黄金分割--2019年全国I卷理科数学维纳斯的黄金比例
断臂维纳斯高考题
2019年高考真题文科数学（全国I卷）
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，
最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A、165 cm
B、175 cm
C、185 cm
D、190 cm
•2019年高考真题理科数学 (全国I卷)
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，
最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A、165 cm
B、175 cm
C、185 cm
D、190 cm。
网红试题“2019高考断臂维纳斯”质疑、剖析及改编
网红试题“断臂维纳斯”质疑、剖析及改编1.（2019全国1卷文理第4题）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm【网红解法1】：维纳斯是女的，排除C,D ；维纳斯是外国的，排除A.选B.【质疑1】有人质疑这是考查常识还是考数学。
【点评1】高考突出数学的应用价值，甚至很多题目选择真实的实际背景，这样很容易导致一个问题，就是有人了解的越多，在有些题目就占据了一些优势。
比如如下设置，就会有同学直接得到答案。
2.根据相关地震知识可知，地震的里氏级数y 与地震中释放的能量x 满足对数函数关系()log 01a y x a a =>≠且．2008年5月12日汶川里氏8.0级地震释放的能量大约是1976年唐山里氏7.8级地震释放的能量的2倍．据此推算：若地震的里氏级数每增加一级，则地震中释放的能量将变为原来的（）倍．A．10B．16C．32D．64如何修改，可以避免呢？改编：里氏震级M 的计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅0A 0A 是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000,此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的__________倍。
变式：（2019北京）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 2−m 1=52lg 21E E ，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A ）1010.1（B ）10.1（C ）lg10.1（D ）10−10.11.（2019全国1卷文理第4题）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm【网红解法2】此题还蕴含着数学与美，希望答案更符合实际，但从应考的角度来说，学生直接从美的角度会直接选B 。
2019年高考理数(1卷)答案详细解析(附试卷)
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（I 卷）答案详解一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（集合）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<【解析】集合N ={x |－2＜x ＜3}，所以有M ∩N={x |－2＜x ＜2}. 【答案】C2．（复数）设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=【解析】由题意得i y x i z )1(-+=-，∵=1z i -，∴22(1)1y x +-=，即22(1)1y x +-=【答案】C3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【解析】由指数函数和对数函数的单调性易得22log 0.2log 10a =<=，0.20 221b =>=，0.3 0.20c =>且0.30 0.20.21c =<=，所以有a c b <<.【答案】B4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的 长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为 105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是 A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm【解析】由题意可知，肚脐至足底的长度大于105cm ，则头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈64.89cm ，因此身高大于105+64.89=169.89cm ；头顶至咽喉的长度小于26cm ，则咽喉至肚脐的长度小于42.07cm ，头顶至肚脐的长度小于68.07cm ，所以身高小于68.07+68.07÷0.618=178.21cm. 所以选答案B. 【答案】B5．（函数）函数2cos sin )(xx xx x f ++=在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【解析】∵2cos sin )(x x x x x f ++=，],[ππ-∈x ，∴)(cos sin cos sin )(22x f x x xx x x x x x f -=++-=+--=-，∴f (x )在[,]-ππ上是奇函数，因此排除A ；又01cos sin )(22>π+-π=π+ππ+π=πf ，因此排除B 、C. 【答案】D6．（概率统计）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【解析】所有重卦的个数为6426=，恰有3个阳爻的个数为20C C 3336=，因此恰有3个阳爻的概率为1656420==P PS ：其实可以对题目进行抽象：即有A 、B 两种字母，填6个位置，求恰有3个A 的概率.这样更容易求解.【答案】A7．（平面向量）已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-⊥a b b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【解析】∵b a 、为非零向量，∴0||0||≠≠b a、. ∵()b -⊥a b ，∴2()||0b a b b -⋅=⋅-=a b ，即2||a b b ⋅=.设a 与b之间的夹角为θ，则2||||cos ||||||||||a b b b a a b a b θ⋅===，∵||2||a b =，∴1cos 2θ=.∵0θπ≤≤，∴3πθ=. 【答案】B8．（程序运算）如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+【解析】通过模拟程序过程，很容易得到正确答案. 【答案】A9．（数列）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =-【解析】设等差数列{}na 的公差为d ，依题意有⎩⎨⎧=+=+5406411d a d a ，解之得⎩⎨⎧=-=231d a .∴1(1)25n a a n d n =+-=-，21(1)42n n n S na d n n -=+=-. 【答案】A10．（解析几何）已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y +=【解析】由题意，设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>.∵22||2||AF BF =，2||3||AB BF =，又∵1||||AB BF =，12||3||BF BF =. 由椭圆的定义可知，12||||2BF BF a +=，∴13||2a BF =，2||2aBF =，2||AF a =，1||AF a =. ∵13||||=2aAB BF =，∴1AF B ∆为等腰三角形，在1AF B ∆中，11||1cos 2||3AF F AB AB ∠==. 而在12AF F ∆中，222222121212212||||||22cos 12||||2AF AF F F a a F AB AF AF a a+-+-∠===-， ∴22113a -=，解得2=3a . ∴2=2b ，椭圆C 的方程为22132x y +=. 【答案】B11．（三角函数）关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间2(,)ππ单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③【解析】∵()sin |||sin()|sin |||sin |sin |||sin |()f x x x x x x x f x -=-+-=+-=+=，∴f (x )是偶函数，①正确. 当2(,)x π∈π时，sin ||sin x x =，|sin |sin x x =，则()2sin f x x =为减函数，故f (x )在区间2(,)ππ单调递减，②错误. 当(0,]x ∈π时，()sin |||sin |sin sin 2sin f x x x x x x =+=+=，所以f (x )在(0,]π内有1个零点x =π；由于f (x )是偶函数，所以在[,0)-π内有1个零点x =-π；∵(0)0f =，∴0x =由也是f (x )的1个零点；因此f (x )在[,]-ππ有3个零点，③错误. 当sin ||1x =、|sin |1x =时，f (x )取得最大值2，④正确.【答案】C12．（立体几何）已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π【解析】如图A12所示.图A12在△PAC 中，设∠PAC=θ，PA=PB=PC=2x ，EC=y ，x >0，y >0， ∵点E 、F 分别为PA 、AB 的中点，∴x PB EF ==21，AE =x ， 在△PAC 中，由余弦定理得：xx x x 21222424cos 222=⨯⨯-+=θ， 在△EAC 中，由余弦定理得：xy x x y x 44222cos 22222+-=⨯⨯-+=θ， ∴xy x x 442122+-=，即222-=-y x ①. ∵△ABC 是边长为2的正三角形，∴360sin 2=⨯= CF ∵∠CEF =90°，∴222CF EF CE =+，即322=+y x ②.联立①②得，22=x ，∴PA=PB=PC=2x=2 ∵△ABC 是边长为2的正三角形，∴222AB PB PA =+，222AC PC PA =+，222BC PC PB =+，即PA=PB=PC 两两垂直，∴三棱锥P-ABC 的外接球O 即以PA 为棱的正方体的外接球 ∴外接球的直径为62222=++=PC PB PA R ，∴26=R ∴外接球O 的体积为π6866π34π343=⨯==R V【答案】D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019高考数学【全国I】卷试卷解析(2)
D. A=1+ 1 2A
此时，不满足条件 k 2 ，退出循环，输出 A 的值为 1 ， 2+ 1 2+ 1 2
观察 A 的取值规律可知图中空白框中应填入 A = 1 ． 2+ A
9．记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4 = 0，a5 = 5，则（ ）
A. an = 2n - 5
【答案】A
分， 2R = 2 + 2 + 2 = 6 ，即 R = 6 , \V = 4 pR3 = 4 p ´ 6 6 = 6p ，故选 D．
2
3
38
二、填空题： 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．曲线 y = 3(x2 + x)ex在点 (0, 0)处的切线方程为
.
【答案】 3x - y = 0
B. an = 3n -10
C. Sn = 2n2 - 8n
D.
Sn
=
1 2
n2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-
2n
【考点】等差数列通项公式及其前 n 项和基本公式
【解析】
⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩
S4
= 4a1 +
a5 = a1
d 2
+
´4´3 =
4d = 5
0
，解得% a1
d
= -3
，∴
=2
an
=
2n
- 5 ,故选
A．
10．已知椭圆 C 的焦点为 F1( -1, 0),F2(1, 0)，过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若
由椭圆的定义有 2a = BF1 + BF2 = 4n ,\ AF1 = 2a - AF2 = 2n ．
【数学】2019年高考全国卷1理科数学试题及参考答案
x2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学C．x2A ．165cmB ．175cm C．185cm5．函数f x sin x x2在,的图象大致为、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合M x 2 ，N x x2 x 60 ，则M I Nx2C．x 2 D．x 22．设复数满足1，在复平面内对应的点为x,y ，则B．x3．已知a log 2 0.2 ，b 20.2 c 0.20.3，则B．a cb C．ab D．b ca4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512 0.618 ，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是515 1。
若某人满足上述两个黄金分割比2512D．x2D ．190cm6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化。
每一“重卦”由从下到上排列的6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“——”，右图就是一重卦，在所有重卦7．8．9．中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．16 B．1132C．213211 D．16已知非零向量r ra2ba，b 满足，且a b，则a 与b 的夹角为（）A．6B．32C．3 D．右图是求11的程序框图，图中空白框中应填入1112A21A112A11AA．B．AC．AD．A2A记S n 为等差数列A ．a n 2n 5a n 的前n项和，已知S4=0，a5B ．a n 3n 10C．S 2n2 8n5，D．10．已知椭圆C 的焦点为F1 1,0 ，F2 1,0 AB BF1 ，则C 的方程为2x2A ．y 122xB．32 y21211．关于函数f x sin x sinx ① f x 是偶函数② fA．①②④Sn 2n2n，过F2 的直线与C 交于A ，B 两点，AF2 2 F2B ，2xC．42y213D．2y214有下述四个结论：x 在区间2,有 4 个零点④ fB．②④单调递增x 的最大值为2C．①④D．①③12．已知三棱锥 P ABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA PB PC ， △ABC 是边长为 2 的正三角形， E ， F 分别是 PA ， PB 的中点， CEF 90 ，则球 O 的体积为A ．8 6B ． 4 6C ． 2 6D ． 6二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2019年全国卷Ⅰ理数数学高考试题(含答案)
21．（12分）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得 分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得 分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
A．165 cmB．175 cmC．185 cmD．190cm
5．函数f(x)= 在 的图像大致为
A． B．
C． D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
16．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 ， ，则C的离心率为____________．
三、解答题：
17．(12分) 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ．
（1）求A；
（2）若 ，求sinC．
18．（12分） 如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
2019年全国卷Ⅰ高考卷(含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z = A ．2BCD ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A I A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．－2B ．－C ．2D ．8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(全国I卷)word版
sin
cos
xx
2
xx
f(x)，
∴f(x)为奇函数，排除A，
sin
42
22
f()0，排除C，又22
2
cos
22
sin
f，排除B，故选D.
