)
初: T1
P 2 1 v V1 P d st U1 Pst 2g 2 1 U 2 Pd d 末: T2 = 0 V2 = 0 2
v
能量守恒： T1 + V1+U1 = T2+V2+U2
P 2 1 1 v P d st Pst Pd d 2g 2 2
P(h+d)=Pdd/2
令 则
Pd kd P
冲击动荷系数
st：将冲击物重量当作 静载加到冲击点引 P(h+kdst) = kdPkdst/2 起的冲击点位移
Pd kd P d kd st
k 2st kd 2h 0
2 st d
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材料力学
20
三. 自由落体冲击应力和变形
材料力学
6
4. 假设:
(1) 当动应力dp时，虎克定律仍然成立，且E，
G与静荷载作用时相同；
(2) 材料的力学性质，如强度指标s, b等，仍可采 用静荷载作用时的数值。 这样的假设是偏于安全。
2014-7-3
材料力学
7
5. 四类动载荷问题 (1) 惯性载荷：一般变速运动构件
包括：匀加速直线运动和等角速转动； 加速度可求，用动静法解。
(2) 冲击载荷：构件受剧烈变化力的作用
加速度不易求，材料的力学性质变化较Fra Baidu bibliotek； 用能量法简化求解。
(3) 振动载荷： (4) 交变载荷：(下一章讨论) 应力作周期变化。
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材料力学
8
12.1 惯性载荷作用下的动应力
1. 特点：加速度可求
形式：直线变速运动构件，等速转动构件。
2. 惯性力
材料力学
5
3. 动荷响应的特点 (1) 构件各部分有明显的加速度； 不平衡，内力难以用静力平衡方程计算。 (2) 材料的力学性质与静荷载作用不同。 一般可用应变率来区分静荷载与动荷载： 静荷载： 105 ~ 101 1/ s
1 8 动荷载： 10 ~ 10 1/ s
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d
st
P 2 初：T1 v V1= 0, U1= 0 2g
末： T2=0, V2=0, U2= Pdd/2 能量守恒：T1+V1+U1 = T2+V2+U2
记 Pd=kdP
初 末
d=kdst
P 2 1 2 v kd Pst 2g 2
kd v2 g st
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2014-7-3
向心加速度：
D 2 an 2
单位长度惯性力：
薄环：环厚 平均直径D
D qd A 2 2
2014-7-3 材料力学 15
12.2.2等速转动构件的动应力
平衡方程：Fy=0, -2FN+qdD=0
qd D AD 2 2 动轴力：FN 2 4 FN D 2 2 动应力： d v 2 与A无关
kd 1 1
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2T W st
材料力学 24
例2 钢制圆截面杆上端固定，下端固连一无重刚性托盘以承
接落下的环形重物。已知杆的长度 l=2m ，直径 d=30mm ， 弹性模量E=200GPa。若环形重物的重力P= 500N，自高 度 h=50mm 处自由落下，使杆受到冲击。求下列两种情 况下，杆的动应力： (1) 重物直接落在刚性托盘上； (2) 托盘上放一刚度系数k=1MN/m的弹簧，环形重物落在弹 簧上。 解：(1) 环形重物直接落在刚性 托盘上 冲击点沿冲击方向的静荷位移
q A g
作出弯矩图，得最大静荷弯矩
M st max
ql 2 A gl 2 40 40
a A gl 2 (1 ) g 40
最大动荷弯矩
M d max kd M st max
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材料力学
14
12.2.2等速转动构件的动应力
单位体积质量： 横截面面积：A 单位长度质量：A
2014-7-3
材料力学
28
12.2.2. 水平冲击
d st
2014-7-3
材料力学
29
12.2.2. 水平冲击
2014-7-3
材料力学
2
2. 动载荷： 引起构件产生明显加速度的荷载。
直线变速提升重物：
>P FN = P!
