绝对值不等式讲义
绝对值不等式讲义
【知识点梳理】、绝对值的相关概念与性质: 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离.数a 的绝对值 记作a .绝对值的代数意义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝 对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算， 运算符号是“|”，求一个数的绝对值， 就是根据性质去掉 绝对值符号.② 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0.③ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或 0.④ 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5符号是负号，绝 利用绝对值比较两个负有理数的大小： 两个负数，绝对值大的反而小 .绝对值非负性：如果若干个非负数的和为 0,那么这若干个非负数都必为0.例如：若 |b |c 0，则 a 0， b 0， c 0 绝对值的其它重要性质：(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数， 也不小于这个数的相反数， 即a a ，且a a ；(2) 若 a |b ，则 a b 或 a b ；(3) l ab a b ； a 曽(b o )；(4) | a |2 |a 2 | a 2 ；(5) a | |b | a b | |a b ，对于a b ||b ，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立；对于|b | |a b ，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立.(5).对一切实数x ，都有|x| x |x|.(6)： |a ia 2 a 31 < | a i |心3丨；|印 a ? a . | < | 印 | | a ? | |a n |.(7 )： |a| |b| |a b| |a| |b |.力口强：|a| |b| |a b| |a| |b|.绝对值几何意义当x a 时，x a 0,此时a 是x a 的零点值.零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号•即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为 零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值.a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离.求字母a 的绝对值： a(a 0)② a a(a 0) a(a 0) ① a0(a 0) a(a 0)a(a 0) a(a 0) 对值是5.a b的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离.二、含绝对值方程(不等式、代数式)的化简三、绝对值方程的解法四、含绝对值的恒成立问题五、含绝对值的参数范围求解问题六、含绝对值的求值问题七、含绝对值的最值问题八、绝对值不等式的解法1、同解原理2、平方法3、图像法4、数形结合法5、零点分段讨论法九、绝对值不等式的证明方法| x | a a x a1.| x | a x a或x aa 0时，| f(x)| a f(x) a或f(x) a ；| f(x)| a2. 利用三角不等式、加糖不等式或其他基本不等式3. 反客为主4. 分段讨论【典型例题】1：解不等式：⑴ 14x-3|<2x+1(3) 3 2x| |5x 4 . x 1 x 3 6. a f(x) a ；⑵ |3-4x|>2x+12. (1)对任意实数x , |x 1| |x 2| a恒成立，则a的取值范围是3、4、5、6、7、9 .(2)对任意实数x ,若不等式若不等式若不等式已知2a|x-4|+|x-3|>a|x_4|_|x_3|<a|x_4|_|x_3|>a| x 1| | x 3| a恒成立，则a的取值范围是对于一切实数x恒成立，求a的取值范围的解集在R上不是空集，求a的取值范围在R上恒成立, a的取值范围4 |b5 3c c的值.2001若x 2——，则|x| |x 1| |x 2|2002|x 3| |x 4| |x 5|已知|x| 3, |y| 6，⑺9，求证:|x 2y 3z|设a,b,c,d都是不等于0的实数，求证:|b|c.d ..| | 4.a10、已知f (x) x2 x 13,1，求证: f(x) f(a) 2(a 1)2 ax bx c ( a 0 ,且 b 0)，已知 bf(1)1，当 x 1时，证明f (x)2 ax bx c 对一切 x [ 1,1]，都有 | f (x) | 1， 求证：(1)|a c| 1 ；(2)对一切 x [ 1,1]，都有 |2ax b | 4. 12、已知0 1, 0 a 1,试比较 | log a (1 x)| 和 I log a (1 x) | 的大小. 13、求证：一L a _SL 1 |a b| |a| |b| 1 |a| 1 |b|11、设二次函数 f(x)a , f(0) 1 , f( 1) 1 ,14、设二次函数 f (x)。
新课标数学预习讲义---绝对值不等式
2.5绝对值不等式预习讲义【巩固初中知识】1．绝对值式子恒大于或等于0，绝对值方程)0(||≥=a a x 的解为a x ±=，当0≠a 时，解是互为相反数的两个数，当0=a 时，方程有唯一的解0=x ．2．绝对值中含有自变量的不等式叫作绝对值不等式．3．两个绝对值不等式：（1）a x a a x a a x <<-⇔<⇔><22)0(||；（2）a x a x a a x -<⇔>⇔>>22)0(||或a x >．【衔接高中知识】1．三角不等式：||||||||||||b a b a b a ±≤±≤-．2．绝对值不等式的解法：（1）c b ax c c c b ax <+<-⇔><+)0(||；（2）c b ax c c b ax -<+⇔>>+)0(||或c b ax >+；（3））0(||||><-+-c c b x a x 的解法：先求出使每个绝对值符号内的数学式子等于0的未知数的值，再将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，最后讨论每个绝对值符号内的式子在每个区间上的符号，去掉绝对值符号，使之转化为不含绝对值的不等式去求解，这种方法叫零点分段法．（4）22)]([)]([|)(||)(|x g x f x g x f >⇔>；)()()()0)()((|)(|x g x f x g x g x g x f <<-⇔><； )()()0)()((|)(|x g x f x g x g x f -<⇔≥>或)()(x g x f >；【考点分类精讲】考点1 求简单的绝对值不等式的解集【考题1】解下列不等式：（1）|2x －1|<3（2）1＜|x ＋1|＜3（3）|x ＋2|≥|x |（4）0|38|>-x【举一反三】1．若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为}3135|{<<-x x ，则a ＝________． 2．若不等式|3x －b |＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围为________．考点2 解含两个绝对值式子的绝对值不等式【考题2】解下列不等式（1）4|3||1|>-+-x x（2）|32||12|->-x x【举一反三】解下列不等式（1）4||31|2|+-<-x x（2）5|2||1|<++-x x考点3 解形如<|)(|x f (或)()x g >的绝对值不等式【考题3】解下列不等式：（1）3|12|+<-x x（2）x x ->+2|1|【举一反三】解下列不等式（1）13|13|-<+-x x x（2）3|2|>+-x x【难点突破】突破1 含参数的绝对值不等式【考题4】解关于x 的不等式1|2|<+ax ，其中0≠a ．【举一反三】解关于x 的不等式1|32|+<+a x ，其中a 是常数．突破2 利用绝对值不等式的几何意义求参数【考题5】已知关于x 的不等式a x x <-++|3||2|有解，则实数a 的取值范围是 ．【举一反三】1．若关于x 的不等式|1||3|x x a --+<恒成立，则a 的取值范围是 ．2．若对于任意的实数x ，不等式a x x >-++|2||1|恒成立，则实数a 的取值范围是 ．【题型优化测训】1．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 等于________．2．若关于x 的不等式x ＋|x －1|≤a 有解，则实数a 的取值范围是________．3．若关于x 的不等式|x ＋3|＋|x －1|＞a 恒成立，则a 的取值范围是________．4．若关于x 的不等式|a |≥|x ＋1|＋|x －2|存在实数解，则实数a 的取值范围是________．5．关于x 的不等式a a x x 3|1||3|2-≤--+对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围是________．6．设不等式|2x －1|＜1的解集为M .（1）求集合M ；（2）若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．7．已知关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|＜a ，（1）当a ＝2时，解上述不等式；（2）如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，求实数a 的取值范围．8．已知函数()|1|2||,0f x x x a a =+-->.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()f x 的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围。
第四节 绝对值不等式及不等式的证明 复习讲义
第四节绝对值不等式及不等式的证明(对应学生用书第53～54页)一、绝对值三角不等式 |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|.1.理解辨析(1)不等式左边加绝对值号同样成立,即 ||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|.(2)a,b 同号时右边取等号,a,b 异号时左边取等号. 2.与绝对值不等式相关联的结论 (1)|a 1+a 2+…+a n |≤|a 1|+|a 2|+…+|a n |. (2)|a|-|b|≤|a-b|≤|a|+|b|.(3)对于任意两个向量a,b,都有|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|;其几何意义是三角形中任意一边的长小于其他两边和且大于其他两边的差,借助向量加法的三角形法则或减法的三角形法则,如图,更容易理解这一结论.二、绝对值不等式的解法 1.基础型不等式 (1)|x|<a 的解法0,{},0,.a a a x a a ⎧>-<<⎪⎨≤∅⎪⎩解集解集(2)|x|>a的解法0,{},0,{0,R},0,R.a x x a x a a x x x a ⎧>><-⎪⎪=≠∈⎨⎪<⎪⎩解集或解集解集2.扩展型不等式|ax+b|≤c和|ax+b|≥c型,把ax+b作为整体,转化为上述基础型.3.含有两个绝对值的和与差的不等式(形如|x-a|±|x-b|≥c)的解法(1)分段讨论法(零点分区间法)利用绝对值符号内式子对应方程的根,将数轴分为(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此处设a<b)三个部分,在每个部分去掉绝对值符号,列出对应的不等式求解,然后取各个不等式解集的并集. (2)绝对值的几何意义法利用|x-a|±|x-b|>c(c>0)的几何意义:数轴上到点x1=a和x2=b的距离之和或差大于c的全体,|x-a|+|x-b|≥|x-a-(x-b)|=|a-b|. (3)图象法作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图象,结合图象来解.三、含参绝对值不等式的恒成立和存在性问题恒成立问题和存在性问题中求参数的范围通常都通过分离参数,转化为求f(x)最值问题.注意两者的区别:对于任意x∈[a,b],m>f(x)恒成立⇔m>f(x)max,这里f(x)max指x∈[a,b]时f(x)的最大值;存在实数x ∈[a,b],m>f(x)成立⇔m>f(x)min,这里f(x)min指x∈[a,b]时,f(x)的最小值.1.设a,b为满足ab<0的实数,那么( B )(A)|a+b|>|a-b| (B)|a+b|<|a-b|(C)|a-b|<||a|-|b|| (D)|a-b|<|a|+|b|解析:因为ab<0,所以|a-b|=|a|+|b|>|a+b|.故选B.2.不等式|2x-1|>3的解集是.解析:原不等式可化为2x-1>3或2x-1<-3,即x>2或x<-1.答案:{x|x>2或x<-1}3.不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集是. 解析:法一当x>12时,原不等式转化为4x≤6⇒12<x≤32;当-12≤x≤12时,原不等式转化为2≤6,恒成立;当x<-12时,原不等式转化为-4x≤6⇒-32≤x<-12.综上知,原不等式的解集为{x|-32≤x≤32}.法二原不等式可化为|x-12|+|x+12|≤3,其几何意义为数轴上到12,-12两点的距离之和不超过3的点的集合,数形结合知,当x=32或x=-32时,到12,-12两点的距离之和恰好为3,故当-32≤x≤32时,满足题意,则原不等式的解集为{x|-32≤x≤32}.答案:{x|-32≤x≤32}4.关于x的不等式|ax-2|<3的解集为{x|-53<x<13},则a= .解析:因不等式|ax-2|<3的解集为{x|-53<x<13},所以-53,13是方程|ax-2|=3的根,即523,323,3aa⎧--=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得a=-3.答案:-35.若存在实数x 使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a 的取值范围是 .解析:因为|x-a|+|x-1|≥|(x-a)-(x-1)|=|a-1|, 要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3, 所以-3≤a-1≤3, 所以-2≤a ≤4. 答案:[-2,4](对应学生用书第54～55页)考点一 绝对值不等式的证明 【例1】 已知当a ≠b 时,求证:|f(a)-f(b)|<|a-b|. 证明=()()a b a b a b+-+=a b a b a b+-+≤()a b a b a b+-+=|a-b|,即|f(a)-f(b)|<|a-b|.利用放缩法证明不等式,就是舍掉式中一些正项或负项,或者在分式中放大或缩小分子、分母,还可以把和式中各项或某项换成较大或较小的数,从而达到证明目的.设函数f(x)=|x+1a|+|x-a|(a>0).(1)证明:f(x)≥2;(2)若f(3)<5,求a 的取值范围.(1)证明:由a>0,得f(x)=|x+1a |+|x-a|≥|(x+1a )-(x-a)|=a+1a≥2(当且仅当a=1时等号成立). 所以f(x)≥2.(2)解:f(3)=|3+1a |+|3-a|. 当a>3时,f(3)=a+1a ,由f(3)<5得. 当0<a ≤3时,f(3)=6-a+1a ,由f(3)<5<a ≤3.综上,a 的取值范围是). 考点二 解绝对值不等式 【例2】 解下列关于x 的不等式: (1)1<|x-2|≤3; (2)|2x-1|<2m-1(m ∈R). 解:(1)原不等式等价于不等式组21,23,x x ⎧->⎪⎨-≤⎪⎩即2121,32 3.x x x ->-<-⎧⎨-≤-≤⎩或即31,15,x x x ><⎧⎨-≤≤⎩或 解得-1≤x<1或3<x ≤5.