()0
22
1 cos
25.答案：A
解答：
每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有26种，在6个位置上恰有3个是阳爻的情况有
3
6
C
种，所以
3
C205
6
P.
6
26416
1
AA.
2
A
B.
A2
1
A
3
C.
A1
1
2A
D.
A
1
12A
9.记Sn为等差数列an的前n项和.已知S40，a55，则（）
A.an2n5B.an3n10C.
221
1
S2n8nD.Sn2n
nn
2
10.已知椭圆C的焦点为(1,0)
F，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若
1
|AF2|2|F2B|，|AB||BF1|，则C的方程为（）
答案：
26.答案B
解答：
设a与b的夹角为，
∵(ab)b
∴
2
(ab)babcosb=0
∴
cos=
1
2
∴=
.
3
27.答案：A
解答：
2
把选项代入模拟运行很容易得出结论
选项A代入运算可得
1
A=
1
2+
2+
1
2
，满足条件，
高中数学高考专题28 推理与证明(原卷版)
专题28 推理与证明命题规律内容典型１以断臂维纳斯为素材考查合情推理2019年高考全国I卷文数２以天体的星等与亮度为背景考查演绎推理2019年高考北京卷文数３以金石文化为背景考查归纳推理与演绎推理2019年高考全国II卷文数命题规律一以断臂维纳斯为素材考查合情推理【解决之道】此类问题的解决之道为，通过适当的估算、合适的推理即可得出结论.【三年高考】1.【2019年高考全国I卷文数】古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（）A．165 cm B．175 cmC．185 cm D．190 cm命题规律二以天体的星等与亮度为背景考查演绎推理【解决之道】此类问题解决之道为，认证阅读题目，理清问题涉及的理论知识，利用理论知识和演绎推理形式进行合理推理即可得出结论.1.【2019年高考北京卷文数】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2−m1=52lg21EE，其中星等为m k的星的亮度为E k（k=1，2）．已知太阳的星等是−26.7，天狼星的星等是−1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10–10.1命题规律三以金石文化为背景考查归纳推理与演绎推理【解决之道】要解决此类问题，首先认真阅读材料，仔细观察归纳规律，即可归纳出结论，其次，理清问题涉及的理论知识，利用理论知识和演绎推理形式进行合理推理即可推出正确结论.【三年高考】1.【2019年高考全国II卷文数】中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）．半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．）。
2019年高考数学“维纳斯”题的赏析
2019年第8期中学数学研究•21•xe~x（x e R）.如果％1M*2,且f（x i）=f（.x2），证明：+x2＞2.四、反思提升站在一定的高度来体会这类问题的通性通法及解题的套路，培养学生遇水搭桥的能力，我们不难发现考查的对象就是不等式应＜、a飞＜ma-mb号2如何让学生透过现象看到本质，这就是我们后续要努力的.而通过进一步研究，我们发现对数平o均不等式还可以外延为a＜]]＜应＜T+TIna-lnb＜＜风当°＜ "＜"时），在其中不妨令％=2,则当尤丘（1,+8）时，又可推出a1当"（0, 1）时用＜三＜心＜壬＜丿寻＜1；如若令n=a,n+l=6,我们又可以打开了数列的一块新天地，这里不再赘述，仅供同行命题时参考.参考文献[1]顾旭东.浮云虽遮眼拨云可见日[J].中学数学研究（广州）,2018（4）上半月.[2]谢德斌.对数平均不等式链及变式在高考导数题中的应用探究[J]•中学数学研究（广州）,2019（1）上半月.2019年高考数学“维纳斯”题的赏析安徽省合肥市第一中学（230601）谷留明2019年6月7日数学刚考完不久，全国数学理科I卷的“维纳斯”题便引起了热议.有很多学生、家长、非理科背景的媒体编辑等进行各式各样的吐槽；也有很多理科相关考生、教师、大学生、教授等在微博、朋友圈等各渠道发表自己的见解，但大都不够全面、严谨.1-原题呈现古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是臂丄（臂1〜0.618,称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm,头顶至脖子下端的长度为26cm,则其身高可能是（）.A.165cm B175c m C.185cm D.190cm2.题目解析方法1：维纳斯是女的，由此排除C、D；维纳斯是外国的，且是“女神”，由此排除止故选评析:此法纯属蒙答案和一种调侃.严格来说，不能算作数学解题方法.犯了审题不清的错误，题目问的并非是维纳斯的身高.即使是，这个方法也没有严谨的根据，况且“断臂维纳斯”的真实身高为204cm.方法2：经测量，试卷图片中维纳斯的身高约为77.0mm,头顶至脖子下端约为11.5mm,因为“某人”和维纳斯均满足题述的黄金分割比，所以此人的身高约为26x”|=讐~174.1,所以选B评析：此法抓住了“某人”和维纳斯均满足黄金分割比，利用相似性和地图比例尺的知识，此法不失为一种好的应试方法，体现着面对问题打破常规的意识和应变能力.不过,雕像中维纳斯身体各部位有不同的歪斜，会增加测量的误差，即使学生想到了测量，也未必敢用、敢由此作答.方法3：此人肚脐至足底长略大于腿长105cm,所以头顶至肚脐略长于0.618x105=64.89cm,故身高略大于169.89cm,所以选B方法4：此人头顶至咽喉长略小于26cm,所以头顶至肚脐略短于26x加〜26x2.618=6&0.618068cm,肚脐至足底略短于68.0684-0.618=6&068 x1.618〜110.134cm,故身高略小于68.068+110. 134=178.202cm,所以选评析：方法3和4类似，均是大胆地估算，均只•22•中学数学研究2019年第8期用了两个条件中的一个.减少运算量的同时,也增加了不确定性和风险.用到了黄金分割比的性质：设入为黄金分割比，则入2+A-1=0，+=A+入入=占==A+2.由此也能简化些计算.A1一入方法5：由黄金分割比的定义，此人肚脐至足底长与身高比也为臂丄Q0.61&因为腿长略小于肚脐至足底长，所以此人腿长与身高的比值应略小于0.61&而器=君~0.64>0.618,A错;器=寻"6；器=H"568；盟=||"553,所以选方法6：由题以及黄金分割比定义，此人身高的0.618倍为肚脐至足底长，应略大于腿长105cm.而165x0.618=33x3.09=101.97<105,舍；175x0.618=35X3.09=10&15,185x0.618=37x3.09=114.33,190x0.618=38x3.09=117.42,所以选B评析：方法5和6类似，均运用了黄金分割比定义，得到隐含条件：肚脐至足底长与身高比也为点-1-0.61&由此分别进行正向、逆向代入验证,这是解决选择题的常用技巧.且在计算当中充分注重了约分、凑整等运算技巧，体现着数学运算的核心素养.方法7：设此人头顶至咽喉长为久C771,肚脐至足底长为ycm.则x<26,咽喉至肚脐长为J■，肚脐至足底长y二（1+原;1”•"J1>1°5,得％>105(75-2)«24. 8.所以24.8<x<26.其身高人一+字+"(1+臂1);=Q6.854%,故169.919<h<17&204,选B.方法8：设此人头顶至咽喉长为％cm,肚脐至足底长为ycm.则%<26,y>105.一方面头顶至肚脐长为0618%Cm'身高匕=1.6180.618“1.6180.618=2.6182%~6.854a;<6.854x26=178.204cm,另一方面头顶至肚脐长为0.618ycm,身高b= 1.618y> 1.618 x105=169.89cm.选B.评析：方法7、8,均为严谨、规范的解法.均是充分利用已知条件，运用函数思想，两次表达出身高的解析式，挖掘题意蕴含的不等式关系，算出身高的可能范围.其中由点亍丄〜0.618得点〜2.236,并利用丘“618,揣"618降低计算量.3.深度赏析本题以断臂维纳斯身上的黄金分割比为背景，考查学生数学阅读、应用、合情推理等能力，凸显数学教育中的美育功能，体现了逻辑推理、数学抽象、数学运算等核心素养.这样的高考题对数学课堂有很好的指导作用，引导教师打破题型化教学，引导学生从死记硬背、刷题背题型向夯实基础、灵活运用转变.同时也符合近年来加强数学阅读理解能力考查的趋势.所以此题完全契合全国卷的命题思想——“着重考查考生的理性思维能力，综合运用数学思维方法分析问题、解决问题的能力，突出了学科素养导向，注重能力考查，全面覆盖基础知识、增强综合性、应用性，以真实情境为载体，贴近生活联系社会实际，在数学教育、评价中落实立德树人的根本任务•”其实在人教版九年级数学上册课本的第二十一章里，就有专门介绍黄金分割比的阅读与材料，这体现出对课本的阅读与材料及其彰显的数学应用意识，绝对要足够德重视.常见的数学科普书籍中，也多有对黄金分割比的详细介绍，其中也常提到断臂维纳斯.所以这题的背景完全是学生熟悉的.身边也有几位初中生确实算出了这道题.那么为什么这道题会引起这么多热议呢？一方面在于作为第四题（往年这个位置的题基本是送分题），文字多，阅读量大，涉及的人体部位名称较多.很多阅读能力不强、基础不扎实的考生直接心生抗拒、头皮发麻.更重要的是前面介绍背景时，提的是“头顶至咽喉”、“肚脐至足底”较为严谨的专业名词，而设问中却是生活化用词“头顶至脖子下端”、“腿长”•换了汤，很多学生就认不出药了，意识不到头顶至咽喉短于头顶至脖子下端，肚脐至足底长于腿长•导致内心紧张甚至崩溃，影响后面的作答.因此这题是新而不是难.4.—些看法首先，在第四题的位置，阅读量和计算量稍微大了一些，此题放在适当后面一些也是可以的.另外，生活中“腿长”往往指腰底部到脚脖或脚底，而人体学上的“腿长”又有狭义、广义之分，有各2019年第8期中学数学研究•23•种间接测量的方法•提到这样不够明确的概念，确实会使得部分考生钻牛角尖，抓错题目重点.再者，由方法6知，若此人身高为175cm,则肚脐至足底长为10&15cm,此时就算“腿长105cm”是腰底部到脚底，肚脐到腰底部也才3.15cm；由方法7,身高为头顶至咽喉长的1*严〜6.854倍.若身高17气为175cm,则头顶至咽喉长占2〜25.533cm,咽喉6.854到脖子下端只有0.467cm.这两个逆代得到的结果不太符合常规，但也不是不可能.正确选项里数值再稍微大一些会更符合常规一些.维拉斯本身就是残缺美，岂不正影射了当今数学教学中常见的枯燥模仿、重复刷题，“学海无涯苦作舟”，看起来都美很励志，残缺的是没有侧重培养数学思维和应用能力，没能突出数学核心素养.数学教学的问题也是们数学教育者的“维纳斯”题，如何破解，还需共同努力.两个旁切圆与半外切圆半径的平方型双边不等式福建省闽侯县上街实验学校（350100）黄银珠最近，笔者重新翻阅了《中国初等数学研究》，受益匪浅.其中杨志明老师于2016年发表的一文⑷引起笔者关注，经过探究，在文［1］的基础上，本文建立了两个涉及旁切圆与半外切圆半径的平方型双边不等式.约定AABC三边长为a,b,c,其对应的旁切圆半径分别为r a,r b,r c,R^r与s分别为AABC的外接圆半径、内切圆半径及半周长.X表示轮换对称求和.定义0与三角形两边延长线及其外接圆相切的圆，叫做三角形的半外切圆（即“远切圆”）. AABC三边a,b,c对应的半外切圆半径分别记为心、R b.R c.其中R a表示与AB,AC延长线及外接圆相切的圆半径;血表示与BC,BA延长线及外接圆相切的圆半径;总表示与CA,CB延长线及外接圆相切的圆半径.引理在AABC中有如下结论成立：（1）R M2r（欧拉不等式）；（2）167?r-5/W s'W4R2+4Rr+3r2-r*―（Gerrestsen不等式）.文⑴中作者证明了不等式Y（++R三2丫笔者思考的是：能否利用Y+来估计E（寻+右）2的上界?另外Y（扌+左）2与丫（丄+-）2之间存在怎样的关系？笔者得到如G r b 下两个结论：定理1在AABC中有2Y£W1a（严詁3“定理2在AABC中有春+定理1证明：由文［1］可得恒等式Y=（32疋二16Rr+6/）s2二2r（4R+艺丄=16叭2$2，”¥_2r(4ir),则丫(X+X)\3^4等价2S工(32疋-i6R r+6r2)?-2r(4R+r)3于--------------一a,,---------------W16R2r2s23'-2r艸+门,等价于(8疋+8R r_3/)s2 $2r(4R+r)(32R2-8Rr-r2)M0,由引理得只需证明(87?2+87?r-3r2)(167?r-5r2)-r(4R+r)(32疋 _ 8Rr-r2)三0,只需证明4/(117?-4r)(2R-r)M 0,此为显然.定理2证明：由文［1］得恒等式古)=。
2019年全国1卷理科数学高考真题与答案解析,详细答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =−<<=−−<，，则MN =A ．}{43x x −<<B ．}42{x x −<<−C ．}{22x x −<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z −，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=−C ．22(1)1y x +−=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512−（512−≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512−．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]−ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()−a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =−B ． 310n a n =−C ．228n S n n =−D ．2122n S n n =− 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F −()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]−ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为 A ．68πB ．64πC ．62πD ．6π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年高考理科数学详解(全国一卷)