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材料力学
3
2. 动载荷：
匀速转动圆环： FNd
飞轮的制动：
FNd
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材料力学
4
2. 动载荷：
绕轴匀速转动的直杆：
FNd
自由落体冲击梁：
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2014-7-3 材料力学 18
12.2.1. 自由落体冲击应力和变形
EI
h
P
d
初
末
Pd
初时刻：T1 = 0, V1 = P(h+d), U1 = 0
末时刻：T2 = 0, V2 = 0, U2 = Pdd /2
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材料力学
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12.2.1. 自由落体冲击应力和变形
T1 + V1 + U1 = T2 + V2 + U2
Pl st1 EA
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500 2 6 7.074 10 m 2 π 0.03 200 109 4
材料力学 25
例2
动荷系数：
kd1 1 1
2h
st
2 0.05 1 1 120 6 7.074 10
P 500 静荷应力： st1 0.7074 MPa 2 A π 0.03 4
k 2st kd 2h 0
2 st d
其解为： k 1 1 2h d
st
2h 取正号： kd 1 1 st
自由落体冲击 动荷系数
h： 冲击高度 st：将冲击物重量按静载方式加到冲击点 引起该点相应位移。
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材料力学
21
三. 自由落体冲击应力和变形 EI h P
不 平 衡
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加惯性力
平 衡
10
材料力学
12.1.1直线变速运动构件的动应力
轴力：
P Fy 0, FN P a 0 g a FN (1 ) P g a 记 kd 1 动荷系数 g
则 FN = kdP
2014-7-3
材料力学
11
12.1.1直线变速运动构件的动应力
ma
大小：ma
a
○m
F R F
v
v2 m R
m
方向：与加速度a相反
惯性力 Fg= -ma
圆周运动
2014-7-3 材料力学 9
3. 达朗伯原理
在运动物体上假想地加上惯性力，则惯性力与主动力、 约束力在形式上组成平衡力系。
a
○m
4. 动静法
F
ma
○m
F
运用达朗伯原理，将动力学问题在形式上转化为静力学问题。
动应力： d1 kd1 st1 120 0.7074= 84.9MPa
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材料力学
26
例2
(2) 环形重物落在弹簧上
此时，冲击点沿冲击方向的静荷 位移为杆的静荷轴向伸长与弹簧 静荷变形之和，有
500 2 500 st2 2 π 0.03 1 106 9 200 10 4 7.074 106 + 500 106 = 507.074 106 m Pl P EA k
初 末
记 Pd=kdP
d=kdst
v2 kd 1 g st
2014-7-3 材料力学 31
例3 图示外伸梁抗弯刚度为EI，抗弯截面模量为W。
求梁内最大冲击正应力dmax。
P
A 2a 解：(1) 判断
h
C
B
a
自由落体冲击问题，动荷系数可直接用公式计算。
2014-7-3
材料力学
32
例3(2) 求 (单位力法，P272) st
解：(1) 确定动荷系数 横梁作匀加速提升，动荷系数：
a kd 1 g
(2) 计算起吊力 静荷起吊力等于梁的自重，即 Fst Al g
a 所以，动荷起吊力 F kd Fst (1 ) Al g g
2014-7-3 材料力学 13
例1
(3) 计算最大弯矩 梁单位长度重力
st
(1) 如果冲击物作为突加载荷作用在梁上，此时h=0，得到 kd=2，即突加载荷作用力是静载荷作用的两倍。 (2) 如果自由落体时，已知的不是冲击物的高度，而是冲击 物在冲击时的速度，则根据自由落体公式v2=2gh，得到
v2 kd 1 1 g st
(3) 自由落体时，若己知的是冲击物冲击时的初动能，则根 据动能表达式T=Wv2/(2g)，得到
2h 2 0.05 1 1 15.08 动荷系数：kd2 1 1 6 st2 507.074 10
动应力： d2 kd2 st2 15.08 0.7074=10.7 MPa
2014-7-3 材料力学 27
例2
d1 84.9 MPa d2 = 10.7 MPa
d
原冲击问题 等效静荷问题
EI
d
EI P
st
Pd = kdP
Pd
研究最大动应力和最大动变形时，可转化为等效静荷问 题求解。关键：求kd。
2014-7-3 材料力学 22
三. 自由落体冲击应力和变形
类似问题
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材料力学
23
12.2.1. 自由落体冲击应力和变形 讨论：
2h 自由落体冲击 kd 1 1 动荷系数
第12章 动载荷与动应力
12.1 惯性载荷作用下的动应力
12.2 冲击应力
12.3 振动应力
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材料力学
1
12.1 惯性载荷作用下的动应力
一. 静载荷与动载荷
1. 静载荷：
载荷值由零开始，缓慢增加，到一定数值后不再 变化或变化很小。
特点：加载过程中结构内任意点加速度近似为零， 即结构时刻保持平衡。 在此之前所研究的载荷都是静载荷。
A B
P
C
2a M
A B
a 1
C
Pa
M
2014-7-3 材料力学
a
33
例3
A
P
B
C
2a M Pa M
2 a 3
a 1
a
2 a 3
P172表查得
34
1 1 2 1 2 Pa3 st ( 2a Pa a a Pa a) EI 2 3 2 3 EI
2014-7-3 材料力学
与 (或v)有关
16
材料力学
12.2 冲击应力
一、冲击现象
冲击物
P
冲击物
P
被冲击物 冲击物
P
冲击作用时间很短10-6~10-3秒。 由于冲击载荷的变化规律难以精确掌握，因此常采用能 量转化及守恒定律求近似解。