所以原不等式解集为{x|-1≤x<1或3<x ≤5}.解:(2)①当2m-1≤0时,即m ≤12,因|2x-1|≥0,故原不等式解集是空集.②当2m-1>0时,即m>12,原不等式可化为-(2m-1)<2x-1<2m-1,解得1-m<x<m.综上所述,当m ≤12时,原不等式解集为空集, 当m>12时,原不等式解集为{x|1-m<x<m}. (1)求解含参数的绝对值不等式,比求解普通的绝对值不等式的流程多了一步讨论参数.(2)分段讨论法(零点分区间法)解绝对值不等式的步骤:①求零点,即分别令各绝对值里的式子为零,并求出相应的根;②分区间,即把这些根从小到大依次排序,以这些根为分界点,将实数分成若干小区间;③去绝对值,即按每个小区间来去掉绝对值符号解不等式;④确定不等式的解集,即求每个小区间上相应解集的并集.1.已知函数f(x)=|x-12|+|x+12|,则不等式f(x)<2的解集为 .解析:由题意得f(x)=12,,2111,,2212,,2x x x x x ⎧-≤-⎪⎪⎪-<<⎨⎪⎪≥⎪⎩当x ≤-12时,由f(x)<2得-2x<2,解得-1<x ≤-12;当-12<x<12时,f(x)<2;当x ≥12时,由f(x)<2得2x<2,解得12≤x<1.所以f(x)<2的解集为{x|-1<x<1}. 答案:{x|-1<x<1}2.不等式|x-1|-|x-5|<2的解集为 . 解析:不等式|x-1|-|x-5|<2等价于1,(1)(5)2x x x <⎧⎨--+-<⎩或 15,152x x x ≤≤⎧⎨-+-<⎩或5,1(5)2,x x x >⎧⎨---<⎩ 即1,42x <⎧⎨-<⎩或15,28x x ≤≤⎧⎨<⎩或5,42,x >⎧⎨<⎩ 故原不等式的解集为{x|x<4}. 答案:{x|x<4}考点三 绝对值不等式的恒成立(最值)问题【例3】 (1)若不等式|x+1|+|x-2|≥a 对任意x ∈R 恒成立,则a 的取值范围是 .(2)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则a 的值为 . 解析:(1)先确定|x+1|+|x-2|的取值范围,则只要a 不大于|x+1|+|x-2|的最小值即可,由绝对值的几何意义可知|x+1|+|x-2|的最小值为3,所以a ≤3时,不等式恒成立. 解析:(2)由题意,①当-1>-2a 时,即a>2,f(x)=3(1)(),21(1),23(1)(1),a x a x ax a x x a x ⎧--+≤-⎪⎪⎪+--<≤-⎨⎪++>-⎪⎪⎩则当x=-2a 时,f(x)min =f(-2a )=|-2a +1|+|-a+a|=3,解得a=8或a=-4(舍去). ②当-1<-2a 时,即a<2.f(x)=3(1)(1),(1)(1),23(1)(),2x a x ax a x a x a x ⎧⎪--+≤-⎪⎪-+--<≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩则当x=-2a 时,f(x)min =f(-2a )=|-2a+1|+|-a+a|=3. 解得a=8(舍去)或a=-4.③当-1=-2a 时,即a=2,f(x)=3|x+1|, 此时f(x)min =0,不满足题意,所以a=8或a=-4. 答案:(1)(-∞,3] 答案:(2)8或-4(1)绝对值不等式的恒成立问题,一般有两个途径解决,当绝对值中未知数的指数相同、系数相同或相反时,可利用绝对值不等式性质定理||a|-|b||≤|a ±b|≤|a|+|b|,通过适当地添、拆项来放缩求值;当绝对值中未知数指数不同时,常借助函数图象进行求解. (2)不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题,而不等式的解集为空集的对立面(如f(x)>m 的解集为空集,则f(x)≤m 恒成立)也是不等式的恒成立问题,这两类问题都可化为最值问题,即f(x)<a 恒成立⇔a>f(x)max ,f(x)>a 恒成立⇔a<f(x)min .(2017·天津卷)已知函数f(x)=23,1,2, 1.x x x x x x ⎧-+≤⎪⎨+>⎪⎩设a ∈R,若关于x 的不等式f(x)≥|2x +a|在R 上恒成立,则a 的取值范围是( A )(A)[-4716,2] (B)[[-4716,3916]3916]解析:关于x 的不等式f(x)≥|2x +a|在R 上恒成立等价于-f(x)≤a+2x ≤f(x),即-f(x)-2x ≤a ≤f(x)-2x在R 上恒成立, 令g(x)=-f(x)-2x .当x ≤1时,g(x)=-(x 2-x+3)-2x =-x 2+2x -3=-(x-14)2-4716, 当x=14时,g(x)max =-4716; 当x>1时,g(x)=-(x+2x)-2x =-(32x +2x )≤当且仅当32x =2x,且x>1,即时,“=”成立, 故g(x)max.综上,g(x)max =-4716.令h(x)=f(x)-2x ,当x ≤1时,h(x)=x 2-x+3-2x =x 2-32x +3=(x-34)2+3916, 当x=34时,h(x)min =3916; 当x>1时,h(x)=x+2x -2x =2x +2x≥2, 当且仅当2x =2x ,且x>1,即x=2时,“=”成立,故h(x)min =2.综上,h(x)min =2.故a 的取值范围为[-4716,2].故选A.考点四 绝对值不等式的综合问题【例4】 设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),当|x|≤1时,总有|f(x)|≤1. 求证:当|x|≤2时,|f(x)|≤7.证明:f(x)是二次函数,f(x)在[-2,2]上的最大值只能是|f(2)|,|f(-2)|或|f(-2b a )|,故只需证明|f(2)|≤7,|f(-2)|≤7,当|2b a |≤2时, 有|()2b f a -|≤7.由题意有|f(0)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(1)|≤1,由(0),(1),(1),f c f a b c f a b c =⎧⎪=++⎨⎪-=-+⎩得1[(1)(1)2(0)],21[(1)(1)],2(0),a f f f b f f c f ⎧=+--⎪⎪⎪=--⎨⎪=⎪⎪⎩所以|f(2)|=|4a+2b+c|=|3f(1)+f(-1)-3f(0)|≤3|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤3+1+3=7, 同理|f(-2)|≤7.|b|=12|f(1)-f(-1)|≤12(|f(1)|+|f(-1)|)≤12(1+1)=1. 当|-2b a |≤2时, |()2bf a -|=|244ac b a -|=|c-2b a ·2b |≤|c|+|2b a |·2b ≤1+2×12=2<7. 因此当|x|≤2时,|f(x)|≤7.首先分析二次函数在闭区间[-2,2]上的最值情况,然后用f(-1),f(0),f(1)表示系数a,b,c,最后用绝对值不等式进行放缩,从而使问题得到解决,这是解决已知二次函数在某个区间上范围,求其在另一个区间上的范围问题常用方法.(对应学生用书第55～56页)绝对值不等式的综合应用【例题】设a∈R,函数f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1),(1)若|a|≤1,求证:|f(x)|≤54;(2)求a的值,使函数f(x)有最大值178.(1)证明:法一因为-1≤x≤1,所以|x|≤1.又因为|a|≤1,所以|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-|x|2+|x|=-(|x|-12)2+54≤54.所以若|a|≤1,则|f(x)|≤54.法二设g(a)=f(x)=ax2+x-a=(x2-1)a+x.因为-1≤x≤1,所以当x=±1,即x2-1=0时,|f(x)|=|g(a)|=1≤54.当-1<x<1即x2-1<0时,g(a)=(x2-1)a+x是单调递减函数. 因为|a|≤1,所以-1≤a≤1,所以g(a)max=g(-1)=-x2+x+1=-(x-12)2+54.g(a)min=g(1)=x2+x-1=(x+12)2-54.所以|f(x)|=|g(a)|≤54.(2)解:当a=0时,f(x)=x,当-1≤x≤1时,f(x)的最大值为f(1)=1,不满足题设条件,所以a≠0.又f(1)=a+1-a=1,f(-1)=a-1-a=-1.故f(1)和f(-1)均不是最大值,所以f(x)的最大值178应在其对称轴上的顶点位置取得,所以命题等价于0,1 11,2117(),28 aafa⎧⎪<⎪⎪-<-<⎨⎪⎪-=⎪⎩解得1,212,8 aa a⎧<-⎪⎪⎨⎪=-=-⎪⎩或所以a=-2.即当a=-2时,函数f(x)有最大值178.规范要求:由于|a|≤1,f(x)的表达式中有两项含有a,要想利用条件|a|≤1,可以合并含a的项,从而找到解题思路,另外,由于x的最高次数为2,而a的最高次数为1,把ax2+x-a看作关于a的函数更简单,这两种方法中,对a的合并都是很关键的一步.温馨提示:在第(1)问中的法一中,如果不合并含a的项,就无法正确应用条件|a|≤1,从而导致出错或证不出;法二也需要先合并含a的项后,才容易把f(x)看作g(a).【规范训练】 已知函数f(x)=|2x-a|+a. (1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)=|2x-1|,当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求a 的取值范围. 解:(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6得-1≤x ≤3. 因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x ≤3}. 解:(2)当x ∈R 时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x| ≥|2x-a+1-2x|+a =|1-a|+a,当x=12时等号成立,所以当x ∈R 时,f(x)+g(x)≥3等价于|1-a|+a ≥3.(*)当a ≤1时,(*)等价于1-a+a ≥3,无解. 当a>1时,(*)等价于a-1+a ≥3,解得a ≥2. 所以a 的取值范围是[2,+∞).(对应学生用书第56页)类型一 绝对值不等式的证明和应用1.“|x-A|<2ε,|y-A|<2ε”是|x-y|<ε的( A ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分且必要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:若|x-A|<2ε,|y-A|<2ε,则|x-y|=|x-A+A-y|≤|x-A|+|y-A|<2ε+2ε=ε,反之,若|x-y|<ε,则可取|x-A|<34ε,|y-A|=4ε,显然|x-A|<2ε,|y-A|<2ε不成立.故“|x-A|<2ε,|y-A|<2ε”是|x-y|<ε的充分不必要条件.故选A. 2.设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是( B ) (A)|a+b|+|a-b|>2 (B)|a+b|+|a-b|<2 (C)|a+b|+|a-b|=2 (D)不能确定解析:用特殊值法,取a=b=0,则B 正确.故选B. 3.已知实数a,b,c,( D )(A)若|a 2+b+c|+|a+b 2+c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100 (B)若|a 2+b+c|+|a 2+b-c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100 (C)若|a+b+c 2|+|a+b-c 2|≤1,则a 2+b 2+c 2<100 (D)若|a 2+b+c|+|a+b 2-c|≤1,则a 2+b 2+c 2<100 解析:举反例排除法:A.令a=b=10,c=-110,排除此选项, B,令a=10,b=-100,c=0,排除此选项, C,令a=100,b=-100,c=0,排除此选项. 故选D.类型二 绝对值不等式的解法4.(2018·台州联考)不等式(1+x)(1-|x|)>0的解集是( D ) (A){x|0≤x<1} (B){x|x<0且x ≠-1} (C){x|-1<x<1} (D){x|x<1且x ≠-1}解析:不等式等价于20,10x x ≥⎧⎪⎨->⎪⎩或20,(1)0,x x <⎧⎪⎨+>⎪⎩解得x<1且x ≠-1.故选D.5.不等式|x-a|+3x ≤0(其中a>0)的解集是 .解析:原不等式可化为,30x a x a x ≥⎧⎨-+≤⎩或,30.x a a x x <⎧⎨-+≤⎩即,4x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩或,.2x a a x <⎧⎪⎨≤-⎪⎩因为a>0,所以不等式的解集为{x|x ≤-2a }.答案:{x|x ≤-2a } 6.不等式123x ->2的解集是 .解析:原不等式可化为2231,230,x x ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩ 即57,443,2x x ⎧<<⎪⎪⎨⎪≠⎪⎩所以原不等式解集为{x|54<x<32或32<x<74}. 答案:{x|54<x<32或32<x<74} 7.||2x-1|-1|>1的解集是 . 解析:原不等式可化为|2x-1|-1>1或|2x-1|-1<-1, 即|2x-1|>2或|2x-1|<0(舍去),也即2x-1>2或2x-1<-2,所以x>32或x<-12. 所以原不等式的解集是{x|x>32或x<-12}. 答案:{x|x>32或x<-12} 类型三 绝对值不等式的恒成立问题8.不等式|x+3|-|x-1|≤a 2-3a 对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围是 .解析:因不等式对任意x恒成立,|x+3|-|x-1|≤|(x+3)-(x-1)|=4,所以a2-3a≥4,解得a≥4或a≤-1.答案:(-∞,-1]∪[4,+∞)9.不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a对任意实数a恒成立,则实数x的取值范围是.解析:因a2-3a=(a-32)2-94≥-94,所以原问题转化为|x+3|-|x-1|≤-94.即当x≤-3时,-x-3+x-1=-4<-94,所以x≤-3是不等式的解;当-3<x<1时,x+3+x-1=2x+2≤-94,即-3<x≤-178,所以-3<x≤-178是不等式的解;当x≥1时,x+3-(x-1)=4>-94,不合题意.综上,x的取值范围是(-∞,-178].答案:(-∞,-178]类型四绝对值不等式的综合问题10.(2018·宁波质检)设函数f(x)=|2x-1|-|x+2|.(1)解不等式f(x)>0;(2)若存在实数x0,使得f(x0)+2m2<4m,求实数m的取值范围. 解:(1)不等式f(x)>0,即|2x-1|>|x+2|,即4x2-4x+1>x2+4x+4,3x2-8x-3>0,解得x<-13或x>3,所以不等式f(x)>0的解集为{x|x<-13或x>3}.解:(2)f(x)=|2x-1|-|x+2|=3,2,1 31,2,213,,2x xx xx x⎧⎪-+<-⎪⎪---≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩故f(x)的最小值为f(12)=-52.因为存在实数x0,使得f(x0)+2m2<4m, 所以4m-2m2>-52,解得-12<m<52.故实数m的取值范围为(-12,52).。
思法数学：初升高衔接讲义_第6讲__绝对值不等式