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}24|<<-=x x M ，{}06|2<--=x x x N ，则N M = A.{}34|<<-x x B.{}24|-<<-x x C.{}22|<<-x x D.{}32|<<x x2.设复数z 满足1||=-i z ，z 在复平面内对应的点为（x ，y ），则 A.1)1(22=++y x B.1)1(22=+-y x C.1)1(22=-+y x D.1)1(22=++y x3.已知3.02.022.022.0log ===c b a ，，，则A.c b a <<B.b c a <<C.b a c <<D.a c b <<4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的 长度之比是215-（618.0215≈-，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此。
此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是215-。
若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是 A.165cm B.175cm C.185cm D.190cm5.函数2cos sin )(x x xx x f ++=在[-π，π]的图像大致为6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“--”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A.165B.3211C.3221D.16117.已知非零向量a ，b 满足||2||b a =，且b b a ⊥-)(，则a 与b 的夹角为A.6πB.3πC.32πD.65π8.如图是求212121++的程序框图，图中空白框中应填入A.a A +=21B.a A 12+=C.a A 211+=D.a A 211+=9.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和。
2019年全国卷Ⅰ高考卷(含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（含解析）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设3i12iz -=+，则z = A ．2BCD ．12．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A I A ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,73．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．B ．C ．D ．4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是12（12≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<C ．D ．6．某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A ．8号学生 B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生7．tan255°= A ．－2B ．－C ．2D ．8．已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π69．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+10．双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒11. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．312．已知椭圆C 的焦点为，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国Ⅰ卷高考理科数学试题及答案详细解析
17. 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ．
（1）求A；
（2）若 ，求sinC．
解：（1）
即：
由正弦定理可得：
（2） ，由正弦定理得：
又 ，
整理可得：
解得： 或
因为 所以 ，故 .
（2）法二： ，由正弦定理得：
又 ，
整理可得： ，即
或
且
考点：正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.
解：
由 知 是 的中点， ，又 是 的中点，所以 为中位线且 ，所以 ，因此 ，又根据两渐近线对称， ，所以 ， .
考点： ，双曲线及其渐近线的对称性.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
A. B.
C. D.
解：由 ，得 是奇函数，其图象关于原点对称．又 ．故选D．
考点：本题考查函数的性质与图象，利用函数奇偶性和特殊点即可解决这类问题．
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 ，则 =
A. B. C. D.
解： ， ．故选C．
考点：一元二次不等式解法，集合的交集.
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)及答案
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分， 表示“甲药的累计得分为 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则 ， ， ，其中 ， ， ．假设 ， ．
(i)证明： 为等比数列；
(ii)求 ，并根据 的值解释这种试验方案的合理性．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
（1）证明：MN∥平面C1DE；
（2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
19．已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为 的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若 ，求|AB|．
20．已知函数 ， 为 的导数．证明：
（1） 在区间 存在唯一极大值点；
16．已知双曲线C： 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若 ， ，则C的离心率为____________．
17． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设 ．
（1）求A；
（2）若 ，求sinC．
18．如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
A． B． C． D．
7．已知非零向量a，b满足 =2 ，且（a–b） b，则a与b的夹角为
A． B． C． D．
8．如图是求 的程序框图，图中空白框中应填入
A．A= B．A= C．A= D．A=
9．记 为等差数列 的前n项和．已知 ，则
A． B． C． D．
黄金分割--2019年全国I卷理科数学维纳斯的黄金比例
黄金分割｜2019年全国I卷理科数学维纳斯的黄金比例
下面我们来看看黄金分割在数学上是怎么定义的：
把一条线段分割为两部分，
使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，
则这个比值即为黄金分割。
其比值是（√5 - 1）：2，
近似值为0.618，
通常用希腊字母Ф表示这个值。
图文解析：
如下图，
线段AC：AB = BC：AC =（√5 - 1）/ 2，
则点C 就是线段AB 的黄金分割点。
尺规作图：
如下图，
在Rt△ABD 中，
∠ABD = 90°，AB = 1，BD = 1/2，
则AD = √5/2。
由图易知，
DE = DB = 1/2，
AC = AE =（√5 - 1）/2 ≈0.618。
所以，
点C 就是线段AB 的黄金分割点。
问题解决：
题目（2019 年普通高等学校招生全国统一考试全国I 卷理科数学）
【解析】
答案：B。
在图上标数据：
列出式子计算：
故最接近的答案是175 cm。
知识拓展：
世界名画《蒙娜丽莎》，
就是根据黄金分割的比例来构图的。
十年高考理科数学真题 专题十三 推理与证明 三十八 推理与证明及答案
专题十三推理与证明第三十八讲推理与证明2019年2019年8.（2019全国I理4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是51-（51-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是51-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm8 解析头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是5-10.6182≈，可得咽喉至肚脐的长度小于2642 0.618≈，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-12，可得肚脐至足底的长度小42+26=1100.618，即有该人的身高小于11068178cm+=，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，即该人的身高大于65+105=170cm.综上可得身高在170cm-178cm之间．故选B．9.（2019全国II理4）2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问 题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿 着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球 质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和 万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++.设rRα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD9解析 解法一（直接代换运算）：由121223()()M M M R r R r r R +=++及rR α=可得1212222(1)(1)M M M R r R αα+=++，3232111122222222[(1)1](33)(1)(1)(1)(1)M M M M M r R R R R αααααααα+-++=+-==+++. 因为34532333(1)ααααα++≈+，所以21122333M M M r r r R R R≈⋅=，则33213M R r M ≈，r ≈.故选D.解法二（由选项结构特征入手）：因为rRα=，所以r R α=， r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++．所以3453221333(1)M M ααααα++=≈+，所以r R α==故选D . 2010-2018年一、选择题1．(2018浙江)已知1a ，2a ，3a ，4a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则A ．13a a <，24a a <B ．13a a >，24a a <C ．13a a <，24a a >D ．13a a >，24a a >2．(2018北京)设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-+>-≥≤则A ．对任意实数a ，(2,1)A ∈B ．对任意实数a ，(2,1)A ∉C ．当且仅当0a <时，(2,1)A ∉D ．当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉ 3．（2017新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩 D ．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2017浙江）如图，已知正四面体D ABC -（所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP PB =，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D PR Q --，D PQ R --，D QR P --的平面角为α，β，γ，则R QPABC DA ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α5．(2016北京)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则A ．2号学生进入30秒跳绳决赛B ．5号学生进入30秒跳绳决赛C ．8号学生进入30秒跳绳决赛D ．9号学生进入30秒跳绳决赛6．(2015广东)若集合(){,,,04,04,04Εp q r s p s q s r s =<<<≤≤≤≤≤≤，且,,,}p q r s ∈N ，(){},,,04,04,,,F t u v w t u v w t u v w =<<∈N ≤≤≤≤且，用()card Χ表示集合Χ中的元素个数，则()()card card ΕF += A ．200 B ．150 C ．100 D ．507．（2014北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有 A ．2人 B ．3人 C ．4人 D ．5人8．（2014山东）用反证法证明命题“设,a b 为实数，则方程30x ax b ++=至少有一个实根”时，要做的假设是A ．方程30x ax b ++=没有实根B ．方程30x ax b ++=至多有一个实根 C ．方程30x ax b ++=至多有两个实根 D ．方程30x ax b ++=恰好有两个实根9．（2011江西）观察下列各式: 553125=，6515625=，7578125=，⋅⋅⋅，则20115的末四位数字为A ．3125B ．5625C ．0625D ．812510．（2010山东）观察2()2x x '=，43()4x x '=，(cos )sin x x '=-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -= A ．