陈纪修《数学分析》(第2版)(下册)名校考研真题-曲线积分、曲面积分与场论(圣才出品)

第14章曲线积分、曲面积分与场论

1．计算为取逆时针方向．[南开大学2011研]

解：记因为P与Q在点（0，0）处都无定义，则不能直接应用格林公式．

在L围成的区域内取一闭曲线L1:（取逆时针方向）,则在L与L1围成是区域内可以应用格林公式．

由于则由Green公式知

，则

2．求第一型曲面积分其中h≠R．[浙江大学研]

解：令

其中且

3．计算其中[湖南大学研]

解：令

所以

4．求常数λ，使得曲线积分对上半平面内任何光滑闭曲线L成立．[北京大学研]

解：记

由题设知，所考虑积分在上半平面内与路径无关，所以，即

即

即

所以λ=．

5．设为xy平面上具有光滑边界的有界闭区域且u为非常值函

数及证明

[武汉大学研]

证明：因在上，u=0．故

所以

又u为非常值函数，故再注意到的连续性，所以

6．计算其中∑为圆柱面被z=0，z=3截的部分外侧．[北京航空航天大学研]

解：分别补充圆柱体的交面

记P=x，Q=y，R=z，由奥高公式

而平面，yz平面；平面，yz平面，所以

从而

7．计算为[南开大学2011研]

解：

(对称性)

8．计算曲线积分其中L是从（2a，0）沿曲线到点（0，0）的一段．[兰州大学2009研]

解：曲线即

记则

所以

所以由Green公式得

9．计算，其中为圆柱面的部分，它的法线与ox轴正向成锐角；为xoy平面上半圆域：的部分，它的法线与oz轴正向相反．[上海交通大学研]

解：如图14-1所示，补充则构成封闭曲面的外侧，由奥高公式

其中

则

又，从而

平面，平面，从而

图14-1

10．计算曲线积分

其中C是从A（－a，0）经上半椭圆到B（a，0）的弧段．[湖北大学研]

解：记

则

所以此积分在上半平面内与路径无关，如图14-2所示取以（0，0）为心，a为半径的上半圆周，则