绝对值不等式1.绝对值的意义（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．2.绝对值不等式的解法（1）不等式)0(><a a x 的解集是{}a x a x <<-；（2）不等式)0(>>a a x 的解集是{}a x a x x -<>或,；（3）不等式)0(><+c c b ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ； （4）不等式)0(>>+c c b ax 的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或.三【典例精析】例1.解下列不等式：⑴.4|3|>-x ⑵.3|1|1<+≤xOA (a )A (a )例2 解不等式：125x x -++≥解法1.（1）当2x ≤-时，原不等式化为： (1)(2)5x x ---+≥，解得3x ≤-，此时不等式的解集为(] ,3-∞-；（2）当21x -<<时，原不等式化为：(1)(2)5x x --++≥，即35≥，矛盾，此时不等式的解集为ϕ； （3）当1x ≥时，原不等式化为：(1)(2)5,x x -++≥解得2x ≥，此时不等式的解集为[) 2,+∞.综上知，原不等式的解集为(][),32,-∞-⋃+∞ 解法2.设数轴上与2,1-对应的点分别为,A B ，则,A B 两点的距离为3，故在区间[]2,1-上的数都不是原不等式的解. 将点A 左移个单位得点1A ，这时有115A A A B +=，同理：将B 点左移个单位得点1B ，这时也有115B A B B +=.从数轴上可看出原不等 式的解集为(][),32,-∞-⋃+∞. 解法3.构造函数125y x x =-++-，即26, x -2-2, -2x 12x-4 , x 1x y --≤⎧⎪=<<⎨⎪≥⎩由图象知：原不等式的解集为(][),32,-∞-⋃+∞.点拨：x a x b c x a x b c -+-≥-+-≤和型不等式的解法：①利用绝对值不等式的几何意义 ②零点分区间 ③构造函数法-12-2-3例6.设不等式43x x a ---<的解集为M ， （1）当M R =时，求a 的取值范围； （2）当M φ=时，求a 的取值范围； （3）当M φ≠时，求a 的取值范围.四【过关精练】一、选择题1.下列叙述正确的是（ ）A.若a b =，则a b =B.若a b >，则a b >C.若a b <，则a b <D.若a b =，则a b =± 2．若a ＞b ，c 为实数，下列不等式成立是（ ）．A.ac ＞bcB.ac ＜bc C .ac 2＞bc 2 D.ac 2≥bc 2 3．不等式│3-x │＜2的解集是（ ）．A.{x │x ＞5或x ＜1}B.{x │1＜x ＜5}C.{x │-5＜x ＜-1}D.{x │x ＞1}4．如果（a+1）x ＞a+1的解集是x ＜1，则a 必须满足（ ）．A.a ＜0B.a ≤-1C.a ＞-1D.a ＜-1 5．不等式1≤│2x-7│＜3的解集是（ ）．A.{x │4≤x ＜5}B.{x │x ≥4或x ≤5}C.{x │2＜x ≤3或4≤x ＜5}D.{x │x ≤3或x ＞2}二、填空题6．当0＜x ＜1时，x 2，x ，x1的大小关系是________． 7．-1＜312-x 的解集是________．8．│x+3│＞4的解集是________．9．若│x-1│＜3，化简│x-4│+│x+2│得________． 10．数集{2a ，a 2-a}中，a 的取值范围是________．三、解答题 11．解不等式1171++++x x ＜3．12．解不等式组⎩⎨⎧≤-->-.52)2(315x x x13．求不等式2（1-x ）≤3（2-x ）的负整数解．14．解不等式│x+2│+│x-2│≤12．15．已知A={x ││x-1│＜c ，c ＞0＝，B={x ││x-3│＞4}，且A ∩B=Ф，求c 的范围．16.解关于x 的不等式)(132R a a x ∈<-+.参考答案一、选择题1.D ；2.D ；3.B ；4.D ；5.C. 二、填空题 6．21x x x<<；7．R ；8．}{1x -7x x ><或；9．6；10．a ≠3且a ≠0. 三、解答题 11．x ＞1或x ＜-3； 12.572x -<≤； 13．x=-5，-4，-3，-2，-1； 14．-6≤x ≤6； 15．0＜c ≤2．。
《绝对值》 讲义
《绝对值》讲义一、什么是绝对值在数学中，绝对值是一个非常重要的概念。
简单来说，绝对值表示一个数在数轴上离原点的距离。
例如，数字 5 在数轴上距离原点 5 个单位长度，所以 5 的绝对值是5；而－5 在数轴上同样距离原点 5 个单位长度，所以－5 的绝对值也是 5。
用数学符号表示，｜5| ＝ 5，｜－5| ＝ 5。
绝对值的定义可以表述为：对于任意实数 a，当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a 。
这意味着，绝对值总是非负的，即｜a| ≥ 0 。
二、绝对值的性质1、非负性绝对值的最基本性质就是非负性，也就是说，任何数的绝对值都大于或等于零。
这是因为距离不能是负数。
2、对称性｜a| ＝｜a| ，即一个数和它的相反数的绝对值相等。
例如，｜3|＝｜－3| 。
3、自反性｜a| ＝ 0 当且仅当 a ＝ 0 。
4、三角不等式对于任意实数 a 和 b ，有｜a ＋b| ≤ ｜a| ＋｜b| 。
当且仅当ab ≥ 0 时，等号成立。
例如，当 a ＝ 2 ，b ＝ 3 时，｜2 ＋ 3| ＝ 5 ，｜2| ＋｜3| ＝ 5 ，此时等式成立。
但当 a ＝－2 ，b ＝ 3 时，｜－2 ＋ 3| ＝ 1 ，而｜－2| ＋｜3| ＝5 ，此时不等式成立。
三、绝对值的运算1、简单计算计算一个数的绝对值，只需要判断这个数是正数、负数还是零。
如果是正数或零，绝对值就是它本身；如果是负数，绝对值是它的相反数。
例如，｜7| ＝ 7 ，｜－8| ＝ 8 。
2、含有绝对值的加减法当进行含有绝对值的加减法运算时，需要先根据绝对值的定义去掉绝对值符号，然后再进行运算。
例如，计算｜3 5| ，先计算 3 5 ＝－2 ，因为－2 ＜ 0 ，所以｜3 5| ＝｜－2| ＝ 2 。
3、含有绝对值的乘除法对于两个数的乘积或商的绝对值，有｜ab| ＝｜a| ｜b| ，｜a ／ b| ＝｜a| ／｜b| （b ≠ 0 ）。
例如，｜－2 × 3| ＝｜－6| ＝ 6 ，｜－6 ／ 3| ＝｜－2| ＝ 2 。
高考数学一轮复习第12章选修4系列第3讲绝对值不等式讲义理含解析
第3讲绝对值不等式1．绝对值不等式(1)定理如果a，b是实数，那么|a＋b|≤□01|a|＋|b|，当且仅当□02ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.当且仅当□03(a－b)(b－c)≥0时，等号成立，即b落在a，c之间．(3)由绝对值不等式定理还可以推得以下几个不等式①|a1＋a2＋…＋a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|.②||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.2．绝对值不等式的解法(1)形如|ax＋b|≥|cx＋d|的不等式，可以利用两边平方的形式转化为二次不等式求解．(2)①绝对值不等式|x|>a与|x|<a的解集．②|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法．|ax＋b|≤c⇔□03－c≤ax＋b≤c(c>0)，|ax＋b|≥c⇔□04ax＋b≤－c或ax＋b≥c(c>0)．1．概念辨析(1)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集为∅.( )(2)若|x|>c的解集为R，则c≤0.( )(3)|ax＋b|≤c(c≥0)的解集，等价于－c≤ax＋b≤c.( )(4)对|a－b|≤|a|＋|b|当且仅当ab≤0时等号成立．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)√ 2．小题热身(1)设a ，b 为满足ab <0的实数，那么( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |<||a |－|b || D ．|a －b |<|a |＋|b | 答案 B解析 ∵ab <0，∴|a －b |＝|a |＋|b |>|a ＋b |.(2)若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 答案 2解析 由|kx －4|≤2⇔2≤kx ≤6.∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. (3)函数y ＝|x －3|＋|x ＋3|的最小值为________． 答案 6解析 因为|x －3|＋|x ＋3|≥|(x －3)－(x ＋3)|＝6，当－3≤x ≤3时，|x －3|＋|x ＋3|＝6，所以函数y ＝|x －3|＋|x ＋3|的最小值为6.(4)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集是________． 答案 (－∞，4)解析 |x －1|－|x －5|表示数轴上对应的点x 到1和5的距离之差．而数轴上满足|x －1|－|x －5|＝2的点的数是4，结合数轴可知，满足|x －1|－|x －5|<2的解集是(－∞，4)．题型 一 解绝对值不等式设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )>2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值．解 (1)解法一：令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4.原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－x －5>2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x <4，3x －3>2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x ＋5>2.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－7或x >53. 解法二：f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5，x <－12，3x －3，－12≤x <4，x ＋5，x ≥4.画出f (x )的图象，如图所示．求得y ＝2与f (x )图象的交点为(－7,2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2. 由图象知f (x )>2的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－7或x >53. (2)由(1)的解法二知，f (x )min ＝－92.条件探究 把举例说明中函数改为“f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|”，解不等式|f (x )|>1.解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示．由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <13或x >5.所以|f (x )|>1的解集为{|x x <13或1<x <3或x >5.解|x －a |＋|x －b |≥c 或|x －a |＋|x －b |≤c 的一般步骤 (1)零点分段法①令每个含绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；②将这些根按从小到大排序并以这些根为端点把实数集分为若干个区间； ③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出解集； ④取各个不等式解集的并集求得原不等式的解集． (2)利用|x －a |＋|x －b |的几何意义数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体，|x －a |＋|x －b |≥|x －a －(x －b )|＝|a －b |.(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解．见举例说明．提醒：易出现解集不全的错误．对于含绝对值的不等式，不论是分段去绝对值号还是利用几何意义，都要不重不漏．1．求不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集．解 当x <－2时，不等式等价于－(x －1)－(x ＋2)≥5，解得x ≤－3；当－2≤x <1时，不等式等价于－(x －1)＋(x ＋2)≥5，即3≥5，无解； 当x ≥1时，不等式等价于x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2. 综上，不等式的解集为{x |x ≤－3或x ≥2}．2．若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为{|x －53<x <13，求a 的值．解 ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5. 当a >0时，－1a <x <5a ，－1a ＝－53，且5a ＝13无解； 当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符； 当a <0时，5a <x <－1a ，5a ＝－53，且－1a ＝13，解得a ＝－3.题型 二 绝对值不等式性质的应用角度1 用绝对值不等式的性质求最值 1．设函数f (x )＝|2x －3|.(1)求不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集；(2)若g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )的最小值为4，求实数m 的值． 解 (1)∵f (x )>5－|x ＋2|可化为|2x －3|＋|x ＋2|>5， ∴当x ≥32时，原不等式化为(2x －3)＋(x ＋2)>5，解得x >2，∴x >2；当－2<x <32时，原不等式化为(3－2x )＋(x ＋2)>5，解得x <0，∴－2<x <0；当x ≤－2时，原不等式化为(3－2x )－(x ＋2)>5，解得x <－43，∴x ≤－2.综上，不等式f (x )>5－|x ＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)． (2)∵f (x )＝|2x －3|，∴g (x )＝f (x ＋m )＋f (x －m )＝|2x ＋2m －3|＋|2x －2m －3|≥|(2x ＋2m －3)－(2x －2m －3)|＝|4m |，∴依题意有4|m |＝4，解得m ＝±1.角度2 用绝对值不等式的性质证明不等式 (多维探究)2．设a >0，|x －1|<a 3，|y －2|<a3，求证：|2x ＋y －4|<a .证明 因为|x －1|<a 3，|y －2|<a3， 所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)| ≤2|x －1|＋|y －2|<2×a 3＋a3＝a .即|2x ＋y －4|<a .结论探究 举例说明条件不变，求证：|x －2y ＋1|<a ＋2. 证明 |x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|<|x －1|＋|2(y －1)|＝|x －1|＋|2(y －2)＋2|<|x －1|＋2|y －2|＋2a 3＋2·a3＋2＝a ＋2.1．证明绝对值不等式的三种主要方法(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． (2)利用三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |进行证明． (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明． 2．用绝对值不等式的性质求最值的方法利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R )，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值．(2018·江西南昌模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|. (1)若不等式f (x )≤2－|x －1|有解，求实数a 的取值范围； (2)当a <2时，函数f (x )的最小值为3，求实数a 的值． 