()f x B ．()f x - C ．()g x D ．()g x - 二、填空题11．(2018江苏)已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B U 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ．12．（2017北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点iA 的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点iB 的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3．①记i Q 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则1Q ，2Q ，3Q 中最大的是_ ___． ②记i p 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则1p ，2p ，3p 中最大的 是______．13．(2016新课标Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是 ． 14．（2016山东）观察下列等式：22π2π4(sin )(sin )12333--+=⨯⨯；2222π2π3π4π4(sin )(sin )(sin )(sin )2355553----+++=⨯⨯；2222π2π3π6π4(sin )(sin )(sin )(sin )3477773----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；2222π2π3π8π4(sin )(sin )(sin )(sin )4599993----+++⋅⋅⋅+=⨯⨯；…… 照此规律，2222π2π3π2π(sin)(sin )(sin )(sin )21212121n n n n n ----+++⋅⋅⋅+=++++_______． 15．（2015陕西）观察下列等式：1－1122= 1－1111123434+-=+1－1111111123456456+-+-=++……据此规律，第n 个等式可为______________________．16．（2015山东）观察下列各式：0014C =；011334C C +=； 01225554C C C ++= 0123377774C C C C +++=……照此规律，当*N n ∈时，012121212121n n n n n C C C C -----+++⋅⋅⋅+= ．17．（2014安徽）如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC =A 作BC 的垂线，垂足为1A ；过点1A 作AC 的垂线，垂足为2A ；过点2A 作1A C 的垂线，垂足为3A ；…，依此类推，设1BA a =，12AA a =，123A A a =，…，567A A a =，则7a =__．1318．(2014福建)若集合},4,3,2,1{},,,{=d c b a 且下列四个关系：①1=a ；②1≠b ；③2=c ；④4≠d 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组),,,(d c b a 的个数是____． 19．(2014北京)顾客请一位工艺师把A 、B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：则最短交货期为 个工作日．20．(2014陕西)已知0,1)(≥+=x xxx f ，若++∈==N n x f f x f x f x f n n )),(()(),()(11，则)(2014x f 的表达式为________．21．(2014陕西)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中，E V F ，，所满足的等式是_________． 22．(2013陕西)观察下列等式:211=22123-=- 2221263+-= 2222124310-+-=-…照此规律, 第n 个等式可为 ．23．(2013湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+．记第n 个k 边形数为 (),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =- ……可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = ． 24．(2012陕西)观察下列不等式213122+< 231151233++<，474131211222<+++，……照此规律，第五个．．．不等式为 ． 25．(2012湖南)设2nN =*(,2)n N n ∈…，将N 个数12,,,N x x x ⋅⋅⋅依次放入编号为1,2，…，N 的N 个位置，得到排列012N P x x x =⋅⋅⋅．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出，并按原顺序依次放入对应的前2N 和后2N个位置，得到排列113124N N P x x x x x x -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅，将此操作称为C 变换，将1P 分成两段，每段2N个数，并对每段作C 变换，得到2P ；当22i n -剟时，将i P 分成2i段，每段2i N 个数，并对每段C 变换，得到1i P +，例如，当N =8时，215372648P x x x x x x x x =，此时7x 位于2P 中的第4个位置.（1）当N =16时，7x 位于2P 中的第 个位置；（2）当2nN =（8n …）时，173x 位于4P 中的第 个位置. 26．(2011陕西)观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 ．27．(2010浙江)设112,,(2)(3)23n nn n N x x ≥∈+-+2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，将(0)k a k n ≤≤的最小值记为n T ，则2345335511110,,0,,,2323T T T T ==-==-⋅⋅⋅ ,n T ⋅⋅⋅其中n T =__________________．28．(2010福建)观察下列等式：① cos2α=22cos α-1；② cos4α=84cos α-82cos α+ 1；③ cos6α=326cos α-484cos α+ 182cos α-1；④ cos8α=1288cos α-2566cos α+ 1604cos α-322cos α+ 1；⑤ cos10α=m 10cos α-12808cos α+ 11206cos α+n 4cos α+p 2cos α-1． 可以推测，m n p -+= ． 三、解答题29．（2018北京）设n 为正整数，集合12={|(,,,),{0,1},1,2,,}n k A t t t t k n αα=∈=L L ．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=L 和12(,,,)n y y y β=L ，记(,)M αβ=111122221[(||)(||)(||)]2n n n n x y x y x y x y x y x y +--++--+++--L ． (1)当3n =时，若(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；(2)当4n =时，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意元素,αβ，当,αβ相同时，(,)M αβ是奇数；当,αβ不同时，(,)M αβ是偶数．求集合B 中元素个数的最大值；(3)给定不小于2的n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同的元素,αβ，(,)0M αβ=．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明理由．30．(2018江苏)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i L ，如果当s t <时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i L 的一个逆序，排列12n i i i L 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数． (1)求34(2),(2)f f 的值；(2)求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．31．（2017江苏）对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足11112n k n k n n n k n k n a a a a a a ka --+-++-+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=对任意正整数n ()n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列． 32．（2017北京）设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（Ⅰ）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，n c M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．33．(2016江苏)记{}1,2,,100U =L ．对数列{}n a （*n ∈N ）和U 的子集T ，若T =∅，定义0T S =；若{}12,,,k T t t t =L ，定义12k T t t t S a a a =+++L ．例如：{}1,3,66T =时，1366T S a a a =++．现设{}n a （*n ∈N ）是公比为3的等比数列，且当{}2,4T =时，30T S =．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)对任意正整数k （1100k ≤≤），若{}1,2,,T k ⊆L ，求证：1T k S a +<；(3)设C U ⊆，D U ⊆，C D S S ≥，求证：2C C D D S S S +I ≥．34．(2016浙江)设函数()f x =311x x ++，[0,1]x ∈．证明： (1)2()1f x x x -+≥； (2)33()42f x <≤． 35．(2015湖北)已知数列{}n a 的各项均为正数，1(1)()n n n b n a n n+=+∈N ，e 为自然对数的底数．(1)求函数()1e x f x x =+-的单调区间，并比较1(1)n n+与e 的大小；(2)计算11b a ，1212b b a a ，123123b b b a a a ，由此推测计算1212n n b b b a a a L L 的公式，并给出证明； (3)令112()n n n c a a a =L ，数列{}n a ，{}n c 的前n 项和分别记为n S ,n T , 证明：e n n T S <．36．(2015江苏)已知集合*{1,2,3},{1,2,3,.....,}()n X Y n n N ==∈，设{(,)|n S a b =a 整除b 或,,}n b a a X b Y ∈∈除，令()f n 表示集合n S 所含元素的个数．(1)写出(6)f 的值；(2)当6n ≥时，写出()f n 的表达式，并用数学归纳法证明．37．(2014天津)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{0,1,2,1,}M q L =-， 集合112,,1,2,,{}n n i x q x M in A x x x x q L L -+?==++.(1)当2q =，3n =时，用列举法表示集合A ；(2)设,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++L ，112n n t b b q b q -=+++L ，其中i a ， i b M ∈，1,2,,i n =⋅⋅⋅．证明：若n n a b <，则s t <．38．(2013江苏)设{}n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列()0d ≠，n S 是其前n 项和. 记2n n nS b n c=+，N n *∈，其中c 为实数. (1)若0c =，且1b ，2b ，4b 成等比数列，证明：()2N nk k S n S k,n *=∈；(2)若{}n b 是等差数列，证明：0c =．专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明答案部分1．B 【解析】解法一 因为ln 1x x -≤(0x >)，所以1234123ln()a a a a a a a +++=++1231a a a ++-≤，所以41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>，与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．解法二 因为1x e x +≥，1234123ln()a a a a a a a +++=++，所以123412312341a a a a e a a a a a a a +++=++++++≥，则41a -≤，又11a >，所以等比数列的公比0q <．若1q -≤，则212341(1)(10a a a a a q q +++=++）≤， 而12311a a a a ++>≥，所以123ln()0a a a ++>与1231234ln()0a a a a a a a ++=+++≤矛盾，所以10q -<<，所以2131(1)0a a a q -=->，2241(1)0a a a q q -=-<，所以13a a >，24a a <，故选B ．2．D 【解析】解法一 点(2,1)在直线1x y -=上，4ax y +=表示过定点(0,4)，斜率为a-的直线，当0a ≠时，2x ay -=表示过定点(2,0)，斜率为1a的直线，不等式2x ay -≤表示的区域包含原点，不等式4ax y +>表示的区域不包含原点．