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材料力学
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二、假设：
1. 冲击物的变形很小，可以忽略不计，即视为刚体，并且 从冲击开始到产生最大位移的整个过程中，冲击物与被 冲击物一起运动，不发生分离。 不吸收变形能 2. 忽略被冲击物的质量，认为冲击载荷引起的应力和变形， 在冲击瞬时遍及被冲击物，被冲击物仍处于线弹性范围 内，并且无反弹。 不计被冲击物的动能和势能 3. 忽略其它能量损失，如接触区局部塑性变形的能量损失、 发热、发声等，只有位能、动能和应变能的转化。 机械能守恒定律仍然成立 动能T， 势能V， 变形能U 任意时刻有：T + V + U = 常数
FN = kdP 即钢索以加速度 a 起吊重量为 P 的物体 时所受的力，与静止吊着重量为 kdP 的 物体所受的轴力相当。 相当静载：Pd = kdP
动应力：
动变形：
d = kdst
d = kdst
强度条件：d = kdst []
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材料力学
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例1
一水平放置的匀质混凝土预制梁，由起重机以匀加速度a 向上提升，已知梁的长度为 l ，横截面面积为 A ，抗弯截 面系数为W，材料的质量密度为。试求: (1) 起吊力F； (2) 梁横截面上的最大弯矩 Mmax。
例3
A
(3) 求kd
2h kd 1 1 st
Pa st EI
3
P
B C
2a M Pa
st max
M max Pa W W
a
2hEI 1 1 Pa3
(4) 求stmax (5) 求dmax
2014-7-3
d max
A
强度条件： d
D 2 2
4
4
v 2
v
动应变：周向线应变
πD1 πD D d D 2 2 v 2 d πD D E 4E E
极限速度(转速)
直径改变量：D
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D3 2
4E
Dv 2
E
材料力学
12.2.3. 运动物体的突然制动(刹车)
初: T1
P 2 1 v V1 P d st U1 Pst 2g 2 1 U 2 Pd d 末: T2 = 0 V2 = 0 2
v
能量守恒： T1 + V1+U1 = T2+V2+U2
P 2 1 1 v P d st Pst Pd d 2g 2 2
P(h+d)=Pdd/2
令 则
Pd kd P
冲击动荷系数
st：将冲击物重量当作 静载加到冲击点引 P(h+kdst) = kdPkdst/2 起的冲击点位移
Pd kd P d kd st
k 2st kd 2h 0
2 st d
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材料力学
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三. 自由落体冲击应力和变形
材料力学
6
4. 假设:
(1) 当动应力dp时，虎克定律仍然成立，且E，
G与静荷载作用时相同；
(2) 材料的力学性质，如强度指标s, b等，仍可采 用静荷载作用时的数值。 这样的假设是偏于安全。
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材料力学
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5. 四类动载荷问题 (1) 惯性载荷：一般变速运动构件
包括：匀加速直线运动和等角速转动； 加速度可求，用动静法解。
(2) 冲击载荷：构件受剧烈变化力的作用
加速度不易求，材料的力学性质变化较Fra Baidu bibliotek； 用能量法简化求解。
(3) 振动载荷： (4) 交变载荷：(下一章讨论) 应力作周期变化。
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12.1 惯性载荷作用下的动应力
1. 特点：加速度可求
形式：直线变速运动构件，等速转动构件。
2. 惯性力
材料力学
5
3. 动荷响应的特点 (1) 构件各部分有明显的加速度； 不平衡，内力难以用静力平衡方程计算。 (2) 材料的力学性质与静荷载作用不同。 一般可用应变率来区分静荷载与动荷载： 静荷载： 105 ~ 101 1/ s
1 8 动荷载： 10 ~ 10 1/ s
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d
st
P 2 初：T1 v V1= 0, U1= 0 2g
末： T2=0, V2=0, U2= Pdd/2 能量守恒：T1+V1+U1 = T2+V2+U2
记 Pd=kdP
初 末
d=kdst
P 2 1 2 v kd Pst 2g 2
kd v2 g st
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向心加速度：
D 2 an 2
单位长度惯性力：
薄环：环厚 平均直径D
D qd A 2 2
2014-7-3 材料力学 15
12.2.2等速转动构件的动应力
平衡方程：Fy=0, -2FN+qdD=0
qd D AD 2 2 动轴力：FN 2 4 FN D 2 2 动应力： d v 2 与A无关
kd 1 1
2014-7-3
2T W st
材料力学 24
例2 钢制圆截面杆上端固定，下端固连一无重刚性托盘以承
接落下的环形重物。已知杆的长度 l=2m ，直径 d=30mm ， 弹性模量E=200GPa。若环形重物的重力P= 500N，自高 度 h=50mm 处自由落下，使杆受到冲击。求下列两种情 况下，杆的动应力： (1) 重物直接落在刚性托盘上； (2) 托盘上放一刚度系数k=1MN/m的弹簧，环形重物落在弹 簧上。 解：(1) 环形重物直接落在刚性 托盘上 冲击点沿冲击方向的静荷位移
q A g
作出弯矩图，得最大静荷弯矩
M st max
ql 2 A gl 2 40 40
a A gl 2 (1 ) g 40
最大动荷弯矩
M d max kd M st max
2014-7-3
材料力学
14
12.2.2等速转动构件的动应力
单位体积质量： 横截面面积：A 单位长度质量：A