解 (1)由题意f (x )≤2－|x －1|，即为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≤1.而由绝对值的几何意义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1， 由不等式f (x )≤2－|x －1|有解，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1≤1，即0≤a ≤4.∴实数a 的取值范围是[0,4]．(2)由2x －a ＝0得x ＝a2，由x －1＝0得x ＝1， 由a <2知a2<1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫x <a 2，x －a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2≤x ≤1，3x －a －x函数的图象如图所示．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a2＋1＝3，解得a ＝－4.题型 三 与绝对值不等式有关的参数范围问题(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )>x 成立，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >12. (2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1，不符合题意；若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <2a ，所以2a≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2]．条件探究 把举例说明函数改为“f (x )＝|2x －1|－|x －a |”，若x ∈(－1,0)时，f (x )>1有解，求a 的取值范围．解 当x ∈(－1,0)时，f (x )>1有解⇔|x －a |<－2x 有解⇔2x <x －a <－2x 有解⇔3x <a <－x 有解，∵3x >－3，－x <1，∴－3<a <1，即实数a 的取值范围是(－3,1)．两招解不等式问题中的含参问题(1)第一招是转化．①把存在性问题转化为求最值问题；②不等式的解集为R 是指不等式的恒成立问题；③不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此类问题都可转化为最值问题，即f (x )<a 恒成立⇔a >f (x )max ，f (x )>a 恒成立⇔a <f (x )min .(2)第二招是求最值．求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：①利用绝对值的几何意义；②利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥||a |－|b ||；③利用零点分区间法．已知f (x )＝|x －a |，a ∈R .(1)当a ＝1时，求不等式f (x )＋|2x －5|≥6的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )－|x －3|的值域为A ，且[－1,2]⊆A ，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，不等式为|x －1|＋|2x －5|≥6. 当x ≤1时，不等式可化为－(x －1)－(2x －5)≥6， 解得x ≤0，所以x ≤0；当1<x <52时，不等式可化为(x －1)－(2x －5)≥6，解得x ≤－2，所以x ∈∅；当x ≥52时，不等式可化为(x －1)＋(2x －5)≥6，解得x ≥4，所以x ≥4.综上所述，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥4}． (2)因为|g (x )|＝||x －a |－|x －3|| ≤|x －a －(x －3)|＝|a －3|， 所以g (x )∈[－|a －3|，|a －3|]，所以函数g (x )的值域A ＝[－|a －3|，|a －3|]， 因为[－1,2]⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧－|a －3|≤－1，|a －3|≥2，解得a ≤1或a ≥5.所以实数a 的取值范围是(－∞，1]∪[5，＋∞)．。
第1讲 绝对值不等式
第1讲绝对值不等式一、知识梳理1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a {x|－a<x<a}∅∅|x|>a {x|x>a或x<－a}{x|x∈R且x≠0}R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c．常用结论1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系：(1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当ab≤0且|a|≥|b|时，等号成立．(2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立．2．解绝对值不等式的两个要点(1)解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号．(2)解含绝对值的不等式的基本思路可概括为十二字口诀“找零点，分区间，逐个解，并起来”．二、习题改编1．(选修4-5P20T7改编)求不等式3≤|5－2x |<9的解集．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|<9，|2x －5|≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧－9<2x －5<9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<x <7，x ≥4或x ≤1，不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)．2．(必修4-5P20T8改编)求不等式|x ＋1|＋|x －2|≤5的解集．解：不等式|x ＋1|＋|x －2|≤5，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－x －1－x ＋2≤5或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，x ＋1－x ＋2≤5或⎩⎨⎧x >2，x ＋1＋x －2≤5，解得－2≤x ≤3，所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤3}．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若|x |>c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|<2的解集为∅.( )(3)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 二、易错纠偏常见误区(1)解集中等号是否成立不注意； (2)含参数的绝对值不等式讨论不清． 1．不等式|x －4|＋|x －1|－3≤2的解集．解： 不等式等价于⎩⎨⎧x ≤1，2－2x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧1<x <4，0≤2或⎩⎨⎧x ≥4，2x －8≤2，解得0≤x ≤5，故不等式|x －4|＋|x －1|－3≤2的解集为[0，5]．2．若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，求实数k 的值．解：因为|kx －4|≤2，所以－2≤kx －4≤2，所以2≤kx ≤6.因为不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，所以k ＝2.含绝对值不等式的解法(师生共研)(2020·沈阳质量检测(一))已知函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a ∈R . (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3x ＋|2x ＋1|的解集； (2)若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，求a 的值． 【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|＋3x ， 由f (x )≥3x ＋|2x ＋1|，得|x －1|－|2x ＋1|≥0， 当x >1时，x －1－(2x ＋1)≥0，得x ≤－2，无解； 当－12≤x ≤1时，1－x －(2x ＋1)≥0，得－12≤x ≤0；当x <－12时，1－x －(－2x －1)≥0，得－2≤x <－12.所以不等式的解集为{x |－2≤x ≤0}．(2)由|x －a |＋3x ≤0，可得⎩⎨⎧x ≥a ，4x －a ≤0或⎩⎨⎧x <a ，2x ＋a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4或⎩⎪⎨⎪⎧x <a ，x ≤－a 2.当a >0时，不等式的解集为{x |x ≤－a 2}．由－a2＝－1，得a ＝2.当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤0}，不合题意．当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x≤a 4. 由a4＝－1，得a ＝－4. 综上，a ＝2或a ＝－4.含绝对值不等式解法的常用方法设函数f (x )＝|x ＋4|.求不等式f (x )>1－12x 的解集．解：f (x )＝|x ＋4|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x >－4，0，x ＝－4，－4－x ，x <－4，所以不等式f (x )>1－12x 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4>1－12x （x >－4），0>1－12x （x ＝－4），－4－x >1－12x （x <－4），解得x >－2或x <－10，故不等式f (x )>1－12x 的解集为{x |x >－2或x <－10}．绝对值不等式性质的应用(师生共研)(2020·昆明市质量检测)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)≥4；(2)当x ≠0，x ∈R 时，证明：f (－x )＋f (1x)≥4.【解】 (1)不等式f (x )＋f (x ＋1)≥4等价于|2x －1|＋|2x ＋1|≥4，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－4x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，4x ≥4，解得x ≤－1或x ≥1，所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．(2)当x ≠0，x ∈R 时，f (－x )＋f (1x )＝|－2x －1|＋|2x －1|，因为|－2x －1|＋|2x －1|≥|2x ＋2x |＝2|x |＋2|x |≥4，当且仅当⎩⎨⎧（2x ＋1）（2x －1）≥02|x |＝2|x |，即x ＝±1时等号成立，所以f (－x )＋f (1x)≥4.两数和与差的绝对值不等式的性质(1)对绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．(2)该定理可强化为||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，它经常用于证明含绝对值的不等式．(2020·湖北省五校联考)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )<|x |＋1；(2)若对x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.解：(1)因为f (x )<|x |＋1，所以|2x －1|<|x |＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1<x ＋1，或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，1－2x <x ＋1，或⎩⎨⎧x ≤0，1－2x <－x ＋1，得12≤x <2或0<x <12或无解． 故不等式f (x )<|x |＋1的解集为{x |0<x <2}．(2)证明：f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|2y ＋1|＝2|x －y －1|＋|2y ＋1|≤2×13＋16＝56<1.绝对值不等式的综合应用(师生共研)(2018·高考全国卷Ⅰ )已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0，1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|，即f (x )＝⎩⎨⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}．(2)当x ∈(0，1)时|x ＋1|－|ax －1|>x 成立等价于当x ∈(0，1)时|ax －1|<1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0，1)时|ax －1|≥1；若a >0，|ax －1|<1的解集为0<x <2a ，所以2a ≥1，故0<a ≤2.综上，a 的取值范围为(0，2]．(1)研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，转化为分段函数，然后数形结合解决，这是常用的思维方法．(2)对于求y ＝|x －a |＋|x －b |或y ＝|x －a |－|x －b |型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便．形如y ＝|x －a |＋|x －b |的函数只有最小值，形如y ＝|x －a |－|x －b |的函数既有最大值又有最小值．(2020·安徽五校联盟第二次质检)已知f (x )＝|x |＋2|x －1|.(1)解不等式f (x )≥4；(2)若不等式f (x )≤|2a ＋1|有解，求实数a 的取值范围．解：(1)不等式f (x )≥4，即|x |＋2|x －1|≥4，等价于⎩⎨⎧x <0，2－3x ≥4或⎩⎨⎧0≤x ≤1，2－x ≥4或⎩⎨⎧x >1，3x －2≥4⇒x ≤－23或无解或x ≥2.故不等式的解集为(－∞，－23]∪[2，＋∞)．(2)f (x )≤|2a ＋1|有解等价于f (x )min ≤|2a ＋1|. f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x （x <0）2－x （0≤x ≤1），3x －2（x >1）故f (x )的最小值为1，所以1≤|2a ＋1|，得2a ＋1≤－1或2a ＋1≥1， 解得a ≤－1或a ≥0，故实数a 的取值范围为(－∞，－1]∪[0，＋∞)．[基础题组练]1．已知函数f (x )＝|x －2|－|x －5|. (1)证明：－3≤f (x )≤3；(2)求不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集． 