直线4ax y +=与直线2x ay -=互相垂直，显然当直线4ax y +=的斜率0a ->时，不等式4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除A ；点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为32-，当32a -<-，即32a >时，4ax y +>表示的区域包含点(2,1)，此时2x ay -<表示的区域也包含点(2,1)，故排除B ；当直线4ax y +=的斜率32a -=-，即32a =时，4ax y +>表示的区域不包含点(2,1)，故排除C ，故选D ．解法二 若(2,1)A ∈，则21422a a +>⎧⎨-⎩≤，解得32a >，所以当且仅当32a ≤时，(2,1)A ∉．故选D ．3．D 【解析】由甲的说法可知乙、丙一人优秀一人良好，则甲、丁一人优秀一人良好，乙看到丙的结果则知道自己的结果，丁看到甲的结果则知道自己的结果，故选D ．4．B 【解析】设O 为三角形ABC 中心，底面如图2，过O 作OE RP ⊥，OF PQ ⊥，OG RQ ⊥，由题意可知tan DO OE α=，tan OD OF β=，tan OD OGγ=， G FE O DC B AP QR 图1 图2由图2所示，以P 为原点建立直角坐标系，不妨设2AB =，则(1,0)A -，(1,0)B，C，(0,3O ，∵AP PB =，2BQ CR QC RA==，∴1(,33Q，2(,33R -，则直线RP的方程为y x =，直线PQ的方程为y =，直线RQ的方程为39y x =+，根据点到直线的距离公式，知21OE =39OF =，13OG =，∴OF OG OE <<，tan tan tan αγβ<<，因为α，β，γ为锐角，所以αγβ<<．选B5．B 【解析】由数据可知，进入立定跳远决赛的8人为1~8号，所以进入30秒跳绳决赛的6人从1~8号里产生．数据排序后可知3号，6号，7号必定进入30秒跳绳决赛，则得分为63，a ，60，63，a -l 的5人中有3人进入30秒跳绳决赛．若1号，5号学生未进入30秒跳绳决赛，则4号学生就会进入决赛，与事实矛盾，所以l 号，5号学生必进入30秒跳绳决赛，故选B ．6．A 【解析】当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种，当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种，当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=，当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种， 同理，v 、w 的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯=，所以()()card card F 100100200E +=+=，故选D ．7．B 【解析】学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙，一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B ．8．A 【解析】“至少有一个实根”的反面为“没有实根”，故选A ．9．D 【解析】∵553125=,6515625=,7578125=,85390625=，951953125=， 1059765625=,⋅⋅⋅,∴5n (n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字呈周期性变化，且最小正 周期为4,记5n(n Z ∈,且5n ≥)的末四位数字为()f n ,则(2011)(50147)f f =⨯+ (7)f =，∴20115与75的末位数字相同，均为8 125，选D ．10．D 【解析】由给出的例子可以归纳推理得出：若函数()f x 是偶函数，则它的导函数是奇函数，因为定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，即函数()f x 是偶函数，所以它的导函数是奇函数，即有()g x -=()g x -，故选D ．11．27【解析】所有的正奇数和2n (*n ∈N )按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列{}n a中，52前面有16个正奇数，即5212a =，6382a =．当1n =时，1211224S a =<=，不符合题意；当2n =时，2331236S a =<=，不符合题意；当3n =时，3461248S a =<=，不符合题意；当4n =时，45101260S a =<=，不符合题意；……；当26n =时，52621(141)2(12)212S ⨯+⨯-=+-= 441 +62= 503<2712516a =，不符合题意；当27n =时，52722(143)2(12)212S ⨯+⨯-=+-=484 +62=546>2812a =540，符合题意．故使得112n n S a +>成立的n 的最小值为27．12．1Q 2p 【解析】设线段i i A B 的中点为(,)i i i C x y ，则2i i Q y =，其中1,2,3i =①由题意只需比较线段i i A B 中点的纵坐标的大小即可，作图可得11A B 中点纵坐标比2233,A B A B 的中点纵坐标大，所以第一位选1Q ． ②由题意i i iy p x =，只需比较三条线段1OC ，2OC 3OC 斜率的大小，分别作123,,B B B 关于原点的对称点123,,B B B '''，比较直线112233,,A B A B A B ''' 斜率，可得22A B '最大，所以选2.p13．1和3【解析】为方便说明，不妨将分别写有1和2，1和3，2和3的卡片记为A ，B ，C 从丙出发，由于丙的卡片上的数字之和不是5，则丙只可能是卡片A 或B ，无论是哪一张，均含有数字1，再由乙与丙的卡片上相同的数字不是1可知，乙所拿的卡片必然是C ，最后由甲与乙的卡片上相同的数字不是2，知甲所拿的卡片为B ，此时丙所拿的卡片为A ．14．【解析】根据已知，归纳可得结果为43n (n+1)． 15．111111111234212122n n n n n -+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++． 【解析】观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是111122n n n ++⋅⋅⋅+++． 16．14n -【解析】 具体证明过程可以是：0121012121212121212121211(2222)2n n n n n n n n n n C C C C C C C C ----------++++=++++L L 021122223121212121212121211[()()()()]2n n n n n n n n n n n n n C C C C C C C C L ------------=++++++++ 01212121121212121212111()2422n n n n n n n n n n n C C C C C C L L ----------=+++++++=⋅=． 17．14【解析】解法一 直接递推归纳；等腰直角三角形ABC中，斜边BC =1122,AB AC a AA a =====，1231A A a ==，⋅⋅⋅，65671124A A a a ==⨯=．解法二 求通项：等腰直角三角形ABC 中，斜边BC =所以1122,AB AC a AA a ====⋅⋅⋅，11sin 24n n n n n n A A a a π-+==⋅==⨯，故672a =⨯=1418．6【解析】因为①正确，②也正确，所以只有①正确是不可能的；若只有②正确，①③④都不正确，则符合条件的有序数组为(2,3,1,4)，(3,2,1,4)；若只有③正确，①②④都不正确，则符合条件的有序数组为(3,1,2,4)；若只有④正确，①②③都不正确，则符合条件的有序数组为(2,1,4,3)，(3,1,4,2)，(4,1,3,2)．综上符合条件的有序数组的个数是6．19．42【解析】先由徒弟粗加一工原料B ，6天后，师傅开始精加工原料B ，徒弟同时开始粗加工原料A ，再9天后（15天后），徒弟粗加工原料A 完成，此时师傅还在精加工原料B ，27天后，师傅精加工原料B 完成，然后接着精加工原料A ，再15天后，师傅精加工原料A 完成，整个工作完成，一共需要6 +21+15= 42个工作日．20．12014x x +【解析】由1()1x f x x =+，得2()()112x x f x f x x==++， 可得32()(())13x f x f f x x ==+，故可归纳得2014()12014x f x x=+． 21．2F V E +-=【解析】三棱柱中5 +6-9 =2；五棱锥中6+6 -10 =2；立方体中6+8 -12 =2，由此归纳可得2F V E +-=． 22．12－22+32－42+…+（－1）n +1n 2=（－1）n +1·(1)2n n +（n ∈*N ） 【解析】观察上式等号左边的规律发现，左边的项数一次加1，故第n 个等式左边有n 项，每项所含的底数的绝对值也增加1，一次为1，2，3，…n ，指数都是2，符号成正负交替出现可以用1(1)n +-表示，等式的右边数的绝对值是左边项的底数的和，故等式的右边可以表示为(1)n-·(1)2n n +，所以第n 个式子可为12－22+32－42+…+12(1)n n +-=（－1）n+1·(1)2n n +（n ∈*N ）． 23．1000【解析】观察2n 和n 前面的系数，可知一个成递增的等差数列另一个成递减的等差数列，故()2,241110N n n n =-，()10,241000N ∴= 24．6116151413121122222<+++++【解析】观察不等式的左边发现，第n 个不等式的左边=222111123(1)n +++⋅⋅⋅++，右边=()1112+-+n n ，所以第五个不等式为6116151413121122222<+++++． 25．（1）6；（2）43211n -⨯+【解析】（1）当N =16时，012345616P x x x x x x x =L ，可设为(1,2,3,4,5,6,,16)L ，113571524616P x x x x x x x x x =L L ，即为(1,3,5,7,9,2,4,6,8,,16)L L ，2159133711152616P x x x x x x x x x x x =L ，即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,,16)L ，7x 位于2P 中的第6个位置；（2）在1P 中173x 位于两段中第一段的第87个位置，位于奇数位置上，此时在2P 中173x 位于四段中第一段的第44个位置上，再作变换得3P 时，173x 位于八段中第二段的第22个位置上，再作变换时，173x 位于十六段中的第四段的第11个位置上．也就是位于4P 中的第43211n -⨯+个位置上．26．2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-L 【解析】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n ，加数的个数是21n -；等式右边都是完全平方数，行数 等号左边的项数1=1 1 12+3+4=9 2 33+4+5+6+7=25 3 54+5+6+7+8+9+10=49 4 7…… …… ……所以2(1)[(21)1](21)n n n n n +++++--=-L ，即2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-L 27．0,1123n nn n ⎧⎪⎨-⎪⎩当为偶数时，当为奇数时【解析】根据合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，可得n T =0,1123n n n n ⎧⎪⎨-⎪⎩当为偶数时，当为奇数时． 28．962【解析】观察等式可知，cos α的最高次的系数2,8,32,128构成了公比为4的等比数列，故1284512m =⨯=．取0α=，则cos 1α=，cos101α=，代入等式⑤得 1512128011201n p =-+++-，即350n p +=- ① 取3πα=，则1cos 2α=，1cos102α=-，代入等式⑤得 108642111111512()1280()1120()()()1222222n p -=⨯-⨯+⨯+⨯+⨯- 即4200n p +=- ②联立①②得，400,50n p =-=，所以m n p -+=512(400)50962--+=．29．【解析】(1)因为(1,1,0)α=，(0,1,1)β=，所以1(,)[(11|11|)(11|11|)(00)|00|)]22M αα=+--++--++--=， 1(,)[(10|10|)(11|11|)(01|01|)]12M αβ=+--++--++--=． (2)设1234(,,,)x x x x B α=∈，则1234(,)M x x x x αα=+++．由题意知1x ，2x ，3x ，4x ∈{0，1}，且(,)M αα为奇数，所以1x ，2x ，3x ，4x 中1的个数为1或3．所以B ⊆{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)，(0，1，1，1)，(1，0，1，1)，(1，1，0，1)，(1，1，1，0)}．将上述集合中的元素分成如下四组：(1，0，0，0)，(1，1，1，0)；(0，1，0，0)，(1，1，0，1)；(0，0，1，0)，(1，0，1，1)；(0，0，0，1)，(0，1，1，1)．经验证，对于每组中两个元素α，β，均有(,)1M αβ=．所以每组中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以集合B 中元素的个数不超过4．又集合{(1，0，0，0)，(0，1，0，0)，(0，0，1，0)，(0，0，0，1)}满足条件， 所以集合B 中元素个数的最大值为4．(3)设1212121{(,,,)|(,,,),1,0}k n n k k S x x x x x x A x x x x -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅∈===⋅⋅⋅== (1,2,,)k n =⋅⋅⋅，11212{(,,,)|0}n n n S x x x x x x +=⋅⋅⋅==⋅⋅⋅==，则121n A S S S +=⋅⋅⋅U U U ．对于k S （1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）中的不同元素α，β，经验证，(,)1M αβ≥． 