高阶微分方程的解法及应用

哈尔滨学院本科毕业论文(设计) 题目：高阶微分方程的解法及应用

院（系）理学院

专业数学与应用数学

年级2009级

姓名刘晓辉学号09031212

指导教师徐亚兰职称副教授

2013年6月1日

哈尔滨学院本科毕业论文（设计）

目 录

摘 要 ............................................................................................................................................. 1 Abstract ......................................................................................................................................... 2 前 言 ............................................................................................................................................. 3 第一章 高阶微分方程的理论与结构 ........................................................................................... 4 第二章 高阶常系数线性微分方程 ............................................................................................. 6 2.1 高阶常系数线性齐次微分方程 ........................................................................................ 6 2.1.1 特征根是单根的情况 ................................................................................................. 6 2.1.2 特征根是重根的情况 ................................................................................................. 7 2.2 高阶常系数线性非齐次方程 ............................................................................................ 8 2.2.1 常数变易法 ................................................................................................................. 8 2.2.2 比较系数法 ............................................................................................................... 10 2.2.3 拉普拉斯变换法 ....................................................................................................... 11 2.3 Euler 方程 ........................................................................................................................ 13 第三章 可降阶的高阶微分方程的解法 .. (15)

3.1 形如()n n d y

f x dx

=的高阶方程 (15)

3.2 形如()(1)()(,,,,)0k k n F x y y y +=L 的高阶方程 ................................................................. 16 3.3 形如()(,,,)0n F y y y '=L 的高阶方程 ............................................................................. 17 3.4 恰当导数方程 .................................................................................................................. 19 第四章 高阶微分方程的应用 ................................................................................................... 21 参考文献 ....................................................................................................................................... 25 致 谢 . (26)

摘 要

本文首先介绍了高阶微分方程的一些理论与结构。进而介绍了高阶齐次线性微分方程的求解方法和高阶非齐次线性微分方程的求解方法，在求解齐次线 性微分方程里主要采用了特征根法；在求解非齐次线性微分方 程里主要采用了比较系数法、拉普拉斯变换法和常

数变易法。其次又介绍了几类可降阶的微分方程的解法，主要有形如()n n d y

f x dx =，

()(1)()(,,,,)0k k n F x y y y +=L ，()(,,,)0n F y y y '=L ，恰当导数方程和Euler 方程的降阶方法，

并且研究了几类较为复杂的高阶微分方程的降阶问题。最后通过一些在现实生活中例子对这些方法的具体应用做了介绍。

关键词：高阶常微分方程；常数变易法；特征根法；降阶法