解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎨⎧－3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3， 所以－3≤f (x )≤3. (2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}； 当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}． 综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}． 2．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|·(x －a )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＜0的解集；(2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )＜0，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1)． 当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0； 当x ≥1时，f (x )≥0.所以，不等式f (x )<0的解集为(－∞，1)． (2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞)．3．(2020·陕西宝鸡中学二模)设函数f (x )＝x 2－x －1. (1)解不等式：|f (x )|<1；(2)若|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)． 解：(1)由|f (x )|<1得－1<f (x )<1， 即－1<x 2－x －1<1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x >0，x 2－x －2<0，解得－1<x <0或1<x <2，所以原不等式的解集为(－1，0)∪(1，2)．(2)证明：因为|x －a |<1，所以|f (x )－f (a )|＝|x 2－a 2＋a －x | ＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a ||x ＋a －1|<|x ＋a －1|＝|(x －a )＋2a －1| ≤|x －a |＋|2a |＋1<|2a |＋2＝2(|a |＋1)．4．(2020·新疆第一次毕业诊断及模拟测试)已知函数f (x )＝|x －2|－|x ＋1|. (1)若f (x )>a 成立有解，求a 的取值范围； (2)解不等式f (x )<x 2－2x .解：(1)f (x )＝|x －2|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x ≤－1，－2x ＋1，－1<x <2，－3，x ≥2，故f (x )∈[－3，3]，所以若使f (x )>a 成立有解，应有a <f (x )max ，即a <3， 所以a 的取值范围是(－∞，3)． (2)当x ≤－1时，x 2－2x >3， 所以x <－1；当－1<x <2时，x 2－2x >－2x ＋1. 所以1<x <2；当x ≥2时，x 2－2x >－3，故x ≥2.综上所述，不等式的解集为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．5．(2020·陕西汉中重点中学3月联考)已知函数f (x )＝|4x －1|－|x ＋2|. (1)解不等式f (x )<8；(2)若关于x 的不等式f (x )＋5|x ＋2|<a 2－8a 的解集不是空集，求a 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎨⎧－3x ＋3，x ≤－2，－5x －1，－2<x <14，3x －3，x ≥14，当x ≤－2时，由－3x ＋3<8，得x >－53，无解；当－2<x <14时，由－5x －1<8，得x >－95，即－95<x <14；当x ≥14时，由3x －3<8，得x <113，即14≤x <113.所以不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－95<x <113.(2)f (x )＋5|x ＋2|＝|4x －1|＋|4x ＋8|≥9. 则由题可得a 2－8a >9. 解得a <－1或a >9.6．(2020·原创冲刺卷三)已知函数f (x )＝|x －2a |，a ∈R ，若∀x ∈R ，f (x )都满足f (x )＝f (4－x )．(1)求a 的值；(2)若∃x ∈R ，使得不等式f (2x －1)－f (x )≤4－2m 成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)因为f (x )＝f (4－x )，x ∈R ，所以f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又f (x )＝|x －2a |的图象关于直线x ＝2a 对称，所以2a ＝2，a ＝1.(2)令h (x )＝f (2x －1)－f (x )＝|2x －3|－|x －2|＝⎩⎨⎧－x ＋1，x ≤32，3x －5，32<x <2，x －1，x ≥2，h (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，32上单调递减，在⎝⎛⎭⎫32，＋∞上单调递增，所以h (x )min ＝h (32)＝－12，故－12≤4－2m ，解得m ≤94，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，94. [综合题组练]1．(2020·河北省九校第二次联考)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )>2；(2)记函数g (x )＝f (x )＋f (－x )，若对任意的x ∈R ，不等式|k －1|<g (x )恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)依题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ≤－12x ＋2，－12<x <1，3x ，x ≥1于是得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－12，－3x >2或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x <1，x ＋2>2或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥13x >2，解得x <－23或0<x <1或x ≥1.故不等式f (x )>2的解集为{x |x <－23或x >0}．(2)g (x )＝f (x )＋f (－x )＝|x －1|＋|x ＋1|＋(|2x ＋1|＋|2x －1|)≥|(x －1)－(x ＋1)|＋|(2x ＋1)－(2x －1)|＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（x ＋1）≤0（2x －1）（2x ＋1）≤0，即x ∈[－12，12]时取等号， 若对任意的x ∈R ，不等式|k －1|<g (x )恒成立，则|k －1|<g (x )min ＝4， 所以－4<k －1<4，解得－3<k <5，即实数k 的取值范围为(－3，5)．2．(2020·广州市调研测试)已知函数f (x )＝13|x －a |(a ∈R )． (1)当a ＝2时，解不等式|x －13|＋f (x )≥1； (2)设不等式|x －13|＋f (x )≤x 的解集为M ，若[13，12]⊆M ，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，原不等式可化为|3x －1|＋|x －2|≥3，①当x ≤13时，1－3x ＋2－x ≥3，解得x ≤0，所以x ≤0； ②当13<x <2时，3x －1＋2－x ≥3，解得x ≥1，所以1≤x <2； ③当x ≥2时，3x －1＋x －2≥3，解得x ≥32，所以x ≥2. 综上所述，当a ＝2时，不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥1}．(2)不等式|x －13|＋f (x )≤x 可化为|3x －1|＋|x －a |≤3x ， 依题意不等式|3x －1|＋|x －a |≤3x 在x ∈[13，12]上恒成立， 所以3x －1＋|x －a |≤3x ，即|x －a |≤1，即a －1≤x ≤a ＋1，所以⎩⎨⎧a －1≤13a ＋1≥12，解得－12≤a ≤43， 故实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，43.。
《绝对值》 讲义
《绝对值》讲义一、什么是绝对值在数学的广袤世界里，绝对值是一个非常基础且重要的概念。
简单来说，绝对值就是一个数在数轴上距离原点的距离。
无论这个数是正数还是负数，它的绝对值总是非负的。
例如，5 的绝对值是 5，－5 的绝对值也是 5。
这是因为 5 和－5 在数轴上到原点的距离都是 5 个单位长度。
用数学符号来表示，一个数 a 的绝对值记作｜a| 。
二、绝对值的性质1、非负性绝对值的首要性质就是非负性，即对于任意实数 a ，都有｜a| ≥ 0 。
这是因为距离不能是负数。
2、互为相反数的两个数的绝对值相等如果 a 和 a 互为相反数，那么｜a| ＝｜a| 。
比如 3 和－3 ，它们的绝对值都是 3 。
3、若｜a| ＝ b （b ≥ 0 ），则 a ＝ ±b这意味着当我们知道一个数的绝对值，就可以推断出这个数可能的值。
例如，若｜x| ＝ 4 ，那么 x 可能是 4 或者－4 。
三、绝对值的计算1、正数的绝对值是其本身对于正数 a ，｜a| ＝ a 。
比如｜7| ＝ 7 。
2、 0 的绝对值是 0这是一个特殊情况，｜0| ＝ 0 。
3、负数的绝对值是它的相反数对于负数 a ，｜a| ＝ a 。
例如，｜－9| ＝（－9) ＝ 9 。
四、绝对值的几何意义从几何角度看，绝对值表示的是数轴上两点之间的距离。
例如，｜a b| 表示数轴上 a 点和 b 点之间的距离。
如果我们要计算｜x 3| ，就可以理解为 x 这个点到 3 这个点的距离。
五、绝对值不等式1、当｜a| ＜ b （b ＞ 0 ）时， b ＜ a ＜ b比如，｜x| ＜ 5 ，那么－5 ＜ x ＜ 5 。
2、当｜a| ＞ b （b ＞ 0 ）时， a ＜ b 或 a ＞ b例如，｜x| ＞ 2 ，则 x ＜－2 或 x ＞ 2 。
六、绝对值在方程中的应用在方程中，绝对值的出现常常会使问题变得复杂，但只要掌握了正确的方法，也能迎刃而解。
例如，方程｜x 1| ＝ 2 ，根据绝对值的性质， x 1 ＝ 2 或 x 1 ＝－2 ，解得 x ＝ 3 或 x ＝－1 。
教学知识点解简单的绝对值不等式
教学知识点解简单的绝对值不等式绝对值不等式是数学中的重要概念之一。
在解决实际问题以及各个学科领域中，都能够广泛地应用到绝对值不等式的知识。
本文将为您详细解析简单的绝对值不等式。
一、绝对值的概念在介绍绝对值不等式之前，我们先来回顾一下绝对值的概念。
绝对值，又称绝对数，是表示一个数到原点的距离，其定义如下：|x| ={x, 若x ≥ 0-x, 若 x < 0}例如，|5| = 5，|-3| = 3，|0| = 0。
绝对值的结果永远是非负数。
二、绝对值不等式的定义绝对值不等式是指一个以绝对值形式表示的不等式。
它包含一个绝对值表达式以及与之相关的等式或不等式关系。
例如，|x| > 3 表示x的绝对值大于3；|x| < 2 表示x的绝对值小于2。
解绝对值不等式是要找出满足不等式的x的取值范围。
三、解绝对值大于的不等式对于绝对值大于的不等式，我们需要将其转化为两个不等式，并解出分别满足这两个不等式的x的取值范围。
举个例子，我们来解一个简单的绝对值大于的不等式：|x| > 3。
首先，我们可以将该绝对值不等式转化为两个不等式：x > 3 或者 x < -3。
对于第一个不等式 x > 3，我们可以得出x的取值范围为x > 3。
这表示x的取值大于3。
对于第二个不等式 x < -3，我们可以得出x的取值范围为x < -3。
这表示x的取值小于-3。
因此，将以上两个解合并，我们可以得出绝对值大于3的不等式的解为x > 3 或者 x < -3。
四、解绝对值小于的不等式对于绝对值小于的不等式，我们同样需要将其转化为两个不等式，并解出分别满足这两个不等式的x的取值范围。
举个例子，我们来解一个简单的绝对值小于的不等式：|x| < 2。
同样地，我们可以将该绝对值不等式转化为两个不等式：-2 < x < 2。
对于不等式 -2 < x < 2，我们可以得出x的取值范围为-2 < x < 2。
绝对值不等式讲义
【知识点梳理】一、绝对值的相关概念与性质：绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+， 对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．（5）.对一切实数x ，都有||||x x x -≤≤.（6）：123||a a a ++≤123||||||a a a ++；||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++ .（7）：||||||||||b a b a b a +≤-≤-. 加强：||||||||||a b a b a b -≤-≤+.绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．二、含绝对值方程（不等式、代数式）的化简三、绝对值方程的解法四、含绝对值的恒成立问题五、含绝对值的参数范围求解问题六、含绝对值的求值问题七、含绝对值的最值问题八、绝对值不等式的解法1、同解原理2、平方法3、图像法4、数形结合法5、零点分段讨论法九、绝对值不等式的证明方法1.||||x a a x a x a x a x a≤⇔-≤≤≥⇔≥≤-或； 0a >时，|()|()()f x a f x a f x a >⇔><-或；|()|()f x a a f x a <⇔-<<；2.利用三角不等式、加糖不等式或其他基本不等式3.反客为主4.分段讨论【典型例题】1：解不等式：⑴ |4x-3|<2x+1 ； ⑵ |3-4x|>2x+1 。
含绝对值不等式的解法讲义
含绝对值的不等式的解法一、 基本解法与思想解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）、公式法：即利用a x >与a x <的解集求解。
主要知识：1、绝对值的几何意义：x 是指数轴上点x 到原点的距离；21x x -是指数轴上1x ，2x 两点间的距离.。
2、a x >与a x <型的不等式的解法。
当0>a 时，不等式>x 的解集是{}a x a x x -<>或, 不等式a x <的解集是{}a x a x <<-;当0<a 时，不等式a x >的解集是{}R x x ∈ 不等式a x <的解集是∅;3．c b ax >+与c b ax <+型的不等式的解法。
把 b ax+ 看作一个整体时，可化为a x <与a x >型的不等式来求解。
当0>c 时，不等式c b ax >+的解集是{}c b ax c b ax x -<+>+或, 不等式c b ax <+的解集是{}c b ax c x <+<-;当0<c 时，不等式c b ax >+的解集是{}R x x ∈ 不等式c bx a <+的解集是∅;例1 解不等式32<-x分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“2-x ” 看着一个整体。
答案为{}51<<-x x 。
(解略)（二）、定义法:即利用(0),0(0),(0).a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩去掉绝对值再解。
例2。
解不等式22x x x x >++。
分析:由绝对值的意义知，a a =⇔a ≥0，a a =-⇔a ≤0。
解:原不等式等价于2x x +＜0⇔x(x+2)＜0⇔-2＜x ＜0。
专题05 绝对值与绝对值不等式 讲义-2022年暑假数学初升高衔接