所以k S （1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）中的两个元素不可能同时是集合B 的元素．所以B 中元素的个数不超过1n +．取12(,,,)k n k e x x x S =⋅⋅⋅∈且10k n x x +=⋅⋅⋅==（1,2,,1k n =⋅⋅⋅-）．令1211(,,,)n n n B e e e S S -+=⋅⋅⋅U U ，则集合B 的元素个数为1n +，且满足条件． 故B 是一个满足条件且元素个数最多的集合．30．【解析】(1)记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．(2)对一般的n (4)n ≥的情形，逆序数为0的排列只有一个：12n ⋅⋅⋅，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12n ⋅⋅⋅中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-．为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将1n +添加进原排列，1n +在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+． 当5n ≥时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，5n ≥时，(2)n f =222n n --．31．【解析】证明:（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-，从而，当n 4≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++6， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”.（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，因此， 当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，①当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236.② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a L 是等差数列，设其公差为d'.在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以122a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列.32．【解析】（Ⅰ）易知11a =，22a =，33a =且11b =，23b =，35b =所以111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-．下面证明：对任意n ∈*N 且2n ≥，都有11n c b a n =-⋅． 当k ∈*N 且2k n ≤≤时，11()()k k b a n b a n -⋅--⋅[(21)]1k nk n =---+ (22)(1)k n k =--- (1)(2)k n =--∵10k ->且20n -≤∴11()()0k k b a n b a n -⋅--⋅≤⇒11()()k k b a n b a n -⋅-⋅≥．因此对任意n ∈*N 且2n ≥，111n c b a n n =-⋅=-，则11n n c c +-=-． 又∵211c c -=-，故11n n c c +-=-对n ∈*N 均成立，从而{}n c 是等差数列（Ⅱ）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为,a b d d ，下面我们考虑n c 的取值． 对11b a n -⋅，22b a n -⋅，n n b a n -⋅，考虑其中任意项i i b a n -⋅(i ∈*N 且1)i n ≤≤，i i b a n -⋅11[(1)][(1)]b a b i d a i d n =+--+-⋅ 11()(1)()b a b a n i d d n =-⋅+--⋅下面分0a d =，0a d >，0a d <三种情况进行讨论． （1）若0a d =，则i i b a n -⋅11()(1)b b a n i d =-⋅+- ①若0b d ≤，则11()()(1)0i i b b a n b a n i d -⋅--⋅=-≤ 则对于给定的正整数n 而言，11n c b a n =-⋅此时11n n c c a +-=-，故{}n c 是等差数列②0b d >，则()()()0i i n n b b a n b a n i n d -⋅--⋅=-≤ 则对于给定的正整数n 而言，1n n n n c b a n b a n =-⋅=-⋅ 此时11n n b c c d a +-=-，故{}n c 是等差数列此时取1m =，则123,,,c c c ⋅⋅⋅是等差数列，命题成立．（2）若0a d >，则此时a b d n d -⋅+为一个关于n 的一次项系数为负数的一次函数．故必存在m ∈*N ，使得当n m ≥时，0a b d n d -⋅+<则当n m ≥时，11()()(1)(0i i a b b a n b a n i d n d -⋅--⋅=--⋅+)≤(,1)i i n ∈*N ≤≤因此，当n m ≥时，11n c b a n =-⋅．此时11n n c c a +-=-，故{}n c 从第m 项开始为等差数列，命题成立．（3）0a d <，则此时a b d n d -⋅+为一个关于n 的一次项系数为正数的一次函数．故必存在s ∈*N ，使得当n s ≥时，0a b d n d -⋅+>则当n s ≥时，()()()(0i i n n a b b a n b a n i n d n d -⋅--⋅=--⋅+)≤(,1)i i n ∈*N ≤≤因此当n s ≥时，n n n c b a n =-⋅． 此时n n n n n c b a n b a n n n -⋅==-+11()b a a b b d d n d a d n-=-⋅+-++ 令0a d A -=>，1a b d a d B -+=，1b b d C -= 下面证明n c CAn B n n=++对任意正数M ，存在正整数m ，使得当n m ≥时，nc M n>． ①若0C ≥，则取||[]1M B m A-=+（[]x 表示不等于x 的最大整数） 当n m ≥时，||([]1)n c M B M B An B Am B A B A B M n A A--++=++>⋅+=≥≥此时命题成立． 若0C <，则取||[]1M C B m A--=+当n m ≥时||([]1)n c M C B An B C Am B C A B C n A--++++=+++≥≥ M C B B C M --++=≥此时命题成立．因此，对任意正数M ，使得当n m ≥时，nc M n>． 综合以上三种情况，命题得证．33．【解析】(1)由已知得1*13,n n a a n N -=⋅∈.于是当{2,4}T =时，2411132730r S a a a a a =+=+=. 又30r S =，故13030a =，即11a =.所以数列{}n a 的通项公式为1*3,n n a n N -=∈. (2)因为{1,2,,}T k ⊆L ，1*30,n n a n N -=>∈，所以1121133(31)32k kk r k S a a a -≤+++=+++=-<L L . 因此，1r k S a +<. (3)下面分三种情况证明.①若D 是C 的子集，则2C C D C D D D D S S S S S S S +=+≥+=I . ②若C 是D 的子集，则22C C D C C C D S S S S S S +=+=≥I . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集.令U E C C D =I ，U F D C C =I 则E φ≠，F φ≠，E F φ=I . 于是C E C D S S S =+I ，D F C D S S S =+I ，进而由C D S S ≥，得E F S S ≥. 设k 是E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则1,1,k l k l ≥≥≠.由（2）知，1E k S a +<，于是1133l kl F E k a S S a -+=≤≤<=，所以1l k -<，即l k ≤.又k l ≠，故1l k ≤-，从而11121131311332222l k l k E F l a S S a a a ------≤+++=+++=≤=≤L L ，故21E F S S ≥+，所以2()1C C D D C D S S S S -≥-+I I ，即21C C D D S S S +≥+I . 综合①②③得，2C C D D S S S +≥I .34．【解析】(1)因为()()442311111x x x x x x x----+-==--+， 由于[]0,1x ∈，有41111x x x -++≤，即23111x x x x-+-+≤， 所以2()1.f x x x -+≥ (2)由01x ≤≤得3x x ≤， 故()()()3121113333()11222122x x f x x x x x x -+=++-+=++++≤≤， 所以3()2f x ≤. 由(1)得22133()1()244f x x x x -+=-+≥≥， 又因为1193()2244f =>，所以()34f x >，综上，33()42f x <≤．35．【解析】(1)()f x 的定义域为(,)-∞+∞，()1e x f x '=-．当()0f x '>，即0x <时，()f x 单调递增； 当()0f x '<，即0x >时，()f x 单调递减．故()f x 的单调递增区间为(,0)-∞，单调递减区间为(0,)+∞． 当0x >时，()(0)0f x f <=，即1e x x +<．令1x n=，得111e n n +<，即1(1)e n n +<．(*)(2)11111(1)1121b a =⋅+=+=；22212121212122(1)(21)32b b b b a a a a =⋅=⋅+=+=； 2333123312123123133(1)(31)43b b b b b b a a a a a a =⋅=⋅+=+=． 由此推测：1212(1)n nnb b b n a a a =+L L ．(**)下面用数学归纳法证明②．①当1n =时，左边=右边2=，(**)成立． ②假设当n k =时，(**)成立，即1212(1)k kkb b b k a a a =+L L ．当1n k =+时，1111(1)(1)1k k k b k a k +++=+++，由归纳假设可得 111211211211211(1)(1)(1)(2)1k k k k k k k k k k k b b b b b b b b k k k a a a a a a a a k ++++++=⋅=+++=++L L L L ．所以当1n k =+时，(**)也成立．根据①②，可知(**)对一切正整数n 都成立．(3)由n c 的定义，(**)，算术-几何平均不等式，n b 的定义及(*)得 123n n T c c c c =++++=L 111131211212312()()()()nn a a a a a a a a a ++++L L111131212312112()()()()2341nn b b b b b b b b b n =+++++L L 12312112122334(1)n b b bb b b b b b n n ++++++≤++++⨯⨯⨯+L L 121111111[][]1223(1)2334(1)(1)n b b b n n n n n n =+++++++++⋅⨯⨯+⨯⨯++L L L 1211111(1)()()1211n b b b n n n n =-+-++-+++L 1212n b b b n <+++L 1212111(1)(1)(1)12n n a a a n=++++++L 12e e e n a a a <+++L =e n S ，即e n n T S <．36．【解析】(1)()613f =．(2)当6n ≥时，()2,623112,612322,622312,632312,6423122,6523n n n n t n n n n t n n n n t f n n n n n t n n n n t n n n n t ⎧⎛⎫+++= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪--⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎛⎫+++=+⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪-⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎪--⎛⎫⎪+++=+ ⎪⎪⎝⎭⎩（t *∈N ）．下面用数学归纳法证明： ①当6n =时，()666621323f =+++=，结论成立； ②假设n k =（6k ≥）时结论成立，那么1n k =+时，1k S +在k S 的基础上新增加的元素在()1,1k +，()2,1k +，()3,1k +中产生，分以下情形讨论： 1）若16k t +=，则()615k t =-+，此时有()()12132323k k f k f k k --+=+=++++ ()111223k k k ++=++++，结论成立； 2）若161k t +=+，则6k t =，此时有()()112123k kf k f k k +=+=++++ ()()()11111223k k k +-+-=++++，结论成立；3）若162k t +=+，则61k t =+，此时有()()11122223k k f k f k k --+=+=++++ ()()1211223k k k +-+=++++，结论成立； 4）若163k t +=+，则62k t =+，此时有()()2122223k k f k f k k -+=+=++++()()1111223k k k +-+=++++，结论成立；5）若164k t +=+，则63k t =+，此时有()()1122223k kf k f k k -+=+=++++ ()()1111223k k k +-+=++++，结论成立； 6）若165k t +=+，则64k t =+，此时有()()1112123k k f k f k k -+=+=++++ ()()()11121223k k k +-+-=++++，结论成立．综上所述，结论对满足6n ≥的自然数n 均成立． 37．【解析】(1)当2q =，3n =时，{}0,1M =，{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i ==+?+.可得，{}0,1,2,3,4,5,6,7A =.(2)由,s t A Î，112n n s a a q a q -=+++L ，112n n t b b q b q -=+++L ，,i i a b M Î，1,2,,i n =L 及n n a b <，可得()()()()11222111n n n n n n a b q a b q s t a b a b q -----=-+-++-+-L ()()()21111n n q q q q q q --?+-++--L()()11111n n q q q q----=--10=-<.所以，s t <.38．【证明】(1)若0=c ，则n n S b n =，*N n ∈，又由题(1)2n n n dS na -=+， 12n n S n b a d n -∴==+，112n n b b d +∴-=，{}n b ∴是等差数列，首项为a ，公差为2d，)0(≠d ，又421b b b ，，成等比数列，2214b b b ∴=，23()()22d da a a ∴+=+，23()42d d ad a ∴+=，0d ≠Q ，2d a ∴=，2n S n a ∴=，222222(),nk k S nk a n k a n S n k a ∴===，2nk k S n S ∴=（*,N n k ∈）． (2)由题c n nS b n n +=2，*N n ∈，22[2(1)]2()n n a n d b n c +-=+，若}{n b 是等差数列，则可设n b x yn =+，,x y 是常数，22[2(1)]2()n a n d x yn n c +-=++关于*N n ∈恒成立．整理得：32(2)(22)220d y n a d x n cyn cx -+----=关于*N n ∈恒成立．20,220,20,20d y a d x cy cx ∴-=--===，20,22,0,0d y a x d cy cx ∴=≠-===0c ∴=．。