2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料05 绝对值与绝对值不等式◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 绝对值的定义在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．知识链接02 绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： ,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知识链接03 绝对值的几何意义一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离． 离原点的距离越远，绝对值越大； 离原点的距离越近，绝对值越小．知识链接04 绝对值的性质（1）除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．知识链接05 两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示：在数轴上，数a 和数b 之间的距离．知识链接06 绝对值不等式的解法（1）绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解． （2）绝对值不等式的常见类型及其解法：①||x a <（0a >）的解集为：a x a -<<； （绝对值定义法）||x a >（0a >）的解集为：x a <-或x a >；②||||x a <⇔22x a <⇔； （平方法或零点讨论法）③||||ax b cx d e +++< （零点讨论法）◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 （1）若42a b -=-+，则_______a b +=．（2）若()2120a b ++-=，则a =________；b =__________． （3）若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋．典例剖析02 （1）已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y = ．（2）已知：abc ≠0，且M =a b ca b c++，当a ，b ，c 取不同值时，M = ．（3）已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，则a b c abca b c abc+++= ．典例剖析03 （1）解不等式：（ⅰ）3x <； （ⅱ）3x >； （ⅲ）2x ≤．（2）解不等式：（ⅰ）103x -<；（ⅱ）252x ->；（ⅲ）325x -≤．（3）（ⅰ）解不等式组2405132x x ⎧--≤⎪⎨-+>⎪⎩；（ⅱ）解不等式1215x ≤-<．典例剖析04 （1）解不等式：4321x x ->+．（2）解不等式：215x x ++-<．典例剖析05 画出下列函数的图像：（1）1y x =-； （2）122y x x =-+-；（3）223y x x =-++； （4）232y x x =-+．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）已知2(2)210x y -+-=，则2x y +=_______．（2）如图，化简22a b b c a c +------=_____________．（3）若0a a +=，那么a 一定是（ ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数 （4）若x x >，那么x 是____ ____数． （5）已知6a <-，化简26a ( )A. 6a -B. 6a --C. 6a +D. 6a -小试牛刀02 （1）不等式23x +<的解是________ ______；（2）不等式1211<-x 的解是______________；（3）不等式830x -≤的解是______________．小试牛刀03 解下列不等式：（1）1235x ≤-<；（2）3412x x ->+；（3）122x x x -+-<+．小试牛刀04 化简12x x +++，并画出12y x x =+++的图象．小试牛刀05 （1）画出23y x =+的图像； （2）画出223y x x =-++的图像．小试牛刀06 若对于某一范围内的x 的任意值，|1﹣2x |+|1﹣3x |+…+|1﹣10x |的值为定值，则这个定值为 ．小试牛刀06 已知实数a ，b ，c 满足：a +b +c ＝﹣2，abc ＝﹣4．（1）求a ，b ，c 中的最小者的最大值； （2）求|a |+|b |+|c |的最小值．2022年暑假 数学 初升高衔接 专题资料05 绝对值与绝对值不等式◇◇ 知知 识识 链链 接接 ◇◇知识链接01 绝对值的定义在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．知识链接02 绝对值的代数意义正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即： ,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩知识链接03 绝对值的几何意义一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离． 离原点的距离越远，绝对值越大； 离原点的距离越近，绝对值越小．知识链接04 绝对值的性质（1）除0外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数（0除外）的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0．知识链接05 两个数的差的绝对值的几何意义b a -表示：在数轴上，数a 和数b 之间的距离．知识链接06 绝对值不等式的解法（1）绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值符号，把它转化为一般的不等式求解． （2）绝对值不等式的常见类型及其解法：①||x a <（0a >）的解集为：a x a -<<； （绝对值定义法）||x a >（0a >）的解集为：x a <-或x a >；②||||x a <⇔22x a <⇔； （平方法或零点讨论法）③||||ax b cx d e +++< （零点讨论法）◇◇ 典典 例例 剖剖 析析 ◇◇典例剖析01 （1）若42a b -=-+，则_______a b +=．（2）若()2120a b ++-=，则a =________；b =__________． （3）若7322102m n p ++-+-=，则23_______p n m +=＋．【解析】（1）424204,2a b a b a b -=-+⇒-++=⇒==-，所以2a b +=．（2）1,2a b =-=．（3）由题意，713,,22m n p =-==，所以13237922p n m m +==+-=-＋．典例剖析02 （1）已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y = ．（2）已知：abc ≠0，且M =a b ca b c++，当a ，b ，c 取不同值时，M = ． （3）已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，则a b c abca b c abc+++= ．【解析】（1）3或－3．（2）当a 、b 、c 都是正数时，M = 3；当a 、b 、c 中有一个负数时，则M =1； 当a 、b 、c 中有2个负数时，则M = -1； 当a 、b 、c 都是负数时，M = -3． 综上：M =1±或3±．（3）由于0a b c ++=，且a b c ，，是非零整数，则a b c ，，一正二负或一负二正，当a b c ，，一正二负时，不妨设000a b c ><<，，，原式11110=--+=； 当a b c ，，一负二正时，不妨设000a b c <>>，，，原式11110=-++-=． 综上：a b c abca b c abc+++0=．典例剖析03 （1）解不等式：（ⅰ）3x <； （ⅱ）3x >； （ⅲ）2x ≤．（2）解不等式：（ⅰ）103x -<；（ⅱ）252x ->；（ⅲ）325x -≤．（3）（ⅰ）解不等式组2405132x x ⎧--≤⎪⎨-+>⎪⎩；（ⅱ）解不等式1215x ≤-<．【解析】（1）（ⅰ）33x -<<； （ⅱ）33x x <->或； （ⅲ）22x -≤≤．（2）（ⅰ）由题意，3103x -<-<，解得713x <<．（ⅱ）由题意，252x ->或252x -<-，解得72x >或32x <． （ⅲ）由题意，5325x -<-≤，解得14x -≤<．（3）（ⅰ）由240x --≤，得424x -≤-≤，解得26x -≤≤①，由5132x -+>，得133x +<，即3133x -<+<，解得4233x -<<②， 由①②得原不等式的解集为：4233x -<<． （ⅱ）方法一：由215x -<，解得23x -<<①，由121x ≤-得，0x ≤或1x ≥②，由①②得原不等式的解集为：2013x x -<<≤<或．方法二：12151215x x ≤-<⇔≤-<或5211x -<-≤-，解得2013x x -<<≤<或．典例剖析04 （1）解不等式：4321x x ->+．（2）解不等式：215x x ++-<．【解析】（1）法一：（零点讨论法）（ⅰ）当34x ≤时，原不等式变为：(43)21x x -->+，解得13x <，所以13x <； （ⅱ）当34x >时，原不等式变为：4321x x ->+，解得2x >，所以2x >；综上所述，原不等式的解集为123x x <>或．法二：43214321x x x x ->+⇔->+或43(21)x x -<-+，解得13x <或2x >．（2）（ⅰ）当2x <-时，得2(1)(2)5x x x <-⎧⎨---+<⎩，解得：23-<<-x ；（ⅱ）当12≤≤-x 时，得21(1)(2)5x x x -≤≤⎧⎨--++<⎩，解得：12≤≤-x ；（ⅲ）当1x >时，得1(1)(2)5x x x >⎧⎨-++<⎩，解得：21<<x ．综上，原不等式的解集为32x -<<．典例剖析05 画出下列函数的图像：（1）1y x =-； （2）122y x x =-+-； （3）223y x x =-++； （4）232y x x =-+．【解析】（1）①关键点是1x =，此点又称为界点；②接着是要去绝对值：当1x ≤时，1y x =-；当1x >时，1y x =-． ③图象如右图所示． （2）①关键点是1x =和2x =；②接着是要去绝对值： 当1x ≤时，53y x =-； 当12x <<时，3y x =-； 当2x ≥时，35y x =-． ③图象如右图所示． （3）①关键点是0x =；②接着是要去绝对值：当0x ≥时，223y x x =-++； 当0x <时，223y x x =--+． ③图象如右图所示． （4）①关键点是1x =和2x =；②接着是要去绝对值：当1x ≤或2x ≥时，232y x x =-+； 当12x <<时，232y x x =-+- ③图象如右图所示．◇◇ 小小 试试 牛牛 刀刀 ◇◇小试牛刀01 （1）已知2(2)210x y -+-=，则2x y +=___3____．（2）如图，化简22a b b c a c +------=______-4_______．（3）若0a a +=，那么a 一定是（ C ）A ．正数B ．负数C ．非正数D ．非负数（4）若x x >，那么x 是____负____数． （5）已知6a <-，化简26a -得( B )A. 6a -B. 6a --C. 6a +D. 6a -小试牛刀02 （1）不等式23x +<的解是________ ______； 51x -<<（2）不等式1211<-x 的解是______________； 04x << （3）不等式830x -≤的解是______________．38小试牛刀03 解下列不等式：（1）1235x ≤-<； 1124x x -<≤≤<或（2）3412x x ->+； 355x x <>或（3）122x x x -+-<+．153x <<小试牛刀04 化简12x x +++，并画出12y x x =+++的图象． 【解析】23,21,2123,1x x y x x x --≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪+≥-⎩，图象如右．小试牛刀05 （1）画出23y x =+的图像； （2）画出223y x x =-++的图像．【解析】 （1）如图所示： （2）如图所示：小试牛刀06 若对于某一范围内的x 的任意值，|1﹣2x |+|1﹣3x |+…+|1﹣10x |的值为定值，则这个定值为 ．【解析】∵P 为定值，∴P 的表达式化简后x 的系数和为0；由于2+3+4+5+6+7＝8+9+10；∴x 的取值范围是：1﹣7x ≥0且1﹣8x ≤0，即1187x ≤≤， 所以P ＝（1﹣2x ）+（1﹣3x ）+…+（1﹣7x ）﹣（1﹣8x ）﹣（1﹣9x ）﹣（1﹣10x ）＝6﹣3＝3．小试牛刀06 已知实数a ，b ，c 满足：a +b +c ＝﹣2，abc ＝﹣4．（1）求a ，b ，c 中的最小者的最大值；（2）求|a |+|b |+|c |的最小值．【解析】（1）不妨设a 是a ，b ，c 中的最小者，即a ≤b ，a ≤c ，由题设知a ＜0，且b +c ＝﹣2﹣a ，4bc a=-， 于是b ，c 是一元二次方程24(2)0x a x a----=的两实根， 即24(2)40a a∆=++⋅≥，a 3+4a 2+4a +16≤0，（a 2+4）（a +4）≤0， 所以a ≤﹣4；又当a ＝﹣4，b ＝c ＝1时，满足题意．故a ，b ，c 中最小者的最大值﹣4．（2）因为abc ＜0，所以a ，b ，c 为全小于0或二正一负．①当a ，b ，c 为全小于0，则由（1）知，a ，b ，c 中的最小者不大于﹣4，这与a +b +c ＝﹣2矛盾．②若a ，b ，c 为二正一负，设a ＜0，b ＞0，c ＞0，则|a |+|b |+|c |＝﹣a +b +c ＝﹣2a ﹣2≥8﹣2＝6，当a ＝﹣4，b ＝c ＝1时，满足题设条件且使得不等式等号成立．故|a |+|b |+|c |的最小值为6．。
绝对值不等式讲义
【知识点梳理】一、绝对值的相关概念与性质：绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a .绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号.②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0.④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5.求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩②(0)(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩ ③(0)(0)a a a a a >⎧=⎨-≤⎩ 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c =绝对值的其它重要性质：（1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-；（3）ab a b =⋅；a ab b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==；（5）a b a b a b -≤+≤+， 对于a b a b +≤+，等号当且仅当a 、b 同号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立； 对于a b a b -≤+，等号当且仅当a 、b 异号或a 、b 中至少有一个0时，等号成立．（5）.对一切实数x ，都有||||x x x -≤≤.（6）：123||a a a ++≤123||||||a a a ++；||21n a a a +++ ≤||||||21n a a a +++ .（7）：||||||||||b a b a b a +≤-≤-. 加强：||||||||||a b a b a b -≤-≤+.绝对值几何意义当x a =时，0x a -=，此时a 是x a -的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值． a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．a b -的几何意义：在数轴上，表示数a 、b 对应数轴上两点间的距离．二、含绝对值方程（不等式、代数式）的化简三、绝对值方程的解法四、含绝对值的恒成立问题五、含绝对值的参数范围求解问题六、含绝对值的求值问题七、含绝对值的最值问题八、绝对值不等式的解法1、同解原理2、平方法3、图像法4、数形结合法5、零点分段讨论法九、绝对值不等式的证明方法1.||||x a a x a x a x a x a≤⇔-≤≤≥⇔≥≤-或； 0a >时，|()|()()f x a f x a f x a >⇔><-或；|()|()f x a a f x a <⇔-<<；2.利用三角不等式、加糖不等式或其他基本不等式3.反客为主4.分段讨论【典型例题】1：解不等式：⑴ |4x-3|<2x+1 ； ⑵ |3-4x|>2x+1 。