2019年高考理科数学全国I卷含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷） 理科数学一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.已知集合}24|{<<-=x x M ，}06|{2<--=x x x N ，则=N M I （ ）A.}34|{<<-x xB.}24|{-<<-x xC. }22|{<<-x xD. }32|{<<x x2.设复数z 满足1z i -=，z 在复平面内对应的点为(,)x y ，则（ ） A.22(1)1x y ++= B.22(1)1x y -+=C.22(1)1x y +-= D.22(1)1x y ++=3.已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ） A.a b c << B.a c b << C.c a b << D.b c a <<4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215-（618.0215≈-称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是215- .若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26，则其身高可能是（ ）A.cm 165B.cm 175C.cm 185D.cm 190 5. 函数2sin ()cos x xf x x x+=+在[,]ππ-的图像大致为（ ） A.B.C.D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）A.5 16B.11 32C.21 32D.11167.已知非零向量,a br r满足2a b=r r，且()a b b-⊥r r r，则ar与br的夹角为（）A.6πB.3πC.23πD.56π8.右图是求112+12+2的程序框图，图中空白框中应填入（）A.12AA=+B.12AA=+C.112A A =+D.112A A=+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =，55a =，则（ ）A.25n a n =-B.310n a n =-C.228n S n n =- D.2122n S n n =- 10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F ，过2F 的直线与C 交于A ，B 两点.若||2||22B F AF =，||||1BF AB =，则C 的方程为（ ）A.1222=+y xB. 12322=+y xC.13422=+y xD.14522=+y x11. 关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论： ①()f x 是偶函数 ②()f x 在区间(,)2ππ单调递增③()f x 在[],ππ-有4个零点 ④()f x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是（ ） A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③12. 已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA PB PC ==，ABC ∆是边长为2的正三角形，,E F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为（ ）A.B.C.D.6π二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.曲线23()xy x x e =+在点(0,0)处的切线方程为 . 14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若113a =，246a a =，则5S = . 15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以4:1获胜的概率是 .16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =⋅=uuu r uu u r uuu r uuu r ，则C 的离心率为 .三、解答题（本大题共5小题，共60分）17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-. （1）求A ；（2）若22a b c +=，求sin C .18.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14,2,60AA AB BAD ==∠=︒，,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.（1）证明：//MN 平面1C DE ； （2）求二面角1A MA N --的正弦值.19.已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ，斜率为23的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .（1）若4||||=+BF AF ，求l 的方程； （2）若PB AP 3=，求||AB .20.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.证明：(1)()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；(2)()f x 有且仅有2个零点.21．为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验．实验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮实验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止实验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮实验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮实验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =L 表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =L ，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．（i ）证明：1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=L 为等比数列； （ii ）求4p ，并根据4p 的值解释这种实验方案的合理性． 四、选做题（2选1）（本大题共2小题，共10分）22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22211()41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ++=.（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值.23. 已知,,a b c 为正数，且满足1abc =，证明： （1）222111a b c a b c++≤++（2）333()()()24a b b c c a +++++≥2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I 卷）理科数学答案1.答案：C 解答：由题意可知,}32|{<<-=x x N ,又因为}24|{<<-=x x M ,则}22|{<<-=x x N M I ，故选C .2.答案：C 解答：∵复数z 在复平面内对应的点为(,)x y ， ∴z x yi =+ ∴1x yi i +-= ∴22(1)1x y +-= 3.答案：B 解答：由对数函数的图像可知：2log 0.20a =<；再有指数函数的图像可知：0.221b =>，0.300.21c <=<，于是可得到：a c b <<.4.答案：B 解答： 方法一：设头顶处为点A ，咽喉处为点B ，脖子下端处为点C ，肚脐处为点D ，腿根处为点E ，足底处为F ，t BD =，λ=-215， 根据题意可知λ=BD AB ,故t AB λ=；又t BD AB AD )1(+=+=λ，λ=DFAD，故t DF λλ1+=； 所以身高t DF AD h λλ2)1(+=+=，将618.0215≈-=λ代入可得t h 24.4≈.根据腿长为cm 105，头顶至脖子下端的长度为cm 26可得AC AB <，EF DF >；即26<t λ，1051>+t λλ，将618.0215≈-=λ代入可得4240<<t 所以08.1786.169<<h ，故选B.方法二：由于头顶至咽喉的长度与头顶至脖子下端的长度极为接近，故头顶至脖子下端的长度cm 26可估值为头顶至咽喉的长度；根据人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是215-（618.0215≈-称为黄金分割比例）可计算出咽喉至肚脐的长度约为cm 42；将人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度相加可得头顶至肚脐的长度为cm 68，头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215-可计算出肚脐至足底的长度约为110；将头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度相加即可得到身高约为cm 178，与答案cm 175更为接近，故选B. 5.答案：D 解答： ∵()()()2sin ()cos x x f x x x ---=-+-=2sin cos x xx x+-+()f x =-， ∴()f x 为奇函数，排除A ，又22sin 4222()02cos22f πππππππ++==>⎛⎫+ ⎪⎝⎭，排除C ，()22sin ()01cos f πππππππ+==>++，排除B ，故选D.6.答案：A 解答：每爻有阴阳两种情况，所以总的事件共有62种，在6个位置上恰有3个是阳爻的情况有36C 种，所以36620526416C P ===.答案：7.答案B 解答：设a r 与b r的夹角为θ，∵()a b b -⊥r r r∴2()cos a b b a b b θ-⋅=-r r r r r r =0∴1cos =2θ ∴=3πθ.8.答案：A 解答：把选项代入模拟运行很容易得出结论选项A 代入运算可得1=12+12+2A ，满足条件，选项B 代入运算可得1=2+12+2A ,不符合条件， 选项C 代入运算可得12A =,不符合条件，选项D 代入运算可得11+4A =,不符合条件. 9.答案：A 解析： 依题意有415146045S a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，可得132a d =-⎧⎨=⎩，25n a n =-，24n S n n =-.10.答案：B解答：由椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ，)0,1(2F 可知1=c ，又Θ||2||22B F AF =，||||1BF AB =，可设m BF =||2，则m AF 2||2=，m AB BF 3||||1==，根据椭圆的定义可知a m m BF BF 23||||21=+=+，得a m 21=，所以a BF 21||2=，a AF =||2，可知),0(b A -，根据相似可得)21,23(b B 代入椭圆的标准方程12222=+by a x ，得32=a ，2222=-=c a b ，∴椭圆C 的方程为12322=+y x . 11.答案：C解答：因为()sin sin()sin sin ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以()f x 是偶函数，①正确， 因为52,(,)632ππππ∈，而52()()63f f ππ<，所以②错误， 画出函数()f x 在[],ππ-上的图像，很容易知道()f x 有3零点，所以③错误， 结合函数图像，可知()f x 的最大值为2，④正确，故答案选C. 12.答案：D 解答：设PA x =，则2222222-42cos =22PA PC AC x x x APC PA PC x x x ++--∠==⋅⋅⋅ ∴2222cos CE PE PC PE PC APC =+-⋅⋅∠22222222424x x x x x x x -=+-⋅⋅⋅=+∵90CEF ∠=︒，1,22xEF PB CF ===∴222CE EF CF +=,即222344x x ++=，解得x =∴PA PB PC ===又2AB BC AC ===易知,,PA PB PC 两两相互垂直，故三棱锥P ABC -的外接球的半径为2∴三棱锥P ABC -的外接球的体积为3432π⎛⋅= ⎝⎭，故选D. 13.答案：3y x = 解答：∵23(21)3()xxy x e x x e '=+++23(31)xx x e =++，∴结合导数的几何意义曲线可知在点(0,0)处的切线方程的斜率为3k =， ∴切线方程为3y x =. 14.答案：5S =1213解答：∵113a =，246a a = 设等比数列公比为q∴32511()a q a q =∴3q =∴5S =121315.答案：0.18解答：甲队要以4:1，则甲队在前4场比赛中输一场，第5场甲获胜，由于在前4场比赛中甲有2个主场2个客场，于是分两种情况：1221220.60.40.50.60.60.50.50.60.18C C ⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=.16.答案：2 解答：由112,0F A AB F B F B =⋅=uuu r uu u r uuu r uuu r 知A 是1BF 的中点，12F B F B ⊥uuu r uuu r，又O 是12,F F 的中点，所以OA 为中位线且1OA BF ⊥，所以1OB OF =，因此1FOA BOA ∠=∠，又根据两渐近线对称，12FOA F OB ∠=∠，所以260F OB ∠=︒，221()1tan 602b e a=+=+︒=.17.答案：略 解答：（1）由()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-得222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 结合正弦定理得222b c a bc +-=∴2221cos =22b c a A b c +-=⋅⋅又(0,)A π∈，∴=3A π.（222a b c +=2sin 2sin A B C +=, ()2sin 2sin A A C C ++=6sin()2sin 3C C π++=, ∴312cos 222C C -=∴2 sin()6Cπ-=又2 03Cπ<<∴662Cπππ-<-<又sin()06Cπ->∴062Cππ<-<∴2cos62Cπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴sin sin()66C Cππ=-+=sin cos cos sin6666C Cππππ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭62+=.18.答案：（1）见解析；（2）10.解答：（1）连结,M E和1,B C，∵,M E分别是1BB和BC的中点，∴1//ME B C且112ME B C=，又N是1A D，∴//ME DN，且ME DN=，∴四边形MNDE是平行四边形，∴//MN DE，又DE⊂平面1C DE，MN⊄平面1C DE，∴//MN平面1C DE. （2）以D为原点建立如图坐标系，由题(0,0,0)D，(2,0,0)A，1(2,0,4)A，3,2)M 1(0,0,4)A A=-uuu r，1(3,2)A M=--u u u u r，1(2,0,4)A D=--uuu r，设平面1AA M的法向量为1111(,,)n x y z=u r，平面1DA M的法向量为2222(,,)n x y z=u u r，由1111n A An A M⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu ru r uuuu r得111140320zx z-=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令13x=1(3,1,0)n=u r，由212100n A D n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuu r u u r uuuu r得22222240320x z x y z --=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩，令22x =得2(2,0,1)n =-u u r ， ∴12121215cos ,n n n n n n ⋅==⋅u r u u ru r u u r u r u u r ，∴二面角1A MA N --的正弦值为10.19.答案：（1）07128=+-x y ；（2）3134. 解答：设直线l 的方程为b x y +=23，设),(11y x A ，),(22y x B ， （1）联立直线l 与抛物线的方程：⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y b x y 3232消去y 化简整理得0)33(4922=+-+b x b x ，0494)33(22>⨯--=∆b b ，21<∴b ，9)33(421b x x -⨯=+，依题意4||||=+BF AF 可知42321=++x x ，即2521=+x x ，故259)33(4=-⨯b ，得87-=b ，满足0>∆，故直线l 的方程为8723-=x y ，即07128=+-x y .（2）联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y b x y 3232消去x 化简整理得0222=+-b y y ，084>-=∆b ，21<∴b ，221=+y y ，b y y 221=，ΘPB AP 3=，可知213y y -=，则222=-y ，得12-=y ，31=y ，故可知23-=b 满足0>∆，∴3134|13|941||11||212=+⨯+=-⋅+=y y k AB . 20.答案：略 解答：(1)对()f x 进行求导可得，1()cos 1f x x x '=-+，(1)2x π-<< 取1()cos 1g x x x=-+，则21()sin (1)g x x x '=-++,在(1,)2x π∈-内21()sin (1)g x x x '=-++为单调递减函数，且(0)1g =，21()102(1)2g ππ=-+<+所以在(0,1)x ∈内存在一个0x ，使得()0g x '=，所以在0(1,)x x ∈-内()0g x '>，()f x '为增函数；在0(,)2x x π∈内()0g x '<，()f x '为减函数，所以在()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）由（1）可知当(1,0)x ∈-时，()f x '单调增，且(0)0f '=，可得()0'<x f则()f x 在此区间单调减；当0(0,)x x ∈时，()f x '单调增，且(0)0f '=，()0f x '>则()f x 在此区间单调增；又(0)0f =则在0(1,)x x ∈-上()f x 有唯一零点0x =.当0(,)2x x π∈时，()f x '单调减，且0()0,()02f x f π''><，则存在唯一的10(,)2x x π∈，使得1()0f x '=，在01(,)x x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调增；当1(,)2x x π∈时，()f x 单调减，且()1ln(1)1ln 022f e ππ=-+>-=，所以在0(,)2x x π∈上()f x 无零点；当(,)2x ππ∈时，sin y x =单调减，ln(1)y x =-+单调减，则()f x 在(,)2x ππ∈上单调减, ()0ln(1)0f ππ=-+<,所以在(,)2x ππ∈上()f x 存在一个零点.当(,)x π∈+∞时，()sin ln(1)1ln(1)0f x x x π=-+<-+<恒成立，则()f x 在(,)x π∈+∞上无零点.综上可得，()f x 有且仅有2个零点.21.答案：（1）略；（2）略 解答：（1）一轮实验中甲药的得分有三种情况：1、1-、0．得1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈，则(1)(1)P X αβ==-； 得1-分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈，则(1)(1)P X αβ=-=-； 得0分时是都治愈或都未治愈，则(0)(1)(1)P X αβαβ==+--． 则X 的分布列为：（2）（i ）因为0.5α=，0.8β=，则(1)0.4a P X ==-=，(0)0.5b P X ===，(1)0.1c P X ===． 可得110.40.50.1i i i i p p p p -+=++，则110.50.40.1i i i p p p -+=+， 则110.4()0.1()i i i i p p p p -+-=-，则114i ii i p p p p +--=-，所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=L 为等比数列．（ii ）1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=L 的首项为101p p p -=，那么可得：78714p p p -=⨯， 67614p p p -=⨯，………………2114p p p -=⨯，以上7个式子相加，得到76811(444)p p p -=⨯+++L ，则886781111441(1444)143p p p p --=⨯++++=⨯=-L ，则18341p =-， 再把后面三个式子相加，得23411(444)p p p -=⨯++，则4423411844141311(1444)334141257p p p --=⨯+++==⨯==-+． 4p 表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”，因为0.5α=，0.8β=，αβ<，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而41257p =的确非常小，说明这种实验方案是合理的．22.答案：略 解答：(1)曲线C :由题意得22212111t x t t -==-+++即2211x t +=+，则2(1)y t x =+，然后代入即可得到2214y x +=(1)x ?而直线l ：将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到23110x y ++=（2）将曲线C 化成参数方程形式为则4sin()112cos 23sin 11677d πθθθ++++==所以当362ππθ+=723.答案：见解析： 解答：（1）1abc =Q ，111bc ac ab a b c∴++=++. 由基本不等式可得：222222,,222b c a c a b bc ac ab +++≤≤≤， 于是得到222222222111222b c a c a b a b c a b c +++++≤++=++.（2）由基本不等式得到：3322()8()a b ab a b ab +≥+≥，332()8()b c b c bc+≥⇒+≥，332()8()c a c a ac+≥+≥.于是得到333333222()()()8[()()()]a b b c c a ab bc ac+++++≥++824≥⨯=X k B 1 . c o m。
高考数学试卷维纳斯
一、选择题1. 下列哪个比例被称为黄金分割比例？（）A. 1:2B. 1:1.618C. 1:3D. 1:0.6182. 以下哪个选项与断臂维纳斯雕像有关？（）A. 雕塑家：阿海山纳B. 雕塑家：米开朗基罗C. 雕塑家：罗丹D. 雕塑家：达芬奇3. 以下哪个选项与黄金分割比例在数学和美学中的联系无关？（）A. 黄金分割比例在数学中的应用B. 黄金分割比例在艺术创作中的应用C. 黄金分割比例在建筑设计中的应用D. 黄金分割比例在心理学中的应用二、填空题4. 黄金分割比例的比值约为__________。
5. 断臂维纳斯雕像的创作时间为__________。
6. 以下哪个选项与断臂维纳斯雕像的创作地点无关？（）A. 希腊B. 意大利罗马C. 法国巴黎D. 英国伦敦三、解答题7. 阅读材料，回答问题。
材料：断臂维纳斯雕像被誉为古希腊艺术珍品，其创作于公元前4世纪。
该雕像表现的是希腊神话中爱与美的女神阿佛洛狄忒。
1820年，该雕像被发现于希腊米洛斯岛。
维纳斯雕像之所以被誉为美神，不仅是因为她的美，还因为她的人体结构符合黄金分割比例。
黄金分割比例是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值。
（1）请简述黄金分割比例的定义。
（2）结合材料，谈谈你对黄金分割比例在艺术创作中的应用的认识。
（3）请你举例说明黄金分割比例在生活中的应用。
8. 阅读材料，回答问题。
材料：2019年全国高考数学试卷中，出现了一道与断臂维纳斯雕像有关的数学题。
题目要求考生根据维纳斯雕像的人体结构比例，计算一个符合黄金分割比例的人的身高。
（1）请简述黄金分割比例在人体结构中的体现。
（2）根据题目，计算一个腿长为105cm的人的身高。
（3）请你谈谈你对这道数学题的理解。
答案：一、选择题1. B2. A3. D二、填空题4. 0.6185. 公元前4世纪6. D三、解答题7. （1）黄金分割比例是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值。
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黄金分割｜2019年全国I卷理科数学维纳斯的黄金比例
下面我们来看看黄金分割在数学上是怎么定义的：
把一条线段分割为两部分，
使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，
则这个比值即为黄金分割。
其比值是（√5 - 1）：2，
近似值为0.618，
通常用希腊字母Ф表示这个值。
图文解析：
如下图，
线段AC：AB = BC：AC =（√5 - 1）/ 2，
则点C 就是线段AB 的黄金分割点。
尺规作图：
如下图，
在Rt△ABD 中，
∠ABD = 90°，AB = 1，BD = 1/2，
则AD = √5/2。
由图易知，
DE = DB = 1/2，
AC = AE =（√5 - 1）/2 ≈0.618。
所以，
点C 就是线段AB 的黄金分割点。
问题解决：
题目（2019 年普通高等学校招生全国统一考试全国I 卷理科数学）
【解析】
答案：B。
在图上标数据：
列出式子计算：
故最接近的答案是175 cm。
知识拓展：
世界名画《蒙娜丽莎》，
就是根据黄金分割的比例来构图的。