不等式的性质及绝对值不等式讲义
不等式的性质及绝对值不等式课前双击巩固1.不等式的性质(1)如果a>b,那么;如果b<a,那么,即a>b⇔b<a.(2)如果a>b,b>c,那么,即a>b,b>c⇒.(3)如果a>b,那么a+c>,即a>b⇒a+c>.推论:如果a>b,c>d,那么,即a>b,c>d⇒.(4)如果a>b,c>0,那么ac>;如果a>b,c<0,那么ac<.(5)如果a>b>0,那么a n b n(n∈N,n≥2).(6)如果a>b>0,那么√a n√b n(n∈N,n≥2).2.基本不等式(1)如果a,b∈R,那么a2+b2,当且仅当时,等号成立.,当且仅当时,等号成立.(2)如果a>0,b>0,那么a+b2(3)如果a>0,b>0,那么a+b称为a,b的平均,√ab称为a,b的平均.2,当且仅当时,等号成立. (4)如果a>0,b>0,c>0,那么a+b+c3(5)对于n个正数a1,a2,…,a n,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即,当且仅当a1=a2=…=a n时,等号成立.3.绝对值不等式(1)如果a,b是实数,那么|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当时,等号成立.(2)如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当时,等号成立.课堂考点探究探究点一绝对值三角不等式的应用1 若对于实数x ,y ,有|x+y+1|≤13,|y -13|≤23,求证:|23x +1|≤79.[总结反思](1)对绝对值三角不等式定理|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|中取等号的条件要深刻理解,特别是用此定理求函数的最值时,要检验等号是否能取到.该定理可以强化为||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|,它经常用于证明含绝对值的不等式.(2)求y=|x-a|+|x-b|或y=|x-a|-|x-b|型函数的最值问题时,利用绝对值三角不等式更方便. 式题 若x ,y 满足|x-3y|<12,|x+2y|<16,求证:|x|<310.探究点二 绝对值不等式的解法 2 已知函数f (x )=|x+2|-|2x-2|. (1)解不等式f (x )≥-2;(2)设g (x )=x-a ,若对任意x ∈[a ,+∞),都有 g (x )≥f (x ),求a 的取值范围.[总结反思]式题已知函数f(x)=|2x+1|-|x|+a.(1)若a=-1,解不等式f(x)≥0;(2)若方程f(x)=2x有三个不同的解,求a的取值范围.探究点三绝对值不等式的证明与应用|+|x-2m|(m>0).3]设函数f(x)=|x+8m(1)求证:f(x)≥8恒成立;(2)求使得不等式f(1)>10成立的实数m的取值范围.[总结反思]式题已知f(x)=|ax-1|,若实数a>0,不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2}.(1)求a的值;(2)若f(x)+f(-x)<|k|存在实数解,求实数k的取值范围.3参考答案【课前双基巩固】 知识聚焦1. (1)b<a a>b (2)a>c a>c (3)b+c b+c a+c>b+d a+c>b+d (4)bc bc (5)> (6)>2. (1)≥2ab a=b (2)≥√ab a=b(3)算术 几何 (4)≥√abc 3a=b=c(5)a 1+a 2+⋯+a nn≥√a 1a 2…a n n3. (1)ab ≥0 (2)(a-b )(b-c )≥0 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] 借助绝对值三角不等式进行证明. 证明:|23x +1|=23|x +32|=23x+y+1-y+13+16≤23|x+y+1|+|y -13|+16≤23×(13+23+16)=79,所以|23x +1|≤79.变式题 证明:由绝对值三角不等式的性质得|x|=15|2(x-3y )+3(x+2y )|≤15[|2(x-3y )|+|3(x+2y )|]<15×(2×12+3×16)=310.例2 [思路点拨] (1)分类讨论,去掉绝对值,分别求得不等式f (x )≥-2的解集,再取并集,即得所求;(2)作出f (x )的图像,数形结合求得满足x ∈[a ,+∞)时g (x )≥f (x )的a 的取值范围. 解:(1)f (x )={x -4,x ≤−2,3x,-2<x <1,-x +4,x ≥1,当x ≤-2时,x-4≥-2,即x ≥2,∴x ∈⌀; 当-2<x<1时,3x ≥-2,即x ≥-23,∴-23≤x<1; 当x ≥1时,-x+4≥-2,即x ≤6,∴1≤x ≤6.综上,f (x )≥-2的解集为{x|−23≤x ≤6}. (2)函数y=f (x )的图像如图所示.∵g (x )=x-a ,-a 表示直线的纵截距,当直线过(1,3)点时,-a=2,∴当-a ≥2,即a ≤-2时,符合题意;当-a<2,即a>-2时,令-x+4=x-a ,得x=2+a2,∴a ≥2+a2,即a ≥4.综上,a ≤-2或a ≥4.变式题 解:(1)当a=-1时,不等式f (x )≥0可化为|2x+1|-|x|-1≥0,∴{x <−12,-(2x +1)−(−x)-1≥0或{-12≤x <0,(2x +1)−(−x)-1≥0或{x ≥0,(2x +1)−x -1≥0,解得x ≤-2或x ≥0,∴不等式f (x )≥0的解集为(-∞,-2]∪[0,+∞).(2)由f (x )=2x 得a=2x+|x|-|2x+1|, 令g (x )=2x+|x|-|2x+1|,则g (x )={ 3x +1(x <−12),-x -1(-12≤x <0),x -1(x ≥0),作出函数y=g (x )的图像,如图所示,易知A -12,-12,B (0,-1),结合图像知,当-1<a<-12时,函数y=a 与y=g (x )的图像有三个不同的交点,即方程f (x )=2x 有三个不同的解,∴a 的取值范围为(-1,-12).例3 [思路点拨] (1)先根据绝对值三角不等式可得|x +8m |+|x-2m|≥|8m +2m|,再根据基本不等式可得8m +2m ≥2√16=8,即证f (x )≥8恒成立;(2)原问题等价于解|1+8m |+|1-2m|>10,分1-2m ≥0和1-2m<0两种情况进行讨论,分别求解不等式再取并集即可.解:(1)证明:由m>0,得f (x )=|x +8m |+|x-2m|≥|(x +8m )-(x -2m)|=|8m +2m|=8m +2m ≥2√8m ×2m =8,当且仅当8m =2m 且(x +8m )(x-2m )≤0,即m=2且-4≤x ≤4时取等号,所以f (x )≥8恒成立.(2)f (1)=|1+8m|+|1-2m|(m>0).当1-2m<0,即m>12时,f (1)=1+8m-(1-2m )=8m+2m ,由f (1)>10,得8m+2m>10,化简得m 2-5m+4>0,解得m<1或m>4,所以12<m<1或m>4.当1-2m ≥0,即0<m ≤12时,f (1)=1+8m +(1-2m )=2+8m -2m , 由f (1)>10,得2+8m -2m>10,此不等式在0<m ≤12时恒成立. 综上,实数m 的取值范围是(0,1)∪(4,+∞).变式题 解:(1)由|ax-1|≤3,得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax ≤4. 因为a>0,所以-2a ≤x ≤4a ,因为不等式f (x )≤3的解集是{x|-1≤x ≤2}, 所以{-2a =−1,4a =2,解得a=2.(2)因为f(x)+f(-x)3=|2x -1|+|2x+1|3≥|(2x -1)-(2x+1)|3=23,所以要使f(x)+f(-x)3<|k|存在实数解,只需|k|>23,解得k>23或k<-23,所以实数k的取值范围是(-∞,-23)∪(23,+∞).。
绝对值不等式讲义全
解绝对值不等式1、解不等式| x - 5x 51 ：： 1.［思路］利用| f(x) | <a(a>0) - -a<f(x)<a去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等变形一右边的常数变代数式22、解下列不等式：(1)| X+1|>2 —x ；(2)| x —2X —6|<3 x［思路］利用I f(x) | <g(x) = -g(x)<f(x)<g(x)和丨f(x) | >g(x) = f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值3x3、解不等式 (1 )| x-x2-2 | >X2-3X-4 ; ( 2) —<1x —44、解不等式(1) |x —1|<|x+a|；( 2) | x-2 | + | x+3 | >5.［思路】(1)题由于两边均为非负数，因此可以利用| f(x) |〈|g(x)| = f2(x) g2(x)两边平方去掉绝对值符号。
(2)题可采用零点分段法去绝对值求解5、解关于x 的不等式|log a(1 -x)| | log a(1 x) | (a>0 且a 工1)x6.不等式|x+3|-|2x-1|<+1的解集为2 ----------------------------------8、解关于x 的不等式 -x 2 -4mx - 4m 2m 3［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解 ，运算理较大。
若化简成|x-2m 「m ，3 ,则解题过程更简单。
在解题过程中需根据绝对值定义对 m 3的正负进行讨论。
2)形如 |f(x)|<a , |f(x)|>a (a ，R )型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ① 当 a >0 时，| f (x) |<a = — a < f (x) < a ； | f (x) |> a =f (x) > a 或 f (x) < — a ；② 当 a =0 时，| f (x) |<a 无解，| f (x) |> a f (x)丸 ③当 a <0 时，|f(x)|<a 无解，| f(x) |> a=f (x)有意义。
绝对值不等式的证明讲义
1 绝对值不等式的证明一、课前导入：证明一个含有绝对值的不等式成立，除了要应用一般不等式的基本性质之外，经常还要用到关于绝对值的和、差、积、商的性质：（1）b a b a +≥+ （2）b a b a +≤-（3）b a b a ⋅=⋅ （4）)0(≠=b ba b a请同学们思考一下，是否可以用绝对值的几何意义说明上述性质存在的道理？ 实际上，性质b a b a ⋅=⋅和)0(≠=b ba b a可以从正负数和零的乘法、除法法则直接推出；而绝对值的差的性质可以利用和的性质导出。
因此，只要能够证明b a b a +≥+对于任意实数都成立即可。
我们将在下面的例题中研究它的证明。
现在请同学们讨论一个问题：设a 为实数，a 和a 哪个大？ 显然a a ≥，当且仅当0≥a 时等号成立（即在0≥a 时，等号成立。
在0<a 时，等号不成立）。
同样，.a a -≥当且仅当0≤a 时，等号成立。
含有绝对值的不等式的证明中，常常利用a a +≥、a a -≥及绝对值的和的性质。
二、典型例题：例1、证明 （1）b a b a +≥+， （2）b a b a -≥+。
类比：我们之前学过向量不等式|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |（1）你还记得它的几何意义吗？（2）你能从其他的角度说明（证明）这个不等式吗？（3）你还能对这个不等式作进一步的类比、联想和推广吗？例2、证明 b a b a b a +≤-≤-。
例3、先看上次课我们解决过的一个问题：不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，求实数a 的取值范围。
（1）你还记得这个问题是如何解决的吗？（2）你能对本题的结论作进一步的推广吗？例4、已知 2,2cb y ca x <-<-，求证 .)()(cb a y x <+-+3 例5、已知.6,4a y a x << 求证：a y x <-32。
绝对值不等式讲义(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】解绝对值不等式1、解不等式2|55|1x x -+<． ［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等。
变形一右边的常数变代数式2、解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值3、解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234xx -≤1变形二 含两个绝对值的不等式 4、解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。
5、 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1)6．不等式|x+3|-|2x-1|<2x +1的解集为 。
7．求不等式1331log log 13x x+≥-的解集.变形三 解含参绝对值不等式8、解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。
若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。
在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。
2）形如|()f x |<a ，|()f x |>a (a R ∈)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：① 当a >0时，|()f x |<a ⇔－a <()f x <a ；|()f x |>a ⇔()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x ≠0③ 当a <0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x 有意义。
绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)知识讲解
3.若变为|x+1|+|x-2|>k恒成立，则k的取值范围是 4.若变为不等式|x-1|+|x-3|<k的解集为空集，则k的 取值范围是
3、已知 0, x a , y b ,
求证 2x 3y 2a 3b 5
绝对值不等式的解法（一）
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
取值范围是-(------,--2-]
3.解不等式1<|2x+1|<3. 答案:(-2,-1)∪(0,1)
4.解不等式|x+3|+|x-3|>8. 答案: {x|x<-4或x>4}.
5.解不等式：|x-1|>|x-3|. 答案: {x|x>2}.
6.解不等式|5x- 6|<6-x. 答案:(0,2)
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集 为 ，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像， 并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是
绝对值不等式讲义
第2节 绝对值不等式基础知识诊断 回顾教材 务实基础【知识梳理】1.绝对值三角不等式 定理1：如果a b ，是实数，则||||||a b a b +≤+，当且仅当0ab ≥时，等号成立．定理2：如果a b c ，，是实数，那么||||||a c a b b c -≤-+-，当且仅当()()0a b b c --≥时，等号成立． ||||||||a b a b a b -≤-≤+当且仅当|a b ≥且0ab ≥时，左边等号成立，当且仅当0ab ≤时，右边等号成立.2.绝对值不等式的解法 （1）绝对值不等式ax b c -≤，ax b c +≥类型.1.c b ax ≤-的解法： I .当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c ≤+≤-∏.当0＜c 时，不等式解集为：空集2.ax b c +≥的解法：I .当0＞c 时，不等式解集为：c b ax c b ax -≤+≥+或∏.当0＜c 时，不等式解集为：全体实数（2）绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-类型绝对值的几何意义：a 的几何意义是：数轴上表示数轴上点a 到原点的距离．b a -的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b 两点的距离．b a +的几何意义是：数轴上表示数轴上,a b -的两点的距离．b x a x -+-的几何意义是：数轴上表示点x 到,a b 的两点的距离和，故b a b x a x -≥-+-利用图像和几何意义解c b x a x ≤-+-或c b x a x ≥-+-的解集．分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>--≤≤-<++-=-+-b x b a x b x a a b a x b a x b x a x 22（3）绝对值不等式x a x b c x a x b c ---≥---≤类型b x a x ---的几何意义是：数轴上表示点x 到a 的距离与到b 的距离之差， 故b a b x a x b a -≤---≤-- 利用图像和几何意义解c b x a x ≤---或c b x a x ≥---的解集． 分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤--<-=---b x b a b x a b a x a x b a b x a x 2a xb x ---的几何意义是：数轴上表示点x 到b 的距离与到a 的距离之差， 故a b x b x a a b --≤---≤- 利用图像和几何意义解c a x b x ≤---或c a x b x ≥---的解集． 分区间讨论：()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤++-<+-=---b x b a b x a b a x a x b a a x b x 2（4）绝对值不等式()b x n a x m x f -+-=类型结论：在绝对值不等式中，系数大的决定不等式的最值．绝对值之和只有最小值，并在大系数绝对值取到零点时取到最小值． 书写过程：1|2|1|2||2||1|221≥-+≥-+-+-=-+-x x x x x x（5）绝对值不等式()b x n a x m x f ---=类型结论：系数大的决定最值，类似于二次函数，系数大的为正，开口向上，有最小值；系数大的为负，开口向下，有最大值．考点聚焦突破 分类讲练 以例求法 考点一 绝对值三角不等式【例1】（2020•江汉区模拟）已知函数()|1||2|f x x x =--+．（1）若不等式()|1|f x m ≥-有解，求实数m 的最大值M ；（2）在（1）的条件下，若正实数a ，b 满足223a b M +=，证明：34a b +≤．【训练1】（2020•河南一模）已知函数()|||2|f x x a x =++-．（1）当1a =时，求不等式()7f x ≥的解集；（2）若()|4||2|f x x x a ≤-++的解集包含[0，2]，求a 的取值范围．考点一 绝对值不等式的解法（1）绝对值不等式ax b c -≤，ax b c +≥类型.（2）绝对值不等式c b x a x c b x a x ≤-+-≥-+-；类型 【例1】（2021•河南二模）设()|2||3|f x x x =-++．（1）解不等式()7f x >；（2）若关于实数x 的不等式()1f x a <-无解，求实数a 的取值范围．【例2】（2020•新课标Ⅱ）已知函数2()|||21|f x x a x a =-+-+．（1）当2a =时，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥，求a 的取值范围．【训练1】（2021•南充模拟）已知函数()|||3|f x x a x =+++．（1）当1a =-时，求不等式()9f x x ≥+的解集；（2）若()|4|f x x ≤-的解集中包含[0，1]，求a 的取值范围．（3）绝对值不等式x a x b c x a x b c ---≥---≤；类型 【例3】（2021•达州模拟）已知()|1||1|f x x a x =--+．（1）若1a =，解不等式()1f x ≤；（2）若不等式()1f x ≤无解，求实数a 的取值范围．【训练2】（2021•4月份模拟）已知()|2||1|f x x x =+--．（1）解不等式()f x x ≤；（2）设()f x 的最大值为t ，如果正实数m ，n 满足2m n t +=，求21m n +的最小值．（4）绝对值不等式()b x n a x m x f -+-=类型【例4】（2021•甘肃模拟）已知函数()|2|2|1|f x x x =-++，x R ∈．（1）求函数()f x 的图象与直线6y =围成区域的面积；（2）若对于0m >，0n >，且4m n +=时，不等式()f x mn ≥恒成立，求实数x 的取值范围．【训练3】（2021•新疆模拟）已知函数()|1|f x x =-．（1）求不等式()(2)4f x f x +≤的解集M ；（2）记集合M 中的最大元素为m ，若不等式2()()f mx f ax m +≤在[1，)+∞上有解，求实数a 的取值范围．（5）绝对值不等式()b x n a x m x f ---=类型【例5】（2021•黄山二模）已知函数()|2||1|f x x a x =--+．（1）当2a =时，求不等式()2f x <的解集；（2）若0a >，不等式()30f x +>恒成立，求实数a 的取值范围．【训练4】（2021•银川二模）已知函数()||2||(0f x x a x b a =+-->，0)b >．（1）当1a b ==时，解不等式()0f x >；（2）若函数()()||g x f x x b =+-的最大值为2，求14a b +的最小值．。
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解绝对值不等式1、解不等式2|55|1x x -+<．［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a 去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等。
变形一右边的常数变代数式2、解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值3、解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234xx -≤1变形二 含两个绝对值的不等式4、解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。
5、 解关于x 的不等式|log (1)||log (1)|a a x x ->+(a >0且a ≠1)6．不等式|x+3|-|2x-1|<2x+1的解集为 。
7．求不等式1331log log 13x x+≥-的解集.变形三 解含参绝对值不等式8、解关于x 的不等式 34422+>+-m m mx x［思路］本题若从表面现象看当含一个根号的无理根式不等式来解，运算理较大。
若化简成3|2|+>-m m x ，则解题过程更简单。
在解题过程中需根据绝对值定义对3m +的正负进行讨论。
2）形如|()f x |<a ，|()f x |>a (a R ∈)型不等式此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：① 当a >0时，|()f x |<a ⇔－a <()f x <a ；|()f x |>a ⇔()f x >a 或()f x <－a ； ② 当a =0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x ≠0 ③ 当a <0时，|()f x |<a 无解，|()f x |>a ⇔()f x 有意义。
9．解关于x 的不等式：()0922>≤-a a a x x10．关于x 的不等式|kx －1|≤5的解集为{x |－3≤x ≤2}，求k 的值。
变形4 含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题11、若不等式|x －4|+|3－x |<a 的解集为空集，求a 的取值范围。
［思路］此不等式左边含有两个绝对值符号，可考虑采用零点分段法，即令每一项都等于0，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集，这是按常规去掉绝对值符号的方法求解，运算量较大。
若仔细观察不等式左边的结构，利用绝对值的几何意义用数形结合方法或联想到绝对值不等式|a +b |≤|a |+|b |，便把问题简化。
1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。
2）()f x a ≤有解()mi n a f x ⇒≥；()f x a ≤解集为空集()mi n a f x ⇒<；这两者互补。
()fx a ≤恒成立()m a x a f x ⇒≥。
()f x a <有解()m i n a f x ⇒>；()f x a <解集为空集()m i n a f x ⇒≤；这两者互补。
()f x a <恒成立()m a x a f x ⇒>。
()f x a ≥有解()m a x a f x ⇒≤；()f x a ≥解集为空集()max a f x ⇒>；这两者互补。
()f x a ≥恒成立()min a f x ⇒≤。
()f x a >有解()max a f x ⇒<；()f x a >解集为空集()max a f x ⇒≤；这两者互补。
()f x a >恒成立()min a f x ⇒≤。
12．对任意实数x ，若不等式|x +1|－|x －2|>k 恒成立，求k 的取值范围。
13．对任意实数x ，不等式|x+1|+|x-2|>a 恒成立，求实数a 的取值范围。
. 变题：1）、若不等式|x-4|+|x-3|>a 对于一切实数x 恒成立，求a 的取值范围2）、若不等式|x-4|-|x-3|<a 的解集在R 上不是空集，求a 的取值范围3）、若不等式|x-4|-|x-3|>a 在R 上恒成立，求a 的取值范围14、设0<a 45≤,若满足不等式b a x <-的 一切实数x ，亦满足不等式 212<-a x 求正实数b 的取值范围。
第5变 绝对值三角不等式问题15、已知函数2()(,,)f x ax bx c a b c R =++∈，当[1,1]x ∈-时|()|1f x ≤，求证： (1)||1b ≤；(2)若2()(,,)g x bx ax c a b c R =++∈，则当[1,1]x ∈-时，求证：|()|2g x ≤。
16、已知函数f(x)=21x +，a,b ∈R ，且b a ≠，求证|f(a)-f(b)|<|a-b|。
17、（1）已知不等式|x-3|+|x+1|<a ，的解集为空集，求a 的取值范围；（2）已知不等式|x-3|+|x+1|<a 有解，求a 的取值范围。
（3）已知不等式|x-3|+|x+1|>a 的解集非空，求a 的取值范围。
（4）已知不等式|x-3|+|x+1|≤a 的解集非空，求a 的取值范围。
18、已知f(x)的定义域为[0,1]，且f(0)=f(1)，如果对于任意不同的x 1,x 2∈[0,1]，都有|f(x 1)-f(x 2)|<|x 1-x 2|，求证：|f(x 1)-f(x 2)|<2119、 已知二次函数f x ax bx c ()=++2，当-≤≤11x 时，有-≤≤11f x ()，求证：当-≤≤22x 时，有-≤≤77f x ().解绝对值不等式［题根4］解不等式2|55|1x x -+<．［思路］利用｜f(x)｜<a(a>0) ⇔-a<f(x)<a去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元二次不等式组21551x x -<-+<即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩求解。
［解题］原不等式等价于21551x x -<-+<，即22551(1)551(2)x x x x ⎧-+<⎪⎨-+>-⎪⎩由（1）得：14x <<；由（2）得：2x <或3x >，所以，原不等式的解集为{|12x x <<或34}x <<．［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元一次不等式、一元二次不等式组来求解。
2）本题也可用数形结合法来求解。
在同一坐标系中画出函数2551y x x y =-+=与的 的图象，解方程2551x x -+=，再对照图形写出此不等式的解集。
第1变 右边的常数变代数式［变题1］解下列不等式：(1)|x +1|>2－x ；(2)|2x －2x －6|<3x［思路］利用｜f(x)｜<g(x) ⇔-g(x)<f(x)<g(x)和｜f(x)｜>g(x) ⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)去掉绝对值后转化为我们熟悉的一元一次、一元二次不等式组来处理。
解：(1)原不等式等价于x +1>2－x 或x +1<－(2－x )解得x >12或无解，所以原不等式的解集是{x |x >12} (2)原不等式等价于－3x <2x －2x －6<3x即222226360(3)(2)032(1)(6)016263560x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎧⎧-->-+->+-><->⎧⎧⎪⎪⇒⇒⇒⎨⎨⎨⎨+-<-<<--<--<⎪⎪⎩⎩⎩⎩或 2<x <6所以原不等式的解集是{x |2<x <6}［收获］形如|()f x |<()g x ，|()f x |>()g x 型不等式这类不等式的简捷解法是等价命题法，即： ①|()f x |<()g x ⇔－()g x <()f x <()g x ②|()f x |>()g x ⇔()f x >()g x 或()f x <－()g x［请你试试4—1］1．解不等式（1）｜x-x 2-2｜>x 2-3x-4；（2）234xx -≤1 解：（1）分析一 可按解不等式的方法来解. 原不等式等价于：x-x 2-2>x 2-3x-4 ①或x-x 2-2<-(x 2-3x-4) ② 解①得：1-2<x<1+2 解②得：x>-3故原不等式解集为｛x ｜x>-3｝分析二 ∵｜x-x 2-2｜＝｜x 2-x+2｜ 而x 2-x+2＝(x-14)2+74>0 所以｜x-x 2-2｜中的绝对值符号可直接去掉.故原不等式等价于x 2-x+2>x 2-3x-4 解得：x>-3∴ 原不等式解集为｛x>-3｝ （2）分析 不等式可转化为-1≤234xx -≤1求解，但过程较繁，由于不等式234x x -≤1两边均为正，所以可平方后求解.原不等式等价于2234xx -≤1⇒9x 2≤(x 2-4)2 (x ≠±2) ⇒x 4-17x 2+16≥0 ⇒x 2≤1或x 2≥16⇒-1≤x ≤1或x ≥4或x ≤-4注意：在解绝对值不等式时，若｜f(x)｜中的f(x)的值的范围可确定(包括恒正或恒非负，恒负或恒非正)，就可直接去掉绝对值符号，从而简化解题过程.第2变 含两个绝对值的不等式［变题2］解不等式（1）|x －1|<|x +a |；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5. ［思路］（1）题由于两边均为非负数，因此可以利用｜f(x)｜〈｜g(x)｜⇒f 2(x)〈g 2(x)两边平方去掉绝对值符号。
（2）题可采用零点分段法去绝对值求解。
［解题］（1）由于|x －1|≥0，|x +a |≥0，所以两边平方后有：|x －1|2<|x +a |2即有2x －2x +1<2x +2ax +2a ，整理得(2a +2)x >1－2a 当2a +2>0即a >－1时，不等式的解为x >12(1－a )； 当2a +2=0即a =－1时，不等式无解； 当2a +2<0即a <－1时，不等式的解为x <1(1)2a - （2）解不等式｜x-2｜+｜x+3｜>5.解：当x ≤-3时，原不等式化为(2-x)-(x+3)>5⇒-2x>6⇒x<-3.当-3<x<2时，原不等式为(2-x)+(x+3)>5⇒5>5无解. 当x ≥2时，原不等式为(x-2)+(x+3)>5⇒2x>4⇒x>2. 综合得：原不等式解集为｛x ｜x>2或x<-3｝.［收获］1）形如|()f x |<|()g x |型不等式此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：|()f x |<|()g x |⇔22()()f x g x <⇔[()()][()()]f x g x f x g x +-<02）所谓零点分段法，是指：若数1x ，2x ，……，n x 分别使含有|x －1x |，|x －2x |，……，|x －n x |的代数式中相应绝对值为零，称1x ，2x ，……，n x 为相应绝对值的零点，零点1x ，2x ，……，n x 将数轴分为m +1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。